Operas Unitas

Escoamento de FluidosBombas CentrífugasCaracterização de PartículasFuidodinâmica de Sistemas Particulados Mistura e Agitação

Operações Unitárias da Indústria Química I

Samuel LuporiniLetícia Suñe

Universidade Federal da Bahia – Escola PolitécnicaDepartamento de Engenharia Química

Mestrado em Engenharia Química

2002

Revisão 1.1

Samuel Luporini e Letícia Suñe – DEQ/UFBa

UNIDADES E DIMENSÕES

A medida de qualquer grandeza física pode ser expressa como o produto de dois valores, sendo um a grandeza da unidade escolhida e o outro o número dessas unidades. Assim, a distância entre dois pontos pode ser expressa com 1 m, ou como 100 cm ou então como 3,28 ft. O metro, o centímetro e o pé (foot) são respectivamente as grandezas das unidades e 1, 100 e 3,28 são os correspondentes números de unidades. Quando a magnitude da quantidade medida depende da natureza da unidade escolhida para se efetuar a medida, diz-se que a quantidade em questão possui dimensão. Dimensões: são conceitos básicos de medidas tais como: comprimento (L), massa (M), força (F), tempo (T) e temperatura (θ). Unidades: são as diversas maneiras através das quais se pode expressar as dimensões. Exs: Comprimento – centímetro (cm), pé (ft), polegada (in) Massa – grama (g), libra massa (lbm), tonelada (ton) Força – dina (di), grama força (gf), libra força (lbf) Tempo – hora (h), minuto (min), segundo (s) • Regra para se trabalhar corretamente com as unidades: Tratar as unidades como se fossem

símbolos algébricos. Não se pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir unidades deferentes entre si e depois cancela-las.

1 cm + 1 s é 1 cm + 1s

No entanto, em se tratando de operações cujos termos apresentam unidades diferentes, mas com as mesmas dimensões, a operação pode ser efetuada mediante uma simples transformação de unidades.

1 m + 30 cm (dois termos com dimensões de comprimento) 1 m = 100 cm então, 1 m + 30 cm = 100 cm + 30 cm = 130 cm

SISTEMAS DE UNIDADES As grandezas básicas e as derivadas podem ser expressas nos vários sistemas de unidades.

Revisão 1.2


I. Dimensões básicas MLTθ (sistema absoluto) I.a – Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

Este sistema está sendo adotado internacionalmente e baseia-se no anterior sistema metro-quilograma-segundo (M. K. S.) no qual as unidades básicas são as seguintes: Comprimento – metro (m) L Massa – quilograma (kg) M Tempo – segundo (s) T Temperatura – Kelvin (K) θ Este sistema é uma modificação do sistema C.G.S. em que se usam unidades maiores. A unidade de força, chamada Newton, é a que dará uma aceleração de 1 metro por segundo por segundo e uma massa de 1 quilograma. A unidade de energia, o Newton-metro, é 107 ergs e chama-se joule. A unidade de potência, igual a 1 joule por segundo, é o watt. I.b – Sistema pé-libra-segundo (F.P.S.) Neste sistema usam-se as seguintes unidades básicas: Comprimento – pé (ft) L Massa – libra massa (lbm) M Tempo – segundo (s) T Temperatura – Rankine (R) θ A unidade de força, o poundal, é a força que provocará uma aceleração de 1 pé por segundo por segundo a uma massa de 1 libra massa, ou seja: 1 poundal = 1 (libra massa) (pé) (segundo)-2 I.c – Sistema Métrico Absoluto ou C.G.S. Neste sistema as unidades básicas são as seguintes Comprimento – centímetro (cm) L Massa – grama (g) M Tempo – segundo (s) T Temperatura – Kelvin (K) θ A unidade de força é a força que dará a uma massa de 1 grama aceleração de 1 centímetro por segundo por segundo e chama-se dina. Portanto, 1 dina = 1 (grama) (centímetro) (segundo)-2 A unidade de energia correspondente é o dina-cm que se chama erg.

Revisão 1.3


II. Dimensões básicas FLTθ (sistema gravitacional) II.a. Sistema Britânico Gravitacional Este sistema usa também o pé e o segundo para unidades de comprimento e tempo, mas emprega a libra força para terceira unidade fundamental. A libra força é definida como a força que imprime à massa de uma libra uma aceleração de 32,174 pé por segundo por segundo. Portanto, as unidades fundamentais são: Comprimento – pé (ft) L Força – libra força (lbf) F Tempo – segundo (s) T Temperatura – Rankine (R) θ A unidade de massa neste sistema chama-se slug e é a massa que recebe uma aceleração de 1 pé por segundo por segundo com a aplicação de 1 libra força, isto é: 1 slug = 1 (libra força) (pé)-1 (segundo)2 A unidade de energia é o pé-libra força, mas se designa sempre como o pé-libra. II.b – M.K.S. técnico ou gravitacional

Este sistema tem como unidade de força o quilograma força (kgf), que é a força que dará uma aceleração de 9,81 metro por segundo por segundo a uma massa de 1 quilograma.

Sua unidades são:

Comprimento – metro (m) L Força – quilograma força (kgf) F Tempo – segundo (s) T Temperatura – Kelvin (K) θ A unidade de massa neste sistema é a U.T.M. (unidade técnica de massa). No sistema absoluto, a unidade de força é definida pela lei de Newton em termos de massa e aceleração, ou seja: F = m a (F) = (ML/T2) Então o quilograma (kg) e a libra massa (lbm) são definidas independentemente da lei de Newton, enquanto que o Newton (N) e o poundal são unidades de força derivadas pela própria lei.

Revisão 1.4


Já no sistema gravitacional a unidade de massa é que passa a ser definida pela lei de Newton em termos de força e aceleração. Então: m = F/a (M) = (FT2/L) Desse modo resulta que o quilograma força (kgf) e a libra força (lbf) são definidas independentemente da lei de Newton enquanto que UTM e slug são unidades derivadas. Como unidades de força e massa podem ser definidas independentemente da lei de Newton, surge a necessidade de utilizar-se um fator de conversão para tornar a equação dimensionalmente consistente.

F = K m a ou mag1Fc

=

Então: cg

1maFK ==

No sistema internacional de unidades S.I. por exemplo, a unidade de força é o Newton

então:

( )( ) N1sm1kg1smkg

N1F

:modo Deste

sNmkg1g ou

smkgN1K

22

2c2

=

=

==

No sistema C.G.S. a unidade de força é a dina, portanto:

( )( ) dina1scm1g1scmg

dina1F

:assim Sendo

sdinacmg1g ou

scmgdina1K

22

2c2

=

=

==

Revisão 1.5


III. Dimensões básicas FMLTθ (sistema híbrido) III.a. No sistema Inglês de Engenharia (English Engineering System), a unidade de força é a libra força (lbf), a unidade de massa é a libra massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura o grau Rankine (R). Neste sistema exige-se que o valor numérico da força e da massa sejam os mesmos na superfície terrestre. Então: F = K 1 lbm g ft/m2 = 1 lbf e

2sftlbmlbf

g1K =

O valor numérico escolhido para o K é de 1/32,174 que é o mesmo valor da aceleração da gravidade em ft/s2 ao nível do mar e a 45 de latitude.

Resulta que: cg

1K = ,

onde 2c slbfftlbm174,32g =

III.b. Da mesma forma é definido o gc para um outro sistema híbrido que tem como unidade de força o quilograma força (kgf), de massa o quilograma (kg), de comprimento o metro (m), de tempo o segundo (s) e de temperatura o grau Kelvin (K).

Portanto, 2c skgfmkg81,9g =

Unidades SISTEMA Dimensões

básicas Comprimento Força Massa Tempo Temperatura

SI

FPS

CGS

MLTθ

Metro

Pé

Centímetro

Newton*

poundal*

dina*

Quilograma

libra massa

grama

segundo

segundo

segundo

Kelvin

Rankine

Kelvin British

Gravitacional System

MKS

técnico

FLTθ

Pé

Metro

libra força

quilograma força

Slug*

UTM*

segundo

segundo

Rankine

Kelvin

* - unidades derivadas pela lei de Newton.

Revisão 1.6


DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 184 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS DA INDÚSTRIA QUÍMICA I Notas Complementares CRANE – Nomenclature, pags. 3-2, A-3, A-6, A-23, A-24, A-25, A-26, A-27, A-28, A-29, A-30, B-10, B-11, B-16, B-17, B-18, B-19. RIVETED STEEL – aço rebitado CONCRETE – concreto WOOD STAVE – madeira aparelhada CAST IRON – ferro fundido GALVANIZED IRON – ferro galvanizado ASPHALTED CAST IRON – ferro fundido asfaltado COMMERCIAL STEEL – aço comercial DRAWN TUBING – tubo estirado (tubulação moldada por extrusão) CARBON STEEL – aço carbono ALLOY STEEL – aço liga STAINLESS STEEL – aço limpo inoxidável GATE VALVES – válvula gaveta WEDGE DISC, DOUBLE DISC, PLUG DISC – disco de cunha, disco duplo, tipo plug GLOBE AND ANGLE VALVES – válvulas globos e válvula ângulo SWING CHECK VALVES – válvulas de retenção de portinhola LIFT CHECK VALVES – válvulas de retenção de levantamento TILTING DISC CHEC VALVES – válvulas de retenção de disco inclinado STOP-CHECK VALVES – válvulas de retenção tipo bloqueio FOOT VALVES WITH STRAINER – válvulas de pé com crivo BALL VALVES – válvulas esferas BUTTERFLY VALVES – válvulas borboleta PLUG VALVES AND COCKS – válvulas plug e registro STRAIGHT-WAY – passagem reta 3-WAY – três vias MITRE BENDS – curvas em gomos STANDARD ELBOWS – cotovelos ou joelhos padrões STANDARD TEE – te padrão 90 PIPE BENDS – curvas de 90 FLANGED OR BUTT-WELDING 90 ELBOWS – joelho de 90 (flangeado ou soldado) POPPET DISC – disco corrediço HINGED DISC – disco com articulação FLOW THRU RUN – com fluxo direto FLOW THRU BRANCH – com fluxo ramal

Revisão 1.7


FONTE: “Tubulações Industriais” – Pedro C. Silva Telles Os diâmetros comerciais dos “tubos para condução” de aço-carbono e de aço-liga estão definidos pela norma americana ANSI.B.36.10 e para os tubos de aços inoxidáveis pela norma ANSI.B.36.19. Todos esses tubos são designados por um número chamado “Diâmetro Nominal” ou “Bitola Nominal”. A norma ANSI.B.36.10 abrange tubos desde 1/8” até 36” e a norma ANSI.B.36.19 abrange tubos de 1/8” até 12”. De 1/8” até 12” o diâmetro nominal não corresponde a nenhuma dimensão física dos tubos; de 14” até 36” o diâmetro nominal coincide com o diâmetro externo dos tubos. Para cada diâmetro nominal fabricam-se tubos com várias espessuras de parede. Entretanto para cada diâmetro nominal, o diâmetro externo é sempre o mesmo variando apenas o diâmetro interno, de acordo com a espessura dos tubos. Por exemplo os tubos de aço de 8” de diâmetro nominal, tem todos um diâmetro externo de 8,625”. Quando a espessura deles corresponde à série 20, a mesma vale 0,250” e o diâmetro interno vale 8,125”. Para a série 40, a espessura vale 0,322” e o diâmetro interno 7,981”, para a série 80, a espessura vale 0,500” e o diâmetro interno 7,625”, e assim por diante. A série completa de 1/8” até 36” inclui um total de cerca de 300 espessuras diferentes. Dessas todas, cerca de 100 apenas são usuais na prática e são fabricadas corretamente. As demais espessuras fabricam-se apenas por encomenda. Os diâmetros nominais padronizados pela norma ANSI.B.36.10 são os seguintes: 1/8”, 1/4", 3/8”, 1/2", 3/4", 1”, 1 1/4”, 1 1/2", 2”, 2 1/2”, 3”, 3 1/2”, 4”, 5”, 6”, 8”, 10”, 12”, 14”, 16”, 18”, 20”, 22”, 24”, 26”, 30”, 36”. Os diâmetros nominais de 1 ¼”, 2 ½”, 3 ½” e 5”, embora constem nos catálogos, não são usados na prática, exceto em casos muitos especiais. Antes da norma ANSI.B.36.10 os tubos de cada diâmetro nominal eram fabricados em três espessuras diferentes conhecidas como: “Peso Normal” (Standard-STD), “Extra Forte” (Extra-strong-XS) e “Duplo Extra Forte” (Double extra-strong-XXS). Estas designações apesar de obsoletas, ainda estão em uso corrente. Pela norma ANSI.B.36.10 foram adotadas as séries Schedule Number para designar a espessura (ou peso) dos tubos. O número de série é um número obtido aproximadamente pela seguinte expressão: Série (Schedule Number) = 1000 P/S em que: P = pressão interna de trabalho em psig S = tensão admissível do material em psia A citada norma padronizou as séries 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 120, 140 e 160 sendo que, para a maioria do diâmetros nominais apenas algumas dessas espessuras são fabricadas. A série 40 corresponde ao antigo “peso normal” nos diâmetros até 10” e são espessuras mais comumente usadas na prática para os diâmetros de 3” ou maiores. Para os tubos acima de 10”, a série 40 é mais pesada do que o antigo peso normal. Para os tubos até 8” a série 80 corresponde ao antigo XS. Fabricam-se ainda os tubos até 8” com a espessura XXS, que não tem correspondente exato nos números de série, sendo próximo da série 160.

Revisão 1.8


ENG184 – Operações Unitárias I : Revisão Exercícios: 1. O sistema abaixo indica uma bomba retirando água de uma lagoa de abastecimento para

um reservatório. Determinar a perda de carga entre a lagoa e o tanque para uma vazão de 142 m3/h. A temperatura da água é 27oC e a tubulação de aço carbono.

Ø = 6”sch 40L = 75 ft

Ø = 6”sch 40L = 200 ft 2 J 90o

1 válvula gaveta (aberta)

8 ft

lagoa

Redução 6” para 4”

Tanque 6 ft

Ø =4”sch 40L = 250 ft 3 J 90o

1 válvula gaveta (aberta)

2. Calcular a perda de carga entre os pontos (1) e (2) no sistema abaixo:

L1 = 20’

Válvula de retenção

Válvulagaveta

L2 = 8’

L3 = 10’

L4 = 12’

L5 = 4’(1)

(2)

Curvas de 90o deraio longo.

Dados: líquido = água retenção = swing check valves Temperatura = 60oF ρágua = 62,371 lbm/ft3

Diâmetro = 4” sch 40 µágua = 1,2 cp Perry 5-36 Material = aço carbono

Vazão = Q = 300 gpm

Revisão 1.9


UNIDADES E DIMENSÕES

Dimensões Sistemas métricos Quantidade Física Sistema

MLT Sistema

FLT Sistema

CGS Sistema

Internacional comprimento L L cm m área L2 L2 cm2 m2

massa M FL-1T2 g kg volume L3 L3 cm3 m3

tempo T T s s vazão L3T-1 L3T-1 cm3/s m3/s velocidade LT-1 LT-1 cm/s m/s aceleração LT-2 LT-2 cm/s2 m/s2

força MLT-2 F g cm/s = dina kg m/s2 = N impulso MLT-1 FT g cm/s = dina s kg m/s = N s energia, trabalho ML2T-2 FL g cm2/s2 =

dina cm = erg kg m2/s2 =

N m = Joule potência ML2T-3 FLT-1 g cm2/s3 =

dina cm/s = erg/s kg m2/s3 =

Joule/s = Watt densidade ML-3 FL-4T2 g/cm3 kg/m3

velocidade angular

T-1 T-1 rad/s rad/s

aceleração angular

T-2 T-2 rad/s2 rad/s2

torque ML2T-2 FL g cm2/s2 = dina cm

kg m2/s2 = N m

momento angular ML2T-1 FLT g cm2/s kg m2/s momento de inércia

ML2 FLT2 g cm2 kg m2

pressão ML-1T-2 FL-2 g/(cm s2) = dina/cm2

kg/(m s2) = N/m2

viscosidade (µ) ML-1T-1 FL-1T g/(cm s) = 1 poise =

1 dina s/cm2

kg/(m s) = N s/m2

viscosidade cinemática (ν)

L2T-1 L2T-1 cm2/s m2/s

pressão superficial

MT-2 FL-1 g/s2 = dina/cm kg/s2 = N/m

Revisão 1.10


CONVERSÃO DE UNIDADES

Comprimento 1 Km = 1000 m 1 m = 100 cm = 39,37 in = 3,28 ft 1 cm = 10-2 m 1 mm = 10-3 m 1 µ = 10-6 m 1 mµ = 10-9 m 1 Å = 10-10 m 1 in = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm = 12 in Area 1 mm2 = 10-6 m2 1 cm2 = 10-4 m2 1 m2 = 1,55 x 103 in2 1 Km2 = 106 m2 1 in2 = 6,45 cm2 1 ft2 = 92,9 x 10-3 m2 Volume 1 ml = 10-3 l 1 l = 103 cm3 1 mm3 = 10-3 cm3 1 cm3 = 1 ml 1 dm3 = 103 cm3 1 m3 = 109 mm3 = 106 cm3 = 103 l 1 in3 = 16,39 cm3 1 ft3 = 28,32 x 103 cm3 Massa 1 g = 10-3 Kg 1 Kg = 103 cm3 = 2,2 lbm 1 ton = 103 Kg 1 lbm = 453,6 g 1 slug = 32.17 lbm = 14,59 Kg 1 onça = 28.35 g (avdp) Velocidade 1 Km/h = 0.2778 m/s = 0,9113 ft/s = 27.78 cm/s 1 mm/s = 3.6 m/h 1 cm/s = 26 m/h 1 m/s = 3600 m/h = 100 cm/s 1 m/min = 60 m/h = 0,017 m/s = 3.28 ft/min 1 m/h = 3,28 ft/h = 0,0109 in/s 1 in/s = 91.44 m/h = 1,524 m/min = 2,54 cm/s . 1 ft/s = 1097,28 m/h = 18,288 m/min = 0,3048 cm/s = 12 in/s

Revisão 1.11


Densidade 1 g/cm3 = 1000 Kg/m3 = 62.43 lbm /ft3 = 1 g/ml = 0.003613 lbm /in3 1 Kg/cm3 = 32,13 lbm/in3 1 Kg/m3 = 0,001 g/cm3 = 0.06243 lbm /ft3 = 3.61 lbm /in3 lbm/in3 = 27,68 g/cm3 lbm/ft3 = 5.79 x 10-4 lbm/in3 Vazão 1 l/s = 3600 l/h = 60 l/min = 61,02 in3/s = 2,12 ft3/min = 0,035 ft3/s 1cm3/s = 2.12 x 10-3 ft3/min 1 m3/min = 1000 l/min = 35,31 ft3/min 1 in3/s = 58,99 l/h = 0,03472 ft3/min 1 f t3/s = 101940,26 l/ h = 28 , 32 cm3/s = 3600 ft3/h = 1728 in3/s = 60 ft3/min Tensão superficial 1 dina/cm = 10-3 N/m 1 gf/cm = 98.07 N/m 1 Kgf/m = 9,81 N/m 1 lbf/ft = 14.59 N/m Pressão 1 dina/cm2 = 0,01 Kgf/m2 = 0,001 cm H20 = 7,5 cm de Hg = 4 x 10-4 in de H20 =

= 2,09 x 10-3 lbf/ft2 = 1,45 lb /in2 = 2,95 x 10-5 in de Hg = 10-8 atm 1 N/m2 = 1 pasca1 = 0,101 Kgf/m2 = 7,5 x 10-3 m de Hg = 1.45 x 10-4 lbf/in2 = 10-7 atm 1 gf/cm2 = 981 din/cm2 = 98,07 N/m2 = 10 Kgf/m2 = 0,736 mm de Hg = 2,048 lb /ft2 =

= 0.029 in de Hg = 1,4 x 10-2 lbf/in2 = 9,68 x 10-4 atm 1 Kgf/cm2 = 981 x 103 din/cm2 = 105 Kgf/m2 = 103 gf/cm2 = 981 x 104 N/m2 =

= 104 mm de H2O = 736 mm de Hg, = 2,05 x 103 lbf/ft2 = 14.22 lbf/in2 = = 0,968 atm

1 m de H2O = 9806,6 N/m2 = 103 Kgf/m2 = 73,6 mm Hg = 0,1 Kgf/cm2 = 204,8 lbf/ft2 = = 3,28 ft de H20 = 2.9 in de Hg = 1,42 lbf/in2 = 0,097 atm

1 mm de Hg = 1 torr = 1333,2 din/cm2 = 13,59 Kgf/m2 = 1,36 gf/cm2 = 133,32 N/m2 = = 13,59 mm de H20 = 2,78 lbf/ft2 = 0,54 in de H20 = 0,045 ft de H20 = = 0.019 lbf/in2 = 1,31 x 10-3 atm

1 lbf/in2 = 6,89 x 104 din/cm2 = 6.89 N/m2 = 703,07 Kgf/m2 = 703,07 mm de H20 = = 70,31 gf/cm2 = 0,7031 m de H20 = 0,0703 Kgf/cm2 = 144 lbf/ft2 = = 0,1701 ft de Hg = 6.8 x 10-2 atm

1 atm = 1.013 x 106 din/cm2 = 1,013 x 105 N/m2 = 1,033 x 104 Kgf/m2 = = 1,033 x 104 mm de H2O = 1,033 x 103 gf/cm2 = 10,13 N/cm2 = = 1,033 Kgf/cm2 = 14,7 lbf/in2 = 14,7 psi

1 psia = 1 psi + 1 psig Força 1 N = 105 dina = 0,1020 Kgf = 0,2248 lbf 1 pound force (lbf ) = 4,448 N = 0,454 Kgf = 32,17 pounda1s 1 Kgf = 2,205 lb = 9,81 N

Revisão 1.12


Energia 1 joule = 1 N.m = 107 ergs = 0,7376 lbf.ft = 0,2309 cal = 9,481 x 10-4 Btu 1 cal = 4,186 joules = 3,968 x 10-3 Btu 1 KWh = 3,6 x 106 joule = 860 Kcal 1 eV = 1,602 x 10-3 joule Potência 1 Watt = 1 joule/s = 107 erg/s = 0,2389 cal/s 1 hp = 745,7 Watt 1 KW = 1,341 hp = 0,9483 Btu/s Viscosidade cinemática, difusividade e difusividade térmica 1 m2/s = 104 cm2/s = 3,875 x 104 ft2/h = 106 centistokes Constante dos gases R = 1,987 cal g.mole-1 K-1 = 82,05 cm3 atm g.mole-1K-1 = 8,314 x 107 g cm2 s-2 g.mole-1 K-1 =

= 8,314 x 103 Kg m2 s-2 Kg.mole-1 K-1 = 4,968 x 104 Lbm ft2 s-2 lb.mole-1 °R-1 = = 1,544 x 103 lbf lb.mole-1 K-1 °R ft

Condutividade térmica 1 g cm s-3 K-1 = 1 ergs s-1 cm-1 K-1 = 10-5 Kg m s-3 K-1 = 10-5 Watts m-1 K-1 =

= 4,0183 x 10-5 lbm ft s-3 °F-1 = 1,2489 x 10-6 lb s-l °F-1 = = 2,3901 x 10-8 cal s-l cm-1 K-1 = 5,7780 x 10-6 Btu h-1 ft-1 °F-1

1 Kg m s-3 K-1 = 105 ergs s-1 cm-1 K-1 = 4,0183 lb ft s-3 °F-1 = 1,2489 x 10-1 lbf s-1 °F-1 = = 2,3901 x 10-3 cal s-l cm-1 K-1 = 5,7780 x 10-1 Btu h-1 ft-1 °F-l

1 lbm ft s-3 °F-1 = 2,4886 x 104 g cm s-3 K-1 = 2,4886 x 10-1 Kg m s-3 K-1 = = 3,1081 x 10-2lbf s-1 F-1 = 5,9479 x 10-4 cal s-1 cm-1 K-1 = = 1,4379 x 10-1 Btu h-1 ft-1 °F-1

1 lbf s-1 °F-1 = 8,0068 x 105 g cm s-3 K-1 = 8,0068 Kg m s-3 K-1 = 3,2174 x 101 lb ft s-3 °F-1 = = 1,9137 x 10-2 cal s-1 cm-1 K-1 = 4,6263 8tu h-1 ft-1 °F-1

1 cal s-1 cm-1 K-1 = 4,1840 x 107 g cm s-3 K-1 = 4,1840 x 102 Kg m s-3 K-1 = = 1,6813 x 103 lb ft s-3 °F-1 = 5,2256 x 101 lbf s-1 °F-1 = 2,4175 x 102 Btu h-1 ft-1 °F-1

1 Btu h-1 ft-1 °F-1 = 1,7307 x 105 g cm s-3 K-1 = 1,7307 Kg m s-3 K-1 = 6,9546 lbm ft s-3 °F-1 = = 2,1616 x 10-1 lbf s-1 °F-1 = 4,1365 x 10-3 cal s-1 cm-1 °K-1

Coeficiente de transferência de calor 1 g s-3 K-1 = 10-3 Kg s-3 K-1 = 10-3 Watts m-2 K-1 = 1,2248 x 10-3 lbm s-3 °F-1 =

= 3,8068 x 10-5 lbf ft-1 s-1 °F-1 = 2,3901 x 10-8 cal cm-2 s-1 K-1 = 10-7 Watts cm-2 K-1 = 1, 7611 x 10-4 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 Kg s-3 K-1 = 103 g s-3 K-1 = 1,2248 lbm s-3 °F-1 = 3,8068 x 10-2 lbf ft-1 s-1 °F-1 = = 2,3901 x 10-5 cal cm-2 s-1 K-1 = 10-4 Watt cm-2 K-1 = 1,7611 x 10-1 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 lbm s-3 °F-1 = 8,1647 x 102g s-3 K-1 = 8,1647 x 10-1 Kg s-3 K-1 = 3,1081 x 10-2 lb ft-1 s-1 °F-1 = = 1,9514 x 10-5 cal cm-2 s-1 K-1 = 8,1647 x 10-5 Watts cm-2 K-1 = = 1,4379 x 10-1 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 lbf ft-1 s-l °F-1 = 2,.6269 x 101t g s-3 K-1 = 2,6269 x 101 Kg s-3 K-1 = 3 ,1740 lbm s -3 ° F –1 = = 6,2784 x 10-4cal cm-2 s-l K-1 = 2,6269 x 10-3 Watts cm-2 K-1 = 4,6263 Btu ft-2 h-1°F-1

1 cal cm-2 s-l K-1 = 4,1840 x 107 g s-3 K-1 = 4,1840 x 101 Kg s-3 K-1 = 5,1245 x 104 lbm s-3 °F-1 = 1,5928 x 103 lbf ft-1 s-l °F-1 = 4,1840 Watts cm-2 K-1 = 7,3686 x 103 Btu ft-2 h-1 °F-1

Revisão 1.13


1 Watts cm-2 K-1 = 107 g s-3 K-1 = 104 Kg s-3 K-1 = 1,2248 x 104 lbm s-3 °F-1 = = 3,8068 x 102 lbf ft-1 s-l °F-1 = 2,3901 x 10-1 cal cm-2 s-l K-1 = = 1,7611 x 103 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 Btu ft-2 h-1 °F-1 = 5,6782 x 103 g s-3 K-1 = 5,6782 Kg s-3 K-1 = 6,9546 lbm s-3 °F-1 = = 2,1616 x 10-1 lbf ft-1 s-l °F-1 = 1,3571 x 10-4 cal cm-2 s-l K-1 = = 5,6782 x 10-4 Watts cm-2 °K-1

Temperatura TR = 1,8 TK TF = TR - 459,67 TF = 1,8TC + 32 TC = TK – 273,15

Bombas centrífugas 2.1


2. BOMBAS CENTRÍFUGAS 2.1. Descrição do equipamento • Fluidos movem-se através de canos, equipamentos ou a atmosferas ambiente por bombas, ventiladores, sopradores e compressores. Estes equipamentos aumentam a energia

mecânica do fluido. • O aumento de energia pode ser utilizado para aumentar a velocidade, a pressão ou a

elevação do fluido. • Existem duas classes principais de máquinas que movem fluidos: 1. Aplicando a pressão direta para o fluido → equipamento de deslocamento positivo. 2. Usando um torque para gerar rotação → bombas centrífugas, sopradores e compressores. - A maioria das bombas cai em umas das duas classes principais: Bombas de deslocamento

positivo. Bombas centrífugas. - As bombas de deslocamento positivo impelem uma quantidade definida do fluido em cada golpe ou volta do dispositivo. - As bombas centrífugas impelem um volume que depende da pressão de descarga ou da

energia adicionada. Bombas de deslocamento positivo Se dividem em: Bombas alternativas. Bombas rotativas. Bombas alternativas: - A taxa de fornecimento do líquido é uma função do volume varrido pelo pistão no cilindro e do número de golpes do pistão por unidade de tempo. Para cada golpe do pistão, um volume fixo de líquido é descarregado da bomba.

a

A partícula a de fluido é aspirada e de-pois sai com a pressão comunicada pe-lo êmbolo.



- eficiência volumétrica = (descarga real)/(descarga baseada no deslocamento do pistão) → até 95%

- simplex de duplo efeito: possui um único cilindro, utilizando os dois lados do seu volume

para impelir o líquido no golpe para a frente e no golpe para trás.

vazã

o

Descargap/ frente

Descargap/ trás

Descargap/ frente

Dúplex de duplo efeito: possui dois cilindros, com êmbolos separados em cada um deles, o fluido é bombeado no golpe para frente e para trás de cada êmbolo.

vazã

o

Cilindro 1

Cilindro 2

Vazão total

- A vazão de descarga do líquido numa bomba alternativa varia com o tempo, em virtude da natureza periódica do movimento do pistão. - As bombas alternativas imprimem ao fluido as pressões mais elevadas entre todos os tipos de bombas. Por outro lado sua capacidade é relativamente pequena. Bombas rotativas: - O rotor da bomba provoca uma pressão reduzida no lado da entrada o que possibilita a

admissão do líquido na bomba. - À medida que o elemento gira, o líquido fica retido entre os componentes do rotor e a

carcaça da bomba. Finalmente, depois de uma determinada rotação do rotor o líquido é ejetado pelo lado de descarga da bomba.



Vazões quase constantes comparada com a vazão pulsada das bombas alternativas. - São utilizadas com líquidos de quaisquer viscosidade, desde que não contenham sólidos

abrasivos. - Operam em faixas moderadas de pressão e tem capacidade que ficam entre as pequenas e

as médias. - Bombas rotatórias: Bombas de engrenagem. Bombas parafusos. Bombas com cavidades

caminhantes.



Exemplo 2.1: Bombear a uma vazão constante um líquido de densidade igual a da água para um reator. Taxa de 90 gal/min, pressão de 200 psi

•A velocidade de operaçãoesta entre 400 e 600 rpm→ 450 rpm•A potência necessária paramanter o escoamento → 21 HP

Pressão de descarga, psi

Capacidade, para 600 rpm



hp para 600 rpm

hp para 400 rpm

hp para 200 rpm

Hor

sepo

wer

Cap

acid

ade,

gal

/min

BOMBAS CENTRÍFUGAS - As bombas centrífugas são amplamente usadas nas indústrias de processos em virtude da

simplicidade do modelo, do pequeno custo inicial, da manutenção barata e da flexibilidade de aplicação.

- Vazões de alguns galões/min até vários milhares de galões/min, operando a várias centenas de psi.

- fluido entra na bomba nas vizinhanças do eixo rotor propulsor e é lançado para a periferia pela ação centrífuga. A energia cinética aumenta do centro do rotor para as pontas das palhetas propulsoras. Esta energia cinética é convertida em pressão quando o fluido sai do impulsor e entra na voluta do difusor.

Eixo motriz

Rotor

Voluta

Carcaça

Difusor

Palheta do rotor

Eixo motriz

Carcaça de bomba centrífuga, com volutaCarcaça de bomba centrífuga, com difusor



- coração da bomba centrífuga é o rotor. É constituído por diversas palhetas, ou lâminas,

conformadas de modo a proporcionarem um escoamento suave do fluido entre cada uma delas.

- As carcaças das bombas centrífugas podem ser feitas de diversas formas, mas a função

principal é a de converter a energia cinética impressa ao fluido pelo rotor em uma carga de pressão.

Principais vantagens: 1- É de construção simples. Pode ser construída numa vasta gama de materiais. 2- Há ausência total de válvulas. 3- Vazão de descarga constante. 4- Funciona a alta velocidade. 5- Baixo custo de manutenção. 6- Tamanho reduzido, comparado com outras bombas de igual capacidade. 7- Funciona com líquidos com sólidos em suspensão. 8- Não sofre qualquer deterioração se a tubagem de saída entupir durante um período muito

longo. Principais desvantagens: 1- A bomba de um estágio não consegue desenvolver uma pressão elevada. 2- Se não incorporar uma válvula de retenção na tubagem de sucção, o líquido voltará a

correr para o tanque de sucção logo que a bomba pare. 3- Não consegue operar eficientemente com líquidos muito viscosos. - Problemas que podem se a apresentar ao engenheiro químico: a) Projetar uma tubulação nova e selecionar uma bomba. b) Selecionar uma bomba para um sistema existente. c) Projetar um novo sistema para uso com uma bomba existente.

Todos estes problemas podem ser resolvidos em termos de curvas características.



2.2. Curvas características do sistema (AMT e SCR) 2.2.1 Altura Manométrica Total (AMT)

Considerando a bomba instalada no sistema abaixo:

PS

(a)

PD

(b)

ZS

ZD

Descarga ou recalque

Sucção

12

Aplicando a equação da energia (Bernoulli + perdas + Wη) entre os pontos (a) e (b), resulta:

η++++γ

=++γ

Whg2

VZPg2

VZPf

2D

DD

2S

SS (1)

Onde W representa o trabalho aplicado por um agente externo no eixo da bomba e η a eficiência mecânica da bomba. Assim, Wη já leva em conta a perda de carga do fluido através da bomba.

Wη = trabalho aplicado ao fluido Como os termos de energia cinética são desprezíveis em relação aos outros nos casos correntes:

fSDSD hZZ

PPW +−+

γ−

=η− (2)

Os termos do lado direito da igualdade representam alturas. São as chamadas:

fricção de amanométric altura helevação de amanométric altura ZZ

pressão de amanométric altura PP

f

SD

SD

==−

=γ−



Por esta razão -Wη é chamado de ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL a vencer:

fSDSD hZZPPHAMT +−+

γ−

=∆= (3)

ZD e ZS → terão sinais negativos se os dois pontos considerados estiverem abaixo da linha

de centro da bomba. O termo hf pode ser desmembrado: hfS → perda de carga na sucção. hfD → perda de carga na descarga. A equação (3) pode ser reescrita como:

44 344 21444 3444 21

sucção na disponívelamanométric Altura

SfSS

descarga na vencer aamanométric Altura

DfDD hZPhZPH

−+

γ−

++

γ=∆ (4)

∆H pode ser obtido em função de P1 e P2, aplicando-se a equaçãode Bernoulli entre a entrada e saída da bomba.

1212 ZZPPHW −+

γ−

=∆=η− (5)

As perdas através da bomba são incluídas em η. Como Z2 - Z1 é desprezível em comparação com P1 - P2,, logo:

γ−

=∆ 12 PPH (6)

Colocando em gráfico a equação (3)

Função polinomial degrau 2

hf∆H(m.c.l.)

SDSD ZZPP

−+γ−

Q(m3/h)

As perdas aumen-tam com a vazão.



2.2.2 Saldo de Carga de Sucção (SCS) ou Net Positive Suction Head (NPSH)

- Se a pressão é somente levemente maior que a pressão de vapor, algum líquido pode

vaporizar no interior da bomba, reduzindo a capacidade da bomba e causando severas

erosões.

- Para evitar a cavitação, a pressão na entrada da bomba deve exceder a pressão de vapor por

um certo valor chamado de ‘saldo de carga de sucção’ (SCS).

- SCS: 5 → 10 ft: bombas pequenas (até 100gal/min). O saldo de carga de sucção é definido como:

γ−

= v1 PPSCS (7)

Ou, aplicando a equação de Bernoulli (conservação da energia) entre (a) e a sucção da bomba

de (desprezando V2/2g)

Sf

0

11

SS hZPZP

++γ

=+γ

sucção na carga de perda

SfSS1 hZPP

−+γ

=γ

(8)

Substituindo (8) em (7)

SfSvS hZPPSCS −+

γ−

= (9)

SCS disponível que o sistemaoferece a bomba

Colocando em gráfico SCS em função da vazão, resulta:



hfS

SCS(m.c.l.)

SvS ZPP+

γ−

Q(m3/h)

Sf

vazãoda independe

SvS hZPPSCS −+

γ−

=43421

A equação (9) dá o SCS disponível ou seja o saldo ou a quantidade mínima de energia em

termos absolutos que deve existir no flange de sucção, para que a pressão neste ponto esteja

acima da pressão de vapor do líquido e não haja cavitação.

NO QUADRO

EXEMPLO 2.2: Na especificação de uma nova bomba a ser instalada no sistema abaixo

calcular, para uma vazão de 20 m3/h de ácido sulfúrico a 98% em peso a 25oC

(ρ=1840kg/m3, µ=15 cp, e pressão de vapor = 0,0015mmHg),

a) a altura manométrica total,

b) NPSH (SCS) disponível.

14 m2 m

2”sch 40 (aço comercial)ΣL = 120 m (incluindo o comprimento equivalente)

2”sch 40 (aço comercial)ΣL = 4 m (incluindo o comprimento equivalente)

constante

2.3. Curvas características das bombas centrífugas

Curvas características da bomba são as curvas que traduzem o funcionamento das bombas,

resultado das experiências dos fabricantes. As curvas características fornecidas pelos

fabricantes de bombas são:



a) ∆H x Q

b) Potência absorvida x Q

c) Rendimento x Q

d) SCS requerido x Q

Estas curvas podem ser obtidas:

- teoricamente utilizando a teoria da mecânica geral em relação ao efeito do rotor sobre o

fluido.

- experimentalmente em testes de ‘performance’.

Dois parâmetros da bomba - diâmetro do rotor e velocidade de rotação são considerados no

estudo das curvas características das bombas. Uma bomba centrífuga desenvolverá para cada

velocidade de rotação (w) e para um determinado diâmetro do rotor (Drotor) uma

determinada altura manométrica para uma vazão especificada. Da mesma forma, para cada w

e Drotor, haverá um SCS requerido pela bomba em função da vazão, ou seja, para uma

determinada vazão, uma determinada bomba requererá um SCS mínimo, abaixo da qual

ocorrerá cavitação.

Um outro parâmetro a considerar é a potência desenvolvida pela bomba:

QP

gQP

gmPH)W(

Q mássica vazãom

Hgmtempo

HgmPtempo

TrabalhoP

γ=

ρ==∆=−

ρ==

∆=∆

=∴=

&

&

&

BHP = a potência a ser desenvolvida no eixo da bomba (pelo motor) é chamada de potência

absorvida ou potência de eixo (Pabs ou BHP - brake horse power).



(ft) H (GPM); Q (HP); BHP fluido; do relativa densidade d :onde

3960

dHQBHP

:uso o para prontas fórmulas de série uma Existe

HgQHgmBHP

=∆===η

∆=

η∆ρ=η∆= &

)(kgf/m (m); H );sm( Q (CV); BHP :onde75

HQBHP

33 =γ=∆==

η∆γ

=

Finalmente, cada bomba tem uma eficiência - definida como η = P/BHP - variando

com a vazão e é fabricada dentro de uma faixa de operação de modo que fora desta faixa, para

menos e para mais da vazão de projeto, a eficiência, cai.

Em resumo, para cada W e Drotor

∆HBHPη

SCS∆H

ηBHPSCS

W Drotor

Q

∆HBHPη

SCS

Uma outra forma de apresentar a curva de rendimento é a seguinte:

η5

η4

η3

η2η1∆H

BHP

SCS

Q

W Drotor

∆HBHPSCS



2.4. Determinação da curva do sistema e ponto de operação de uma bomba centrífuga

2.4.1. Determinação da curva do sistema

Denominamos por curva do sistema uma curva que mostra a variação da altura

manométrica total com a vazão ou, em outras palavras, mostra a variação da energia por

unidade de peso que o sistema solicita em função da vazão. Para determinar a curva do

sistema, vamos considerar a situação sitada no item 2.2.1 sobre AMT. Como vimos, a altura

manométrica total pode ser expressa por:

H = hd – hs ∴

( ) ( )43421

4444 34444 21 (Q) f fricção Hfsfd

vazãoa com varianão estático H

SDSD hhZZ

PPH

=

++−+

γ−

=

O procedimento, em detalhes, será então o seguinte:

- Fixam-se arbitrariamente os valores de vazão, em torno de seis, estando entre estes a

vazão zero e a vazão com a qual desejamos que o sistema opere. Objetivando a cobertura

de uma ampla faixa de vazões, as quatro vazões restantes devem ser fixadas da seguinte

forma:

duas de valor inferior à vazão pretendida para operação

duas de valor superior à vazão pretendida para operação

- Observando a equação acima, vemos claramente, que para a vazão zero,

( )SDSD

estático ZZPP

HH −+

γ−

==

- Para as demais vazões, a determinação de H é feita somando ao valor de H estático a

perda de carga do sistema para cada vazão.

- Então podemos determinar a correspondência entre os valores de Q e H.



Q1 = 0 → H estático

Q2 < Q3 → H estático + (hf2 para vazão Q2)

Q2 < Q4 → H estático + (hf3 para vazão Q3)

Q4 = vazão pretendida

para operação

→ H estático + (hf4 para vazão Q4)

Q5 > Q4 → H estático + (hf5 para vazão Q5)

Q6 > Q5 → H estático + (hf6 para vazão Q6)

- De posse dos pares de valores (Q, H) resta-nos apenas locar os pontos e construir uma

curva que apresenta uma forma semelhante à da figura abaixo.

Curva do sistema

2.4.2 – Determinação do ponto de trabalho

Se colocarmos as curvas do sistema no mesmo gráfico onde estão as curvas

características da bomba, obteremos o ponto normal de trabalho na interseção da curva Q x

∆H da bomba com a curva do sistema.

Hestático

hf6 hf5 hf4 hf3 hf2

H H6 H5 H4

H3 H2 H1

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q



Ponto de trabalho (QT, HT, PT, ηT)

Então, a bomba teria como ponto normal de trabalho: - vazão (QT) - carga ou head (HT) - potência absorvida (PotT) - rendimento da bomba no ponto de trabalho (ηT) Deve-se considerar que existem diversos recursos para modificar o ponto de trabalho e deslocar o ponto de encontro das curvas Q x H da bomba e do sistema. Estes recursos consistem em modificar a curva do sistema, ou modificar a curva da bomba conforme veremos no item 2.5. 2.5. Fatores que influenciam nas curvas características de uma bomba 2.5.1. Velocidade de rotação - a partir da análise dimensional dos fatores que

influenciam na ‘performance’ de uma bomba com diâmetro do rotor fixo, as seguintes

relações são obtidas:

Para Drotor fixo:

a) A vazão é proporcional à rotação

11 WW

QQ

=

b) A altura manométrica total varia com o quadrado da velocidade de rotação

2

11 WW

HH

=

∆∆

c) A potência absorvida varia com o cubo da velocidade de rotação

H, η, Pot ηT HT PotT

H x Q do sistema

η x Q Pot x Q

H x Q

QT Q



3

11 WW

PP

=

A alteração da velocidade de rotação é feita através do motor.

Sempre que alteramos a rotação deve ser feito a correção das curvas características através

das relações anteriormente apresentadas para determinação do novo ponto de trabalho, sendo

normal o fabricante fornecer as curvas para diferentes velocidades. Por exemplo:

∆H a W

∆H1 a W1

η a W

1 η a W

BHP a W

BHP a W1

∆Hη

BHP

O rendimento é igual para pontoshomólogos:Q, ∆H → ηQ1, ∆H1 → η1 = ηonde Q, ∆H , Q1 e ∆H1 estão ligadospelas relações acima.

2.5.2. Diâmetro do rotor

Mantendo-se constante a velocidade de rotação, o efeito do diâmetro do rotor pode ser obtido

das relações:

Para W constante:

a) A vazão é proporcional ao diâmetro do rotor:

11 DD

QQ

=

b) A altura manométrica total varia com o quadrado do diâmetro do rotor:

2

11 DD

HH

=

∆∆

c) A potência absorvida varia com o cubo do diâmetro do rotor:



3

11 DD

PP

=

Ou seja:

31111 P

PHH

QQ

DD

=∆∆

==

Observação: Dmax - limitado pelo tamanho da carcaça Dmin - 80% do rotor original Da mesma forma que com a velocidade de rotação, os fabricantes fornecem curvas para vários diâmetros de rotor. 2.5.3. Efeito da natureza do líquido: Densidade - uma bomba centrífuga tem uma velocidade de rotação constante porque depende

somente das características do motor e estas só variam se houver variação na amperagem ou

voltagem da linha (rede elétrica). Um aumento ou diminuição da perda de carga no sistema

(exemplo: fechamento ou abertura maior de uma válvula), variação na densidade do fluido,

enfim, qualquer variação não afeta a velocidade de rotação do motor.

Do ponto de vista da bomba é a velocidade de rotação que imprime altura manométrica ao

fluido através da força centrífuga. Como a altura manométrica é expressa por unidade de peso

do líquido ela só depende da velocidade de rotação que é constante.

g2RW

g2VH

2rotor

22==∆

Portanto, qualquer que seja o líquido, a curva ∆H x Q da bomba é a mesma, já a curva BHP x

Q sofre alterações quando se trabalha com outro líquido.

η∆ρ

=HgQBHP , já que ρ varia



Variando a densidade do fluido

Curva ∆Hbomba x Q → constante

Curva BHP x Q → varia

EXEMPLO 2.3: Uma bomba que opera com água (d=1,0) num determinado ponto Q x ∆H

desenvolverá a mesma vazão contra o mesmo ∆H quando bombear H2SO4 (d=1,84). Porém o

motor terá que desenvolver uma potência 1,84 vezes maior.

Viscosidade - as curvas características fornecidas pelos fabricantes retratam a ‘performance’

das bombas quando operando com água. Entretanto estas curvas sofrem modificações quando

a bomba opera com líquidos muito viscosos. No exemplo anterior foi dito que não haveria

variação em Q e ∆H para H2SO4 apesar deste possuir viscosidade maior que a da água (≅ 8 cp

contra 1 cp da água) porque a diferença não é marcante. As diferenças aparecem com

viscosidade acima de 50 cp aproximadamente.

O gráfico da página seguinte, editado pelo ‘Hydraulic Institute’, permite a determinação do

desempenho da bomba operando com líquido viscoso quando seu desenvolvimento com água

é conhecido.

Limites do gráfico:

a) Só usar dentro da escala apresentada (não extrapolar).

b) Usar somente para bombas de projeto convencional dentro da faixa de operação normal

(em torno de η máximo). Não usar para bombas tipo fluxo misto ou axial ou para líquidos

não uniformes.

c) Usar somente onde SCS é capaz de evitar o efeito da cavitação.

d) Usar somente para líquidos Newtonianos.





Qvis = QwCQ (vazão do fluido viscoso = vazão de água x fator de correção)

∆Hvis = ∆HwCH

ηvis = ηwCη

A potência pode ser obtida de:

vis

visvisvis 3960

dHQBHPη

∆=

INSTRUÇÕES PARA A SELEÇÃO PRELIMINAR DE UMA BOMBA PARA UMA

DADA CAPACIDADE E ALTURA MANOMÉTRICA EM CONDIÇÕES VISCOSAS.

a) Conhecida a capacidade viscosa desejada, a altura manométrica viscosa e a viscosidade e

densidade na temperatura de bombeamento, a carta de correção pode ser usada para

encontrar a equivalente capacidade e altura manométrica quando bombeando água.

b) Entrar na carta, pela parte inferior com a capacidade viscosa (Qvis) e seguir verticalmente até

encontrar a altura manométrica viscosa (∆Hvis). Prosseguir em seguida horizontalmente até a

viscosidade do fluido em estudo, então subir verticalmente até as curvas de correção para tirar os

valores de CQ, Cη e CH para 1,0Qηw (capacidade aquosa na qual a máxima eficiência é obtida).

c) Os valores para entrar nas curvas características das bombas, que são referidas às condições

aquosas seriam:

Hvisw

Qvisw

CHH

CQQ

∆=∆

=

d) Cη servirá para a avaliação da eficiência conforme será visto no exemplo que se segue.

EXEMPLO 2.4: Selecionar uma bomba para operar 750 gpm contra uma altura manométrica de

100 pés de um líquido que possui uma viscosidade de 1000 SSU (Saybolt Seconds Universal) e uma

densidade de 0,90 na temperatura de bombeamento.

Solução: Entrar na carta com 750 gpm subir verticalmente até 100 pés, continuar

horizontalmente até 1000 SSU (viscosidade), prosseguindo em seguida verticalmente até as

curvas de correção, para tirar os seguintes valores:

CQ = 0,95

CH = 0,92 (para 1,0 Qηw)



Cη = 0,635

Então: Qw = Qvis/CQ = 750/0,95 = 790 gpm

∆Hw = ∆Hvis/CH = 100/0,92 = 108,8 = 109

Selecionar, então, uma bomba para uma vazão de água de 790 gpm contra uma altura

manométrica total de 109 pés. A seleção deve ser feita de modo que a eficiência seja bem

próxima da máxima eficiência. Então, se a bomba selecionada possui uma eficiência de 81%

operando 790 gpm de água contra uma carga de 109 pés, a sua eficiência operando o líquido

viscoso será:

HP1,33BHP515,03960

90,0100750BHP3960

dHQBHP

:será viscosas,condições nas BHP o E

%5,51635,081C

vis

visvis

visvisvis

viswvis

=×

××=⇒

η××∆×

=

=×=η⇒×η=η η

DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE FUNCIONAMENTO DA BOMBA COM

LÍQUIDOS DE ALTA VISCOSIDADE, QUANDO SE CONHECEM AS

CONDIÇÕES DE FUNCIONAMENTO COM ÁGUA.

EXEMPLO 2.5: Dadas as curvas características de uma bomba, obtidas em ensaio com

água, traçar a curva para o caso de um óleo de densidade igual a 0,90 e viscosidade de 1000 SSU na

temperatura de bombeamento.



0,6 x Q(água) 0,8 x Q(água) 1,0 x Q(água) 1,2 x Q(água)DADOS DO CATÁLOGODO FABRICANTEDescarga Q 450 600 750 900Alt. Manométrica ∆H 114 108 100 86Rendimento η 72,5 80 82 79,5Viscos. do líquido 1000 SSU 1000 SSU 1000 SSU 1000 SSUCQ (do gráfico) 0,95 0,95 0,95 0,95CH (do gráfico) 0,96 0,94 0,92 0,89Cη (do gráfico) 0,635 0,635 0,635 0,635Q x CQ (óleo) 427,5 570 712,5 855∆H x CH (óleo) 109,4 101,5 92 76,5η x Cη (óleo) 46,0 50,8 52,1 50,5Densidade do líquido 0,90 0,90 0,90 0,90Potência (líq. viscoso) 23,1 25,9 28,6 29,4



2.6. Perda de carga variável

Considerando o sistema representado na figura abaixo (o nível do tanque de sucção

permanece constante).

(nível constante)

V

As curvas do sistema e bomba estão representadas abaixo:

Sistema

Bomba

∆H

Q

Para posições da válvula V mais fechada, teremos para uma mesma vazão perdas de carga

maiores ao passo que o termo:

SDSD ZZPP

−+γ−

permaneça constante.



h1

h2

Sistema

SDSD ZZPP

−+γ−

Q

∆H

Isto significa a existência de várias curvas, cada uma representando uma situação de perda de

carga maior para uma determinada vazão, com o mesmo ponto de interseção com o eixo ∆H

para Q = 0.

∆H

Q

Válvula V na posição mais fechada

Válvula V toda aberta

2.7. Altura estática variável

Analisando agora como se comporta a curva do sistema para o caso de ter-se variação dos

níveis de sucção e/ou descarga. Considerando o caso abaixo:



ZS

(nível constante)cba

ZaZb

Zc

nível variável

À medida que o nível no tanque de descarga varia tem-se uma variação no termo ZD - ZS, o

que significa a existência de várias curvas se deslocando na direção vertical do gráfico

∆H x Q.

Obs.: para uma dada vazão, a perda é a mesma, por isso as curvas deslocam-se na vertical e

são paralelas umas às outras.

(c)

(b)

(a)

Zc- ZSZb- ZS

Za- ZS

∆H

Q

fSDSD hZZPPHAMT +−+

γ−

=∆=

0



fSccc

fSbbb

fSaaa

hZZHAMThZZHAMThZZHAMT

+−=∆=+−=∆=+−=∆=

2.8. Associação de bombas

Dois tipos de associação podem existir:

- Em série (altura manométrica exigida por um sistema for muito elevada)

- Em paralelo (vazão exigida por um sistema for muito elevada)

O uso de bombas em associação oferecem maior flexibilidade e segurança operacional.

2.8.1. Bombas em série

Neste caso a descarga de cada bomba é ligada à sucção da seguinte, de modo que a

vazão do sistema associado é limitada pela bomba de menor vazão, ou, no caso de bombas iguais,

a vazão do sistema será igual à vazão de uma bomba enquanto que a altura manométrica

desenvolvida será a soma da altura manométrica desenvolvida por cada unidade. Uma bomba de

vários estágios funciona como uma associação de bombas em série.

Analisando as alturas manométricas desenvolvidas em termos das pressões de descarga e

sucção de cada bomba e desprezando a perda de carga entre uma bomba e outra, temos:

12

P1

P2

P3 Q



série. em conjunto do HPP

PPPPPPHH :Somando

Z) odesprezand ( PPH

Z) odesprezand ( PPH

13

13231221

232

121

∆→γ−

γ−

=γ−

+γ−

=∆+∆

∆γ−

=∆

∆γ−

=∆

Como a vazão através da bomba 1 é a mesma da bomba 2 podemos a partir das curvas individuais de

cada bomba, determinar a curva ∆H x Q para a associação.

∆H

12

H1

H2

Q

HT

Curva daassociação Curva do sistema

Ponto de trabalho: Q, HT

A bomba (1) irá operar com Q, H1

A bomba (2) irá operar com Q, H2

HT = H1 + H2

2.8.2. Bombas em paralelo

Esta associação é usada quando a vazão exigida for muito elevada. Para tal sistema a curva

∆H ‘versus’ Q pode ser determinada da seguinte maneira.

Considerando o sistema:



1

2

QQ

Q1

Q2

P1

P2

Desprezando as perdas de carga nos trechos individuais pode-se escrever para cada bomba:

QQQ HH:bombas as ambas a comuns são P e P Como

PPH,PPH

2121

21

122

121

=+∆=∆

γ−

=∆γ−

=∆

Da mesma maneira como foi feito para bombas em série, podemos partir das curvas

individuais e das relações acima obtidas, chegar à curva ∆H x Q para a associação.

Curva do sistema

Curva da associação

∆H

QQ1 Q2 QT

Ponto de trabalho

Pto. de trabalho caso sóa bomba 2 opere

Pto. de trabalho caso sóa bomba 1 opere

(1) (2)

H

Ponto de trabalho: QT, H



A bomba (1) irá operar com: Q1, H

A bomba (2) irá operar com: Q2, H

QT = Q1 + Q2

Observação: esta análise não pode ser feita no caso das sucções serem independentes.

1

2

Q

Q1

Q2

2.8. Estudos de casos especiais

I) Bomba enchendo um reservatório, havendo uma descarga livre intermediária na linha

de recalque

Suponhamos uma instalação de bombeamento do reservatório B. No recalque existe uma

derivação de onde se pretende sangrar uma descarga Q2 = 5 l/s.

Traçamos primeiramente a curva característica para o trecho 1 (curva c1). Marcamos a

descarga Q2 a partir do eixo das ordenadas e obtemos o ponto D. A partir deste ponto,

traçamos a curva c3 do trecho 3 do encanamento. Deslocamos, na vertical, o ponto D para D’

sobre a curva c1 e traçamos a partir da curva c1 a curva (c1 + c3) cujas ordenadas são (J1 + J3).

Obteremos em P o ponto de funcionamento. Por ele, tracemos a ordenada PE. Ficarão

determinadas as descargas Q1 (total) = 12,5 l/s e Q3 (no reservatório B), igual a 7,5 l/s, uma

vez que Q2 = 5 l/s já era conhecido.



Figura 2.8

II) Encanamento de recalque alimentando dois reservatórios*

III) Duas bombas em paralelo, em níveis diferentes*

* Macintyre, A.J., Bombas e instalações de bombeamento, Editora Guanabara, Segunda edição, 1987. pg. 188 -192.



ENG184 – Operações Unitárias I

Exercícios:

1. A água deve ser bombeada de um rio para um tanque como mostra a figura. Uma bomba

centrífuga com as características abaixo deve ser usada:

Q (gpm) 0 20 40 60 80 100 120 140 160

H (ft) 280 260 220 160 110 63 28 10 5

η (%) 0 45 60 60 56 50 43 37 30

a) Qual a vazão esperada?

b) Qual o consumo de energia?

75 ftTubulação de descargaØ = 3”sch 40ΣL = 700 ft (incluindoo comprimento equiva-lente)

Tubulação de sucçãoØ = 3”sch 40ΣL = 180 ft (incluindoo comprimento equivalente)

10 ft



Q H η Re e/D f (A-24) hL H GPM ft % Moody ft ft

0 280 0 0,000 0,0006 0 65,000000020 260 45 17419,451 0,0006 0,0270 1,0874018 66,087401840 220 60 34838,903 0,0006 0,0240 3,8663174 68,866317460 160 60 52258,354 0,0006 0,0230 8,3367470 73,336747080 110 56 69677,805 0,0006 0,0220 14,1764973 79,1764973100 63 50 87097,257 0,0006 0,0210 21,1439235 86,1439235120 28 43 104516,708 0,0006 0,0210 30,4472499 95,4472499140 10 37 121936,159 0,0006 0,0205 40,4553737 105,4553737 160 5 30 139355,611 0,0006 0,0200 51,5508993 116,5508993

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Q (GPM)

H, H

sist

,

HEficiênciaH (sistema)



2. Abaixo tem-se um sistema onde esta instalada a bomba com as características indicadas na página

seguinte. Determinar o tempo necessário para se encher o reservatório com água a 25oC.

3 m

Nível constante∅ = 3” sch 403,068”IDΣL = 10 m

16 m∅ = 2” sch 402,067”IDΣL = 100 m

Reserv.17 m

2 m

∅ = 4 m

40

30

20

10

0

20 40 60 80 100 120 Q(gpm)

654321

∆H (m)

40

70 60 50

SCS (m)



A B C D E F G H I J 1Q (GPM) Q(m3/s) Re1 (e/D)1 f1 (A-24) Re2 (e/D)2 f2(A-24) hf H 2

0 0 0 0,0006 0 0,0009 0 13,000 320 0,0012616 20567,80 0,0006 0,027 30518,70 0,0009 0,025 0,836 13,836 440 0,0025232 41135,61 0,0006 0,024 61037,41 0,0009 0,023 3,077 16,077 560 0,0037848 61703,41 0,0006 0,022 91556,11 0,0009 0,022 6,617 19,617 680 0,0050464 82271,22 0,0006 0,021 122074,82 0,0009 0,0215 11,493 24,493 7100 0,0063080 102839,02 0,0006 0,0205 152593,52 0,0009 0,021 17,540 30,540 8120 0,0075696 123406,83 0,0006 0,0205 183112,23 0,0009 0,0205 24,665 37,665 9

altura do tanque de 0 a 2 m

altura do tanque = 19 m Q (GPM) H

0 30,000 20 30,836 40 33,077 60 36,617 80 41,493 100 47,540 120 54,665

teste para ver se ocorre cavitação Q (GPM) NPSHd

0 13,000 20 12,988 40 12,956 60 12,909 80 12,846 100 12,765 120 12,662



I4

=0.0826*POTÊNCIA(B4,2)*(E4*10/POTÊNCIA(0.0779,5)+H4*100/POTÊNCIA(0.0525,5))

+=

52

2251

112f

DLf

DLf

Q0826,0h

- Programar apenas uma célula; marcar esta célula;- utilizar o comando Copiar do menu editar;- marcar outras células da coluna;- utilizar o comando colar do menu editar; - resultado: as células coladas darão o resultado automaticamente.

funções: comando f x do menu



3. Um cano tanque deve ser esvaziado de 10000 gal de benzeno a 80oF em 3h. A bomba centrífuga

disponivel tem as seguintes características:

Q

gpm

Q

m3/h

H

ft

H

m

η

%

0 0 110 33 0

20 4,5 106 31,8 29,2

40 9 90 27 40

60 13,5 63 19 45

80 18 41 12,3 47

100 22,5 22 6,6 48,3

120 27,2 12 3,6 46,5

140 32 7 2,1 40

a) A bomba é satisfatória para o serviço ?

b) Quanto tempo levará para esvaziar o caminhão?

Ø = 20 ft

6”

4 ft

15 ft

35 ft Ø=3” sch 40+ 3J 90o + 1 válvula gaveta

50 ft

15 ft

110 ft Ø=3” sch 40+ 4J 90o + 1 válvula gaveta

6,5 ft



Para zs=4.5ft Q H Eficiência Re e/D f hf Hsist

GPM ft % ft ft 0 110 0,00 0,00 0,0006 0,0000 45,5000 20 106 29,20 31888,00 0,0006 0,0250 0,2400 45,7400 40 90 40,00 63776,00 0,0006 0,0220 0,8448 46,3448 60 63 45,00 95664,00 0,0006 0,0210 1,8144 47,3144 80 41 47,00 127552,00 0,0006 0,0205 3,1488 48,6488 100 22 48,30 159440,00 0,0006 0,0200 4,8000 50,3000 120 12 46,50 191328,00 0,0006 0,0195 6,7392 52,2392 140 7 40,00 223216,00 0,0006 0,0190 8,9376 54,4376

Para zs=10.5 ft Q Hsist

GPM ft 0 39,5000 20 39,7400 40 40,3448 60 41,3144 80 42,6488 100 44,3000 120 46,2392 140 48,4376



0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Q (GPM)

H, η

, Hsi

st

HEficiênciaHsist (zs = 4.5ft)Hsist (zs = 10.5 ft)

η = 47 %

Compressores 2A.1


2A - COMPRESSORES:

Os compressores visam conseguir que a pressão do gás venha a alcançar uma pressão

consideravelmente maior do que a pressão atmosférica.

Conforme a pressão pi (pressão inicial) e pf (pressão final) e a pressão efetiva

ifef ppp −= (1)

podemos ter:

a) Bombas de vácuo: pef < 0

b) Ventiladores: pef > 0 e da ordem de alguns cm de coluna d’água.

c) Sopradores: pef > 0 até cerca de 0,2 kgf/cm2

d) Compressores: pressões de 0,2 a 30 kgf/cm2

e) Supercompressores: pressões acima de 30 kgf/cm2

Os compressores se classificam em:

a) Compressores de deslocamento positivo:

O gás é admitido em uma câmara de compressão, que é, por isso, isolada do exterior. Por meio da

redução do volume útil da câmara sob a ação de uma peça móvel, alternativa ou rotativa, realiza-

se a compressão do gás. Quando a pressão na câmara atinge valor compatível com a pressão no

tubo de descarga, abre-se uma válvula ou uma passagem, e o gás da câmara é descarregado para o

exterior. A válvula nos compressores alternativos é desnecessária.

b) Compressores dinâmicos (centrífugos):

O gás penetra em uma câmara onde um rotor em alta rotação comunica às partículas gasosas

aceleração tangencial e, portanto, energia. Através da descarga por um difusor, grande parte da

energia cinética se converte em energia de pressão, forma adequada para a transmissão por

tubulações a distâncias consideráveis e à realização de propriedades específicas.

Compressores 2A.2


Figura 1. Compressor de ar de um estágio e pistão de duplo efeito. Este modelo se faz em diversos tamanhos, até o que tem o cilindro de 14 in e golpe de pistão de 11 in, capaz de fornecer 521 ft3/min a 100 psi, que é a pressão máxima atingível. O cilindro tem uma camisa de água, para remover o calor da compressão. A unidade é operada, na maioria das aplicações, por uma correia motriz ligada a um motor.

Figura 2. Compressor centrífugo multistágio.

Compressores 2A.3


2A.1. Compressão

Para um gás ideal numa evolução isentrópica adiabática, isto é, sem troca de calor com o

exterior.

ctep =ρ γ− (2)

( ) cteTp 11 =γ−− (3)

v

p

cc

cte volumea específicoCalor cte pressão a específicoCalor

==γ (4)

γ é uma constante que depende da massa e natureza do gás.

gás γ ar 1,40metano 1,31SO2 1,29etano 1,20N2 1,40

Quando a pressão de um fluido compressível aumenta adiabaticamente, a temperatura do fluido

também aumenta → trabalho de compressão é maior do que num processo isotérmico.

A relação entre as temperaturas de entrada e saída do compressor é obtida da equação (3)

γ−

=

11

a

b

a

bpp

TT

(4)

onde: Ta, Tb = temperaturas absolutas de entrada e saída, respectivamente.

Pa, pb = pressões de entrada e saída, respectivamente.

Para um determinado gás, a razão de temperatura aumenta com o aumento na razão de

compressão pb/pa.

Se a compressão é menor que 3 ou 4 a temperatura adiabática não aumenta muito.

Compressores 2A.4


Se a compressão é maior que 10, a temperatura isentrópica torna-se excessiva. Como o

compressor ideal não possui trabalho de fricções, o calor gerado pelas fricções é também

absorvido pelo gás. Desta maneira é necessário resfriar o gás através de camisas com água fria ou

refrigerantes. Neste caso a temperatura de saída pode se aproximar da temperatura de entrada e a

compressão será isotérmica.

2A.2. Equações para compressores

1. Devido à mudança na densidade durante o escoamento compressível, a forma integral da

equação de Bernoulli, é inadequada.

2. Em sopradores e compressores as energias mecânica, cinética e potencial não mudam

apreciavelmente.

3. A suposição de que o compressor não possui fricção, o rendimento η = 1,0 e hf = 0.

Com estas simplificações temos que a forma diferencial da equação de Bernolli é:

ρ=

pddW (5)

A integração da equação (5) entre a pressão de sucção pa e a descarga pb da o trabalho de

compressão de um gás ideal sem fricção.

∫ ρ= b

a

p

pdpW (6)

A integral da equação (6) é avaliada pelo caminho seguido pelo fluido na máquina a partir da

sucção a descarga. O procedimento é o mesmo para compressores recíprocos, deslocamento

positivo, rotatório ou centrífugo.

2A.2.1. Compressão adiabática

Para unidades não resfriadas, o fluido segue um caminho isentrópico.

p p

ou pp :Como 1

1a

a

a

a γγγγ

ρ=ρ

ρ=

ρ (7)

Substituindo a equação (7) na equação (6), fica:

Compressores 2A.5


−

−γγ

=

−

ρ−γ

γ=

γ−γ−

1pp

MRT

11

ppp

1W

11

a

ba11

a

b

a

a (8)

Onde: R = 8314,3 J/kg mol⋅K (SI)

R= 1545,3 ft.lbf/lb mol⋅°R (English units)

pb/pa = razão de compressão.

2A.2.2. Compressão isotérmica

Quando o resfriamento durante a compressão é completo, a temperatura é constante e o

processo é isotérmico. A relação entre a pressão e a densidade, fica:

p p

ou pp

a

a

a

a ρ=ρ

ρ=

ρ (9)

a

ba

a

b

a

app

lnM

RTpp

lnp

W =ρ

= (10)

O trabalho isotérmico (γ = 1) é menor que o trabalho adiabático (γ > 1)

2A.2.3. Compressão politrópica

Com compressores grandes não isotérmicos e nem adiabáticos, vale a relação:

p p

ou pp n1

n1a

ana

an

ρ=ρ

ρ=

ρ (11)

onde n é constante.

( )( )ab

abpln

plnn

ρρ

= (12)

Para calcular a potencia do compressor quando a eficiência é η,

Compressores 2A.6


η=

WmP (13)

onde: P = W, m = (g do gás)/s e W = J/g.

EXEMPLO 1: Compressão do metano

Um compressor de um estágio comprime 7,56 x 10-3 kg mol/s de gás metano a 26,7o C e 137,9

kPa abs para 551,6 kPa abs.

a) Calcular a potencia requerida se a eficiência mecânica é 80 % e a compressão é

adiabática.

b) Repetir, mas sob condições isotérmicas.

EXEMPLO 2: Um compressor de efeito simples fornece 0,1 m3/s de ar (a P.T.N.) comprimido a

380 KN/m2, a partir de 101,3 KN/m2, pressões absolutas. Se a temperatura da sucção for de 289

K, o curso de 0,25 m e a velocidade de 4 Hz. Supor que a compressão e re-expansão são

isentrópicas (γ = 1,4). Qual a potencia teoricamente necessária para compressão?

EXEMPLO 3: Comprime-se ar a 290 K de 101,3 KN/m2 a 2065 KN/m2, pressão absoluta, num

compressor de 2 estágios, que funciona com um rendimento mecânico de 85 %. A relação entre

pressão e volume durante o curso de compressão e expansão do gás na folga é PV1,25 = constante.

O quociente de compressão é o mesmo em ambos os cilindros e pode considerar-se o arrefecedor

entre os estágios como perfeitamente eficiente. As folgas nos dois cilindros são de 4 e 5%,

respectivamente. Calcular:

a) O trabalho de compressão por unidade de massa de gás comprimido.

b) O rendimento isotérmico

c) O rendimento isentrópico (γ = 1,4)

Caracterização da partícula sólida 3.1


3. CARACTERIZAÇÃO DA PARTÍCULA SÓLIDA

Referência: Tópicos Especiais de Sistemas Particulados: Alguns aspectos da separação

sólido- fluido, Giulio Massarani, volume 2, UFSCar, 1986.

3.1. INTRODUÇÃO

O projeto e a análise do desempenho de separação sólido-fluido requer a

caracterização físico-química da fase dispersa bem como o conhecimento da dinâmica de

suspensão.

A tarefa é tão difícil que no estágio atual do conhecimento, o projeto de filtros e

sedimentadores é feito a partir de resultados experimentais alcançados diretamente na

filtração e sedimentação do sistema em estudo e o mesmo ocorre na especificação da

centrífuga e do hidrociclone.

Apesar de todas as dificuldades, o levantamento da dinâmica das partículas sólidas

sempre serve de base ao estudo científico do processo de separação e mesmo tecnológico,

quando se trata de suspensões diluídas.

3.1. TAMANHO DE PARTÍCULA

Os tamanhos de partículas podem ser medidos de várias maneiras:

PARTÍCULAS GRANDES: d > 5 mm, medida diretamente com paquímetro, micrômetro,

picnômetro, etc...

PARTÍCULAS MUITO PEQUENAS: d < 0,04 mm, métodos de medida indireta utilizando

sedimentação, movimento Browniano, etc...

PARTÍCULAS INTERMEDIÁRIAS: entre os tamanhos extremos, à medida mais

conveniente é a análise da peneira.

Para partículas não esféricas, isométricas, três eixos perpendiculares entre si iguais,

costuma-se especificar a partícula de modo:

I) dp= diâmetro da esfera de igual volume que a partícula.

A determinação experimental de dp para partículas não regulares é feita por:

a) Picnômetria : partículas grandes

b) Couter-counter: partículas pequenas



II) d# = diâmetro da peneira (peneiras padronizadas)

Para partículas irregulares, aproximadamente esféricas, a análise de peneira fornece

um valor estimado de dp.

Para partículas regulares, não esféricas, a análise de peneira pode subestimar

(lâminas,discos) ou superestimar (barras) o dp, e em geral, fornece a segunda maior dimensão

da partícula.

III) dst = diâmetro de Stokes (elutriador e sedimentador, cyclosizer)

O diâmetro de Stokes representa o diâmetro da esfera que tem o mesmo

comportamento dinâmico da partícula no movimento lento, isto é, no regime de Stokes.

Como na região de Stokes a velocidade terminal é dada por:

À medida da velocidade terminal das partículas é feita pela pipeta de Andreasen, 1920.

Desta forma o diâmetro de Stokes representa o diâmetro da esfera (mesmo material)

que possui a mesma velocidade terminal da partícula.

ϑt ϑt

IV) da = diâmetro da esfera com a mesma superfície projetada da partícula (técnica de

microscopia ótica)

Superfície projetada A da partícula = π da2/4

Só é possível fazer a conversão de uma dimensão característica para outra, com o

conhecimento da forma da partícula.

( )( )

21

s

tst

2sts

t g18

d18

dg

ρ−ρ

ϑµ=⇒

µρ−ρ

=ϑ



Para partículas de formas conhecidas, valem as seguintes relações:

dst/dp ≅ 0,92

d#/dp ≅ 0,94

da/dp ≅ 1,27

d#/dst ≅ 1,02 ( o diâmetro de peneira para partículas de forma usual é

aproximadamente o diâmetro de Stokes)

3.3. DISTRIBUIÇÃO DE TAMANHOS DAS PARTÍCULAS: ANÁLISE

GRANULOMÉTRICA

A análise granulométrica estuda a composição granular das misturas de partículas,

com a finalidade específica de descrever seu tamanho e superfície.

Os resultados de uma análise granulométrica são representados geralmente por curva

acumulativa da fração em peso, na qual expressa a fração de partículas menores do que um

certo tamanho D (d#, dp, dst, ...) em função desta dimensão das partículas.

1

x

0

D

dD

dx

DistribuiçãoAcumulativa

A partir da curva acumulativa é dificil visualizar a distribuição de tamanhos e por isso

é útil traçar uma curva de tamanhos que é simplesmente a derivada da curva acumulativa e se

obtém portanto, representando graficamente a inclinação da curva:



D

Distribuição defrequênciasdD

dx

Exemplo de construção de curvas, utilizando a análise das peneiras.

Refs. Perry, pag 8-3: Peneiramento através de peneiras padronizadas.

Perry, pag 21-43: Tabela 21-12 – Série de peneiras, norma americana ASTM, E11.61,

e equivalente da série Tyler.

No peneiramento as partículas submetem-se à ação de uma série de peneiras. O

tamanho das partículas que passam por uma peneira de abertura de malha L1 e ficam retidas

em outra abertura L2, é a média aritmética da abertura das malhas L1 e L2.

A seqüência de peneiras é padronizada. A série Tyler Standart é formada por peneiras

com uma razão de abertura entre peneiras subsequentes de 2 (área). A dimensão linear

varia com a razão 4 2 .

A malha de uma peneira é o número de aberturas por unidade linear de comprimento.

Nos países que adotam o sistema decimal, toma-se como unidade linear o centímetro e nos

que adotam o sistema inglês toma-se a polegada.

A forma usual de expressar a análise granulométrica é mostrada na tabela.



SITEMA TYLER

(MESH)

*

DIÂMETRO MÉDIO (D#)

(mm)

*

MASSA RETIDA

(g)

*

FRAÇÃO PODERAL RETIDA

(MRETIDA / MTOTAL)

*

FRAÇÃO PONDERAL DE PARTÍCULAS QUE PASSAM

PELA PENEIRA *

-8 +10 2,03 6 0,03 0,97 -10 +14 1,44 28 0,14 0,83 -14 +20 1,02 50 0,25 0,58 -20 +28 0,718 40 0,20 0,38 -28 +35 0,508 28 0,14 0,24 -35 +48 0,359 18 0,09 0,15 -48 +65 0,254 12 0,06 0,09

-65 +100 0,180 8 0,04 0,05 -100 +150 0,127 6 0,03 0,02 -150 +200 0,090 4 0,02 0,00

TOTAL 200 1,00 * mais utilizado

SITEMA TYLER (MESH)

*

MASSA RETIDA

(g)

*

DIÂMETRO (peneira inferior)

(mm)

% ACUMULATIVA

( > que D#)

*

DIÂMETRO (peneira superior)

(mm)

% ACUMULATIVA

( < que D#)

* -8 +10 6 1,68 (10 mesh) 3 2,38 (8 mesh) 97

-10 +14 28 1,19 (14 mesh) 17 1,68 (10 mesh) 83 -14 +20 50 0,841 (20 mesh) 42 1,19 (14 mesh) 58 -20 +28 40 0,595 (28 mesh) 62 0,841 (20 mesh) 38 -28 +35 28 0,420 (35 mesh) 76 0,595 (28 mesh) 24 -35 +48 18 0,297 (48 mesh) 85 0,420 (35 mesh) 15 -48 +65 12 0,210 (65 mesh) 91 0,297 (48 mesh) 9

-65 +100 8 0,149 (100 mesh) 95 0,210 (65 mesh) 5 -100 +150 6 0,105 (150 mesh) 98 0,149 (100 mesh) 2 -150 +200 4 0,074 (200 mesh) 100 0,105 (150 mesh) 0



X

Dimensão da partícula ouabertura da peneira

Histograma da análisegranulométrica

X

Diâmetro médio dasaberturas

2DDD 21 +=

X

Abertura da peneira(que passou ou quereteve)

MENOR QUE D

MAIOR QUE D

∆X

∆X ∆X



DIÂMETRO MÉDIOS

Com os dados da análise granulométrica definem-se os seguintes médios para uma

população de partícula.

Seja:

xi = fração ponderal relativa ao diâmetro Di

Ni = número de partículas relativa ao diâmetro Di

C = fator tal que CD3 forneça o volume da partícula (C = π/6 para esferas,C = 1 para cubos)

B = fator tal que BD2 forneça a superfície da partícula (B = π para esferas, B = 6 para cubos)

a) Diâmetro médio de Sauter, D

A superfície específica Sw, propriedade importante no escoamento de fluidos através de

meios porosos , é definida como:

m

dDdDdNBD

S 0

2

w

∫∞

=

onde N é o número de partículas de diâmetro D e m a massa do conjunto de partículas. Sendo

dDdX

CDm

dDdN

3sρ

=

resulta

s0sw DC

BdDdDdX

D1

CBS

ρ=

ρ= ∫

∞

D é o diâmetro médio de Sauter,

dDdDdX

D1

1D

0∫∞

=

é comum em análise de peneiras utilizar a forma:



ii #

1

0 #

#

DX

1

dXD11D

∑∫

∆≅=

onde ∆X é a fração em massa das partículas de diâmetro D#.

MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE TAMANHOS

Para fins computacionais torna-se conveniente a representação da análise

granulométrica através de um modelo de distribuição.

Os modelos de distribuição mais comuns são:

I) Modelo Gate-Gaudin-Schumann

KD,KDX

m

<

=

Parâmetros: m > 0 (adimensional)

K = D100 (com dimensão L)

Representação gráfica:

0 < m < 1

m > 1

X

1

K D

- Para m = 1 a distribuição éuniforme

- Nos casos usuais m > 1

- Recai na distribuição RRB paraD pequeno.

Verificação: se os dados da análise granulométrica quando ‘plotados’ na forma ln D ‘versus’

ln X representarem uma reta.



II) Modelo Rosin-Rammler-Bennet

( )nDDe1X ′−−=

Parâmetros: n > 0 (adimensional)

D’ = D63,2 (com dimensão de L)

Representação gráfica:

X

1

0,632

0 < n < 1

n > 1

D63,2 D

A forma em S éverificada para n > 1

Verificação: Reta na representação gráfica ln D ‘versus’

−X11lnln .

III) Modelo log-normal

( )[ ]

( )

( ) ( )∫ −π

=

σ

=

+=

Z

0

2

50

dZZexp2Zerf

ln2DDlnZ

2Zerf1X

Parâmetros: ( )aladimension 1DD

DD

9,15

50

50

1,84 ≥==σ

D50 (com dimensão L)



Representação gráfica

X

1

0,841

0,500

0,159

D15,9 D50 D84,1 D

σ > 1Para σ = 1 todas aspartículas tem o mesmotamanho

Verificação: reta na representação gráfica ln D ‘versus’X em escala de probabilidades

Conhecido o modelo da distribuição, o diâmetro médio de Sauter pode ser calculado

através das expressões:

Modelo D

GGS ( )m

k1m − , m > 1

RRB

−Γ

n11'D , n > 1

LN

σ− 2

50 ln21expD



Exemplo 3.1: Os resultados da peneiração de uma areia empregada em construção civil

encontram-se reunidos na tabela 1.

A distribuição log-normal é que melhor representa a análise granulométrica da tabela.

(verificar).

TABELA 1 Massa

Sistema Abertura retida Tyler (no) D#(mm) m(g)

-6 +8 2,380 10,5 -8 +10 1,680 21,9

-10 +14 1,190 34,5 -14 +20 0,841 61,6 -20 +28 0,595 70,5 -28 +35 0,420 77,6 -35 +48 0,297 45,5 -48 +65 0,210 42,1

-65 +100 0,149 30,3 -100 +150 0,105 8,9 -150 +200 0,074 4,1

-200 2,7

Tabela 2 - Análise de peneira (areia) Massa Fração Fração MATLAB

Sistema Abertura retida #D em massa em massa X Tyler (no) D#(mm) m(g) retida ∆X < D#, X Z [1+erf(Z)]/2

-6 +8 2,380 10,5 2,854 0,026 0,974 1,322 0,969 -8 +10 1,680 21,9 2,030 0,053 0,921 1,002 0,922

-10 +14 1,190 34,5 1,435 0,084 0,837 0,676 0,831 -14 +20 0,841 61,6 1,016 0,150 0,687 0,350 0,690 -20 +28 0,595 70,5 0,718 0,172 0,515 0,024 0,514 -28 +35 0,420 77,6 0,508 0,189 0,326 -0,303 0,334 -35 +48 0,297 45,5 0,359 0,111 0,215 -0,630 0,187 -48 +65 0,210 42,1 0,254 0,103 0,112 -0,956 0,088

-65 +100 0,149 30,3 0,180 0,074 0,038 -1,281 0,035 -100 +150 0,105 8,9 0,127 0,022 0,017 -1,606 0,012 -150 +200 0,074 4,1 0,090 0,010 0,007 -1,936 0,003

-200 2,7 pó 0,007 0,000 410,2 1,000



Distribuição acumulativa de tamanhos (areia, tab1)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

D#(mm)

X Experimentallog-normal

MATLAB: >> Z = [1,322 1,002 0,676 0,350...] (enter) >> (1 + erf(Z))/2 (enter)



3.4. FATOR DE FORMA DA PARTÍCULA: ESFERICIDADE

Para partículas não esféricas, isométricas, define-se esfericidade como:

volumemesmo o com ambaspartícula da lsuperfícia áreaesfera da lsuperfícia áreadeesfericida

==φ

φ = 1 para esferas

0 < φ < 1, para todas as outras formas de partículas

A esfericidade foi definida pela primeira vez por ‘Wadell H., Volume, Shape and

Roundness of Roch Particles, J. of Ecology, 40, 443,1932’.

A esfericidade pode ser determinada através da medida da superfície específica que

pode ser feita por diferentes técnicas como o BET, a permeametria e por meio da difusão de

Knudsen.

Como: sp

w DCBSρ

= , onde B = π / φ e C = π / 6 ; portanto:

wsp SD6ρ

=φ

No tratamento de leito fixos e fluidizados o produto dpφ frequentemente aparece e

pode ser tratado como um único parâmetro Dp.

Este produto é o único que define convenientemente as características de tamanho e forma

para uma mistura de partículas de diferentes formas e tamanhos.

A determinação experimental de φ para partículas não regulares é feita através de:

a) medida da superfície específica

b) medida de vazão contra queda de pressão (Q x ∆P) em meio poroso constituido de

partículas.



P1 P2

L

Q

AQ

KLP µ=

∆−

A

onde: ∆P = queda de pressão através do meio poroso, ML-1t-2

L = comprimento do meio poroso, L

K = permeabilidade do meio poroso, L2

µ = viscosidade dinâmica do fluido, ML-1t-1

Q = vazão voumétrica do fluido, L3t-1

A = área da seção transversal do meio poroso, L2

Para obter o valor da esfericidade, faz-se um experimento para a medida da queda de

pressão contra a vazão em um escoamento através de um meio poroso constituido das

partículas em questão:

Coloca-se em gráfico os valores ∆P/L contra

Q/A e a inclinação da reta é o valor µ/K. Com a

permeabilidade K e utilizando aexpressão de

Kozeny-Carman para a determinação da mesma,

obtém a esfericidade φ

ab

Kba µ=

LP∆

Q/A



( )( )

5 , 136

dK 2

32p ≅β

ε−β

εφ=

onde: dp = diâmetro da esfera de igual volume que a partícula, L

φ = esfericidade da partícula, adimensional

totalvolume vaziosde volume

=ε , porosidade do meio, adimensional

β = constante que é função do meio poroso

Dp = dpφ, diâmetro característico da partícula, L

NO QUADRO

Exemplo

Determinar a esfericidade de um cilindro equilátero (D = H)



Exemplos do capítulo 3: caracterização de partícula sólida 1. Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25 g de um pó industrial com

água a 30oC, numa vazão de 37 cm3/min:

1 2 3 4

Elutriador diâmetro massa do tubo recolhida (cm) (g)

1 3,0 4,62 2 4,0 6,75 3 6,0 7,75

4 12,0 4,42

Determinar a distribuição granulométrica (dSt x 100X) sabendo-se que a densidade do sólido é de 1,8 g/cm3. (4, pag3, Massarani).

massa Diâmetro V. terminal elutriador retida (g) ∆X X tubo (cm) (m/s) dst (mm) X * 100

1 4,62 0,1848 0,8152 3 8,72E-04 0,0399 81,5200 2 6,75 0,2700 0,5452 4 4,91E-04 0,0299 54,5200 3 7,75 0,3100 0,2352 6 2,18E-04 0,0199 23,5200 4 4,42 0,1768 0,0584 12 5,45E-05 0,0100 5,8400 1,46 0,0584 25 1,0000

F

S



curva de distribuição granulométrica

y = -3E+06x3 + 241248x2 - 3415,6x + 18,8R2 = 1

0102030405060708090

100

0,000 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050

dst (mm)

100

X

2. Uma amostra da barita foi analisada no Coulter Counter (fornece, como dimensão

característica, o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula, dp):

dp(µ) 8,2 13,0 15,7 18,2 22,1 26,7 32,6 100 X 10 20 30 40 50 60 70

Onde X é a fração em massa de partículas de diâmetro < dp. Com esta mesma barita foram conduzidos ensaios de permeametria e determinada a superfície específica pelo método da difusão de Knudsen. a) Permeametria

Resultados dos ensaios de queda de pressão e vazão conduzidos com ar a 25oC e 1 atm numa célula de 5,2 cm de altura e 3 cm de diâmetro, porosidade da amostra c = 0,422:

Q (cm3/min) 12,3 15,1 20,5 25,3 29,2 ∆p(cm H2O) 19,1 23,2 31,9 39,0 45,3



b) Medida da superfície específica pelo método da difusão de Knudsen, através de aparelhagem montada no laboratório de Sistemas Particulados da COPPE/UFRJ (N.G.Stanley-Wood, Powder Technology 21, 97, 1978):

gm0058,01454,0S 2

w ±=

A densidade de barita é 4,10 g /cm3.

Determinar a esfericidade φ das partículas de barita a partir das seguintes equações que relacionam este fator de forma com os resultados da permeametria e com o valor da superfície específica da amostra.

( )( )2

32p

1150

dk sendo ,

AQ

kLp

ε−

εφ=

µ−=

∆

( )φρ=

psw d

6S

onde: ∆p = queda de pressão na célula; L = altura da célula;

µ = viscosidade do fluido; k = permeabilidade da amostra; Q = vazão de fluido que escoa pela célula; A = área da seção transversal da célula;

pd = diâmetro médio de Sauter baseado no diâmetro da esfera de igual volume que a

partícula, ∫1

0 pdX

d11

ε = porosidade da amostra; ρs = densidade da partícula sólida.



dp (µ) X ln(dp) ln X ln(1/1-X) ln(ln(1/1-X)) X 8,2 0,1 2,1041 -2,3026 0,1054 -2,2504 0,1 13,0 0,2 2,5649 -1,6094 0,2231 -1,4999 0,2 15,7 0,3 2,7537 -1,2040 0,3567 -1,0309 0,3 18,2 0,4 2,9014 -0,9163 0,5108 -0,6717 0,4 22,1 0,5 3,0956 -0,6931 0,6931 -0,3665 0,5 26,7 0,6 3,2847 -0,5108 0,9163 -0,0874 0,6 32,6 0,7 3,4843 -0,3567 1,2040 0,1856 0,7

dp (µ) X ∆X ∆X/dp

32,6 0,7 0,3000 0,0092025Q (cm3/min) ∆P (cm água) 26,7 0,6 0,1000 0,0037453

12,3 19,1 22,1 0,5 0,1000 0,004524915,1 23,2 18,2 0,4 0,1000 0,005494520,5 31,9 15,7 0,3 0,1000 0,006369425,3 39,0 13,0 0,2 0,1000 0,007692329,2 45,3 8,2 0,1 0,2000 0,0243902

TOTAL 1,0000 0,0614191 Diâmetro de Sauter 16,281569

∑

∆=

p

p

dX

1d

y = 1,5481xR2 = 0,9998

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

50,0

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0

Q (cm3/min)

P ( c

m á

gua)



0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0

dp (m)

X

D15,9

D50 D63,2

LOG-NORM A L

y = 0,458x - 0,921

R2 = 0,9687

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

ln dp

X

GGS

y = 1,4583x - 5,2906

R2 = 0,9772

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

ln dp

ln X

RRB

y = 1,8219x - 6,072

R2 = 0,9916

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

ln dp

ln(ln

(1/1

-X))



Exercícios

1) Uma amostra de areia (243,1g) apresentou a seguinte análise de peneiras

Sistema Massa Tyler retida

(mesh) (g) +8 12,6

-8 +10 38,7 -10 +13 50,0 -14 +20 63,7 -20 +28 32,5 -28 +35 17,4 -35 +48 11,2 -48 +65 7,8

-65 +100 3,7 -100 +150 2,6 -150 +200 1,8

-200 1,1

a) Fornecer gráfico acumulativo D# vs (100X).

b) Verificar se a distribuição granulométrica segue um dos seguintes modelos: Gates-Gaudin-

Schumann, Rosin-Rammler-Bennet e log-normal. Calcular os parâmetros do modelo que

melhor se ajuste às circunstâncias.

c) Calcular o diâmetro médio de Sauter,

∑∫

∆==

i i#

1

0 #

#

DX

1

dXD11D

onde X é a fração em massa das partículas de diâmetro menor que D# e ∆X a fração em

massa das partículas de diâmetro D#.

Resposta: b) melhor modelo: RRB (n = 1,7955 e D’ = 1,601)

c) Diâmetro de Sauter: pelo modelo: 0,801, aproximado: 0,688 usando o pó remanescente

como 0,0370 mm de diâmetro médio.



2) Deseja-se peneirar areia, 4 ton/h, no sistema de peneiras vibratórias abaixo

esquematizado. Deterninar a produção A, B e C em ton/h, sabendo-se que a análise

granulométrica da areia é a mesma do problema 1.

Resp: 1,67 ton/h, 1,87 ton/h e 0,46 ton/h

# 14

# 35 A

BC

3) Na técnica de sedimentação, versão incremental,

( )o

St ccdX =

onde X é a fração em massa das partículas de diâmetro menor que dSt,

( )2

1

sSt tg

h18d

ρ−ρ

µ= ,

sendo co a concentração da suspensão em t = 0 e c a concentração medida no tempo t a

uma distância h abaixo do nível da suspensão da proveta.

h = 25 cm

Medidas realizadas com o auxilio dos raios-γ na sedimentação de uma amostra de barita

(ρs = 4,2 g/cm3) em benzeno a 25oC conduziram aso seguintes resultados:

t(min) 3,77 4,88 6,08 7,43 8,95 10,8 13,2 16,6 31,7

c/co 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Obtenha a análise granulométrica da amostra em termos de dSt vs X.



4) Uma suspensão aquosa de caulim a 25oC apresentou as seguintes velocidades de

sedimentação, v, a diferentes concentrações de sólido, c,

c (g/cm3) 0,056 0,083 0,147 0,193 0,218 0,226

V (cm/min) 4,22 3,37 2,27 1,84 1,55 1,40

a) Determinar, por extrapolação de dados, a velocidade de sedimentação das partículas

de caulim à diluição infinita, v∞;

b) Determinar o diâmetro médio de Stokes, dSt, das partículas de caulim através da

fórmula de Stokes,

( )2

1

sSt g

v18d

ρ−ρ

µ= ∞

onde µ - viscosidade do fluido

ρs – densidade da partícula sólida

g – aceleração da gravidade

A densidade do caulim é de 2,6 g/cm3.

Resp: v∞ =5,78 cm/s (c→0, curva de tendência polinômino do 2ograu do Excel)

dSt =0,00315 mm

5) Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al2O3 em

água, a 25oC:

c (g Al2O3/cm3 de suspensão) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435

v (cm/min) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7

A densidade das partículas é de 4,0 g/cm3 e a esferecidade pode ser estimada em 0,7.

a) Determinar, pela extrapolação de dados, a velocidade terminal das partículas à

diluição infinita e, a partir deste valor, calcular dp (diâmetro da esfera de igual volume

que a partícula);

b) Comparar os resultados experimentais de velocidade de sedimentação em função da

concentração com os valores estimados pelas correlações da literatura. Como estas

correlações se referem às particulas esféricas, caracterizar as partículas através do

produto dpφ.

Dinâmica da partícula 4.1


4. DINÂMICA DA PARTÍCULA

4.1. Formulação básica e equações empíricas para partículas isométricas

Seja uma partícula de massa m, volume V e massa específica ρs movendo-se com a

velocidade ϑ (velocidade do centro de massa da partícula) em um fluido de massa específica

ρ. Seja u a velocidade do fluido. A equação do movimento da partícula é:

( ) lbVdtdm s

rrr

+ρ−ρ=ϑ (1)

onde br

é a intensidade do campo exterior e lr

a força resistiva que o fluido exerce sobre a

partícula (não inclui o empuxo).

No campo gravitacional gb =r

No campo centrífugo ( )rwwbrrrr

××−= ,

onde: wr é a velocidade angular da partícula e

rr

é o vetor posição.

Admitiremos que a partícula apresente “um certo grau de uniformidade” em sua forma,

tornando aceitáveis as seguintes suposições:

a) A posição relativa partícula-fluido não afeta o valor da força resistiva lr

;

b) lr

tem a direção da velocidade relativa ( )ϑ− rru

Dentro destas hipóteses:

ϑ−

ϑ−ρϑ−= rr

rrrr

uuCuA

21l D

2 (2)

onde: CD é o coeficiente de arraste da partícula e A uma área característica a ser definida

(Bird, Stewart e Lightfoot, 1960, pg. 181)



Seja o diâmetro da esfera de igual volume, dp, a dimensão característica da partícula e

seja a área A definida do modo:

4d

A2pπ

= (3)

A medida da velocidade terminal ϑt leva à determinação experimental do coeficiente

de arraste CD, pois resulta das equações (1) e (2):

( ) 2tDs C

2AVg0 ϑ−ρ−ρ= (4)

e portanto: ( )

2t

spD

gd34C

ρϑ

ρ−ρ= (5)

Foi dentro deste procedimento que Pettyjohn e Christiansen (1948) levantaram uma

quantidade substancial de dados sobre o coeficiente de arraste para partículas isoméricas

(aquelas que apresentam 3 eixos perpendiculares entre si iguais, como a partícula esférica,

cúbica, tetraédrica regular, etc...). O resultado é extrapolado comumente para partículas que

apresentam um “certo grau de uniformidade”.

Os problemas de dimensionamento de equipamentos de separação de partículas que

comumente aparecem na engenharia química exigem que se avalie o dp a partir de ϑt ou então

o inverso. No entanto estes cálculos cairiam no processo iterativo, visto que:

( )

ϑ−=µ

ρ=

φ=rruUe

UdRe

Re,fC

p

D

Para fazer o processo iterativo, as relações entre grupos CDRe2 e Re, CD/Re e Re são de

utilidade para o cálculo, respectivamente, da velocidade relativa U e do diâmetro da partícula,

dp, pois:

( )2

s3p2

Dbd

34ReC

µ

ρ−ρρ= (6)



não encerra U

e ( )32

sD U

b34ReC

ρρ−ρµ

= (7)

não contém dp e ambos fazem parte do número de Reynolds:

µ

ρ= pUd

Re (8)

Massarani et al (1996) correlacionou os dados de Pettyjohn e Christiansen usando a

técnica das assíndotas de Churchill (1983). Desta forma, as equações permitem estimar o Re e

a partir do valor deste, pode-se calcular dp e ϑt. As correlações apresentadas nas tabelas 4.1 à

4.3 referem-se à fluidodinâmica da partícula isométrica isolada em fluido Newtoniano.

Embora a tabela 4.2 inclua a partícula esférica, recomenda-se neste caso, para maior precisão,

a utilização da tabela 4.1. A tabela 4.3 fornece diretamente as expressões para a velocidade

relativa fluido-partícula e para o diâmetro da partícula quando prevalece o regime de Stokes

ou de Newton, isto é, quando Re < 0,5 ou 103 < Re < 2 x 105.

Em algumas situações foram levantadas correlações específicas para descrever a

fluidodinâmica da partícula não-isométrica (Concha e Christiansen, 1986), porém, na falta

destas, utilizam-se os resultados relativos à partícula isométrica, caracterizando a forma da

partícula não-isométrica da esfericidade.



Tabela 4.1 – Fluidodinâmica da partícula esférica isolada: correlações de Coelho &

Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn &

Christiansen (1948).

Re < 5 x 104

Descrição n Valor médio e desvio padrão

n1n

n

D 43,0Re24c

+

=

0,63

( )( ) 09,000,1ReRe

cor

exp ±=

n12n2D

n2D

43,0Rec

24RecRe

−−−

+

=

0,95

( )( ) 06,000,1ReRe

cor

exp ±=

n1n

D

2n

D Rec43,0

Rec24Re

+

=

0,88

( )( ) 09,000,1cc

corD

expD ±=

Tabela 4.2 – Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: correlações de Coelho &

Massarani (1996) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948).

0,65 < φ ≤ 1 e Re < 5 x 104

Descrição n Valor médio e desvio padrão

n1

n2

n

1D K

ReK24c

+

=

0,85

( )( ) 13,000,1cc

corD

expD ±=

( )

n1n

D

22n

D1 RecK

RecK24Re

+

=

1,2

( )( ) 10,000,1ReRe

cor

exp ±=

n12n

2

2D

n2D1

KRec

24RecKRe

−−−

+

=

1,3

( )( ) 14,000,1ReRe

cor

exp ±=

K1 = 0,843log10(φ / 0,065), K2 = 5,31 – 4,88φ

µ

ρ= pUd

Re , ( )32

sD U

b34ReC

ρρ−ρµ

= , ( )

2s

3p2

Dbd

34ReC

µ

ρ−ρρ=



Tabela 4.3 – Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: cálculo da velocidade e do

diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, 1948).

0,65< φ≤ 1

Variável

a ser

estimada

Regime de Stokes

Re < 0,5

Regime de Newton

103 < Re< 5x104

cD ReK

24

1

K2

U

( )µ

ρ−ρ

18DbK 2

p1Fs ( ) 21

2F

pFs

K3bD4

ρ

ρ−ρ

Dp ( )

21

1Fs bKU18

ρ−ρµ ( )b4

UK3

Fs

22F

ρ−ρρ

K1 = 0,843log10(φ / 0,065), K2 = 5,31 – 4,88φ

Influência da concentração de partículas

Um grande número de dados experimentais apresentados na literatura evidencia que a

velocidade terminal de uma partícula tem seu valor substancialmente reduzido pela presença

de outras partículas. Esta redução, tanto mais sensível quanto maior a concentração de

sólidos, é da ordem de 5% para concentrações de apenas 2%, como mostra a equação de

Einstein.

v

t

c5,211

+=

νν

∞

onde: υ∞ é a velocidade terminal da partícula isolada e cv a fração volumétrica da fase sólida

na suspensão.

O efeito da presença da fase particulada na fluidodinâmica de suspensões é

comumente expresso através de correlação do tipo (Richardson e Zaki, 1954).

( )ε=ν ∞∞ ,RefU (i)



onde U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula,

uU rr−ν= ,

Re∞ o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada,

µ

ρν= ∞

∞FpD

Re ,

ε, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão,

ε = 1 - cv

As correlações referentes à equação (i) podem ser determinadas através da experimentação

conduzida na sedimentação em batelada e na fluidização homogênea: no primeiro caso U =

ν/ε, onde ν é a velocidade da frente de sedimentação; no segundo caso U = QF/(εA), sendo QF

a vazão de fluido e A a área da seção transversal de fluidização. A experimentação torna-se

imprecisa quando a faixa granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a

concentração de sólidos é reduzida, inferior a 5% em volume, resultando nas duas situações

uma interface fluido-suspensão pouco nítida por problemas de segregação de partículas. A

maioria das correlações apresentadas na literatura referem-se a amostras com partículas

arredondadas, em faixa granulométrica estreita representada por um diâmetro médio que

possivelmente não caracteriza a fluidodinâmica da suspensão. Como conseqüência da

caracterização incompleta do sistema particulado, as correlações da literatura podem diferir

substancialmente entre si.



Tabela 4.4 – Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de supensões

A. Correlação de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas:

( )∞∞ =ε=ν Renn,U n

Re∞ 0,2 0,2 – 1 1 – 500 > 500

n 3,65 1Re35,4 03,0 −−∞ 1Re45,4 1,0 −−

∞ 1,39

B. Correlação Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares(areia, hematita,

itabirito, dolomita e quartzo, 0,47 < φ < 0,80)

700Re5,9,U14,0Re93,5 <<ε=ν ∞∞

−∞

O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte.

C. Correlações empíricas estabelecidas com base nos dados experimentais reunidos por

Concha e Almendra (1978) (Massarani e Santana, 1994)

( ) .95,05,0,29,2exp095,0U,10x2Re

33,035,0B,28,0A

95,05,0,ReA11U,500Re1

19,0,8,38,49,05,0,83,0U,2,0Re

3

96,5

B

94,3

≤ε<ε=ν

>

ε−=ε=

≤ε<+

=ν

<<

<ε<−ε≤ε<ε=

ν<

∞∞

−

−∞∞

∞

∞∞



Figura – Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões:

comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra

(1979).

4.2. Separação sólido-sólido: elutriação

Um elutriador é um tubo vertical através do qual ascende um fluido a uma

determinada velocidade enquanto a mistura sólida que se quer separar é alimentada no topo da

coluna.

Partículas pequenase leves

Partículasgrandes epesadas

água

alimentação As partículas grandes que caem a umavelocidade maior que a de ascençãodo fluido, são coletados na parte inferiorda coluna, enquanto que as partículas menores são carregadas para o topo dacoluna com o fluido.



Deseja-se separar partículas de mesma massa específica e diâmetros d1 e d2

d1 d2

12 ϑt1 = velocidade terminal da partícula 1

ϑt2 = velocidade terminal da partícula 2

Para produzir-se separações adicionais, várias colunas de diferentes diâmetros podem ser

usadas.

Alimentação (partículas)

água Sólidosgrosseiros

Partículasmenos grosseiras

Sólidos finos

Sólidos muitofinos

NO QUADRO

Exemplo 4.1: (problema 2-Massarani pg.16)

Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção de 1 para 4 em peso é

sujeita à elutriação com corrente ascendente de água de 0,5 cm/s. A distribuição

granulométrica dos dois materiais é a mesma:

dp (µ) 20 30 40 50 60 70 80 100

100X 15 28 43 54 64 72 78 88

Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. Dados:

densidade das partículas ρG = 7,5g/cm3 e ρC = 2,7 g/cm3; esfericidade φG = 0,8 e φC = 0,7;

viscosidade do fluido µ = 0,9 cp.



dp 100 X (µ) 20 15 30 28 40 43 50 54 60 64 70 72 80 78 100 88

y = -0,0078x2 + 1,8509x - 19,275R2 = 0,9993

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120

dp

100

X



4.3. Dinâmica da partícula que se desloca em um fluido entre placas paralelas sob a ação

do campo gravitacional

4.3.1. Sedimentador lamelado

obs: comportamento de uma partícula no seio de um fluido escoando entre duas placas

paralelas

sobrenadante

L

x

y

H

θ

ϑr

Largura bg

θ

θ

g gy

gx

θ=⇒=θ

θ=⇒=θ

senggg

gsen

cosggg

gcos

xx

yy

Equação do movimento da partícula:

( ) ( )ϑ−ϑ−ρ+ρ−ρ=ϑ rrrrrr

uCuA21gV

dtdm Ds

Largura B



Desprezando a aceleração da partícula.

Componente x

( ) ( )xxDs uCuA21senVg0 ϑ−ϑ−ρ+θρ−ρ−=

rr (1)

Componente y (obs. fluido na direção x somente, portanto uy = 0)

( ) ( )yDs 0CuA21cosVg0 ϑ−ϑ−ρ+θρ−ρ−=

rr (2)

Rearranjando:

( ) ( )xxDs uuAC21senVg ϑ−ϑ−ρ=θρ−ρ

rr (1A)

( ) ( )yDs uAC21cosVg ϑ−ϑ−ρ=θρ−ρ

rr (2A)

Elevando ao quadrado cada termo das equações (1A) e (2A) e somando:

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )2y

2

D2

xx

2

D

2s

2s

uAC21uuAC

21

cosVgsenVg

ϑ−

ϑ−ρ+ϑ−

ϑ−ρ

=θρ−ρ+θρ−ρ

rrrr

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]2y

2xx

2

D222

s uuAC21cossenVg ϑ−+ϑ−

ϑ−ρ=θ+θ⋅ρ−ρ

rr

( )[ ] 22

D2

s uuAC21Vg ϑ−

ϑ−ρ=ρ−ρ

rrrr

Porque: ( ) ( ) 0u como ,uuu y2

yy2

xx =ϑ−+ϑ−=ϑ−rr

Então: ( ) ( )2y2

xx2

0uu ϑ−+ϑ−=ϑ−rr



Logo:

( )2

D

s4

C2A

Vgu

ρ

ρ−ρ=ϑ−

rr

( )t

21

D

s

CAVg2u ϑ=

ρρ−ρ

=ϑ−rr

• O módulo da velocidade relativa é igual a velocidade terminal da partícula.

Vem da equação (1)

( ) ( )xxDs uCuA21senVg0 ϑ−ϑ−ρ+θρ−ρ−=

rr

( ) ( )yxt

D

s uC

2A

senVgϑ−ϑ=

ρ

θρ−ρ

( )xxt2t usen ϑ−ϑ=θϑ

θϑ−=ϑ senu txx (3)

E da equação (2)

( )y

D

s uC

2A

cosVg0 ϑϑ−−ρ

θρ−ρ=

rr

yt2t cos0 ϑϑ−θϑ=



θϑ=ϑ costy (4)

Analisando as situações físicas.

θ ϑx ϑy

0 ux ϑt Placas horizontais

90o ux - ϑt 0 Fluxo ascendente

270o ux + ϑt 0 Fluxo descendente

CÁLCULO DO MENOR DIÂMETRO DA PARTÍCULA QUE É COLETADA COM

EFICIÊNCIA DE 100%

L

x

y

H

Largura b

Trajetória crítica

• Tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra a direção x a distância L.

( )θϑ−

=

θϑ−

=

ϑ

=ϑ

=

∫∫−−

senuL

H

dysenu

L

H

dy

LLtt

2H

2Htx

2H

2Hx

onde: HBQu =

( )∫∫ ∫∫−− −

ϑ=ϑ=ϑ=ϑ2H

2Hx

2H

2H

2B

2B

dyyH1dydz

HB1dA

A1

Largura B



• Tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção y a

distância H.

θϑ=

cosHt

t

Portanto, para a trajetória crítica:

quedaresidência tt =

θϑ=

θϑ− cosH

cosuL

tt

θ+θ=ϑ

senHcosLuH

t

Conhecendo-se ϑt ( )

crítico,p32s

D dReg34ReC

t

→→ϑρ

µρ−ρ=→

Situação de interesse prático: L>>H (L ≈ 20H)

Sistema lamelado → usualmente: H = ±5cm, θ = 60o

Sistema θ

Contracorrente ~ 60o

concorrente ~ 40o

Resulta para as duas configurações

θ≅ϑ

cosLuH

t o H senθ é desprezivel frente ao L cosθ

HcosLu t θϑ

=∴ , logo



θ

L

Lcosθ

( ) tcosmBLumBHQ ϑθ==

área projetada onde m é o número de lamelas ativas

Lamelas ativas

BLcosθ → área projetadamBLcosθ → total de áreas projetadas das lamelas

ou, de outra forma

projetadat A

Q=ϑ , velocidade terminal da partícula de diâmetro crítico.



NO QUADRO Exemplo 4.2 ( 3-pg16-Massarani) O separador de poeira abaixo esquematizado opera em 3 compartimentos. Estimar a faixa de diâmetros das partículas em cada compartimento. Dados: a) Vazão de gás : 5000 ft3/min (ar a 20oC e 1 atm) b) Massa específica das partículas ρs = 3g/cm3, φ = 0,75.

3 ft 3 ft 3 ft

B = 10 ft

1 ft

L(ft) L (cm) Vt (cm/s) CD/Re Re dp (cm) dp (µ) 3 91,44 84,6760717 0,8075758 7,1161439 0,01260594 126,05941326 182,88 42,3380359 6,4606066 2,1768673 0,00771245 77,12452609 274,32 28,2253572 21,8045474 1,1457116 0,00608874 60,8873571

=POTÊNCIA(POTÊNCIA(24/(0,895*D4);0,6)+POTÊNCIA(1,65/D4;1,2);1/1,2)



Exemplo 4.3 (5-pg17-Massarani) Uma suspensão diluída de cal em água contém areia como produto indesejável. Determinar: a) A capacidade da unidade para a separação completa da areia (m3 de suspensão /h); b) A percentagem de cal perdida na separação da areia. Dados: - Faixa granulométrica da areia: 70 < dp < 250 µ (esfericidade 0,7). - Análise granulométrica das partículas de cal (esfericidade 0,8).

dp(µ) 20 30 40 50 60 70 80 100 100X 15 28 48 54 64 72 78 88

- Densidades de cal e areia, respectivamente 2,2 g/cm3 e 2,6 g/cm3. - Temperatura de operação: 30oC.

produto

alimentação

0,3 m

4 mA largura do tanque é de 3 m



Problema: Suspensão discreta - eficiência de coleta

θ

L

B

H

hy x

Seja conhecida a análise granulométrica das partículas sólidas na alimentação

X = X(D)

Hipóteses:

1) As partículas estão igualmente dispersas no plano x = 0, independente do tamanho.

2) O escoamento do fluido é laminar.

Hh

B

Velocidade média nesta seção

−=

2

Hy

Hyu6u

Perfil parabólicoFox, cap. 8 , 4a edição

∫=h

0h udy

h1u

∫

−=

h

0

2

h dyHy

Hyu6

h1u

h

02

32

h H3y

H2y

h1u6u

−=

−=

Hh

31

21

Hhu6u h

hu=

Velocidade média na seção B x H



3) A partícula movimenta-se no regime de Stokes

( )065,0

log843,0K ,18

DgK 101

2s

1tφ

=µρ−ρ

=ϑ

A eficiência de coleta das partículas de diâmetro D com a trajetória crítica assinalada

na figura é:

( ) áreas) entre (relação BHBhD =η

( )hDt

2HDt

2H

Dt

h

Dt

u

u

21

ucosL

2

ucosL

2H2h

HhD

** ϑ

ϑ=

θϑ

θϑ

===η

Pois, foi visto anteriormente que:

( ) ( )h

DthDt u

cosLh

cosLuh θϑ

=∴θ

=ϑ

Então:

( )

−

==η

Hh

31

21

Hhu12

u*D

DHhD

2

Resultando:

( )2

2

*DD

2123

=ηη− , Função eficiência de coleta

Se 1,2*D

D=η≥

A eficiência para o sedimentador lamelado

- regime de Stokes

- escoamento laminar de fluido

Sendo D* o diâmetro da partícula coletada com eficiência de 50%



Caracterizam completamente o desempenhodo equipamento de separação

OBS.: A velocidade média em H/2 é a mesma velocidade média em toda a seção porque o

perfil é simétrico.

Conhecida a eficiência individual de coleta e a análise granulométrica

X = X(D), pode-se calcular a eficiência global de coleta η .

∫η=η1

0

dX

D* esta relacionado com as propriedades físicas do sistema sólido-fluido, com as condições

de operação e com as dimensões do equipamento de separação.

( )θ

=cosL2uH

V *Dt

e prevalecendo o regime de Stokes:

( ) ( )

( )

( )

21

projetadas1

2s1

projetada

2s1

*Dt

AgK9Q*D

18*DgK

A2Q

18*DgKV

ρ−ρµ

=

µρ−ρ

=

µρ−ρ

=

No caso em que o escoamento do fluido entre as placas paralelas é turbulento:

( )

coleta da eficiência corte de diâmetro *D

2D*D ,*DD5,0 2

→η→

≤=η



CÂMARA DE POEIRA REF.: Perry 5a edição, 20-77 Gupta,S.K., Momentum Transfer Operations, Tata McGRAW-HILL, 1979 pag. 211

A câmara de poeira é, provavelmente, o tipo de equipamento mais simples, para

coletar partículas sólidas.

Consiste de uma câmara, na qual a velocidade do gás é reduzida para facilitar a deposição das

partículas pela ação da gravidade.

Sua construção é muito simples, no entanto sua utilização industrial é limitada para remover

partículas maiores que 25 mesh (43µ). Para remover partículas menores, seria necessário

um tamanho excessivamente grande.

A câmara de poeira é, geralmente, constituída na forma de uma longa caixa retangular

horizontal e vazia, com entrada e saída em lados opostos.

L

B

H

A altura deve ser suficiente para que o fluido não arraste a partícula coletada. De maneira geral <u> não deve exceder 10 ft/s (3,05 m/s). <u>: velocidade do fluido na direção x definindo: tempo de residência: tempo que a partícula gasta dentro da câmara (para percorrer L).



uLtres =

tempo de queda: tempo que a partícula gasta para cair da altura H.

tqueda

Htϑ

=

ϑt = velocidade terminal A condição mais desfavorável para a separação ocorre quando:

tqueda = tresisdência

pois é muito pouco provável que a partícula esteja na altura H da câmara tres = tqueda ⇒ a partícula não chega a cair passa com o gás.

( )

( )D

s

D

st

t

ACgV2

LuH

ACgV2

:Como

HuL assim

ρρ−ρ

=

ρρ−ρ

=ϑ

ϑ=

Diâmetro crítico

Hzy

k

Caminho z → partícula arrastada tres < tqueda caminho y → ponto crítico tres = tqueda

tres = tqueda → mede o diâmetro crítico da partícula que fica na câmara.



Partículas com d < dcrítico são arrastadas Partículas com d < dcrítico sedimentam provavelmente dz < dy < dk Se a partícula estiver a uma altura menor que H sedimenta ( a probabilidade de

sedimentar é bem maior daquela que esta numa altura H )

H

Muito menos provável de sedimentar

Para o regime de Stokes (Re < 0,4)

( ) ( )

( )( )BHQuBHuAuQ câmara na vazãoa Como

gdH18

uL

18gd

LuH

18gd

s2p

s2ps

2p

t

=⇒===

ρ−ρµ

=

µ

ρ−ρ=∴

µ

ρ−ρ=ϑ

( )

( )

21

câmarasp

s2p

gVHQ18d

câmara da volume LBH :onde

QLBH

gdH18

:Logo

ρ−ρµ

=

=

=ρ−ρ

µ

O mesmo procedimento pode ser feito para outros regimes (utiliza-se outra ϑt), no entanto, de

dados práticos sabe-se que a câmara recomendável, para a separação da partícula com dp > 50

µ, a velocidade do fluido <u> não ultrapassa 10 ft/s (3,05 m/s). Nestas condições:



Stokes. de região na enquadra ,4,0ud

Re pp ∴<

µ

ρ=

SEPARAÇÃO SÓLIDO - FLUIDO: CENTRIFUGAÇÃO

Introdução:

Vamos examinar o comportamento de uma partícula no seio de um fluido escoando

entre 2 placas paralelas:

xy

u

Vimos que:

( ) ( )ϑ−ϑ−+ρ−ρ=ϑ rrrrrr

uACu21gV

dtdm Ds

Abrindo em seus componentes e lembrando que uy = 0, vem:

( ) ( )xxDxsx uACu

21gV

dtdm ϑ−ϑ−ρ+ρ−ρ=ϑ rr

0

( ) ( )yDysy ACu

21gV

dtd

m ϑ−ϑ−+ρ−ρ=ϑ rr

Desprezando a aceleração da partícula, vem da 1a

xxu ϑ= A partícula na direção do escoamento do fluidotem a mesma velocidade que a velocidade do fluido

Resulta da 2a equação:

( ) 2yDys AC

21gV0 ϑρ−ρ−ρ=

( ) ( )

( ) ( )2yy2

xx

yyxxyxyx

uuuou

jjiiujijuiuu:.Obs

ϑ−+ϑ−=ϑ−

ϑ−=ϑ−ϑ−=ϑ+ϑ−+=ϑ−

rr

rrrrrrrrrr



( )D

sy AC

gV2ρ

ρ−ρ=ϑ Na direção y, a velocidade da partícula

é a velocidade terminal.

Os mesmos resultados ocorrem no campo centrifugo.

Seja Ω a velocidade angular da carcaça.

rϑ θ

ϑ r ur = 0 → ur ≠ 0 se o cesto for perfurado

uθ = rΩ (Bird pg. 97)

( ) ( )θθθθ ϑ−ϑ−ρ+ρ−ρ=

ϑ uACu21bV

dtdm Ds

rr

( ) ( )rrDrsr uACu

21bV

dtdm ϑ−ϑ−ρ+ρ−ρ=ϑ rr

0

0

2b

2

rθϑ= Aceleração centrífuga

Desprezando a aceleração, vem:

θθ =ϑ u A partícula tem na direção de escoamentodo fluido, a mesma velocidade que o fluido.

( ) ( )D

2s

D

rsr

2222

r

ACrV2

ACbV2e

rrr

2b

ρΩρ−ρ

=ρ

ρ−ρ=ϑ

Ω=Ω

=ϑ

= θ

Velocidade terminal no campo centrifugo

NO QUADRO:

EXEMPLO 4.3: Qual o tempo necessário para a partícula ir de R0 a R1? Admitir regime de

Stokes e partícula esférica.



CENTRIFUGAÇÃO : Princípios gerais

(a) (b) (c)

Líquido

Sólido

Líquido Sólido

Líquido

Sólido

(a) vaso cilíndrico estacionário que contém certa quantidade de líquido e sólidos (com massa específica maior que o líquido). Com o vaso não está em rotação, a superfície líquida é horizontal e após certo tempo quaisquer sólidos pesados se acumulam no fundo do vaso.

(b) O vaso gira em torno do seu eixo vertical. Líquidos e sólidos ficam agora sujeitos a ação

da gravidade que age para baixo, e da força centrífuga, que age horizontalmente. Num

centrifugador industrial, a força centrífuga é tão grande que a da gravidade pode ser

desprezada. Sob a ação da força centrífuga, a camada líquida assume a posição de

equilíbrio, com uma superfície interna quase vertical. As partículas sólidas se depositam

horizontalmente para fora e são pressionadas contra a parede vertical do vaso.

(c) A parede do vaso é perfurada e revestida com um meio filtrante, como uma tela de arame

fino. O líquido pode escoar livremente para fora, mas os sólidos são retidos.



EQUIPAMENTOS DE SEDIMENTAÇÃO CENTRÍFUGA

CENTRÍFUGATUBULAR

CENTRÍFUGAMULTICÂMERA

CENTRÍFUGADE CESTO

NÃO PERFURADO

CENTRÍFUGADE TRANSP.

EM CARACOL

CENTRÍFUGADE

DISCO

TIPO QUERETEM

SÓLIDOS

TIPO QUEDESCARREGA

SÓLIDOS

TIPOBOCAL

OPERAÇÃO EM BATELADA(DESCARGA NANUAL)

OPERAÇÃO SEMI-CONTÍNUA, DESCARGA

INTERMITENTE (FREQUEN-TEMENTE AUTOMÁTICA)

OPERAÇÃO EDESCARGACONTÍNUAS

OPERAÇÃOBATELADA

DESCARGAINTERMITENTE

DESCARGACONTÍNUA

Centrífuga tubular (batelada)

A alimentação entra pelo fundo do vaso, sob pressão através de um bocal de

alimentação estacionário. O líquido sobe em forma anular pelas paredes do vaso e é

descarregado no topo. Os sólidos se movem com o líquido para cima e tem, ao mesmo tempo,

uma velocidade radial dependente de seu tamanho e do seu peso, no campo de um força

centrífuga. Se a partícula entercepta a parede do vaso ele é removido do líquido.

A espessura da camada líquida é controlada pela posição radial do orifício de

drenagem no topo do vaso. Os sólidos que sedimentam nas paredes do vaso são removidos

manualmente quando a quantidade coletada já é suficiente para prejudicar a qualidade de

clarificação ou de separação. Como a limpeza do vaso requer 0,25 homens-hora, a principal

utilidade do equipamento é no tratamento de sistemas que contém não mais que 1% de sólidos

sedimentáveis.



Motor

Líquido leve

Líquidopesado

Cesto giratório

Alimentação

Sólidos

Centrífuga tubular

Centrífuga de disco (batelada)

A alimentação é feita no fundo do vaso e sobe através de uma pilha de discos, na

forma de troncos de cones, espaçados de 0,015 a 0,125 in. Cada disco tem vários orifícios

que formam vários canais para a ascensão do líquido, quando os discos estão montados no

vaso. A pilha pode conter 100 ou mais discos.

A finalidade principal dos discos é reduzir a distância de sedimentação, pois uma

partícula sólida percorre apenas uma pequena distância até atingir a face inferior de um disco.

Uma vez aí, ela esta removida do líquido, pois sua chance de reentrar no efluente é pequena.



No entanto, a partícula continua a se mover para fora, em virtude da força centrífuga, até ser

depositada na parede do vaso.

Os sólidos acumulados devem ser removidos periodicamente de forma manual, como

nas centrífugas tubulares. Isto requer a paralisação da unidade, a desmontagem do vaso e a

remoção da pilha de discos.

O líquido pode ser descarregado do vaso por orifício de trasbordamento, como na

centrífuga tubular.

Os centrifugadores a discos tem diâmetros de 4 a 30 in e desenvolvem uma força 4000

a 14000 vezes maior que a gravidade.

Sua eficácia é quase a mesma que a de uma centrífuga tubular apesar da menor força

centrífuga. Comparada a uma centrífuga tubular são, com alguns sólidos, mais eficazes.

Alimentação

Overflow

Sólidos

Diagrama esquemático da seção transversal de uma centrífuga de disco



Centrifugador a disco com descarga periférica (contínuo)

Alimentação

Overflow

Underflow

Diagrama esquemático de uma centrífuga de disco com descarga periférica

A altura vertical relativamente pequena torna possível reclinar as paredes do vaso de

modo a dirigir os sólidos para uma seção anular na periferia. Daí os sólidos podem ser

descarregados continuamente através de bocais.

O desempenho ótimo é obtido quando o diâmetro da pilha de discos é ¾ do diâmetro

interno máximo do casco do vaso.

Alimentação

Overflow

Descarga intermitente

Mecanismo para a aberturada porta de descarga

Diagrama esquemático de uma centrífuga de disco com descarga intermitente



Ejeção de sólidos intermitente: Um número de portas periféricas, as quais são fechadas com válvulas, estas são controladas por ‘timer’ ou por um sistema de gatilho que opera automaticamente dependendo da quantidade de sólido formada.

Centrifugador decantador com transportador helicoidal (caracol)

Constitui:

⇒ Vaso cilíndrico

⇒ Transportador – parafuso interno que se ajusta estreitamente ao interior do vaso, girando 1

a 2 rpm menor que o vaso.

⇒ A alimentação é injetada pelo parafuso central e entra no vaso, mais ou menos na região

mediana.

⇒ As forças centrífugas forçam a fase sólido e líquido contra as paredes do cilindro. Os

sólidos concentram-se contra as paredes e também no líquido que fica retido no vaso na

posição dos bocais de descarga do filtrado.

⇒ Um transportador parafuso raspa o sólido da parede do cone, o qual é lavado e

descarregado pela parte estreita da seção cônica do vaso.

⇒ Força centrífuga até 3000 vezes a força da gravidade.

⇒ Velocidade até 6000 rpm

⇒ Q até 50 ton/h de sólido.

⇒ Separa partículas até na faixa de 1 micron.

Centrífuga com transportador de rosca (caracol : Scroll- type)



Fatores que afetam a escolha do equipamento centrífugo (Svarovsky)

Desempenho de vários equipamentos de sedimentação centrífuga.

O equipamento pode ser localizado na figura acima em sua região de operação normal

(região de maior utilidade) com a base na vazão do efluente (escoamento para uma boa e

econômica clarificação nas aplicações padrões)



A CENTRÍFUGA

referência: - Coulson & Richardson - pag.118 - Volume II

- Perry, pag. 19-82

- Svarouvsky, L., “Solid-Liquid Separation” 2a ed., Butter worts, 1981.

A centrífuga consiste num cesto na qual rodam a alta velocidade uma mistura de sólido e

líquido ou uma mistura de 2 líquidos, de tal maneira que a mistura é separada nos seus

constituintes pela ação da força centrífuga. O cesto pode ser:

Perfurado (cesto filtrante) - caso em que o líquido passa para fora através dos orifícios.

Não perfurado (cesto não filtrante) - líquido é removido através de um tubo de

transbordamento.

Em separação sólido-líquido, a força centrífuga é empregada nas operações de decantação e

filtração. Em ambos os casos ela substitui a fraca força de gravidade, resultando em uma

operação mais rápida e bolos de sólidos contendo menos líquido.

Teoria da sedimentação centrífuga

0ver flow

R0

HR

L

Alimentação da suspensão

Trajetóriada

partícula



Como a eficiência de separação é afetada principalmente pelo comportamento das pequenas

partículas no sistema e como as partículas finas movendo-se no líquido tem baixo no de

Reynolds (na região de resistência viscosa) é comum assumir, quando se descreve o

movimento da partícula em líquidos em movimentos rotativos, que segue a Lei de Stokes.

Isto pode no entanto restringir a seguinte análise para somente ser aplicável ao

movimento lento de partículas finas com Re menor que 0,4. Sabe-se no entanto que a

resistência ao movimento de grandes partículas pode ser transiente ou eventualmente estar na

região de Newton, porem neste caso todas estas partículas podem ser separadas com 100 % de

eficiência.

A análise é feita para uma única centrífuga tubular porem o mesmo tratamento, com

leves modificações, poderá ser usado para outros tipos de centrífugas.

Da dinâmica da partícula no campo centrífugo, resulta:

θθ =ϑ u , na direção do movimento do fluido.

( ) 2r

21

D

rstr rb,

C2A

VbΩ=

ρ

ρ−ρ=ϑ=ϑ

( ) ( ) ( )065,0

log843,0KStokes18

DrKr 1

2s

21

tφ

=µ

ρ−ρΩ=ϑ

( )( )

( )

( )( )

el)desfavoráv mais (situação partícula da crítico diâmetro DRRln

DK18

QLRR

tt

RRln

DK18t

QLRR

RRQL

uLt

022

s1

20

2

quedares

022

s1queda

20

2

20

2res

→Ωρ−ρ

µ=

−π

=

Ωρ−ρµ

=

−π=

−π==



No caso de R >> H, recaímos nas equações da câmara de poeira, porque a partícula tem que

percorrer a distância H no tempo de residência.

( )( )

( )( )

( ) 1s2

2s

21

20

2t

20

2

20

2t

tt

VKRHQ18D :onde De

18DRK

VHQ

LRRHQ

QLRR

RRQLH

constante) doconsideran ão(aproximaç AQ

LH

ρ−ρΩµ

=

µρ−ρΩ

==−π

=ϑ

−π=

−π=

ϑ

ϑ=ϑ

Sendo V o volume do líquido na centrífuga, ou seja:

( ) ( )[ ] [ ]

[ ] HRL2LHR2H

LHRH2RRLHRRLRRV 2222220

2

π≅−π

=−+−π=−−π=−π=

• Costuma-se apresentar a formulação com diâmetro de corte Dc.

• Diâmetro de corte Dc é aquele no qual a maior parte das partículas de D > Dc ficará retida

na centrífuga, a maior parte de D < Dc passará no efluente e as partículas D = Dc são

coletadas na proporção de 50%.

Deste modo, no regime de Stokes:

( )VRHQ9Ds

2cρ−ρΩ

µ=

Seria uma aproximação considerando que emH/2 o anel do líquido esta dividido em duasáreas iguais para R >> H.

Valor de br nas centrífugas

)s/cm(Dgn10x6,5981gn

602

2DRb 226

22

r−=

π

=Ω=

⇒Diâmetro crítico η100%



Onde: n = (RPM)

D = diâmetro da centrífuga (cm)

g = aceleração da gravidade

Nas centrífugas industriais: 600 g < br < 20000 g

O conceito sigma para a centrífuga decantadora (solução rigorosa para a centrífuga

tubular)

Vai-se estabelecer a relação entre o diâmetro de corte (Dc), as propriedades físicas do sistema,

dimensões do equipamento e condições de operação as hipóteses de cálculo são:

(1) As partículas estão igualmente espalhadas em z = 0, independentemente do

tamanho.

(2) Prevalece o regime de Stokes na movimentação das partículas.

(3) Movimento empistonado do fluido na centrífuga.

z

Ω

L

Trajetória de Dc

Um importante parâmetro é o tamanho correspondente a 50% na curva de eficiência, isto é o

provável diâmetro de corte Dc. O raio correspondente a R1 é aquele que divide a região anular

entre Ro e R em áreas iguais.

Então:

( ) ( )

2120

2

1

20

21

21

2

2RRR

RRRR

−=

⇒−π=−π



Tempo de residência

( )

( )

065,0log843,0K com

RRln

DK18t

RRQL

uLt

101

122

cs1queda

20

2

res

φ=

Ωρ−ρµ

=

−π

==

+

=

+

=

+=

+=

20

21

20

21

20

2

2

2120

21

RR1

2ln21

RR1

2ln

2RR

Rln

2RR

RlnRRln

2x0,5 para 1x1x2xln

0x,...1x1x

51

1x1x

31

1x1x2xln

Schawn) (coleção série em RRln Expandindo

53

1

<<

+−

=

>

+

+−

+

+−

+

+−

=



20

2

20

2

20

20

20

20

20

20

20

20

1

02

0

RR3RR

RR3

RR-1

RR1

RR12

RR1

RR12

1

RR1

2

1

RR1

2

221

RRln

1R

R0 para resulta ,

RR1

2 x Fazendo

+−

=

+

=

=

+

++

+

−−

=

+

+

−

+

=

<≤

+

=

( )( )

( )( )( )

( )

( ) ( )21

20

21

2s

c

20

2

20

2

20

2

22cs1

101

20

2

122

cs1

quedares

RR3KLQ18D

QRRL

RR3RR

DK18

065,0log843,0K com

QRRL

RRln

DK18t

:então ,tt tComo

+Ωπρ−ρµ

=

−π=

+

−

Ωρ−ρµ

⇒

φ=

−π=

Ωρ−ρµ

=

==

Tirando o valor de Q e multiplicando e dividindo por 2g, temos:



( ) ( )g2

RR3L18

gKD2Q

220

21

2cs Ω+π

⋅µ

ρ−ρ=

Velocidade terminalda partícula dediâmetro Dc no campogravitacional

∑, uma característicada centrífuga (no casotubular) [L2]

NO QUADRO

EXEMPLO 4.4

Determinar a capacidade de uma centrífuga tubular na separação de partículas de diâmetro

maior que 4µ, operando com uma suspensão aquosa a 30oC. Admitir como válido o regime de

Stokes e considerar as partículas como esferas. Dados:

a) Dimensão da centrífuga: R = 2 in, H = 0,5 in, L = 20 in.

b) A massa específica do sólido é ρs = 2,4 g/cm3.

c) A centrífuga opera a 9000 rpm.

******************************

A centrífuga decantadora

O conceito ∑ (sigma): fator teórico de capacidade

O fator sigma ( ∑ ) é uma característica do sedimentador centrífugo e teoricamente

representa a área de um tanque de sedimentação capaz de fornecer o mesmo desempenho de

separação no campo gravitacional.

O fator teórico de capacidade ∑ fornece a comparação entre os desempenhos de

centrífugas geometricamente e hidrodinamicamente similares, operando com o mesmo

material de alimentação.

2

2

1

1 QQΣ

=Σ

O critério é confiavel para a comparação de centrifugadores de geometria e proporções

similares que desenvolvem a mesma força centrífuga. Deve ser, no entanto, usado com

precaução para a ampliação de escala entre diferentes tipos de centrifugadores ou quando a

força centrífuga varia por um fator maior que 2.



Na comparação de desempenhos de centrifugadores de diferentes configurações o

valor calculado de ∑ de cada um deve ser multiplicado por seu fator de eficiência.

...E

QE

Q

22

2

11

1 =Σ

=Σ

Segundo Svarovsky:

Centrífuga tubular: E = 90%

Centrífuga de cesto perfurado: E = 75%

Centrífuga de transportador helicoidal: E = 60%

Centrífuga de disco: E = 45%

Centrifugador tubular:

( )20

22

RR3g2

L+

Ωπ=∑

Centrífuga de disco:

( )( )

cone do ângulo-semi discos de pilha da externo RaioR discos de pilha da interno Raio R

pilha na discos de número N :onde

tgg3RR1N2

b

a

23a

3b

=θ===

θΩ−−π

=∑

Centrifugador de transportador helicoidal

alimentação

Underflow (sólidos)

Overflow

L1 L2

R1R2

+++

+π

Ω=∑

4R4RR3RLR

21R

23L

g

2112

22

221

221

2



NO QUADRO

EXEMPLO 4.5 (6.18-Massarani)

Deduzir a expressão da eficiência teórica de captura para partículas de diâmetro D em

centrífuga tubular:

( )cDDη=η

onde: Dc é o diâmetro da partícula coletada com eficiência de 50%

hipóteses:

a) As partículas sólidas estão igualmente espalhadas em z = 0;

b) Prevalece o movimento Stokesiano das partículas;

c) Os efeitos de extremidade são desprezíveis;

d) A suspensão é diluída.

alimentação

R

R0

L

clarificado

Trajetória deuma partícula

z



alimentação

R

L

clarificado

Trajetória deuma partícula

z

R1

R0

r

O valor da eficiência teórica para uma partícula de tamanho D é a fração contida na

região anular compreendida entre os raios r e R, onde r é o menor raio no qual a partícula que

inicia sua sedimentação a z = 0, possa atingir a parede do cilindro a z= L.

( )

( ) )3(2

RRRe)2(RRRRD

)1(RRrRD

2120

2

120

2

21

2

c

20

2

22

+=

−−

=η

−−

=η

NO QUADRO

EXEMPLO 4.6: Utilização do fator sigma

Uma suspensão a baixa concentração de Clay (massa específica 2640 kg/m3) em água,

com uma viscosidade de 0,001 Nsm-2 e massa específica 1000 kg/m3 deverá ser separada por

centrifugação. Experiências em uma centrífuga tubular de laboratório operando a 20000 rpm

indicaram que um satisfatório “overflow” é obtido com uma vazão de 8 x 10-6 m3/s.

O cesto da centrífuga de laboratório possui 0,2 m de comprimento, raio interno

R = 0,0220 m e raio de superfície líquida R0 = 0,0110 m. Se a suspensão for efetuada em uma

planta utilizando uma centrífuga tubular de 0,734 m de comprimento com raio interno



R = 0,0521 m e R - R0 = 0,0295 m, operando a 15000 rpm com a mesma qualidade

“overflow”, qual o fluxo de produção que deverá ser esperado? Determinar também o

diâmetro de corte Dc.

**********************************

CICLONES E HIDROCICLONES Entre os equipamentos de separação do tipo centrífugo, o mais amplamente usado é o ciclone

separador, para separar poeira ou névoa do gás.

Overflow

vórticeAlimentação

Underflow

Espessador

Classificador

Figura: padrão de escoamento

O gás sujo é introduzido tangencialmente no ciclone a uma velocidade de cerca de 100ft/s. Os

sólidos são atirados contra as paredes do ciclone no movimento espiral descendente do gás e

recolhido na base cônica do vaso. O gás limpo ascende, saindo no tubo central no topo do

equipamento.

Nas velocidades tangenciais elevadas, a força centrífuga é maior que a gravitacional e os

ciclones efetuam uma separação mais rápida e mais eficiente as câmaras de poeira.

A entrada de gás mais utilizada é a retangular por proporcionar maior área num espaço mais

reduzido.



TEORIA DO CICLONE

a) Diâmetro de corte

Bc

Dc

A partícula com diâmetro de corte dpc atravessa a espessura de separação Bc/2 no tempo de

residência do fluido no ciclone.

( ))1(

18bd

2B2BQVt

r2pcs

c

r

cares

µ

ρ−ρ=

ϑ==

Onde: ϑr = velocidade terminal da partícula na direção r (campo centrífugo) valendo o regime

de Stokes.

Va = volume ativo do ciclone

Q = vazão volumétrica de suspensão

(3) QV

N2

(2) rb

a

e

2r

π=Ω

Ω≅

Resulta das equações (1), (2) e (3) a expressão para o diâmetro de corte.

( ) )4(uN2

B9d21

se

cpc

ρ−ρπ

µ=

Onde: u = valor médio da velocidade da suspensão na seção de entrada.

Ne = número de espiras que o fluido forma no interior do ciclone.



Os diferentes modelos de ciclones caracterizam-se pelas proporções peculiares entre suas

dimensões.

• As partículas com diâmetro acima do valor dado pela equação (4) terão raio de

rotação fora do núcleo central e serão coletadas.

• As partículas que possuem o diâmetro menor que o valor da equação (4) terão um

raio de rotação menor que Do/4 e sairão com os gases.

• A eficiência de coleta é dada por um gráfico como:

Diâmetro 100%de corte

100%

eficiênciade coleta

teórica

experimental

Experimental ⇒ forma senoidal: aglomeração de partículas e batida das partículas contra a

parede.

O modelo de ciclone Lapple, destina-se a separação sólido-gás. É o modelo que se submeteu

ao estudo mais aprofundado. Para ele as condições de operação recomendada é:

5 < u < 20 m/s

Verifica-se experimentalmente que Ne ≅ 5

Portanto a equação (4), fica:

( ) )5(u10

B9d21

s

cpc

ρ−ρπ

µ=



Para ciclones Lapple: Bc = Dc/4 e Hc = Dc/2

onde: Dc = é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone e

BcHc = a área da seção transversal da alimentação de suspensão.

ccBHQu =

Substituindo em (5), temos:

( ) )6(Q

D095,0Dd 21

s

c

c

pc

ρ−ρ

µ=

Lapple

Generalizando o resultado expresso pela equação (6) para os ciclones a gás.

( ) )7(Q

DKDd 21

s

c

c

pc

ρ−ρ

µ=

Geralgás

Tabela 1 - Parâmetros de configuração do ciclone e condições operacionais recomendadas

Configuração

K A B C β u* ou Re** Du/Dc

Lapple

0,095 - - - 315 5 < u < 20m/s 0,25

Staimand

0,041 - - - 400 10 < u < 30m/s 0,37

Rietema

0,039 1,73 145 4,75 1200 5x103 < Re < 5x104 0,10-0,30

Bradley

0,016 1,73 55,3 2,63 7500 3x103 < Re < 2x104 0,07-0,15

*u é a velocidade média do fluido na seção de entrada do ciclone,ccHB

Qu =

**µ

ρ= ccuDRe , onde uc é a velocidade média do fluido na seção cilíndrica do

ciclone,4D

Qu 2c

cπ

=



Estão especificadas na figura 1 as configurações dos ciclones a gás Lapple e

Stairmand, e na figura 2 as configurações dos hidrociclones Rietema e Bradley.

Para hidrociclones, que trabalham com suspensões mais concentradas,

( ) ( ) ( ) )8(cgRfQ

DKDd

vL

21

s

c

c

pc ⋅

ρ−ρ

µ=

Onde Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, K um parâmetro que depende da

configuração, µ e Q são a viscosidade e a vazão de fluido que alimenta o hidrociclone, f é um

fator de correção que leva em conta o fato de que uma fração das partículas sólidas é coletada

no ‘underflow’ sem a ação do campo centrífugo ( efeito “T”) e g um fator que leva em conta a

concentração volumétrica de sólidos na alimentação, cv.

O fator f está relacionado ao quociente entre as vazões de fluido no underflow e na

alimentação, RL,

( )

( ) (10) ,DDBR

(9) AR1Rf

CcuL

LL

=

+=

e os parâmetros A, B, e C relacionados à configuração do ciclone, Du e Dc respectivamente os

diâmetros do underflow e da parte cilíndrica do equipamento.

Para partículas arredondadas o fator g pode ser expresso através da seguinte equação

empírica:

( )( ) ( )[ ] 5,0

v2

vv

c18,3c18,41cg

−−−= (11)

Os ciclones a gás operam com suspensões mais diluídas do que os hidrociclones e

freqüentemente a descarga de sólido é feita de modo intermitente a partir do barril acoplado

ao underflow do equipamento. Por estas razões, considera-se que para os ciclones a gás f e g

não influenciam o valor do diâmetro de corte, equação (8), ou seja, f = g = 1.

Os valores dos parâmetros de configuração A, B, C e K estão reunidos na tabela 1,

cuja validade está restrita às condições operacionais assinaladas na própria tabela.



Figura 1 - Configuração dos ciclones a gás Lapple e Stairmand



Figura 2 - Configuração dos hidrociclones Rietema e Bradley



Função eficiência individual de coleta no campo centrífugo

A eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D pode ser expressa

pelas correlações empíricas:

Ciclones Lapple e Stairmand

( ) ( )( ) )12(

d/D1

d/Dd/D 2

pc

2pc

pc+

=η

Hidrociclones Rietema e Bradley

( ) ( )( ) )13(

146d/D5exp1d/D5exp

d/Dpc

pcpc +

−=η

Conhecida a distribuição granulométrica das partículas, X = X(D), é possível estabelecer o

valor da eficiência global de coleta no campo centrífugo,

)14(dXI1

0∫η=

e a eficiência global alcançada no ciclone, incluindo o efeito “T”,

( ) )15(RIR1 LL +−=η

sendo RL o quociente entre as vazões de fluido no underflow e na alimentação.

A integração da equação (14) para a situação bastante comum em que a distribuição

granulométrica pode ser representada pelo modelo Rosin-Rammler-Bennet,

( ) ( )n'DDe1DX −−= toma a forma: Ciclones Lapple e Stairmand

( ) )16(d

'Dd'Dn332,081,1

n118,0n11,1

Ipcpc

⋅+−+=

Hidrociclones Rietema e Bradley

( ) )17(d

'Dd'Dn279,044,1

n138,0n13,1

Ipcpc

⋅+−

+=



Os cálculos de η para ciclones Lapple também podem ser obtidos por gráficos,

elaborados por Massarani, para os modelo de distribuição GGS (figura 3), RRB (figura 4) e

Log-Normal (figura 5).

Figura 3 – Desempenho do ciclone LAPPLE (Modelo GGS)



Figura 4 – Desempenho do ciclone LAPPLE (Modelo RRB)

Figura 5 – Desempenho do ciclone LAPPLE (Modelo Log-Normal)



Cabe ressaltar que na equação do modelo RRB X é a fração em massa das partículas

com diâmetro menor que D e que D’ e n são os parâmetros do modelo, respectivamente o

diâmetro da partícula que corresponde a X = 0,632 e a dispersão.

A relação vazão - queda de pressão

A expressão clássica que relaciona vazão e queda de pressão na mecânica dos fluidos,

regime turbulento estabelecido, é utilizada também para os ciclones,

)19(4D

Qu

)18(2u

p

2c

c

2c

π=

ρ

∆−=β

Sendo a queda de pressão medida entre o overflow e a alimentação. O valor depende da

configuração do ciclone, como mostra a tabela (1).

Cálculo da potência do soprador

Considerando apenas as perdas de carga no ciclone, a potência requerida para a separação é

dada pela equação

)20(75

pQP 1η

∆=

onde: P = (cv)

Q = vazão total (m3/s)

∆p1 = queda de pressão num ciclone (mm de coluna de água)

η = eficiência elétrica do motor, da ordem de 0,5 para motores de baixa

potência



NO QUADRO

EXEMPLO 4.

Deseja-se projetar um ciclone Lapple para manipular 2100 ft3/min de ar a 300oC contendo

partículas em suspensão. Deve operar com uma perda de carga de 3” de água. Estimar a

eficiência de coleta e fornecer as dimensões do ciclone. A massa específica do sólido é de 2,6

g/cm3 e a analise granulométrica é:

D(µ) 5 10 20 40

% acumulada > D 79,7 60,2 25,5 1,8

A B C D E F G %

acumulada

D(µ) > D D/Dc η ∆X <η> ∆X<η> 1 0 4 5 0,797 0,897666068 0,44623016 0,203 0,22311508 0,04529236 5 10 0,602 1,795332136 0,76321371 0,195 0,60472193 0,11792078 6 20 0,255 3,590664273 0,92802063 0,347 0,84561717 0,29342916 7 40 0,018 7,181328546 0,98097828 0,237 0,95449946 0,22621637 8

η global 0,68285867

η(global): A1 = A2

médio valor

XdXDD

i

1

0 c

=η

∆η≅η⇒

η=η ∑∫

=B5-B6 =(D5+D6)/2



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

% acumulativa >D

Efic

iênc

ia

EXEMPLO 4. (13-22: Massarani)

Deseja-se especificar a bateria de ciclones Lapple (ciclones iguais em paralelo) para operar

com 3500 ft3/min de ar (520oC e 1 atm) contendo cinzas de carvão. A eficiência global de

coleta deve ser da ordem de 75%. A densidade das partículas sólidas é ρs = 2,3 g/cm3.

Análise granulométrica

D(µ) 5 10 15 20 30 40

X 0,12 0,27 0,48 0,63 0,80 0,88

D(µm) X ln D A=1/(1-X) B = ln A ln B 5 0,12 1,6094379 1,1363636 0,1278334 -2,0570276 10 0,27 2,3025851 1,3698630 0,3147107 -1,1561013 15 0,48 2,7080502 1,9230769 0,6539265 -0,4247604 20 0,63 2,9957323 2,7027027 0,9942523 -0,0057643 30 0,8 3,4011974 5,0000000 1,6094379 0,4758850 40 0,88 3,6888795 8,3333333 2,1202635 0,7515404



Curva de distribuição

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 10 20 30 40 50

D

X

0,632

D'

Modelo RRB

y = 1,3902x - 4,2734R2 = 0,9935

-2,5-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

ln D

ln[ln

(1/(1

-X)]



Exercícios: Dinâmica da partícula 1. Calcular o diâmetro da menor partícula que é coletada com eficiência de 100% na câmara

de poeira abaixo esquematizada.

Propriedades físicas do fluido: densidade 1,2 x 10-3 g/cm3 e viscosidade 1,8 x 10-2 cP.

Propriedades físicas das partículas: densidade 2,5 g/cm3 e esfericidade 0,7.

Dimensões da câmara: 2 x 2 x 16 m.

Vazão da suspensão na alimentação: 0,4 m3/s.

Considerar as seguintes situações diferentes:

a) A suspensão tem concentração volumétrica em sólido inferior a 0,2%.

b) Esta concentração é de 5%.

16 m

2 m

Trajetória crítica da menor partícula coletada com eficiênica de 100%Duas lamelas ativas.

Resp. Velocidade terminal da menor partícula coletada com eficiência de 100%: 0,625 cm/s

Diâmetro da menor partícula coletada com eficiência de 100%, diluição infinita:

9,74µm

Idem, 5% em volume de sólidos: 8,49 µm.

2. Estuda-se a possibilidade de reduzir o teor de cinzas de um carvão através da separação

em hidrociclone operando em fase densa. A alimentação contém 2 partes de carvão para 1

de cinzas, em massa. A concentração volumétrica de carvão e cinzas na alimentação é de

5%. Carvão e cinzas apresentam a mesma distribuição granulométrica,



m. em D 521

D1X351

µ

−−= ,

,exp

,

Estimar o teor de cinzas do concentrado de carvão (overflow) que deve ser obtido numa

bateria de hidrociclones em paralelo com 2 in de diâmetro, nas configurações (a)Bradley,

(b) Ritema operando a uma queda de pressão de 45 psi. Fornecer também a capacidade de

cada hidrociclone

Densidade do carvão e cinzas, respectivamente, 1,25 e 2,10 g/cm3.

Propriedades do fluido: densidade 1,21 g/cm3 e viscosidade 2,7 cP.

Resposta:

Fixando a relação entre os diâmetros de descarga underflow e da parte cilíndrica do

hidrociclone em 0,15, na operação a 45 psi:

Configuração Bradley Rietema

Capacidade por hidrociclone (m3/h) 1,90 4,74

Relação % vazões overflow/alimentação 62,3 98,2

% carvão no underflow 58,8 41,1

% carvão no overflow 75,4 75,6

% do carvão da alimentação perdida pelo underflow 46,4 16,0

Do livro: Problemas de Sistemas particulados (Massarani)

3. Exercício 11 página 21

O ferro-velho “Dois Irmãos” da Pavuna dispõe de um conjunto de 3 ciclones Lapple

em paralelo, estado de conservação razoável. O diâmetro do ciclone é de 20”. Preparar um

anúncio de jornal fornecendo:

a) A capacidade do conjunto (m3/h de gás);

b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência superior a 95%;

c) A potência consumida na separação.

Considerar que o gás seja ar a 200oC e 1 atm e que as partículas sólidas tenham uma

densidade de 3 g/cm3.



Resposta:

Q (m3/h) u (m/s) Dη=0,95 (µm) P (CV) η=0,5

Máximo 1741,9 5 19,48 0,094

Mínimo 6967,7 20 9,72 6,05


Uma usina de Campos pretende secar bagaço-de-cana com gás de chaminé (propriedades

do ar a 210oC e 1 atm). Especificar a bateria de ciclones Lapple para a recuperação de

finos secos, sabendo-se que a vazão de gás é de 5000 ft3/min e que as partículas maiores

que 40µ devem ser coletadas com eficiência superior a 95%. A densidade do bagaço seco

é 0,64 g/cm3.

Resposta: 9 ciclones com η = 0,95 u(entrada) = 14,01 m/s.


No “scrubber” centrífugo operando a 100g com gotas de água de 100µ, verifica-se a

seguinte eficiência de coleta para partículas sólidas de diâmetro D:

D(µ) 0,2 0,5 1 2 3 4 5 η(D) 0,01 0,09 0,22 0,55 0,81 0,96 1,0

Determinar a eficiência global de coleta para a poeira com a seguinte análise granulométrica

. em D69

DX21

µ

= ,

,

,

Resposta: 84,32% (regra dos trapézios)

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.1


5. ESCOAMENTO DE FLUIDOS ATRAVÉS DE MEIOS POROSOS RÍGIDOS

5.1. Teoria

( )ϑρ⋅∇−=∂ρ∂ r

t Equação da continuidade (1)

( ) gpt

rrrrrρ+τ⋅∇−∇−ϑϑρ⋅∇−=ϑρ

∂∂ Movimento do fluido (2)

+

−

−

−=

por volumeelemento no gravidade de força

por volume viscosadissipaçãopor ganho momento de taxa

por volume elemento nopressão de força

por volume convecçãopor ganho momento de taxa

por volume momento de incremento de taxa

Mas,ttt ∂ρ∂

ϑ+∂ϑ∂

ρ=ϑρ∂∂ r

rr

(A)

De (1) multiplicando-se por ϑr

:

( )ϑρ⋅∇ϑ−=∂ρ∂

ϑrrr

t (B)

Abrindo o termo ϑϑρ⋅∇rr (*), temos:

( ) ( ) gpt

rrrrrrrrr

ρ+τ⋅∇−∇−ϑ∇⋅ϑρ−ϑρ⋅∇ϑ−=ϑρ⋅∇ϑ−∂ϑ∂

ρ

( ) ( ) gpt

rrrrrrrrr

ρ+τ⋅∇−−∇=ϑ∇⋅ϑρ+ϑρ⋅∇ϑ+ϑρ⋅∇ϑ−∂ϑ∂

ρ

gpt

rrrrr

ρ+τ⋅∇−−∇=ϑ∇⋅ϑρ+∂ϑ∂

ρ ou



gpt

rrrrr

ρ+τ⋅∇−−∇=

ϑ∇⋅ϑ+

∂ϑ∂

ρ

(*) propriedades da divergência de um tensor

( ) ( )abbabarrrrrr⋅∇+⋅∇=⋅∇

A equação da continuidade descreve a taxa de variação da massa específica em um

ponto fixo, resultante das variações do vetor velocidade mássica ϑρr

.

=

=ϑρ

TLM

TL

LM

23

r velocidade mássica

A integração destas equações nos poros é uma tarefa muito difícil, deste modo aplica-

se a teoria das misturas.

Teoria das misturas

Para escoamento saturado, temos:

Equação da continuidade para o fluido

( ) 0t

=ϑρε⋅∇+∂ρε∂ r

(1A)

Equação do movimento para o fluido

gmpt

rrrrrr

ρ+−τ⋅∇−−∇=

ϑ∇⋅ϑ+

∂ϑ∂

ρε (2A)

onde: ε = porosidade = (volume de vazios/volume total)



ϑr

= velocidade intersticial do fluido relativo a um referencial fixo às partículas.

mr

= força exercida pelo fluido sobre o sólido, por unidade de volume do meio

poroso.

Deste modo, perdemos informações na escala do poro, porem o problema é mais

tratável. As condições limites passam a ser dadas no contorno do meio.

5.2. Equação empírica de Forchheimer

Fluido Newtoniano, fluido e recheio não interagem.

• A pequena quantidade de dados experimentais disponíveis parece indicar que τrr não é

importante no escoamento de fluidos Newtonianos.

• Em relação à força resistiva mr

chega-se, a partir de um grande número de experiências,

que a forma quadrática de Forccheimer (1901) é válida:

qqkc

1k

m rr

r

µρ

+µ

= (3)

meio poroso



onde ‘k’ e ‘c’ dependem somente da matriz porosa

k = permeabilidade do meio poroso, [L2], 1 Darcy = 10-3cm2

qr

= ϑεr

= velocidade superficial do fluido

c = fator adimensional

µ = viscosidade do fluido

ρ = massa específica do fluido

No escoamento lento, o termo:

1qkc

<<µ

ρr

e a equação (3) reduz-se a:

qk

m rr µ= (4) Lei de Darcy

Portanto, a equação (3) recai na forma linear, a Lei de Darcy.

Obs: A experiência mostra que o escoamento pode ser laminar fora da região de Darcy, para

altos Re os escoamentos laminar e turbulento coexistem.

O termo ( )

ϑ⋅ϑ+

∂ϑ∂

ερrr

r

gradt

representa os efeitos inerciais, que normalmente são

desprezados , logo de (2A)

gmpgrad0 ρ+−−=r

, substituindo a equação (4), temos



( )gpgradk-qou gqk

pgrad0rrrr

ρ−µ

=ρ+µ

−−=

Obs.: A equação de Darcy não leva em conta a aceleração do fluido na percolação através da

matriz porosa, o que parece ser aceitável na maioria dos problemas de interesse tecnológico,

quando a permeabilidade é inferior a 10-5 cm2.

No escoamento incompressível podemos escrever que:

( )ghgradg ρ−=ρr , onde h é uma distância normal a partir de um plano de referência.

0 0 0 =1

( ) ( ) ( ) ( )

gjg

yhg

yghgh

xgh

ygh

xgh

jkji

ρ−=ρ=

∂∂

ρ+∂∂

ρ=ρ∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

=ρ∇

r

r

rrr

↑j e ↓h

Então:

estática

( ) Pgradghpgradgpgrad =ρ+=ρ−r

energia potencial

Então a equação resume-se a:

mPgradr

=−

Os fatores k e c devem ser determinados experimentalmente.

L

MEIO POROSOMP

P1 P2 • Escoamento incompressível

qqk

ckdz

dP

ρ+µ

=−

pois qqkc1k

m

µ+

µ=

r não Darcyano



Se colocarmos a equação na forma:

qk

ckL

Pq1

ρ+µ

=

∆−

αA

∆−

LP

q1

q

ρα

=∴ρ

=α

µ=∴=

µ

tgkck

ctg

AkA

k

• Escoamento isotérmico de gás ideal

∆

+=ρ+ρ

=ρ

ρ=

+µ

=

∆−

ρ

2pp

RTM

2

qG

Gk

ckL

pG

221

Assim como na equação para escoamento incompressível , pode-se estimar os valores

de k e c por meio de uma reta, devido a linearidade das duas equações.

ordem de grandeza de ε, k e c

meio ε [%] k [cm2] c

Arenito 3 9,3x10-3 3x105

Placa porosa metálica 26 9,2x10-8 15

Areia 28/35 42 1,5x10-6 1,7

Esfera de vidro (d = 2mm) 36 3,7x10-5 0,6

Esfera de vidro (d = 6mm) 42 4,0x10-4 0,49

Anéis de Rashing 54,7 2,5x10-4 0,32

Espuma de metal 93 2,0x10-3 0,07



Medida de porosidade (meios não consolidados)

Adição departículasLíquido

Líquido

h1

h2

h3

Meio poroso (MP)

2

13

hhh1

MP volumesólidos volume1

MP volumesólidos volume- MP volume −

−=−==ε

Exemplo 5.1: Experiências com fluido Newtoniano através de meio de areia artificialmente

consolidada conduziram aos resultados:

q (cm/s) ∆p (cm Hg) ∆p (dyn/cm2)

∆−

Lp

q1

6,33 4,69 62528,956 4703,901 7,47 6,24 83194,176 5303,383 10,18 10,37 138256,988 6467,255 12,66 15,15 201985,860 7597,452 15,2 21,07 280913,668 8800,554 17,73 28,02 373573,848 10033,407 20,26 35,89 478499,836 11246,647 23,93 48,90 651954,360 12973,442

Dados:µ = 1,177 cp: ρ = 1g/cm3, L = 2,1 cm

A = 16,8 cm2, ε = 0,28



y = 468,75x + 1725,1R2 = 0,9998

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 5 10 15 20 25 30

q (cm/s)

(1/q

)(-

p/L)

5.3. Correlações empíricas e o fator adimensional c

• Fórmula de Kozeny-Carman

( )22p

3

136

Dk

ε−β

ε=

onde: φ== pv

p da6D , dp = diâmetro equivalente (diâmetro de uma esfera tendo o mesmo

volume da partícula)

partícula da específica superfície partícula da volumepartícula da superfíciea v ==

φ=

π

φπ=

p3p

2p

v d6

6dd

a

φ = esfericidade (fator de forma)



Forma φ

esferas 1,0

cubos 0,81

cilindros (Dp = h) 0,87

celas de Berl 0,3

anéis de Raschig 0,3

4 < β < 5 → para meios granulares de 0,3 < ε < 0,5 (Coulson e Richardson)

O valor de β cresce com a porosidade. Para esferas (COPPE):

ε 0,510 0,645 0,744 0,849

β 5,70 5,96 6,19 6,85

• Correlação empírica para k

1000D

7,31Dk

22

=

=

onde: D = diâmetro médio de peneira para partículas granulares

D = dp = diâmetro equivalente para recheios industriais

• Correlação de Ergun para c

2314,0c

ε=

(Ergun, S., “Fluid Flow through packed columns”, CEP 48, 89 (1952))

para 10-5 < k < 10-4 cm2 e 0,35 < ε < 0,45

• Correlação empírica de Massarani 98,001,0

o37,0

o23 k

k10,0k

k13,01c

+

ε=

ko = 10-6cm2 ; 10-9 < k < 10-3 cm2 e 0,15 < ε < 0,75



• Equação de Ergun

A equação de Ergun (1952), extensamente utilizada na literatura de Engenharia Química,

é a expressão geral:

kqc

kq

dzdp 2ρ

+µ

=−

na qual a permeabilidade e o fator c são representados por:

( )( ) 232

32p 14,0ce1150

Dk

ε=

ε−

εφ=

( )( ) ( )φ

ρεε−

+φ

µεε−

=∆

−p

2

32p

3

2

Dq175,1

Dq1150

LP

Exemplo 5.2: Deseja-se estimar o valor da permeabilidade e do fator c para o meio poroso

constituído por partículas que apresentam a seguinte análise de peneiras.

Sistema Tyler

(peneira no)

Diâmetro médio da

abertura D# (mm)

massa retida

(g)

Fração em massa

retida ∆X

-35 +48 0,359 47,6 0,33

-48 +65 0,254 52,8 0,36

-65 +100 0,180 45,2 0,31

Total 145,6 1,00

A porosidade do meio é da ordem de 42% e a esfericidade das partículas é 0,78; confunde-se,

neste cálculo aproximado, os valores do diâmetro médio de peneiras D# e do diâmetro

volumétrico Dp.

Perda de carga em meio poroso

No escoamento unidirecional e incompressível, a equação de movimento (2A) e a

equação (3) de Forccheimer:

gmgradP0 ρ+−−=r

(2A)



qqkc

1k

m rr

r

µρ

+µ

= (3)

levam à equação da perda de carga no meio poroso,

qkqc

kgL

gW

gP

MP

A

ρ+

µρ

=

=

ρ∆

expressa em termos da altura de coluna do fluido que escoa no meio. Nesta equação AW é a

energia dissipada devido ao atrito por unidade de massa do fluido.

Exemplo 5.3: Seja o filtro de areia abaixo esquematizado operando com água a 20oC.

Determinar a capacidade do filtro.

água

areia

brita

2 ft

2 ft (areia, -14 +28 Tyler)

2 ft (cascalhos, 1”)

Patm

Porosidade ε = 0,4

1

2

3

(1)

(2)







1,665 cm/s



Recheios comuns

a) b) c) d) e) a) Anéis de Raschig: são os mais utilizados na indústria química. Eles consistem de um

cilindro oco com o comprimento igual ao diâmetro externo. São estruturalmente fortes,

baratos e podem ser feitos de vários materiais (cerâmicos, metais e plásticos). São menos

eficientes que os outros recheios.

b) Anéis de Lessing: eleva a eficiência, reduz a quantidade de canalizações, porém aumenta a

queda de pressão.

c) Anéis de Pall: contato mais eficiente entre líquido e gás, são mais caros, e apresenta uma

menor queda de pressão em relação aos anéis de Raschig.

d) Celas de Berl: diminui as canalizações, diminui a queda de pressão, porem são caros e

frágeis.

e) Celas Intatox: são similares as celas de Berl mas permite um contato mais eficiente entre

líquido e gás. São recheios para leito fixo mais eficiente disponível e fornece uma queda

de pressão inferior comparado aos anéis de Raschig e celas de Berl.

Estes recheios são extensamente utilizados em equipamentos de transferência de massa,

como torres de recheios por exemplo.



APLICAÇÕES

Reatores catalíticos

a) Reatores de leito fixo: gases simplesmente atravessam o leito.

b) Reatores de leito fluidizado: utilizados para reações muito exotérmica – uniformizam a

temperatura. Catalisadores em forma de grânulos (pellets).

Colunas de recheios

É comum o enchimento em colunas de destilação, absorção, etc para facilitar o contato

entre seus componentes .

Líquido Gás pobre

Líquido + solutoGás rico

recheios

Anéis de RaschigAnéis de LessingAnéis de PallCelas de BerlCelas Intalox

Filtração:

Uma mistura sólido-líquido passa através de um meio poroso de forma que o líquido

passa e o sólido fica retido.

Suspensão Líquido

Sólido retido

Meio filtrante poroso



FILTRAÇÃO

Objetivo: é a separação de um sólido do fluido que o transporta.

A separação se realiza pela passagem forçada do fluido através de uma membrana

porosa. As partículas ficam retidas nos poros da membrana e acumulam-se, formando uma

camada sobre a membrana. O fluido (gás ou líquido) passa pelo leito de sólidos e através da

membrana retentora.

Para se obter uma produção razoável, com um filtro de dimensões moderadas, deve-se

aumentar a queda de pressão, ou deve-se diminuir a resistência ao escoamento, para aumentar

a vazão. O equipamento industrial opera mediante a diminuição da resistência ao escoamento,

fazendo com que a área filtrante seja tão grande quanto possível.

A escolha do equipamento filtrante depende em grande parte da economia do

processo, variando de acordo com o seguinte:

1. Viscosidade, densidade e reatividade química do fluido.

2. Dimensões das partículas sólidas, distribuição granulométrica, forma da partícula,

tendência a floculação e deformidade.

3. Concentração da suspensão de alimentação.

4. Quantidade de material que deve ser operado.

5. Valores absolutos e relativos dos produtos líquido e sólido.

6. Grau de separação que se deseja efetuar.

7. Custos relativos da mão-de-obra, do capital e energia.

Meios filtrantes granulados É constituído por uma ou mais camadas de sólidos particulados, suportados por um

leito de cascalhos sobre uma grade, através da qual o material a ser filtrado flui por gravidade

ou pressão.

Sólidos particuladosLeito de cascalhoGrade



Quando a vazão cai, ou quando a queda de pressão se torna excessiva. Então a

filtração cessa e o leito tem que ser limpo, mediante uma lavagem com corrente inversa de

água, seguida por uma lavagem de ar.

FILTRO PRENSA DE PLACA E QUADRO É o dispositivo de filtragem mais comum na indústria química.

Vantagens: - baixo custo.

- custo de manutenção pequeno.

- flexibilidade de operação.

O filtro prensa é projetado para realizar diversas funções, cuja seqüência é controlada

manualmente. Durante a filtração o filtro prensa:

1. Permite a injeção da suspensão a filtrar até as superfícies filtrantes, por intermédios de

canais apropriados.

2. Permite a passagem forçada da suspensão através das superfícies filtrantes.

3. Permite que o filtrado que passou pelas superfícies filtrantes seja expelido através dos

canais apropriados.

4. Retém os sólidos que estavam inicialmente na suspensão.

Durante a seqüência de lavagem o filtro-prensa

1) Encaminha a água de lavagem para os sólidos filtrados, através de canais apropriados.

2) Força a água de lavagem através dos sólidos retidos no filtro.

3) Permite a expulsão da água de lavagem, e das impurezas, através de um canal separado.

O modelo mais comum consiste em placas e quadros que se alternam numa armação e

que são comprimidos fortemente, uns contra os outros, por meio de uma placa prensa-

parafuso ou de uma prensa hidráulica.



Placa Saída Quadro

Entrada

Par de placa e quadro de um modelo simples, com um só furo, sem canal de lavagem, com a

descarga fechada e a superfície da placa entelada.

• O meio filtrante é suspenso sobre as placas cobrindo as duas faces.

• O meio filtrante pode ser uma lona, ou um tecido sintético, ou papel de filtro ou tela

metálica.

À medida que a filtração avança, formam-se tortas, ou bolos, sobre o meio filtrante,

até que as tortas que se acumulam sobre cada face dos quadros encontram-se no centro.

Quando isto ocorre, a vazão do filtrado, que diminui continuamente à medida que as tortas

aumentam, cai bruscamente e se reduz a um gotejamento. Em geral suspende-se a filtração

antes desta ocorrência.

Lavagem:

1) Injeta-se a água de lavagem nos canais de alimentação.

2) Canal de lavagem: há um canal separado para entrada de água de lavagem.



Placa de lavagem

QuadroTecido Placa simples

Entrada daágua delavagem

Cabeçote

Bolo Bolo

Fechado Fechado

Diagrama esquemático de um filtro-prensa com lavagem e descarga aberta. Observe a

codificação com um, dois ou três botões no topo das placas e quadros.

- Os filtros-prensa podem ser feitos de :

• madeira

• ferro fundido

• borracha

• aço inoxidável

- Operam com pressões até 68 atm.

- Operações cíclicas: processos em batelada em que a produção é de porte modesto.

- Desmontagem: deve ser feita quando a torta fica presa na placa que tenha sido deslocada.

FILTRO FOLHA



Constitui de uma placa oca, suportada internamente e que fica permanentemente

coberta pelo meio filtrante. A suspensão a ser filtrada enche o espaço em torno da folha e é

forçado, mediante pressão exercida sobre ela, ou pelo vácuo que se faz dentro da folha, a

escoar através do meio filtrante.

A torta de filtração forma-se no exterior da folha e o filtrado passa para dentro da folha

e daí para o sistema de descarga.

Quando se tem a torta de espessura desejada, abre-se o filtro, e as folhas ou são

removidas para limpeza ou são limpas na própria unidade, manual ou automaticamente, pela

lavagem hidráulica dos sólidos.

Torta do filtro

Vista docorte de uma folha

Suspenção de carga

Dispositivo de desmontagem

Anel deborracha

em OFiltrado

Distribuidorde saída

Vista do corte de um filtro de folha vertical e corte transversal mostrando a estrutura da folha

do filtro.

FILTRO DE PLACA HORIZONTAL



É especialmente conveniente para a clarificação final de soluções que contém

quantidades diminutas de sólidos em virtude da facilidade de aplicação do adjuvante de

filtração.

Suspiro de ar

Entrada

Saída

Solução de polimento

Placa polidora

Papel de filtro,tecido ou tela

metáticaPlaca perfurada

Placa de filtragem

Diagrama esquemático do corte de um filtro de placa horizontal. São filtros patenteados com

placas polidoras no final de cada batelada. A válvula polidora é aberta durante a etapa de pré-

revestimento e fechada até o final do ciclo. Então, a válvula de descarga é fechada, a polidora

é aberta e o líquido remanescente é filtrado pela placa polidora, mediante a injeção de ar ou

gás sob pressão pelo duto de entrada.

Os adjuvantes, ou auxiliares, de filtração são sólidos incompressíveis, com a estrutura

aberta, que podem ser depositados sobre os tecidos de filtração para servir de meio filtrante de

alta eficiência.

- Filtros descontínuos → processo cíclico, capacidade modesta

FILTROS CONTÍNUOS

- Elevadas capacidades



- As suspensões são injetada continuamente, e o bolo e o filtrado são

produzidos também continuamente.

FILTRO ROTATÓRIO HORIZONTAL

- Especialmente indicado para sólidos cristalinos

- É constituído de uma mesa horizontal circular que gira em torno de um eixo

central. A mesa é constituída de um conjunto de segmentos feito de tela metálica

recoberto por meio filtrante conveniente, e está ligado a um mecanismo central de

válvulas, que regulam os instantes apropriados de remoção do filtrado e dos líquidos de

lavagem e do enxugamento da torta, durante cada volta da mesa.

FILTRO A VÁCUO E DISCO ROTATÓRIO

- O elemento filtrante é, também, uma folha com a forma de um setor

circular, recoberta pelo meio filtrante. A folha gira num plano vertical, em torno de um

eixo horizontal. A suspensão a ser filtrada enche a bacia do filtro, até quase a altura do

eixo horizontal. À medida que a folha mergulha na suspensão, coleta a torta na sua

superfície, enquanto que o filtrado sai por um sistema central de descarga.

- Na parte superior a torta é seca por sopragem de ar e é raspada ou retirada a

sopro antes dela mergulhar na suspensão.

FILTRO A VÁCUO COM TAMBOR ROTATÓRIO

- O ciclo de filtração é muito semelhante ao do filtro a vácuo horizontal.

- O bolo de filtração é colhido no tanque de suspensão devido a imersão da

superfície do tambor e a ação do vácuo.

- O bolo é levado pelo movimento do tambor e é sucessivamente lavado e

enxugado pela aplicação contínua do vácuo no interior do tambor.



Secagem

Faca

Lama

Torta

Paineis

Água d

e lav

agem

Diagrama esquemático de um filtro de tambor rotatório de multicompartimentos.

MEIOS FILTRANTES E AUXILIARES DE FILTRAÇÃO

Os meios filtrantes podem ser:

- tecidos

- papel

- metais porosos

- tela metálica

Critério de escolha do meio filtrante:

1) Capacidade de remoção da fase sólida.

2) A possibilidade de uma elevada vazão de líquido para uma dada queda de pressão.

3) Resistência mecânica e inércia química a lama e ao líquido de lavagem.

4) Aspectos econômicos.

⇒ Os auxiliares, ou adjuvantes, de filtração são bastantes usados para acelerar a filtração

ou para possibilitar a coleta mais completa das partículas mais finas da suspensão.



⇒ Terra diatomácea: consiste de esqueletos de animais marinhos pré-históricos muito

pequenos.

⇒ O auxiliar de filtração atua como meio filtrante primário e permite a remoção

completa de partículas sólidas muito finas presentes na suspensão a filtrar.

EQUAÇÕES DE BALANÇO

q

l(t) lm

lm: espessura do meio filtrante

l(t): espessura da torta, que varia com o tempo

Escoamento unidimensional

Equação de Darcy: qkL

P µ=

∆

Torta: ( )tPkq 2

l∆

µ= , onde ∆P2 é a queda de pressão na torta.

q = q(t)

Meio filtrante: ml

1m Pkq

∆µ

=

+µ=∆+∆=∆

m21 kk

qPPP mll

Definindo: q = velocidade superficial (= Q/A)

v = volume do filtrado

A = área de filtração

+µ

∆=

=

mkk

PqedtdV

A1q

mll



Logo: µ∆

+

=

P

kk

1dtdV

A1

m

mll

mm k

R ml= ⇒ resistência específica do meio filtrante.

[Rm] = L-1

∴µ∆

+

=

P

Rk

1dtdV

A1

ml

Relação entre l e k ⇒ balanço de massa na torta.

tortana retido líquido de massarecolhido líquido de massasuspensão na sólidos de massa

suspensão na líquido de massasuspensão na sólidos de massa

+==s

( )ρε+ρρε−

=l

ls

AVA1 s

⇒ρ<<ρε VA l( )

VA1 s

ρρε−

=l

s

( ) AV

1 s

ρε−

ρ=

sl

Característica do sistema

Logo: µ∆

+

ρε−ρ

=

P

RAV

)1k(

1dtdV

A1

ms

s

definindo: s)1k(

1ρε−

=α ⇒ resistência especifica da torta



temos: µ∆

+ρα

=

P

RAV1

dtdV

A1

ms Equação da filtração

[α] = LM-1

Para algumas tortas α é praticamente constante ⇒ tortas incompressíveis

FILTRAÇÃO COM TORTAS INCOMPRESSÍVEIS (OU À PRESSÃO CONSTANTE)

∆P é constante e α é constante

µ∆

+ρα

=

P

RAV1

dtdV

A1

ms, integrando:

∫∫ µ∆

=

+ρα

t

0

V

0m dtPAdVR

AVs

tPAVR2

VA m

2

µ∆

=+ρα s ou m2 R

PAV

PA2s

Vt

∆µ

+∆ραµ

=

a resistência específica, α, e Rm são fatores determinados experimentalmente.

Dados de v (volume do filtrado) ‘versus’ t (tempo)

β

b

t/V

V

mm R se-obtém RPA

b ⇒∆µ

=

α⇒∆ραµ

=β se-obtém PA2

tg 2s



FILTRAÇÃO À VAZÃO CONSTANTE

µ∆

+ρα

=

P

RAV1

dtdV

A1

ms ⇒

µ∆

+ρα

=P

RAVA

dtdV

ms

CtVou CtVC

dtdV

==⇒=

VRA

VPtAP

RAVA

tV

m

2

m

+ρα=∆µ

⇒µ∆

+ρα

= ss

, mas ∆P não é constante

t1

AVR

AVP m

2

⋅

µ+

ρµα=∆ s

Como V = Ct,

ACR

tA

CP m2

2 µ+

ρµα=∆

s

C é a própria vazão.

β

b

∆P

t

mm R se-obtém

ACRb ⇒

µ=

α⇒ραµ

=β se-obtém A

Ctg 2

2s



algumas vezes Rm é desprezível

tA

CP 2

2

ρµα=∆

s⇒ passa pela origem

Problemas 1 e 3: Lista de Filtração

FILTRAÇÃO COM TORTAS COMPRESSÍVEIS

Observa-se que a porosidade e a resistência específica variam com a posição no

interior da torta, devido às tensões mecânicas que tendem a comprimir a torta

Admite-se que ε e α são funções da pressão Ps, definida como:

Ps = P – P’

onde: P é a pressão na cabeça da torta

P’ é a pressão na seção imediatamente anterior ao meio filtrante.

l(t) lm

P P’P1

Os testes de variação de ε e α com Ps podem ser realizados no laboratório e as curvas são do

tipo:

( )no P∆α=α sendo ∆P = P – P1

( )mo P∆ε=ε

ou n

soPα=α

msoPε=ε

n é uma medida quantitativa da compressibilidade da torta 0 < n < 1.

n→ 0 ⇒ tortas incompressíveis

n→ 1 ⇒ tortas compressíveis

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.30


<α> varia com cada 1PPP −=∆

Tendo-se dados de t x V o vários ∆P

t

V ∆P1 ∆P2 ∆P3

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

temos que:

+

ρα

∆µ

= mRVA

sPAdV

dt , integrando a ∆P constante, temos

∆P1∆P2

∆P3∆t/∆V

V obtêm-se <α> para cada ∆P ⇒ pelo coeficiente angular das curvas obtidas.

Pois: ( ) ⇒∆α=α no P

log <α> = log αo + n log ∆P ⇒ obtém-se αo e n através da reta log<α> ‘versus’log ∆P.

VV

t :gráfico PA

R

2

V

PA

s

V

t m

2×⇒

∆

µ+

∆

ραµ=

V

t



FILTRAÇÃO A PRESSÃO CONSTANTE (FILTRO-PRENSA)

+

ρα

∆µ

= VRVA2PA

t m2s

A⇒ é a área total de filtração – cada quadro apresenta duas superfícies filtrantes - <α> e Rm

parâmetros específicos da torta e do meio filtrante.

Meio filtrante

FiltradoFiltrado

Suspensão

Quadro

Lavagem da torta

Seja a pressão na lavagem a mesma que na filtração

Placa de lavagemQuadro Placa

Líquido delavagem

filtração da finaldtdV

41

tVQ

==

l

ll

Módulo com placa de lavagem(3 botões)

Desmantelamento, limpeza e montagem

O tempo desta operação dependerá das dimensões do filtro, bem como do número e

competência dos operários.



Projeto

O filtro industrial deve operar com uma produção de filtrado P, com uma queda de

pressão ∆P. Experiências conduzidas em filtro-piloto operando com o mesmo ∆P levaram aos

seguintes resultados para uma espessura de quadro lp:

⇒ tempo de filtração para se ter o quadro cheio: tp

⇒ volume de filtrado correspondente ao tempo tp: Vp

⇒ relação entre volume do filtrado e volume da torta: (V/Vt)p

⇒ porosidade média da torta: <ε>

⇒ relação entre o volume de líquido de lavagem e de torta para se ter um produto na

especificação desejada: Vl/Vt = β

⇒ havendo variação de temperatura entre a operação industrial e a unidade piloto, a

correção deve ser feita na viscosidade.

⇒ na operação do filtro-prensa a resistência do meio filtrante pode ser desprezada.

Filtração no filtro prensa:

(Massarani, G., Tópicos Especiais de Sistemas Particulados, volume 2 – UFSCar)

O ciclo completo compreende 3 etapas

⇒ A filtração (tempo t)

⇒ A lavagem da torta, ocasionalmente desnecessária (tempo tl)

⇒ Desmantelamento, limpeza e montagem (tempo td)

A produção do filtrado é dada por:

dtttVP++

=l

onde: V = volume de filtrado produzido na etapa da filtração.

t + tl + td = tempo do ciclo completo no filtro-prensa.



e

At

Placa

A = área total de filtração

A = 8 At para o exemplo acima

e = espessura do quadro

Vt = volume contido nos quadros (torta)

ee

2AV :assim

2A8

V tt

t ==

eAV2

VV

t= onde V = volume do filtrado. V/Vt mantem-se constante no ‘scale-up’

Definindo: índice p = piloto

índice i = industrial , onde ∆Pi = ∆Pp e Ti = Tp

ip AV2

AV2

=

ee assim:

( )( ) p

i

p

i

AVAV

ee

= (1)

e i

p

p

ipi V

VAA

ee

= (2)

A pressão constante tem-se a equação:

+

ρα

∆µ

= VRVA2PA

t m2s

ou AVB

AVBt 22

2

1 +=



Como Rm (resistência do meio filtrante) pode ser desprezada ⇒ B2 = 0 e

2

2

AVBt = (3), sendo:

P2B

∆

ραµ=

s

Resulta das equações (1) e (3)

( )( )

2

p

ip

2

p

ipi t

AVAV

tt

=

=

ee

2

p

ipi tt

=

ee (4)

Seja a filtração e a lavagem conduzidas a uma mesma queda de pressão ∆P. Nestas condições,

o tempo de filtração é dado por:

+

ρα

∆µ

= VRVA2PA

t m2s

O tempo de lavagem com placas de “3 botões”:

dVdtV4RV

A2PAV4t m lll

s=

+

ρα

∆µ

=

onde: Vl = volume do líquido utilizado na lavagem

Na lavagem com placas de 3 botões

filtração da finaldtdV

41

tV

Q

==

l

ll (5)

Pela equação da filtração:

+

ρα

∆µ

= mRVAPAdV

dt s

desprezando a resistência do meio filtrante, temos:

P2B onde

AVB2

dVdt

2 ∆

ραµ==

s



Portanto: 2

ii AV

VB8Vt

= ll (6)

Da equação (3) vem que: 2

ii A

VBt

= , logo:

i

i

VtV8t ll =

Sendo tortada Volume

lavagem de líquido do VolumeVV

t==β l

ip

ti

i

ti t

VV

8tVV

8t

β=

β=l (7)

Se na unidade industrial o P∆ for o mesmo do piloto e a relação p

t

VV

mantém-se.

Conhecidos ti, equação (4), e tl, equação (7), determina-se Vi e Ai para uma dada produção P.

( )dii tttPV ++= l

i

p

p

ipi V

VAAee

= (2)

Obs. :Lavagem da torta

⇒ A lavagem da torta é feita a pressão constante e a vazão constante.

⇒ A velocidade de lavagem é igual a velocidade final de filtração

⇒ O líquido de lavagem se desloca através de uma torta que é o dobro da espessura e

pela metade da área com respeito a filtração, portanto:

Taxa de lavagem = (1/4) Taxa final de filtração.

⇒ Pressão de lavagem = pressão aplicada no final da filtração.



FILTRO ROTATÓRIO

θ

torta

Pano

Suspensão

°θ

=360

I

Sendo:

N = número de rotações por unidade de tempo

I = fração imersa (geralmente 1/4 a 1/3 da área filtrante esta submersa)

⇒ tempo de 1 ciclo será = 1/N

⇒ tempo de filtração em cada ciclo (tf)

NIt f =

⇒ por definição a capacidade do filtro Q é:

VNN1

VQ ==

onde: V = volume de filtrado retirado em um ciclo.



Exercícios I. Escoamento de fluidos em meios porosos

1. Determinar a capacidade (m3/h.m2) do filtro de areia abaixo esquematizado operando com

água a 20oC. A primeira camada, de porosidade 0,37, é constituída de areia com a seguinte granulometria:

Sistema Tyler

(mesh) % em peso

-14 +20 20 -20 +28 60 -28 +35 20

A Segunda camada é constituída de brita de 1,3 cm e apresenta a porosidade de 0,43. A esfericidade da areia e da brita pode ser tomada como sendo 0,7. (5.36-Massarani).

água

areia

brita

60 cm

60 cm

30 cm

Resposta: Dp = 0,69 mm (Sauter), K = 1,84 x 10-6 cm2, c = 0,93, Capacidade = 18,18 m3/m2h. 2. Seja a filtração de um óleo de alta viscosidade (µ = 350 cp, ρ = 0,9 g/cm3) através de um

leito fixo de carvão ativo. A pressão do ar comprimido é de 100 psig. Determinar o tempo para a percolação de 10 l de óleo. São conhecidos: 1. Diâmetro da coluna 30 cm; altura do leito 50 cm; 2. Análise granulométrica do carvão:

Sistema Tyler Fração retida -35 +48 0,15 -48 +65 0,65 -65 +100 0,20



c) As partículas tem esfericidade 0,6 e formam um leito com porosidade 0,42.

Ar

comprimido

óleo

O escoamento pode ser considerado como sendo Darcyano e a pressão hidrostática do óleo sobre o leito (variável!) pode ser desprezada face à pressão elevada do ar comprimido. (6.37 – Massarani). Resposta: Dp = 0,245 mm, K = 3,17 x 10-7d cm2, ∆P = 5,88 x106 din/cm2, tempo de

percolação = 22,13 min.

3. Determinar a queda de pressão no reator catalítico em leito fixo sabendo-se que opera isotermicamente a 550oC e que a pressão de descarga é de 1,5 atm:

a) A vazão mássica do gás (propriedades do N2), 200 Kg/h; b) O catalisador constitui um leito de 30 cm de diâmetro e 1,2 m de altura, porosidade 0,44; c) As partículas de catalisador seguem a distribuição de Gates-Gaudin-Schumann,

µ

= emd

185d

X p

81p ,

,

A esfericidade das partículas é de 0,65. (7.38 – Massarani) Resposta: Dp = 82,22 µ (Sauter), K = 4,79 x 10-8 cm2, c = 1,75, ∆P = 19432 din/cm2. Obs: utilizar escoamento isotérmico de um gás ideal, onde:

∆

+=ρρ

+µ

=∆−

2PP

RTM e GG

Kc

KLP

2



4. Calcular a vazão de água, a 20oC, que a bomba centrífuga Bernet 1-FT-2140 (5HP) fornece à coluna de deionização abaixo esquematizada. A tubulação é de 1 ½”, aço comercial, # 40. Dados: Comprimento total da tubulação: 25 m Desnível entre os pontos 2 e 1: 3 m Altura da coluna: 1 m Diâmetro da coluna: 20 cm Recheio: partículas de dp = 450 µ, esfericidade 0,85, porosidade 38%. Características da bomba 1-FT-2140:

Q (m3/h) 2,5 6,0 7,2 8,4 Carga ( m de água) 60 58 56 53

Considerar: curva de 90o Leq/D = 30, válvula gaveta 75% aberta Leq/D = 35, válvula de retenção L/D = 135, entrada K = 0,50 , saída = K = 1,0, fonte(FOUST).

1x

x 2

1 entrada1 válvula de retenção7 joelhos de 90o

1 válvula gaveta1 saída

Obs. Utilizar para a queda de pressão da coluna a equação de Carman-Kozeni. 5. Deseja-se calcular o desnível H para que a vazão de água na coluna de ionização seja 4

m3/h (30oC). A perda de carga na tubulação é 7,52 m de coluna de água. Dimensões da coluna: diâmetro Dc = 30 cm e altura L = 100 cm. Propriedades do meio poroso: porosidade ε = 0,42, permeabilidade k = 4 x 10-6 cm2 e fator c = 0,40.



L

H

1x

Patm

2 Patm

Coluna de trocaiônica

II. Filtração 1. Foram obtidos os seguintes resultados na filtração de uma suspensão aquosa de CaCO3

(50 g de sólido/l de água) em filtro prensa piloto operando com um quadro (6x6x1¼”) a 25oC e com uma queda de pressão de 40 psi. Determinar a resistividade média da torta <α>, a resistividade do meio filtrante RM e a relação entre os volumes de filtrado e da torta para o quadro cheio. Sabe-se que a densidade do sólido é ρs = 2,7 g/cm3 e que a relação entre massa de torta molhada e massa de torta seca é 1,60. Dados de tempo de filtragem e volume de filtrado:

Tempo de filtração (s) Volume do filtrado (cm3)

18,0 700 40,7 1700 108,2 3700 160,0 4700 320,5 7700 466,7 9700 549,5 10700 637,7 11700 832,5 13700 942,5 14700 1084 15700 1215 16700 1425 17700 1702 18700 2344 19700

(4.52-Massarani) Resposta: <α> = 7,15 x 109 cm/g, RM = 2,51 x 109cm-1, ε = 0,618, VF/VT=20



2. Ensaios com filtro rotativo piloto de 2900 cm2 de área, operando a ∆P = 10 psi, a 20oC, conduziram aos seguintes resultados trabalhando-se com suspensão aquosa de hidróxido de alumínio.

RPM 0,0106 0,0460 0,109 0,334 0,518 Vazão do filtrado (ft3/min) 0,0166 0,0326 0,0403 0,0585 0,0659

para 5% em peso de sólidos na suspensão, angulo de imersão: 90o Calcular a capacidade da unidade (ft3 de filtrado/hm2) operando com a mesma suspensão e o mesmo meio filtrante, a 35oC, ∆P = 10 psi, 1 RPM e imersão de 120o. Resposta: 24,87 ft3/h por m2 de área filtrante.

3. Uma suspensão é filtrada em filtro prensa constituído de 12 quadros de 1 in de espessura e 2 ft2 de área filtrante. Durante os 3 primeiros minutos, nos quais a filtração ocorre a vazão constante, a pressão aumenta até atingir 60 psig. Depois a filtração se dá a pressão constante: em 15 min os quadros estão completamente cheios. Segue-se a lavagem da torta (o filtro dispõe de placas de 3 botões) a 60 psig durante 10 minutos. Qual o volume de filtrado coletado em um ciclo de filtração e qual o volume de água usada na lavagem? A suspensão foi ensaiada em filtro-folha operando com uma área de filtração de 0,5 ft2 em vácuo de 20 in Hg. O volume de filtrado coletado nos 5 primeiros minutos foi de 250 cm3 e nos 5 minutos seguintes 150 cm3. A torta pode ser considerada como sendo incompressível e o meio filtrante é o mesmo no filtro folha e no filtro prensa. Resposta: V(filtrado) = 3,02 ft3.

4. Um pequeno filtro de placas e quadros é usado para filtrar uma lama não compressível. Durante o período de vazão constante a pressão inicial é de 5 psig. Após 25 min de operação, 31,25 gal de filtrado é coletado e a pressão é 50 psig. Se a mesma lama é filtrada pelo mesmo equipamento a uma pressão constante de 50 psig, que quantidade de filtrado pode ser coletado em 20 min? Resposta: 38,37 gal

5. Foram obtidos os seguintes dados em filtro rotativo de laboratório de 2922 cm2 de

superfície filtrante, operando com um vácuo de 3,56 psi:

RPM 0,0106 0,0460 0,109 0,334 0,518 Vazão do filtrado (ft3/min) 0,0166 0,0323 0,0403 0,0585 0,0659

% em peso de sólidos na suspensão: 4,69 Angulo de imersão: 80o Massa da torta/massa da torta seca: 2,25 Viscosidade do filtrado: 1,08 cp Densidade do fluido e das partículas sólidas: 1 g/cm3 e 3,2 g/cm3 Determinar a resistividade da torta e a resistência do meio filtrante. Resposta: α = 4,00 x 109 cm/g, RM = 3,705 x 108 s

6. Especificar o filtro prensa com quadros de metal para a filtração de 10 m3/h da suspensão do problema 1 (4.52 Massarani). 1o caso: a torta não requer lavagem. 2o caso: a lavagem deve ser efetuada com volume duas vezes maior que o volume da torta.



Considerar nas duas situações que o tempo de desmantelamento, limpeza e montagem do filtro seja de 20 min. Índice 1 = unidade de laboratório Índice 2 = unidade industrial Dados de laboratório (problema 1): ∆P = 4 psi e1 = 1 ¼”= 3,2 cm A1 = 456 cm2 (15,1 x 15) (tf)1 = tempo de filtração (quadro cheio = final da reta) 14,5 l ⇒ 920 s (ver gráfico) volume do filtrado (Vf)1 = 14,5 l = 14500 cm3.

20V

V

1t

F =

Dimensões recomendadas para placas e quadros Área total de filtração Dimensão nominal dos elementos

(ft2) (in)

5-35 12 30-100 18 75-250 24 150-450 30 250-700 36 500-1100 43 1/4

>1000 48 e 56

Área filtrante efetiva por quadro Dimensão nominal dos

elementos (in)

ft2 Metal Madeira

12 1.7 0.9 18 3.9 2.3 24 7.0 4.8 30 10.5 7.3 36 15.6 10.5

43 1/4 22.2 15.1 48 28.8 19.7 56 - 28.4



Resposta: a) A torta não requer lavagem

Especificação da unidade industrial

e2 e2 (tf)2 (tl)2 (tf)2 + tl + td (Vf)2 A2 A2

in cm min min min l cm2 ft2

1 2,540 9,6580 0 29,6580 4854,132 192311,5 206,396 1 1/4 3,175 15,0907 0 35,0907 5743,294 182030,8 195,362 1 1/2 3,810 21,7306 0 41,7306 6830,048 180395,7 193,608 1 3/4 4,445 29,5778 0 49,5778 8114,393 183701,1 197,155

2 5,080 38,6322 0 58,6322 9596,329 190094,2 204,016 3 7,620 86,9224 0 106,9224 17499,990 231105,5 248,031

Solução possível: área filtrante, 193,6 ft2, 1 1/2 in, dimensão nominal dos elementos 30 in, número de quadros, 19. Número de quadros = 193.608/10.5 = 18.44 ( aproximado 19) b) A lavagem deve ser efetuada com volume duas vezes maior que o volume da torta

Especificação da unidade industrial

e2 e2 (tf)2 (tl)2 (tf)2 + tl + td (Vf)2 A2 A2

in cm min min min l cm2 ft2

1 2,540 9,6580 7,72643616 37,3845 6118,718 242412,0 260,166 1 1/4 3,175 15,0907 12,0725565 47,1633 7719,209 244656,4 262,575 1 1/2 3,810 21,7306 17,38448136 59,1151 9675,366 255546,5 274,262 1 3/4 4,445 29,5778 23,66221074 73,2400 11987,187 271377,0 291,252

2 5,080 38,6322 30,90574464 89,5379 14654,672 290295,2 311,556 3 7,620 86,9224 69,53792544 176,4603 28881,263 381407,0 409,341

Solução possível: área filtrante, 274,26 ft2, 1 1/2 in, dimensão nominal dos elementos 30 in, número de quadros, 27. Número de quadros = 274.26/10.5 = 26.12 ( aproximado 27) 7. Especificar o filtro rotativo a vácuo a partir dos dados obtidos em filtro folha de

laboratório com suspensão aquosa de carbonato de cálcio, 50 g de sólido/l de suspensão. Densidade do carbonato de cálcio: 2,7 g/cm3. Queda de pressão do filtro: 600 mmHg. Temperatura de operação: 28oC. Produção do filtrado: 10000 l/h.

Resultados obtidos no filtro folha operando com a mesma suspensão, nas condições operacionais indicadas e área filtrante 133 cm2. Tempo de filtração para se obter uma torta de 6 mm de espessura (volume de filtrado 950 cm3), 163 s; Tempo de lavagem da torta (volume de água de lavagem 160 cm3), 130 s; Tempo de secagem (obtém-se um produto com 81% de sólido em massa), 150 s; Tempo estimado para a descarga da torta e limpeza do meio filtrante, 10 s. Dimensões padronizadas de filtros a vácuo Dorr-Oliver



Área da superfície do filtro, ft2

Comprimento, ft Diâmetro

do tambor,

ft 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

6 76 113 151 189 226 8 200 250 300 350 400 10 310 372 434 496 558 620 12 456 532 608 684 760 836 912

(Perry e Green, 1984) Resposta: Sendo o tempo de um ciclo completo 453 s, resulta que a rotação do tambor deve ser 0,132 rpm. A fração submersa é 163/453 e, portanto o angulo de imersão é 130o. Produção de filtrado por unidade de área filtrante: 566 l/m2h. Especificação do filtro considerando um fator de segurança de 10% no cálculo da área: diâmetro do tambor, 8 ft; comprimento do tambor 8 ft.



PROBLEMAS DE FILTRAÇÃO UTLIZANDO O EXCEL

Exercício 1 (filtração)(filtro1.xls)

Tempo de filtração Volume de filtrado (s) (cm3) t/v

18,0 700 0,0257142940,7 1700 0,02394118108,2 3700 0,02924324160,0 4700 0,03404255320,5 7700 0,04162338466,7 9700 0,04811340549,5 10700 0,05135514637,7 11700 0,05450427832,7 13700 0,06078102942,5 14700 0,064115651084,0 15700 0,069044591215,0 16700 0,072754491425,0 17700 0,080508471702,0 18700 0,091016042344,0 19700 0,11898477

y = 3E-06x + 0,0196R2 = 0,9901

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0 5000 10000 15000 20000

V

t/V



Exercício 2 (filtração)(filtro2.xls)

N Q V t/V rpm ft3/min ft3 min/ft3

0,0106 0,0166 1,5660377 15,06024100,046 0,0326 0,7086957 7,6687117 0,109 0,0403 0,3697248 6,2034739 0,334 0,0585 0,1751497 4,2735043 0,518 0,0659 0,1272201 3,7936267

y = 7,6618x + 2,8843R2 = 0,9917

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

V

t/V



Exercício 3 (filtração) (filtro3.xls)

t (min) V (ft3) t/V 5 0,00882867 566,33693210 0,01412587 707,921165

y = 26728x + 330,36R2 = 1

500

600

700

800

0 0,01 0,02 0,03

V

t/V

Sedimentação 6.1

Samuel Luporini e Letícia Suñe - DEQ/UFBa

SEDIMENTAÇÃO

INTRODUÇÃO: A operação permite concentrar suspensões de sólidos em líquidos.

Pode ser realizada em batelada (um simples tanque) ou em equipamento contínuo. Na

sedimentação de uma suspensão, as partículas movem-se para baixo sob ação da

gravidade, deslocando um igual volume de líquido.

A separação de uma suspensão diluída pela sedimentação gravitacional, até se

ter um fluido límpido e uma lama com maior teor de sólidos, é denominada de

sedimentação.

O mecanismo da sedimentação pode ser descrito, através da observação dos efeitos que

ocorrem num ensaio de sedimentação dos sólidos numa suspensão colocada numa

proveta, da seguinte forma:

1) A solução é preparada de modo a Ter a concentração uniforme ao longo de toda a

altura da proveta.

suspensão

2) Logo que o processo de sedimentação principia, todas as partículas começam a

sedimentar. Por hipótese, aproximam-se rapidamente das velocidades terminais.

Estabelecendo-se então zonas com concentrações diferentes.

A

B

C

D

Líquido límpido

Zona de concentração constante (concentração idêntica a inicial)

Zona de concentração variávelZona de sedimento (sólido grosso)

Sedimentação 6.2


À medida que a sedimentação avança, as alturas de cada zona variam. A e D aumentam

e B e C diminuem.

Chega-se a um ponto em que B e C desaparecem e todos os sólidos estão em D. Este

ponto é conhecido como ponto crítico de sedimentação. Neste ponto, a única interface

nítida forma-se entre o líquido limpo e o sedimento.

A

B

C

D

A

B

C

D

A

CD

A

D

1 2 3 4 5 A partir daí (estágio 5), na sedimentação, o processo passa a ser uma compressão lenta

dos sólidos, com a expulsão do líquido retido entre os sólidos para a zona de líquido

limpo (A).

Numa operação descontínua de sedimentação, conforme se ilustrou, as alturas das varias

zonas variam com o tempo.

Num equipamento que opera continuamente, as mesmas zonas estarão presentes.

No entanto, uma vez que se tenha atingido o estado permanente (quando a suspensão da

alimentação é injetada a uma taxa igual à taxa de remoção da lama e do líquido límpido

do decantador), a altura de cada zona serão constantes.

Alimentação

Saída do liquido Límpido

Zona de concentração. UniformeZona de transição

Zona de concentração Variável

Zona de espessamento

Saída de lama espessada

Líquido límpido

Sedimentação 6.3


As operações de sedimentação industrial podem ser efetuadas descontinuamente

ou continuamente em equipamentos denominados tanques de decantação ou

decantadores (espessadores ou clarificadores)

Espessadores: o produto final é lama decantada

Clarificadores: é quando a operação visa obter um líquido límpido, como no tratamento

da água.

Os cálculos necessários para o projeto de um decantador contínuo são

governados pelas características de sedimentação dos sólidos na suspensão. O projeto de

um decantador exige a especificação da área da seção reta e da profundidade.

É possível, a partir da informações da sedimentação descontinua, projetar uma

unidade capaz de produzir, de maneira contínua, um produto com características

especificadas.

Medições no laboratório ⇒ proveta → útil para projetos de sedimentadores que

operam continuamente.

Altura dainterface,

Z

Tempo, θ

Altura da interface entre o

líquido e os sólidos ‘versus‘

tempo de sedimentação

Coeficiente angular da curva → velocidades de sedimentação da suspensão

Parte inicial da curva → linear (velocidade constante)

À medida que o tempo passa a velocidade de sedimentação diminui.

LABORATÓRIO: usar proveta de maior diâmetro para minimizar os efeitos de parede.

Profundidade comparável à profundidade que se terá na unidade

projetada.

Algumas incertezas

Sedimentação 6.4


O mecanismo da sedimentação em batelada

Testes de laboratório: em geral são feitos em provetas graduadas de 1 a 2 litros e servem

para determinar o par velocidade de sedimentação, concentração; necessários para

determinar a área do sedimentador contínuo.

Um teste de batelada é feito colocando-se em um cilindro graduado (proveta) a

suspensão em estudo, a uma concentração conhecida.

Agita-se a suspensão até que fique completamente homogênea e determina-se a altura

da interface.

ε=1 ε=1 ε=1 ε=1

ε=εo

Sedimentação livreA

TransiçãoPonto crítico

Compressão

Alturada interface

do líquidolímpido

tc t

B

C

D

Velocidade de sedimentação ⇒ inclinações da tangente a curva

Durante a 1a fase da sedimentação, contato A-B, o gráfico mostra uma linha reta

indicando assim um trecho de velocidade de sedimentação constante.

Na região da curva que mostra o contato A-C, indica uma diminuição da velocidade, até

atingir o ponto crítico.

A partir deste ponto, ocorre apenas uma compressão lenta dos sólidos e

consequentemente a expulsão do líquido. O trecho mostra uma linha quase paralela ao

eixo do tempo, o que indica velocidade de sedimentação praticamente nula.

Sedimentação 6.5


CÁLCULO DA ÁREA DE UM SEDIMENTADOR

Sedimentador contínuo

Alimentação

Lama

Extravazante

Para realizar o balanço de massa macroscópico identificamos as correntes e

concentrações da seguinte forma:

LO

CO

LV

CV = 0

LS

CS

LE LE

LL(1 - CL)

onde:

LO = vazão de alimentação, L3T-1

LL = vazão da suspensão descendente, L3T-1

LE = vazão do líquido ascendente, L3T-1

LS = vazão da lama que deixa o sedimentador, L3T-1

Sedimentação 6.6


LV = vazão do extravazante, L3T-1

C = concentração do sólido, L3 do sólido/ L3 da suspensão

Subscritos: O = na alimentação, S = na lama espessa

A = área da seção transversal do sedimentador, L2

Admitindo que o extravazante não contenha sólidos (CV = 0).

Balanço de massa do sólido:

SSLLOO CLCLCL == (1)

=

S

LLS C

CLL (2)

Balanço de massa do líquido entre um nível qualquer e a saída do sedimentador:

( ) ( )LLSSE C1LC1LL −=−+ (3)

Substituindo a equação (2) na equação (3), temos:

( ) ( )LLSS

LLE C1LC1

CC

LL −=−

+

−=

−=

SLOO

SLLLE C

1C1CL

C1

C1CLL (4)

Dividindo a equação (4), em ambos os lados, pela área A da seção transversal do

espessador, fica:

−=

SL

OOE

C1

C1

ACL

.AL (5)

[ ] [ ] ( )e velocidadde dimensãoLTL1

TL

AL 1

2

3E −==

)( líquido do ascenção de e velocidad ALE ϑ=

Para que o extravazante seja límpido é necessário que a velocidade de ascensão do

líquido ϑ, não exceda a velocidade de sedimentação do sólido.

Sedimentação 6.7


Para efeitos de cálculos, considera-se a velocidade de ascensão do líquido igual a

velocidade de sedimentação do sólido, portanto:

eAL

LE ϑ=ϑ=

−

ϑ=

SL

LOO

C1

C1A

CL (6), equação da capacidade de sedimentação

Os valores de A devem ser calculados para toda gama de concentrações

presentes no espessador e o projeto deve se basear no maior valor de A obtido.

Classicamente, c x ϑ são determinados através de testes de proveta em 2 versões, ambos

empregando a interface da região clarificada.

MÉTODO DE COE E CLEVENGER (1916)

• Testes de batelada a diversas concentrações, começando com a concentração inicial

da suspensão, até a concentração final, ambas definidas como variáveis de projeto.

• Os pares (ϑL, CL) a serem usados na equação de projeto (6) eram determinados

simplesmente calculando-os para cada concentração CL, a velocidade ϑL, na zona de

sedimentação livre (região retilínea).

CL1

CL2

CL3CL4

ϑL1

ϑL2ϑL3

ϑL4

ZO

t

CL1 > CL2 > CL3 > CL4ϑL1 > ϑL2 > ϑL3 > ϑL4

Com ϑL, CL conhecidos determina-se a capacidade de sedimentação (eq. 6), para

cada par, o menor valor (mais desfavorável) é então escolhido para dimensionar o

sedimentador.

CL1 < CL2 < CL3 < CL4 ϑL1 > ϑL2 > ϑL3 > ϑL4

Sedimentação 6.8


ACL OO menor ou A maior

MÉTODO DE KYNCH (1952)

• Único teste de proveta com a concentração inicial igual a alimentação do

sedimentador, medindo em diferentes pontos da curva t, Z e Zi , como descrito a

seguir:

Da equação para a determinação da área de sedimentação:

−

ϑ=

SL

LOO

C1

C1A

CL , necessitamos determinar os pares ϑL e CL

Porém, segundo Kynch, de acordo com o gráfico altura da interface do líquido

límpido ‘versus’ tempo, temos que:

ZO

Zi

Z

t

Alturada interface

do líquidolímpido

tZZi

L−

=ϑ

e pelo balanço de massa temos:

i

OOL Z

CZC = (demonstração em Foust)

e assim para cada ponto Z x t traça-se a tangente a esse ponto e encontramos Zi com o

qual calculamos ϑL e CL.

Do mesmo modo, como no método de Coe e Clevenger usam-se os pares ϑL e CL, assim

calculados, na equação (6), escolhendo-se o maior valor de A ou o menor valor de

ACL OO .

Sedimentação 6.9


Analisando a equação (6)

−

ϑ=

SLL

00C1

C1CL

A

Logo construindo o gráfico:

Encontra-se o valor da A do sedimentador.

Na realidade, o teste de proveta em batelada não pode simular convenientemente o

sedimentador contínuo.

Além disto, como os campos de concentrações são diferentes nos dois métodos estes

conduzem a resultados diversos. A experiência parece indicar que o método de Kynch é

mais adequado ao projeto que o método de Coe & Clevenger.

A

CL

Ponto de máximo

Sedimentação 6.10


Exemplo 1: Determinar a área de um sedimentador para operar com 45.3 ton/h de

CaCO3 de 236 g de sólido/litro de suspensão aquosa. O lodo deve ter 550 g/litro de

suspensão. ρs = 2,8 g/cm3.

Teste de proveta com

suspensão 236g/l

t (h) z (cm) 0.00 36.00 0.25 32.40 0.50 28.60 1.00 21.00 1.75 14.70 3.00 12.30 4.75 11.50 12.00 9.80 20.00 8.80

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20

t (h)

z

Sedimentação 6.11


0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

t (h)

z (c

m)

zi

zinterceçãocom eixo de z

t (h) z (cm) zi (cm) CL* (g/cm3) νL(cm/h) A

0,500 28,600 36,000 0,236 14,800 7404426,769 1,000 21,000 33,000 0,257 12,000 7825079,590 1,500 16,000 28,500 0,298 8,300 8391540,537 2,000 13,800 20,000 0,425 3,100 7814386,752 2,500 13,000 16,000 0,531 1,200 2455915,083

Sedimentação 6.12


0,0E+00

1,0E+06

2,0E+06

3,0E+06

4,0E+06

5,0E+06

6,0E+06

7,0E+06

8,0E+06

9,0E+06

1,0E+07

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600

CL* (g/cm3)

A (c

m2 )

8,6 x 106

MÉTODO DE TALMADGE E FITCH

• Amin quando se conhece o ponto PC de compressão na curva de decantação e a

concentração da lama espessa CS. Segundo Talmadge e Fitch, se ZS > Zcritico, o tS é

lido como na figura (a). Se ZS < Zcritico, obtém-se tS como mostrado na figura (b).

ZO

ZS

tS

Ponto crítico

ZS > Zcrítico

ZO

ZS

tC tS

Ponto crítico

ZS < Zcrítico

Tangente aoponto crítico

(a) (b)tempo tempo

ZiC

ZC

Sedimentação 6.13


Temos que: iC

OOC Z

CZC = (1) segundo Kynch

C

CiCC t

ZZ −=ϑ (2)

onde: ZS = altura da interface correspondente `a concentração CS especificada para a

lama espessa.

Pelas equações (1), (2) e a equação de projeto:

−

−=

−

−

=SiC

S

OOiC

OO

SOO

S

SiC

SOO

iCOO

min ZZC

CZZ

CZtCL

tZZ

C1

CZZ

CLA

Pelo balanço de massa do sólido:

S

OOSSSOO C

CZZSCZSCZ =∴=

Logo: OO

S

OO

SOOmin CZ

WtCZ

tCLA ==

W = LOCO = vazão volumétrica de sólido na alimentação

Sedimentação 6.14


Exemplo A: Um lodo biológico proveniente de um tratamento secundário de rejeitos,

deve ser concentrado de 2500 mg/l até 10900 mg/l, num decantador contínuo. A vazão

de entrada na unidade é de 4,5 x 106 l/dia. Determinar a área do sedimentador.

t (min) z (cm) 0 51.0 1 43.5 2 37.0 3 30.6 5 23.0 8 17.9 12 14.3 16 12.2 20 11.2 25 10.7

OBTENÇÃO DO PONTO CRÍTICO: (Ver figura na próxima página)

1. A primeira porção da curva representa a sedimentação livre à velocidade quase

constante. Traça-se uma tangente a esta porção da curva.

2. No término do ensaio de sedimentação, onde as concentrações são altas e as

velocidades baixas, a curva mostra um comportamento de velocidade

aproximadamente constante. Traça-se uma tangente a esta porção da curva.

3. As duas tangentes são estendidas até se interceptarem num ponto.

4. Na interseção, traça-se a bissetriz do ângulo. Na interseção desta bissetriz com a

curva de sedimentação obtém-se uma estimativa do tempo crítico, tC, em que os

sólidos entram na zona de compressão, e a concentração em tC é CC.

Sedimentação 6.15


0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

ZS

tStC

ZCPonto crítico

Bissetriz

ZIC

Z0

z (c

m)

t(min)

Sedimentação 6.16


SEDIMENTADORES CONTÍNUOS

Num projeto de um espessador, as áreas requeridas para as funções de

espessamento ou clarificação são calculadas separadamente. A maior das duas áreas

determina o tamanho necessário para encontrar o desempenho específico.

A área de clarificação é estimada a partir da velocidade inicial para a qual a

interface diminui em altura, num teste em batelada. A área deve ser grande o bastante,

de maneira que, a velocidade de subida do líquido ‘overflow’ seja menor que a

velocidade de sedimentação da interface.

A área mínima necessária para a clarificação é dada por:

s

ec

LAϑ

= (1)

onde: Ac = área da superfície de clarificação

Le = vazão ‘overflow’ do liquido clarificado

ϑs = velocidade de sedimentação inicial da suspensão para a concentração de

alimentação.

Uma área maior pode ser desejada para minimizar a remoção de partículas finas que

escampam da suspensão sedimentada.

Na região de compactação (ou espessamento), o sólido e algum líquido movem

para o ‘underflow’. Como o sólido no ‘underflow’ contem menos água que na região

acima, a velocidade do liquido é menor que a velocidade do sólido.

O sólido sedimenta passando a água por uma velocidade diferencial que é

suficiente para carrega-lo a partir da concentração da alimentação para a concentração

‘underflow’.

Os sólidos em um espessador contínuo passam através de um ponto mínimo

entre as concentrações de alimentação e ‘underflow’. Se a taxa de sedimentação de

sólidos relativa ao fluido não é grande o bastante para transmitir ao sólido para que

alcance esta zona limite, os sólidos fluirão para cima e saem no ‘overflow’. A

capacidade do espessador é controlada pela área necessária para passarem os sólidos

através desta zona limite.

Sedimentação 6.17


Muitos modelos para a zona de espessamento são baseados nos trabalhos de Coe

e Clevenger ou Kynch e assume que a velocidade de uma partícula é função da

concentração local dos sólidos.

MÉTODO DE YOSHIOKA E DICK

Num espessador contínuo, os sólidos são sedimentados por gravidade e por

transporte ‘bulk’ devido a remoção dos sólidos para o fundo. Para algum ponto no

espessador o fluxo de massa dos sólidos para a sedimentação por gravidade é:

iig XG ϑ= (2)

onde: Xi = concentração do sólido local

ϑi = velocidade de sedimentação do sólido com concentração Xi

O fluxo de massa para o movimento ‘bulk’ da suspensão é:

biu UXG = (3)

onde: Ub = velocidade ‘bulk’ da suspensão

Se Lu é o fluxo volumétrico deixando o fundo e A área da seção transversal, a

velocidade ‘bulk’ é:

ALU u

b = (4)

O fluxo mássico total de sólidos de concentração Xi é:

biii UXXG +ϑ= (5)

Levando ao seguinte gráfico:

Sedimentação 6.18


Figura 1 – Fluxo de massa dos sólidos em um espessador por gravidade e por

movimento ‘bulk’.

A combinação dos fluxos por gravidade e ‘bulk’ produzem uma curva de fluxo

total com pontos de máximo e mínimo.

Em muitos casos, o mínimo do fluxo total ocorre entre as concentrações de

alimentação e ‘underflow’ e representa a capacidade limite dos sólidos na suspensão.

Na operação normal do espessador, alguns sólidos escapam pelo ‘overflow’.

Para projetos, assume-se que todos os sólidos na alimentação deixam o ‘underflow’.

uuoot XLXLW == (6)

onde: Lo = vazão do influente

Xo = Concentração dos sólidos no influente

Lu = vazão do ‘underflow’

Xu = Concentração dos sólidos no ‘underflow’

Fluxo totalFluxo de escoamento ‘bulk’

Fluxo limitante

Fluxo por gravidade

Concentração de ólid

Fluxo de sólidos

Sedimentação 6.19


A área da seção transversal do espessador é baseada no fluxo limitante do sólido.

ll GXL

GWA oot == (7)

Um método mais conveniente para o projeto utiliza diretamente a curva de fluxo

batelada . A equação (2) mostra que a velocidade de sedimentação por gravidade ϑi, é a

inclinação de uma linha a partir da origem para algum ponto da curva de fluxo batelada

(figura 2).

Figura 2 – Fluxo de massa de sólidos em espessador a partir da curva de fluxo em

batelada.

Se esta linha intercepta a tangente do fluxo em batelada, a intersecção no ponto de

tangencia corresponde a concentração de sólidos limitante, Xl, e o fluxo por gravidade,

Gg.

Por combinação das equações (4) e (6), a velocidade ‘bulk’ é:

Fluxo total

Fluxo de escoament

o ‘bulk’

Fluxo por

Concentração de sólidos

Fluxo de sólidos

Sedimentação 6.20


uu

tub X

GAX

WALU l=== (8)

Desta maneira, a velocidade ‘bulk’ é a inclinação de uma reta tangente ligando o fluxo

de sólidos Gl sobre a ordenada e a correspondente concentração ‘underflow’ na abscissa.

Portanto: Gg = fluxo de sólidos devido a sedimentação por gravidade

Gl – Gg = fluxo devido ao transporte ‘bulk’ quando os sólidos são

removidos para a concentração Xu

Exemplo 2: Um espessador recebe 0,044 m3/s de uma suspensão contendo 2000 mg/l

de sólidos. As velocidades iniciais da zona de sedimentação destes sólidos foram

determinadas por testes de sedimentação em batelada (Coe e Clevenger) dadas abaixo.


(mg/l)

Velocidade de sedimentação

(m/h)

1000 2,74

1500 2,01

2000 1,37

2500 0,73

3000 0,42

4000 0.22

5000 0,13

6000 0,07

Determinar a área do espessador para dar uma concentração ‘underflow’ de 6000 mg/l.

Sedimentação 6.21



Velocidade de

sedimentação

Xi .vi

(g/cm3) (cm/s) g/cm2 s 1000,00 0,0761111111 76,1111111111 1500,00 0,0558333333 83,7500000000 2000,00 0,0380555556 76,1111111111 2500,00 0,0202777778 50,6944444444 3000,00 0,0116666667 35,0000000000 4000,00 0,0061111111 24,4444444444 5000,00 0,0036111111 18,0555555556 6000,00 0,0019444444 11,6666666667

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2000 4000 6000 8000

Xi (g/cm3)

X i.v

i (g/

cm2 s

)

Sedimentação 6.22


CÁLCULO DA ALTURA DO SEDIMENTADOR

Pavlov, Romankov e Naskov (1981) propuseram para a altura do sedimentador a

soma das parcelas indicadas na figura

Lama

α

H1

HC

H2

Região de compactação

2C1 HHHH ++=

onde: H1 pode variar entre 0,45 e 0,75 m

H2 = 0,146R (m)

α = 8,14o

Em relação à altura da região compactação HC, o seguinte procedimento é seguido:

( )XtCLtCLA1

Alíquido

do volumesólido

do volume

H OOOOC +=

+

=

onde: médiosólido do volume

líquido do volumeX

= na região de compactação

t = tempo de residência do sólido na região de compactação.

Sedimentação 6.23


Portanto: ( )X1A

tCLH OO

C +=

Y1

sólido do volumesuspensão da volume

sólido do volumelíquido do volumesólido do volume

sólido do volumelíquido do volume1X1

=

=+

=+=+

onde: Y = fração de volume do sólido na região de compactação.

Y = volume do sólido/volume da suspensão

fsuspensão

fs

fsuspensão

fsfssuspensão X1

Y1)Y1(Y

ρ−ρρ−ρ

=+⇒ρ−ρ

ρ−ρ=⇒ρ−+ρ=ρ

ρ−ρρ−ρ

=⇒fsuspensão

fsOOC A

tCLH

Como suspensãoρ é difícil de se determinar, fazemos:

ρ−ρρ−ρ

=flodo

fsOOC A

tCL34H

O fator 4/3 permite corrigir a imprecisão do emprego da densidade do lodo em vez da

densidade média na região de espessamento

suspensãolodo ρ>ρ

Resta obter o tempo de residência t, desde o início da compactação até que se atinja

a concentração final.

Sedimentação 6.24


Pelo método sugerido por Coulson & Richardson

t = 0ponto crítico

t = tempo de residência(sedimento com a concentração desejada)

a altura total do sedimentador é normalmente tomada como H = 2HC

ou H = H1 + HC + H2

Procedimento seguido por Lennertz (1976)

ZO

Zi

t1 tfi tempo

Alturada

interfaceFinal da reta

Sabemos que: L

OOi C

ZCZ = (Kynch)

No caso CL = CS; sendo CS a concentração da lama (desejada no projeto).

• Marcando Zi, traça-se uma reta tangente a curva.

• No ponto que toca a curva tem-se o ponto correspondente a tfi.

• No ponto no qual termina a seção reta (ou a velocidade constante) tem-se t1, daí:

1fi ttt −=

tfi ⇒ tempo desde o início do processo até a concentração final desejada.

t1 ⇒ tempo somente até o ponto correspondente ao final da seção reta.

Sedimentação 6.25


Exemplo 3: Calcular a altura do seguinte sedimentador:

• Área da seção transversal = 240 ft2

• Vazão de sólidos = 4800 lb/h

• Concentração da lama espessa = 1,5 lbm de H2O/lbm de sólido

• Tempo de compactação: 3h

• ρs = 2,7 g/cm3

• ρf = 1 g/cm3

Obs. use as formula:

csed

s

f

ss

ff

s

f22lodo

H2H

XVV

mm

sólidogOHg5,1

sólidolbmOHlbm5,1w

=

⋅ρρ

=ρρ

====

Exemplo 4: Determinar a área de um sedimentador para operar com 45.3 ton/h de

CaCO3 de 236 g de sólido/litro de suspensão aquosa. O lodo deve ter 550 g/litro de

suspensão. ρs = 2,8 g/cm3.

Teste de proveta com suspensão 236g/l:

t (h) z (cm) 0.00 36.00 0.25 32.40 0.50 28.60 1.00 21.00 1.75 14.70 3.00 12.30 4.75 11.50 12.00 9.80 20.00 8.80

t (h) t(s) z (cm) zi Xi (g/cm³) Vi (cm/s) Xi*Vi 0,00 0 36,00 36 0,2360000000 0,25 900 32,40 36 0,2360000000 0,0040000000 0,00094400000,50 1800 28,60 36 0,2360000000 0,0041111111 0,00097022221,00 3600 21,00 32 0,2655000000 0,0030555556 0,00081125001,75 6300 14,70 22 0,3861818182 0,0011587302 0,00044748053,00 10800 12,30 15,5 0,5481290323 0,0002962963 0,00016240864,75 17100 11,50 13 0,6535384615 0,0000877193 0,000057327912,00 43200 9,80 12,5 0,6796800000 0,0000625000 0,000042480020,00 72000 8,80 11,5 0,7387826087 0,0000375000 0,0000277043

Sedimentação 6.26


0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

t (s)

z (c

m)

0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

1,20E-03

1,40E-03

1,60E-03

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80Xi (g/cm³)

V iX i

(g/c

m²s

)

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.1


FLUIDIZAÇÃO

I. INTRODUÇÃO

Um líquido ou gás que se move a baixa velocidade através de um leito poroso,

como no caso de uma coluna de recheio, não produz movimento nas partículas. O fluido

circula através de pequenos e tortuosos canais perdendo energia de pressão.

No entanto se aumentarmos constantemente a velocidade do fluido, alcançaremos

um ponto em que as partículas não ficarão mais estacionárias, se separarão umas das outras

e passarão a serem sustentadas no fluido. Diz-se então que o leito esta fluidizado.

Aumento da

velocidadedo fluido

fluido fluido

Leito fixo Leito fluidizado

MECANISMO DE FLUIDIZAÇÃO

Quando um fluido escoa, de cima para baixo, através de um leito de partículas

sólidas, não se verifica qualquer movimento das partículas. Se o fluxo for laminar a queda

de pressão, através do leito, será diretamente proporcional a vazão.

Lei de Darcy: Darcy observou a vazão de fluido (água) através de um leito de areia,

constatou que:LP

AQou

LPKq P

∆α

∆=



fluido

Porem quando o fluido escoa de baixo para cima, através do leito, teremos:

1. A baixas vazões

• A queda de pressão (∆P) também será proporcional a vazão.

• O leito permanecerá em repouso.

2. Aumentando-se a vazão

• Chega-se a um estágio em que as partículas passam a rearranjar-se de maneira a

oferecer menos resistência ao fluxo.

• O atrito entre as superfícies das partículas vai então diminuindo e o leito começara a

se expandir.

• Este processo continua até quando as partículas assumem uma forma mais solta.

3. Aumentando-se mais a vazão

• As partículas passam a se movimentar livremente sustentadas no fluido.

• Neste estágio diz-se então que o leito esta fluidizado.

• A queda de pressão = peso aparente das partículas (peso – empuxo)

FLUIDIZAÇÃO HOMOGÊNEA E HETEROGÊNEA COM GASES E LÍQUIDOS

⇒ A baixas velocidades tanto gases como líquidos apresentam o mesmo comportamento.

⇒ Para velocidades maiores:



Líquidos: a expansão do leito mantém seu caráter uniforme, com a intensidade de

agitação das partículas aumentando progressivamente. Neste caso tem-se a fluidização

homogênea.

Gases: o leito se divide em duas fases distintas:

⇒ Fase contínua, densa e de emulsão

⇒ Fase descontínua, empolada ou de bolhas (fluidização heterogênea ou agregativa)

Bolhas

Homogênea Heterogênea ⇒ Na fluidização heterogênea ou agregativa o sistema assemelha-se muito a um

líquido em ebulição.

⇒ Se a velocidade é alta e o recipiente é estreito, pode haver formação de bolsas de

gás que ocupam toda a seção reta. Essas bolsas se alternam com as camadas de

partículas sólidas e acontece então o fenômeno de fluidização empolada ou

empistonada .

Fluidização empoladaou empistonada



⇒ Wilhelm e Kwauk, sugeriram que o número de Froude:

nalgravitacio energiacinética energia

gdu

Frp

2mf ==

proporciona um critério para predizer o tipo de fluidização. Sendo:

umf = velocidade mínima superficial de fluidização.

dp = diâmetro da partícula

g – aceleração da gravidade

Segundo os autores, para:

Fr < 0,13 ⇒ fluidização homogênea ou particulada

Fr > 0,13 ⇒ fluidização heterogênea (bolhas ou agregativa)

Uma informação mais detalhada sobre o fenômeno mostra que (Foust):

( )( ) 100DLReFr s <

ρρ−ρ

⇒ Fluidização homogênea ou particulada.

quando > 100 ⇒ Fluidização agregativa.

Fr, Re e a profundidade L → devem ser tomados no ponto de fluidização mínima (ponto

B).

Fr = Frmf (Rice e Wilhelm)

Re = Rep,mf (Romero e Johansen)

L =Lmf

4 grupos adimensionais: Frmf, Rep,mf, DL , mfs

ρρ−ρ

,



Leito fixo Fluidizaçãoincipiente(expansão)

Fluidizaçãohomogênea

Gás ou líquido Gás ou líquido Líquido

Fluidizaçãoheterogênea

Fluidizaçãoempolada

Transportepneumáticoe hidráulico

Lm

Lmf

Lf

Lf

Gás Gás Gás ou líquido (alta velocidade)



ANÁLISE DA QUEDA DE PRESSÃO COM O AUMENTO DE q

∆P

0

A BC D

E

Leito fixo Leito fluidizado

q

⇒ Região 0A - relação linear: ∆P α q ⇒ leito fixo

Queda de pressão aumenta até o ponto em que a força de pressão se iguala ao peso

aparente da partícula.

⇒ Região AB – leito inicia a expansão

A porosidade do leito aumenta.

A queda de pressão aumenta mais lentamente.

⇒ Região BC – A queda de pressão diminui um pouco devido ao aumento da porosidade.

⇒ Região CD – Partículas passam a se movimentar estanco suspensas no fluido = leito

fluidizado.

Aparência de um líquido em ebulição.

⇒ Região DE – porosidade aumenta ainda mais nas proximidades do ponto D, já começa a

existir o arraste e, no ponto E, a porosidade é próxima de 1.



ANÁLISE DA QUEDA DE PRESSÃO COM A DIMINUIÇÃO DE q

∆P

0

A

q

∆Pmf

F

E

qmf

⇒ O leito se contrai até a condição em que as partículas mal se apoiam umas sobre as

outras (ponto E). Não existe mais a força de atrito entre as partículas que no caso

anterior teria que ser vencida

⇒ Diminuindo-se ainda mais a vazão, o leito permanece fixo e tem-se então o ∆P

proporcional a vazão, sendo que a linha EF é um pouco deslocada da linha A0 devido a

não existência da perda de carga devido a ação de ruptura do leito, existindo somente a

perda de carga devido ao atrito fluido-partícula.

No sentido contrário, quando atinge o ponto A a vazão deve ser aumentada ainda mais

para as partículas se soltarem.

POROSIDADE MÍNIMA DO LEITO

A porosidade aumenta do seu valor na condição de leito fixo.

A porosidade para qual começa a haver fluidização é chamada de porosidade de

mínima fluidização (εm ou εmf).

εmf depende da forma e tamanho das partículas.



ALTURA DO LEITO

Quando a vazão do fluido ultrapassa a velocidade mínima de fluidização (qmf), o

leito se expande e aumenta sua porosidade. Se a área da seção transversal do recipiente não

varia com a altura, a porosidade é uma função direta da altura do leito.

Seja: L0 = altura do leito compacto com porosidade zero.

L = altura do leito fluidizado.

Como: ( )

LL

1AL

LLAVV 00

total

vazios −=−

==ε

Em geral se conhece a porosidade do leito para uma condição (mínima fluidização

ou a de leito fixo).

Sabendo-se a altura do leito nesta condição, a altura do leito para uma nova

porosidade será:

2

02

1

01 L

L1

LL

1 −=ε−=ε

( )11011

0 1LL1LL

ε−=⇒ε−=

( )22022

0 1LL1LL

ε−=⇒ε−=

( ) ( ) ( )( )2

1122211 1

1LL :Logo 1L1Lε−ε−

=ε−=ε−

Por exemplo: Para determinar L2 , temos ε1 = εmf , L1 = Lmf e ε2 a porosidade para a altura

a determinar.



QUEDA DE PRESSÃO, VELOCIDADE MÍNIMA DE FLUIDIZAÇÃO

Equações básicas da mecânica do contínuo:

1. Continuidade

( ) ( ) 0ut ff =ερ⋅∇+ερ

∂∂ r (fluido) (A)

( )[ ] ( )[ ] 011t ss =ϑρε−⋅∇+ρε−

∂∂ r

(sólido) (B)

2. Movimento

para o fluido:

( ) gmpuutu

fffrrrrr

r

ρ+−τ⋅∇−−∇=

⋅∇+

∂∂

ερ (C)

para o sólido:

( ) ( ) ( )( )g1mt

1 fsssrrrr

r

ρ−ρε−++τ⋅−∇=

ϑ⋅ϑ∇+

∂ϑ∂

ε−ρ (D)

onde: ϑrr eu = velocidades intersticiais do fluido e sólido

ε = porosidade do sistema

p = pressão do fluido

fτr = tensor tensão extra do fluido

sτr = tensor tensão extra no sólido

mr = força resistiva devido a interação fluido-sólido



Desprezando os termos de aceleração das equações (C) e (D) de movimento para o

fluido e partícula e tomando 0s =τr (pouco conhecida) e 0f =τ

r (só é importante para

alguns casos envolvendo fluidos não Newtonianos); então:

Equação de movimento para o fluido simplificada

gmp0 frr

ρ+−−∇= (1)

Equação de movimento para o sólido simplificada

( )( )g1m0 fsrr

ρ−ρε−+= (2)

No início da fluidização:

Resulta da equação (1)

mzdpd=

− (3)

Resulta da equação (2)

( )( )g1m fsmf ρ−ρε−=− (4)

Combinando as equações (3) e (4) resulta:

( )( )g1dzdp

fsmf ρ−ρε−=

( )( )g1L

pfsmf

mf

ρ−ρε−=∆

(5)

⇒ Queda de pressão em leito fluidizado de partículas uniformes (fluidização de boa

qualidade).



CURVA CARACTERÍSTICA

∆P

0 q

∆Pmf

F qmf

AW

Para o cálculo da velocidade mínima de fluidização, deve-se empregar a equação

constitutiva para mr .

Fluido Newtoniano:

qqK

CK

m f rrr

ρ+

µ=

Da equação (4):

( )( )g1qqK

CK fsmfmfmf

mf

fmf

mf

ρ−ρε−=

ρ+

µ

A dificuldade esta na estimativa de εmf.

Alguns dados de Kunii e Levenspiel para a fluidização com gás (Tabela 3 pag. 72)

εmf (experimentais)

Partículas Dp (mm) 0,05 0,07 0,10 0,20 0,30 0,40

Areia (φ = 0,67) 0,60 0,59 0,58 0,54 0,50 0,49

Areia (φ = 0,86) 0,56 0,52 0,48 0,44 0,42 -



Para estimar Kmf e Cmf pode-se usar as fórmulas clássicas.

( )( )2

mf

3mf

2p

mf 1180

dK

ε−

εφ= Kozeny-Carman

98,001,0

mf

o37,0

mf

o23

mfmf K

K10,0

KK

13,01C

+

ε

= Massarani

Ko = 10-6 cm2

ESCOLHA DO TIPO DE DISTRIBUIDOR

A qualidade de borbulhamento na fluidização é fortemente influenciada pelo tipo de

distribuidor utilizado.

⇒ Para poucas aberturas de entrada do ar: a densidade do leito flutua apreciavelmente para

todas as vazões (20 a 50% do valor médio), sendo mais severa para altas vazões.

⇒ Para muitas aberturas de entrada do ar: a flutuação no leito é desprezível para baixas

vazões de ar mas torna-se apreciável para altas vazões.

A densidade do leito é mais uniforme, as bolhas são pequenas e o contato gás-sólido é

mais intimo com menos canais de gás.

⇒ Meio poroso densamente consolidado (placa sinterizada ou placas com muitos orifícios

pequenos: o contato gás-sólido é superior. Mas a partir do ponto de vista industrial ou

em larga escala tem a desvantagem da alta queda de pressão.



Qualidade pobremuita flutuaçãona ρb, com canais

Melhor qualidademenos flutuaçãona ρb, menos canais

Maior ∆P

Um orifício multi-orifícios sinterizada

(influência do distribuidor)

Materiais do distribuidor:

Cerâmicos: resistentes a corrosão de gases e altas temperaturas, mas são poucos resistentes

a choque térmicos ou tensões de expansão.

Metálicos: são os preferidos – são resistentes e econômicos globalmente.

PROJETO DO DISTRIBUIDOR

O distribuidor deve ter suficiente queda de pressão para efetuar um escoamento

equilibrado através dos orifícios.

Agarwal et al. leitomin,d P1,0P ∆=∆ (1)

Com um valor mínimo de 35 cm H2O.



Procedimento:

1) Determinar a pressão necessária através do distribuidor pela equação (1)

2) Calcular: µρ

= ott

udRe (2)

Dt = diâmetro próximo a placa

uo= velocidade superficial do leito próximo a placa

µ = viscosidade do gás

Ret = Reynolds próximo à placa

Encontrar C’d pela figura 1.

Área de aberturano distribuidor

< 10%

C’d

µρ

= ott

udRe



3) 21

dcdor

Pg2Cu

ρ∆′= (3)

uor = velocidade no orifício

∆Pd = queda de pressão no distribuidor

4) entealeatoriamescolher ordistribuid do área

orifícios de númeroNor →=

oror2oro Nud

4u π

=

encontrar

5) Para leitos de partículas finas:

( )21

dcor

Pg285,0a70,0u

ρ∆

=

APLICAÇÕES INDUSTRIAIS DO LEITO FLUIDIZADO

Operações físicas: transporte, aquecimento, adsorção.

Operações químicas: reações de gases em catalisadores sólidos e reações de sólidos com

gases.

OPERAÇÕES FÍSICAS:

⇒ Transporte

⇒ Mistura de finos pulverizados

⇒ Trocador de calor

⇒ Revestimento de materiais plásticos sobre superfícies metálicas

⇒ Secagem

⇒ Crescimento de partículas e condensação de materiais sublimados



⇒ Adsorsão

OPERAÇÕES QUÍMICAS

⇒ Reações de síntese

O leito fluidizado é utilizado em lugar do leito fixo para as reações de fase gasosa

catalisadas por sólidos, em face da necessidade de um rigoroso controle de temperatura,

visto que:

a) A reação pode ser explosiva fora de um estreito limite de temperatura.

b) Reações em paralelo serem bem sensíveis ao nível de temperatura.

c) Pontos quentes no catalisador podem provocar uma rápida deterioração e

desativação do catalisador que normalmente é estável e não requer regeneração.

d) O controle de temperatura é difícil nestas reações visto que as mesmas são

altamente exotérmicas. Exemplo: Oxidação do etileno; Síntese do anidrido ftálico.

CRAQUEAMENTO E REFORMA DE HIDROCARBONETOS

Reações de craqueamento: quebra das cadeias dos hidrocarbonetos para produzir

substâncias de menor peso molecular.

Reações de reforma: síntese das cadeias para produzir substâncias de maior peso molecular.

As reações de craqueamento e reforma possuem duas características comuns:

a) As reações são endotérmicas

b) São acompanhadas da deposição de carbono nas superfícies sólidas

CARBONIZAÇÃO E GASEIFICAÇÃO

⇒ Carbonização do óleo de xisto e do carvão

⇒ Gaseificação do carvão e do coque

⇒ Ativação do carvão vegetal

CALCINAÇÃO E REAÇÃO PARA FORMAÇÃO DO CLÍNQUER

⇒ Calcinação de pedra calcária, dolomita e rocha fosfatada

⇒ Produção do clínquer do cimento



REAÇÃO GÁS-SÓLIDO

⇒ Queima de minérios sulfatados

⇒ Redução do óxido de ferro

ALGUMAS APLICAÇÕES DO LEITO FLUIDIZADO

Secador

Ciclones

Alimentação inferior a 4 mesh

Mistura 2%Inferiora 325 mesh

Produto fino65-325 mesh

Cercade 74oC

Ar

Combustível

Ar quenteAr

Produto grosso4- 80 mesh

Sistema Dorrco fluoSolids para secagem e classificação de tamanhos das partículas de dolomita Secagem de: Limestone, dolomita, carvão, plásticos (ex: partículas de polipropileno)

Limestone:

2-3% de água → 0 TLeito = 94-107oC DLeito = 2,74 m 125 ton/h

5% de água → 0 TLeito = 150-200oC DLeito = 3,66 m 150 ton/h



A eficiência térmica α Tgas – TLeito(vaporização do solvente ou água)

Reator químico catalisado

Produto da reação

Resfriador

Água de refrigeração

Catalisador

Etileno + ar

Filtro

CH2 = CH2 2CO2 + 2H2O

+ [O]

H2C CH2

O

+ 5 [O]

Na temperatura ótima

Acima da temperatura ótima

+ 6 [O]



Oxidação catalítica do etileno fornecendo etileno glicol → rigoroso controle de temperatura

para não ocorrer um decréscimo de rendimento.

Redução do óxido de ferro por hidrogênio

46 atmMinério de ferro em pó

98 %

87 %

47 % reduzido

⇒ 50 tons/dia de ferro ⇒ DR = 1,7 m, altura = 29 m

⇒ Fe2O3 + 4 H2 → Fe + 4H2O

Magnetita



FCC (Fluid Catalyst Cracking Process)

Cracking de hidrocarbonetos vaporizados em compostos de menor peso molecular:

Reator

Produto

Óleo

Vapor

Ar

Ar

Regenerador

Processo endotérmico

Reator a 480-540oC, onde o petróleo vaporizado alimentado é craqueado pelo contato com

partículas quentes de catalisador.

Tempo de residência 5 a 10 min → rápida deposição de carbono e desativação do

catalisador → Regenerador a 570 – 590oC onde o carbono depositado é reduzido, através

da queima com ar, de 1 a 2% para 0,4 – 0,8%, 5 a 10 min.



VANTAGENS DO LEITO FLUIDIZADO

1) O sistema tem comportamento semelhante aos “líquidos” o que torna fácil a operação

em grande escala e o controle automático.

Objeto leve flutua na superfície

A superfície superior permanece horizontalquando o recipiente é inclinado

Escoamento em jato atravésde um orifício

Níveis de dois leitos interligados se igualam

∆P

A queda de pressão no leitoé proporcional ao peso do leito



2) A mistura rápida das partículas faz com que se tenha praticamente um leito isotérmico,

daí sua grande importância em relação aos reatores químicos. Permite evitar os pontos

quentes nas reações exotérmicas.

3) Coeficiente de transferência de calor e massa elevados entre partículas/fluido e entre o

leito/partículas nele imerso.

DESVANTAGEM DO LEITO FLUIDIZADO

1) Alta erosão nas tubulações e reservatórios.

2) Algumas partículas não permitem uma fluidização adequada: as que são frágeis e se

pulverizam, as que se aglomeram e as que sinterizam.

3) No reator químico o tempo de residência do fluido é baixo.

Reatores de leito fluidizado

Conclusões:

⇒ A fluidização é uma ferramenta potente e versátil para os reatores.

⇒ Processos são criados em decorrência dos avanços em catálise e projeto de reatores e

de interação entre estes.

LEITO FLUIDIZADO ‘VERSUS’ LEITO FIXO

⇒ O leito fixo é mais simples (menor número de graus de liberdade para as fases: sólido

não se move)

⇒ O leito fixo deve ser utilizado sempre que apresente desempenho adequado

1) Na oxidação de SO2, Te – Twall é maior que 300oC.

A seletividade varia com o progresso da reação.



Para um leito fixo

⇒ Desativação do catalisador

⇒ Temperatura média do catalisador tende aumentar

⇒ O controle é muito difícil

2) Para um leito fixo, seletividade e reatividade são constantes

3) Para um leito fixo tubular o coeficiente global de transferência de calor é baixo

U ~ 2-3 BTU/h ft2 oF

⇒ Para leitos fluidizados tem-se valores de coeficientes mais elevados

U ~ 50 BTU/h ft2 oF

4) Perigo de explosão em leitos fixos.

5) Facilidade de alimentação e descarga de sólidos em leitos fluidizados.

6) Altas taxas de transferência de calor entre partículas/fluido em leito fluidizado.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.24


FLUIDODINÂMICA DO LEITO DE JORRO

Leito de jorro: é formado pela penetração de um jato de fluido através de um leito de

partículas sólidas.

Entrada do fluido

Fonte

Superfície do leito

Jorro

Região anular

Interface jorro-região anular

Base cônica

Figura 1: Diagrama esquemático do leito de jorro, as setas indicam a direção do movimento

do sólido.

⇒ Coluna cilíndrica assentada sobre uma base tronco cônica, em cuja extremidade fica

localizado o orifício, através do qual dá-se a entrada do fluido no leito.

Fluido: gás usualmente ar.



⇒ O leito de jorro é constituido de uma região central diluída, na qual os sólidos

deslocam-se concorrentes com o fluido e de uma densa, região anular, com percolação

de fluido contracorrente com as partículas.

Na interface entre o jorro e o espaço anular, as partículas sobem com alta velocidade

através do jorro, atritam-se com as da fase densa, de modo que esta ação de choque faz com

que as partículas desta fase penetrem no jorro e retornem juntamente com a corrente

ascendente.

A maior parte dos sólidos da região anular desloca-se para baixo, através da coluna

e da base cônica e só nas proximidades do orifício de entrada de ar invertem seu sentido de

movimento retornando o deslocamento ascendente.

No jorro, as partículas na base do leito aceleram-se até a velocidade máxima e então

desaceleram-se até atingir novamente a velocidade zero no topo da fonte, que é a região

onde o jorro aflora através da superfície do leito.

A concentração das partículas no jorro aumenta com a distância ao orifício de

entrada do fluido, devido ao efeito combinado de decréscimo da velocidade das partículas e

do fluxo de sólidos proveniente do espaço anular.

CURVA CARACTERÍSTICA PARA LEITO DE JORRO

⇒ Inicialmente o gás apenas percola entre as partículas ( figura 2 ) e o sistema comporta-

se como um leito fixo.

⇒ Com o aumento do fluxo, surge nas proximidades do oríficio de entrada do gás uma

cavidade devido à ação do jato que já é suficiente para deslocar as partículas. Esta

cavidade vai se alongando dando origem ao jorro interno, ao tempo em que a perda de

carga aumenta até o ponto B, onde se verifica a queda de pressão máxima (-∆PM).

Neste ponto B, a altura do jorro interno é bem maior que a de sólidos compactados na

parte superior do leito, de modo que incrementos na vazão de gás implicam em

decrescimo da queda de pressão através do leito. Continuando o aumento de fluxo, a

queda de pressão prossegue diminuindo até o ponto C correspondente ao jorro



Velocidade superficial do ar, m/s

Que

da d

e pr

essã

o, k

N/m

2

Vazão

de ar

aumen

tando

Vazão de ar decrescendo

-∆PM

-∆PS

Figura 2: Curvas típicas de velocidade do ar ‘versus’ queda de pressão (dp = 3,6 mm,

Dc = 15,2 cm, Di = 1,27 cm, θ = 60).

incipiente, no qual existe uma instabilidade no jorro interno, em virtude da oscilação da

altura do mesmo (formação de bolhas).

No ponto C, qualquer incremento de gás faz com que a queda de pressão caia bruscamente

até o ponto D no qual o jorro aflora através da superfície do leito. A partir deste ponto,

incrementos na vazão acarretam somente a elevação da fonte e a queda de pressão mantem

constante (-∆PS).

Processo inverso ( ---- decrescimo da vazão de ar)

Com a redução do fluxo de gás o jorro mantém-se até o ponto C’ correspondente ao

jorro mínimo ( Ujm).



Jorro mínimo: tem-se a menor vazão com a qual se pode obter o jorro estável.

Prosseguindo a redução da vazão, chega-se a um ponto B’ máximo de queda de pressão, no

entanto bem abaixo do ponto B, pois no processo inverso a perda de carga é devida

sómente a interação gás-sólido, não havendo mais a ação de rutura do jato através do leito.

A partir daí a queda de pressão volta a decrescer à medida que se processam as reduções da

vazão de gás.

(a) (b) (c) (d) Figura 3

A figura 3 ilustra a transição a partir do leito fixo (a), para jorro (b), para leito de

bolhas (c) e empistonado (d), que muitas vezes ocorrem com o aumento da velocidade do

gás.



DIAGRAMA DE FASE

LEITO COM

BOLHAS

LEITOEMPISTONADO

(SLUGGING)

JORROESTÁVEL

LEITO FIXO

JORROPROGRESSIVAMENTE

INSTÁVEL

ALT

UR

A D

O L

EITO

, cm

VELOCIDADE SUPERFICIAL DO AR (m/s) Figura 4: Diagrama de fases-Trigo, dp = 3,2 x 6,4 mm, Dc = 15,2 cm, Di = 1,25 cm

⇒ A linha representa a transição entre o leito fixo e o agitado (jorro ou fluidizado).

⇒ Mostra que para um dado material sólido em contato com um fluido específico numa

vasilha de geometria fixa, existe uma altura máxima do leito de jorro HM, a qual a ação

do jorro não ocorre mas sim uma fluidização de má qualidade.

⇒ A velocidade mínima de leito de jorro para esta altura de leito (HM), pode ser 50%

maior que a correspondente velocidade mínima de fluidização Umf.

⇒ O diagrama indica também que para um dado sólido, gás, e diâmetro de coluna, há um

máximo de entrada de ar em que o jorro não ocorre, o leito muda diretamente de fixo

para o estado fluidizado agregativo.



PRINCIPAIS PARÂMETROS ENVOLVIDOS NA FORMAÇÃO DO JORRO

1- tamanho da partícula

2- distribuição de tamanhos das partículas

3- diâmetro da entrada de gás

4- diâmetro da coluna

5- ângulo do cone

6- fluxo de gás

7- altura do leito

PRINCIPAIS PARÂMETROS DE PROJETO

1- queda de pressão

2- queda de pressão em condições de jorro mínimo: ∆Pjm

3- velocidade do fluido em condições de jorro mínimo: qjm

4- altura máxima de jorro estável: HM

correlações → previsão razoavel somente em determinadas situações.

projeto seguro → protótipo para testes em escala de laboratório.

1 a 3 → necessários ao dimensionamento do soprador ou compressor.

4 → avaliação da maior quantidade de material que pode ser processado no equipamento.

APLICAÇÕES DA TÉCNICA DO LEITO DE JORRO QUE SE ENCONTRAM EM USO

INDUSTRIAL

1- Secagem de materiais granulares

2- Granulação

3- Secagem de suspensões e soluções

4- Pré aquecimento do carvão

5- Resfriamento de fertilizantes



6- Mistura de sólidos granulares

7- Ativação do carvão vegetal

APLICAÇÕES DA TÉCNICA DO LEITO DE JORRO QUE SE ENCONTRAM EM

TESTES, OU OPERANDO EM ESCALA DE LABORATÓRIO

1- Reação-granulação

2- Operações de revestimento

3- Purificação de gases

4- Pulverização

5- Carbonização do carvão a baixas temperaturas

6- Redução do minério de ferro

7- Produção do clinquer de cimento

8- Craqueamento térmico do petróleo.

Os parâmetros relevantes na análise de operações envolvendo transferência de

momento, calor e massa:

⇒ Diâmetro de jorro

⇒ Velocidade do fluido

⇒ Velocidade das partículas sólidas

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Leito de jorro → sistema particulado: Fase densa (anular)

Fase diluída (jorro)

Equações básicas da mecânica do contínuo

Equação da continuidade

( ) ( ) 0ut ff =ερ⋅∇+ερ

∂∂ r

fluido (1)



( )[ ] ( )[ ] 011t ss =ϑρε−⋅∇+ρε−

∂∂ r

Sólido (2)

Equação de movimento:

Para o fluido

( ) gmpuutu

fffrrrrr

r

ρ+−τ⋅∇−−∇=

⋅∇+

∂∂

ερ (3)

Para o sólido

( ) ( ) ( )( )g1mt

1 fsssrrrr

r

ρ−ρε−++τ⋅−∇=

ϑ⋅ϑ∇+

∂ϑ∂

ε−ρ (4)

onde:

ϑrr eu = velocidades intersticiais do fluido e sólido

ε = porosidade do sistema

p = pressão do fluido

fτr

= tensor tensão extra do fluido

sτr = tensor tensão extra no sólido

mr = força resistiva devido a interação fluido-sólido

As equações (3) e (4) pode ser resolvida com os conhecimentos dos termos

constitutivos:

→τ⋅∇ sr pouco conhecida

→τ⋅∇ fr só é importante para alguns casos envolvendo fluidos não Newtonianos

→mr devido a um grande conjunto de dados experimentais para fluido Newtoniano →

forma quadratica de FORCHHEIMER.

( )ϑ−ε

ϑ−ε

µρ

+µ

=rrrrr

uuKC

1K

m f (5)



k = permeabilidade, pode ser estimada pelo modelo capilar de Kozeni-Carman

( )22p

3

136

Dk

ε−β

ε= (6)

onde: φ== pv

p da6D , dp = diâmetro equivalente (diâmetro de uma esfera tendo o mesmo

volume da partícula)

partícula da específica superfície partícula da volumepartícula da superfíciea v ==

β = f(forma,ε), β ≅ 5 para 0,3 ≤ ε ≤ 0,5

C = fator adimensional (Thirriot etal.)

32130

o2720

o23 k

k106

kk

1001c

×+

ε= −

,,

, (7)

ko = 10-6 cm2 (permeabilidade de referência)

A equação (7) é válida para ε ≤ 0,7.

ANÁLISE DIMENSIONAL

⇒ Sistemas diluidos: transporte hidraulico ou pneumático de partículas em dutos.

⇒ Combinando as equações de movimento do sólido e do fluido com dados

experimentais, chega-se a correlações do tipo:

[ ]MvGaRe,f ,=ε (8)



que também é útil na descrição da dinâmica do jorro.

µ

εϑ−ρ=

rrudRe

fp (número de Reynolds) (9)

2

2fp gd

Gaµ

ρ= (número de Galileo) (10)

f

fsMvρρ−ρ

= (massa volumétrica) (11)

dp = diâmetro da esfera com o mesmo volume que a partícula.

Dinâmica do leito de jorro:

⇒ Equação (1) a (4) mais termos constitutivos

⇒ Condições de salto na interface espaço anular-jorro

⇒ Condições de contorno

Análise → compreensão para algumas correlações da literatura.

1. Queda de pressão máxima de jorro

⇒ ∆PM deve se aproximar do ∆P para a fluidização

⇒ Desprezando os termos de aceleração na equação de movimento para o fluido e para as

partículas e tomando 0s =τr , temos

mpr

−=∇ (fluido)

( )( )g1m fsrr

ρ−ρε−−= (sólido)



Combinando as duas equações, temos:

( )( )g1p fsr

ρ−ρε−−=∇ ou

( )( )c

fsmfM AMgg1Hp =ρ−ρε−−=∆ (12)

onde: H = altura do leito expandido

M = massa do leito

Ac = área da seção transversal da coluna

A equação (12) é o resultado de MALEK e LU (1965)

2. Queda de pressão em condições de jorro mínimo

A forma da equação (12) mantém-se na previsão de ∆pjm

( )( )g1Hp fsmfjm ρ−ρε−α=∆ (13)

⇒ Um número substâncial de resultados indica que α = 2/3 (MALEK e LU)

3. Velocidade do fluido em condições de jorro mínimo

⇒ Condições de altura máxima de jorro estável,

qqK

CK

m f rrr

ρ+

µ=

e na equação (4) desprezando os termos de aceleração e de tensões, temos:



( )( )g1m fsrr

ρ−ρε−−=

Logo: ( )( )g1qqK

CK fsjmjm

f ρ−ρε−=

ρ+

µ (14)

Equação (14): fornece uma previsão razoável para qjm com erro de 20%

BECKER: qjm esced qmf (mínima fluidização) por 10 à 33%.

MATHUR-GISHLER: Para valores fixos de DC/Di, empiricamente:

HD1q

Cjmα

4. Vazão do gás no espaço anular e de jorro

A vazão do gás no espaço anular pode ser estimada pela equação de movimento do

fluido, medindo-se o gradiente de pressão nesta região e a velocidade das partículas sólidas.

mzdpd=

−

( ) ( ) ( )2aa

2mff

aamf u

KC

uKdz

dpϑ+

ερ+ϑ+

εµ=

− (15)

A vazão do gás no jorro resulta:

−

=

anular espaço nofluido do vazão

fluido do totalca volumétrivazão

smjorro no fluido do

ca volumétrivazão

3

faffj QQQ −= (16)



5. Velocidade das partículas sólidas no espaço anular e no jorro

⇒ Velocidade do sólido no espaço anular → visualização direta

⇒ Velocidade do sólido no jorro

Vazão do sólido

Vazão do fluido

εj

Para regiões anular e de jorro

( ) 02133,0j Mv.GaRe58,1 −=ε para εj < 0,85 Angelino

6. Altura máxima de jorro estável: HM

MATHUR e GISHLER observaram que para uma dada coluna operando com determinado

sistema gás-partícula, existe uma altura máxima do leito HM acima da qual não se verifica

jorro estável.

H < HM → a estabilidade do jorro pode ser mantida a vazões de gás maiores que a

necessária ao jorro mínimo.

H = HM → um incremento do fluxo de ar acima do requerido para o jorro mínimo, ocorre

fluidização heterogênea ou de movimento empistonado.

2j

2i

4Cp

M DDDd192,0

H = Mathur e Epstein (1974)

onde: Dj = diâmetro do jorro

Di = diâmetro de entrada do ar

31p

32Cj dD07,1D =



MODIFICAÇÃO: TUBO CENTRAL

ar ar

Vantagens da utilização do tubo central

a) Jorro ocorre a menores queda de pressão.

b) Melhor controle sobre a taxa de recirculação e tempo de residência das partículas.

c) Menores vazões de ar são requeridas para uma dada circulação de sólidos.

d) A estabilidade do jorro é verificada para qualquer altura do leito, tanto na geometria

cônica como na convencional.

Desvantagens:

a) ausência de mistura pelo movimento lateral das partículas na secção anular com o jorro

→ reduz a eficiência de mistura global.

b) riscos de entupimento do tubo pelo sólido.



FORMA CÔNICA

Ângulo do cone: forma cilindrica com base cônica e totalmente cônica.

A seção inferior cônica facilita o escoamento do sólido a partir da região anular para

dentro da região do jorro.

Com uma base plana ao invés da cônica forma-se uma zona de sólidos estagnada,

porém não afeta a estabilidade do jorro.

Se o cone é tão ingreme, o jorro torná-se instável pois o leito inteiro tende a ascender

com o jorro do gás.

A limitação do ângulo do cône depende das características de fricção interna dos

sólidos, mas para muitos materiais esta na região de 40o.

Dc

θ

Di

Numa dada coluna o HM decresce com o aumento de Di até que o valor limite é alcançado,

onde o jorro não ocorre mais.

BECKER sugeriu que o valor crítico é:

35,0DD

c

i =



APLICAÇÕES

ALIMENTAÇÃO

Transportador

Ciclone

Resfriador deleito fluidizado

Elevador

Armazenagemdo produto sêcoSopradorSoprador

Pré-aquecimentodo ar

Secadorde leitode jorro

Figura 1: Secador de grãos para produtos agrícolas (ervilhas, lentilhas, linho)

Dc (secador: leito de jorro) = 61 cm , Altura = 1,78 m

Dc (resfriador: leito fluidizado) = 76 cm

O ar é aquecido por combustão direta de gás natural.

Capacidade = 2000 kg de lentilhas/hora pela faixa de 8,8% de mistura (base seca).

TLeito = 45 – 78o C (ervilha)

Tar = 124 – 284oC (ervilha)



Gás quente

Líquidoquente

Fino

Produto

Grosso

Triturador

Sólidoreciclado

Figura 2: Sistema granulador por leito de jorro

O leito neste processo consiste de partículas do material a ser granulado, a fase líquida

é injetada na base junto com o gás quente.

Uma fina camada de líquido é depositada sobre as partículas circulando quando elas

passam no líquido spray, o qual é secado pela ação do gás quente sobre as partículas

que ascendem pelo jorro e descem pela região anular.

As partículas crescem pelo mecanismo do crescimento de camadas.

Produto bem uniforme.

Enxofre, níquel, uréia, sulfato de amônia.



Cobertura de partículas (indústria farmacêutica)

Gás quenteTar = 63oC

Líquido aquecido

Tar = 26oC

⇒ Operação em batelada, para assegurar um tempo de residência igual no leito para

partículas individuais.

⇒ Líquido de cobertura pré-aquecido e borrifado por bico de atomização pneumática.

⇒ Após a quantidade desejada de solução para a cobertura se suprida pelo leito, é

admitido um período de secagem para remover algum solvente individual, com uma

redução da vazão do ar com o leito numa condição quiescente.

⇒ Secagem quase instantânea após a cobertura.

⇒ Tempo de cobertura para 70 – 100 kg de partículas de 10 mm: 1 a 1,5 horas.

⇒ Espessura da cobertura (média) = 82 –133 µm.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.42


TRANSPORTE PNEUMÁTICO

⇒ Um dos métodos usados nas indústrias para transportar sólidos de um lugar para o

outro utiliza ar a altas velocidades. Este processo é conhecido como transporte

pneumático.

⇒ O ar escoa através de dutos a altas velocidades (15 a 35 m/s) utilizando sopradores

ou equipamentos que fazem vácuos. Diâmetro do duto 50 a 400 mm.

⇒ Dois tipos comuns de sistema de transporte pneumático:

1. Pressão negativa (vácuo)

CAIXADE

ARMAZENAGEM

ENTRADADE AR

SOPRADORFILTRO DE AR

CAIXA

CICLONE

⇒ São limitados à pequenos vácuos que podem ser criados quando os sólidos tem que

serem transportados a partir de vários pontos em uma planta para um único ponto de

distribuição.

⇒ 5gás do massa

sólido do massa< (McCabe)



2. Pressão positiva

CAIXADE

ARMAZENAGEM

SOPRADOR

CICLONE

CAIXA

FILTRO DE AR

ENTRADADE AR

⇒ Operam com sopradores ou compressores de ar (ou nitrogênio) com 1 a 5 atm dentro

do sistema.

⇒ Normalmente usado para transportar sólidos a partir de um único ponto para vários

pontos de distribuição.

⇒ 5gás de massa

sólido de massa>

⇒ As vezes o gás é reciclado para a entrada do soprador ou compressor num sistema

fechado ⇒ gás valioso ou para prevenir a perda do pó pela atmosfera.

TRANSPORTE PNEUMÁTICO DE PARTÍCULAS

(KUNII E LEVENSPIEL, FLUIDIZATION ENGINEERING)

⇒ Sólidos altamente densos → transportador de correia, transportador de caçambas

⇒ Sólidos ou mistura de baixa densidade → transporte pneumático

⇒ 80. excede nunca 100, a 1sólido do escoamento de taxa

gás do escoamento de taxa≈

⇒ Velocidade do gás ≥ velocidade do sólido

⇒ Transporte pneumático a alta velocidade



Queda de pressão friccional elevada

Atrito rápido de partículas

Erosões nas linhas de transferência

Para minimizar estes efeitos a velocidade deve ser a mais baixa possível; este

limite inferior é governado pelas condições onde os sólidos se ajustam ao

escoamento.

1. Velocidade mínima de escoamento horizontal, (saltitation velocity).

2. Velocidade mínima de escoamento vertical (choking velocity).

3. Queda de pressão considerando o transporte pneumático.

ASPECTOS TEÓRICOS

1. Transporte pneumático em tubos verticais e horizontais

É de grande importância no dimensionamento as determinações:

- da queda de pressão

- do regime de escoamento, conhecidas as vazões Wf (fluido) e Ws (do sólido), o

diâmetro do tubo e as características das partículas sólidas.

Regime de escoamento em tubos verticais

Quando a vazão de fluido é suficiente para transportar os sólidos as baixas

concentrações volumétricas ( < 5%), tem-se um regime em fase diluída.

Com a diminuição da vazão do fluido e mantendo a vazão dos sólidos pode-se obter um

regime de transporte instável ⇒ escoamento em bolhas, semelhante a fluidização

heterogênea.

As vazões mais baixas de fluido, o leito de partículas se move em bloco com

concentrações próxima ao do leito fixo, obtendo-se o transporte em fase densa.



Transporteem fasedensa

Transporte com bolhas

Transporte em fasediluídaε =

ε mf

choc

king

mf

ss

q

Wlog

ρ

mf

ff

q

Wlog

ρ

Linhas limites: métodos de previsão do ponto ‘chocking’ e da fluidização insipiente

Velocidade mínima de escoamento horizontal do gás-sólido (saltitation velocity)

(Zens and Othmer)

Gs3

Gs2

Gs1

Gs = 0

Log

(∆p/

l

Log uo

E

CF

D

Saltitation velocity, ucs

Gs = 0 representa a perda de fricção para um gás livre de partículas através de um cano

horizontal.



Gs1, Gs2 ⇒ perda friccional da mistura gás-sólido transportando sólidos de velocidade

mássica Gs1 e Gs2.

Para altas velocidades (Uo) todas as partículas são transportadas em suspensão

sem sedimentar ( C na curva Gs1).

Mantendo a taxa de alimentação do sólido (Gs1) fixa e reduzindo lentamente a

velocidade do gás do ponto C ao D ⇒ o sólido move-se mais lentamente, os vazios da

mistura tende a diminuir, e a perda friccional também diminuirá.

No ponto D as partículas começam a sedimentar no fundo do tubo e um

equilíbrio é estabelecido entre a altura desta camada sedimentada e a camada de mistura

acima.

A velocidade crítica do gás corresponde ao ponto D e é chamada de velocidade

de saltitation, ucs.

uc depende de Gs.

A partir de D a resistência friccional pula para E e então aumenta estavelmente

com o decréscimo da velocidade do gás.

Velocidade de escoamento vertical mínima para o gás-sólido (Choking velocity)

(Zens and Othmer)

Gs2

Gs1Gs = 0

C

D

E

uch , Choking velocity

log

(∆P/

l)

Log uo



A partir da maior velocidade de escoamento (ponto C) vertical de uma mistura gás-

sólido (Gs1) reduz-se gradualmente a velocidade do gás uo.

Observa-se que:

A resistência friccional do escoamento da mistura diminui.

Quantidade de sólido aumenta lentamente, a fração de vazios diminui, e a pressão

aumenta.

C → D mudança na resistência friccional predomina e a pressão total diminui.

Uma adicional diminuição no escoamento do gás causa um rápido aumento no

sólido e a queda de pressão total aumenta.

Perto de E a densidade da mistura torna-se elevada para suportar o sólido, e ocorre

um estado agregado.

A velocidade superficial no ponto E é chamada de velocidade ‘choking’, uch.

2. Transporte hidráulico

Os principais objetivos no estudo de transporte de partículas consistem na determinação

da queda de pressão e da velocidade de escoamento, o que permite o cálculo da potência

da bomba ou soprador.

Transporte hidráulico: horizontal, vertical.

Transporte hidráulico vertical

gráfico: queda de pressão piezométrica por unidade de comprimento ‘versus’

velocidade média de escoamento VM da mistura no transporte hidráulico em dutos

verticais.



WS2

WS1

WS=0

WS2 > WS1

Log

(∆P/

L)

Log (VM)C Log VM

fluido

mistura

Parâmetros WS: vazãomássica do sólido cte .WS2 > WS1, WS = 0

Como característica principal do escoamento tem-se nesse uma uniformidade de

concentração na seção transversal do tubo, mesmo havendo uma diferença de

velocidades intersticiais entre o fluido e as partículas, em toda a faixa de velocidade de

transporte.

Nesse escoamento existe para a mistura, um limite inferior de velocidade (VM)C

(figura), para qual a uma vazão fixada de sólidos cessa o transporte de um dado tipo de

sólido, e que se denomina velocidade crítica de transporte vertical (“choking velocity”).

Transporte hidráulico horizontal

Regimes de escoamentos

No transporte horizontal, a ação do campo gravitacional provoca a existência de

diversos regimes de escoamento que dependem, para um sistema, do nível de

velocidade de escoamento, e para sistemas diferentes, também das propriedades físicas

e dimensões das partículas transportadas.



1 2 3 4

VM4 VM3 VM2 VM1

Mistura

Fluido puro

Log VM

1- leito estacionário2- leito deslizante3- escoamento assimétrico4- escoamento simétrico

Diagrama típico do transporte hidráulicohorizontal.

WS2

A) escoamento pseudo homogêneo ocorre a velocidade superiores a VM1, onde uma

suspensão, apesar de possuir uma tendência a sedimentar, se mantém com uma

distribuição uniforme concentrada na seção do tubo devido a valores elevados de

velocidade, denominada de escoamento simétrico.

B) escoamento heterogêneo: observado nas velocidades entre VM1 e VM2, que se

caracteriza por uma distribuição não uniforme das partículas sólidas na seção

transversal do duto e sendo denominada também de escoamento assimétrico.

VM2 : ocorre o gradiente mínimo de pressão (velocidade crítica do transporte

horizontal).

Nas vizinhanças de VM2 tem-se no sentido das velocidades decrescentes, o início da

formação de um depósito de sólidos na tubulação.

O transporte de sólidos é normalmente realizado, por razões econômicas, neste regime

heterogêneo.

C) escoamento em saltos ou de leito deslizante



• escoamento bastante irregular => depósito de sólidos se desloca como ‘dunas’ na

parte inferior do tubo.

• Faixa de velocidade entre VM2 e VM3

D) escoamento com leito estacionário: ocorre com velocidades inferiores a VM3,

ocorrendo sob elevado gradiente de pressão devido à formação de um depósito estático.

C) e D) => interesse apenas teórico.

Escoamento laminar => obtenção de propriedades reológicas

Escoamento turbulento => transporte de suspensões através de dutos (minerodutos)

ESCOAMENTO LAMINAR

Obtenção das propriedades reológicas das suspensões.

Caracterização da suspensão:

Equação de Rabinowitch-Mooney: escoamento em tubos cilíndricos.

)A(Slnd

YlndY

4

1Y

4

3+=λ

λ = taxa de deformação

Y = taxa de deformação aparente

S = tensão de cisalhamento

(C) L4PDS,(B)

DV8Y ∆

==

V = velocidade média do fluido no tubo.



•Dados ∆P/L ‘versus’ V para um tubo de diâmetro D

• Constroe-se a curva S ‘versus’Y

• Obtém-se a taxa de deformação real, a partir da equação (A)

• Obtendo-se S para cada λ => associa-se a modelos matemáticos

S = f(λ)

Modelos reológicos mais empregados

• Modelo de Bingham

S

λ

So

λµ+= poSS

Modelo de Ostwald-de-Waele (lei das potências)

Pela lei das potências

YlnnMlnSlnYMS n +′=⇒′=

onde: S = tensão de cisalhamento, obtida da equação (C) e

Y = taxa de deformação aparente, obtida da equação (B)

M’ = grau de consistência aparente do fluido

Obs.: n nem sempre é constante



ln S

ln Y

Obtem-seYlndSlndn =

Como YlndSlndn = a equação (A), fica:

Yn4

1n3nY

41Y

43

+

=λ⇒+=λ , ou seja:

taxa de deformação aparente real = (fator de correção de Rabinowitch) ⋅ (taxa de

deformação aparente)

λ=η

SalRe , analogamente

YS

aparente =η

Pela lei das potências, temos que: λ+=⇒λ= lnnMlnSlnMS n

ln S

ln λ

n > 1, dilatante

n = 0, newtoniano

n < 1, pseudo plástico

nM

nn2M

M

n2n6

8M

DVRe

+

ρ=

−

Relação entre os índices de consistências dos fluidos M e M’ nn YMMS ′=λ= , logo

nnn

YMYn4

1n3M ′=

+ , portanto:

n

1n3n4MM

+′=



Ver exemplo: suspensão de minério de ferro: Tópicos Especiais em Sistemas

Particulados, vol. 1, pag. 241.

Cw = 75%, n=0,78, M=0,28

Cw = 65%, n=0,82, M=0,13

Cw = 25%, n=0,91, M=0,02

30oCTensão cisalhanteS (din/cm2)

Taxa de deformação λ (s-1)

Fluido pseudoplástico



TRANSPORTE HIDRÁULICO E PNEUMÁTICO DE PARTÍCULAS:

FORMULAÇÕES

REF: Massarani, Giulio, Fluidodinâmica em sistemas particulados, Editora

UFRJ, 1997.

O transporte de partículas sólidas por arraste em fluido conduz, de um modo

geral, à formação de um campo de porosidade heterogêneo na seção transversal de

escoamento da mistura sólido-fluido. Em algumas situações, no entanto, dependendo da

natureza do problema em estudo, a formulação para o transporte de partículas pode ser

substancialmente simplificada considerando que a mistura comporta-se como um fluido

homogêneo:

a) Transporte pneumático vertical em fase densa (fluidização incipiente) ou em fase

diluída (porosidade superior a 95%); transporte vertical sem restrições;

b) Transporte hidráulico em qualquer configuração no caso em que as partículas são

pequenas, verificando-se o critério empírico de Newitt;

fluido-sólido mistura de e velocidadV arraste de fluido no partículas das terminale velocidad

tubodo diâmetro D :deOn

)1( 1VgD1800Ne

M

2M

==ν=

<ν

= ∞

e transportde al transversseção da área A fluido do ca volumétrivazãoQ sólido de ca volumétrivazãoQ :onde

(2) A

QQV

F

S

FSM

===

+=

A diferença entre as formulações para os casos a) e b) reflete na dificuldade na

medida das propriedades reológicas da suspensão constituída por partículas

relativamente grandes (caso a) e pelo fato de que nesta situação o valor da velocidade

relativa fluido-partícula no transporte pneumático pode ser significativamente maior que



zero. Como conseqüência, o valor da porosidade no transporte depende da

fluidodinâmica do sistema particulado.

Apesar destas considerações, há o consenso bem cristalizado na literatura de que

o projeto e o estabelecimento das condições operacionais das linhas de transporte

hidráulico e pneumático não podem prescindir de estudos conduzidos em unidade

piloto bem instrumentada.

7.1 TRANSPORTE VERTICAL HOMOGÊNEO: PARTÍCULAS GRANDES

p2

p1

L

z

S F

Os efeitos causados pela aceleração do sistema nãosão considerados e o transporte é, por exemplo,vertical ascendente.

Equação do movimento para a mistura homogênea:

(3) gD2

VfLp

MM

2M ρ+

ρ=

∆−

( )

( ) ( )( ) (5) 11

(4) DVRe,De,Reff

FFSSFM

M

MMMM

ρ+ρ−ρε−=ρε−+ερ=ρµ

ρ==

A equação do movimento para o fluido no sistema particulado, que permite calcular a

porosidade no transporte é:

( ) ( ) ( )( ) (6) g1UU FS2

2F1F ρ−ρε−=εφµ+εφµ

( )

( ) ( ) kc ,k

(7) 1AQ

AQU

221

SF

ε=εφε=εφ

ε−−

ε=



Nestas equações: ρM e µM densidade e viscosidade da mistura sólido-fluido, f é o fator

de atrito na interação fluidodinâmica entre a mistura e a parede do duto onde ocorre o

transporte.

A comparação entre os valores do gradiente de pressão calculados através da

equação (3) e os valores resultantes da experimentação conduzida no transporte

pneumático em fase densa, no transporte pneumático de fase diluída e no

transporte hidráulico, segundo vários autores parecem indicar que a viscosidade e o

fator de atrito da mistura podem ser expressos pela viscosidade e o fator de atrito do

fluido, este último representado pela equação clássica:

(8) Re

81,6De27,0log2

f1

9,0

M10

+−=

Onde: e/D é a rugosidade relativa do duto.

7.2 TRANSPORTE HIDRÁULICO HOMOGÊNEO

Dependendo das condições fluidodinâmicas, o transporte hidráulico de

partículas pequenas (Ne < 1) pode ser formulado do mesmo modo que o escoamento

de fluidos homogêneos com características não-newtonianas. O balanço global de

energia entre dois pontos da instalação leva a:

( )

( )

nula) fases as entre relativa e(velocidad QQ

Q

1,A

QQV

(10) D2

VLfW

(9) WWzgp

SF

F

SFMSF

M

2M

A

AM

+=ε

ρε−+ερ=ρ+

=

=

−=∆+ρ∆

∑



A viscosidade efetiva da suspensão, µef, depende da natureza da mistura, através da

relação entre a taxa de distensão (λ) e tensão cisalhante,

( ) (12) S

(11) tica)caracterís distensão de (taxa D

V25,6

*

*

ef

M*

λλ

=µ

=λ

acidentes. e dutos incluindo ,instalação da totaleequivalent ocompriment L.escoamento no atrito pelo dissipada suspensão) de massa de unidade(por energiaW

instalada bomba pela fornecida suspensão) de massa de unidade(por energiaW

A

==

=

A equação 12, tem natureza empírica e o procedimento sugerido para o cálculo da

viscosidade efetiva independe do tipo do modelo reológico associado à suspensão.



QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS DE OPERAÇÕES UNITÁRIAS DA

INDÚSTRIA QUÍMICA I

Sedimentação, Fluidização e Transporte Pneumático e Hidráulico de partículas

Professor Samuel Luporini 1. A indústria de papel Bananal Paulista estuda a possibilidade da utilização de um

sedimentador Dorr-Oliver com 23 m de diâmetro e 3 m de altura para o tratamento de licor negro. Calcular a capacidade do sedimentador para as seguintes condições operacionais: 6,7 g/l a concentração do sólido na alimentação e 19 g/l a concentração de sólidos no lodo. Densidade do sólido, 2,8 g/cm3. Temperatura: 25oC.

Ensaio de proveta a 25oC (6,7g/l de suspensão):

t (min) 0 2,5 5 10 15 20 30 50 70 z (cm) 30 26,5 23,2 16,6 13,5 12,4 11,2 10,4 10,2

Resposta: O fator limitante é a altura do sedimentador: a capacidade recomendada é da ordem de 20 m3/h de alimentação. 2. Determinar o diâmetro e a altura de um espessador DORR para operar com 20m3/h

de uma suspensão aquosa de barita (ρs = 4,1 g/cm3) a 30oC. A concentração de sólidos na alimentação é de 103 g/l de suspensão e o lodo final deve Ter 346 g/l de suspensão. Ensaio de proveta a 30oC conduziu aos seguintes resultados:

tempo de sedimentação (min) Altura da interface de clarificação (cm)

0 40,0 2 37,0 5 32,4 10 24,9 14 18,8 18 12,6 23 8,5 26 7,4 30 6,3 33 5,6 40 4,8 45 4,5

Resposta: Diâmetro do sedimentador = 3,08 m, H = 1,05 m. 3. Deseja-se estimar a capacidade de um sedimentador lamelado no tratamento de uma

suspensão floculenta de hidróxido de alumínio: concentração inicial 4,5 g/l e concentração final 22 g/l. O sedimentador funciona em contracorrente com 30 lamelas ativas, 1,80X2,00 m, espaçamento 6 cm e inclinação de 60o com a horizontal.

Ensaio de proveta (4,5 g/l de suspensão)



t (min) 0 3 7 13 18 25 30 35 40 45 z (cm) 35 32,2 27,4 20,6 16,2 11,2 8,5 6,4 5,0 4,2

O procedimento para o cálculo da área de sedimentação do sistema lamelado é o mesmo do sedimentador Dorr-Oliver, devendo-se considerar a soma das áreas projetadas das lamelas ativas na horizontal. Resposta: Área de sedimentação: 54 m2, capacidade do sedimentador lamelado : 35 m3/h de alimentação.

4. Calcular a altura do seguinte sedimentador: • Área da seção transversal = 240 ft2 • Vazão de sólidos = 4800 lb/h • Concentração da lama espessa = 1,5 lbm de H2O/lbm de sólido • Tempo de compactação: 3h • ρs = 2,7 g/cm3 • ρf = 1 g/cm3 Obs. use as fórmula:

csed

s

f

ss

ff

s

f22lodo

H2H

XVV

mm

sólidogOHg5,1

sólidolbmOHlbm5,1w

=

⋅ρρ

=ρρ

====

Resposta: 1,46 m

5. Os seguintes dados foram obtidos por Leva et al. (“Fluid flow throught packed and

fluidized systems”, Bureau of Mines, Boletim 504, p.142, 1951) para a fluidização com ar de catalisador Fischer-Tropsch (massa de sólidos 7234g, operação a 91oF e pressão atmosférica, diâmetro do tubo 4”, ρs = 5 g/cm3).

Velocidade mássica

do gás (lb/ft2h) Queda de pressão

no leito (lb/ft2) Altura do leito

(ft) 228 200 1,51 194 190 1,40 160 187 1,34 142 184 1,29 127 181 1,26 109 179 1,22 94,7 166 1,21 82,8 137 1,21 69,1 115 1,21 55,3 90,6 1,21 41,2 67,5 1,21 27,6 45,6 1,21 14,2 22,8 1,21 7,95 11,4 1,21



a) Determinar (dpφ) efetivo do sistema a partir dos dados de leito fixo. b) Determinar através dos dados experimentais a porosidade e a velocidade na mínima

fluidização. c) Verificar o resultado clássico da fluidização

AWp =∆−

onde ∆p é a queda de pressão no leito, W o peso do leito e A a área da seção de fluidização.

d) Estimar o valor da velocidade na mínima fluidização através de correlações fornecidas pela literatura e comparar os resultados com o valor experimental.

∆P Po L ∆P/L G G densid. q ∆P/L ∆P lb/ft2 ft lb/ft2h lb/ft2s lbm/ft3 ft/s lb/ft2

200.00 2316.80 1.51 132.450331 228.00 0.06333333 0.0755 0.838559 132.450 200.00190.00 2306.80 1.40 135.714286 194.00 0.05388889 0.0754 0.715124 135.714 190.00187.00 2303.80 1.34 139.552239 160.00 0.04444444 0.0753 0.590193 139.552 187.00184.00 2300.80 1.29 142.635659 142.00 0.03944444 0.0753 0.524152 142.636 184.00181.00 2297.80 1.26 143.650794 127.00 0.03527778 0.0752 0.469102 143.651 181.00179.00 2295.80 1.22 146.721311 109.00 0.03027778 0.0752 0.402798 146.721 179.00166.00 2282.80 1.21 137.190083 94.70 0.02630556 0.0749 0.350988 137.190 166.00137.00 2253.80 1.21 113.223140 82.80 0.02300000 0.0745 0.308919 113.223 137.00115.00 2231.80 1.21 95.041322 69.10 0.01919444 0.0741 0.259110 95.041 115.0090.60 2207.40 1.21 74.876033 55.30 0.01536111 0.0737 0.208533 74.876 90.6067.50 2184.30 1.21 55.785124 41.20 0.01144444 0.0733 0.156197 55.785 67.5045.60 2162.40 1.21 37.685950 27.60 0.00766667 0.0729 0.105172 37.686 45.6022.80 2139.60 1.21 18.842975 14.20 0.00394444 0.0725 0.054400 18.843 22.8011.40 2128.20 1.21 9.421488 7.95 0.00220833 0.0723 0.030538 9.421 11.40



y = 386.26x - 3.4035R2 = 0.9969

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400

q

∆P/

L

10

100

1000

0.01 0.10 1.00

q

P

(0.402798; 179.00)



6. Sobreiro (1980) estudou experimentalmente a influência da pressão na fluidização de partículas esféricas de vidro com ar a 20oC:

Pressão (atm) Porosidade na fluidização mínima

Velocidade na fluidização mínima

(cm/s) 1 0,502 0,147 5 0,491 0,143 10 0,483 0,146 15 0,483 0,147 20 0,480 0,147 25 0,476 0,145 30 0,476 0,145 35 0,472 0,146

Sabendo-se que o diâmetro médio das partículas é 30,4 µm, estimar pela equação teórica os valores da velocidade de fluidização mínima e comparar com os resultados experimentais. A densidade das partículas de vidro é 2,443 g/cm3. Resposta:

P ε qmin ρ do ar K C q q atm exp. exp. (g/cm3) cm-2 Forccheimer Darcy

cm/s cm/s cm/s 1 0.502 0.147 1.21E-03 2.683E-08 1.703 0.181 0.181 5 0.491 0.143 6.05E-03 2.403E-08 1.820 0.165 0.165 10 0.483 0.146 1.21E-02 2.217E-08 1.912 0.154 0.154 15 0.483 0.147 1.82E-02 2.217E-08 1.912 0.153 0.154 20 0.48 0.147 2.42E-02 2.151E-08 1.948 0.149 0.150 25 0.476 0.145 3.03E-02 2.066E-08 1.997 0.144 0.145 30 0.476 0.145 3.63E-02 2.066E-08 1.997 0.143 0.144 35 0.472 0.146 4.24E-02 1.984E-08 2.048 0.138 0.139

7. Deseja-se projetar um sistema de fluidização destinado à secagem de produto

químico. Diâmetro do secador: 30 cm Carga de sólido: 39 kg Propriedades das partículas: diâmetro médio 90 µm, esfericidade 0,8 e densidade 2,1 g/cm3 Estimativa do valor da porosidade na fluidização mínima: 0,48. Para uma velocidade superficial de ar duas vezes maior que a fluidização mínima, estimar:



a) altura do distribuidor formado por esferas de aço com diâmetro 200 µm tal que a queda de pressão através deste seja 10% da queda de pressão do leito fluidizado; porosidade 0,38.

b) A potência do soprador para o serviço. As propriedades do ar devem ser calculadas a 150oC e 1 atm.

Resposta: Estimativa do valor da velocidade de fluidização mínima, admitindo o

escoamento como sendo darcyano: 0,56 cm/s.

Cálculo da queda de pressão no leito fluidizado: 109 cm H2º Cálculo da altura do distribuidor: 13,42 cm Potência do soprador: 0,051 cv.

8. Deseja-se projetar um reator em leito fluidizado

Diâmetro do reator: 35 cm Carga de sólido: 75 kg Densidade do sólido: 3 g/cm3 Diâmetro da partícula: 40µ (φ = 0,7) Fluido com as propriedades do ar a 350o e 1 atm Altura do leito na fluidização mínima: 50 cm Distribuidor: placa sinterizada de 6 mm de espessura: k = 5 x 10-9 cm2 e ε = 0,32 Calcular: a) A velocidade de mínima fluidização; b) Potência do soprador para uma velocidade superficial 2,5 vezes maior que

aquela de mínima fluidização. Resposta: a) 0,0964 cm/s. b) 0,017 cv (η = 0,5)

9. Seja o transporte pneumático vertical ascendente de alumina em tubo liso de 1,27 cm de diâmetro interno. Calcular o gradiente de pressão no transporte sabendo que a vazão mássica das fases fluida e sólida é de respectivamente 0,0514 g/s e 8,42 g/s. O transporte ocorre em fase densa com porosidade da ordem daquela da fluidização mínima, no caso 0,48 (Santana, 1982). Propriedades das partículas sólidas: densidade 3,97 g/cm3, diâmetro médio, 0,20 mm e esfericidade 0,7. O gás de arraste tem as propriedades do ar a 20oC e 3,3 atm. Resposta: Gradiente de pressão no transporte pneumático: 2,03x103 dyn/cm2.

10. Estimar a potência de bombeamento no mineroduto da SAMARCO: - Dutos de aço de 45 cm de diâmetro interno; - Extensão: 400 km; - Desnível entre a mina de Germano e o terminal de Ubu: 1000 m; - 12 milhões de toneladas de minério de ferro /ano (polpa com 65% de minério,

em peso) - Parâmetros reológicos da suspensão a 30oC (G.L.V.Coelho, C.Costapinto

Santana e G.Massarani, “Reologia de Suspensões de Minério de Ferro”, Anais do IX ENEMP, Salvador, 1981).



Waele)-de-Ostwald de (fluidocm/dyn13,0SBingham)de(fluidocm/dyn10x17,212,7S

282,0

22

λ=

λ+= −

Onde S é a tensão cisalhante e λ a taxa de deformação;

- A densidade do minério de ferro é 4,8 g/cm3; - A instalação funciona 300dias/ano. Resposta: Binghan : 20661 HP (η = 70%), Ostwald-de Wale : 23495 HP (η = 70%).

11. Uma suspensão de minério finamente dividido em água tem o seguinte comportamento reológico:

Taxa de distensão (s-1) 0 3 10 50 100 200 300 600 Tensão cisalhante (g/cms2) 0 1,54 4,90 20,4 33,2 53,9 71,9 116

2,5 m

15 m

Patm

Patm

Calcular o tempo necessário para carregarcom a suspensão um caminhão com10 m3 de capacidade. A tubulação é deaço comercial e tem 2” de diâmetro (#40)e comprimento equivalente total 25 m.Densidade da suspensão: 1,3 g/cm3.

Resposta: fator de atrito (f) = 2,88 x 10-2; velocidade da mistura, VM = 429 cm3/s; Taxa de distensão característica, λ* = 516 s-1 Viscosidade efetiva, µef = 0,203 cp; Vazão de suspensão, QM = 0,56 m3/min; Tempo para carregar o caminhão: 18 min. 12. Seja o transporte hidráulico de dolomita, 65/100# Tyler, densidade 2,8 g/cm3 e

esfericidade das partículas 0,59. O transporte é feito a 30oC em tubulação de aço, 4” de diâmetro: 1500 m na horizontal e 150 m na vertical ascendente. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 20% das perdas nos dutos. Vazão mássica de sólido, 8 ton/h. Calcular: a) A vazão de água sabendo que a velocidade da mistura deve ser 20% superior

àquela de deposição das partículas; b) A potência da bomba para o serviço.



• Transporte vertical (formulação das anotações de aula) • Transporte horizontal (formulação das anotações de aula → cálculo aproximado) • Transporte vertical (formulação de Santana → cálculo rigoroso) Velocidade crítica da mistura, abaixo da qual ocorre o depósito de partículas,

077,0p

46,0

F

s31vMC D

D1gDc34,6V

−

ρρ

=

Gradiente de pressão,

38,1

F

s

23,0p

232M

Fv

FT 1DD

gDV385

Lpc

Lp

Lp

−

ρρ

=

∆−

∆

−−

∆− −

onde cv é a concentração volumétrica de sólidos. Resposta: Velocidade crítica de mistura, VMC = 189 cm/s; velocidade da mistura no transporte, VM = 227 cm/s; vazão de água, QF = 63,4 m3/h; vazão de mistura, QM = 66,2 m3/h; carga da bomba, 300 m de coluna de suspensão com densidade µM = 1,08 g/cm3; potência da bomba (eficiência 0,7), 115 cv (método rigoroso), 85 cv (método aproximado).

13. Calcular a vazão da água e a potência de bombeamento requeridas para o transporte hidráulico de 40 ton/h de areia na instalação abaixo esquematizada. Os dutos são de aço com diâmetro 5” e o sistema deve operar com uma velocidade de mistura 20% maior que a velocidade crítica de deposição. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 25% daquela proporcionada pelos dutos. Temperatura no bombeamento: 30oC. Densidade e esfericidade da areia: 2,6 g/cm3 e 0,78.

# Tyler Fração retida 35 + 48 0,30 48 + 65 0,40 65 + 100 0,30



100 m

15 m

80 m

3 m15 m

9 m

Resposta: A solução deste problema é obtida através da formulação indicada no problema anterior. Conclusões: vazão de água, 136 m3/h; vazão da mistura areia-água, 151 m3/h; concentração volumétrica de sólido no transporte, 10,2%; potência da bomba, 50 cv (eficiência 0,6)(pelo cálculo rigoroso de Santana).

Agitação e mistura de líquidos 8.1

Samuel Luporini – DEQ/MEC/UFBA

8. AGITAÇÃO E MISTURA DE LÍQUIDOS

Referências:

MacCabe & Smith, Unit Operations of Chemical Engineering, 5th edition, 1993.

Foust et al, Principios das Operações Unitárias, 1980.

Borzani, W. et al, Biotecnologia vol. 3: Engenharia Bioquímica, 1986.

Brodkey, R.S. et al, Transport Phenomena, 1988.

Agitação não é sinônimo de mistura.

Agitação: refere-se ao movimento induzido de um material num caminho específico,

usualmente circulatório, no interior de um tanque.

Mistura: é uma distribuição ao acaso, de um material com outro, de duas ou mais fases

inicialmente separadas.

O termo mistura é aplicado a uma grande variedade de operações, diferindo no

grau de homogeneidade do material misturado.

8.1. AGITAÇÃO DE LÍQUIDOS

A agitação depende do objetivo do processo que inclui:

1. Suspensão de partículas sólidas.

2. Mistura de líquidos miscíveis; ex. metanol e água.

3. Dispersão de um gás através do líquido na forma de pequenas bolhas.

4. Dispersão de um segundo líquido, imiscível com o primeiro, para formar uma

emulsão ou suspensão de gotas finas.

5. Melhorar a transferência de calor entre o líquido e uma serpentina (coil) ou

camisa (jacket).

8.2. EQUIPAMENTOS DE AGITAÇÃO

São tanques usualmente cilíndricos fechados ou abertos ao ambiente.

Em muitas situações usa-se o esquema da figura 8-1 onde o tanque possui um

fundo arredondado para eliminar cantos ou regiões na qual a corrente de fluido não

penetra. A profundidade do tanque é aproximadamente igual ao diâmetro do tanque. Um



agitador é montado sobre um eixo, a qual gira através de um motor, conectado

diretamente ao eixo ou através de um redutor de velocidade. Inclue-se também

acessórios como linhas de entrada e saídas, serpentinas, camisa e recipiente para

termômetros (poço) ou termopares.

O agitador cria um escoamento padrão para o sistema, fazendo com que o

líquido circule no tanque e retorne eventualmente ao agitador.

Figura 8-1. Tanque típico para processos de agitação

Movimento do liquido em função do tipo de agitador

Os agitadores são divididos em duas classes:

1. Agitadores para escoamento axial: geram uma corrente paralela com o eixo agitador.

2. Agitadores para escoamento radial: geram uma corrente na direção tangencial ou

radial.

Os três tipos principais de agitadores são: hélices, palhetas e turbinas. Cada um

apresenta vários subtipos (fig. 8-2).

Os outros tipos de agitadores especiais são úteis em certas situações, mas estes

três tipos resolvem 95% dos casos de agitação.

Motor

Superfície do líquido

Termopar

Agitador

Válvulade dreno

Chicana

Eixo

Redutor de velocidade

Camisa

Dip leg

Motor

Superfície do líquido

Termopar

Agitador

Válvulade dreno

Chicana

Eixo

Redutor de velocidade

Camisa

Dip leg



Figura 8-2. Tipos de agitadores: (1) Turbina, lâminas planas; (2) turbina, lâminas planas

inclinadas; (3) turbina, lâminas curvas; (4) turbina, disco com lâminas planas; (5)

turbina, disco com lâminas curvas; (6) turbina, ventoinha; (7) hélice; (8) palheta.

8.2.1. Agitadores tipo hélice

Provocam um escoamento axial do fluido e são usados em altas rotações e para

líquidos de baixa viscosidade; dependem da altura de líquido dentro do tanque, mais de

uma hélice podem ser montadas sobre o mesmo eixo. Na figura 8-3 vemos o tipo mais

comum de hélice, bem como a principal direção de escoamento do fluido dentro do

tanque. Esse tipo de agitador é usado quando correntes verticais fortes são necessárias,

como, por exemplo, para colocar e manter em suspensão partículas relativamente

pesadas. Não são usadas quando a viscosidade do líquido ultrapassa os 5000 cP

8.2.2. Agitadores tipo palheta

Esses agitadores produzem um movimento radial e tangencial do líquido, sem

que se note um movimento longitudinal pronunciado. Devido a esse fato, são pouco

utilizados, tanto para dispersão de gases como de partículas sólidas.



Figura 8-3. Escoamento axial, para agitadores tipo hélice, em tanque com chicanas.

Em tanques profundos varias palhetas é montada uma sobre a outra no mesmo

eixo. Controe-se palheta em forma de ancora úteis para prevenir estagnação sobre a

superfície de transferência de calor em tanques encamisados, porem produzem uma

mistura pobre. Trabalham entre 20 e 150 rpm. O comprimento total é de 50 a 80% do

diâmetro interno do tanque. A largura da palheta é 1/6 a 1/10 de seu comprimento. Não

exige chicanas para baixas velocidades, mas no caso de altas faz-se necessária para

prevenir a formação de movimento circulatório do líquido, produzindo pouca mistura.

(fig. 8-2-8).

8.2.3. Agitadores de turbina

As correntes principais produzidas por esses tipos de agitadores são radiais e

tangenciais. O líquido é empurrado contra as paredes do tanque e, ao se chocar contra

estas, divide-se, indo uma parte para cima e outra para baixo (movimento longitudinal)

para, em seguida, retornarem em direção ao eixo e novamente para a turbina. Forma-se,

dessa maneira, um movimento circulatório vertical impedindo que haja, dentro do

tanque, zonas de estagnação. Como dissemos anteriormente, chicanas ou tipos especiais

de turbinas são necessários para evitar-se a formação de movimento circulatório

horizontal e de vórtice. Na figura 8.4, vemos o tipo mais comum de turbina, bem como

a principal direção de escoamento do fluido dentro do tanque. Esses tipos de agitadores

são efetivos em líquidos cuja viscosidade varia numa faixa bastante grande e podem ser

movidos em altas e baixas rotações.



Um desses tipos de agitadores é constituído por um disco chato que contém

lâminas verticais, soldadas na parte de baixo, diametralmente opostas (vaned disk); é

muito utilizado quando se quer promover a dissolução de um gás no líquido.

Geralmente, o gás é borbulhado na parte inferior do disco e este se encarrega de apanhar

as bolhas grandes do gás, quebrá-las e dispersa-las através do líquido, aumentando,

dessa maneira, a eficiência do transporte de massa por aumento da superfície específica

gás-líquido. Outro tipo bastante utilizado e que apresenta características semelhantes às

do anterior (quanto à dispersão de gases) é aquele constituído de uma turbina abrigada

por um anel externo, que constitui o rotor e, concêntrico a esse anel, por fora, um outro

estacionário todo perfurado, que constitui o difusor. O difusor pode também ser

constituído de um anel com palhetas. Geralmente o gás é borbulhado pela parte inferior

do agitador e produz-se o mesmo efeito de dispersão citado anteriormente. Esse tipo de

agitador mostra-se também bastante efetivo quando se quer produzir dispersão de

líquidos não-miscíveis (fig. 8-5).

Figura 8-4. Escoamento radial, para agitadores tipo turbina, em tanque com chicanas.

Figura 8-5. Rotor com lâminas curvas verticais e anel de difusão externo.



8.2.4. Tubos de aspiração (‘draft tube’)

Quando se quer controlar a direção do escoamento do fluido em sua volta para o

agitador, costuma-se utilizar um tubo ao redor do eixo do agitador, de modo a fazer com

que o líquido, que se chocou com a parede do recipiente, suba até próximo a sua

superfície livre e, em seguida, desça por dentro do tubo e incida sobre o agitador,

aumentando, assim, por aproveitamento das altas velocidades do agitador e do grande

esforço cortante existente nessa zona, a eficiência da agitação. Esse tubo é largamente

empregado quando se quer produzir suspensões de partículas sólidas que tem tendência

a se aglomerar, ou suspensão de líquidos imiscíveis.

Quando o agitador é do tipo hélice, o tubo de aspiração deve envolve-lo

totalmente, de modo que o líquido circule longitudinalmente, como mostra a figura 8-6.

Caso o agitador seja do tipo turbina, o tubo de aspiração é colocado logo acima da

superfície do disco da turbina como mostra a figura 8-7.

Esses tubos de aspiração podem ser construídos de diversas maneiras, quando

possuem furos ou janelas longitudinais, eles provocam um movimento circulatório

vertical ao redor desses orifícios ou janelas e praticamente não se observa o movimento

circulatório horizontal da massa total de fluido.

8.3. ESCOAMENTO PADRÃO EM TANQUES AGITADOS

O tipo de escoamento num tanque agitado depende do tipo de agitador, das

características do fluido, do tamanho e proporções do tanque, chicanas e agitador. A

velocidade do fluido para algum ponto do tanque tem três componentes: radial que atua

Fig. 8-6. Tubo de aspiração com agitador tipo hélice.

Fig. 8-7. Tubo de aspiração com agitador tipo turbina.



na direção perpendicular ao eixo, longitudinal que atua na direção paralela ao eixo e

tangencial ou rotacional, que age na direção tangente circulando o eixo.

No caso de eixo vertical, os componentes radial e tangencial estão num plano

horizontal, e o componente longitudinal esta no plano vertical.

Os componentes radial e longitudinal são úteis e fornecem o escoamento

necessário para a ação de mistura, enquanto que o componente tangencial é geralmente

desvantajoso.

O escoamento tangencial permiti um movimento circular ao redor do eixo,

criando um vórtice na superfície do líquido , como mostrado na figura 8-8, e ficando

perpetuamente como um escoamento circulatório laminar. Para altas velocidades o

vórtice pode ser tão profundo que alcança o agitador, e o gás gerado acima do líquido é

dirigido para baixo para dentro da carga, geralmente isto é indesejável.

Figura 8-8. Formação de vórtice num sistema sem chicanas.

8.3.1. Prevenção do movimento circulatório do liquido

Com a finalidade de prevenir a formação do movimento circulatório no líquido

em agitação, diversas modificações podem ser introduzidas: colocação do eixo em

posição inclinada, em relação ao eixo do recipiente; colocação do eixo em posição

vertical, porem excêntrico; e colocação de chicanas, que geralmente estão em posição

vertical e de topo com relação à parede do tanque. No caso de agitadores do tipo

turbina, em vez de chicanas para prevenir a formação do movimento circulatório e de

vórtice, pode-se fazer o agitador abrigado por um anel e, concêntrico a este, pelo lado de

fora, colocar-se um anel de difusão (anel perfurado). Uma vez que cessou o movimento

circulatório ao redor do eixo de agitação, o caminho percorrido pelo fluido dentro do



tanque depende especificamente do tipo de agitador empregado. Contudo devemos

lembrar que, ao falarmos, mais adiante, em caminho percorrido pelo fluido, estaremos

referindo à corrente principal do fluido e que, independente desta, sempre existirão

correntes secundárias, cuja direção de movimento não é muito bem definida.

Figura 8-10. Agitador por entrada lateral

Figura 8-9. Agitador fora do centro



8.4. PROJETO DE TURBINAS “STANDARD”

O projeto de um tanque de agitação tem muitas alternativas como o tipo e a

localização do agitador, as proporções do tanque, os números e proporções das chicanas

e assim por diante. Cada uma dessas decisões afetam a circulação do líquido, a

velocidade padrão, e a potência consumida. Como ponto de partida para projetos em

problemas de agitação, um agitador turbina mostrado na figura 8-11 é comumente

utilizado. As proporções típicas são:

41

DL

51

DW1

DE

121

DJ1

DH

31

DD

aaa

ttt

a

===

===

Figura 8- . Medidas da turbina (por Rushton et al.)

Figura 8-11. Medidas da turbina.

O número de chicanas é usualmente 4; o número de lâminas do agitador variam

de 4 a 16 mas geralmente é 6 ou 8. As vezes é melhor estudar o desempenho desejado

para um determinado processo. As proporções padrão, nunca foram bem aceitas e isto é

a base de grande números de publicações relacionadas com o desempenho de

agitadores.

J J

H

W

LDa E

Dt



8.5. O NÚMERO DE ESCOAMENTO

Os agitadores turbina e hélice é em essencia, uma bomba agitadora operando

sem uma carcaça como limite, e com entrada indireta de escoamentos de entrada e

saída. As relações governantes das turbinas são similares a aquelas das bombas

centrífugas. Considerando a lâmina da turbina apresentada na figura 8-12

Figura 8-12. Vetores velocidade para a extremidade da lâmina do agitador tipo turbina.

Onde: u2 = velocidade da extremidade da lâmina.

V’u2,V’r2 = velocidades tangencial e radial dos líquidos deixando a extremidade

da lâmina.

V’2 = Velocidade do líquido total para o mesmo ponto.

Assumindo que a velocidade tangencial do líquido é proporcional a velocidade da

extremidade da lâmina.

nDkkuV a22u π==′ (1)

onde: nDu a2 π=

A vazão volumétrica através do agitador é dada por

V’u2

V’r2

u2

V’2

β'2



p2r AVq ′= (2)

onde WDA ap π= , área cilíndrica varrida pelas extremidades das lâminas do agitador.

A partir da geometria da figura 8-12

( ) 22u22r tanVuV β′′−=′ (3)

Substituindo por V’u2 na equação (1), temos:

( ) 2a2r tank1nDV β′−π=′ (4)

A vazão, equação (2), após substituir a equação (4), fica:

( ) 22a

2 tank1nWDq β′−π= (5)

Para agitadores geometricamente similares W é proporcional a Da, e para um

dado valor de k e β’2 3anDq α (6)

O razão entre estas duas quantidades é chamado número de escoamento, NQ,

definido como:

3a

QnD

qN = (7)

As equações (5) e (7) mostram que se β’2 é fixo, NQ é constante. Para hélices,

β’2 e NQ podem ser considerados constantes, para turbinas NQ é função do tamanho

relativo do agitador e do tanque.

Para tanques agitados com chicanas os seguintes valores são recomendados:

Hélice (inclinada) NQ = 0,5

Turbinas 4 lâminas 45o (W/Da = 1/6) NQ = 0,87

Turbinas 6 lâminas planas (W/Da = 1/5) NQ = 1,3

Estas equações dão a razão de descarga a partir da extremidade do agitador e não

vazão total produzida. Para lâminas de turbinas, a vazão total, estimada a partir do

tempo médio de circulação para partículas dissolvidas é:

=

a

t3a

D

DnD92,0q (8)

Se Dt/Da = 3 ⇒ q = 2,76nDa3 ou 2,61 vezes o valor para o agitador (NQ = 1,3).



8.6. POTENCIA CONSUMIDA

Uma consideração importante no projeto de tanques agitados é a potencia consumida

pelo motor do agitador. Quando a vazão no tanque é turbulenta, a potencia requerida pode

ser estimada a partir do produto da vazão (q) produzida pelo agitador e a energia cinética Ek

por unidade de volume, isto é:

Q3aNnDq =

e ( )c

22

kg2

VE′ρ

=

A velocidade V’2 é levemente menor que a velocidade de extremidade u2. Se a razão

a222 nDV,uV απ=′α=′ e a potencia requerida é

( )

παρ=απ

ρ= Q

22

c

5a

32

ac

Q3a N

2g

DnnDg2

NnDP (9)

Na forma adimensional

Q

22

5a

3c N

2Dn

Pg πα=

ρ (10)

O lado esquerdo da equação (10) é chamado de número de potência, Np, definido

por:

ρ

=5a

3c

pDn

PgN (11)

Para a turbina de 6 lâminas padrão, NQ = 1,3, e se α é tomado como 0,9, Np = 5,2, que é um

bom acordo com observações experimentais.

8.7. AGITAÇÃO DE LÍQUIDO NEWTONIANO

É somente no caso de agitação obtida por agitadores constituídos de palheta, hélice

ou turbina que existem resultados quantitativos, mas, mesmo esses dados, só podem ser

usados no caso particular em que foram obtidos; a análise dimensional permite uma

apresentação racional, mas sempre incompleta.

Como veremos a seguir, sabe-se, que se relacionam entre si as variáveis que intervêm

na agitação de um líquido num dado recipiente ou em recipientes geometricamente



semelhantes, mas não é possível ainda ligar quantitativamente esses resultados à qualidade

da agitação obtida.

Para discutirmos como varia a energia posta em jogo na agitação de um líquido

newtoniano, vamos considerar o recipiente com chicanas esquematizado na figura 8-11, no

qual se encontra um líquido mecanicamente agitado. A experiência mostra que a potência

absorvida pelo agitador depende do sistema tanque-agitador, de suas dimensões, da altura do

líquido, da densidade e viscosidade do líquido, da velocidade angular do rotor e da

aceleração da gravidade, ou seja:

P = f(n, Da, µ, g, ρ, Dt, H, E, W, J)

Pela análise dimensional, pode-se chegar a

µ

ρ=

ρn21

a22

a3a

3S,S,S,

g

Dn,nDfDn

PL (12)

ou Np = f(NRe, NFr, S1, S2, ... Sn)

Os fatores de forma do misturador são:

.D

HSe,D

JS,D

WS,D

LS,D

ES,D

DSt

6t

5a

4a

3t

2t

a1 ======

Adicionalmente o número de chicanas e o número de lâminas do agitador devem ser

especificados. Se uma hélice é utilizada a inclinação, pitch, e o número de lâminas é

importante.

O número de Reynolds é:

( )µ

ρα

µ

ρ=

µ

ρ= a2aa

2a

ReDuDnDnDN

onde u2 é a velocidade do agitador.

O número de potência é análogo ao fator de atrito ou um coeficiente de arraste.

O número de Froude, NFr, é a razão entre a tensão inercial e a força gravitacional.

Portanto, para um dado recipiente ou uma série de recipientes geometricamente semelhantes,

o número de potência é função do número de Reynolds e do número de Froude:

Np = f(NRe, NFr). (13)

A função dada pela equação (13) pode ser representada graficamente. Assim, para

duas séries de sistemas de recipiente-agitador geometricamente semelhantes, diferindo



apenas pelo fato de, em uma, não haver chicanas e, na outra, haver determinadas chicanas,

obtêm-se experimentalmente curvas do tipo representado na figura 8-13. Esse tipo de

representação, ou seja, curvas da relação Np em função do número de Reynolds, constitui a

maneira mais cômoda para representar resultados relativos à potência de agitação.

Figura 8-13. Número de potência Np vs. NRe para turbinas de 6 lâminas, com a porção

tracejada da curva D, Np lido a partir da figura deve ser multiplicado por NFrm.

As curvas da figura 8-13 podem ser divididas em quatro trechos:

a) NRe < 10 – o movimento é laminar e, como é comum nesse caso, tem-se uma reta de

coeficiente angular –1; não há formação de vórtice;

b) 10 < NRe < 300 – há uma transição de movimento laminar para turbulento, ainda sem

vórtice;

c) 300 < NRe < 10000 – se não há chicanas no recipiente, começa a se formar um

vórtice e o número de Froude passa a influir; nesse caso, empiricamente, chegou-se à

seguinte expressão de m:

b

Nlogam Re−= (14)

onde a e b dependem da geometria do agitador; se há chicanas, tem-se o ramo

superior da curva; não há formação de vórtice e o número de Froude não influi sobre

o de potencia (m = 0); linha D da fig. 8-13: a = 1,0 e b = 40,0.

Curva

4 chicanas

Np =

Pg c

/ρn3 D

a5

NRe = Da2nρ/µ

curva S1 S2 S3 S4 S5 S6 A 0,33 1,0 0,25 0,25 0,1 1,0 B 0,33 1,0 0,25 0,125 0,1 1,0 C 0,33 1,0 0,25 0,125 0,1 1,0 D 0,33 1,0 0,25 0,25 1,0

A B

C D



d) NRe > 10000 – o escoamento é completamente turbulento; se não há chicanas,

continua valendo a mesma expressão de m; se há chicanas, m continua nulo e o

número de potência torna-se independente também do número de Reynolds.

Como vimos anteriormente é conveniente usar chicanas, evitando, assim, o vórtice, pois,

nessas condições, agitação é muito mais eficiente.

Agitadores tipo hélices ou turbinas consomem menos potência quando se utilizam

laminas inclinadas no lugar das verticais.

8.8. CALCULO DO CONSUMO DE POTÊNCIA

O consumo de potência é calculado pela combinação da equação (12) e a definição

de Np para dar:

c

5a

3p

g

DnNP

ρ=

Para número de Reynolds elevados em tanques sem chicanas vale a relação:

( )n21RemFr

p S,S,S,NfN

NL=

O Np lido na curva da figura 8.13 deve ser corrigido por um fator NFrm.

EXEMPLOS 8.1 e 8.2 (exercícios 1 e 2)

8.8.1. Agitação de líquido Newtoniano contendo bolhas (Borzani)

Se, como acontece comumente na industria de fermentação, há bolhas no líquido e a

agitação é turbulenta, a potência para a agitação é inferior à necessária na ausência de

bolhas. Isso é particularmente importante se a quantidade de ar é apreciável (10 a 20% em

volume) e se ele se encontra nas vizinhanças do agitador; é o que ocorre se o gás é

introduzido no tanque por orifícios situados abaixo do agitador. Visualmente, observa-se que

o gás se concentra nas proximidades do eixo do agitador; com isso, a densidade do meio cai

nessa região e, portanto, a potência necessária também diminui. Há exemplos em que 5% de

ar no liquido podem reduzir a potência de 75%. Se as bolhas que sobem através do liquido

não entram em contacto efetivo com o agitador, a redução da potência é muito pequena.

Essa redução depende muito, também, do tipo de agitador.



Vários estudos experimentais foram feitos com o objetivo de obter fórmulas que

permitam o cálculo da potência de agitação em líquidos com bolhas. Entretanto esses

estudos foram geralmente feitos com água e com líquidos simples. Pouquíssimo existe para

outros líquidos; pode-se citar Sachs, que trabalhou com óleos, e Bimbenet, com corn syrup.

Ohyama e colaboradores, trabalhando com o sistema água-ar, chegaram á conclusão de

que a redução de potência devida a bolhas pode ser expressa por

( )ag NfPP =

onde Na é um adimensional chamado, por esses pesquisadores, de 'número de aeração’, e

definido por 3a

anD

QN =

Nas experiências que realizaram, Na variou de 0 a 0,12, e Pg/P de 1,0 a 0,3; resultaram,

para o sistema ar-água e diversos tipos de agitadores, as curvas da Fig. 8-13A. Calderbank e

Moo-Young, para o sistema água-ar, também obtiveram correlações válidas em pequenos

intervalos das variáveis. Mais tarde, Michel e Miller , estudando a agitação de sistemas

líquido-gás numa faixa relativamente larga de valores das variáveis,

densidade do liquido, entre 0,8 e 1,65 g/cm3,

viscosidade do liquido, entre 0,9 e 100 cp, e

tensão superficial, entre 27 e 72 dyn/cm,

obtiveram a correlação

Pg ∝ (P2nDa3/Q0,56)0,45

Essa expressão empírica não correlaciona adimensionais e, portanto, não se mantém

necessariamente válida quando mudam as dimensões do sistema, mesmo se for mantida a

semelhança geométrica. Evidentemente, é falha para valores extremos de Q. Além disso,

para soluções de substâncias tenso-ativas, podem variar os valores da constante de pro-

porcionalidade e do expoente. Apesar disso, é a melhor correlação que se possui para

sistemas líquido-gás, pois é pouco sensível às propriedades do fluido, ao modo de introduzir

o ar no liquido e, mesmo, à geometria do sistema.



Figura 9-13A. Exemplos de redução da potência necessária para agitar líquidos com bolhas.

para diversos tipos de agitadores. A: turbina de pás planas (np = 8), B: ventoinha (np = 8),

C: ventoinha (np = 6), D: ventoinha (np = 16), E: ventoinha (np = 4), F: palheta ( Dt/Da = 3,

J/Dt = 0,1, Dt/E = 3).

O fato de ainda não se possuir sequer uma correlação entre adimensionais e as

considerações feitas acima mostram bem como são pouco conhecidos tais sistemas. Michel e

Miller tentaram introduzir, nas correlações, a tensão interfacial que, à primeira vista, parece

ser uma variável importante no fenômeno, mas concluíram que ela parece não influir.

Entretanto as substâncias tenso-ativas alteram a expressão.

Na x 102

P g/P



8.8.2. Potência consumida em líquidos não Newtonianos

O número de potência para líquidos não Newtonianos é definido da mesma maneira

dos fluidos Newtonianos. O número de Reynolds não é facilmente definido, porque a

viscosidade aparente do fluido varia com o gradiente de velocidade e este varia

consideravelmente de um ponto a outro no tanque. Temos que a viscosidade aparente é:

dyduy

a−

τ=µ (15)

Para líquidos dilatantes e pseudoplasticos, temos pela lei da potência: n

ydy

duk′

−=τ (16)

Combinando a equação (15) e (16),

1n

ady

duk−′

=µ (17)

Dados experimentais para uma variedade de líquidos dilatantes e pseudoplásticos

indicam que a taxa de deformação é uma função linear da velocidade do agitador, isto é:

n11dy

du

av

= (18)

Combinando (17) e (18)

( ) 1na n11k −′=µ (19)

O NRe fica

k11

DnnDN1n

2a

n2

a

2a

Re −′

′− ρ=

µ

ρ= (20)

A figura 8-14 mostra a correlação para turbina de 6 lâminas em fluidos pseudoplasticos.

Para NRe < 10 e acima de 100 os resultados com fluidos pseudoplasticos são os mesmos dos

Newtonianos. Na faixa intermediaria 10 < NRe <100 o líquido pseudoplastico consome

menor potência.



Figura 8-14. Correlação de potencia para uma turbina de 6 lâminas em líquidos não-

Newtonianos.

EXEMPLO 8.4 (exercício 4)

8.9. MISTURA

Depende de medidas sobre como é definida para o experimento em particular. Muitas

vezes o critério para uma boa mistura é visual, como pela mudança de cor num indicador

ácido-base para se determinar o tempo de mistura. Outro critério inclui a taxa de decaimento

das flutuações da concentração seguido pela injeção de um contaminante no escoamento do

fluido, as variações nas análises de pequenas amostras tomadas ao acaso a partir de varias

partes da mistura, a taxa de transferência de uma fase liquida para outra, e, na mistura

sólido-líquido, a observação visual da uniformidade da suspensão.

8.9.1. Tempo de mistura de líquidos miscíveis

Um dos métodos de estudar a mistura de dois líquidos miscíveis, é injetar uma

quantidade de HCl para um equivalente de NaOH e o tempo requerido para o indicador

mudar de cor. Esta é uma medida da mistura molécula-molécula. A mistura próxima ao

agitador é rápida, com uma mistura mais lenta em outras regiões dependendo da taxa de

circulação no bombeamento.

Não Newtoniano Newtoniano

4 Chicanas

Sem Chicanas

Np =

Pg c

/n3 D

a5 ρ

NRe = nDa2ρ/µ ou NRe n = nDa

2ρ/µa



A figura 8.15 mostra uma correlação para o tempo de mistura de uma turbina. O fator

de mistura adimensional ft é definido como:

( ) 61

a2

21t

2

t

aT23

t21

21a

61322a

TtDn

g

H

D

D

DntDH

DgnDtf

== (21)

Onde tT é o tempo de mistura em segundos. O número de Froude na eq. (21) implica a

formação de vórtice, a qual pode estar presente para baixos número de Reynolds, mas é

duvidoso o quanto este termo deve contribuir em tanques com chicanas para números de

Reynolds elevados. Quando NRe > 105, ft é quase constante a um valor de 5.

Figura 8-15. Correlação para o tempo de mistura de líquidos miscíveis num tanque com

chicanas e agitador tipo turbina. Onde: ( )23

t21

21a

61322a

TtDH

DgnDtf =

EXEMPLO 8.5 (exercício 5)

µ

ρ=

2a

RenDN

fT



8.10. SCALE-UP

Em sistemas de agitação existem muitos problemas complexos como: mistura de

fluidos altamente não Newtonianos e processos multifases, porem são utilizados projetos

padrão. O objetivo no projeto de agitadores durante o scale-up é obter o mesmo resultado do

processo em pequena escala com o processo em grande escala.

Similaridade geométrica: Manter a mesma similaridade geométrica durante o scale-up

permite a definição do fator de escala R:

121212121t2t1a2a JJEEHHWWDDDDR ====== (21)

Onde o subscrito 1 é o pequeno agitador e o 2 o grande agitador.

Como V = πDt2H, usualmente Dt = H, logo V = πDt

3, e o fator de escala em termos de

volume fica:

( ) 3112

1t

2t VVD

DR ==

O tamanho da unidade de agitação é determinado pelo tempo de processamento. Por

exemplo:

• Num reator o tamanho do tanque é governado pela vazão de produto desejada e a

cinética da reação (tempo de reação).

• Para dispersar um sólido num liquido, o tamanho é governado pela vazão desejada

do sólido e do liquido e o tempo requerido para dispersar os sólidos.

8.10.1. Procedimento Scale-up para escoamento turbulento com três ou mais testes de

volume

Neste caso o Scale-up (ou scale-down) é obtido pela analise experimental em

recipientes de vários tamanhos.

O teste começa a ser feito no menor diâmetro recomendado, cerca de 1 ft com um

volume de 5 a 10 galões, seguido por um recipiente de 2 ft de diâmetro e assim por diante.

Cada tanque é equipado com um motor de velocidade variável e um dinamômetro para

medir a potência.



Os dados são expressos como P/V e V ou Tq/V e V. Faz-se então dois gráficos log

(P/V) versus log V e log(Tq/V) versus log V. Aquele que apresentar o comportamento mais

linear é usado para extrapolar até o volume final. As equações utilizadas são:

( ) ( ) ( ) ( ) s1

s1t2t12 RVPDDVPVP == (22)

( ) ( ) ( ) ( ) x1q

x1t2t1q2q RVTDDVTVT == (23)

Onde: s, x = expoentes do scale-up

P/V = potência por unidade de volume

Tq/V = torque por unidade de volume

R = fator de escala

Subscritos 1 e 2 = recipientes de diferentes tamanhos

8.10.2. Procedimento Scale-up para escoamento turbulento com dois testes de volume

A equação utilizada é de Rautzen, Corpstein e Dickey:

n

1

n

2a

1a12

R

1ND

DNN

=

= (24)

Onde n é o expoente de scale-up, resolvendo a equação (24) para n, temos:

( )( )1a2a

21

DDln

NNlnn = (25)

O diâmetro do agitador do tanque do processo (Da3) é determinado assumindo

similaridade geométrica (eq. 21) e a equação (24) é utilizada para a determinação da

velocidade do agitador N3.

8.10.3. Procedimento para scale-up para escoamento turbulento com um teste de volume

É menos recomendável em relação aos anteriores. Baseia-se nos seguintes

procedimentos:

1. Igual movimento dos líquidos

Neste caso a similaridade cinemática será mantida especialmente para processos

sensíveis ao escoamento, assim o torque por unidade de volume é constante.



( )( )

1VT

VT

1q

2q = (26)

Fazendo uso da similaridade geométrica, eq. (21), temos que:

( )( )

1u

u

DN

DN

VT

VT21

22

21a

21

22a

22

1q

2q === (27)

A eq. (27) mostra que a velocidade na extremidade da turbina é a mesma para o volume 1 e

2 para um torque por unidade de volume constante.

Usando a equação (24),

n

1

1

2a

1a12

21a

21

22a

22

R

1ND

DNNDNDN

=

=⇒= (28)

A eq. (28) mostra que o expoente n = 1, porém pela eq. (26) x = 0.

Como fq CN

P

N2

PT =π

= ; substituindo em (26):

( )( )

( )( )

1RVP

VP

D

D

VP

VP

N

N

VP

VP

VNP

VNP

VT

VT 1

11

22

1t

2t

11

22

2

1

11

22

111

222

1q

2q ===== (29)

A eq. (29) mostra que o expoente da potencia por unidade de volume, s = -1

2. Igual transferência de massa

Neste caso, a potencia por unidade de volume é mantida constante, e os diâmetros

das bolhas ou gotas são mantidos (ocorre transferência de massa na superfície da bolha).

( )( )

1VP

VP

1

2 = (30)

E o expoente da potencia por unidade de volume é s = 0.

Como P/V ∝ N3 Da2 ⇒ N2 = N1(Da1/Da2)2/3, logo n = 2/3.

Similarmente o expoente do torque por unidade de volume é x = 2/3.

3. Igual tempo de mistura

Neste caso a velocidade do agitador permanece constante, logo N1 = N2.

Como P/V ∝ N3Da2 , então:

( ) ( ) ( )21a2a12 DDVPVP = (31)



E o expoente da potencia por unidade de volume é s = 2.

Como N2 = N1(1/R)n e N2 = N1, logo n = 0.

É facilmente analisado que o expoente do torque por unidade de volume é x = 2.

Um sumário dos valores dos expoentes s, x e n das equações (22), (23) e (24) é

apresentado na tabela 8.1.

TABELA 8.1

Expoentes scale-up para escoamento turbulento

Critério scale-up

mais importante

Valor de s para

eq. (22)

Valor de x para

eq. (23)

Valor de n para

eq. (24)

(1) movimento igual do fluido -1,0 0.0 1.0

(2) suspensões de sólidos iguais -0,55 0.5 3/4

(3) Transferência de massa igual 0.0 2/3 2/3

(4) superfície igual 0.45 1.0 0,5

(5) tempo de mistura iguais 2.0 2.0 0.0

8.11. PROCEDIMENTO SCALE-UP PARA ESCOAMENTO LAMINAR

Na agitação laminar, os dados experimentais confirmam que o número de potência e

o numero de Reynolds estão relacionados por:

Re

Lp

N

KN = (32)

Logo, c

3a

2L

g

DnKP µ= (33)

Em tanques com chicanas e número de Reynolds elevados (> 10000) o número de potência é

independente do número de Reynolds, e a viscosidade não é um fator, neste caso:

Tp KN = (34)

Logo, c

5a

3T

g

DnKP ρ= (35)

As magnitudes das constantes KT e KL para vários tipos de agitadores e tanques são

mostrados na tabela 8.2.



TABELA 8.2

Valores das constantes KL e KT nas equações (33) e (35) para

tanques com chicanas, com 4 chicanas de largura de 10% do

diâmetro do tanque.

Tipo de agitador KL KT

Hélice, três laminas

Pitch 1,0 41 0,32

Pitch 1,5 55 0,87

Turbina

Disco, 6 laminas (S3 = 0,25, S4 = 0,2) 65 5,75

Curva, 6 laminas (S4 = 0,2) 70 4,80

Inclinada, 6 laminas (45o, S4 = 0,2) - 1,63

Inclinada, 4 laminas (45o, S4 = 0,2) 44,5 1,27

Palheta plana, 2 laminas (S4 = 0,2) 36,5 1,70

Ancora 300 0,35

O procedimento de scale-up em escoamento laminar é exatamente o mesmo do escoamento

turbulento, porem para o projeto em um único tanque vale os seguintes expoentes para a

potencia por unidade de volume (s), equação (22).

TABELA 8.3

Scale-up para escoamento laminar, utilizando a eq. (22)

Critério Expoente s

(1) Transferência de calor igual por unidade de volume 8

(2) Coeficiente de transferência de calor igual 2

(3) Tempo de mistura iguais 0

(4) Velocidades iguais -2

(5) Número de Reynolds iguais -4

Exemplo 8.3 (M) (exercício 3). Exemplo 8.6 (Brodkey) (exercício 6).

Exemplo 8.7 (Brodkey) (exercício 7). Exemplo 8.8 (Gupta) (exercício 8).



Exercícios:

1. Uma turbina de 6 laminas planas é instalada no centro de um tanque vertical. O tanque

tem 1,83 m de diâmetro; a turbina tem 0,61 m de diâmetro e é posicionada 0,61 m do

fundo do tanque. As laminas da turbina tem 127 mm de largura. O tanque é cheio com

uma profundidade de 1,83 m com uma solução de 50 % de soda caustica, a 65,6oC, com

uma viscosidade de 12 cP e uma densidade de 1498 kg/m3. A turbina opera a 90 rpm. O

tanque possui chicanas. Qual a potencia para operar o misturador?

2. Qual seria a potencia requerida no tanque descrito no exercício 1 se ele não possuísse

chicanas?

3. O misturador do exercício 1 é usado para uma misturar um composto de borracha de

látex com uma viscosidade de 1200 cP e uma densidade de 1120 kg/m3. Qual a potencia

requerida?

4. Calcular a potencia necessária para a agitação num tanque cilíndrico, mediante uma

turbina de laminas simples, em cada uma das situações dadas abaixo. A densidade do

liquido é 62,3 lb/ft3. O número de Reynolds mínimo para a misturação adequada é 270.

O diâmetro da turbina é de 1 ft.

a) Líquido pseudoplástico (k = 1,0, n = 0,9)

b) Fluido newtoniano (µ = 1,0 lb/ft s)

c) Fluido dilatante (k = 1,0, n = 1,1)

5. Um tanque agitado de 1,83 m de diâmetro possui uma turbina de 0,61 m de diâmetro e 6

laminas, fixa no agitador acima do fundo do tanque, com uma rotação de 80 rpm. É

proposto utilizar este tanque para neutralizar uma solução aquosa diluída de NaOH a

70oF com uma quantidade estiquiometricamente equivalente de acido nítrico

concentrado (HNO3). A profundidade final do liquido no tanque é 1,83 m. Assumindo

que o acido é adicionado no tanque num mesmo instante, qual o tempo para a

neutralização ser completa?

6. Um agitador tipo turbina de 9 in de diâmetro consiste de 4 laminas de 45o de inclinação,

num tanque de 30 in de diâmetro com 4 chicanas. A unidade é cheia a uma altura de 30



in com um fluido de viscosidade de 10 cP e gravidade especifica de 1,1. O agitador

opera a uma velocidade de 300 rpm. Calcular a potencia por unidade de volume e o

torque por unidade de volume se a razão E/Dt = 0,3.

7. Uma engenheira tem que projetar um reator com capacidade de 12000 gal para agitar o

material do exercício 6. Ela é capaz de obter os mesmos resultados do processo nas

seguintes unidades geometricamente similares sob as condições dadas na tabela.

Descrição Unidade do laboratório Unidade planta piloto

Diâmetro do tanque, in 10 30

Diâmetro do agitador, ft 0,25 0,75

Tipo de agitador-4 laminas, tipo turbina, 45o de pitch

SIM SIM

H/Dt 1,0 1,0

Dt/J 12 12

Número de chicanas 4 4

Velocidade, rpm 690 271

Número de Reynolds 7342 2,595 x 104

Volume da unidade, gal 3,40 91,79

Potencia, hp 9,33 x 10-3 0,1374

Torque, in. lbf 0,8525 31,95

P/V, hp/gal 2,744 x 10-3 1,497 x 10-3

Tq/V, in.lbf/gal 0,2507 0,3481

8. Um detergente líquido com densidade de 1400 kg/m3, µ = 1kg/m.s, σ = 0,0756 N/m é

misturado num tanque de 2,75 m de diâmetro. Os experimentos foram realizados num

tanque de pequena escala com diâmetro de 0,228 m e a potencia requerida para encontrar

o mesmo resultado do processo é medida em vários valores de razões geométricas. A

mínima potencia para o resultado do processo constante foi encontrado com os valores

padrão.

Tendo fixado a geometria para experimentos preliminares, três tanques de Dt = 0,228,

0,457 e 0,915 m são usados e a rpm do agitador determinado experimentalmente de



maneira a encontrar o mesmo resultado do processo. As velocidades cíclicas são

encontradas com os seguintes valores:

Tanque No. Dt N (rpm) para o mesmo resultado do processo

1 0,228 1273

2 0,457 637

3 0,915 318

Obter NRe, NFr, NWe, velocidade na extremidade do agitador, potencia, potencia por

unidade de volume, etc. como uma função do volume do tanque e decidir qual a melhor

regra para o scale-up.



Resultado do exercício 8.8 densidade= 1400 kg/m3 viscosidade = 1 kg/m s tanque 1.000 2.000 3.000Dt (m) 0.228 0.457 0.915n (rpm) 1276.000 637.000 318.000NRe 171.971 344.910 690.246NFr 3.504 1.750 0.873v (m/s) 5.080 5.083 5.080Np 3.700 3.700 4.000P (W) 126.327 508.474 2200.467P/V (W/m3) 13577.562 6786.577 3659.164P (HP) 0.169 0.682 2.951

n (rpm) Potência (hp) 30 1 1/2 37 2 45 3 56 5 68 7 1/2 84 10 100 15 125 20 155 25 190 30 230 40 etc... 50

60 75 100 125 150 200 250 300 350 400 450 500 600

American Gear Manufacturesrs' Association: AGMA - velocidades e potências de motores padrão

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