YOU ARE DOWNLOADING DOCUMENT

Please tick the box to continue:

Transcript
Page 1: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 1/75

 

1

Page 2: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 2/75

 

2

Elaborado por :

Coordinador : Nilton Rojas

Diseñador : Anthony Yaranga

Editor . : José López

CreativosJoe Chumpitaz

Alvaro Pezo

Page 3: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 3/75

 

3

INDICE

INDICE……………………………………………………………………………….……2 Presentación…………………………………………………………………….........3

1 PROBABILIDADES………………………………………………….…….4Definicion……………………………………………………………….………….…….5Propiedades…………………………………………………………….…………..…10 

Problemas resueltos…………………………………………………..…….....13Problemas propuestos ……………………………………………………..….18 

2 TRIGONOMETRIA ………………………………………………….……21 

Definicion ……………………………………………………………………….....…22 Trigonometria en la historia …………………………………….…….…24 Calculos trigonométricos ……………………………………………………29 Problemas propuestos ………………………………………………..………38 

3 GEOMETRIA ………………………………………………………...………44 

Tipos de geomtria ………………………………………………………………..47 Teorema de Tales …………………………………………………………………53 Tales de Mileto …………………………………………………………..………..57 

4 JUGANDO CON LOS NUMEROS................................66

Page 4: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 4/75

 

4

Final………………………………………………………………………………………….72

PRESENTACION

Estimados estudiantes:

Este boletín tiene el objetivo de presentar un métododiferente, práctico y agradable para ustedes jóvenes y notan jóvenes lectores, que permita mejorar los niveles decomprensividad y razonamiento matemático. Este trabajo

elaborado por estudiantes del colegio Fe Y Alegría Nº39para estudiantes en especial del 3º y 4º de Secundaria elcual permita que el estudiante desarrolle sus capacidadesintelectuales y despierte el interés en el área dematemática.

Agradecemos a nuestros profesores por el apoyo máximoque nos dieron y orientación al elaborar y lograr concretareste proyecto.

Page 5: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 5/75

 

5

Los Autores.

Page 6: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 6/75

 

6

Page 7: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 7/75

 

7

PROBABILIDADES 

Nuestra vida cotidiana está llena de imponderables, cosasque nos suceden sin que podamos predecir los resultadoscon exactitud. Por ejemplo, tras esparcir dulce sobre unarebanada de pan, ésta se nos puede caer de las manos.¿Sabemos a ciencia cierta si a consecuencia de elloensuciaremos el piso? Claramente no, pues nuestraexperiencia nos indica que algunas veces el lado con dulcecae para abajo y otras para arriba. Cuando el referí de unpartido revolea la moneda para determinar qué equipo haráel saque, ¿sabemos con seguridad a cuál le tocará hacerlo?La respuesta es "tampoco".

Page 8: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 8/75

 

8

Definición:

Cuando un experimento aleatorio es simétrico, es decir, enun número muy grande de pruebas los distintos sucesosocurren con igual frecuencia o todos los eventos sonequiprobables, la probabilidad de un suceso se obtienedividiendo el número de casos favorables al suceso entre elnúmero de casos posibles del experimento.

Esta definición. Debido aLAPLACE, solo esaplicable a losexperimentos aleatoriosdotados de simetría y,por lo tanto, tiene unalcance de aplicación muyrestringido

Page 9: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 9/75

 

9

Ahora veamos quien es Laplace… 

Fue astrónomo, físico y matemático francés que inventó ydesarrolló la transformada de Laplace y la ecuación deLaplace. Fue un creyente del determinismo causal.

Nacido en una familia de granjeros de la baja Normandía,marchó a estudiar en la Universidad de Caen donde fuerecomendado a D'Alembert, quien, impresionado por suhabilidad matemática, lo recomendó para un puesto deprofesor en la Escuela Militar de París en 1767.

Laplace creó una curiosa fórmula para expresar laprobabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decíaque la probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde d es el

número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplacedecía que esta fórmula, que eraconocida como la regla de sucesión,podía aplicarse en todos los casosdonde no sabemos nada, o donde loque conocíamos fue cambiado por lo

que no.

Ejemplo 1:

Sabias que… 

El matemático

Laplace fue

ateo

Page 10: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 10/75

 

10

Se tiro un dado acompañado de una moneda. Calcula laprobabilidad de obtener:

a.- Puntaje par acompañado de sello en la moneda.

b.- Puntaje no menos de 3 y acompañado de cara en lamoneda

Resolución:

Dado 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Moneda S S S S S S C C C C C C

Nº de probabilidades: 12

Luego:

a.- El numero de caras favorables al evento: Sale punto par y sello, es:

N(A) = 3 P(A) = 3/12 = 1/4

Page 11: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 11/75

 

11

b.- El número de casos favorables al evento: Sale puntajeno menor de 3 y acompañado de cara en la moneda, es :

N(A)= 4 P(A)= 4/12 = 1/3

Veamos más !!!

Page 12: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 12/75

 

12

Propiedades de las probabilidades:

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES

† La probabilidad de un suceso es un número . . ..… comprendido entre 0 y 1.

† La suma de las probabilidades de todos los ,. … -…. resultados elementales de un experimento……aleatorio es igual a 1.

† La probabilidad de un suceso compuesto es igual a……la suma de las probabilidades de los resultados……elementales que lo componen.

† La probabilidad de un suceso compuesto es igual a…..la suma de las probabilidades de los resultados…..elementales que lo componen.

† La probabilidad del suceso seguro es igual a 1.

† La probabilidad del suceso imposible es igual a 0.

† Si dos suceso, A y B, son contrarios se verifica :

P(A) + P(B) = 1

Page 13: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 13/75

 

13

Nos damos cuenta que las propiedades de probabilidades esla misma que la de las fruecuencias relativas.

PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIASRELATIVAS

† La frecuencia relativa de un suceso es un númerocomprendido entre 0 y 1.

† La suma de las frecuencias relativas de todos losresultados elementales de un experimento aleatorioes igual a 1

† La frecuencia relativa de un suceso compuesto esigual a la suma de las frecuencias relativas de losresultados que lo componen.

† La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.

† La frecuencia relativa del suceso imposible esigual a 0.

† Si dos suceso, A y B, son incompatibles severifica: fr (A o B) = fr (A) + fr (B)

† Si dos sucesos A y B, son contrarios se verifica:

fr (A) + fr (B) = 1

Page 14: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 14/75

 

14

Ejemplo 2:

Raúl rinde su práctica calificada y la calificación es de 0 a

20. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga uno por mayorque 12?

Resolución:

El espacio muestral tendría 21 elementos (la nota va desde0 a 20) veamos:

Probabilidades: {0,1,2,3,4,5 ……. 19,20} 

Consideramos ahora el evento

A = Nota por mayor de 12

A = {14, 16, 18, 20} n(A) = 4

P(A) = 4/21

Page 15: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 15/75

 

15

Problemas Resueltos:

1º Una caja contiene 7 lapiceros negros y 5 lapiceros azulesse extraen uno de ellos al azar. Determinar la probabilidadde que el lapicero extraído no sea de color azul.

Resolución:E: El lapicero extraído no es azul

† De acuerdo a la definición de probabilidad tenemos :

P(E) =

P(E) = 7/12

Page 16: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 16/75

 

16

2º ¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con lascifras 0,1,. . . ,9?

1. permitiendo repeticiones;

2. sin repeticiones;

3. Si el ultimo digito ha de ser 0 y no se permitenrepeticiones?

Resolución:

Asumamos que para que un número sea de 4 dígitos su

primer digito debe ser distinto de cero.

1. Puesto que debe formarse un número de 4 dígitos, elprimero de estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueveposibilidades para el primer digito y diez para cada uno delos tres dígitos restantes, obteniéndose un total de

9 x = 9000 números posibles.

2. Al igual que en el apartado anterior, el primer digito nopuede ser cero. Como además no se permiten repeticiones,hay nueve posibilidades para el segundo digito: el cero y lasocho no escogidas para el primer digito. Por tanto, se

pueden formar x 8 x 7 = 4536 números.

Page 17: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 17/75

 

17

3. Fijamos el último digito y, como no puede haberrepeticiones, se obtiene un total de 9 x 8 x 7 x 1 = 504números.

Ahora un poco más difícil… 

3º Dos hermanos salen de caza. El primero mata unpromedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo unapieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a

una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

Entonces:

Muy Fácil!!!!!

Page 18: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 18/75

 

18

4º Los estudiantes A y B tienen respectivamente

probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen.La probabilidad de que suspendan el examensimultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad deque al menos uno de los dos estudiantes suspenda elexamen.

Bien

Hecho!!!

Page 19: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 19/75

 

19

5º Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas.

Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio

muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

1.- Con

remplazamiento.

2.- Sin reemplazamiento.

Page 20: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 20/75

 

20

Problemas Propuestos:

1.-Al lanzar 2 dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener una

suma mayor que 10?

a) 11/12 b) 10/15 c) 13/12

d) 1/6 e) 13/15

2.- Se lanza 3 Dados. Hallar la probabilidad de que los tresdados salgan con el número 1.

a) 1/18 b) 2/72 c) 3/72

d) 1/72 e) 1/216

† En una caja hay 10 bolas de billar, de las cuales solo 4 son

amarillas, se sacan una al azar. Hallar la probabilidad de queresulte color amarilla.

a) 1/30 b) 15/24 c) 10/12

d)1/6 e) 4/10

Page 21: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 21/75

 

21

3.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de unabola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir elespacio muestral cuando la primera bola no se devuelve.

a) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR,

.. NV} 

b) E = { BB, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NN, NR,

…………...NV} 

c) E = { BR, BR, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, BR,

……………NV} 

4 Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolasrojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que

la bola sea roja o blanca?

a) 3/5 b) 4/5 c)2/5

d) 5/3 e) 5/2

No te rindas!!

Page 22: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 22/75

 

22

5.-Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dosmonedas, salgan dos caras.

a) 1/5 b) 1/4 c) 2/4d) 5/3 e) 1/3

Respuestas:

Recuerda hacerlo primero … ¡no vale hacer trampa! 

1.- D2.- E

3.- A

4.-A

5.-B

Page 23: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 23/75

 

23

Page 24: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 24/75

 

24

TRIGONOMETRIA

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudialas relaciones entre los lados y los ángulos triángulos, de laspropiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricasde ángulos. Las dos ramas fundamentales de latrigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa defiguras contenidas en un plano, y la trigonometría esféricaque se ocupa de triángulos que forman parte de lasuperficie de una esfera.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieronen los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía,

en las que el principal problema era determinar unadistancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y laLuna, o una distancia que no podía ser medida de formadirecta. Otras aplicaciones de la trigonometría se puedenencontrar en la física química y casi todas las ramas de laingeniería, sobre todo el estudio de fenómenos periódicos,

como el sonido o el flujo de corriente alterna.

Page 25: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 25/75

 

25

Bien, la trigonometría esta en tu vida… como por ejemplo: 

Las pendientes de una cuenta se pueden medir por el senodel ángulo que forma la cuesta con la horizontal o por sutangente.

Asimismo las pendientes de los tejados.

También te permite conocer l altura de una montaña sinnecesidad de escalarla.

La trigonometría estudia la inclinación que debe tener uncañón o un antiaéreo para que dé en el blanco. Ayuda asaber que longitud deben de tener las trampas para quepuedan subirse concomodidad.

O la distancia entre doslugares inaccesibles… 

Y ¿ para que yo

quiero

trigonometría..!!!?

Page 26: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 26/75

 

26

TRIGONOMETRIA EN LA HISTORIA

La historia de la trigonometría y de las funcionestrigonométricas podría extenderse por más de 4000 años.Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas deángulos o de longitudes de los lados de los triángulosrectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lotestimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilonia escritaen cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900a. C.) muestra quince ternas PITAGORICAS y una columnade números que puede ser interpretada como una tabla defunciones trigonométricas, sin embargo, existen variosdebates sobre si, en realidad, se trata de una tablatrigonométrica. 

Page 27: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 27/75

 

27

PITAGORAS

Este señor llamado Pitágorasde Samos fue un filósofo ymatemático griego, famososobre todo por el Teoremade Pitágoras, que en realidadpertenece a la escuela

pitagórica y no solo aPitágoras. Su escuelaafirmaba «todo es número»,por ello, se dedicó al estudió  y clasificación de losnúmeros. 

Teorema de Pitágoras

Pitágoras decía….

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras creía

firmemente que había

habitado en otros

cuerpos humanos de

épocas anteriores. 

Page 28: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 28/75

 

28

FORMULA DE PITAGORAS

Formulas para calcular un lado desconocido en función de

los otros dos, donde a y b son los catetos y C es lahipotenusa.

DEMOSTRACIONES

El Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayornúmero de demostraciones diferentes, utilizando métodosmuy diversos. Una de las causas de esto es que en la EdadMedia se exigía una nueva demostración del teorema paraalcanzar el grado de Magíster matheseos.

Algunos autores proponen hasta más de mildemostraciones. Otros autores, como el matemáticoestadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebasdiferentes en su libro de 1927 The PythagoreanProposition.

Page 29: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 29/75

 

29

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostracionesen cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se

relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas,en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas através de las propiedades de fuerza, masa; y lascuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Demostraciones supuestas de Pitágoras:Se estima que se demostró el teorema mediante semejanzade triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es laaltura relativa a la hipotenusa, en la que determina los

segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b,respectivamente.

Los triángulos rectángulosABC, AHC y BHC tienen sustres bases iguales: todos

tienen dos bases en común,  y los ángulos agudos soniguales bien por sercomunes, bien por tener suslados perpendiculares. En

Page 30: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 30/75

 

30

consecuencia dichos triángulos son semejantes. 

De la semejanza entre ABC y AHC:

 y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ánguloscongruentes. 

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto.Sumando:

Pero por lo que finalmente resulta: 

Page 31: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 31/75

 

31

CALCULOS TRIGONOMETRICOS

La trigonometría es una rama de

la matemática, cuyo significado

etimológico es "la medición de los triángulos"

Page 32: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 32/75

 

32

Teorema del Seno:

Las longitudes de dos lados de cualquier triangulo ABC se

relacionan con los valores del seno de su ángulo opuesto:a/b = sen (α)/sen (β) 

Ejemplo:

. En este caso el seno seria 4/5!¡!

Teorema del Coseno: El coseno por definición es la medida del ángulo adyacentesobre la medida de la Hipotenusa.

Page 33: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 33/75

 

33

Ejemplo:

.. En este el coseno . .……….. vendría a ser 3/5

Teorema de la Tangente:

Por definición la tangente es la medida del ángulo opuestosobre la medida del ángulo adyacente.

Ejemplo:

.- En este caso la .…………… tangente seria 4/3

Page 34: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 34/75

 

34

La Cosecante:

Por definición es la medida de la hipotenusa sobre el lado

opuesto al ángulo.

Ejemplo:

En este caso laCosecante vendría a ser:

5/4

La Secante:

Por definición es la hipotenusa dividida sobre la medida dellado adyacente.

Page 35: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 35/75

 

35

Ejemplo:

En este caso la secantevendría a ser: 5/3

La Cotangente: 

Por definición es el lado adyacente dividido sobre el ladoopuesto del ángulo en este caso alfa… 

Ejemplo:

En este caso lacotangente vendría aser: 3/4

Page 36: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 36/75

Page 37: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 37/75

 

37

Ejemplo de los teoremas:

Primero tenemos que hallar la hipotenusa para estoaplicamos teorema de Pitágoras que nos dice que: esigual a la suma de los cuadrados de los catetos, en estecaso seria así:

Entonces:

Ahora 

Page 38: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 38/75

 

38

Hallamos el seno, coseno y la tangente según susdefiniciones:

= opuesto / hipotenusa i>> =5/13= Adyacente / hipotenusa i>> Cos =12/13Tan = Opuesto / adyacente >> Tan =5/12

Ahora veamos el ángulo

opuesto:

Senθ=12/13 Cos θ=5/13 Tanθ=12/5 

Si nos damos cuenta:

† El Sen (5/13) es igual al Cosθ (5/13) † El Cos (12/13) es igual al Senθ (12/13) 

† El tan (5/12) es inverso a Tanθ (12/5)

Page 39: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 39/75

 

39

Ejercicio….

..

Aplicamos el teorema dePitágoras:

Page 40: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 40/75

 

40

Problemas Propuestos: 1. En un Triángulo Rectángulo un cateto mide 12 cm y el

ángulo agudo opuesto a dicho cateto mide 30o. ¿Cuál es lalongitud de su Hipotenusa? Redondea tu respuesta a undecimal. 

a) 12 cm b) 6 cm c) 10.4 cm

d) No está la respuesta

Page 41: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 41/75

 

41

2. La base de un triángulo isósceles mide 80 cm y los lados

iguales 100 cm. Calcula la medida de sus ángulos iguales.Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 53.1º b) 23.6º c) 66.4º

d) 36.9º

3. Si sabemos que en un triángulo rectángulo sus catetosmiden 15 cm y 12 cm. Hallar la medida de los ángulosagudos. Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 58º y 32º b) 53.1º y 36.9º c) 51.3º y 38.7º

d) No está la respuesta

4. Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en unacircunferencia de radio 8 cm. Redondea a un decimal turespuesta.

a) 12.9 cm b) 4.7 cm c) 8 cm

d) 9.4 cm

5. Calcula la altura de una torre, si situándonos a 5 m de su

Page 42: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 42/75

 

42

pie vemos la parte más alta bajo un ángulo de 75º.Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 18.7 m b) 1.3 m c) 5.2 m

d) 19.3 m

6. Andrés mide 175 cm y su sombra 105 cm. ¿Qué ángulo

forman en ese instante los rayos de sol con la horizontal?Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 31º b) 59º c) 53.1º

d) 36.9º

7. Calcula la altura de una casa si sabemos que en elmomento que el sol se encuentra a una altura de 55º conrespecto a la parte superior de la casa este proyecta unasombra de 8 m. Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 11.4 m b) 5.6 m c) 6.1 m

d) 8.7 m

8. Un poste de 6 m de altura es alcanzado por un rayopartiéndolo a una altura “h” del suelo. La parte superior se

desploma quedando unida a la parte inferior formando un

Page 43: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 43/75

 

43

ángulo de 60º con ella ¿Cuánto mide la parte rota más largadel poste? Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 6 m b) 2 m c) 4 m

d) 3.2 m

9. El viento troza un árbol, la punta se apoya en el suelo, en

un punto situado a 10 m del pie, formando un ángulo de 30ºcon el plano horizontal. ¿Cuál era la altura del árbol?.Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 17.3 m b) 5.7 m c) 25.8 m

d) 14.2 m

10. Desde una altura de 2500 m un piloto observa la luz deun aeropuerto bajo un ángulo de depresión de 40º.Determina la distancia horizontal entre el avión y elaeropuerto. Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 2097.7 m b) 2979.4 m c) 3889.3 m

d) 3263.5 m

11. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyos lados

miden 12 cm. Redondea a un decimal tu respuesta.

Page 44: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 44/75

 

44

a) 62.4 cm2 b) 144 cm2 c) 72 cm2

d) 124.8 cm2

12. Calcula el área del octágono regular de 8 cm de lado.Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 309 cm2 b) 256 cm 2 c) 512 cm 2

d) 106 cm 2

13. Se sabe que un faro tiene una altura sobre el nivel delmar de 145 m. Desde un barco en el mar se ve el faro bajoun ángulo de 15º. ¿A qué distancia se encuentra el barco dela costa? Redondea a un decimal tu respuesta.

a) 541.1 m b) 38.9 m c) 560.2 m

d) 150.1 m

14. Dos amigos van a subir una montaña de la que

desconocen la altura. A la salida del pueblo han medido elángulo de elevación y obtuvieron que era de 30º. Hanavanzado 300 m hacia la montaña y han vuelto a medir yahora es de 45º. Calcula la altura de la montaña. Redondeaa un decimal tu respuesta.

a) 450.5 m b) 409.8 m c) 389.5 m

Page 45: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 45/75

 

45

d) No está la respuesta

Respuestas:

Recuerda hacerlo primero… ¡no vale

hacer trampa!

1.B 5.A 9.A 13.A

2.C 6.B 10.B 14.B

3.C 7.A 11.A 

4.D 8.C 12.A

Page 46: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 46/75

 

46

Page 47: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 47/75

 

47

GEOMETRIA

La Geometría es una rama de la matemática que se ocupadel estudio de las propiedades de las figuras geométricasen el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos,politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies,polígonos, poliedros, etc).

Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o deldibujo técnico. También da fundamento a instrumentoscomo el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema deposicionamiento global (en especial cuando se la consideraen combinación con el análisis matemático y sobre todo conlas ecuaciones difere nciales). 

Sus orígenes se remontan a lasolución de problemasconcretos relativos a medidas.Tiene su aplicación práctica enfísica aplicada, mecánica,

arquitectura, cartografía,astronomía, náutica, topografía,balística, etc. Y es útil en lapreparación de diseños e inclusoen la elaboración de artesanías.

Page 48: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 48/75

 

48

LA GEOMETRIA EN LA HISTORIA

La geometría es una de las más antiguas ciencias.Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientosprácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes.En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según lostextos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides,en el siglo III a. C. configuró la geometría en formaaxiomática, tratamiento que estableció una norma a seguirdurante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en«Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de

determinar las posiciones de estrellas y planetas en laesfera celeste, sirvió como importante fuente deresolución de problemas geométricos durante más de unmilenio. René Descartes desarrolló simultáneamente elálgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, dondelas figuras geométricas, tales como las curvas planas,

podrían ser representadas analíticamente, es decir, confunciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con elestudio de la estructura intrínseca de los entesgeométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a lacreación de la topología y la geometría diferencial.

Page 49: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 49/75

 

49

Tipos de geometría:

Entre los tipos de geometría más destacables seencuentran:

† Geometría euclidiana

† Geometría plana 

† Geometría espacial

† Geometría no euclidiana

† Geometría riemanniana

† Geometría analítica† Geometría diferencial

† Geometría proyectiva

† Geometría descriptiva

† Geometría de incidencia

† Geometría de dimensionesbajas

† Geometría sagrada

Page 50: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 50/75

 

50

RENÉ DESCARTES 

También llamado Cartesius.  Fue un filósofo, matemático yfísico francés, considerado como el padre de la filosofíamoderna, así como uno de los nombres más destacados de larevolución científica. 

Durante la Edad Moderna también era conocido por sunombre latino Renatus Cartesius. Descartes nace el 31 demarzo de 1596 en la Turena, en La Haye en Touraine, actualDescartes, después de abandonar su madre la ciudad deRennes, donde se había declarado una epidemia de peste.Pertenecía a una familia de la baja nobleza, siendo su

padre, Joachim Descartes, Consejero en el Parlamento deBretaña. Era el tercero de los descendientes delmatrimonio entre Joachim Descartes, parlamentario deRennes, y Jeanne Brochard, por lo que, por vía materna, eranieto del alcalde de Nantes. 

† René descartes sirvióal ejército. † El uso de algunas de lasletras finales de nuestroalfabeto fue introducido

or Descartes 

Page 51: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 51/75

 

51

Algunas figuras geométricas:

EL CILINDRO: Se llama cilindro de revolución al cuerpo

engendrado por un rectángulo al girar sobre uno de suslados ( C - C1) como el eje de rotación.

Partes:

Bases: Dos círculos (inferior y superior) que limitan elcilindro.

Superficie cilíndrica de revolución: Superficie curva.

Cálculos

- Área lateral

AL = 2 r g

g: generatriz(altura)

r: Radio

- Area total

AT =2 r ( g+r)

- Volumen

V= r2 g

Page 52: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 52/75

 

52

LA PIRAMIDE:  Se le denominan pirámides a aquellospoliedros limitados por un polígono cualquiera llamado base,  y por tantos triángulos como lados tiene la base que

concurren en un punto.

Partes:

Cálculos

- Área lateral

Como el área lateral se refiere al área de todas las caraslaterales, para hallarla se debe sumar las áreas de cada unode los triángulos que forman la pirámide:

AL= l/2 Pbap

ap: apotema (altura de cualquier lado de los triánguloslaterales)

- Area total:

AT= AL+ B

Volumen

V=1/3 B * h

EL CONO: Se lellama cono alcuerpo engendrado

por un triángulo

Page 53: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 53/75

 

53

rectángulo al girar sobre unos de sus catetos como eje derotación.

Partes:- Base: Círculo que limita la figura.

- Superficie cónica de revolución: Superficie curva.

Cálculos:

- Área lateral

AL= r g

- Area total

AT = r ( g + r )

- Volumen

V= 1/3 r2 h 

Page 54: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 54/75

 

54

LA ESFERA: Es el sólido que se genera cuando unacircunferencia gira sobre uno de sus diámetros. 

Partesr: Radio de la esfera

Cálculos

- Área 

A= 4 r2

- Volumen

V= 4/3 r3

¡Perfecto!

Page 55: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 55/75

 

55

TEOREMA DE TALES

Existen dos teoremas en relación a la geometria clasica que

reciben el nombre de teorema de tales, ambos atribuidos almatemático griego TALES DE MILETO en el siglo VI a.C.

Los dos teoremas de Tales:

† El primero de ellos explica esencialmente una forma de

construir un triángulo semejante a uno previamenteexistente (los triángulos semejantes son los que tieneniguales ángulos).

Page 56: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 56/75

 

56

†  Mientras que el segundo desentraña una propiedadesencial de los circuncentros de todos los triángulos

rectángulos (encontrandose éstos en el punto medio de suhipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica esampliamente utilizado para imponer condiciones deconstrucción de ángulos rectos.

Primer Teorema:

† Tales descubrió el teorema … mientras investigaba la .condiciónde paralelismo entre .dos rectas.

Page 57: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 57/75

 

57

Segundo Teorema:

Page 58: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 58/75

 

58

Demostración:

En la circunferencia de centro O y radio r

Los segmentos OA , OB y OC son iguales por ser todosradios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos,se obtiene: 

Page 59: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 59/75

 

59

Con la expresión anterior el segundo teorema quedademostrado.

Pero…. Veamos quien es TALES DE MILETO 

TALES DE MILETO

Fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo.Se le considera el primer filósofo de la historia de lafilosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónicade filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue elprimero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (elsabio astrónomo) .Fue además uno de los más grandesmatemáticos de su época, centrándose sus principalesaportaciones en los fundamentos de la geometría. 

Aportes como matemático:Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto aGrecia múltiples conocimientos y herramientas elementalesde geometría. Aunque no es históricamente seguro, seacepta generalmente como su principal aporte el habersostenido ya en su época lo que expresa un teorema que

lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene porlado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe esun triángulo rectángulo. 

Según una tradición antigua nomuy segura, como discípulo y

protegido a Pitágoras.

Page 60: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 60/75

 

60

Tales invento lafrase: Lo más sabioes el tiempo, porqueaclara todo.

Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un métodode comparación de sombras que Tales habría utilizado paramedir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego

a otros fines prácticos de la navegación. Se supone ademásque Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría,como el hecho de que cualquier diámetro de un circulo lodividiría en partes idénticas, que un triángulo isóscelestiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o laspropiedades relacionales entre los ángulos que se forman al

cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular. 

Page 61: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 61/75

 

61

Ejemplo de la geometría:

† Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo

perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado.¿Serán iguales sus áreas?

Pcuadrado = 12 · 4 = 48

A = 122 = 144 m²

Ahora podemos saber que las áreasde lostriángulos noson iguales….

Si no te salió… 

Page 62: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 62/75

 

62

…no hay que desilusionarse veamos otro ejercicio…. 

† Determinar el área del cuadrado inscrito en una

circunferencia de longitud 18.84 m.

Ahora si debía salirte… pero veamos otro… 

† El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, lasbases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados

no paralelos y el área.

Page 63: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 63/75

 

63

† Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado

del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de lacircunferencia.

† En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm

del centro. Calcular el área del círculo.

Page 64: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 64/75

 

64

† Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferenciamiden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular lalongitud de la circunferencia y el área del círculo.

Page 65: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 65/75

 

65

Problemas propuestos:

1.- En la figura L1, L2 y L3 son paralelas entre sí. Calcula elvalor de x.

a) 5 b) 8 c) 500d)1 e) ninguna de las alternativas

2.- En el triángulo ABC se tiene AP = 1,5; PC = 1 y AQ = 3.Determina la medida de para que sea paraleloa .

Page 66: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 66/75

 

66

QB = ¿?

a) 2 b) 5 c)7

d) 1 e) 9

3.- En el gráfico se cumple que g||h. Halla la medida de x.

a) 5,4 b) 6,45 c) 2,8

d) 2,2 e) ninguna de las alternativas

4.- Calcula el diámetro de un círculo cuya área mide 19,625cm2. ( ≈ 3,14) 

a) 7 b)3 c)5

d) 5,2 e) ninguna de las alternativas

Page 67: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 67/75

 

67

5.- Calcula el perímetro y el área de un círculo cuyodiámetro mide d=5,3 m. ( ≈ 3,14) 

a) P=22,05 m; A=16,642

b) P=16,642 m; A=22,05

c) P=14,045 m; A=16,642

d) P=16,695 m; A=8,478

Respuestas:

Recuerda que debes realizarlo no vale hacer trampa.

1.- D 2.- A 3.- C 4.- C 5.- B

Page 68: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 68/75

 

68

Page 69: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 69/75

 

69

Te planteo este sencillo juego.

†Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo

136.)-Escríbelo en orden inverso (631).

-Resta del mayor el menor (631-136=495)

-Si tú me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor

de la resta.

Respuesta:

Vamos a utilizar un poco de cálculo algebraico. Supongamosque el número de tres cifras es "abc". Expresamos este

número como potencias de 10: a.102+b.10+c. En ordeninverso seria cba= c.102+b.10+a.

Los restamos (suponiendo a>c):

(a.102+b.10+c)- (c.102+b.10+a)=(a-c).102+(c-a)=

(a-c)(100-1)=(a-c).99.

Es decir, siempre se obtiene un múltiplo de 99. Analicemosestos múltiplos:

99.1=99=099

99.2=198

Page 70: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 70/75

 

70

99.3=297

99.4=396

Observamos que todos tienen propiedades comunes:

*la cifra de las decenas siempre es un nueve

*la cifra de las unidades y las centenas suman nueve

Es evidente que nos basta con conocer la cifra de las

unidades (o centenas) para "adivinar" el número resultante.

†Piensa un número de tres cifras y escríbelo.

-Escribe el mismo número a continuación del anterior.Habrás obtenido un número de seis cifras.

-Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo laoperación.

-Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11.Divídelo.

-Divide el nuevo cociente entre 13.

-¿Has obtenido como cociente el número pensado?

Page 71: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 71/75

 

71

Respuesta:

Utilizamos de nuevo el cálculo algebraico. Supongamos que

el número de tres cifras es "abc". Escrito como potenciasde 10: a.102+b.10+c. Escribimos el mismo número acontinuación: "abcabc".

Es decir, abcabc= a.105+b.104+c.103+a.102+b.10+c=

a(105+102)+b(104+10)+c(103+1)=

=a.102(103+1)+b.10(103+1)+c(103+1)=

(a.102+b.10+c).1001

El resultado siempre es el número inicial multiplicado por1001.

Descomponiendo el número 1001 en factores primos seobtiene que 1001=7.11.13 con lo cual queda aclarado elresultado de este juego.

Page 72: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 72/75

 

72

† ¿Puedes escribir todos losnúmeros del cero al diez

utilizando cinco doses, y lossignos +, -, x, /, además delparéntesis? Puedes empezar así 

0= 2 - 2/2 - 2/2 

Respuesta:

† En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de unmismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un

empleado, por error, ha dejado junto a estos sacos otrosaco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en elpeso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas.¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las monedasfalsas haciendo una sola pesada?

Page 73: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 73/75

 

73

Respuesta:

Se toma una moneda del primer saco, dos monedas del

segundo, tres del tercero, y así sucesivamente hasta cogerocho monedas del octavo saco. De esta forma tendremos36 monedas, las cuales pesaremos. Si todas ellas fueranauténticas pesarían 360 gramos, pero como hemos tomadoalguna moneda del saco de las falsas el peso total serámenor, y esto nos permitirá averiguar cuál es el saco que

contiene las monedas falsas. Si falta un gramo para los360, el saco de las falsas es aquel del que cogimos unamoneda, si faltan dos gramos es el saco del que tomamosdos, si faltan tres es el tercero, etc.

Page 74: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 74/75

 

74

† Augustus de Morgan (¿-1871) fue un matemático inglésnacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el

planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Estepersonaje nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanzasobre su edad: "El año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?".

Respuesta:

Basta con encontrar el único año (del siglo XIX) que es uncuadrado perfecto: 1849 = 432

Por lo tanto, x=43 y el año de nacimiento es 1849 - 43 =1806.

Espero que te

haya gustado

nuestro Boletín¡!!

Page 75: NILTON ROJAS_4TOB

8/3/2019 NILTON ROJAS_4TOB

http://slidepdf.com/reader/full/nilton-rojas4tob 75/75

 


Related Documents