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Conceito de número Ao apropriar-se de conhecimentos matemáticos

de forma mediada, por uma perspectiva histórica

e cultural, podemos conceber a matemática não

como uma ciência acabada, imutável, mas como

um processo de construção humana, também

nos inserimos como herdeiros de todo

conhecimento já produzido.

O desenvolvimento da matemática pelo

pensamento humano reflete não só diferentes

necessidades históricas, mas também impasses,

superações, mudanças de rumos.

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Reconhecer este movimento lógico-histórico de

construção não linear de conhecimento

matemático, que se contrapõe ao que por vezes é

apresentado tradicionalmente no ensino, e

concebê-lo como parte de seu trabalho na

organização do ensino, é um dos desafios do

professor que ensina matemática.

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Na relação de uso social que estabelecemos com os números, estas perguntas raramente são colocadas.

O que é Número?

Como surgiu?

Por que as quantidades são representadas da forma como as conhecemos

Em diversas situações utilizamos

os números em nossa vida, mas

será que em algum momento já

paramos para pensar sobre eles?

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O estudo do conceito número, entretanto é o ponto de partida para o estudo da aritmética.

Poderíamos supor erroneamente, numa análise superficial, que este conceito, bem como suas representações e operações decorrentes, surgiram de forma linear para a humanidade.

Porém, a história revela que diferentes civilizações buscaram formas distintas de lidar com a variação de quantidades de um conjunto de objetos.

O conhecimento de algumas das soluções históricas para o problema da contagem nos permite não apenas compreender melhor nosso sistema de numeração, como também, na prática docente, reconhecer eventuais dificuldades de aprendizagem que perpassem tais conceitos, possibilitando a construção de estratégias pedagógicas que possam auxiliá-los.

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Também é por meio do conhecimento dos

impasses e limitações das diferentes soluções

humanas para o problema da contagem que

podemos nos posicionar diante do dilema de

compreender o número como uma ideia anterior

ao problema humano da contagem, construído

em unidade dialética com essa experiência, ou

seja poderíamos nos perguntar:

“o conceito nasceu da experiência, ou a

experiência simplesmente serviu para tornar

explícito o que já estava latente na mente

humana?” (DANTIZIG, 1970, p.18)

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Esta pergunta é a fonte de uma longa discussão

no campo da filosofia da matemática acerca da

criação ou da descoberta da matemática,

consequentemente do conceito de número.

Indícios históricos tem mostrado aos

pesquisadores da área a correlação existente

entre a produção do conceito e as necessidades

humanas que o motivam.

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Os primeiros registros arqueológicos do que poderíamos chamar de uma contagem primitiva datam de aproximadamente 50 000 anos a.C. alguns autores porém, acreditam que é possível afirmar que em períodos anteriores os homens já teriam desenvolvido alguma forma de senso numérico, o que permitiria ao homem comparar a quantidade de objetos em conjuntos distintos, reconhecendo quais coleções teriam mais ou menos elementos.

Esta primeira aproximação do senso numérico, presente em algumas experiências com animais domesticados, apontam que alguns são capazes de reconhecer a variação de unidades em conjuntos de até quatro elementos, quando lhe são familiares. Dantzig (1970) cita como exemplo o caso do fazendeiro que queria espantar o corvo que vivia na torre de observação de sua mansão.

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Um fazendeiro estava disposto a matar um

corvo que fez seu ninho na torre de

observação de sua mansão. Por diversas

vezes, tentou surpreender o pássaro, mas

em vão: à aproximação do homem, o corvo

saía do ninho. De uma árvore distante, ele

esperava atentamente até que o homem

saísse da torre e só então voltava ao ninho.

Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois

homens entraram na torre, um ficou dentro,

e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro

não foi enganado: manteve-se afastado até

que o outro homem saísse da torre. A

experiência foi repetida nos dias

subsequentes com dois, três e quatro

homens, ainda sem anteriormente, todos

entraram na torre e um permaneceu lá

dentro enquanto os outros quatro saíam e

se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a

conta. Incapaz de distinguir entre

quatro e cinco, voltou imediatamente

ao ninho. (p.17)

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Esta noção de senso numérico do animal se diferencia e muito da contagem, pois não há abstração nem generalização no processo, apenas permite-lhe comparar os conjuntos dos homens, percebendo assim quantidades concretas.

De mesmo modo, conjectura-se que os humanos primitivos eram capazes de reconhecer, numa comparação visual, a variação de quantidades entre conjuntos com um número reduzido de elementos.

Esta possibilidade foi tornando-se insuficiente à medida que as necessidades humanas de controlar quantidades foram se ampliando.

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As primeiras representações numéricas apareceram em razão de se

fazer contagem de animais.

Dentre as diversas formas que utilizavam, estava comparar a

quantidade de guerreiros de diferentes tribos ou exércitos, ou a dos

pastores que soltavam seu rebanho pela manhã e contavam esses

animais através de pedrinhas colocadas num saco. Para cada animal

usava-se uma pedrinha. Ao final do dia, ao buscar o rebanho, os

pastores contavam de forma inversa, retirando do saco uma pedrinha

para cada animal - exigia do homem mais do que senso numérico.

Eram utilizados também ossos, riscos em ossos ou em pedras, nós em

corda, gravetos, enfim, cada região possuía seu método de contagem.

http://www.clickideia.com.br/portal/conteudos/c/34/16609 http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/concreto.htm

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Situações como essa, exigia pensar como realizar tal

controle, o que chamamos de contagem. O

desenvolvimento de métodos eficientes de contagem

parece estar diretamente ligado ao momento histórico

no qual o homem passa a ter propriedade privada e ,

portanto, a necessidade de garantir a manutenção da

quantidade de seus bens.

É provável que a contagem tenha consistido na

comparação entre os elementos de dois conjuntos

distintos. Nesta estratégia, chamada de enumeração,

ainda não existia o conceito de número, nem a

contagem abstrata. O conjunto no qual se deseja

controlar a quantidade é comparado elemento a

elemento, um a um, com outro conjunto de objetos

usados como controle. Esse segundo conjunto poderia

ser constituído por pedras, paus, ossos, conchas, nós

em corda, entalhes em madeira ou esmo uma

sequencia pré-definida de partes do corpo humano.

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Essa forma de contagem, é chamada de

correspondência um a um, correspondência biunívoca

ou bijeção. Quando por exemplo, um professor entra

numa sala onde há exatamente a mesma quantidade de

alunos e carteiras, num bater de olho, ele sabe se houve

ou não ausências.

Assim, a estratégia de enumeração não nos permite

responder quantos elementos há em um conjunto

determinado, mas nos garante a comparação entre duas

coleções de modo que possamos afirmar se ambas tem

o mesmo número de elementos ou qual é a mais

numerosa, esta prática é eficiente para conjuntos com

um número reduzido de elementos, o que permite a

comparação não é a natureza

dos objetos, mas sim a sua

quantidade.

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A enumeração como estratégia de contagem precedeu

a numeração. A diferença essencial entre esses dois

conceitos é que, enquanto na enumeração o conjunto

que conta é acessado concretamente, na numeração há

uma sequencia fixa pré-determinada que é seguida

oralmente.

Com o desenvolvimento da linguagem o homem

passou a dar nomes para as diferentes partes do corpo,

utilizando-os na enumeração.

Num processo de abstração não

houve mais a necessidade do

toque, apenas a expressão oral

das palavras era suficiente para

indicar o ponto de parada de

uma sequencia. Ainda não há a

construção do conceito abstrato

do número!

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Baseado na correspondência entre o conjunto que se deseja controlar com a quantidade e um conjunto modelo definido, estabelece um aspecto cardinal, que, embora essencial para o desenvolvimento do conceito de número, ainda não é suficiente para a

construção do conceito

de número natural.

A contagem abstrata pressupõe a compreensão do conceito de sucessor, onde numa sequencia ordenada de objetos é possível atribuir a objeto um valor correspondente à sua ordem na sequencia, que supera em uma unidade o valor atribuído ao objeto anterior.

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Assim, tanto o aspecto ordinal quanto o

cardinal são essenciais na construção do

conceito de número, esses dois aspectos do

número implicam na essência do conceito de

número natural como revestido tanto da

noção de correspondência, quanto da noção

de ordenação.

Ao serem constitutivos do conceito de

número, tais elementos permitiram a esse

conceito responder à necessidade humana de

controlar quantidades e assim, permitiram o

desenvolvimento da aritmética.

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Os primeiros indícios do conhecimento matemático

tinham ligação com uma experiência cotidiana, de

satisfação de necessidades imediatas, relacionadas ao

trabalho.

Este desenvolvimento da matemática pelo homem

refletiu suas necessidades históricas, no qual ao

transformar a natureza em função destas, adquire novos

conhecimentos, dando origem a novas respostas,

tornando assim, a atividade do individuo mais

complexa.

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A matemática, assim como as demais áreas do

conhecimento humano, é produto de relações mais

complexas. Neste sentido, o indivíduo deve ter

assegurado o acesso a esse conhecimento e as

situações educativas devem traduzir para os

estudantes tais criações elaboradas pelo homem.

“O processo educativo é central à formação do

homem em sua especificidade histórica, pois permite

que não seja necessário reinventar o mundo a cada

nova geração, permite que se conheça o estágio de

desenvolvimento humano atual para que se possa

superá-lo.” (MOURA, 2010, p. 27).

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Compreendendo que a matemática é um produto da

necessidade humana e que se faz fundamental para

integrar o indivíduo na cultura e promover seu

desenvolvimento, podemos inferir que o entendimento

da categoria dialética, que busca uma articulação entre o

conceito histórico e sua essência, é extremamente

importante.

O homem não nasce dotado das aquisições históricas da

humanidade. Resultando estas do desenvolvimento das

gerações humanas, não são incorporadas nem nele, nem

nas suas disposições naturais, mas no mundo que o

rodeia, nas grandes obras da cultura humana. Só

apropriando-se delas no decurso da sua vida ele adquiri

propriedades e faculdades verdadeiramente humanas.

Este processo coloca-o, por assim dizer, aos ombros das

gerações anteriores e eleva-o muito acima do mundo

animal (LEONTIEV, 1978, p.274).

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Mas estas descobertas nunca estão para sempre asseguradas: uma civilização se

apaga, a dos babilônios ou a dos maias, e, junto com sua casta de sacerdotes

rigorosamente recrutados, é um pouco da técnica dos números que desaparece,

toda uma invenção a refazer. Trata-se, pois, de uma história caótica e tumultuada,

cheia de avanços fulgurantes e de recaídas, em que o passo incerto, errático, feito

de tentativas e de erros, de impasses, de esquecimentos e de renúncias da espécie

humana [...].

É também uma história completamente anônima, apesar da importância das

invenções. Feita por e para as coletividades, ela não concedeu certificados. Não que

todos os nomes estejam dela ausentes: eles abundam nos documentos de pedra,

papiro, velino, papel, tecido, enquanto o proprietário de certo rebanho ou o

vencedor de determinada batalha imortalizam assim seus nomes, que não nos

dizem mais nada, associando-os aos algarismos. Frequentemente conhecemos

também os nomes daqueles que transmitiram, exploraram, comentaram algarismos

e sistemas de numeração. Mas os dos próprios inventores estão certamente

perdidos para sempre. Talvez as invenções remontem a uma antiguidade muito

remota. Talvez ainda, porque as invenções geniais foram feitas por homens

relativamente humildes, que não tinham direito a registro. Talvez, enfim, porque

elas são de produto de práticas coletivas, e não poderiam ser atribuídas de modo

preciso a ninguém. O inventor do zero escriba meticuloso e preocupado em

delimitar um lugar numa série de algarismos submetidos ao princípio da posição,

provavelmente nunca teve consciência da revolução que tornava possível..

(IFRAH, 1994, p. 11)

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A história do número é tão antiga quanto a história do

homem. A noção de número e suas generalizações estão

intimamente ligadas à história da humanidade e a própria

vida está impregnada de matemática na grande parte das

comparações que os homens formulam, bem como nos

gestos e atitudes cotidianas.

Ao longo da história, os números foram criados, diante da

necessidade do homem de representar as quantidades. Esta não é, assim, uma história abstrata e linear, como se imagina às vezes, e

erradamente, a história da matemática: uma sucessão impecável de conceitos

encadeados uns aos outros. Ao contrário, é a história das necessidades e

preocupações de grupos sociais ao buscar recensear seus membros, seus bens,

suas perdas, seus prisioneiros, ao procurar datar a fundação de suas cidades e

de suas vitórias utilizando os meios disponíveis, às vezes empíricos, como

entalhe, às vezes estranhamente mitológicos, como no caso dos egípcios. [...]

Alguns se revelam utilitaristas e limitam suas ambições a objetivos puramente

contábeis; outros, para situar no ilimitado e na eternidade, buscam inventariar

o céu e a terra, exprimir a quantidade de dias, de meses e de anos desde a

criação do mundo, ou pelo menos a partir de qualquer data original cujo

sentido ainda não se perdeu. Aos nossos olhos, são estes últimos, que

gostaríamos de chamar de sonhadores, que têm razão, pois, ao se impor a

obrigação de repensar números muito grandes, são levados a ultrapassar a

multiplicação dos símbolos e colocados no caminho da numeração de posição

e do zero. (IFRAH, 1994, p. 10-11)

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Para facilitar o entendimento entre os diferentes

povos, o homem percebeu a necessidade de uma

forma única de representar quantidades.

Os egípcios foram um dos primeiros povos a

criar um sistema de numeração.

Conjunto de imagens: antigoegito.org

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Os romanos também desenvolveram uma forma de

contar as coisas, ou seja, o seu sistema de numeração,

conhecido como números romanos.

Podemos encontrá-los até hoje, sendo usados na escrita

dos séculos, em relógios, capítulos de livros, nomes dos

papas, etc.

http://www.profcardy.com/cardicas/lista-de-romanos.php

http://cataventodamatematica.blogspot.co

m.br/2013/03/a-historia-da-

matematica.html

http://amatematicasecreta.blogspot.com.br/2013/03/hi

storia-dos-numeros.html

http://rudynalva-

alegriadevivereamaroquebom.blogspot.com.br/2016/

01/resenha-02-o-segredo-da-caveira-de.html

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Os textos matemáticos mais antigos foram

encontrados na Mesopotâmia, talhados nas pedras

através de símbolos, em escrita cuneiforme ( ).

Na China, o primeiro instrumento mecânico para calcular é

inventado: o ábaco.

Entre 3000 e 2500 a.C, são criadas as tabuadas e o cálculo de área

é desenvolvido.

http://historiaecoisaetal.blogspot.com.br/2011/0

7/traducao-do-alfabeto-cuneiforme.html

http://raquelbaracat.com/blog-da-raquel-

baracat/2015/10/18/cerveja-coisa-de-mulher-

coluna-entretenimento-por-milena-baracat

http://jbtextosartigosecronicas.blogspot

.com.br/2006/06/escrita-um-

nascimento-humilde.html

https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco

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Os números que usamos

foram criados pelos

indianos, no Norte da Índia,

em meados do século V da

era cristã. As primeiras

inscrições apareceram em

formas de símbolos

aproximados da forma que

escrevemos.

http://www.depoisquecrescemos.com/2013/01/como-surgiu-origem-dos-

numeros.html

Os árabes difundiram

essa forma de contagem

e por isso os números

ficaram conhecidos

como indo-arábicos,

através do grande

matemático AL-

khwãrizmi, que deu o

nome aos mesmos de

algarismos.

http://www.depoisquecrescemos.com/2013/01/como-surgiu-origem-dos-numeros.html

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Duas questões são constantemente discutidas entre

alguns matemáticos:

Será que todos os algarismos que

usamos atualmente seriam na realidade

ideogramas numéricos?

Teriam sido estes símbolos idealizados

de uma maneira lógica?

http://www.canalkids.com.br/cultura/matematic

a/segredo.htm

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Surgem hipóteses lógicas que utilizam

argumentos bem construídos, dentre elas a

possibilidade de ser cada algarismo um

desenho de um ideograma numérico,

obtidos a partir do número de ângulos de

cada algarismo, o número de pontos, de

diâmetros e arcos, etc.

http://www.depoisquecrescemos.com/2013/01/como-surgiu-origem-dos-numeros.html

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