Conceito de número Ao apropriar-se de conhecimentos matemáticos
de forma mediada, por uma perspectiva histórica
e cultural, podemos conceber a matemática não
como uma ciência acabada, imutável, mas como
um processo de construção humana, também
nos inserimos como herdeiros de todo
conhecimento já produzido.
O desenvolvimento da matemática pelo
pensamento humano reflete não só diferentes
necessidades históricas, mas também impasses,
superações, mudanças de rumos.
Reconhecer este movimento lógico-histórico de
construção não linear de conhecimento
matemático, que se contrapõe ao que por vezes é
apresentado tradicionalmente no ensino, e
concebê-lo como parte de seu trabalho na
organização do ensino, é um dos desafios do
professor que ensina matemática.
Na relação de uso social que estabelecemos com os números, estas perguntas raramente são colocadas.
O que é Número?
Como surgiu?
Por que as quantidades são representadas da forma como as conhecemos
Em diversas situações utilizamos
os números em nossa vida, mas
será que em algum momento já
paramos para pensar sobre eles?
O estudo do conceito número, entretanto é o ponto de partida para o estudo da aritmética.
Poderíamos supor erroneamente, numa análise superficial, que este conceito, bem como suas representações e operações decorrentes, surgiram de forma linear para a humanidade.
Porém, a história revela que diferentes civilizações buscaram formas distintas de lidar com a variação de quantidades de um conjunto de objetos.
O conhecimento de algumas das soluções históricas para o problema da contagem nos permite não apenas compreender melhor nosso sistema de numeração, como também, na prática docente, reconhecer eventuais dificuldades de aprendizagem que perpassem tais conceitos, possibilitando a construção de estratégias pedagógicas que possam auxiliá-los.
Também é por meio do conhecimento dos
impasses e limitações das diferentes soluções
humanas para o problema da contagem que
podemos nos posicionar diante do dilema de
compreender o número como uma ideia anterior
ao problema humano da contagem, construído
em unidade dialética com essa experiência, ou
seja poderíamos nos perguntar:
“o conceito nasceu da experiência, ou a
experiência simplesmente serviu para tornar
explícito o que já estava latente na mente
humana?” (DANTIZIG, 1970, p.18)
Esta pergunta é a fonte de uma longa discussão
no campo da filosofia da matemática acerca da
criação ou da descoberta da matemática,
consequentemente do conceito de número.
Indícios históricos tem mostrado aos
pesquisadores da área a correlação existente
entre a produção do conceito e as necessidades
humanas que o motivam.
Os primeiros registros arqueológicos do que poderíamos chamar de uma contagem primitiva datam de aproximadamente 50 000 anos a.C. alguns autores porém, acreditam que é possível afirmar que em períodos anteriores os homens já teriam desenvolvido alguma forma de senso numérico, o que permitiria ao homem comparar a quantidade de objetos em conjuntos distintos, reconhecendo quais coleções teriam mais ou menos elementos.
Esta primeira aproximação do senso numérico, presente em algumas experiências com animais domesticados, apontam que alguns são capazes de reconhecer a variação de unidades em conjuntos de até quatro elementos, quando lhe são familiares. Dantzig (1970) cita como exemplo o caso do fazendeiro que queria espantar o corvo que vivia na torre de observação de sua mansão.
Um fazendeiro estava disposto a matar um
corvo que fez seu ninho na torre de
observação de sua mansão. Por diversas
vezes, tentou surpreender o pássaro, mas
em vão: à aproximação do homem, o corvo
saía do ninho. De uma árvore distante, ele
esperava atentamente até que o homem
saísse da torre e só então voltava ao ninho.
Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois
homens entraram na torre, um ficou dentro,
e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro
não foi enganado: manteve-se afastado até
que o outro homem saísse da torre. A
experiência foi repetida nos dias
subsequentes com dois, três e quatro
homens, ainda sem anteriormente, todos
entraram na torre e um permaneceu lá
dentro enquanto os outros quatro saíam e
se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a
conta. Incapaz de distinguir entre
quatro e cinco, voltou imediatamente
ao ninho. (p.17)
Esta noção de senso numérico do animal se diferencia e muito da contagem, pois não há abstração nem generalização no processo, apenas permite-lhe comparar os conjuntos dos homens, percebendo assim quantidades concretas.
De mesmo modo, conjectura-se que os humanos primitivos eram capazes de reconhecer, numa comparação visual, a variação de quantidades entre conjuntos com um número reduzido de elementos.
Esta possibilidade foi tornando-se insuficiente à medida que as necessidades humanas de controlar quantidades foram se ampliando.
As primeiras representações numéricas apareceram em razão de se
fazer contagem de animais.
Dentre as diversas formas que utilizavam, estava comparar a
quantidade de guerreiros de diferentes tribos ou exércitos, ou a dos
pastores que soltavam seu rebanho pela manhã e contavam esses
animais através de pedrinhas colocadas num saco. Para cada animal
usava-se uma pedrinha. Ao final do dia, ao buscar o rebanho, os
pastores contavam de forma inversa, retirando do saco uma pedrinha
para cada animal - exigia do homem mais do que senso numérico.
Eram utilizados também ossos, riscos em ossos ou em pedras, nós em
corda, gravetos, enfim, cada região possuía seu método de contagem.
http://www.clickideia.com.br/portal/conteudos/c/34/16609 http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/concreto.htm
Situações como essa, exigia pensar como realizar tal
controle, o que chamamos de contagem. O
desenvolvimento de métodos eficientes de contagem
parece estar diretamente ligado ao momento histórico
no qual o homem passa a ter propriedade privada e ,
portanto, a necessidade de garantir a manutenção da
quantidade de seus bens.
É provável que a contagem tenha consistido na
comparação entre os elementos de dois conjuntos
distintos. Nesta estratégia, chamada de enumeração,
ainda não existia o conceito de número, nem a
contagem abstrata. O conjunto no qual se deseja
controlar a quantidade é comparado elemento a
elemento, um a um, com outro conjunto de objetos
usados como controle. Esse segundo conjunto poderia
ser constituído por pedras, paus, ossos, conchas, nós
em corda, entalhes em madeira ou esmo uma
sequencia pré-definida de partes do corpo humano.
Essa forma de contagem, é chamada de
correspondência um a um, correspondência biunívoca
ou bijeção. Quando por exemplo, um professor entra
numa sala onde há exatamente a mesma quantidade de
alunos e carteiras, num bater de olho, ele sabe se houve
ou não ausências.
Assim, a estratégia de enumeração não nos permite
responder quantos elementos há em um conjunto
determinado, mas nos garante a comparação entre duas
coleções de modo que possamos afirmar se ambas tem
o mesmo número de elementos ou qual é a mais
numerosa, esta prática é eficiente para conjuntos com
um número reduzido de elementos, o que permite a
comparação não é a natureza
dos objetos, mas sim a sua
quantidade.
A enumeração como estratégia de contagem precedeu
a numeração. A diferença essencial entre esses dois
conceitos é que, enquanto na enumeração o conjunto
que conta é acessado concretamente, na numeração há
uma sequencia fixa pré-determinada que é seguida
oralmente.
Com o desenvolvimento da linguagem o homem
passou a dar nomes para as diferentes partes do corpo,
utilizando-os na enumeração.
Num processo de abstração não
houve mais a necessidade do
toque, apenas a expressão oral
das palavras era suficiente para
indicar o ponto de parada de
uma sequencia. Ainda não há a
construção do conceito abstrato
do número!
Baseado na correspondência entre o conjunto que se deseja controlar com a quantidade e um conjunto modelo definido, estabelece um aspecto cardinal, que, embora essencial para o desenvolvimento do conceito de número, ainda não é suficiente para a
construção do conceito
de número natural.
A contagem abstrata pressupõe a compreensão do conceito de sucessor, onde numa sequencia ordenada de objetos é possível atribuir a objeto um valor correspondente à sua ordem na sequencia, que supera em uma unidade o valor atribuído ao objeto anterior.
Assim, tanto o aspecto ordinal quanto o
cardinal são essenciais na construção do
conceito de número, esses dois aspectos do
número implicam na essência do conceito de
número natural como revestido tanto da
noção de correspondência, quanto da noção
de ordenação.
Ao serem constitutivos do conceito de
número, tais elementos permitiram a esse
conceito responder à necessidade humana de
controlar quantidades e assim, permitiram o
desenvolvimento da aritmética.
Os primeiros indícios do conhecimento matemático
tinham ligação com uma experiência cotidiana, de
satisfação de necessidades imediatas, relacionadas ao
trabalho.
Este desenvolvimento da matemática pelo homem
refletiu suas necessidades históricas, no qual ao
transformar a natureza em função destas, adquire novos
conhecimentos, dando origem a novas respostas,
tornando assim, a atividade do individuo mais
complexa.
A matemática, assim como as demais áreas do
conhecimento humano, é produto de relações mais
complexas. Neste sentido, o indivíduo deve ter
assegurado o acesso a esse conhecimento e as
situações educativas devem traduzir para os
estudantes tais criações elaboradas pelo homem.
“O processo educativo é central à formação do
homem em sua especificidade histórica, pois permite
que não seja necessário reinventar o mundo a cada
nova geração, permite que se conheça o estágio de
desenvolvimento humano atual para que se possa
superá-lo.” (MOURA, 2010, p. 27).
Compreendendo que a matemática é um produto da
necessidade humana e que se faz fundamental para
integrar o indivíduo na cultura e promover seu
desenvolvimento, podemos inferir que o entendimento
da categoria dialética, que busca uma articulação entre o
conceito histórico e sua essência, é extremamente
importante.
O homem não nasce dotado das aquisições históricas da
humanidade. Resultando estas do desenvolvimento das
gerações humanas, não são incorporadas nem nele, nem
nas suas disposições naturais, mas no mundo que o
rodeia, nas grandes obras da cultura humana. Só
apropriando-se delas no decurso da sua vida ele adquiri
propriedades e faculdades verdadeiramente humanas.
Este processo coloca-o, por assim dizer, aos ombros das
gerações anteriores e eleva-o muito acima do mundo
animal (LEONTIEV, 1978, p.274).
Mas estas descobertas nunca estão para sempre asseguradas: uma civilização se
apaga, a dos babilônios ou a dos maias, e, junto com sua casta de sacerdotes
rigorosamente recrutados, é um pouco da técnica dos números que desaparece,
toda uma invenção a refazer. Trata-se, pois, de uma história caótica e tumultuada,
cheia de avanços fulgurantes e de recaídas, em que o passo incerto, errático, feito
de tentativas e de erros, de impasses, de esquecimentos e de renúncias da espécie
humana [...].
É também uma história completamente anônima, apesar da importância das
invenções. Feita por e para as coletividades, ela não concedeu certificados. Não que
todos os nomes estejam dela ausentes: eles abundam nos documentos de pedra,
papiro, velino, papel, tecido, enquanto o proprietário de certo rebanho ou o
vencedor de determinada batalha imortalizam assim seus nomes, que não nos
dizem mais nada, associando-os aos algarismos. Frequentemente conhecemos
também os nomes daqueles que transmitiram, exploraram, comentaram algarismos
e sistemas de numeração. Mas os dos próprios inventores estão certamente
perdidos para sempre. Talvez as invenções remontem a uma antiguidade muito
remota. Talvez ainda, porque as invenções geniais foram feitas por homens
relativamente humildes, que não tinham direito a registro. Talvez, enfim, porque
elas são de produto de práticas coletivas, e não poderiam ser atribuídas de modo
preciso a ninguém. O inventor do zero escriba meticuloso e preocupado em
delimitar um lugar numa série de algarismos submetidos ao princípio da posição,
provavelmente nunca teve consciência da revolução que tornava possível..
(IFRAH, 1994, p. 11)
A história do número é tão antiga quanto a história do
homem. A noção de número e suas generalizações estão
intimamente ligadas à história da humanidade e a própria
vida está impregnada de matemática na grande parte das
comparações que os homens formulam, bem como nos
gestos e atitudes cotidianas.
Ao longo da história, os números foram criados, diante da
necessidade do homem de representar as quantidades. Esta não é, assim, uma história abstrata e linear, como se imagina às vezes, e
erradamente, a história da matemática: uma sucessão impecável de conceitos
encadeados uns aos outros. Ao contrário, é a história das necessidades e
preocupações de grupos sociais ao buscar recensear seus membros, seus bens,
suas perdas, seus prisioneiros, ao procurar datar a fundação de suas cidades e
de suas vitórias utilizando os meios disponíveis, às vezes empíricos, como
entalhe, às vezes estranhamente mitológicos, como no caso dos egípcios. [...]
Alguns se revelam utilitaristas e limitam suas ambições a objetivos puramente
contábeis; outros, para situar no ilimitado e na eternidade, buscam inventariar
o céu e a terra, exprimir a quantidade de dias, de meses e de anos desde a
criação do mundo, ou pelo menos a partir de qualquer data original cujo
sentido ainda não se perdeu. Aos nossos olhos, são estes últimos, que
gostaríamos de chamar de sonhadores, que têm razão, pois, ao se impor a
obrigação de repensar números muito grandes, são levados a ultrapassar a
multiplicação dos símbolos e colocados no caminho da numeração de posição
e do zero. (IFRAH, 1994, p. 10-11)
Para facilitar o entendimento entre os diferentes
povos, o homem percebeu a necessidade de uma
forma única de representar quantidades.
Os egípcios foram um dos primeiros povos a
criar um sistema de numeração.
Conjunto de imagens: antigoegito.org
Os romanos também desenvolveram uma forma de
contar as coisas, ou seja, o seu sistema de numeração,
conhecido como números romanos.
Podemos encontrá-los até hoje, sendo usados na escrita
dos séculos, em relógios, capítulos de livros, nomes dos
papas, etc.
http://www.profcardy.com/cardicas/lista-de-romanos.php
http://cataventodamatematica.blogspot.co
m.br/2013/03/a-historia-da-
matematica.html
http://amatematicasecreta.blogspot.com.br/2013/03/hi
storia-dos-numeros.html
http://rudynalva-
alegriadevivereamaroquebom.blogspot.com.br/2016/
01/resenha-02-o-segredo-da-caveira-de.html
Os textos matemáticos mais antigos foram
encontrados na Mesopotâmia, talhados nas pedras
através de símbolos, em escrita cuneiforme ( ).
Na China, o primeiro instrumento mecânico para calcular é
inventado: o ábaco.
Entre 3000 e 2500 a.C, são criadas as tabuadas e o cálculo de área
é desenvolvido.
http://historiaecoisaetal.blogspot.com.br/2011/0
7/traducao-do-alfabeto-cuneiforme.html
http://raquelbaracat.com/blog-da-raquel-
baracat/2015/10/18/cerveja-coisa-de-mulher-
coluna-entretenimento-por-milena-baracat
http://jbtextosartigosecronicas.blogspot
.com.br/2006/06/escrita-um-
nascimento-humilde.html
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco
Os números que usamos
foram criados pelos
indianos, no Norte da Índia,
em meados do século V da
era cristã. As primeiras
inscrições apareceram em
formas de símbolos
aproximados da forma que
escrevemos.
http://www.depoisquecrescemos.com/2013/01/como-surgiu-origem-dos-
numeros.html
Os árabes difundiram
essa forma de contagem
e por isso os números
ficaram conhecidos
como indo-arábicos,
através do grande
matemático AL-
khwãrizmi, que deu o
nome aos mesmos de
algarismos.
http://www.depoisquecrescemos.com/2013/01/como-surgiu-origem-dos-numeros.html
Duas questões são constantemente discutidas entre
alguns matemáticos:
Será que todos os algarismos que
usamos atualmente seriam na realidade
ideogramas numéricos?
Teriam sido estes símbolos idealizados
de uma maneira lógica?
http://www.canalkids.com.br/cultura/matematic
a/segredo.htm
Surgem hipóteses lógicas que utilizam
argumentos bem construídos, dentre elas a
possibilidade de ser cada algarismo um
desenho de um ideograma numérico,
obtidos a partir do número de ângulos de
cada algarismo, o número de pontos, de
diâmetros e arcos, etc.
http://www.depoisquecrescemos.com/2013/01/como-surgiu-origem-dos-numeros.html
REFERÊNCIAS
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