HIDROLOGÍA AVANZADA
REPRESENTACIÓN ESTADÍSTICA DE VARIABLES Y CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Los datos para cada uno de las variables involucradas se deben proporcionar en forma de información. Los conceptos básicos se encuentran muy bien desarrollados en varios textos (Benjamin y Cornell, 1970; Ang Tang, 1984). En este apartado se hace una breve revisión.
Ejemplo: la distribución de carga, temperatura y contenido de humedad. Con certeza, las resistencias f obtenido de la N pruebas serán todos diferentes. Además suponga que cada prueba también es utilizada para obtener el módulo de elasticidad E. la estadística básica que pueden ser obtenidas serán los valores medios y las desviaciones de estándar de f y de E, más la covarianza entre ellos.
VALORES MEDIOS:
DESVIACIÓN ESTANDAR:
COVARIANZA f-E:
Y LOS PARAMETROS ASOCIADOS:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN:
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL f - E:
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La desviación estándar proporciona información de la dispersión respecto a un valor medio, mientras que el coeficiente de variación expresa como una fracción del valor medio. Dos variables aleatorias dicen que son Independientes si uno puede tomar cualquier valor dentro de su rango independientemente del valor tomado por la otra. Dos valores independientes tienen covarianza cero, y coeficiente de correlación cero.
Las variables que tienen una relación lineal y están perfectamente correlacionadas tienen un coeficiente de correlación entre +1 o -1, dependiendo de la pendiente de la relación lineal.
En la prueba el coeficiente de correlación podría estar en el orden de 0.60 a 0.70. Esto significa que una viga es más resistente tiende más rígida, mientras q una viga más débil tiende a ser más flexible.
Para el cálculo de confiabilidad los datos también deben ser clasificados con la finalidad de construir una función, llamada distribución de probabilidad acumulada, F(x), definida como:
Es decir F(Xo) representa la probabilidad de encontrar, en el rango de la variable estudiada, valores de x menores que o iguales que Xo. Esta entre valores entre 0 y 1. como se muestra en la figura 1, para datos correspondientes a resistencia a la flexión de una viga de madera en (Mpa).
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FIGURA 01. Ejemplo De Datos Discretos Ajustados Con Una Función De Distribición Acumulada ( weibull de 2- parámetros)
Los puntos discretos usados para construir F(x) a partir de los datos pueden ser ajustados con una función matemática, que luego es usada en las estimaciones de confiabilidad.Otra función útil es la derivada f(x) de la distribución acumulada F(x).
La función f(x) se llama la densidad de probabilidad. Debido a la relación entre f(x) y F(x), la probabilidad F(Xo) también se puede escribir como:
DISTRIBUCIÓN NORMAL (o de Gauss): Esta muy conocida distribución se escribe por su función densidad f(x):
Esta distribución es simétrica a partir del valor y se extiende de . Para el caso
especial el valor medio es cero y la desviación estándar la distribución se comvierte
en una Estándar Normal.
La distribución puede ser siempre ajustada a una serie de datos, se presenta un problema fundamental cuando la variable x no puede ser negativa (como en el caso de resistencia a la flexión, o del módulo de elasticidad o de las cantidades de precipitación).
La distribución normal también tiene algunas características muy interesantes: cualquier combinación lineal de distribuciones normales es también una Normal, una característica que no se cumple en otras distribuciones.
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Una Normal de valor medio m y desviación estándar puede ser escrita como:
Donde:
R es una variable Normal estándar.
DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL: En este caso, el logaritmo de la variable x tiene distribución
normal. Por tanto, la variable x no puede ser negativa y su rango va de 0 a + Esta característica
hace la distribución Lognormal sea buena para representar datos positivos como resistencia a módulos de elasticidad.
DISTRIBUCIÓN EXTREMA TIPO III O WEIBULL: la función de distribución acumulada F(x) es, es este caso,
Donde se identifica tres parámetros como sigue:
Xo la localización (no hay x más pequeño que Xo); m , es la escala y k, la foema. Un caso particular de distribución Weibull implica solamente dos parámetros; para el caso especial de Xo = 0.
Estos parámetros se pueden relacionar con el producto la desviación estándar de la distribución.
Por ejemplo a mayor variabilidad más pequeño es el parámetro de forma k. una distribución Weibull no puede ser negativa, por lo tanto tiene buenas características de un Lognormal.
La ecuación Weibull también puede ser escrita en una forma diferente:
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