Amplif Resposta Freq

8/18/2019 Amplif Resposta Freq

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Octávio Páscoa Dias 1

Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica II

10 – Resposta em Frequência dos Amplificadores

10 – Resposta em Frequência dos Amplificadores

n Nesta disciplina o estudo da resposta em frequência dos amplificadores,incide nos amplificadores de acoplamento directo (ou dc ) e nos

amplificadores de acoplamento capaciti vo (ou ac ), cujo comportamentotípico das respostas em função da frequência se ilustram nas figuras 10.1 e10.2, respectivamente.

10.1 – As Três Bandas de Frequência

10.1 – As Três Bandas de Frequência

Figura 10.1 – Resposta em frequência de um amplificador com acoplamento dc.

Figura 10.2 – Resposta em frequência de um amplificador com acoplamento ac.


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10.1 – As Três Bandas de Frequência (cont.)


n Na resposta em frequência dos amplificadores com acoplamentocapacitivo (figura 10.2), podem identificar-se três bandas de frequência,

n As médias frequências , no qual o ganho é praticamente constante,

devido à reduzida influência dos condensadores externos (acoplamento ede contorno) e dos condensadores internos dos transístores (condensadores parasitas). De facto, neste intervalo de frequência, os condensadoresexternos podem ser modelados por um curto-circuito e os condensadoresinternos podem ser modelados por um circuito aberto.

n As baixas frequências , onde se verifica um decréscimo do ganho, umavez que os condensadores de acoplamento e de contorno, nosamplificadores com acoplamento ac , deixam de se comportar como umcurto-circuito.


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n As al tas frequências , onde se verifica também um decréscimo doganho, dado que os condensadores internos dos transístores deixam de secomportar como circuitos abertos.

n O intervalo das médias frequências é usualmente definido pelasfrequências ω l ,, designada por f requência limi te inf er ior de corte e ω h ,que se designa por f requência limi te super ior de corte , as quaiscorrespondem aos pontos onde o ganho do amplificador decresce 3 dB .

nA largura de banda (BW) do amplificador é usualmente definida por,

BW= ω h - ω l


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10.1 – As Três Bandas de Frequência (cont.)10.1 – As Três Bandas de Frequência (cont.)

n Tendo em conta que ω l


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• O ganho do amplificador, como uma função da variável complexa, s, pode ser expresso na forma geral,

A(s)=A m × F l (s) × F h (s)

onde, F l (s) e F h (s) são funções que dão conta da influência da frequênciasobre o ganho, nas baixas e altas frequências, respectivamente.

• Para frequências muito maiores do que ω l a função F l (s) aproxima-se daunidade. De forma similar, para frequências muito menores que ω h a

função F h (s) aproxima-se da unidade. Deste modo, para,ω l


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Octávio Páscoa Dias6


Assim, o ganho na banda das baixas frequências, A l (s) , é expresso por,A l (s)=Am × F l (s)

e o ganho nas altas frequências, Ah (s) , é dado por,Ah (s)=Am × F h (s)

• A função de transferência nas baixas frequências, A l (s) , é determinadacom base no modelo do circuito amplificador que inclui os condensadoresexternos e assume que os condensadores internos dos transístores podemser modelados por circuitos abertos.

•A função de transferência no intervalo das altas frequências, Ah (s) , édeterminada por intermédio do modelo do amplificador que inclui o efeitodos condensadores internos dos transístores, e assume que oscondensadores externos podem ser modelados por um circuito aberto.

10.2 – A Função de Ganho A(s) (cont.)10.2 – A Função de Ganho

A(s)(cont.)


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Octávio Páscoa Dias7


A figura 10.3, resume a influência dos condensadores externos e internos, para cada uma das três bandas da resposta do amplificador.

10.2 – A Função de Ganho A(s) (cont.)10.2 – A Função de Ganho

A(s)(cont.)

• Nos amplificadores de acoplamento dc , a ausência de condensadoresexternos faz, F l =1 e f l =0 , e assim, a banda das médias frequênciasestende-se até f=0 , (dc).

Figura 10.3 – Influência dos condensadores no comportamento do ganho em cada uma das três bandas de frequência.


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•A função F l (s) , que caracteriza a resposta em baixa frequência (LF) deum amplificador, tem a forma geral,

10.3 – Análise da Resposta na Banda LF 10.3 – Análise da Resposta na Banda LF

Aproximação do Pólo DominanteAproximação do Pólo Dominante

)......()()(

)(......)()()(

21

21

Pnl P P

Zml Z Z l

s s s

s s s s F

ωωω

ωωω

+++++

++++++=

onde ω p1 , ω p2 ,.... ω pnl , são números positivos que representam asfrequências dos pólos de baixa frequência, e ω

z1 , ω

z2 , ....ω

zml , são

números positivos que representam os zeros de baixa frequência.

• Quando s ∞ , que em termos práticos se traduz em s=j ω se aproximarda banda das médias frequências, a função F l (s) 1 .


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• Usualmente o projectista está particularmente interessado na parte das baixas frequências mais próximas da banda das médias frequências, dadoque se torna necessário estimar ou mesmo modificar o valor da frequênciade queda de 3 dB , ω l , nas baixas frequências.

• Em muitos casos os zeros encontram-se localizados em frequênciasmuito mais baixas que ω l (pelo menos 2 oitavas), de modo que a suainfluência pode ser desprezada na determinação de ω l .

• É também usual que um dos pólos, por exemplo ω p1 , se encontre

localizado numa frequência muito superior às dos restantes pólos (pelomenos 2 oitavas). Assim, para as frequências, ω , próximas da banda dasmédias frequências, F l (s) pode ser aproximada pela expressão,

Aproximação do Pólo Dominante (cont.)Aproximação do Pólo Dominante (cont.)

1

)( p

l s

s s F

ω+≈


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• Neste caso, a resposta em baixa frequência do amplificador é dominada pelo pólo localizado em s=- ω p1 , e assim, a frequência ω l , éaproximadamente igual a ω p1 , isto é,

ω l ≈ω p1

daí, esta situação ser designada por aproximação do pólo dominante .


Exercício 10.1

Determine a frequência de queda de 3 dB na banda das baixas frequências, sabendo que F l (s) é dada por,

Solução:ωl =100 rad/s

)25)(100(

)10()(

++

+=

s s

s s s F

l


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Método das Constantes de Tempo de Curto-CircuitoMétodo das Constantes de Tempo de Curto-Circuito

......

......)(

11

11

++

++=

−

−

nl nl

ml ml

l se s

sd s s F

Ÿ Se os pólos e os zeros de um amplificador não são fáceis de determinar, afrequência limite inferior de corte, ω l , pode ser encontrada por intermédiodo método das constantes de tempo de cur to-ci rcuito .

Ÿ A função F l (s) pode tomar a forma,

onde, os coeficientes d e e estão relacionados com as frequências dos zerose dos pólos, respectivamente.

Especificamente para o coeficiente e 1 , tem-se,

e 1 = ω p1 + ω p2 +....ω pn


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Ÿ O valor exacto de e 1 pode ser obtido determinando a constante de tempoassociada a cada um dos condensadores, por intermédio da análise domodelo de baixa frequência do amplificador.

As constantes de tempo são determinadas, uma de cada vez, tendo emconsideração que, quando se está a determinar a constante de tempo

associada a um dos condensadores, os restantes são modelados por um

cur to-cir cui to, e el iminando as fontes de sinal independentes.

ŸRepetindo o procedimento para todos os condensadores, obtém-se o valorde e 1 , por intermédio de,

Método das Constantes de Tempo de Curto-Circuito (cont.)Método das Constantes de Tempo de Curto-Circuito (cont.)

∑=

=nl

i isi RC e

11

1


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onde,n l é o número de condensadores existente no modelo de baixa frequênciado amplificador;

C i é o condensador i em análise;R i s é a resistência “vista” por C i , com os restantes condensadoresmodelados por um curto-circuito.

ŸO valor de e 1 pode ser usado para obter o valor aproximado da

frequência de queda de 3 dB , ω l , na banda das baixas frequências, no casode nenhum dos zeros ser dominante, e existir um pólo dominante.



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Ÿ Usualmente, num circuito complexo, não é fácil identificar se existe ounão um pólo dominante. Contudo, o método das constantes de tempo decurto-ci rcui to, fornece uma boa estimativa para ω l .

De facto, o método permite também, que o projectista identifique qual doscondensadores, tem maior influência na frequência limite inferior de corte,ω l .


∑=

=

nl

i isi

l RC 11ω

Por exemplo, se o pólo p 1 for dominante, então a frequência ω p1 é muitomais elevada, pelo menos 2 oitavas, do que as frequênciascorrespondentes aos restantes pólos e zeros. Nesse caso, ω l ≈ω p1 e e 1 ≈ω p1 ,logo,


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Exercício 10.2

Considere o circuito amplificador da figura 10.4, e determine,

a) o ganho, Am, nas médias frequências;

b) a frequência de queda de 3 dB nas baixas frequências (frequência limite inferior de corte).

RS =4 k Ω; R1=8 k Ω; R2=4 k Ω; R E = 3,3 k Ω; RC =6 k Ω; R L=4 k Ω; V CC =12 V; β=100; r 0=100 k Ω; r X = 50 k Ω;

I C (PFR)=1 mA; C C1=C C2=1 µF; C E =10 µF.

Soluções: a) -22,15; b) 440,5 Hz

Figura 10.4 –Amplificador para o exercício 10.2.



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ŸO problema do dimensionamento dos condensadores de acoplamento,C C1 e C C2 , e de contorno C E ou C S , conforme o tipo de transístor usado para a realização do amplificador, relaciona-se com a necessidade defixar a frequência limite inferior de corte, ω

l , no valor exigido pelas

condições impostas ao projecto.

ŸO dimensionamento destes condensadores deve ter em conta ointeresse de minimizar o valor das suas capacidades. Assim, tendo emconta que a resistência “vista” por C E ou por C S , é menor do que as

resistências “vistas” pelos outros dois condensadores, C C1 , C C2 , o projectista deve fazer com que o pólo associado a C E (C S ) , seja o pólodominante, isto é,

Dimensionamento dos Condensadores de Acoplamento e de Contorno

Dimensionamento dos Condensadores de Acoplamento e de Contorno

l pl p CS CE ωωωω == ;


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Para tal, o valor de C E (C S ) deve ser determinado com base no valordesejado para ω l ,

Dimensionamento dos Condensadores de Acoplamento e de Contorno (cont.)

Dimensionamento dos Condensadores de Acoplamento e de Contorno (cont.)

CS l

S

CE l

E R

C R

C ωω

1;

1==

onde, R CE (R CS ) é a resistência “vista” por C E (C S ).

ŸOs valor de C C1 e de C C2 são determinados com base numa frequênciainferior a ω l , em, pelo menos, 1 década, o que conduz a,

22

11 1,0

1;

1,0

1

CC l

C

CC l

C R

C R

C ωω ×

=×

=


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Deste modo, os pólos associados a C C1 e C C2 , encontram-se uma décadaabaixo de ω l , fazendo com que o pólo associado C E (C S ) seja o pólodominante.

ŸO zero associado a C E (C S ) encontra-se localizado numa frequênciamuito mais baixa do que ω l , uma vez que,

Dimensionamento dos Condensadores de Acoplamento e de Contorno (cont.)Dimensionamento dos Condensadores de Acoplamento e de Contorno (cont.)

S S

Z

E E

Z RC RC CS CE 1

;1

== ωω

onde, R E é a resistência ligada ao emissor e R S é a resistência ligada à source do transistor, de acordo com o tipo de transístor utilizado.


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Ÿ É de interesse realçar que o valor de 0,1 ω l , para a localização dos pólosassociados a C C1 e C C2 representa o compromisso desejável, uma vez que

aquele valor faz com que ω PCE seja o pólo dominante e os valores de C C1 e C C2 , sejam reduzidos.

ŸDe facto, valores muito baixos para ω PC1 e ω PC2 fazem com que osvalores das capacidades de C C1 e de C C2 sejam muito elevados.



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g R

Exercício 10.3

Considere o amplificador da figura 10.5. Determine o ganho na banda das médias frequências, e dimensione os

valores dos condensadores de acoplamento, C C1 e C C2, e de contorno, C S , de forma a que a resposta na banda

das baixas frequências seja caracterizada por um pólo dominante localizado em 100 Hz .

R g =100 k Ω; RG1=1,4 M Ω; RG2=0,6 M Ω; RS = 3,5 k Ω; R D=5 k Ω; R L=10 k Ω; r 0=∞; V DD=20 V; I D(PFR)=2 mA;

V GS =-1 V; V DS =3 V; I DSS =8 mA; V P = -2 V.

Soluções:

Am= -10,8;

C S =6,83 µF;

C C1=0,03 µF;

C C2=1,06 µF.




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•A função F h (s) , que descreve o comportamento da resposta doamplificador na banda das altas frequências (HF) , pode ser expressa por,

10.4 – Análise da Resposta na Banda HF 10.4 – Análise da Resposta na Banda HF

Aproximação do Pólo DominanteAproximação do Pólo Dominante

)1......()1()1(

)1(......)1()1(

)(

21

21

Pnh P P

Zmh z z h s s s

s s s

s F

ωωω

ωωω

+++++

++++++

=

onde ω p1 , ω p2 ,.... ω pnh , são números positivos que representam asfrequências dos pólos de alta frequência, e ω z1 , ω z2 , ....ω zmh , são números positivos que representam a localização dos zeros de alta frequência.


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• Quando s 0 , que corresponde a s=j ω se aproximar da banda dasmédias frequências, a função F h (s) 1 .

• O interesse do projectista foca-se fundamentalmente na gama das altasfrequências mais próximas da banda das médias frequências, uma vez que,necessita de estimar o valor da frequência de queda de 3 dB , ω h , nas altasfrequências.

• Em muitos casos os zeros encontram-se localizados em frequências

muito mais altas que a frequência limite superior de corte, ω h (pelo menos2 oitavas), pelo que a sua influência pode ser desprezada na determinaçãode ω h .



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• É muito frequente que um dos pólos, por exemplo ω p1 , se encontrelocalizado numa frequência muito inferior às frequências em que seencontram os outros pólos (pelo menos 2 oitavas). Fazendo com que aresposta do amplificador nas HF seja dominada por esse pólo, isto é, que

p 1 seja o pólo dominante. Assim, para as frequências, ω , próximas da banda das médias frequências, F h (s) pode ser aproximada pela expressão,


1

1

1)(

p

l s s F

ω+

≈

Logo,ω h ≈ω p1

daí, a designação de aproximação do pólo dominante


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Exercício 10.4

A resposta em alta frequência de um amplificador é caracterizada pela função de transferência,

)1041)(101(

101

)(

44

5

×++

−

=

s s

s

s F l

Determine o valor aproximado de ωh.

Solução:ωh=104 rad/s.

C d E h i El t ó i d C t d El t ó i II


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Método das Constantes de Tempo de Circuito-AbertoMétodo das Constantes de Tempo de Circuito-Aberto

nh

nh

mh

mhh

sa sb sb

sa sa sa s F

++++

++++=

......1

......1)(

221

221

Ÿ Em muitas situações não é simples determinar a localização dos pólos ezeros do amplificador, isto é, não é cómodo determinar a sua função detransferência. Nesses casos a determinação da frequência limite superior decorte, ω h , pode ser conseguida através de uma técnica designada pormétodo das constan tes de tempo de circui to aberto .

Ÿ Considere-se a função F h (s) expressa na forma,

onde, os coeficientes a e b estão, respectivamente, relacionados com asfrequências dos zeros e dos pólos. Concretamente, o coeficiente b 1 é dado por,

pnh p p

bωωω

1......

11

211 +++=

C d E h i El t ó i d C t d El t ó i II


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Ÿ Demonstra-se que o valor de b 1 pode ser obtido, por intermédio docálculo das constantes de tempo associadas às capacidades presentes nomodelo de alta frequência do amplificador.

As constantes de tempo são determinadas, uma de cada vez, tendo emconsideração que, quando se está a determinar a constante de tempo

associada a uma das capacidades, as restantes são modeladas por um

cir cui to aberto, e el iminando as fontes de sinal independentes.

Ÿ

Repetindo o procedimento para todas as capacidades, obtém-se o valor deb 1 , por intermédio de,

Método das Constantes de Tempo de Circuito-Aberto (cont.)Método das Constantes de Tempo de Circuito-Aberto (cont.)

∑=

=nh

i

ioi RC b1

1

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onde,n h é o número de capacidades consideradas no modelo de alta frequênciado amplificador;

C i é a capacidade i em análise;R i o é a resistência “vista” por C i , com as restantes capacidades modeladas por um circuito aberto.

ŸO valor de b 1 pode ser usado para obter o valor aproximado dafrequência de queda de 3 dB , ω

h

, na banda das altas frequências, no casode nenhum dos zeros ser dominante, e existir um pólo dominante.




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Ÿ Em circuitos complexos, não é fácil identificar-se o pólo dominante oumesmo se ele existe. Porém, o método das constantes de tempo emcir cui to aberto conduz a bons resul tados para a estimativa de ω h , mesmoque não exista pólo dominante, se todos os pólos forem reais, como éassumido neste texto.

∑=

=nh

i

ioi

h

RC 1

1ω

Por exemplo, se o pólo p 1 for dominante, então,


11

1

p

bω

≈

e a frequência de queda de3 dB

,ω h

, na banda das altas frequências podeser determinada por,



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Exercício 10.5

A figura 10.6 mostra o modelo de alta frequência de um amplificador realizado com um FET na montagem

source comum. A fonte de sinal do amplificador, é um gerador de tensão, V g , com a resistência interna R g . A

resistência Rin, resulta da polarização do circuito por intermédio de um divisor de tensão. A resistência R L’ ,

corresponde ao paralelo da resistência de drain R D com a resistência de carga R L e com a resistência de saída,

r o, do FET. Os condensadores C gs e C gd representam as capacidades internas do transístor, cujos efeitos semanifestam nas altas frequências. Para: R g = 100 k Ω; Rin=420 k Ω; C gd =C gs=1 pF ; g m=4 mA/V e R L’=3,33 k Ω.

Determine o ganho do amplificador nas médias frequências e a frequência de queda de 3 dB, f h, na banda das

altas frequências.

g V

g R


Soluções:

Am=-10,76

f h=128,3 kHz



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Teorema de MillerTeorema de Miller

ŸA resolução de questões como a que é colocada no exercício 10.5, podem ser simplificadas através da aplicação do Teorema de M il ler , quese descreve em seguida.

Ÿ Considere-se a rede de dois acessos, de ganho k , representada nafigura 10.7, que mostra a admitância, Y , ligada entre os nós 1 e 2 , isto é,ligada entre o acesso de entrada e o acesso de saída da rede . Aquelesdois nós, podem estar ligados a outros nós da rede por intermédio deoutros componentes. O teorema de Miller, permite substituir aadmitância, Y , por duas admitâncias: a admitância Y 1 (ligada ao acesso1 da rede) e a admitância Y 2 (ligada ao acesso 2 da rede), as quaisrepresentam o efeito da admitância, Y , sobre os acessos 1 e 2,respectivamente (figura 10.8).


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g p

Teorema de Miller (cont.)Teorema de Miller (cont.)

)1()(1

211211

V

V YV I V V Y I −=⇔−=

11111

2 )1()1( V k Y I k YV I k V

V −=⇔−=⇒=

)1( k Y −

)1(1 k Y Y −=

O acesso 1 apenas “sabe” da existência de Y por intermédio da correnteI 1 que parte do nó 1 e a atravessa, isto é,

em que,

representa o efeito de Y sobre o acesso 1, logo,



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g p

Teorema de Miller (cont.)Teorema de Miller (cont.)

)1()(2

122122

V

V YV I V V Y I −=⇔−=

22222

1

1

2 )11()11(1 V k

Y I k

YV I k V

V k

V

V −=⇔−=⇒=⇒=

)1

1(k

Y −

)1

1(2k

Y Y −=

De uma forma similar o acesso 2 “sabe” da existência da admitância Y por intermédio da corrente I 2 que parte do nó 2 e a atravessa,

em que,

representa o efeito de Y sobre o acesso 2, assim,



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g

g V

g R


Exercício 10.6A figura 10.9 mostra o modelo de alta frequência de um amplificador realizado com um FET na montagem

source comum. A fonte de sinal do amplificador, é um gerador de tensão, V g , com a resistência interna R g . A

resistência Rin, resulta da polarização do circuito por intermédio de um divisor de tensão. A resistência R L’ ,

corresponde ao paralelo da resistência de drain R D com a resistência de carga R L e com a resistência de saída,

r o, do FET. Os condensadores C gs e C gd representam as capacidades internas do transístor, cujos efeitos semanifestam nas altas frequências. Para: R g = 100 k Ω; Rin=420 k Ω; C gd =C gs=1 pF ; g m=4 mA/V ; R L’=3,33 k Ω.

e o ganho na banda das médias frequências, Am=-10,76 . Utilize o Teorema de Miller para determinar a

frequência limite superior de corte, f h.

Solução: f h= 128,6 kHz .


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