Algebraische Strukturen und Vektorräume

Algebraische Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere endliche oder unendliche Men­ge von Elementen mit einer (oder mehreren) darin definierten Operation(en) samt den dazugehörigen Verknüpfungsvorschriften.

Gruppe

Eine Gruppe G ist eine algebraische Struktur, bei der genau eine Verknüp­fungsvorschrift definiert ist, welche den Axiomen Gl bis G4 genügt. DieMen­ge der Elemente sei A = { a1 , a2 , a3 , ... } . Die Verknüpfungsvorschrift für die Elemente von A wird i.allg. durch plus ( +) oder mal ( ·) dargestellt und als Addition bzw. Multiplikation bezeichnet, obgleich sie nicht der gewöhnlichen Addition und Multiplikation von Zahlen zu entsprechen braucht.

Axiom Gl: Abgeschlossenheit Wird die Verknüpfungsvorschrift auf zwei beliebige Elemente der Gruppe an­gewendet, dann ist das Ergebnis definiert und wieder ein Element der Gruppe: Additive Gruppe (Summe) Vi,j. ai + ai = ak, Multiplikative Gruppe (Produkt) Vi,j. ai · ai = ak .

Axiom G2: Assoziatives Gesetz Für drei beliebige Elemente gilt: bei einer additiven Gruppe Vi,j, k. (ai + ai) + ak = ai + (ai + ak) , bei einer multiplikativen Gruppe Vi,j, k. (ai · ai) · ak = ai · (ai · ak).

Axiom G3: Neutrales Element In einer Gruppe gibt es genau ein neutrales Element. Bei einer additiven Grup­pe ist dies das Nullelement: \Ii. ai + 0 = 0 + ai = ai ; bei einer multiplikativen Gruppe ist dies das Einselement:

270 Algebraische Strukturen und Vektorräume

Vi. ai · 1 = 1 · ai = ai . Axiom G4: Inverses Element Zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element. Die Verknüpfung beider Elemente liefert das neutrale Element. Bei einer additiven Gruppe be­zeichnet man das zu ai inverse Element -ai:

Vi. ai + ( -ai) = ( -ai) + ai = 0; bei einer multiplikativen Gruppe mit a;1: \../" -1 -1 1 vz. ai · ai = ai · ai = . Gilt zusätzlich zu den Gruppenaxiomen das kommutative Gesetz bei einer additiven Gruppe Vi,j. ai + ai = ai + ai, bei einer multiplikativen Gruppe Vi, j. ai · ai = ai · ai , dann heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.

Ring

Ein RingRist eine algebraische Struktur, für dessen Elemente zwei Verknüp­fungsvorschriften definiert sind, die Addition und die Multiplikation. Die fol­genden Axiome müssen erfüllt sein.

Axiom Rl: Abelsche Gruppe bzgl. der Addition Die Elemente aus A bilden eine Gruppe bzgl. der Addition. Die Gruppe ist abelsch.

Axiom R2: Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation Das Produkt zweier beliebiger Elemente aus A existiert und ist wieder ein Ele­ment aus A: Vi, j. ai · ai = ak . Axiom R3: Assoziatives Gesetz bzgl. der Multiplikation Für drei beliebige Elemente aus A gilt: Vi,j, k. (ai · ai) · ak = ai · (ai · ak). Axiom R4: Distributives Gesetz Für drei beliebige Elemente aus A gilt: ai · (ai + ak) = ai · ai + ai · ak und (ai + ai) · ak = ai · ak + ai · ak.

Gilt für beliebige Elemente eines Ringes zusätzlich das kommutative Gesetz bzgl. der Multiplikation, d.h. Vi,j. ai · ai = ai · ai, dann heißt der Ring kom­mutativ.

Körper

Ein Körper K erfüllt die Axiome K1 bis K4.

Axiom Kl: Kommutativer Ring

Algebraische Strukturen und Vektorräume 271

Die Elemente eines Körpers bilden einen kommutativen Ring.

Axiom K2: Einselement Es existiert ein Einselement, so daß für ein beliebiges Element des Körpers gilt: Vi. ai · 1 = 1 · ai . Axiom K3: Inverses Element Jedes von Null verschiedene Element eines Körpers besitzt ein multiplikatives Inverses: Vi. ai · a;1 = a;1 · ai = 1 mit ai =I= 0. Die von Null verschiedenen Elemente eine Körpers genügen allen Gruppenaxi(}­men bzgl. der Multiplikation und bilden daher eine multiplikative Gruppe.

Vektoren und Vektorräume

Einen n-Thpel (a1 a2 ... an), der aus der geordneten Menge von n Elemen­ten eines beliebigen Körpers K besteht, bezeichnet man als Vektor v: v = (a1a2 ... an). Man sagt, ein solcher n-stelliger Vektor hat die Längen.

Eine nichtleere Menge V= { v1 , v2, ... }, deren Elemente Vektoren vi sind, heißt ein linearer Vektorraum über einem beliebigen Körper K, dessen Elemente aij Skalare genannt werden, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind.

Axiom Vl: Abelsche Gruppe bzgl. der Addition Die Menge V ist eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition.

Axiom V2: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Zu jedem Vektor v3 und einem beliebigen Körperelement ai ist ein Produkt aivj definiert, welches wieder einen Vektor darstellt: aivj = ai (ajl a32 ... ajn) = (aiajl aiaj2 ... aiajn)

= (akl ak2 ... akn) = Vk. Axiom V3: Distributives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar bzgl. der vektoriellen Addition Sind v3 und vk Vektoren aus V und ist ai ein Skalar, dann gilt: ai(vj + vk) = aivj + aivk. Axiom V 4: Distributives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar bzgl. der skalaren Addition Ist vk ein Vektor und sind ai und a3 Skalare, dann gilt: (ai + a3)vk = aivk + a3vk. Axiom VS: Assoziatives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar Ist Vk ein Vektor und sind ai und a3 Skalare, dann gilt: (aiaj)vk = ai(ajvk).

Lösungen der Aufgaben

Abschnitt 2 Abschn. 2.2.1

1. a) Hm = 2, 06 bitjZeichen b) Ho= 2, 58 bitjZeichen

2. Ho= 14,3 · 103 bitjSeite 3. a) Ho = 6, 65 bitj Meßwert

b) Ho= 9, 96 bitj Meßwert 4. a) Hm = 1, 875 · 105 bitj Bild

b) Ho= 2, 32 · 105 bitj Bild 5. a) Hm = 6,07 bitjAmplitudenwert

b) Ho= 6,80 bitjAmplitudenwert 6. a) Hm = 6, 51 bit/Zahl

b) Ho= 6,64 bit/Zahl

Abschn. 2.2.2

1. a) p(x1) = p(x2) = 0, 25, p(xa) = 0, 50 b) HM = 1, 28 bitjZeichen

2. a) p<5>(zl) = 0,30, p<5>(z2) = 0,66, p<5>(za) = 0,04 b) HM = 0, 94 bit/Zustand

3 )- ....E.._ - ~ . a Pl = ~+JL' P2 = ~+JL

b) HM = Pl ((1- .\) ld 1 ~~ + ,\ ld t) + P2 (tLld ~ + (1- J.L) ld l~JL)

Abschn. 2.2.3

1. a) H(A) = 1, 54 bitjZeichen, H(B) = 1, 57 bitjZeichen b) H(AIB) = 1,45 bitjZeichen, H(BIA) = 1,48 bitjZeichen c) H(A, B) = 3, 02 bitjZeichenpaar

2. a) H(X) = 1, 55 bitjZeichen, H(Y) = 2, 29 bitjZeichen b) H(XIY) = 1, 39 bitjZeichen c) 1. H(X, Y) = 3, 68 bitjZeichenpaar

2. H(X, Y) = 2, 29 bitjZeichenpaar

Lösungen der Aufgaben 273

Abschn. 2.3

1. Hrel = ld 2ae

Abschnitt 3

Abschn. 3.2 und 3.3

1. a) Eindeutig dekodierbar: K1, K3, K4 b) lm = 2,5 BZ/QZ für K1 und K3 c) RK = 0, 08 bit/QZ

2. H(X,X) = H(X) + H(X) = 2 · H(X) (vollständige Unabhängigkeit), allgemein: H(Xm) = H(X) + H(X) + ... + H(X) = m · H(X)

mmal

Abschn. 3.4.2.1 und 3.4.2.2

1. a) lm = 3, 16 BZ/QZ, RK = 0, 38 bitfQZ b) lm = 2,84 BZ/QZ, RK = 0,06 bitfQZ c) lm = 2,81 BZ/QZ, RK = 0,03 bitfQZ

2. a) Optimalkode b) lm = 2, 97 BZ/Amplitudenwert c) lll = 1,13 BZ/Amplitudenwert

3. a) Hm = 7, 95 bitf Signalwert b) lm = 8,50 BZ/Signalwert c) llRK = 1, 50 bitf Signalwert

Abschn. 3.4.2.3

1. a) RK = 0, 53 bit/QZ b) RK = 0,18 bitfQZ c) RK = 0, 06 bit/QZ

2. m = 1 : RK = 0, 10 bit/QZ m = 2: RK = 0,04 bit/QZ

3. a) Optimalkode einer erweiterten Quelle für m = 3 b) 27,3%, da lm = 0, 727 BZ/QZ für m = 3 c) nein, weil Hm = 0, 723 bitfQZ ~ lm

Abschn. 3.4.2.4

1. a) Teilkodes mit lml = 1, 9, lm2 = 1, 5, lm3 = 1, 6, lm4 = 1, 0 b) RK = 0, 21 bit/Zustand c) lll = 0, 45 BZ/Zustand

Abschnitt 5 1. a) HT = 0,53bit/KZ

b) HT = 0,36bit/KZ

27 4 Lösungen der Aufgaben

2. f(O) = 0 bitj KZ, f(O, 5) = 1 bitf KZ 3. a) Hr = 0,31bit/KZ, H(X) = 1bitfZ

b) Hr = 0, 17bitfKZ, H(X) = 0, 72bit/Z c) Hr = 0,27bit/KZ, H(X) = 0, 72bitjZ

4. a) p(xi) = 0, 63, p(x2) = 0, 37 b) Hr = 0,55bitjKZ c) Hr = 0,61bit/KZ

5. Hr = 0, 75bit/KZ, Hrero = 0, 71bit/KZ 6. Hr = 1,36bit/KZ 7. a) Hr = ldN- PF ld (N- 1) + ppldpp + {1- PF) ld {1- PF)

b) Max.: PJ = 0, Hrmaz = ldN N-1

Min.: PF = ~' Hrmin = 0

8. gesichert: !Q = 258QZ/s, ungesichert: !Q = 300QZ/s

Abschnitt 6 tl.C

1. a) C ~58%

tl.C b) c ~ 10%

2. a) C ~ 3 ·104 bitfs b)r=45dB c) t = 33s d) t = 167 s

3. B ~ 5,2MHz 4. a) sv ~ 105 bitfern

b) C ~ 1,9·106 bit/s

Abschnitt 7 1. Optimale Kennlinie: Hrelopt = ld {2a), lineare Kennlinie: Hrellin = ld {1, 65a)

tl.H = Hrelopt - Hrellin = 0, 28 bitj PW 2. a) N = 32

b) tü = 12 s c) tü ~ 4s

3. a) f 9 = 6,25kHz b) tu< 0, 08ms cl) B ~50kHz c2) B ~25kHz

4. a) ungesichert: v8 = 1, 4 · 104 K Z / s, gesichert: v8 = 1, 63 · 104 K Z / s b) ungesichert: B ~7kHz, gesichert: B ~ 8,15kHz c) ungesichert: Ir~ 1,2 ·104 bitjs, gesichert: Ir= 1,4 ·104 bitfs

5. a) l = 7 Kanäle b) 5% der Gesamtmenge c) Q = 70bit

Lösungen der Aufgaben 275

6. a) l:l.U = 15,6mV b) Vü = 1600 bitj S

7. Intervall 1 2 3 4 5 6 7 a) WK. 0,032 0,030 0,054 0,089 0,121 0,113 0,061 b) WK. 0,227 0,124 0,068 0,037 0,020 0,011 0,013 c) Hapt = 7,64bit/PW, Hlin = 7, 12bit/PW

Abschnitt 8 Abschn. 8.1.3

1. k = 10 2. k = 6 -4 Tk = 0, 095 ; R = 0, 905 3. n = 15, k = 5 (Anwendung Gl. (8.13));

dmin = 3 : fk = 1 bzw. fe = 2 oder dmin = 4: fk = 1, /e = 2 bzw. /e = 3 (Anwendung Gl. (8.10))

Abschn. 8.2.1.2

1. ai = (101101), a2 = (001100), a3 = (010111); Tk = 0,167 2.

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 -4 Tk = 0,333; 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0 1 0 so= 0 0 1 0

t Abschn. 8.3.2

1. a) Nein! b) dmin = 2

2. a) a4 = (0 10 111 0), as = (1 0 111 0 0), a5 = (111 0 0 1 0), a7 = (0 11100 1), ao = (0000000)

0 0 1 1 0 0 0

so 0 0 0 1 0 0 1

f-

b) Vgl. Gruppenaxiome G1 bis G4 (s. Algebraische Strukturen und Vektorräume)

Abschn. 8.3.3

1. Wegen v4 = VI E9 v2 E9 v3 und vs = VI E9 v4 gehören die Vektoren VI, v2, ... , vs zu einem Unterraum der Dimension l = 3 eines Vektorraumes der Dimension n = 7.

2. Nein!

Abschn. 8.3.4

1. 9I(GI) = 9I(G2)• 92(GI) = 9I(G2) E9 92(G2)• 93(GI) = 92(G2) E9 93(G2)

(1011100)

2. H = 1101 0 1 0 , dmin = 3 0111001

276 Lösungen der Aufgaben

3. a) b3 = 92 EEl 93 E A b) s = H · bf = 0

4. l k (n, l)-Kanalkode 5 4 (9,4)-Kanalkode 7 4 (11,4)-Kanalkode

11 4 (15,4)-perfekter Kanalkode 17 5 (22,17)-Kanalkode

Abschn. 8.4

1. a) k = 3 b) s. Beispiel 8.4.2 c) b1 E A, b2,korr = (0011110), b3,korr = (1010101)

2. a) l = 5, dmin = 3: k = 4 (Gl. (8.10)) -+ verkürzter (9, 5)-HAMMING-Kode -+ erweiterter ((n + 1, l, dmin + 1) = (10, 5, 4))-HAMMING-Kode (Bestimmungsgleichungen für die Kontrollelemente s. Abschn. 8.4.3)

b) a* = (10101) -+ averkürzt = (110101100) -+ aerweitert = (1101011001)

Abschn. 8.5.1

1. P5(x) irreduzibel, P3(x) primitiv 2. Pmax = 255 = 3 · 5 ·17 fj_ IP': x17,x5l,x85 ,x255modM(x) = 1 -+ n = 17 3. n =p= 9:

m1(x) = (x+a 1)(x+a2)(x+a4)(x+a8)(x+a7)(x+a5) = x6 +x3+1 = M(x), m3(x) = (x + a 3 )(x + a 6 ) = x2 + x + 1, f(x) = mo(x) m1(x) m3(x) = (x + 1)(x6 + x3 + 1)(x2 + x + 1) = x9 + 1

4. M(x) primitiv-+ Zyklus i = 3: a 3,a6,a12,a9 -+ m3(x)Polynom 4. Grades, m3 ( x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Abschn. 8.5.2

1. Nein! 2. L = 23 Kanalkodewörter, Verfahren s. Abschn. 8.5.2.2, 8.5.2.3 3. a) ai = (11 0 0 0 10 11 0 1)

b) a2 = (0 1 0 11 0 11 0 0 1) c) a3 = ( 1 0 0 0 111 0 0 0 1)

(1110100)

4. H = 0 1 1 1 0 1 0 1101001

5. grade(x) < grad9(x) (zyklische Verschiebung unberücksichtigt) 6. a) b1 fj_ A: Zweifachfehler, nicht korrigierbar

b) b2 fj_ A: Einfachfehler, b2,korr = (0 10 0 111) c) b3 E A

7. 9(x) = x + 1

Lösungen der Aufgaben 277

Abschn. 8.5.3

1. verkürzter primitiver (427,400,7)-BCH-Kode

2. g(x) = kgV{m1(x),m2(x), ... ,md8 =5(x)} a) k1 = gradM(x) = 6 erfüllt Gl. (8.28) ~ verkürzter primitiver (38,20, 7)-BCH-Kode, R = ~g ~ 0, 53

b) aus Tabelle (s. Beispiel 8.5.12) Wahl von p = n und Zyklenbildung: p = 45: ß\ß2,ß4,ß8,ß161 ß32 1 ß64(mod45) = ß19 1 ß38 1 ß31 1 ß17 1 ß34 1 ß23

ß3, ß6, ß12, ß24 ~~ ß10, ß20, ß40 1 ß35 1 ß25

(~ k1 = gradmi(x) = 12, d.h. mi(x) im GF(212) definiert) ~verkürzter nichtprimitiver (42,20,7)-BCH-Kode, R = ~g ~ 0, 48

3. a) p = 63, k = 24 : 4 Nullstellen-Zyklen ~ dmin = 9, fk = 4

b) erweiterter nichtprimitiver (36, 11, dmin + 1 )-BCH-Kode ~ nichtprimitiver (35, 11, dmin)-BCH-Kode: p = 35, k = 24: 2 Nullstellen-Zyklen ~ dmin = 5, fk = 2

4. Welches Modularpolynom (m1(x),m7(x) oder mu(x)) liefert die größtmögliche Anzahl aufeinanderfolgender Nullstellen und damit maximalen Abstand? M(x) = m1(x): dmin = 3 M(x) = m7(x): mi(x) = m7(x) mit ß1 = o?

ß1 ,ß2, ß\ß8, ß16 ß1 = a.1 c/, a14, a28, a25, a19

ß3 ,ß6, ß12, ß24, ß17 ß3 = (a7)3 = a21 0!21, 0!11, 0!22, 0!13, 0!26

ß5, ß10 1 ß20 1 ß19 1 ß18 ß5 = (a7)5 = a4 0!4, 0!8, 0!16, 0!1, 0!2

g(x) = mi(x)m3(x)m5(x) ~m7(x)mu(x)m1(x), dmin = 7 M(x) = mu(x): dmin = 5

5. !b ~ 12,dE = 6: g(x) = m1(x)m3(x)ms(x), k1 = gradm1(x) = 5 ~verkürzter primitiver (25,10,7)-BCH-Kode mit fb ~ 15, fe ~ 6

Abschn. 8.5.4

1. a) a* = (a5a6a4) ~ a = (a5a6a4a5a2a2a6)

b) azykl = (0!60!40!50!20!20!60!5) E A

Die Division azykl(x) : g(x) liefert den Rest r(x) = 0.

c) b E A? (Ausführung der Division in Koeffizientenschreibweise):

a3a a5 0 a4a61 : 1a3 1aa3 = a3a5a4 0!30!60!30!40!6

0!50!20!40!30!6 0!5 0! 0!5 0!6 0!

0!4 1 0!40!51 0!4 1 0!40!51

0 ~ bEA

278 Lösungen der Aufgaben

Abschn. 8.5.5

1. b(x) = x14 + x13 + x12 + x9 + x6 + x3 + x2 + x + 1

0. bf/. A 1. 8t = b(x = a 1) = (a14 +a13 +a12 +a9 +a6+a3 +a2 +a+ 1}modM(a) = a,

82 = 8~ = a 2,83 = b(x = a 3) = 1,84 = 8~ = a4, 85 = b(x = a 5) = 1, 86 = 8~ = 1

2. a a3 + a 2a2 + a1 = a4 a 2a3 + a2 + a 4a1 = 1

0"3 + a 4a2 + a1 = 1 --+ a(x) = x3 + ax2 + a9x + a 11

3. Xt = a 3,x2 = a 10,x3 = a 13 e(x) = x13 + x10 + x3 bkorr(x) = x14 + x12 + xlO + x9 + x6 + x2 + x + 1

2. b1 = (a4000000) 0. b1 f/. A 1. 81 = b(x = a 1) = a 3,82 = b(x = a 2) = a 2 2. a 3a1 = a 2 --+ a(x) = x + a6 3. x1 = a6 --+ e(x) = Y1X6

4. 8t = Y1 x1 --+ e(x) = a 4x6

bt,korr = (0000000} E A

b2 = (a40000a20) 0. b2 f/. A 1. 81 = b(x = a 1) = 0,82 = b(x = a 2) = a 2. Oa1 = a --+ nicht lösbar, Dekodierversagen

3. b = (OOOOOOOOOOOa0a 0a 0a 0) o. bf/. A 1. 8t = a 12,82 = a 9 ,83 = a 12,84 = a 3,85 = 1,86 = a 9

2. a(x) = x3 + a 12x2 + a 9x + a 12 3. Für alle x E GF(24) ist a(x) =F 0. Es liegen mehr als fk Fehler und damit

Dekodierversagen vor. 4. a) b = (a20a50a40a2), p = 2, fk = 2, U = (a3,a)

0. bf/. A 1. 81 = a 5, 82 = a, 83 = 1, 84 = a 6 2. Abarbeitungsprotokoll:

r ll.r A(x) l b(x) t(x) 1 0 0

1 1+a3x 1 1 + a 3x 2 1 +x +a4x2 2 1 +x+a4x2 3 a 5 1 + a4x + x2 + a 2x3 3 a 2 + a 2x + a 6x2 1 + a 4x + x 2 + a 2x3 4 0 a 2x + a 2x2 + a6x3

--+ Ausgabe: A(x)BM = 1 + a4x + x2 + a 2x3 ; v = 3. --+ a(x) = x3 + a4x 2 + x + a 2 (Anwendung Gl. (8.37))

3. X3 = a 5

4. o 5 = o Y1 + o 3y2 + o 5y3 o = o 2y1 + o 6y2 + o 3y3 1 = o 3y1 + o 2y2 + o Y3 --+ Y1 = o 5, Y2 = o 6, Y3 = o 6

Lösungen der Aufgaben 279

--+ bkorr = b + e = (o20o50o40o2) + (Oo60o60o50) = (o2o 6o 5o 6o 4o5o2)

b) b = (o3o 3o 4o 31o4o 3) 0. b tf. A 1. s1 = 1,s2 = o 2,s3 = o 3,s4 = o 6

2. PZG:

1 0"2 + o 2a1 = o 3

020"2 + 030"1 = 06 --+ a(x) = x 2 + o 2x + o 6

BERLEKAMP /MASSEY:

r Ar A(x) l b(x) t(x) 1+x 1 1

2 06 1 +o2x X 1+o2x 3 06 1 + o 2x + o 6x 2 2 o +o3x 1 + o 2x + o 6x 2

4 0 ox + o 3x2

--+ A(x)BM = 1 + o 2x + o 6x 2 ; v = 2 --+ a(x) = x 2 + o 2x + o 6

EUKLID: i ri(x) q(x) wi(x)

( -1) x4 0 0 o 6x 3 + o 3x2 + o 2x + 1 1 1 x2 + o3x +o5 ox+o5 ox+o5

2 0 o6x + o5 x 2 + o 3x + o

--+ A(x)EUKL = (x2 + o 3x + o)o-1 = o 6x 2 + o 2x + 1 = A(x)BM

3. X1 = 1, X2 = 0 6

4. Yl = o 5,y2 = o 5 --+ e(x) = o 5x6 + o 5

--+ bkorr = b + e = (o2o 3o 4o 31o4o 2)

Abschn. 8.6.1

1. a) G 2 ist katastrophal (Nullschleife im Zustand "11") b) Beispiel: Zustandsübergangstabelle

u(r) z(r) z(r + 1) v(r) 0 0,0 0,0 0,0 1 0,0 1,0 1,1 0 1,0 0,1 1,1 1 1,0 1,1 0,0 0 0,1 0,0 0,1 1 0,1 1,0 1,0 0 1,1 0,1 1,0 1 1,1 1,1 0,1

280 Lösungen der Aufgaben

c) a = (00 110001101011 01)

2° a) ~ v1(t)

u(t)

+-------+--~ v2(t)

l..,_----ttt--- v3(t)

b)K=k+1=3, R=!,dt=6 c) a = (111 011110001101111100 101)

Abschno 80602

1. P = (~ ~~) ~ ap = (1111001011100) 0 101

Einfluß von P bedarf einer Untersuchung von dt bei gleicher Koderate Rp und Einflußlänge Ko

Abschno 80603

1. a) b = (lH 0~1 ~q 00~ 101 H1 Ho 101), Anwendung von GI. (8.42)

ML-Dekodierung:

2 3 4 5 6 7

()()() ------ -'

10

01

0 0

8

11 : ...... . · . . . . . . ............ -110

b t-1.1 7 7

~1 7

_§t...! 7 7 ~

7

b* 1 1 0

Anmerkung: Der besseren Übersichtlichkeit

Zä~ler die Knoten nur mit "Zähler" bewertet!

101 ...!.1 t 7 7

0

wegen sind

b) a = (111 011110001101111100 101) ~ b=ap=(1110 00011 11001)

MD-Dekodierung:

_§_!0 7 7

101

0 0

anstelle A~+l =

()()()

------­'

110

Abschn. 8.6.4

1. Ansatz:

b 111 0 0,5 0,5 0,50,5

b* 1 1 1

Lösungen der Aufgaben 281

7 8

00 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 1 100 1 0,5 0,5

0 0 0 0

Anzahl Knoten im minimalen Trellis ~ 2min(l,k) = 2min(3,4) = 23 = 8,

L = 2 = 8 Kanalkodefolgen.

0

1

2

3 :0011

4 :o1oo

5 :o101

6 :0110

7 :o111

8 :1000 9 :1001

10 :ww 11 )Oll

12 :1100

13 :1101

14 ) 110

15 :1111

...

282 Lösungen der Aufgaben

Minimales Syndromtrellis:

4

5

1 :out : . · ·

s :tooo !··· 9

13 :uo1 : ...... : ....... : .. . 14 :1110 ! .... .. : ....... : ... .

. . . . 15 :1111 : ..... <· ..... <·.

Abschnitt 9

Abschn. 9.2

. . . '. ·.· ... . . ·.· ..... : ..... ·.·.

1. Pe(O) = 0, 92757, Pe(1) = 0, 06992, Pe(2) = 0, 00246, Pe(3) = 0, 00005, . . . 2. PR(lOO)erk = 1, 1 · 10-4

3. Hr = 0 bitj K Z, PR(7)korr = 0, 8413, PR(7)erk = 0, 0725

4. a) PR(7)erk = 6, 8 · 10-6

b) PR(7)korr ~ 2 · 10-3

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Sachverzeichnis

Äquivokation, 78, 79 Übertragung

Übertragungsgeschwindigkeit, 83 gesicherte, 87 ungesicherte, 87

ABRAMSON-Kode, 181, 182, 234 Abtasttheorem, 73 Alphabet, 14

Kanal-, 130 Kode-, 130, 144 Quellen-, 130

Analog-Digital-Umsetzer (ADU), 122

Bündelfehler, 141, 174, 234 Bandbreite, 72, 73, 76 Basisvektoren eines Vektorraumes, 144,

145 linear unabhängig, 144 Linearkombination, 144

BCH-Kode, 162, 175 erweiterter, 181 Fehlerkorrektur, 186 Generatorpolynom, 175 nichtprimitiver, 179 primitiver, 175 verkürzter, 178

BCJR-Algorithmus, 223 Bewertung

kanalabhängig, 254 kanalunabhängig, 251

Binärquelle, 18 Blockfehlerwahrscheinlichkeit, 254

CRC-Verfahren, 182

Datenkompression, 53, 59 Kompressionsrate, 64

Dekodierer Kanal-, 83, 131 Quellen-, 83

Dekodierung Dekodierungsbedingungen, 41, 44 hard decision-, 126, 199, 209 iterative, 218, 238 soft decision-, 126, 141, 199, 209 unverzögerte, 42

Dimension einer Matrix, 145 eines Vektorraumes, 144

Distanz, siehe HAMMING-Distanz EUKLDische, 213 freie Distanz, 200, 203, 252

Entropie, 16, 78, 79 bedingte, 28 MARKOW-, 25, 31 maximale, 16 relative, 34

Entropiemodell, 77 Entwurfsabstand, 162, 175, 182 Ereignis, 12, 13

bedingtes, 20 Verbund-, 27

Erweiterungskörper, 162, 164 (Erweiterungs-)Elemente, 165 äquivalente, 179 irreduzibles Polynom, 164 konjugierte Elemente, 165

Zyklus der, 166

Minimalpolynom, 167 Ordnung, 166

Kodewortlänge, 166 primitives Element, 166

Faltungskode, 141, 199 Begrenzung von Eingangsfolgen, 205 Beschreibungsformen, 200 Bewertung, 252, 266 Dekodierung, 209 Faltungskodierer, 200

Eigenschaften, 206 Einflußlänge, 200 Gedächtnis, 200

Generatormatrix, 200 Punktierung, 201, 208

FANO-Algorithmus, 210 Fehlererkennung, 133, 151, 173, 252,

254

' siehe Fehlerkorrektur durch Wie-

derholung Fehlerkorrektur, 151, 252, 258

durch Rekonstruktion, 127, 134, 152 Rekonstruktionsergebnisse, 128

durch Wiederholung, 127 Fehlermuster, 131, 151 Fehlersyndrom, 152, 153 Fundamentalsatz der Algebra, 165

Generatormatrix, 145 kanonische Staffelform, 146 Konstruktionsprinzip, 150

Generatorpolynom, 162 GOLAY-Kode, 181 Grenzfrequenz, 72, 73, 76

HAMMING-Distanz, 212 -Abstand, 132, 175 Minimalabstand, 133 minimale, 133, 151

HAMMING-Kode, 140, 155 dichtgepackter, 155 erweiterter, 159 verkürzter, 158

Sachverzeichnis 287

zyklischer, 182 HAMMING-Schranke, 136 Hauptpolynom, 168

Impulsfolge, 70 Information, 11, 12

Entscheidungsgehalt, 18 mittlerer Informationsgehalt, 16 semantischer Aspekt, 9 statistischer Aspekt, 9 1rans-, 80, 82, 137

Informationsübertragung, 68 Informationsfluß, 83

Kanal-, 84 Kanalkode--, 84 Quellen-, 84 Quellenkode--, 84, 137 1rans-, 84, 137

Informationsquelle, 13 m-fach erweiterte, 48, 53 diskrete Quelle, 15, 20 kontinuierliche (analoge), 33 mit Gedächtnis, 20 Verbundquelle, 27

Informationsrate, siehe Koderate Interleaving, siehe Kodespreizung Irrelevanz, 78, 79 Iterative Dekodierung, 231 Iterative soft decision-Dekodierung,

231, 238

Kanal, 68, 75, 77 -kapazität, 83, 89 -modell, 77 analoger, 77, 102 Binär-, 90, 254 diskreter, 77, 80

Kode binärer, 175 Block-, 138

linearer, 142, 162, 254 blockfreier, siehe Faltungskode dichtgepackter, perfekter, 136

288 Sachverzeichnis

dualer, 140 gleichmäßiger, 41 Gruppen-, 138, 142 Kanal-, 130, 137, 138 Komma-, 42 kompakter oder optimaler, 46 mit Präfix-Eigenschaft, 42 nichtbinärer, 182 Quellen-, 40 redundanzarmer, 49 systematischer, 147, 173, 207 ungleichmäßiger, 41 verkürzter, 178

Kodebaum, 43 Kodegewinn, 267 Kodeparameter, 132, 163, 169, 176, 183 Koderate, 136, 252 Koderedundanz, 41, 46, 56, 127 Kodespreizung, 235 Kodeverkettung, 138, 222, 231

Bewertung, 264 parallele, 238 serielle, 232

Kodewort -länge, 41

Maßeinheit, 45 mittlere, 45, 56 untere Schranke, 45

Gewicht, 134 minimales, 151

Kanal-, 130 Quellen-, 40, 130

Kodierer Kanal-, 85, 130 Quellen-, 84

Kodierung Binär-, 40 diskreter Quellen, 40 Kanal-, 41, 85, 119, 125

Divisionsverfahren, 172 Generatormatrix,Kontrollmatrix,

145, 148, 170 Kreuzsicherungsverfahren, 139

Multiplikationsverfahren, 171 Quellen-, 41 redundanzfreie, 47 störungsgeschützte, 125 zustandsabhängige, 56

Kodierungstheorem erstes SHANNONsches, 48 zweites SHANNONsches, 126, 137

Kontinuierliche (analoge) Quelle, 33 mit maximaler Entropie, 35 mit relativer Entropie, 34

Kontrollmatrix, 148, 151 Bestimmungsgln., 149, 158, 159 Kontrollgleichungen, 158, 159 Trellisstruktur, 227

Korrekturkugel, 133 KRAFTsehe Ungleichung, 43

MAP-Dekodierung, 223, 247 Max-Log-MAP, 225

MARKOW-Kette, 21 MARKOW-Quelle, 20

binäre, 23, 24 ergodische, 23 erster Ordnung, 20 stationäre, 23 Zustand, 20

MD/ML-Dekodierung, 212, 247 Minimalpolynom, 162, 164, 167 Modularpolynom, 162

irreduzibel, 163 primitiv, 163

Nachrichtenübertragung Modell, 10

Optimalkodierung, 48 erweiterter Quellen, 53 HUFFMAN-Verfahren, 51 LEMPEL-ZIV-Verfahren, 59 LZW-Verfahren, 60 SHANNON-FANO-Verfahren, 49 von MARKOW-Quellen, 56

Paritätskode, 139, 149, 159, 242, 243 Prüfmatrix, siehe Kontrollmatrix Prüfvektor, 139, 152 Probenwert, 73 Punktierung, 201, 208, 215, 247

Quantisierung, 108 Amplituden-, 109 Zeit-, 110

Quelle, siehe Informationsquelle Quellenentropie, siehe Entropie

Rauschabstand, 103 Reduktionsfaktor, 254 redundante Stellen

Kontrollstellen, 134 Redundanz, 127

relative, 136, 252 REED-MULLER-Kode, 140 REED-SOLOMON-Kode, 136, 162, 182

Auslöschungskorrektur, 190, 208, 236 Fehlerkorrektur, 189 Generatorpolynom, 182 MDS-Kode, 183 verkürzter, 185

Restfehlerwahrscheinlichkeit, 126, 137, 254

bei Auslöschungen, 260 bei verketteten Kodes, 265

Schrittfehlerwahrscheinlichkeit, 91, 254 Schrittgeschwindigkeit, 83 SHANNON-Grenze, 126, 209, 239 Signal, 68, 72

im Frequenzbereich, 71 im Zeitbereich, 69

Signal-Störverhältnis, 103 SINGLETON-Schranke, 136, 183 SOVA-Algorithmus, 218, 247 Spektrum, 72 Störerkennung, 93 Störung, 75, 76 Struktogrammnotation, 188

Sachverzeichnis 289

Turbokode, 231, 245

Unbestimmtheit, 11, 12

VENN-Diagramm, 29 Verbundquelle, 27

als MARKOW-Quelle, 31 Verbundentropie, 27

VITERBI-Algorithmus, 212, 213 hard decision-Dekodierung, 213 soft decision-Dekodierung, 215,

218

Wiederholungskode, 134, 138, 181 WOLF -Schranke, 227

Zyklischer Kode, 140, 162 Fehlererkennung, 169 Fehlerkorrektur, 185 Kodierung, 169