1McGrawHill3 [Unlocked by ]

Como resultado del estudio de este bloque se espera que:

• Resuelvas problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicacionesy/o divisiones con fracciones.

• Resuelvas problemas que implican efectuar multiplicaciones con númerosdecimales.

• Justifiques el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcularel perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

• Resuelvas problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, confactor de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.

A la Tierra se le llama comúnmente el planeta azul debido a su gran ex-tensión de océanos y mares. Dos terceras partes de la superficie son agua;el resto, tierra firme.

Sin embargo, de toda el agua que existe en el planeta sólo 3% es aguadulce, y apenas la mitad de ésta tiene la propiedad de ser potable.

El agua es indispensable para la vida, ya que es un agente termorregu-lador que mantiene el equilibrio de las temperaturas, participa en las reac-ciones bioquímicas del metabolismo y realiza funciones purificadoras.Además, constituye unas dos terceras partes del cuerpo humano. ¿Tú cómocuidas el agua?

EEll ppllaanneettaa aazzuull

51

En esta lección aprenderás a tratar con la información, a comunicar ideas con base en ellas y a empleardiagramas, gráficas y tablas para representar situaciones cotidianas. La era actual se caracteriza por el ma-nejo de grandes cantidades de información, la cual debe ser transformada para volverse conocimiento.

52

Lección 8 Diagramas y tablas

Josefina es la abuelita de Olda, mi compañera de grupo. Olda me cuenta que su abuelita vivió en Mérida y

tuvo cuatro hijos, tres mujeres y un hombre. Las mujeres se llamaron Verónica, Elsa y Rosa Elena, y el hom-

bre Eduardo. A su vez, Verónica tuvo dos hijas, Emilia y Alejandra; Elsa tuvo un hijo que se llamó Enrique;

y Rosa Elena, la tercera de las hijas de la abuelita Josefina, tuvo un hijo y una hija, Ema y Ramiro. Eduardo,

el hijo varón de Josefina, tuvo a su vez tres hijas, Olda, Evelia y Gisela. Ahora no sabemos si Olda tendrá hi-

jos ni tampoco cuántos hijos tendrán sus hermanas.

Este relato, además de contarse como una historia narrada verbalmente, también puede ser usado para or-

ganizar la información en forma de tabla. Veamos una posibilidad:

Para aprender

Con frecuencia no se conoce lo suficiente un fenómeno como para construir un mode-lo matemático y utilizarlo para deducir tales fórmulas; sin embargo, podemos dispo-ner de datos que nos permitan entender su comportamiento. En estos casos, lo queprocede es hacer observaciones y construir una tabla o un diagrama para explorar lasrelaciones entre los valores de las variables.

1a.

2a.

3a.

4a.

Verónica

Emilia y Alejandra

Elsa

Enrique

Rosa Elena

Ema y Ramiro

Eduardo

Olda, Evelia y Gisela

Josefina

Actividad 1 El árbol genealógicoa) Construye tu árbol genealógico, en tu cuaderno elabora una tabla como la que

muestra la descendencia de la señora Josefina en el ejemplo de entrada de esta lec-ción, pero ahora tienes que empezar con una de tus abuelitas y terminar con la lis-ta de tus primas y primos. Si te falta información consulta a un familiar mayor.

b) Formen equipos de tres compañeros y exploren otras formas posibles de organi-zar la información de la actividad anterior.

Actividad 2 ¿Qué significan?Busquen en sus diccionarios el significado de las palabras diagrama y tabla. Si encuen-tran distintas interpretaciones, comenten en pequeños grupos lo que entienden porcada una de ellas.

Actividad 3 Los voladosFormen parejas con sus compañeros para jugar el juego de los “volados”. El juegoconsiste en saber cuáles son todos los resultados posibles al tirar tres volados consecu-tivos. Por ejemplo, al tirar tres veces seguidas una moneda al aire, se podrían obtenertres águilas seguidas, pero también podrían surgir otras opciones. Piensen en cuálesy cuántas son. Antes de tirar una moneda y jugar este juego, exploren mentalmentecuáles son todas las opciones posibles. Elijan una forma para representar la informa-ción obtenida.

Actividad 4 Tablas de resultadosEn el torneo estatal de futbol participaron cinco equipos: el Marte, el Montecasino, elXelajú, el Juventud y el Galaxia. Los puntos obtenidos por cada equipo, después determinar el torneo, se exhiben en esta tabla. ¿Quién resultó campeón?, ¿quién quedóen último lugar?, ¿qué equipos quedaron empatados? En tu cuaderno construye unatabla que encabece el equipo triunfador del torneo, seguido por los demás en el or-den que ocuparon.

Actividad 5 Diagrama de árbolEn una bolsa de papel de estraza hay tres canicas: una negra, una roja y una blanca.Sin ver el contenido, se saca una canica, se escribe en un papel su color y se regresala canica a la bolsa; se vuelve a sacar una canica, se escribe de nuevo el color y asícinco veces en total. Con base en el ejemplo del lanzado de monedas, donde usamosun diagrama de árbol con dos opciones, se trata de que ahora completes e interpre-tes uno de tres elementos, un diagrama de árbol para representar la totalidad de

53Diagramas y tablas

Montecasino

Xelajú

Marte

Galaxia

Juventud

5 puntos

10 puntos

3 puntos

5 puntos

2 puntos

opciones posibles. ¿Cuántas combinaciones puedes obtener después de sacar cincoveces una sola canica? ______

Actividad 6 ¿Cuál es la tabla del 13?Seguro conoces las tablas de multiplicar hasta el diez: Completa la siguiente tablahasta el 13. ¿Conoces otra forma de hacer las tablas de multiplicar? Coméntala contus compañeros.

54 Bloque 2

12345678910111213

11

3

5

22

6

20

333

44

20

55

35

66 77 88 99

45

1100

100

1111 1122 1133

Actividad 7 Mujeres diputadasLa LIX Legislatura (2003-2006) de la Cámara de Diputados de la República Mexica-na tiene un total de 500 legisladores, diputadas y diputados, de 6 partidos políticos.¿Qué partido tiene un mayor número de mujeres diputadas? ¿Qué partido contabacon menos mujeres diputadas? Anota las respuestas en tu cuaderno.

Diputados por género y partido político, con independencia de la vía

de representación, en la LIX Legislatura de la Cámara de Diputados

PAN

PRI

PRD

PVEM

Convergencia

PT

Sin partido

Total

MMuujjeerreess

50

42

43

4

0

0

5

144

HHoommbbrreess

98

162

54

13

5

6

18

356

TToottaall

148

204

97

17

5

6

23

500

Actividad 8 La rifaEn la clase de matemáticas organizaron un método para hacer una rifa en la kermésde fin de año. No saben cuántas personas participarán, pero suponen que no seránmás de cien. Después de discutir un método eligen hacer cien bolas, cada una conun solo número entero entre 1 y 100. ¿Tendrías un método diferente en el cual usesmenos bolas? Comenten en equipos integrados por tres compañeros.

Los conocimientos

¿Cuántas rutas diferentes puedo usar para ir de Chilpancingo a Toluca?, o ¿de cuántasmaneras pueden quedar los tres primeros lugares en una carrera de cien metros con 9corredores? Existen métodos y técnicas que operan con principios matemáticos y queresultan útiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se pueden responderdirectamente, contando en forma sistemática, es decir, listando todos los posibles resul-tados en un orden sistemático para luego contar cuántos son o desarrollando reglas deconteo.

El juego de dadosMartha tira un dado y obtiene un 6, vuelve a tirar el dado y obtiene un 2, lo tira unavez más y obtiene 3. De este modo, sus resultados fueron consecutivamente 6, 2 y 3.Ella se pregunta cuántas combinaciones podrían obtenerse al tirar el dado tres vecesconsecutivas, es decir, todos los resultados posibles. Por ejemplo, cada que tire un da-do, ella podría obtener alguno de los siguientes números: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Veamos es-to en un diagrama:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Podemos presentar estos resultados de la siguiente forma:

Una sola tirada-resultados posibles:

1 2 3 4 5 6

Dos tiradas-resultados posibles:

1 y 1 1 y 2 1 y 3 1 y 4 1 y 5 1 y 6

2 y 1 2 y 2 2 y 3 2 y 4 2 y 5 2 y 6

3 y 1 3 y 2 3 y 3 3 y 4 3 y 5 3 y 6

4 y 1 4 y 2 4 y 3 4 y 4 4 y 5 4 y 6

5 y 1 5 y 2 5 y 3 5 y 4 5 y 5 5 y 6

6 y 1 6 y 2 6 y 3 6 y 4 6 y 5 6 y 6


Se puede deducir, por ejemplo, que:

En la segunda tirada habrá 36 resultados posibles (6 � 6)

En la tercera tirada habrá 216 (6 � 6 � 6)

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de algunos hechos —experi-mentos, eventos o informaciones en general— y consta de un cierto número de pasos.Podríamos compararlo con la imagen visual que presenta la formación de las ramasen los árboles.

La clasificación de los datosUn médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo con su sexo (masculino o fe-menino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal,Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol se muestra en cuántas clasificacionespueden estar los pacientes de este médico.

Solución: NA A

BN

B AM B

NAB A

BN

O ABN

A ABN

B AF B

NAB A

BN

O AB

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de cla-sificaciones son 2 � 4 � 3 � 24, mismas que podemos enumerar:

MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etcétera.

56 Bloque 2

Paciente

Los métodos

Elena, una compañera de tercer año, tiene tres pantalones y dos blusas. Los pantalo-nes son de color rosa, negro y uno azul (de mezclilla); una de sus blusas es blanca yotra morada. ¿De cuántas formas puede combinar sus pantalones con sus blusas?

Método 1 Conteo con la ayuda de una tabla.

Se busca el número de combinaciones posibles con la ayuda de una tabla. Podemosempezar colocando los dibujos de los pantalones y de las blusas; o bien, escribir me-diante algún código las iniciales de los colores o la palabra completa o lo que ustedessugieran. Se puede empezar como sigue:

Puede combinar sus colores de 6 maneras posibles: el pantalón rosa con la blusablanca, o bien con la blusa morada, y lo mismo para los otros dos pantalones.

Método 2 Conteo con la ayuda de un diagrama de árbol.

Pantalón rosa Blusa blancaBlusa morada

Pantalón negro Blusa blancaBlusa morada

Pantalón azul Blusa blancaBlusa morada

Para hacer

Ejercicios fundamentales

1. Mediante un sondeo de opinión, se sabe que quienes comen en la fonda de la es-quina prefieren combinar una sopa compuesta de verduras, con un guisado adere-zado con leguminosas y, por supuesto, un rico postre coronado con fruta.


PPaannttaalloonneess

Rosa

Negro

Azul

BBlluussaass

BlancaMorada

BlancaMorada

BlancaMorada

58 Bloque 2

Supongamos que el menú del día es el siguiente:

Sopa de verduras pescado a la veracruzana coctel de frutaso o o

crema de elote pollo con calabacitas fresas con crema

¿Cuántas combinaciones puedes formar con esas opciones, tomando una sopa,un guisado y un postre? Anota la respuesta en tu cuaderno.

2. En tu cuaderno diseña una tabla que sintetice las opciones de menú que obtuvis-te en el problema anterior y escribe una nueva carta, pero ahora con “paquetes”que tú formes; incluye las opciones que obtuviste.

3. En tu cuaderno narra una historia como la del problema 1, en la que se tengan co-mo resultado 24 combinaciones posibles (2 � 3 � 4).

a) ¿Qué cambios harías si el arreglo fuese 3 � 2 � 4?

b) ¿Qué cambios si fuese 4 � 3 � 2?

4. Intenta hacer los siguientes ejercicios de manera mental. Cuántas combinacionesse obtienen al combinara) 3 muchachos con cuatro muchachas.b) 2 guisos con cuatro sopas.c) 3 sacos con cuatro pantalones.d) 5 colores de camisetas con tres pantalones.e) 350 habitantes con opciones de votación de 4 diputados.f ) 5 tiradas de volados.

5. A partir de los siguientes diagramas de árbol, en parejas, construyan una historiaque dé sentido a los diagramas siguientes:

Ejercicios para consolidar los conocimientos 1. Calcula las combinaciones y anótalas en tu cuaderno:

a) De tres casas con cinco colores.

b) El número de suscriptores de un periódico es de 13 000, si el periódico presen-ta la opción de recibir gratuitamente una revista o un folleto turístico, ¿cuán-tas combinaciones se podrían formar?

2. En tu cuaderno diseña un diagrama de árbol.

a) Gabriela y Josefina estudian el bachillerato en el pueblo vecino, al irse tienenla opción de tomar el autobús, un taxi, un colectivo, o bien esperar al camiónde su amigo Juan. ¿Cuántas combinaciones de viaje tienen para ir de su pue-blo a la escuela?

b) Ricardo rentó dos películas mexicanas y tres brasileñas, y espera verlas este finde semana. Mediante un diagrama de árbol encuentra el número de combina-ciones posibles, para saber cuál ve primero, cuál después y así sucesivamente.

3. ¿Cuántas placas de motocicleta podemos formar con tres letras y un número deun dígito? Las 26 letras —sin incluir la ñ— y los dígitos 0, 1, 2, . . . , 9. Anota larespuesta en tu cuaderno.

Ejercicios de profundización1. Cinco amigas, Ana, Karina, Martha, Escarlet y Landy se reunieron en San Cristó-

bal de las Casas, Chiapas, durante un encuentro académico. Se saludaron y se die-ron la mano en diferentes momentos. Pero no sabes quién saludó a quién. En unaocasión tanto Ana como Karina estrecharon la mano de una sola de sus amigas,mientras que Martha, Escarlet y Landy, estrecharon cada una, la mano de dos. Sa-bemos que Ana estrechó la mano de Landy, ¿quiénes no se dieron la mano en es-ta ocasión?

_______________________________________________________________________

2. Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones, A, B y C. De manera que sidel montón A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamosal C tantas canicas como hay en el C, y del C pasamos al A tantas como existenahora en el A, tendremos el mismo número de canicas en cada montón. ¿Cuántascanicas había al principio en el montón A? __________________________________

Ejercicios de síntesis1. En el siguiente juego la profesora o el profesor será el árbitro y competirán dos

equipos. Las reglas del juego son:

a) Dividan al grupo en dos equipos. Uno será nombrado equipo A y el otro equi-po B.

b) Cada equipo podrá escoger tres dígitos de los cuatro disponibles. A lo más dosde tales dígitos podrán coincidir en sus listas, pero el tercero deberá ser inva-riablemente distinto entre un equipo y otro.

c) Una vez con sus tres dígitos escogidos, formen todos los números posibles conesos tres dígitos.

d) Finalmente calculen la resta entre el número más grande con el número máspequeño.

e) Ganará el equipo cuya resta sea mayor.

f ) Dígitos disponibles: 4, 5, 6 y 9.

2. ¿Cuál sería el resultado si en lugar de 9 se colocara al 1?, ¿o al 0? _______________

3. El auditorio de la escuela secundaria tiene 15 filas con 17 asientos cada una. El to-tal de los asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primerafila y avanzando fila en fila hacia atrás. ¿En qué fila está el asiento número 187?

4. ¿Qué otros problemas se pueden resolver fácilmente mediante el uso de tablas?Coméntenlo en clase.


Para aprender

Actividad 1 La hidrosferaSe llama hidrosfera a la superficie líquida de la Tierra, que forman los océanos, mares,ríos, lagos, pantanos, glaciares y polos. La mayor parte del agua se encuentra en losocéanos. En el hemisferio norte, la superficie que ocupan las aguas es de unos 154.3millones de km2; en el hemisferio sur, es de alrededor de 205.75 millones de km2.

En la Tierra hay unos 1 400 millones de km3 de agua, de los cuales sólo la terceraparte es agua dulce.

a) ¿Qué cantidad de agua dulce hay en la Tierra? ___________________________

b) ¿Qué cantidad de agua potable existe? __________________________________

Lección 9Problemas aditivos (números

decimales y fraccionarios)

En esta lección aprenderás a calcular sumas y restas de decimales y fracciones, además, utilizarás frac-ciones en la resolución de problemas.

A la Tierra se le llama comúnmente el planeta azul debido a su gran extensión de océanos y mares. Dos ter-

ceras partes de la superficie es agua; el resto, tierra firme.

Sin embargo, de toda el agua que existe en el planeta, sólo 3% es agua, y apenas la mitad de ésta tiene la

propiedad de ser potable.1

El agua es indispensable para la vida, ya que es un agente termorregulador que mantiene el equilibrio de

las temperaturas, participa en las reacciones bioquímicas del metabolismo y realiza funciones purificadoras.

Además, constituye unas dos terceras partes del cuerpo humano. ¿Tú cómo cuidas el agua?

1El agua se considera potable cuando está libre de gérmenes y sustancias químicas que dañan la salud del ser humano.

60

61Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)

c) Si partes del agua potable está en las capas de hielo de la Antártida y 3

4

Groenlandia, en ríos y lagos y en la atmósfera, ¿qué fracción consti-

tuye el resto de depósitos? ___________________________________________

d) La Organización de la Naciones Unidas (ONU) ha reportado que el agua con-taminada causa 80% de las enfermedades del mundo. La mayor parte de losque sufren estos padecimientos son niños menores de 5 años. Comenta contus compañeros la importancia del agua para mantener y cuidar la salud.

Actividad 2 Conversiones de unidades de medidaCompleta los espacios en blanco.

a) de km son ______ metros; un de km � km � ______ metros

b) horas son _____ minutos; una hora y media más tres cuartos de hora son

_____ minutos.

c) kg de cereal son ______ gramos. Para elaborar un pastel, se requieren 200 g de11

2

3

4

1

2

1

4

1

4

1

25

1

5

harina de trigo, de kg de fibra de avena y 125 g de amaranto, ¿qué cantidad

de cereales se necesitan? __________

Actividad 3 ¿Grasa, joven?Las grasas son compuestos orgánicos formados de carbono, hidrógeno y oxígeno. Re-presentan la fuente más concentrada de energía en los alimentos, con las proteínas ylos carbohidratos, y suministran calorías al cuerpo. Las grasas proporcionan 9 calo-rías por gramo, más del doble que las de los carbohidratos o las proteínas. Sin embar-go, comer demasiadas grasas saturadas genera colesterol, una sustancia blanda ygrasosa que, cuando se acumula en las arterias, representa un factor de riesgo de ata-que al corazón y de algunos tipos de cáncer.

1

4

61%11%21%7%

18%57%16%9%14%Trace

TraceTrace

Trace

76%10%16%1%71%12%29%1%57%13%75%1%9%15%23%8%54%15%48%33%19%19%54%27%47%1%9%43%49% 1%2%48%39%10%51%28%1%3%68%7%2%91%

Comparación de grasas en la dieta

Grasa en la dieta

Aceite de canola

Aceite de linaza

Aceite de cártamo

Aceite de girasol

Aceite de maíz

Aceite de oliva

Aceite de soya

Aceite de cacahuate

Aceite de semilla de algodón

Manteca*

Cebo de res*

Aceite de palma

Grasa de mantequilla

Aceite de coco

Contenido de ácido graso, normalizado al 100 por ciento

* Contenido de colesterol (mg/cucharada): Manteca 12; Cebo de res 14; Grasa de mantequilla 33. No hay colesterol en ningún aceite vegetal. Fuente: POS pilot Plant Corporation, skatoon, Saskatchewan, Canada, Junio 1994. Impreso en Canadá.

Grasa saturada (mala)

Grasa monoinsaturada (buena)

Grasa poliinsaturada (esencial)Ácido linoleico

Ácido alfa linolénico(un ácido graso omega - 3)

62 Bloque 2

a) En 100 g de aceite de cacahuate, ¿qué fracción no es grasa saturada?

b) En un kg de mantequilla, ¿qué fracción es ácido linoleico?

c) Al mezclar 100 g de mantequilla y 100 g de aceite de coco, ¿que fracción deltotal corresponde a la grasa saturada?

d) ¿Qué aceite contiene mayor cantidad de grasa monoinsaturada? ¿Cuál es lafracción que le corresponde?

e) Comenta con tus compañeros sobre el riesgo para la salud que implica el con-sumo en exceso de grasas saturadas.

Actividad 4 Controlando mis gastosAna María se propuso tener un mejor control en susgastos, registrando los consumos y planeando sus pró-ximas compras. Guardó todas las notas de compra, pe-ro a este ticket se le desprendió una parte importante.¿Puedes calcular cuánto gastó al comprar el pan?

Los conocimientos

En las actividades anteriores observamos que la suma o resta de fracciones adquierediferentes significados, según el contexto de la situación. Destacan las que men-cionamos a continuación.

Mantequilla

Aceite de coco

Aceite de canola

Aceite de oliva

Aceite de girasol

PPoorrcceennttaajjee

68%

NNúúmmeerrooffrraacccciioonnaarriioo

NNúúmmeerroo ddeecciimmaall

0.6868

100

Con esta información completa la siguiente tabla.

63

Suma de fracciones (contextos)

a) Como relación en una parte del todo.

Cuando dividimos en partes iguales una superficie o una cantidad de objetos, su-mar o restar equivale a integrar las partes.

Sucede lo contrario cuando restamos:

b) Como medida.

Es común que estemos en situaciones donde expresamos fracciones de unidadesde medida, como medio km, tres cuartas partes de litro, un cuarto de kg, etcétera.

kg kg 1 kg

c) Como porcentaje.

En algunas situaciones se expresan fracciones como partes de 100 por ciento. Porejemplo, en un grupo 50% de estudiantes va al club de deportes, y el otro 50% al clubde música; es decir, una mitad del grupo va a deportes y la otra mitad a música.

Escrito como fracción es , siendo el resultado 1, que equivale a 100%.

Los métodos

Sumas y restas de fracciones con igual denominadorAl sumar o restar fracciones con igual denominador, hacemos la suma o resta del nu-merador.

Si consideramos las letras a, b, c como números naturales, tenemos un modelo ge-neral de cómo sumar o, en su caso, restar fracciones.

mismo denominador

a

b

c

b

a c

b� �

�

1

2

1

2�

1

2

1

2

1

2

34

�14

�24

1

3

1

3

2

3� �

Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)

12

12

1 12

2 12

� � �

64 Bloque 2

Sumas y restas de fracciones con diferente denominador

Método 1 Calcular

Intentamos cambiar a fracciones equivalentes con un mismo denominador.

Por lo que podemos aplicar el método anterior, pues ambas fracciones tienen al 6como denominador. Su suma es:

Método 2 Convertir a un común denominador las fracciones multiplicando o dividiendo el nu-merador y denominador por un mismo número diferente de cero. Al tener ya un mis-mo denominador, aplicamos el primer método.

Por ejemplo: Sumar .

Multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por 7 y la se-gunda fracción por 3.

; , sumando 7 � 9 � 16, obtenemos el resultado:

Método 3 Otra forma de sumar o restar fracciones es a través de los productos cruzados. El mé-todo consiste en lo siguiente:

Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el

denominador de la primera por el numerador de la segunda. Los resultados de ambos produc-

tos se suman o restan, según sea el caso, y se colocan en el numerador de la fracción final. El

denominador de la fracción final es el producto de los denominadores de las fracciones:

Siendo dos fracciones cualesquiera, a, b, c y d números naturales, con b y d

diferentes de cero.

Ejemplo:

Sumas y restas de decimales

Método 1 Convertimos a fracciones y hacemos la suma o resta como antes.

Ejemplo: Sumar 0.75 y 0.50

5

4

3

7

35 12

28� �

�

a

b

c

dy

a

b

c

d

ad bc

bd� �

�

7

21

9

21

16

21� �

3 3

7 3

9

21

�

��

1 7

3 7

7

21

�

��

1

3

3

7y

8

6

7

6

8 7

6

15

6� �

��

4

3

7

6

8

6

7

6

4

3

4 2

3 2

8

6� � � �

�

�

�ya que ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

4

3

7

6�

5 7 35

4 3 12

4 7 28

� �

� �

� �

0.75 en forma de fracción es , y 0.50 corresponde a ; la suma expresada enforma de fracción queda:

Método 2 Otra forma de sumar o restar números decimales es colocarlos en columna alineandosus dígitos, tomando como referencia el punto decimal.

Ejemplo: Sumar 454.343 y 43.2

Recuerda que iniciamos la suma de derecha a izquierda.

En la resta sucede algo similar. Por ejemplo, al restar 1.2 a 5.34

Para hacer

Ejercicios fundamentales 1. Completa los cuadros en blanco.

a) d)

b) e)

c)

2. Escribe fracciones en los espacios en blanco, de modo que cada fila y columnasumen 1.

1

2

2

8 8� � �

12

32� �

1

2

1

4� �

� �2

3

2

6

1

5

4

5� �

�

5 34

1 20

4 14

.

.

.

�454 343

43 200

.

.

75

100

50

100

125

100� �

50

100

75

100

65Problemas aditivos (números decimales y fraccionarios)

1

4

1

8

1

4

5

8

1

4

66 Bloque 2

3. Suma con una fracción, de tal modo que el resultado sea menor que .

4. Indica el porcentaje que expresan estas fracciones:

a) c)

b) d)

5. Realiza las siguientes operaciones:

a) 4.327 � 35.24 � f ) 55.25 � 45.15 �

b) 13.15 � 8.4 � 11.7 � g) 53.25 � 18.6 � 3.17 �

c) 27.53 � 8.3 � 6.800 � 4.27 � h)

d) i)

e) j)

6. ¿Qué fracción falta?

a) d)

b) e)

c)

7. Ubica el punto decimal en los números que aparecen subrayados para que elresultado sea el correcto.

a) 383.5 � 7.623 � 391123 c) 21203 � 1.2179 � 22.4209

b) 233.286 � 712 � 240.406 d) 21231 � 2340 � 44.631

45

2930

� �

78

�1

10� �

5940

1

6

1

2� �

3

42� �

1

4

1

41� � �

1

2

1

4

1

8� � �

5

12

1

84� � �

3

5

3

15

2

10� � �

1

4

1

5� �

64

73

2

5� �

2

5

1

4

50

100

10

100

1

2

3

7

El primer registro de un cuadrado mágico que aparece en la historia es en China, alrededor del año 2200 an-

tes de nuestra era. Se le conoce como el “lo-shu”. Cuenta una leyenda que el emperador Yu lo vio inscrito en

el caparazón de una tortuga en las orillas del río Amarillo y que mandó copiarlo en una tablilla de barro in-

mediatamente. Desde entonces, se le atribuyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que

servían en la astrología y en la predicción del futuro.

67

Ejercicios para consolidar los conocimientosAnota las respuestas en tu cuaderno.

1. Argumenta por qué funciona el método de productos cruzados para la suma oresta de fracciones. Comenta con tus compañeros y explica su lógica.

2. Plantea un problema donde la suma de fracciones exprese la integración de áreas.Compártelo con tus compañeros.

3. Diseña un problema sencillo donde la suma de fracciones indique unidades demedida. Compártelo con tus compañeros.

4. Explica qué relación guardan las fracciones decimales con los números decimales.

5. Explica por qué, al sumar decimales en forma vertical, si el resultado de una co-lumna es mayor a 9, entonces se anota la unidad y se pasa el dígito de las decenasa la siguiente columna.

Ejercicios de profundización 1. Haciendo una estimación, indica el número que señala la flecha.

A B C D E F G

5 6 7 8

A cada letra se asocia un número. Tomando como referencia la recta anterior,calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) B � A � d) A � D � F �

b) G � B � e) E � C � 20 �

c) A � B � G �

2. Encuentra el área de la región coloreada con una precisión de 3 cifras decimales.

3. Se compraron 10 kg de café verde a $70.50 el kg. Si el café pierde de su peso al1

5


7 cm

tostarlo, ¿en cuanto deberá venderse el kilogramo de café tostado para ganar del precio de compra? __________________________________

4. Encuentra el valor que debe tener m:

a) 34.2 � m 3.42

b) 12.5 � m � 36.3

1

10

68 Bloque 2

c) 1 � � 2

d) El 50% de m, sumado nuevamente con m, es 7.5

5. Una familia consume la mitad del agua que contiene una cisterna en 15 días.

¿Cuánto consume en 10 días? _________________________________________

Ejercicio de síntesis1. Un estudiante pasó al pizarrón a resolver una suma de fracciones, e hizo la

siguiente:

¿Qué procedimiento utilizó? ______________________________________________

¿Qué opinas del resultado encontrado? _____________________________________

1

2

4

5

5

7� �

m

4

El oído humano es capaz de percibir sonidos en el rango de 20 hasta 20 000 Hz (de 20hasta 20 000 oscilaciones por segundo) y puede distinguir sonidos cuyas frecuenciasdifieran de un solo hertz.

Podríamos suponer que la música cuenta con unos 4 000 tonos, pero las diez oc-tavas de un órgano son equivalentes a 130 tonos y el órgano es el instrumento conmás tonos.

En la fotografía de la página siguiente se observa un grupo de 12 teclas, con 7 to-nos básicos: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do; 2 bemoles, Mib y Sib, y 3 sostenidos, Do#,Fa# y Sol#. A este grupo se le llama octava y su escala es 2:1; esto es, la frecuencia dela misma nota en la siguiente octava será el doble, mientras que en la anterior tendrála mitad. La distancia de dos octavas corresponde a una relación de frecuencias de 4:1y para sumar distancias tenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias.

La música y las matemáticas

Los sonidos musicales son producidos, ya sea por vibraciones de cuerdas o por aire, en

el interior de un instrumento de viento. Cuantas más oscilaciones ocurran, más aguda

o “alta” será la nota musical, ya que cada tono o nota tiene relación con el número de

oscilaciones por segundo, que se expresa como ; a esta unidad de medida se

le llama hertz. El hertz es la unidad de frecuencia del Sistema Internacional de Unidades,

y su nombre proviene del apellido del físico alemán Heinrich Rudolf Hertz, quien descu-

brió la transmisión de las ondas electromagnéticas. Su símbolo es Hz.

oscilaciones

segundos

69

Una melodía suena igual si es tocada con instrumentos de sonido grave o agudo,o en diferentes octavas, siempre y cuando las distancias entre las notas se conserven.Por ejemplo, la tecla del tono Do que aparece en la imagen tiene una frecuencia de261.63 Hz, mientras que la frecuencia del tono Do de la siguiente octava será de 523.26Hz, ya que 261.63 � 261.63 � 523.26.

A cantar. . .

¿Te acuerdas de la canción de Martinillo?

Martinillo

Letra Mar ti ni llo, Mar ti ni llo, ¿dón de estás?, ¿dón de estás?

Notas Sol La Si Sol Sol La Si Sol Si Do Re Si Do Re

Letra to ca la cam pa na, to ca la cam pa na,

Notas Re Mi Re Do Si Sol Re Mi Re Do Si Sol

Letra din, don, dan din, don, dan.

Notas Sol Re Sol Sol Re Sol

Las notas se escriben en el pentagrama, donde cada línea y el espacio entre ellasrepresentan un tono. Observa que iniciamos en Re, después Mi, Fa, etcétera. La octa-va termina en Do. Para ejecutar esta canción se necesitan dos octavas.


Do Re

Do

#

233.

08

277.

18

311.

13

369.

99

415.

30

466.

16

523.26493.88440.00392.00349.23329.63293.66261.63246.94R

e#

Mi Fa Sol LaF

a#

So

l#

La#

Si

70 Bloque 2

1. La nota La tiene una frecuencia de 440 Hz. Calcula las frecuencias de todas las no-tas La de la canción.

2. Observa que la nota Re aparece en el segundo y tercer pentagrama, pero en dife-rente posición, es decir, está en diferente octava. ¿Qué frecuencias tienen cada unade ellas? ¿Por cuánto difieren? ¿Qué proporción guardan?

3. Consigue un teclado pequeño y ejecuta esta melodía. Trata de distinguir cómocambia el sonido Re en las dos octavas donde se encuentra.

FaMi

Do

La

Fa

Re

Re

Si

Sol

Mi

FaMi

Do

La

Fa

Re

Re

Si

Sol

Mi

FaMi

Do

La

Fa

Re

Re

Si

Sol

Mi

Para aprender

Actividad 1 Cuadrados y cuadraditosA continuación, utilizaremos el centímetro (cm) y el milímetro (mm) como unidadesde medida para las longitudes, y el centímetro cuadrado (cm2) y el milímetro cuadra-do (mm2) como unidades de medida para las áreas.

Recordemos que el área de un rectángulo es el producto de la longitud de la basepor la longitud de la altura. Por ejemplo, si dibujamos un cuadrado de 4 cm de largopor 2 cm de ancho, y trazamos dentro de él cuadrados de 1 cm de lado, el área del rec-tángulo es de 8 cm2.

El área también se obtiene si multiplicamos los lados del rectángulo:

(4 cm) � (2 cm) � 8 cm2

Para llevar a cabo la siguiente parte de esta actividad, se requerirá de algunas ho-jas milimétricas (pueden conseguirse en cualquier papelería).

Colocamos la figura de una hoja milimétrica y a un lado la ilustración de un cua-drado de un centímetro.

Lección 10Problemas multiplicativos.

Para aprender

En esta lección aprenderás a hacer multiplicaciones con números fraccionarios y decimales, así comoa resolver problemas que implican la multiplicación de números fraccionarios y decimales en diferen-tes contextos.

Ojo de Horus

Algunas fracciones usadas por los egipcios eran , , , , y ,

las cuales tenían la particularidad de representarse como fracciones del Ojo de

Horus. Cada signo jeroglífico de cada fracción se consignaba como una parte

de este ojo. Horus es un dios de la mitología egipcia y se le consideró iniciador

de la civilización egipcia.

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

18

132

116

164

12

14

71

72 Bloque 2

Utiliza rectángulos de medida adecuada y escribe los resultados de las siguientesoperaciones:

a) (2 cm) � (3 cm) � 6 cm2 e) � � cm2

b) (3 cm) � (4 cm) � cm2 f ) � � cm2

c) � (2 cm) � cm2 g) (0.1 cm) � (5 cm) � cm2

d) � (4 cm) � cm2 h) (0.2 cm) � (0.3 cm) � cm2

i) (0.4 cm) � (0.5 cm) � cm2

Actividad 2 Cuadrado de cuadradosEn la siguiente figura, que llamaremos cuadrado decimal, hemos dibujado un cuadradode una unidad de ancho por una unidad de alto para que el área del cuadrado sea de1. A los lados del cuadrado, que hemos dividido en 10 partes, están colocados los nú-meros 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 y 1.

1

2cm

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

2cm

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

2cm

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

4cm

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

2cm

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

2cm

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 cm2

1 cm

1 cm

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

72

73

La división de cada lado del cuadrado en 10 partes determina la formación de 100cuadrados, y como el área del cuadrado grande es 1, entonces el área de los cuadrados

pequeños es de � 0.01.

Si consideramos que el área de un rectángulo es la longitud de la base por longitud de la

altura, podemos realizar diversos productos con los números decimales. En la figura

anterior, tenemos que (0.4) � (0.2) � (8 cuadrados pequeños). De esta manera,8

100

1

100

Problemas multiplicativos. Para aprender

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

0 0.1 0.2

0.08

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

LLoonnggiittuudd ddee llaa aallttuurraa

LLoonngg

iittuudd

ddee llaa

bbaass

ee

(0.4) � (0.2) � 0.08.

1. Escribe en cada entrada de la tabla el valor del producto de la base por la alturacorrespondiente.

2. En tu cuaderno construye rectángulos de las dimensiones adecuadas para podercalcular los siguientes productos:

a) (1.7) � (0.7) �

b) (1.8) � (1.2) �

c) (1.5) � (2.3) �

Los conocimientos

Multiplicación de un número natural por una fracción o un decimal

La multiplicación de un número natural por una fracción o un decimal puede ser con-siderada como una suma reiterada. Así:

5 � � � � � � �

sumado 5 veces1

8

5

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

74 Bloque 2

y

6 � (0.25) � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 1.5

0.25 sumado 6 veces

Por otro lado, para calcular las partes de un todo, como las partes de 20 se pue-

de proceder encontrando la quinta parte de 20 y después sumar 3 veces o multiplicarpor 3. Lo anterior puede ser escrito de la siguiente manera:

Las partes de 20 son: 3 � � 3 � 4 � 12

Otra forma de resolver el problema anterior sería pensar en términos de proporcio-

nalidad. De esta manera, como son las tres quintas partes de 1, podemos decir que3

5

20

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

5

3

5

es a 1 como la cantidad buscada es a 20. Si utilizamos el siguiente arreglo para apli-3

5

car la regla de tres:

�

De modo que las partes de 20 son: � 20 �

Si se considera la primera forma de resolver el problema, entonces:

3 � � � 20 � 12

De lo anterior, se desprende que otro de los significados del producto de un núme-ro natural por un número decimal o por uno fraccionario radica en saber las par-

tes de un todo. Así las de 50 pueden escribirse como:

30 � � � 50 � � 15

Multiplicación de dos fracciones o decimalesPor otro lado, la multiplicación de dos fracciones o de dos números decimales no pue-de ser interpretada como una suma reiterada. ¿Qué significaría sumar “media vez” un

tercio para calcular en el producto ? ¿O sumar “0.3 veces” un décimo para1

2

1

3�

1500

100

30

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

50

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

30

100

3

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

20

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

203

5

1

�

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

5

1

20

3

5?

calcular en el producto (0.3) � (0.1)?

En las Actividades 1 y 2, Cuadrados y cuadraditos y Cuadrado de cuadrados, res-pectivamente, el producto representa áreas de rectángulos (la medida de su base porla de su altura es su área). De esta manera, tenemos que un rectángulo de base de 0.2

y altura de 0.3 es del área del cuadrado grande; es decir (0.2) � (0.3) � 0.06.6

100

75

En términos de números fraccionarios, consideremos la multiplicación .2

3

1

3�

Problemas multiplicativos. Para aprender

Podemos usar el siguiente dibujo y observar que . 2

3

1

3

2

9� �

Otra forma de interpretar el producto anterior consiste en tomar la base de un rec-

tángulo dividido en tres partes y sombrear dos para representar la fracción . A con-

tinuación, la altura se divide en tres, lo cual permite sombrear una de las partes de la

figura para representar . 1

3

2

3

13

23

29

del cuadrado grande

La parte coloreada son

23

13

La conjunción de ambas divisiones resulta de calcular de la parte inicialmente1

3

sombreada. Se puede considerar, por tanto, que el inicial implica la división en tres2

3

partes del todo, escogiéndose dos de ellas. Multiplicar por esto supone hacer una

nueva división del todo en 3 partes, con lo que el todo queda finalmente dividido en

3 � 3 � 9 partes, de las que se escogen 1 � 2 � 2 partes. Así,

Esta última explicación indica que la multiplicación de dos números fracciona-rios significa tomar tantas partes de un factor como lo señala el otro factor, y quela manera de calcular el producto de dos números fraccionarios es otro númerofraccionario, el cual es el cociente de multiplicación de los numeradores entre la

2

3

1

3

2 1

3 3

2

9� �

�

��

1

3

29

multiplicación de los denominadores de los dos números fraccionarios. Entonces, en el

producto , quiere decir que son las partes de .

Los métodos

Producto de un número natural y un fraccionario o decimalMétodo 1 La multiplicación de un número natural por una fracción puede ser considerada una

suma reiterada de la fracción tantas veces como indica el número natural.

Ejemplo:

5 � � � � � � �

sumado 5 veces

Asimismo, la multiplicación de un número natural por uno decimal puede ser en-tendida como una suma reiterada tantas veces como el número natural lo indica.

Ejemplo:

6 � (0.25) � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 0.25 � 1.5

0.25 sumado 6 veces

Método 2 Debido a que la multiplicación de un número natural por una fracción puede ser con-siderada como una suma reiterada de la fracción tantas veces como el número na-tural lo indica, la fracción resultante del producto tendrá el mismo denominador,mientras que el numerador será el producto del numerador de la fracción por el nú-mero natural.

Ejemplo:

5 � � � � � � � �

sumado 5 veces

El producto de dos fracciones

El producto de dos números fraccionarios da otro número fraccionario, que es el co-ciente de multiplicación de los numeradores entre la multiplicación de los denominadores delos dos números fraccionarios.

Ejemplos:

La multiplicación de y es , ya que

La multiplicación de y es , ya que 3

2

5

3

3 5

2 3

15

6

5

2� �

�

��

15

6

5

2�

5

3

3

2

5

9

2

7

5 2

9 7

10

63� �

�

��

10

63

2

7

5

9

4

7

5 4

7

�4 4 4 4 4

7

� � � �4

7

4

7

4

7

4

7

4

7

4

7

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

8

15

8

3

8

3

8

3

8

3

8

3

8

3

8

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

4

2

5

3

10

2

5

3

4

6

20

3

10� � �

76 Bloque 2

El producto de dos decimales

Método 1 Para multiplicar dos números decimales, se puede transformar cada factor a su repre-sentación como número fraccionario y hacer el producto de fracciones, para finalmen-te volver a escribir la fracción resultante como número decimal.

Ejemplos:

(1.3) � (2.4) � � 3.120 0

(0.3) � (1.72) � � 0.516

Método 2 Cálculo de las partes de una cantidad.

Para calcular las partes de una cantidad cualesquiera, se le puede multiplicar por larepresentación como número fraccionario o número decimal de las partes deseadas:

Ejemplos:

Las partes de 55 son � 55 � � 22

Las partes de 90 kg es � 90 � � 75 kg

Para hacer

Ejercicios fundamentales 1. La siguiente es una lista de ingredientes para elaborar Tortitas de pescado

(6 porciones):

Ingredientes:

• 1 kg de pescado en trozos

• taza de leche (125 mililitros)

• cebolla (100 g)

• de taza de aceite (187.5 mililitros)

• Un bolillo frío (70 g)

• 6 cucharadas de mayonesa (60 g)

• 2 dientes de ajo (4 g)

• Hierbas de olor al gusto

• Sal y pimienta al gusto

3

4

1

2

1

2

450

6

5

6

5

6

110

5

2

5

2

5

3

10

172

100

3 172

10 100

516

1000� �

�

��

13

10

24

10

13 24

10 10

312

100� �

�

��

77Problemas multiplicativos. Para aprender

78 Bloque 2

a) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para hacer 12 porciones de Tor-

titas de pescado _______________________________________________________

b) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para elaborar 9 porciones deTortitas de pescado _____________________________________________________

2. Si las partes de un número son 24, ¿cuál es el número? ____________________

Ejercicio para consolidar los conocimientos1. Construye una explicación con áreas de rectángulos para argumentar que las

partes de es igual al producto

Ejercicios de profundización 1. Un cuadrado aumenta una décima parte en cada uno de sus lados. ¿Cuánto au-

menta su área? __________________________________________________________

2. Una llave de agua llena un tanque vacío en 5 horas y otra en 3 horas. Si ambas lla-ves se abren juntas ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque? ____________________

Ejercicio de síntesis1. Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de ju-

go y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien, se le quitan 2 litros demezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué proporción de jugo hay en la mezclafinal?

_______________________________________________________________________

2. ¿Es posible resolver el ejercicio anterior sin utilizar números fraccionarios o deci-males? Comparte tu respuesta con tus compañeros.

2

7

4

3

8

21� �

4

3

2

7

3

8

Para aprender

Actividad 1 Kilómetros por horaa) Un auto recorre 94.5 kilómetros en 1 hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5

horas?

________________________________________________________________________

b) Un hombre recorre en su bicicleta kilómetros en una hora. ¿Cuánto recorre

en 3 horas?____________________________________________________________

Actividad 2 Una parte y un porcentaje

a) ¿A cuánto equivalen las partes de 20? _________________________________

b) ¿A cuánto equivalen las partes de 50? _________________________________3

10

3

5

4

5

Lección 11Problemas multiplicativos.

Para aplicar

En esta lección utilizarás la multiplicación de números fraccionarios y decimales para resolver di-versos problemas.

Aproximadamente, 97 centésimas partes de todo el suministro de agua de la Tierra se encuentra en los océanos.

El agua dulce (que no tiene sal) representa menos de 3 centésimas partes del suministro total de la Tierra.

Cerca de 70 centésimas partes del suministro de agua dulce están encerradas en las capas de hielo de la

Antártida y Groenlandia. El resto se localiza en la atmósfera, los ríos, los lagos o las aguas subterráneas.

79

Bloque 2

Actividad 3 Parte de partes

a) ¿A cuánto equivalen las partes de ? _______________________________

b) ¿A cuánto equivalen las partes de ? _______________________________

Actividad 4 Ampliación de un rompecabezas

1. El dibujo anterior es el de un rompecabezas con algunas medidas de sus partesen centímetros. Hay que fabricar un rompecabezas que sea igual a éste, peromás grande (ampliarlo), respetando la regla siguiente: el segmento que mide 4centímetros en el modelo deberá medir 7 centímetros en su reproducción. Es ne-cesario reconstruir el rompecabezas entre todos los miembros de un equipo (3 o4 integrantes). Cada alumno del equipo debe hacer una o dos piezas. Despuésde una breve discusión del equipo, se separan y comienzan a construir indivi-dualmente sus piezas.

2. Ahora se hace en equipo una reducción del rompecabezas, respetando la reglasiguiente: el segmento que mide 4 centímetros en el modelo deberá medir 3 cen-tímetros en su reproducción.

Los conocimientos

La multiplicación de fracciones nos permite el cálculo de la fracción de un númeroo de la fracción de otra fracción. Tenemos dos casos:

Si calculamos de 24 estudiantes de un grupo, tenemos , por

lo que obtenemos 15 estudiantes.

El otro caso es cuando tenemos fracciones. Si queremos calcular de , tene-

mos

También la multiplicación de fracciones nos permite calcular porcentajes.

7

10

20

21

140

210

2

3⋅ � �

20

21

7

10

5

8

24

1

120

815⋅ � �

5

8

10

9

3

10

20

21

7

10

6

6

52

7

7

25

79

4 2

80

81

Los porcentajes son fracciones con denominador 100. Por ejemplo al tomar 60partes de 100, decimos que hemos tomado 60% (por ciento), escrito como fracción

se expresa .

Así, para calcular el 30% de 550, basta plantear la multiplicación

Los métodos

La multiplicación de fracción en el cálculo de porcentajesEl porcentaje se expresa como fracción usando como denominador al 100, la canti-dad sobre la que se quiere calcular el porcentaje se escribe como fracción usando co-mo denominador al 1.

Ejemplo. Calcular 28% de 500

28% de 500 es 140

28

100

500

1

14 000

100140⋅ � �

30

100

550

1

16 500

100165⋅ � �

60

100

Problemas multiplicativos. Para aplicar

Para hacer

Ejercicios fundamentales 1. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿A cuánto equivalen las partes de 45? _______________________________2

3

UUnn pprriimmeerr ccoonnttaaccttoo ccoonn eell áállggeebbrraa

Un número natural cualquiera puede representarse con la letra n (que puede considerarse como una abrevia-

ción de la palabra natural). El número natural n puede representarse como el número fraccionario

; es decir, n � .

Un número fraccionario cualquiera (cociente de dos números naturales cualesquiera) puede representarse

con el símbolo , que puede leerse como un número natural n entre otro natural m. Se utilizan n y m para

dar a entender que los dos números naturales son distintos. De esta manera, el procedimiento para calcular

el producto de dos números fraccionarios puede escribirse como:

82 Bloque 2

b) ¿A cuánto equivalen las partes de ? ______________________________

2. Daniel tiene un terreno en la playa. Un tercio lo dejó para construir una casa para

él. De los dos tercios restantes les dio a cada uno de sus hijos. ¿Qué fracción

del total del terreno dio a cada uno de sus hijos? ___________________________

3. Pedro decide pintar así su recámara: de color azul y a de los le pondrá

papel. ¿Qué operación resuelve cuál es la parte empapelada del total de la recá-mara? Justifica tu respuesta en tu cuaderno.

a)

b)

4. Los almacenes Yolanda venden ropa para toda la familia. A mitad de año reba-ja el precio de todos sus departamentos a un 25% de descuento.

Completa la tabla de precios.

1

4

1

3

3

4� � �

3

4

1

3⋅ �

3

4

1

3

1

4

1

4

21

12

6

7

AArrttííccuulloo

Pantalón vaquero

Blusa (de temporada)

Camisa manga corta

PPrreecciioo oorriiggiinnaall

$ 210.00

$150.00

$168.00

DDeessccuueennttoo PPrreecciioo ffiinnaall

Ejercicios para consolidar los conocimientos1. Explica en tu cuaderno por qué funciona el siguiente algoritmo para el produc-

to de números decimales: Para multiplicar dos números decimales, se puede efectuar

el producto como si fueran números enteros y el resultado tendrá tantas cifras decimales

como la suma de la cantidad de cifras decimales de los factores.

2. Una forma para realizar divisiones de números decimales es transformar la di-visión a un cociente de números naturales, recorriendo el punto decimal el mis-mo número de lugares en el numerador y el denominador. Por ejemplo:

, ya que “recorremos el punto decimal dos lugares”.

Verifica que en efecto el resultado es el mismo usando tu calculadora y argu-menta por qué funciona este procedimiento.

0 35

1 25

35

125

.

.�

Ejercicio de profundización 1. En dos jarras iguales tenemos una mezcla de agua con jugo de naranja. En una

de las jarras, la proporción es de 3:7; es decir, de 3 partes de agua y 7 de jugo denaranja, mientras que en la otra hay una proporción de 3:5. Si juntamos el con-tenido de las dos jarras, ¿cuál será la proporción?

_______________________________________

Ejercicio de síntesis1. Cuatro vasos, suficientemente grandes, contienen el mismo volumen de líquido.

El primer vaso tiene café solo; los otros tres, leche. Se vierte la cuarta parte delcontenido del primer vaso en el segundo, se hace la mezcla homogénea y, a con-tinuación, se vacía la cuarta parte del contenido del segundo vaso en el tercero.Se hace la mezcla homogénea y se echa la cuarta parte del contenido en el últi-mo vaso. ¿Cuál es la proporción entre los volúmenes de café y leche en el cuar-to vaso?

83Problemas multiplicativos. Para aplicar

84

Para aprender

Actividad 1 ¡Trazando rectas!1. Toma un trozo de papel de china, corta un polígono cualquiera. A uno de sus la-

dos llámalo AB. Dobla el papel de manera que hagas coincidir los puntos A y B.Desdóblalo. El doblez ha determinado un segmento de recta. Observa las posicio-nes de las rectas que contienen a AB y al doblez que acabas de realizar.

Lección 12 Rectas y ángulos

En esta lección aprenderás el concepto de bisectriz de un ángulo y de mediatriz de un segmento, y autilizar sus propiedades en la solución de problemas geométricos. También, a distinguir cómo se deno-tan una recta, una semirrecta y un segmento de recta.

Vista aérea de la pirámide de Gizeh

85

Ahora responde en tu cuaderno:

• ¿Qué puedes decir de ellas? ¿Por qué?

• ¿Qué posición ocupa el punto de intersección de ambas en el segmento AB?¿Por qué?

2. Sobre la base de las ideas anteriores, construye, con regla y compás, una recta per-pendicular al segmento AB que pase por su punto medio M.

Nota: El punto medio de un segmento, es el que lo divide en dos partes iguales.

La recta perpendicular que trazaste en el segmento AB se llama mediatriz. Y coin-cide con el eje de simetría del segmento. Los puntos A y B equidistan de cada unode los puntos de la mediatriz, en particular del punto M.

a) ¿Cuánto miden los ángulos que forman la mediatriz y el segmento AB?

____________________________________________________________________

b) Explica lo que entiendes por mediatriz. Coméntalo con tus compañeros ycompañeras y con tu profesor.

Actividad 2 ¡Trazando mediatrices! a) Traza las mediatrices de los lados del triángulo CDE

• ¿Cuántas mediatrices se pueden trazar en el triángulo? ____________________

• ¿Las mediatrices del triángulo CDE son ejes de simetría del triángulo?¿Por qué? _________________________________________________________

___________________________________________________________________

A

B

C

E

D

Rectas y ángulos

86 Bloque 2

b) En las siguientes figuras se trazaron rectas que pasan por M, punto medio del seg-mento correspondiente. Marca de color azul las figuras que consideras que la rec-ta señalada que pasa por M es la mediatriz del segmento correspondiente.

Figura A Figura B Figura C

P M Q

C

A M B

A MB

C

D

• ¿Todas las figuras quedaron marcadas? ¿Por qué? _______________________

____________________________________________________________________

• ¿Todas las rectas que pasan por el punto medio de un segmento son media-trices? ¿Por qué? ¿Cuántas de ellas son mediatriz de dicho segmento? Comen-ta con tus compañeros y compañeras y tu profesor las respuestas.

Actividad 3 Construir triángulosConstruye en tu cuaderno un segmento AB y traza su mediatriz. Ahora construye untriángulo cuyos vértices sean: los extremos del segmento AB y un punto C colocadosobre la mediatriz.

a) Mide con un transportador los ángulos interiores del triángulo y compara las me-didas que encontraste.

¿Cuánto mide el ángulo ACB? _________ ¿Cuánto mide el ángulo ABC? ________

¿Cuánto mide el ángulo CAB? _________

Nota: El triángulo construido se denomina isósceles. Una característica decualquier triángulo isósceles es que su eje de simetría es una de sus mediatrices.

b) Señala el punto de intersección de las mediatrices y los vértices del triángulo ABC

que construiste. Traza el segmento que une cada vértice del triángulo ABC con elpunto de intersección de las mediatrices. En el triángulo ABC traza una circunfe-rencia cuyo radio sea la longitud del segmento formado por el punto de intersec-ción de las mediatrices y alguno de sus vértices del triángulo. ¿Qué ocurre?

Actividad 4 Ahora, ¡a trabajar con ángulos!Así como dividimos en dos partes iguales a un segmento, podemos dividir en dospartes iguales a un ángulo.

• Describe cómo propondrías hacerlo empleando la técnica de doblado de papel.

• Otra manera de dividir ángulos en dos partes iguales es utilizando un trans-portador. Aplica este instrumento geométrico para dividir en dos partes igua-les ángulos de 90°, 45°, 30° y 20°, respectivamente. Elabóralo en tu cuaderno.

87

a) Utilizando el transportador, encuentra cuánto mide cada uno de los siguientes án-gulos:

Ahora divide en dos partes iguales los ángulos que mediste utilizando nuevamen-te el transportador. Traza una recta que pase por la mitad de cada ángulo. A la rec-ta que trazaste se le llama bisectriz del ángulo.

Después de los trazos realizados, explica con tus palabras qué entiendes porbisectriz. Explica las respuestas a tus compañeros y compañeras y profesor.

Actividad 5 Trazando las bisectricesa) Traza las bisectrices de los ángulos interiores de las siguientes figuras geométri-

cas. Utiliza la regla y el compás.

• ¿Cuántas bisectrices pueden trazarse en los triángulos? ___________________

• ¿Se cortan en un mismo punto? ________________________________________

• ¿Cuántas bisectrices pueden trazarse en un cuadrilátero? __________________

• ¿Se cortan en un mismo punto? ________________________________________

Halla una diferencia entre las bisectrices trazadas para los triángulos y polígonosde cuatro lados. Comenta las respuestas con tus compañeros y tu profesor.

Rectas y ángulos

OOOO

Señala el punto en el que se cortan las bisectrices. Traza una circunferencia concentro en ese punto y radio igual a la longitud del segmento formado por el pun-to de intersección de las bisectrices y uno de sus vértices.

¿Qué relación hallas entre la circunferencia trazada y el triángulo? Coméntalo.

Los conocimientos

Dados dos puntos A y B, es posible considerar el segmento de recta AB o segmentorectilíneo. Los puntos A y B se llaman extremos. Los extremos de un segmento formanparte del mismo. En relación al segmento AB, si se extiende éste indefinidamente, ob-tenemos una recta. Por eso decimos que una recta está definida por dos puntos. Alconsiderar un punto de una recta, se llama semirrecta a cada una de las dos partes enque una recta queda dividida por uno de sus puntos, al que se llama origen.

La mediatriz de un segmento es la recta que lo divide en dos partes iguales y quees perpendicular a ese segmento.

Un ángulo es la abertura formada por dossemirrectas con el mismo origen.

La bisectriz de un ángulo es la semirrectaque lo divide en dos partes iguales.

Las bisectrices de un triángulo se cortan enun punto llamado incentro, que es un punto si-tuado al interior del triángulo. El incentro es elcentro de la circunferencia inscrita en el trián-gulo.

La longitud del radio de la circunferenciainscrita es el segmento formado por el incentroy el punto en que la bisectriz corta a uno de loslados del triángulo.

Las mediatrices de un triángulo se cortanen un punto llamado circuncentro, que es elcentro de la circunferencia circunscrita al trián-gulo. La circunferencia circunscrita tiene co-mo radio el segmento que une el centro conuno de los vértices.

88 Bloque 2

circunferenciainscrita

incentro

C

A

Bbisectriz

mediatriz

circuncentro

circunferenciacircunscrita

C

B

A

b) Traza las bisectrices del triángulo.

Los métodos

Trazo de la mediatriz de un segmento con regla y compás

Paso 1 Paso 2

Segmento AB.

Construye una circunferencia con centroen A y radio de longitud mayor a la

mitad del segmento AB.

Paso 3 Paso 4

Trazo de la bisectriz de un ángulo con regla y compás

Paso 1 Paso 2

89Rectas y ángulos

A B

A B

A BQ

P

A P

O B QO B Q

A P

Con la misma abertura del compás, construye otra circunferencia con centro

en B. Las circunferencias se cortan en dos puntos, llamémosles P y Q.

Traza la semirrecta PQ, mediatrizdel segmento AB.

PQ es perpendicular al segmento AB

por su punto medio.

Con centro en O y un radio cualquiera,traza un arco que corte los lados del

ángulo AOB en los puntos P y Q.

Apóyate en el punto P y abre el compás a una distancia mayor que la mitad

entre P y Q, traza el arco.

A B

Paso 3 Paso 4

Para hacer

Ejercicios fundamentales1. En tu cuaderno traza la mediatriz del segmento AB cuya longitud es igual a 4 cm,

a partir de este trazo dibuja un rombo. Describe el método que usaste.

2. En tu cuaderno construye un triángulo equilátero y traza las bisectrices de sus án-gulos. Al punto de intersección llámale O.

Ahora construye una circunferencia, de radio igual al segmento formado por elpunto O y cualquiera de los vértices del triángulo.

¿Qué puedes decir acerca de la circunferencia que construiste?

3. En el mismo triángulo equilátero anterior, traza las mediatrices de sus lados. Alpunto de intersección llámale Q.

¿Qué puedes decir de la ubicación de O y de Q? ¿ A qué conclusiones llegas?

4. Traza la bisectriz de los siguientes ángulos

5. Mediante el trazado de bisectrices, divide un ángulo recto en 4 partes iguales.

¿Cómo procederías para dividir el ángulo dado en 8 partes iguales? ¿Cuáles sontus conclusiones?, argumenta las mismas en tu cuaderno.

90 Bloque 2

B QO

A P

B QO

A PR

Con la misma abertura del compás, traza otro arco con centro en Q que

corte el arco anterior. Llámale Ral punto de intersección de los arcos.

Traza la semirrecta OR, bisectriz del ángulo AOB.

Ángulo AOR igual al ángulo ROB.

Ejercicios para consolidar los conocimientos1. Traza las bisectrices de los ángulos opuestos del rectángulo MNOP. ¿Cómo son

entre sí las bisectrices que trazaste?

_______________________________________________________________________

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos en que queda dividido cada ángulo inte-rior del rectángulo? ___________________________________________

¿Cómo son las bisectrices del rectángulo? ___________________________________

2. En tu cuaderno construye un cuadrilátero en el que las bisectrices y las diagona-les coincidan. Argumenta por qué elegiste este cuadrilátero.

3. En tu cuaderno construye la circunferencia circunscrita al cuadrado cuyos ladosmiden 5 cm.

4. Algunas letras de imprenta mayúsculas presentan simetrías con respecto a ejesverticales u horizontales. Identifica de qué letras se trata y cuáles son los ejes deesas simetrías y anótalas en tu cuaderno.

¿Qué mediatrices y bisectrices que contienen trazos de esas letras identificas?

Ejercicio de profundización1. El área del triángulo isósceles PQR mide 64 cm2. Si RM es mediatriz de ,

¿cuánto mide el área del triángulo QMR?PQ

91Rectas y ángulos

M P

ON

R

P M Q

Ejercicios de síntesis1. Localiza el centro de la siguiente circunferencia cuya

área es igual a 50.16 cm2.

Si no hubieras conocido el área, ¿cómo podrías determinar el centro de la circun-ferencia aplicando los conocimientos que has aprendido en esta lección? Anota lasrespuestas en tu cuaderno.

2. Construye una circunferencia, donde la longitud del diámetro sea el segmentoformado por el punto de intersección de las mediatrices del triángulo ABC y unode sus vértices.

92 Bloque 2

B

C

A

93

Lección 13 Figuras planas: Polígonos

En esta lección aprenderás el concepto de polígono, los elementos que lo constituyen (vértice, lado, án-gulo interior y exterior, diagonal), así como a reconocer las propiedades de los polígonos regulares y al-gunos criterios para construirlos.

La palabra polígono proviene del griego poli (muchos) y gonía (ángulo). Las figuras de este tipo están pre-

sentes en la naturaleza y en la vida del hombre.

El carbono, a través de sus compuestos, genera toda la química orgánica. Además de esta peculiaridad,

debido a la cristalización de sus moléculas tiene otras formas alotrópicas aparte de las del grafito (sistema cú-

bico) y del diamante (sistema hexagonal). Entre ellas, se destaca la molécula gigante, hueca y esférica del car-

bono 60, que en un icosaedro truncado reúne con máxima economía pentágonos y hexágonos regulares.

El domo exapenta es una forma semiesférica generada por la presencia armonizadora de pentágonos en

conjuntos de hexágonos, que pueden estar reticulados por triángulos isósceles y equiláteros, respectivamente.

El buckminsterfullereno, C60, también llamado fullereno, es otra forma en que se presenta el carbono. Des-

cubierto por el británico Harold Kroto y los americanos Robert Curl y Richard Smalley, el C60 tiene una for-

ma de balón de futbol hueco y en su superficie aparecen hexágonos y pentágonos constituidos por átomos de

carbono. El nombre buckminsterfullereno se debe a que el arquitecto alemán Richard Buckminster Fuller ha-

bía utilizado la forma del C60 en alguna de sus obras.

Carlos Calvimontes Rojas

(Información tomada de la página Web http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm)

94 Bloque 2

Para aprender

Actividad 1 Polígonos¿Recuerdas cuáles son las características de los polígonos? Con base en las siguientesfiguras, responde las preguntas en tu cuaderno:

(a) (b) (c) (d) (e)( )

(f)

( )

(g)

( )

(h)

( )

(i)

( )

(j) (k)

a) Si se define como polígono a una figura cerrada plana, delimitada por seg-mentos rectilíneos, ¿cuáles de las figuras anteriores son polígonos?

b) Un polígono es convexo, si al prolongar cualesquiera de sus lados, se cumpleque el polígono queda totalmente comprendido en una de las dos partes enque dicho lado prolongado divide al plano.

Di cuáles de los polígonos que identificaste en el inciso anterior son convexosy cuáles no. Justifica tu respuesta.

c) Una diagonal en un polígono convexo es un segmento de recta que une dosvértices no contiguos. Traza al menos dos diagonales en cada uno de los po-lígonos convexos que reconociste en el inciso anterior.

d) ¿Hay polígonos en los que no se puedan trazar diagonales? ¿Por qué?

Actividad 2 ¡En busca de la regularidad!Señala las diferencias entre los tres hexágonos siguientes:

95

Elige el nombre que designe mejor las características de los tres hexágonos si-guientes: equilátero, equiángulo o regular. Justifica tu respuesta.

Polígonos regularesA partir de la anterior secuencia de actividades, haremos una afirmación cuya veraci-dad irás descubriendo paulatinamente:

Todo polígono regular es cíclico; es decir, todos sus vértices están sobre una circunferencia.

¿Es esta condición suficiente para afirmar que un polígono es regular? ¿Por qué?Anota la respuesta en tu cuaderno

Actividad 3 ¡Ángulo-lado: una relación fundamental!Pon atención a las siguientes figuras y contesta las preguntas en tu cuaderno:

a) Cuando el número de lados de un polígono regular crece, ¿la medida de sus án-gulos centrales cambia? Argumenta por qué.

b) Encuentra la medida del ángulo central en cada una de las figuras.

c) ¿Cuál crees que sea la expresión general de la medida del ángulo central deln-ágono regular?

Construcción de polígonos

Con base en las dos afirmaciones que aparecen enseguida, construiremos diversospolígonos regulares.

1. Todo polígono equilátero inscrito en una circunferencia es regular.

2. A todo polígono regular se le puede inscribir y circunscribir una

circunferencia (figura de la derecha).

En tu cuaderno diseña, con base en las afirmaciones ante-riores, un método para construir un polígono regular de nlados.

Aplicando este método, construye un pentágono, un hexágono y un cuadrado.

Figuras planas: Polígonos

96 Bloque 2

Actividad 4 Una variación que hace que radio y apotema coincidanEn tu cuaderno realiza varios bosquejos de polígonos y después interpreta la afirma-ción: Si el número de lados de un polígono regular inscrito aumenta en una cantidad muy

grande, la apotema tiende a tener la longitud del radio.

Con regla y compás, traza un cuadrado dentro de la siguiente circunferencia.

Argumenta cómo se puede obtener un octágono regular a partir de su cuadradoinscrito. ___________________________________________________________________

¿Cómo obtendrías ahora un polígono de 16 lados? ¿Te animas a generalizar laconstrucción anterior? Extrae conclusiones y coméntalas con tus compañeros ycompañeras.

Los conocimientos

Definición general de polígono

Los polígonos tienen lados, vértices, ángulos interiores y exteriores, y diagonales:

Polígono regular

Un polígono es regular cuando todos sus lados tienen la misma longitud y todos susángulos interiores son iguales (es equilátero y equiangular). Se le denomina comocíclico si todos sus puntos están sobre una circunferencia.

Ánguloexterior

Diagonal

Vértice

Lado

Ángulointerior

97

Los métodos

Construcción de polígonosUn procedimiento para construir un polígono regular de n lados es el siguiente:

En tu cuaderno:

Paso 1 Traza una circunferencia.

Paso 2 Divide 360° por n. Ésa será la medida del ángulo central del poliedro de n lados.

Paso 3 Traza n radios de la circunferencia que formen entre sí el ángulo cuya amplitud aca-bas de calcular.

Paso 4 Une sucesivamente los puntos de la circunferencia en los que esos radios la cortan. Elpoliedro que has obtenido es el buscado.

Este método hace uso de regla, compás y transportador y permite construir cual-quier polígono regular.

A partir de construcciones básicas, podemos enunciar métodos para construir(inscribir) polígonos de más lados aplicando el método de trazado de la bisectriz deun ángulo, por ejemplo:

a) El octágono regular inscrito se obtiene duplicando el número de lados del cua-drado regular inscrito; de la misma forma se construyen los polígonos regula-res inscritos de 16, 32, 64 lados y así sucesivamente.

b) El decágono regular inscrito se obtiene duplicando el número de lados delpentágono regular inscrito; del mismo modo se sacan los polígonos regularesinscritos de 20, 40, 80 lados y así sucesivamente.

c) El dodecágono regular inscrito se obtiene al duplicar el número de lados delhexágono regular inscrito; esto también aplica para construir los polígonos re-gulares inscritos de 24, 48, 96 lados y así sucesivamente.

Observación. Siempre que sea posible inscribir un polígono, es posible inscribir el po-lígono que lo duplica en lados.

Existen métodos de construcción para algunos polígonos regulares que sólo utili-zan regla y compás. Indaga cómo construir polígonos regulares de 7, 9, y 11 lados.

Para hacer

Ejercicios fundamentales1. Con la regla y el compás, dibuja en tu cuaderno tres polígonos distintos y señala

el número de lados y ángulos que tiene cada uno.

2. A continuación se presentan las longitudes de los tres lados de diferentes triángu-los. Constrúyelos en tu cuaderno con tu regla y compás:

a) 3 cm, 4 cm y 5 cm b) 2 cm, 4 cm y 2 cm

c) 7 cm, 2 cm y 8 cm d) 3 cm, 4 cm y 7 cm


98 Bloque 2

¿Qué características deben tener tres segmentos para que con ellos se pueda cons-truir un triángulo? ______________________________________________________

3. Dibuja en tu cuaderno con tu regla y compás tres cuadriláteros, basándote en lassiguientes longitudes:

a) 3 cm, 4 cm, 3 cm y 4 cm

b) 3 cm, 4 cm, 5 cm y 6 cm

c) 3 cm, 5 cm, 7 cm y 9 cm

4. Construye en tu cuaderno un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágonoregular donde cada lado mida 3 cm. Explica cómo los construyes.

Ejercicios para consolidar los conocimientos Utiliza tu cuaderno:

1. Argumenta cómo determinarías el centro de un polígono regular si tiene un nú-mero par de lados.

• ¿Este mismo criterio aplica si el polígono tiene un número impar de lados?¿Por qué?

• ¿Habrá un criterio independiente del número de lados del polígono?

2. Con el transportador, divide una circunferencia en cualquier número de partes.Explica el procedimiento que empleaste.

Ejercicio de profundización1. Para que pueda cubrirse un plano con polígonos regulares de la misma clase, es

necesario que el ángulo interior del polígono sea divisor de cuatro ángulos rectos(360°).

En el caso de un adoquinado con cuadrados, tenemos:

a) ¿Es posible cubrir un plano con triángulos, como los que aparecen a continua-ción? Si tu respuesta es afirmativa, realiza un embaldosado como el de la fi-gura anterior en tu cuaderno.

b) ¿Es posible construir un embaldosado con triángulos escalenos? Argumentatu respuesta en tu cuaderno.

99

Ejercicios de síntesis1. El siguiente procedimiento permite dividir con cierta aproximación a la circunfe-

rencia en 7 partes iguales: Realízalo y verifica si el polígono que obtienes es unheptágono.

Se traza el radio OA y, desde el punto A, con AO de radio, se corta la circunferen-cia en B y D. Une los puntos B y D, marca el punto en el que se cruzan ambas rec-tas como N y determina ND como la medida por lado de un heptágono. Traza sietesegmentos de la misma medida dentro de la circunferencia a partir del punto D.

2. Considera las siguientes características de los polígonos regulares y analiza si escierto su cumplimiento:

Los polígonos regulares:

• Tienen todos sus lados iguales.

• Tienen todos sus ángulos iguales.

• Son inscriptibles en una circunferencia.

¿Alguna de estas tres características alcanzaría por sí sola para definir un polígo-no regular? ¿Por qué? ____________________________________________________

_______________________________________________________________________

Da ejemplos de polígonos no regulares y verifica estas propiedades por separado.

c) ¿Es posible cubrir un plano con hexágonos regulares? Si tu respuesta es afirma-tiva, realiza un embaldosado como el de la figura de arriba en tu cuaderno.

Una teselación o embaldosamiento es un conjunto de figuras geométricas cerra-das que recubren una superficie sin dejar huecos y sin montarse unas sobre otras.

En el siguiente dibujo puedes apreciar una teselación de triángulos:

B

ON

A

D


100 Bloque 2

3. Enuncia un criterio que permita decidir cuándo un polígono regular tesela el plano.

• ¿Cuáles son los divisores de 360°?

• ¿Cuáles de esos valores pueden ser las medidas de los ángulos interiores deun polígono regular?

• ¿Qué conclusión puedes extraer de los puntos anteriores?

Anota tus respuestas en tu cuaderno.

LLaass tteesseellaacciioonneess eenn eell aarrtteeEn la arquitectura

Los diseños que acabas de hacer también aparecen en el arte. Si bien artistas de todos los tiempos han utiliza-

do figuras geométricas en sus trabajos, quienes trabajaban en construcciones arquitectónicas influidas por la

religión islámica tenían prohibido representar figuras humanas o animales. Por ello, se veían obligados a em-

plear formas geométricas para decorar los edificios.

Uno de los sitios donde se pueden apreciar teselaciones es el Palacio de la Alhambra, en Granada, Espa-

ña. Las dos fotografías que aparecen abajo son de este tipo. Los árabes decoraron los jardines con fuentes y

plantas, mientras que el interior de las habitaciones y las salas del palacio con figuras geométricas que forman

distintos patrones. Los polígonos utilizados no siempre son regulares e incluso en oportunidades se combinan

varios tipos de polígonos.

¿Qué figuras geométricas notas que hay? Utiliza los polígonos que elaboraste en el ejercicio anterior e in-

tenta reproducir esta teselación.

Algunos detalles de las teselaciones:

Teselación con polígonos

101

En algunas casas se utilizan ciertos tipos de teselaciones para hacer ventanales, como los siguientes:

• Utiliza dos polígonos regulares para hacer la teselación de un ventanal.

• Emplea dos o tres polígonos (no necesariamente regulares) para hacer la teselación de un ventanal.

En la pintura

A principios del siglo XX, se comenzó a dibujar las formas que se observaban en la naturaleza con polígonos

y otras figuras geométricas, lo cual dio lugar a un nuevo estilo artístico.

1. Investiga cómo se le conoce a esta tendencia, sus repercusiones en el arte y sus exponentes principales.

2. ¿Cuántos polígonos hay en este dibujo? ___________


102

Lección 14Justificación de fórmulas:

Perímetro y área de polígonos

En esta lección, aprenderás a utilizar las medidas más importantes que se emplean para medir cuer-pos en el plano y en el espacio: perímetro, área y volumen; a distinguir entre perímetro y área, así co-mo a justificar fórmulas para calcular perímetros y áreas del triángulo, rectángulo, cuadrado, trapecioy polígonos regulares.

Medir. . . ¿Qué medimos? ¿Para qué medimos? ¿Con qué medimos?

D A B

B

h

a

L � 2�R

b

a

a � ba2

Para aprender

Actividad 1 ¿Qué, con qué y por qué medimos?Describe qué entiendes por medir, qué se mide, con qué se mide y por qué se mide.En equipo, comenta y analiza con tus compañeros las diferentes interpretaciones quedieron, destaquen los elementos en común y discútanlas con el resto de los equipos.

Actividad 2 ¿Con qué medimos?Escribe los nombres de los instrumentos que se emplean para medir:

La temperatura del cuerpo humano El peso de una persona

________________________________ ________________________________

La estatura de una persona El tiempo

________________________________ ________________________________

El contorno de una figura geométrica El área de una región

________________________________ ________________________________

¿Podemos medir con objetos específicos todas las cosas? Comenta la respuesta contus compañeros y tu profesor.

Actividad 3 Trabajando con el contorno y el interior de figuras geométricasPinta de color rojo el contorno de las siguientes figuras y de color gris su interior.

Anota las respuestas en tu cuaderno:

a) ¿Cuáles son los puntos del interior de las figuras?

b) ¿Es posible calcular el perímetro de la recta?

c) ¿Qué información se necesita para calcular el perímetro de la circunferencia y laflecha?

d) ¿Qué información se necesita para calcular el área del rectángulo, de la región que-brada y de la región compuesta?

103Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos

104 Bloque 2

e) ¿Hay alguna figura a la que no se pueda calcular su perímetro y área? Argumen-ta tu respuesta.

Reconstruyendo fórmulas. . .

Vamos a reconstruir fórmulas para calcular el perímetro y el área de polígonos comoel triángulo, romboide, trapecio y polígonos regulares, a partir de la fórmula de unafigura básica: el rectángulo. Como el perímetro de polígonos se determina sumandola medida de sus lados, la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo cuyoslados miden a y b (al que llamaremos rectángulo base) es:

Perímetro del rectángulo � 2a � 2b.

A los lados a y b también se les llama base y altura respectivamente

b ab

a

a

a

b 1Unidad

cuadrada

Fórmula para calcular

el área del réctangulo

a

El cuadrado es un caso particular de rectángulo, en el que la base y la altura son iguales:

Como a � b

Área del cuadrado: � l � l � l2

Al marcar las medidas de los lados del rectángulo, queda dividido en cuadritos; cada uno mide un centímetro cuadrado.

a a

b b

T1

T2

Actividad 4 ¡A calcular perímetros y áreas de polígonos!a) Analiza el rectángulo de la derecha, que surgió de haber trazado una de las

diagonales al rectángulo base. La diagonal lo divide en dos triángulos iguales.

105

a

b b

a

T1

T2

Al mover un lado, el

réctangulo se

transforma

El triángulo T1 es igual al triángulo T2.

El área de T1 es igual al área de T2.

¿Cómo es el área del triángulo respecto al área del rectángulo? _________________

Escribe la fórmula para calcular el perímetro del triángulo:

___________________________________________________________________________

Escribe la fórmula para calcular el área de triángulos:

___________________________________________________________________________

b) Te vas a apoyar nuevamente en el rectángulo base. Los lados opuestos del rec-tángulo son paralelos. La base del rectángulo está fija. Si aplicamos un movi-miento al lado opuesto del lado a sin que cambie la medida, el rectángulo setransforma en un romboide, como se muestra enseguida:

El rectángulo se transforma en un romboide

El triángulo T1 es igual al triángulo T2.

El área de T1 es igual al área de T2.

¿Cómo es el área del romboide respecto al área del rectángulo? Argumenta tu res-puesta. _________________________________________________________________

Expresa la fórmula para calcular el área del romboide:

___________________________________________________________________________

Escribe la fórmula para calcular el perímetro del romboide:

___________________________________________________________________________

Justificación de fórmulas: Perímetro y área de polígonos

106 Bloque 2

c) Vamos a tomar como base el romboide resultante de la actividad anterior y lodividiremos en dos partes iguales (trapecios), como se aprecia en la figura dela derecha.

El trapecio R1 es igual al trapecio R2.

El área de R1 es igual al área de R2.

¿Cómo es el área del trapecio respecto al área del romboide? __________________

Expresa la fórmula para calcular el área del trapecio.

Escribe la fórmula para calcular el perímetro de un trapecio.

___________________________________________________________________________

Los conocimientos

El interés por medir magnitudes, dimensiones, estados o procesos de los cuerpos queocupan un lugar en el plano y en el espacio ha llevado a la humanidad a desarrollarinstrumentos de medición como la regla, la cinta métrica, el termómetro, la balanza,el anemómetro, la veleta y el densímetro.

El perímetro, el área y el volumen son medidas de uso común que el ser huma-no aplica en diseños y edificaciones, en el estudio de estructuras o en la comparaciónde cuerpos de formas diversas y su clasificación. También se miden y calculan perí-metros, áreas y volúmenes en figuras geométricas cerradas, como el polígono y la cir-cunferencia.

Se le llama perímetro tanto al contorno de una figura como a la medida de éste,mientras que el área comprende la región interior de una figura y su medida.

En algunas situaciones, el perímetro y el área aparecen ligados a un proceso demedida, ya sea para comparar, estimar, repartir o cuantificar.

Se comparan medidas y formas de figuras al realizar movimientos o transforma-ciones sobre ellas. Al hacer transformaciones o movimientos sobre figuras geométri-cas cerradas y planas, el perímetro y el área pueden conservarse.

a a

b bR1R2

Al dividir el

romboide

107

Perímetros y áreas

PPoollííggoonnoo PPeerríímmeettrroo ÁÁrreeaa

h

bRectángulo

l

lCuadrado

cah

b

Triángulo

b h

BRomboide

d

D

l

Rombo

mh

b

n

BTrapecio

b b h h b h+ + + = +2 2

l l l l l l+ + + = × =4 4

a b c+ +

B B b b b B+ + + = +2 2

l l l l l l+ + + = × =4 4

B b m n+ + +

b h×

l l l× = 2

b h×2

B h×

2

dD×

B b h+( )2

l

a

Polígono regular

l l l l l l l n l+ + + + + + + = ×...P a×

2

Los métodos


108 Bloque 2

Para hacer

Ejercicios fundamentales1. Marca con color rojo el perímetro de las figuras siguientes y con azul el área.

2. Construye sobre la cuadrícula tres figuras que tengan el mismo perímetro:

¿Qué es lo que hace diferente a las figuras que construiste?

3. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.

Perímetro: ________ Perímetro: ________ Perímetro: ________

Área: ____________ Área: ____________ Área: ____________

3.5 cm

3.5 cm

5.4 cm

4.1 cm 3.5 cm

3.5 cm

lado 2.4 cm

apotema 2.9 cm9.4 cm

3.5 cm 2.8 cm

109

4. Deduce la fórmula para calcular el área del rombo. Describe el método que uti-lizaste.

___________________________________________________________________________

Ejercicios para consolidar los conocimientos1. Calcula el perímetro de un terreno que tiene forma pentagonal, cuyas longitudes

de sus lados consecutivos son 1.5 kilómetros, 3.5 kilómetros, 4.0 kilómetros, 5.0 ki-lómetros y 4.0 kilómetros.

2. Transforma las siguientes figuras en otro polígono, pero que conserve su área. Ex-plica el método que usaste.

3. Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras:

Perímetro: ________ Perímetro: ________ Perímetro: ________

Área: ____________ Área: ____________ Área: ____________

35 cm

25 mm 27 cm

57 cm

29 cm

18 dm

12 dm


diámetro 8.0 cm

110 Bloque 2

4. En las siguientes figuras, ¿cuántas veces es menor la región sombreada que el áreatotal de cada figura?

Ejercicio de profundización1. En la siguiente figura, ¿qué parte representa la región sombreada?

Ejercicios de síntesis1. En la tabla aparecen los datos de un trapecio ABCD, donde es paralela a .

Completa la información.

2. Determina el perímetro y el área del triángulo som-breado, cuyos vértices pasan por el punto medio de loslados del triángulo ABC. El triángulo ABC es equiláte-ro y su área mide 9 cm2.

¿Cómo te afectaría no conocer la fórmula si tuvieras que resolver varios ejercicioscomo el anterior? Coméntalo con tus compañeros.

CDAB

3.2 cm

6.4 cm

4.5 cm4.5 cm

6.5 cm

9.0 cm

4.0 cm

6.5 cm 7 cm

C

BA

BBaassee

12 m

8 m

7.5 m

BBaassee

9 m

4 dm

6 cm

AAllttuurraa

6 m

3 dm

5.4 cm

ÁÁrreeaa

78.75 m2

39.0 m2

21.0 dm2

CCDDAABB

7 cm

8.6 cm

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