YOU ARE DOWNLOADING DOCUMENT

Please tick the box to continue:

Transcript
Page 1: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

1

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร เรอง ความนาจะเปน โดยใชรปแบบการจดการเรยนรแบบวฏจกรการเรยนร (4MAT) ชนมธยมศกษาปท 5 ชดน จดท าขนเพอสงเสรมและสนบสนนใหผเรยนทกคน มความสามารถในการเรยนรและพฒนาทกษะวชาคณตศาสตรเรองความนาจะเปน เกดความคดรวบยอดจากเนอหาโดยสรป ฝกการปฏบตจรงเพอใหเกดทกษะการคดค านวณ สรางองคความรดวยตนเอง แกปญหาโดยเนนประสบการณตรง ฝกปฏบตจรงและประเมนตนเอง ตามสาระมาตรฐาน การเรยนรคณตศาสตรของหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 มทงหมด 6 ชด ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ประกอบดวยเนอหา ดงน

1.1) แผนภาพตนไม 1.2) หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1.3) หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ โดยเนอหาประกอบดวย ค าแนะน าในการใชชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร จดประสงค

การเรยนร ใบความร บตรกจกรรม และแบบทดสอบระหวางเรยน โดยเนอหาแตละเรองมตวอยางประกอบชดเจน นกเรยนสามารถศกษาชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตรตามล าดบขนตอน พรอมทงตรวจค าตอบทถกตองของชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตรไดดวยตนเอง

ผจดท าหวงเปนอยางยงวาชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 จะชวยเสรมทกษะเกยวกบความนาจะเปน และเหมาะสมกบผเรยนทกคน เหมาะสมส าหรบครทจะน าไปจดการเรยนการสอน และสอนซอมเสรมไดอยางด

นางสาวพรธรา โสดาวชต ต าแหนงคร วทยฐานะ ครช านาญการ

ค าน า

Page 2: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

2

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ค าแนะน าการใช

ค าแนะน าส าหรบนกเรยน 1. นกเรยนอานจดประสงคการเรยนรกอนศกษาชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

2. นกเรยนศกษาเนอหาสาระ ใบความร ตวอยางใหครบตามทก าหนดไว 3. หลงจากศกษาใบความรแลวนกเรยนท าบตรกจกรรมโดยใชเวลาตามทก าหนด 4. นกเรยนตรวจค าตอบจากเฉลยบตรกจกรรมแลวบนทกผลคะแนน 5. นกเรยนตองมความซอสตยตอตนเองไมดเฉลยกอนท าบตรกจกรรม

ค าแนะน าส าหรบคร

ควรด าเนนกจกรรมการเรยนการสอนโดยใชชดกจกรรม ควบคกบแผนการจดการเรยนร 1. ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร เรอง ความนาจะเปน ใชเวลาจดกจกรรม 17 ชวโมง 2. แจงใหนกเรยนอานจดประสงคการเรยนร กอนศกษาจากชดกจกรรมการเรยนร

วชาคณตศาสตร 3. แจงใหนกเรยนท ากจกรรมดวยความรอบคอบและรบผดชอบตองานทไดรบมอบหมาย

4. ใหนกเรยนศกษาเนอหาสาระ ใบความร ตวอยางในชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร ใหครบตามทก าหนดไว ครคอยใหค าแนะน าและสรปเนอหาสาระทส าคญ 5. ใหนกเรยนท าบตรกจกรรมหลงเรยน โดยใชเวลาตามทก าหนด 6. ใหนกเรยนตรวจค าตอบจากการท าบตรกจกรรมหลงเรยนในเฉลยทายชดกจกรรม

การเรยนรวชาคณตศาสตรแลวบนทกผลคะแนนบตรกจกรรมทไดไว 7. ในกรณทนกเรยนท าคะแนนจากบตรกจกรรมหลงเรยนไดไมถงรอยละ 80 ครผสอนให นกเรยนยอนกลบไปศกษาเอกสารอกครง แลวท าขอสอบใหไดคะแนนตามเกณฑทก าหนด 8. น าคะแนนทไดจากการท าบตรกจกรรมฯ และจากการทดสอบมาวเคราะหและประเมนผล

Page 3: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

3

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

เรอง หนา

ค าน า 1 ค าแนะน าการใช 2 สารบญ 3 มาตรฐานการเรยนร/ ตวชวด/จดประสงคการเรยนร 4 1.1 แผนภาพตนไม 5 ใบความรท 1.1 แผนภาพตนไม 5 บตรกจกรรมท 1.1 แผนภาพตนไม 13 1.2 หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 15 ใบความรท 1.2 หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 15 บตรกจกรรมท 1.2 หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 20 1.3 หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 22 ใบความรท 1.3 หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 22 บตรกจกรรมท 1.3 หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 25 แบบทดสอบระหวางเรยนชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 27 เฉลยบตรกจกรรมท 1.1 แผนภาพตนไม 31 เฉลยบตรกจกรรมท 1.2 หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 35 เฉลยบตรกจกรรมท 1.3 หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 37 เฉลยแบบทดสอบระหวางเรยนชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 39 บรรณานกรม 40

สารบญ

Page 4: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

4

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

มาตรฐานการเรยนร

สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณ ไดอยางสมเหตสมผล

มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจ และแกปญหา

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยง ความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบ ศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด

ค 5.2 ม.4-6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลท ไดไปใชคาดการณในสถานการณทก าหนดให

ค 5.3 ม.4-6/2 ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย ทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและ เชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนสามารถใชแผนภาพตนไมและกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ในการหาจ านวนผลลพธทเกดขนของเหตการณแบบตาง ๆ ได 2. นกเรยนสามารถใชหลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ในการหาจ านวนผลลพธทเกดขนของเหตการณแบบตาง ๆ ได 3. นกเรยนสามารถใชหลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ในการหาจ านวนผลลพธทเกดขนของเหตการณแบบตาง ๆ ได

มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด/จดประสงคการเรยนร

Page 5: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

5

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ปญหาเกยวกบการนบเปนปญหาหนงทมกพบอยในชวตประจ าวน วธการนบทชวยในการหาค าตอบ คอการเขยนแผนภาพตนไม ซงเปนวธการทชวยใหหาค าตอบไดโดยงายถาจ านวนวธทน ามาเขยนแผนภาพมไมมากนก เชน การขนหวหรอกอยของการโยนเหรยญบาท 2 ครง การเลอกรบประทานอาหาร การเลอกเสอผาทจะสวมใส เปนตน

แผนภาพตนไม (Tree Diagram)

ใบความรท 1.1

1.1 แผนภาพตนไม (Tree Diagram)

แผนภาพตนไม (Tree Diagram)

2.

Page 6: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

6

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

พจารณาตวอยางการเขยนแผนภาพตนไมตอไปน ตวอยางท 1 ฟฟามเสอ 2 ตว และกางเกง 3 ตว จงหาวาฟฟาจะมวธในการใสเสอและกางเกง ไดมากทสดไดกวธ

สามารถเขยนแผนภาพไดดงน เสอ กางเกง ผลลพธ ก1 ( ส1, ก1 ) ส1 ก2 ( ส1, ก2 ) ก3 ( ส1, ก3 )

ก1 ( ส2, ก1 ) ส2 ก2 ( ส2, ก2 ) ก3 ( ส2, ก3 )

ดงนนฟฟามวธในการใสเสอและกางเกงไดทงหมด 6 วธ

แนวคด

Page 7: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

7

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 2 โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง จงหาจ านวนวธทจะเกดหนาของลกเตา ทเปนไปไดทงหมด

แนวคด สามารถเขยนแผนภาพไดดงน ลกเตาลกท 1 ลกเตาลกท 2

ผลลพธ

จ านวนวธทจะเกดหนาของลกเตาทเปนไปไดทงหมด 36 วธ

Page 8: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

8

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 3

รานคาแหงหนง ตองการจดโชวเสอกฬาทกขนาดและทกส ถามเสอ 3 ขนาด และแตละขนาดม 2 ส คอ สขาวกบสแดง จะตองจดโชวเสอกฬาอยางไร

แนวคด ใชแผนภาพตนไมชวยในการคด ดงน สมมตให S แทนเสอขนาดเลก หรอเบอร S M แทนเสอขนาดกลาง หรอเบอร M L แทนเสอขนาดใหญ หรอเบอร L ข แทนเสอสขาว ด แทนเสอสแดง

การจดเสอใหครบทกขนาดและทกส แสดงดวยแผนภาพตนไม ดงน

ข : เสอเบอร S สขาว S ด : เสอเบอร S สแดง ข : เสอเบอร M สขาว M ด : เสอเบอร M สแดง ข : เสอเบอร L สขาว L ด : เสอเบอร L สแดง จากแผนภาพ พบวา จะตองจดเสอแตละขนาดใหครบทง 2 ส ได 6 แบบ

Page 9: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

9

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 4

ในการแขงขนงดขอคหนงมกตกาวาใครชนะ 2 ครงกอนจะเปนผชนะ จงเขยนแผนภาพตนไมหาจ านวนวธทงหมดในการแขงขน ครงน

แนวคด สมมตให ก แขงขนกบ ข ถา ก ชนะ จะเขยนแทนดวย ก และถา ข ชนะ จะเขยนแทนดวย ข ใชแผนภาพตนไมชวยในการคด ดงน

การแขงขนครงท 1 2 3 ก ก ก ข เรมตน ข ก ก ข ข ข

จากแผนภาพตนไม จ านวนวธทงหมดในการหาผชนะในการแขงขนครงน คอ 6 วธ

ผชนะ สรป ผชนะ 1 2 3

ก ก - ก ก ข ก ก ก ข ข ข ข ก ก ก ข ก ข ข ข ข - ข

วธท 1

วธท 2

วธท 3

วธท 4

วธท 5

วธท 6

Page 10: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

10

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 5

โยนเหรยญ 1 เหรยญ และลกเตา 1 ลก พรอมกน จงเขยนแผนภาพตนไม แสดงผลลพธทจะเกดไดทงหมดกวธ แนวคด เขยนแผนภาพตนไมไดดงน เหรยญ แตมบนลกเตา ผลลพธ

ผลลพธทงหมด 36 วธ คอ (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

Page 11: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

11

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 6

จงหาจ านวนเสนทางจาก S ไปยง E ในทศทางตามลกศรของแผนภาพ

แนวคด เขยนแผนภาพตนไมไดดงน

ดงนน จ านวนเสนทางจาก S ไปยง E เทากบ 8 เสนทาง

Page 12: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

12

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 7

ในการแขงขนเทนนสคหนงมกตกาวาใครชนะ 2 เซตกอนจะเปนผชนะ จงหาจ านวนวธทงหมดในการหาผชนะของการแขงขนครงน

แนวคด สมมตให A แขงขนกบ B ถา A ชนะ จะเขยนแทนดวย A และถา B ชนะ จะเขยนแทนดวย B ใชแผนภาพตนไมชวยในการคด ดงน เซต 1 เซต 2 เซต 3 A A A B เรมตน B A A B B B

จากแผนภาพตนไม จ านวนวธทงหมดในการหาผชนะในการแขงขนครงน คอ 6 วธ

เหนไหมละเราสามารถใชแผนภาพตนไม เพอชวยในการหาค าตอบปญหาเกยวกบการนบได เมอมความรแลวไปท าบตรกจกรรมท 1.1 กนเลย

Page 13: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

13

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

1) นกเรยนคนหนงมเสอและกางเกงส าหรบสวมไปเทยวอย 3 ตว และ 2 ตว ตามล าดบ เขาจะสวมเสอและกางเกงไปเทยวเปนชดตางกนไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

2) ในการโยนเหรยญ 2 บาท 1 เหรยญ เหรยญ 5 บาท 1 เหรยญ และเหรยญ 10 บาท 1 เหรยญ พรอมกน 1 ครง ผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดทงหมดมกวธ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

บตรกจกรรมท 1.1 แผนภาพตนไม (Tree Diagram)

Page 14: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

14

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

3) มถนนจากกรงเทพฯ ถง ลพบร 2 สาย และมถนนจากลพบร ถง นครราชสมาอย 3 สาย ถาจะขบรถยนตจากกรงเทพฯ ถงนครราชสมา โดยขบผานลพบร จะใชเสนทางไดทงหมด กเสนทางและเขยนแผนภาพแสดงการเดนทางเพอหาค าตอบ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

4) ถาโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 3 ครง จะไดผลตางๆกนทงหมดกวธ อะไรบาง (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

5) ในการแขงขนปงปองคหนงมกตกาวาใครชนะ 2 เกมกอนจะเปนผชนะ จงหาจ านวนวธทงหมดในการหาผชนะของการแขงขนครงน (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

Page 15: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

15

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ กฎขอท 1 ถาตองการท างาน 2 อยาง โดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน มวธทจะท างานอยางทสองได n2 วธ จ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1n2 วธ

ตวอยางท 1 นายด ามเสอ 2 ตว สตางกน และกางเกง 3 ตว สตางกน จงหาจ านวนวธ ทงหมดทนายด าสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กน แนวคด ใชแผนภาพตนไมในการหาค าตอบไดดงน เสอ กางเกง ผลลพธ ก1 (ส1 , ก1) ส1 ก2 (ส1 , ก2) ก3 (ส1 , ก3) ก1 (ส2 , ก1) ส2 ก2 (ส2 , ก2) ก3 (ส2 , ก3) จากแผนภาพตนไม จะไดวา จ านวนวธทงหมดทนายด าเลอกสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กนเทากบ 6 วธ นายด ามวธเลอกสวมเสอได 2 วธ และเลอกสวมกางเกงได 3 วธ

นายด ามวธสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กนได 2 3 = 6 วธ

ใบความรท 1.2

1.2 หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

Page 16: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

16

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 2 ระหวางทางจากบานถงโรงเรยนมรถรบจางอย 4 คน นกเรยนคนหนงจะโดยสาร รถรบจางทงไปและกลบจากโรงเรยนไดกวธ ถา

1. เทยวไปและกลบ นงรถคนใดกได แนวคด รถม 4 คน เลอกนงรถโดยสารขาไปได 4 วธ นงรถกลบได 4 วธ

จ านวนวธในการเดนทางได 4 × 4 = 16 วธ

2. เทยวไปและกลบ ตองไมใชรถคนเดยวกน แนวคด รถม 4 คน ขาไปเลอกนงได 4 วธ

ขากลบกลบรถคนเดมไมได จงเลอกนงรถทเหลอ 3 คนได 3 วธ จ านวนวธในการเดนทางได 4 × 3 = 12 วธ ตวอยางท 3 จากเมอง ก ไปเมอง ข มถนน 5 สาย จากเมอง ข ไปเมอง ค มถนน 3 สาย จะมการเดนทางทแตกตางกนกวธทจะเดนทางจากเมอง ก ไปเมอง ค และ เดนทางกลบโดยการเดนทางตองผานเมอง ข แนวคด

ขาไป จาก เมอง ก ไป เมอง ข ได 5 วธ ขาไป จาก เมอง ข ไป เมอง ค ได 3 วธ จ านวนวธในการเดนทาง จากเมอง ก ไป เมอง ค คอ 5 × 3 = 15 วธ

ขากลบ จาก เมอง ค ไป เมอง ข ได 3 วธ ขากลบ จาก เมอง ข ไป เมอง ก ได 5 วธ จ านวนวธในการเดนทางกลบ จากเมอง ค ไปเมอง ก คอ 3 × 5 = 15 วธ จ านวนวธ ในการเดนทาง ไป – กลบ จาก เมอง ก ไป เมอง ค โดยผานเมอง ข คอ 15 × 15 = 225 วธ

เมอง ก

เมอง ข

เมอง ค

เมอง ก

เมอง ข

เมอง ค

Page 17: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

17

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กฎขอท 2 ถางานอยางแรกมวธท าได n1 วธ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกมวธ

ทจะท างานอยางทสองได n2 วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกและงานอยาง ทสอง มวธทจะท างานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จ านวน วธทงหมดทจะเลอกท างาน k อยางเทากบ n1n2n3… nK วธ

ตวอยางท 4 ในการเลอกกรรมการชดหนง ซงประกอบดวยประธาน รองประธาน เหรญญก และเลขานการ โดยใหกรรมการแตละคนด ารงต าแหนง ไดเพยงต าแหนงเดยว ถามผสมครรบเลอกตง 6 คน ผลการเลอกตง กรรมการชดนมวธทแตกตางกนกวธ แนวคด

ต าแหนงประธาน เลอกจากผสมคร 6 คน เลอกได 6 วธ ต าแหนงรองประธาน เลอกจากผสมครทเหลอ 5 คน เลอกได 5 วธ ต าแหนงเหรญญก เลอกจากผสมครทเหลอ 4 คน เลอกได 4 วธ ต าแหนงเลขานการ เลอกจากผสมครทเหลอ 3 คน เลอกได 3 วธ

จ านวนวธ ในการเลอกคณะกรรมการคอ 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธ

ตวอยางท 5 จากค าวา PHYSIC ถาน ามาจดเปนค าใหมโดยไมค านงถงความหมาย จะจดได ทงหมดกวธ โดยท

1) ใหแตละค ามอกษร 3 ตว 2) ใหแตละค ามอกษร 4 ตว

แนวคด ค าวา PHYSIC ประกอบดวยตวอกษร 6 ตวทแตกตางกน 1) ใหแตละค ามอกษร 3 ตว จดไดดงน

ต าแหนงท 1 จดได 6 วธ ต าแหนงท 2 จดได 5 วธ ต าแหนงท 3 จดได 4 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดจะจดค าใหมใหมตวอกษร 3 ตว ทงหมด 6 × 5 × 4 = 120 วธ

Page 18: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

18

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

2) ใหแตละค ามอกษร 4 ตว จดไดดงน

ต าแหนงท 1 จดได 6 วธ ต าแหนงท 2 จดได 5 วธ ต าแหนงท 3 จดได 4 วธ ต าแหนงท 4 จดได 3 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมดจะจดค าใหมใหมตวอกษร 4 ตว ทงหมด 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธ

ตวอยางท 6 ถาตองการสรางค าทประกอบดวยอกษรตางกน 4 ตว โดยทตวอกษรเหลานน มาจากค าวา ASSOSIATE จะสรางค าไดทงหมดกค า โดยไมค านงถง ความหมายของค าเหลานน

1) อกษร 4 ตว เปนตวใดกได จากค าวา ASSOSIATE มตวอกษรจ านวน 9 ตว คอ A 2 ตว S 3 ตว O 1 ตว I 1 ตว T 1 ตว และ E 1 ตว ตองการสรางค าทประกอบดวยอกษรตางกน 4 ตว จากตวอกษร 6 ตว ไดแก A S I O T และ E

ต าแหนงอกษร ตวท 1 ตวท 2 ตวท 3 ตวท 4

จ านวนวธ 6 5 4 3

จ านวนวธในการสรางค า คอ 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธ

2) ค านนตองขนตนและลงทายดวยพยญชนะ จากค าวา ASSOSIATE มตวอกษรจ านวน 9 ตว คอ A 2 ตว S 3 ตว O 1 ตว I 1 ตว T 1 ตว และ E 1 ตว ประกอบดวยพยญชนะ 2 ตวคอ S และ T สระ 4 ตวคอ A E I และ O

ต าแหนงอกษร ตวท 1 พยญชนะ

ตวท 2 ตวท 3 ตวท 4 พยญชนะ

จ านวนวธ 2 4 3 1

จ านวนวธ ในการสรางค า คอ 2 × 4 × 3 × 1 = 24 วธ

Page 19: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

19

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

โจทยเกยวกบการสรางจ านวนเตมบวก

ตวอยางท 7 จ านวนเตมบวกสามหลก มทงหมดกจ านวน

หลกรอย ใชเลขโดด 1 - 9 ม 9 วธ ยกเวน 0 หลกสบ ใชเลขโดด 0 - 9 ม 10 วธ หลกหนวยใชเลขโดด 0 - 9 ม 10 วธ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 9 10 10

จ านวนวธทสรางจ านวน 3 หลก คอ 9 × 10 × 10 = 900 จ านวน

ตวอยางท 8 ตองการสรางจ านวนทมสหลก โดยทแตละหลกเลอกมาจากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 9 เมอตองการใหจ านวนทสรางขนเปนจ านวนค

และแตละหลกใชตวเลขไมซ ากน

หลกหนวย ใชเลขโดด 1, 3, 5 หรอ 9 ม 4 วธ สมมตใชเลข 1 หลกพน ใชเลขโดด 2, 3, 4, 5 หรอ 9 ม 5 วธ ยกเวน 0 สมมตใชเลข 2 หลกรอย เหลอเลขโดด 0, 3, 4, 5 หรอ 9 ม 5 วธ สมมตใชเลข 0 หลกสบ เหลอเลขโดด 3, 4, 5 หรอ 9 ม 4 วธ

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 5 5 4 4

จ านวนวธทสรางจ านวนค 4 หลกตวเลขไมซ าจากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 9 คอ 5 × 5 × 4 × 4 = 400 จ านวน

Page 20: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

20

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กฎขอท 1 ถาตองการท างาน 2 อยาง โดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน มวธทจะท างานอยางทสอง ได n2 วธ จ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1n2 วธ

1) นายวฒนาท าขอสอบ 5 ขอ แตละขอมตวเลอก 4 ตวเลอก จงหาวา นายวฒนาจะมวธท าขอสอบดงกลาวไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

2) นายด ามเสอ 2 ตว สตางกน และกางเกง 3 ตว สตางกน จงหาจ านวนวธ ทงหมดทนายด าสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กน (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

3) ในการเลอกตงกรรมการชดหนงจะประกอบไปดวย ประธาน รองประธาน เหรญญก และเลขานการ โดยกรรมการแตละคนจะด ารงต าแหนงไดเพยงต าแหนงเดยวเทานน ถามผสมครทงหมด 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญง 4 คน ผลการเลอกตงกรรมการชดนจะมไดทงหมดกแบบตางกน โดยใหประธานเปนชาย และเลขานการตองเปนหญง (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

บตรกจกรรมท 1.2 หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

Page 21: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

21

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กฎขอท 2 ถางานอยางแรกมวธท าได n1 วธ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกมวธ

ทจะท างานอยางทสองได n2 วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกและงานอยาง ทสอง มวธทจะท างานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จ านวน วธทงหมดทจะเลอกท างาน k อยางเทากบ n1n2n3… nK วธ 4) จงน าอกษรจากค าวา SPECIAL มาจดเปนค าใหม โดยไมค านงถงความหมาย จะจดเปนค าทแตกตางกนไดกค า (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

5) ตองการสรางจ านวนทมสหลก โดยทแตละหลกเลอกมาจากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 9 เมอตองการใหจ านวนทสรางขนเปนจ านวนคและแตละหลกใชตวเลขไมซ ากน (2 คะแนน)

............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

Page 22: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

22

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กฏการบวก ถาการท างานหนงมวธการท า k วธ คอ วธท 1 ถงวธท k โดยท การท างานวธท 1 มวธท า n1 วธ การท างานวธท 2 มวธท า n2 วธ การท างานวธท 3 มวธท า n3 วธ … การท างานวธท k มวธท า nk วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลวจ านวนวธการท างานนเทากบ n1 + n2 + n3 + … + nk วธ

ตวอยางท 1 จากเลข 0 – 9 สามารถสรางเลขจ านวนคบวก 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน ไดทงหมดกจ านวน

โจทยขอนมเงอนไขอะไรเพมเตม ( หามใชเลขซ า และเปนจ านวนค ตองการเลขเปนจ านวนค ดงนน ตองพจารณาทหลกหนวยกอน ซงเลขทใชได คอ 0, 2, 4, 6, 8

* * พจารณาทเลข 0 ถาเลข 0 อยในหลกหนวย หลกพนจะใชเลขได 9 ตว

แตถาเลข 0 ไมอยในหลกหนวย หลกพนจะใชเลขไดเพยง 8 ตว คอ ยกเวน 0 และเลขทใชในหลกหนวย ดงนน ในการคดขอนตองแบงเปนกรณ ดงน

กรณท 1 เลข 0 อยในหลกหนวย จะได

ดงนน ไดจ านวนวธ = 9 × 8 × 7 × 1 = 504 จ านวน

ใบความรท 1.3

1.3 หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ใชเลขได 9 ตว คอ 1 – 9 ยกเวน 0

ใชเลขได 8 ตว เพราะใชเลขใน หลกพน และ หลกหนวยไปแลว 2 ตว

ใชเลขได 7 ตว เพราะใชเลขใน หลกหนวย หลกพน และหลกรอย ไปแลว 3 ตว

เลข 0

Page 23: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

23

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กรณท 2 เลข 0 ไมอยในหลกหนวย จะได

ดงนน ไดจ านวนวธ = 8 × 8 × 7 × 4 = 1,792 จ านวน

สรปไดวา สามารถสรางเลขจ านวนค 4 หลก โดยหามใชเลขซ ากน ไดทงหมด = 504 + 1,792 = 2,296 จ านวน ตวอยางท 2 มเลขโดดอย 5 ตว คอ 0, 3, 4, 6, 7 ถาตองการสรางจ านวนคบวกสามหลก ซงประกอบดวยตวเลขโดดเหลาน โดยแตละหลกใชเลขไมซ ากน จะสรางไดกจ านวน

หลกหนวยใชเลขโดด 0, 4, 6 แยกเปน 2 กรณ

กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 ม 1 วธ หลกรอย เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 3, 4, 6 หรอ 7 ม 4 วธ สมมตใช 3 หลกสบ เหลอเลขโดด 3 ตว คอ 4, 6 หรอ 7 ม 3 วธ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 4 3 1

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 0 คอ 4 × 3 × 1 = 12 จ านวน

กรณท 2 หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 ม 2 วธ สมมตใช 4 หลกรอย เหลอเลขโดด 0, 3, 6 หรอ 7 ม 3 วธ สมมตใช 3 (ใช 0 ไมได หลกสบ เหลอเลขโดด 0, 6 หรอ 7 ม 3 วธ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย จ านวนวธ 3 3 2

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 คอ 3 × 3 × 2 = 18 จ านวน กรณท 1 + กรณท 2 = 12 + 18 = 30 จ านวน

ใชเลขได 8 ตว คอ ยกเวน 0 และเลขทใชในหลกหนวยแลว

ใชเลขได 8 ตว เพราะใชเลขในหลกพน และหลกหนวยไปแลว 2 ตว

ใชเลขได 7 ตว เพราะใชเลขในหลกหนวย หลกพน และหลกรอย ไปแลว 3 ตว

2, 4, 6, 8

Page 24: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

24

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ตวอยางท 3 ตองการสรางจ านวนคบวกสหลกจากตวเลข 0, 3, 4, 6, 8 โดยแตละหลก ใชตวเลขไมซ ากน จะสรางไดกจ านวน

หลกหนวยใชเลขโดด 0 , 4 , 6 , 8 แยกเปน 2 กรณ

กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 ม 1 วธ หลกพน เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 3, 4, 6 หรอ 8 ม 4 วธ สมมตใช 3 หลกรอย เหลอเลขโดด 3 ตว คอ 4, 6 หรอ 8 ม 3 วธ สมมตใช 4 หลกสบ เหลอเลขโดด 2 ตว คอ 6 หรอ 8 ม 2 วธ

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 4 3 2 1

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 0 คอ 4 × 3 × 2 × 1 = 24 จ านวน กรณท 2 หลกหนวยเปน 4, 6 หรอ 8 ม 3 วธ สมมตใช 4 หลกพน เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 0, 3, 6 หรอ 8 (ใช 0 ไมได

ม 3 วธ สมมตใช 3 หลกรอย เหลอเลขโดด 0 ,6 หรอ 8 ม 3 วธ สมมตใช 0 หลกสบ เหลอเลขโดด 6 หรอ 8 ม 2 วธ

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 3 3 2 3

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 คอ 3 ×3 × 2 × 3 = 54 จ านวน กรณท 1 + กรณท 2 = 24 + 54 = 78 จ านวน

Page 25: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

25

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กฎการบวก ถาการท างานหนงมวธการท า k วธ คอ วธท 1 ถงวธท k โดยท การท างานวธท 1 มวธท า n1 วธ การท างานวธท 2 มวธท า n2 วธ การท างานวธท 3 มวธท า n3 วธ …การท างานวธท k มวธท า nk วธ และวธการ ท างานแตละวธแตกตางกนแลวจ านวนวธการท างานนเทากบ n1 + n2 + n3 + … + nk วธ

1) ตองการสรางจ านวนคบวกสหลกจากตวเลข 0, 3, 4, 6, 8 โดยแตละหลก ใชตวเลขไมซ ากน จะสรางไดกจ านวน (5 คะแนน)

หลกหนวยใชเลขโดด 0 , 4 , 6 , 8 แยกเปน 2 กรณ กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 ม………วธ

หลกพน เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 3, 4, 6 หรอ 8 ม………วธ สมมตใช 3 หลกรอย เหลอเลขโดด 3 ตว คอ 4, 6 หรอ 8 ม………วธ สมมตใช 4 หลกสบ เหลอเลขโดด 2 ตว คอ 6 หรอ 8 ม………วธ

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ …………… …………… …………… ……………

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 0 คอ...........................................= …………………จ านวน กรณท 2 หลกหนวยเปน 4, 6 หรอ 8 ม………วธ สมมตใช 4 หลกพน เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 0, 3, 6 หรอ 8 (ใช 0 ไมได

ม………วธ สมมตใช 3 หลกรอย เหลอเลขโดด 0 ,6 หรอ 8 ม………วธ สมมตใช 0 หลกสบ เหลอเลขโดด 6 หรอ 8 ม………วธ

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ …………… …………… …………… ……………

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 คอ...........................................= …………………จ านวน

กรณท 1 + กรณท 2 = .......................... = ....................... จ านวน

บตรกจกรรมท 1.3 หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

Page 26: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

26

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

2) มเลขโดดอย 5 ตว คอ 0, 3, 4, 6, 7 ถาตองการสรางจ านวนคบวกสามหลก ซงประกอบดวยตวเลขโดดเหลาน โดยแตละหลกใชเลขไมซ ากน จะสรางไดกจ านวน (5 คะแนน)

หลกหนวยใชเลขโดด 0, 4, 6 แยกเปน 2 กรณ กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 ม............ วธ หลกรอย เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 3, 4, 6 หรอ 7 ม............ วธ สมมตใช 3 หลกสบ เหลอเลขโดด 3 ตว คอ 4, 6 หรอ 7 ม............. วธ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 0 คอ .................................................= ........................... จ านวน

กรณท 2 หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 ม........... วธ สมมตใช 4 หลกรอย เหลอเลขโดด 0, 3, 6 หรอ 7 ม........... วธ สมมตใช 3 (ใช 0 ไมได หลกสบ เหลอเลขโดด 0, 6 หรอ 7 ม............ วธ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 คอ .................................................= ........................... จ านวน จ านวนคบวกสามหลกโดยแตละหลกใชเลขไมซ ากน จะสรางได กรณท 1 + กรณท 2 = ...................... = ........................ จ านวน

Page 27: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

27

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

แบบทดสอบระหวางเรยนชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองเพยงขอเดยว แลวท าเครองหมาย () ลงในกระดาษค าตอบ 1. หองเรยนหองหนงมนกเรยน 30 คน ตองการเลอกหวหนาหองและรองหวหนาหองต าแหนงละคน จะมวธเลอกทงหมดกวธ ก. 30 วธ ข. 59 วธ ค. 870 วธ ง. 900 วธ

2. ตองการสงจดหมาย 6 ฉบบลงในตไปรษณย 4 ต จะมวธสงไดทงหมดกวธ ก. 3,600 วธ ข. 4,096 วธ ค. 5,200 วธ ง. 6,900 วธ

3. ตองการสรางจ านวนเตมบวกคทมสหลกจากเลขโดด 0 - 9 จะสรางไดทงหมดกจ านวน ก. 3,000 จ านวน ข. 3,500 จ านวน ค. 4,000 จ านวน ง. 4,500 จ านวน 4. ครอบครวหนงมบตร 3 คน ตองการเลอกโรงเรยนใหบตรทง 3 คน เขาเรยนซงมโรงเรยนใหเลอก 7 โรงเรยน ครอบครวน จะมวธจดบตรเขาเรยนในโรงเรยนไดทงหมดกวธ ก. 7 วธ ข. 21 วธ ค. 243 วธ ง. 343 วธ 5. ตองการจดเรยงตวอกษรในค าวา "factor" โดยขนตนดวย f และลงทายดวย r จะมวธจดทงหมดกวธ ก. 12 วธ ข. 24 วธ ค. 72 วธ ง. 120 วธ 6. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จากค าวา "NUMBER" โดยค าทสรางขนอาจไมมความหมาย จะมวธสรางทงหมดกค า ก. 360 ค า ข. 720 ค า ค. 1,296 ค า ง. 1,442 ค า

Page 28: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

28

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

7. บรษทแหงหนงมต าแหนงงานวาง 3 ต าแหนง มผสมคร 7 คน บรษทแหงนจะมวธเลอกคนเขาท างานในต าแหนงทวางไดทงหมดกวธ ก. 21 วธ ข. 35 วธ ค. 70 วธ ง. 210 วธ

8. เลอกนกเรยน 3 คน จาก 5 คน มายนเรยงแถวหนากระดาน จะมวธท าไดทงหมดกวธ ก. 15 วธ ข. 20 วธ ค. 60 วธ ง. 120 วธ

9. มรางวล 2 รางวล คอรางวลเรยนดและรางวลผมคณธรรมและจรยธรรม จะมวธเลอกมอบรางวลใหแกนกเรยน 6 คน ไดทงหมดกวธ ก. 12 วธ ข. 15 วธ ค. 30 วธ ง. 36 วธ

10. ในงานเลยงแหงหนง มอาหารคาว 5 ชนด อาหารหวาน 4 ชนด และผลไม 3 ชนด ผไปในงานเลยงน จะมวธเลอกรบประทานอาหาร และผลไมไดทงหมดกวธ ก. 12 วธ ข. 24 วธ ค. 36 วธ ง. 60 วธ

Page 29: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

29

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กระดาษค าตอบ แบบทดสอบระหวางเรยน

ชอ – นามสกล ..................................................................... ชน ................. เลขท ...........

ขอท ก ข ค ง ขอท ก ข ค ง

1 6

2 7

3 8

4 9

5 10

สรปผลการเรยน

ภาระงาน คะแนน

เตม คะแนนทได

รอยละของคะแนนทได

ผาน ไมผาน

บตรกจกรรมท 1.1 10

บตรกจกรรมท 1.2 10

บตรกจกรรมท 1.3 10

แบบทดสอบ ระหวางเรยนชดท 1

10

Page 30: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

30

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

เฉลยบตรกจกรรมวชาคณตศาสตร เรองความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5

ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

Page 31: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

31

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

1) นกเรยนคนหนงมเสอและกางเกงส าหรบสวมไปเทยวอย 3 ตว และ 2 ตว ตามล าดบ เขาจะสวมเสอและกางเกงไปเทยวเปนชดตางกนไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

นกเรยนคนนมเสอใสอย 3 ตว และเสอแตละตวใสกบกางเกงได 2 ตว

ใชแผนภาพตนไม (Tree Diagram) ดงน ให ส แทน เสอ และ ก แทน กางเกง

ก1 (ส1 , ก1 ส1

ก2 (ส1 , ก2 ก1 (ส2 , ก1

ส2 ก2 (ส2 , ก2 ก1 (ส3 , ก1

ส3 ก2 (ส3 , ก2

จะเหนวา สามารถแตงกายไดทงหมด 6 ชด

เฉลยบตรกจกรรมท 1.1 แผนภาพตนไม (Tree Diagram)

Page 32: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

32

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

2) ในการโยนเหรยญ 2 บาท 1 เหรยญ เหรยญ 5 บาท 1 เหรยญ และเหรยญ 10 บาท 1 เหรยญ พรอมกน 1 ครง ผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดทงหมดมกวธ (2 คะแนน)

ผลทอาจจะเกดขน จากการโยนเหรยญ

อนทหนง

ผลทอาจจะเกดขน จากการโยนเหรยญ

อนทสอง

ผลทอาจจะเกดขน จากการโยนเหรยญ

อนทสาม

ผลทงหมดทอาจจะเกดขนจากการโยน เหรยญทงสามอน

ให H แทน ผลทเกดขนเปนหว และ T แทน ผลทเกดขนเปนกอย

ผลทงหมดทอาจจะเกดขน คอ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

H HHH

T HHT

H HTH

T HTT

H THH

T THT

H TTH

T TTT

T

T

H

H

T

H

Page 33: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

33

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

3) มถนนจากกรงเทพฯ ถง ลพบร 2 สาย และมถนนจากลพบร ถง นครราชสมาอย 3 สาย ถาจะขบรถยนตจากกรงเทพฯ ถงนครราชสมา โดยขบผานลพบร จะใชเสนทางไดทงหมด กเสนทางและเขยนแผนภาพแสดงการเดนทางเพอหาค าตอบ (2 คะแนน) จ านวนวธทจะขบรถจากกรงเทพฯ ถงลพบร ได 2 วธ, จากลพบรไปนครราชสมา ได 3 วธ เขยนแผนภาพตนไม (Tree Diagram) ดงน

ให ล แทน ลพบร และ น แทน นครราชสมา น1

ล1 น2 กรงเทพ ฯ น3 น1

ล2 น2 น3

จะเหนวา สามารถเลอกเสนทางจากกรงเทพฯ ถงนครราชสมา โดยผานลพบรไดทงหมด 6 วธ

4) ถาโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 3 ครง จะไดผลตางๆกนทงหมดกวธ อะไรบาง (2 คะแนน) สามารถเขยนแผนภาพไดดงน

เหรยญท 1 เหรยญท 2 เหรยญท 3 หว หว กอย หว หว กอย กอย หว หว กอย กอย หว กอย กอย ดงนนจะไดจ านวนวธทงหมด 8 วธ คอ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

Page 34: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

34

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

5) ในการแขงขนปงปองคหนงมกตกาวาใครชนะ 2 เกมกอนจะเปนผชนะ จงหาจ านวนวธทงหมดในการหาผชนะของการแขงขนครงน (2 คะแนน)

สมมตให A แขงขนกบ B ถา A ชนะ จะเขยนแทนดวย A และถา B ชนะ จะเขยนแทนดวย B

ใชแผนภาพตนไมชวยในการคด ดงน เกม 1 เกม 2 เกม 3 A A A B เรมตน B A A B B B

จากแผนภาพตนไม จ านวนวธทงหมดในการหาผชนะในการแขงขนครงน คอ 6 วธ

Page 35: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

35

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กฎขอท 1 ถาตองการท างาน 2 อยาง โดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน มวธทจะท างานอยางทสอง ได n2 วธ จ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1n2 วธ

1) นายวฒนาท าขอสอบ 5 ขอ แตละขอมตวเลอก 4 ตวเลอก จงหาวา นายวฒนาจะมวธท าขอสอบดงกลาวไดทงหมดกวธ (2 คะแนน)

นายวฒนาท าขอสอบไดทงหมด 5 ขอ นายวฒนาเลอกตวเลอกในขอสอบแตละขอได 4 วธ นายวฒนามวธท าขอสอบไดทงหมด 4 4 4 4 4 = 1,024 วธ

2) นายด ามเสอ 2 ตว สตางกน และกางเกง 3 ตว สตางกน จงหาจ านวนวธ ทงหมดทนายด าสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กน (2 คะแนน)

นายด ามวธเลอกสวมเสอได 2 วธ และเลอกสวมกางเกงได 3 วธ นายด ามวธสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กนได 2 3 = 6 วธ

3) ในการเลอกตงกรรมการชดหนงจะประกอบไปดวย ประธาน รองประธาน เหรญญก และเลขานการ โดยกรรมการแตละคนจะด ารงต าแหนงไดเพยงต าแหนงเดยวเทานน ถามผสมครทงหมด 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญง 4 คน ผลการเลอกตงกรรมการชดนจะมไดทงหมดกแบบตางกน โดยใหประธานเปนชาย และเลขานการตองเปนหญง (2 คะแนน) ก าหนดประธานเปนชาย และเลขานการตองเปนหญง ต าแหนงประธาน เลอกได 2 วธ (เฉพาะชาย

ต าแหนงเลขานการ เลอกได 4 วธ (เฉพาะหญง ต าแหนงเหรญญก เลอกได 4 วธ (คนทเหลอ ต าแหนงรองประธาน เลอกได 3 วธ (คนทเหลอสดทาย

ดงนน จ านวนวธในการเลอกกรรมการม = 2 × 4 × 4 × 3 = 96 วธ

เฉลยบตรกจกรรมท 1.2 หลกการคณของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

Page 36: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

36

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

กฎขอท 2 ถางานอยางแรกมวธท าได n1 วธ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกมวธ

ทจะท างานอยางทสองได n2 วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกและงานอยาง ทสอง มวธทจะท างานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จ านวน วธทงหมดทจะเลอกท างาน k อยางเทากบ n1n2n3… nK วธ

4) จงน าอกษรจากค าวา SPECIAL มาจดเปนค าใหม โดยไมค านงถงความหมาย จะจดเปนค าทแตกตางกนไดกค า (2 คะแนน)

ต าแหนงท 1 2 3 4 5 6 7 ตวอกษร S P E C I A L เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 7 ตว วางในต าแหนงท 1 ได 7 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 6 ตว วางในต าแหนงท 2 ได 6 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 5 ตว วางในต าแหนงท 3 ได 5 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 4 ตว วางในต าแหนงท 4 ได 4 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 3 ตว วางในต าแหนงท 5 ได 3 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 2 ตว วางในต าแหนงท 6 ได 2 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 1 ตว วางในต าแหนงท 7 ได 1 วธ จ านวนวธทเลอกตวอกษรจาก SPECIAL มาเรยงเปนค าไดทงหมด 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 จ านวน

5) ตองการสรางจ านวนทมสหลก โดยทแตละหลกเลอกมาจากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 9 เมอตองการใหจ านวนทสรางขนเปนจ านวนคและแตละหลกใชตวเลขไมซ ากน (2 คะแนน)

หลกหนวย ใชเลขโดด 1, 3, 5 หรอ 9 ม 4 วธ สมมตใชเลข 1 หลกพน ใชเลขโดด 2, 3, 4, 5 หรอ 9 ม 5 วธ ยกเวน 0 สมมตใชเลข 2 หลกรอย เหลอเลขโดด 0, 3, 4, 5 หรอ 9 ม 5 วธ สมมตใชเลข 0 หลกสบ เหลอเลขโดด 3, 4, 5 หรอ 9 ม 4 วธ หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 5 5 4 4

จ านวนวธทสรางจ านวนค 4 หลกตวเลขไมซ าจากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 9 คอ 5 × 5 × 4 × 4 = 400 จ านวน

Page 37: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

37

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

1) ตองการสรางจ านวนคบวกสหลกจากตวเลข 0, 3, 4, 6, 8 โดยแตละหลก ใชตวเลขไมซ ากน จะสรางไดกจ านวน (5 คะแนน)

หลกหนวยใชเลขโดด 0 , 4 , 6 , 8 แยกเปน 2 กรณ กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 ม 1 วธ

หลกพน เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 3, 4, 6 หรอ 8 ม 4 วธ สมมตใช 3 หลกรอย เหลอเลขโดด 3 ตว คอ 4, 6 หรอ 8 ม 3 วธ สมมตใช 4 หลกสบ เหลอเลขโดด 2 ตว คอ 6 หรอ 8 ม 2 วธ

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 4 3 2 1

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 0 คอ 4 × 3 × 2 × 1 = 24 จ านวน กรณท 2 หลกหนวยเปน 4, 6 หรอ 8 ม 3 วธ สมมตใช 4 หลกพน เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 0, 3, 6 หรอ 8 (ใช 0 ไมได

ม 3 วธ สมมตใช 3 หลกรอย เหลอเลขโดด 0 ,6 หรอ 8 ม 3 วธ สมมตใช 0 หลกสบ เหลอเลขโดด 6 หรอ 8 ม 2 วธ

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 3 3 2 3

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 คอ 3 ×3 × 2 × 3 = 54 จ านวน กรณท 1 + กรณท 2 = 24 + 54 = 78 จ านวน

เฉลยบตรกจกรรมท 1.3 หลกการบวกของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

Page 38: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

38

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

2) มเลขโดดอย 5 ตว คอ 0, 3, 4, 6, 7 ถาตองการสรางจ านวนคบวกสามหลก ซงประกอบดวยตวเลขโดดเหลาน โดยแตละหลกใชเลขไมซ ากน จะสรางไดกจ านวน (5 คะแนน)

หลกหนวยใชเลขโดด 0, 4, 6 แยกเปน 2 กรณ

กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 ม 1 วธ หลกรอย เหลอเลขโดด 4 ตว คอ 3, 4, 6 หรอ 7 ม 4 วธ สมมตใช 3 หลกสบ เหลอเลขโดด 3 ตว คอ 4, 6 หรอ 7 ม 3 วธ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 4 3 1

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 0 คอ 4 × 3 × 1 = 12 จ านวน กรณท 2 หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 ม 2 วธ สมมตใช 4

หลกรอย เหลอเลขโดด 0, 3, 6 หรอ 7 ม 3 วธ สมมตใช 3 (ใช 0 ไมได หลกสบ เหลอเลขโดด 0, 6 หรอ 7 ม 3 วธ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

จ านวนวธ 3 3 2

จ านวนวธทสรางจ านวนค 3 หลก หลกหนวยเปน 4 หรอ 6 คอ 3 × 3 × 2 = 18 จ านวน กรณท 1 + กรณท 2 = 12 + 18 = 30 จ านวน

Page 39: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

39

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

เฉลยแบบทดสอบระหวางเรยนชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ขอท เฉลย 1 ค 2 ข 3 ง 4 ง 5 ข 6 ก 7 ง 8 ค 9 ค 10 ง

แลวพบกน เลมท 2 นะจะ

Page 40: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

40

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

บรรณานกรม บรรณานกรม จกรนทร วรรณโพธกลาง. (2544 . สดยอดค านวณและเทคนคคดลด คณตศาสตร ม.6 เลม 2. กรงเทพฯ: พฒนาการศกษา. ณรงค ปนนมและคณะ. (2537 . คณตศาสตร ม.6 เลม 6. กรงเทพฯ: ภมบณฑต. ทรงวทย สวรรณธาดา. (2542 . คณตศาสตร ม.6. กรงเทพฯ: จนพบลชชง. นพพร แหยมแสง. (2552 . หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 6. กรงเทพฯ: พฒนาคณภาพวชาการ. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2536 . หนงสอเรยนคณตศาสตร ค 016. กรงเทพฯ: โรงพมพครสภาลาดพราว. . (2547 . หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 5. กรงเทพฯ: โรงพมพครสภาลาดพราว. . (2547 . หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 5. กรงเทพฯ: โรงพมพครสภาลาดพราว. สนนทา สนทรประเสรฐ. (2547 . การสรางสอการสอนและนวตกรรมการเรยนร...ส...การพฒนา ผเรยน. ราชบร: ธรรมรกษการพมพ. ส าราญ มแจงและคณะ. (2549 . คณตศาสตรพนฐาน ม.5 เลม 1. กรงเทพฯ: วฒนาพานช. อเนก หรญ. (2539 . คณตศาสตร ค 016. กรงเทพฯ: ฟสกสเซนเตอร. อ าพล ธรรมเจรญ. (2551 . คณตศาสตรเชงการจด. กรงเทพฯ: พทกษการพมพ.

Page 41: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

41

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดกจกรรมการเรยนรวชาคณตศาสตร

ชดก จกรรมการเ รยนร วชาคณตศาสตร เร อง ความนาจะ เปน ชนมธยมศกษาปท 5 ชดน จดท าขนเพอสงเสรมและสนบสนนใหผเรยนทกคน มความสามารถในการเรยนรและพฒนาทกษะวชาคณตศาสตรเกยวกบความนา จะเปน เกดความคดรวบยอดจากเนอหาโดยสรป ฝกการปฏบตจรงเพอใหเกดทกษะการคดค านวณ สรางองคความรดวยตนเอง แกปญหาโดยเนนประสบการณตรง ฝกปฏบตจรงและประเมนตนเอง ตามสาระมาตรฐานการเรยนรคณตศาสตรของหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 เนอหาในชดกจกรรม การเรยนรชดท 1 เนนใหนกเรยนรจกแผนภาพตนไม และกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได ซงประกอบดวย ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ค าแนะน าส าหรบคร จดประสงคการเรยนร ใบความร และแบบทดสอบระหวางเรยนชดท 1

Page 42: ค าน า - mpk.ac.th¹บบฝึก กฎเกณฑ์... · ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ 5 บัตรกิจกรรมที่

11


Related Documents