YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI – IIcontent.lms.sabis.sakarya.edu.tr/Uploads/49856/27323/3-2-proje... · Gantt diyagramından farklı olarak CPM/PERT network kullanmakta ve networkün diyagrama

SAKARYA UNIVERSİTESİ

ENDUSTRI MUHENDISLIĞI

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI – II

PROJE YÖNETİMİ

CPM-I

DERS NOTLARI

CPM (Critical Path Method = Kritik Yol Metodu) Gantt Diyagramı AOA-AON Proje ağı çizimi

ENM 444 ENDÜSTRİYEL PROJE YÖNETİMİ 2


CPM metoduna geçmeden Gantt diyagramı (Bar=Çubuk diyagramı)’na dönecek olursak

Gantt Diyagramı:Gantt diyagramı (Gantt Chart) az aktivitesi olan ve öncellik ilişkileri olan projelerin çizelgelemesi ve planlamasında kullanılan geleneksel yönetim tekniğidir. Bu çizelgeleme tekniği çubuk diyagramı (Bar Chart) olarak da bilinmektedir ve Endüstri mühendisliğinde bir öncü olan Henry Gantt tarafından geliştirilmiştir.İlk ortaya çıktığından beri popüler proje çizelgeleme aracıdır ve günümüzde yaygın olarak

kullanılmaktadır ve Bu derste işleyeceğimiz CPM/PERT tekniğinin direkt öncüsüdür.Analiz edilen proje için Gantt diyagramında her bir aktivite bir çubukla gösterilir.Şekil 8.4 bir ev inşa etme projesinin Gantt diyagramını(çubuk diyagramını) göstermektedir.Bu projeye bakıldığında 7 aktivite vardır. Birinci aktivite (Design house and obtain financing = Evi tasarla ve finansı ayarla) 3 ay sürmekte ve hemen başlayıp 3 ay sonra bitebilmektedir (Hemen başlamalı çünkü gecikirse bütün proje gecikmektedir) . Diyagrama baktığımızda birinci aktivite bittiğinde ikinci (Lay foundation = Temel atmak) aktivite ve üçüncü aktivite( Order and receivematerials = Malzemeleri sipariş ver ve al) başlayabilmektedir. İkinci ve Üçüncü aktivite bittiğinde dördüncü (Build House=Evi inşa et) ve beşinci (Select Paint =Boyayı seç) aktiviteler başlayabilmektedir. Diyagrama bakıldığında ikinci aktivite ertelemeksizin hemen başlamalıdır fakat aktivite üçün 5. ayda bitirilmesi yeterlidir ve 1 ay ertelemeli başlayabilir. Bu süreye bolluk süresi denir. Kritik aktivitelerde (ilerde göreceğimiz gibi) bolluk 0’dır derhal başlamalı ve bitirilmelidir. Bu aktivitelerde gecikme doğrudan bütün projeyi geciktirecektir. Kritik olmayan aktiviteler bollukları kadar ertelenebilmektedir.


Gantt diyagramı proje çizelgelemede görsel görüntü ortaya koyar ve aktivitelerin ne zaman başlayacağını biteceğini ve bazı aktivitelerin projeyi etkilemeden ne kadar gecikebileceğini gösterir. Proje Yöneticisi gantt diyagramını kullanarak projeyi izleyebilir hangi aktivitelerin planlanandan ilerde hangi aktivitelerin planlanandan geride olduğunu görebilir.

ÖRNEK (Ev İnşa etme Projesi)

Aktivite Aktivite tarifi Aktivite

Önceli

Zaman

(ay)

Zaman

(hafta)

1 Evi tasarla ve

finans sağla

- 3 12

2 Temel at 1 2 8

3 Malzemeleri

sipariş et ve

al

1 1 4

4 Evi İnşa et 2,3 3 12

5 Boyayı seç 2,3 1 4

6 Halıyı seç 5 1 4

7 Bitiş işleri 4,6 1 4

1 2

4

3

5 6

71,3

3,1

2,2

Dm1,0

4,3

5,1

6,17,1

BWT PROBLEM Building a HouseAOA Representation

Düğüm Numarası

Aktivite

Aktivite Süresi-ay olarak

1 2

4

3

5 6

71,12

3,4

2,8

Dm1,0

4,12

5,4

6,47,4


Düğüm Numarası

Aktivite

Aktivite Süresi-hafta olarak

1 2

4

3

5 6

71

2

3

Dm1

4

5

67


BWT PROBLEM Building a HouseAON Representation

PROBLEM 1 -BWT

Aşağıdaki aktiviteler için Gantt şeması oluşturun ve proje bitiş süresini gösterin.

Aktivite Aktivite Önceli Zaman(hafta)

1 - 5

2 - 4

3 1 3

4 2 6

Aktivite 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

Haftalar

Gantt şeması yukarıda gösterilmiştir. Zaman hafta olarak verilmiştir. Gantt şemasında Aktiviteler ilk kolonda verilmiştir. Zaman ise yatay olarak verilmiştir.

Aktivite 3 başlamadan önce aktivite 1 bitmelidir. Aktivite 4 başlamadan önce aktivite 2 bitmelidir.Proje süresi 10 haftadır.

GANTT ŞEMASI



PROBLEM 2 -BWT

Aşağıdaki aktiviteler için Gantt şeması oluşturun ve proje bitiş süresini gösterin.


1 - 3

2 - 7

3 1 2

4 2 5

5 2 6

6 4 1

7 5 4

Aktivite 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1

2

3

4

5

6

7

Haftalar

Yukarıdaki Gantt diyagramına bakıldığında (Öncelik kurallarına uygun çizilmiştir) proje 17. haftada sona ermektedir.


PROBLEM 3-BWT

Aşağıdaki aktiviteler için Gantt şeması ve proje ağını oluşturun. Projenin bitiş süresini gösterin.


1 - 4

2 - 7

3 1 8

4 1 3

5 2 9

6 3 5

7 3 2

8 4,5,6 6

9 2 5


Aktivite 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Haftalar

Gantt şeması yukarıdaki gibidir ve proje süresi 23 haftadır. Proje ağı ileride çizilecektir. Kritik yol aşağıda kırmızı çubuklarla gösterilmiştir. Kritik yol 1-3-6-8 yoludur (23 haftadır).

Aktivite 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Haftalar


CPM/PERT

Aktivite süreleri kesin olarak bilinene durumlarda CPM yöntemi projeyi tamamlamak için gerekli süreyi bulmada kullanılır. Aktivite sürelerinin kesin olarak bilinmediği durumlarda PERT ( Program Evaluation and Review Technique = Program değerlendirme ve gözden geçirme tekniği) kullanılır.

CPM ve PERT ayrı ayrı geliştirilselerde gantt diyagramının türevleridir ve birbirlerine benzemektedirler. Gantt diyagramından farklı olarak CPM/PERT network kullanmakta ve networkün diyagrama üstünlüğü öncel ilişkileri networkde görülmektedir. CPM ve PERT birbirine benzediği ve alakalı olduklarından yaygın olarak CPM/PERT olarak geçmektedir.

CPM ve PERT’in amacı çizelgeleme faaliyetlerine analitik anlamlar kazandırmaktır.

CPM ve PERT’i uygulamak için aktivitelerden oluşan bir proje olması gerekir. Bütün aktiviteler bittiğinde proje bitmiş sayılır. Aktivitelerin öncel aktiviteleri vardır ve bunların o aktivite başlamadan bitmesi gerekir. Projelerin iki tip gösterimi vardır. Bunlar AOA (Activity on arc = Aktivite okla gösterilir) ve AON ( Activity on node = Aktivite düğümle gösterilir).

Aşağıda önce AOA (Activity on Arc = Aktiviteler okla gösterilir) çizimlerine değinilecek sonra ise AON (Activity on Node=Aktiviteler düğümle gösterilir) çizimlerine örnek verilecektir.

AOA ağlarını çizmek için gerektiğinde Kukla (Dummy) aktivitelere ihtiyaç duyulmaktadır ve gerektiğinde kukla aktiviteler kullanılabilir.


AOA ağını çizmek dikkat gerektirmektedir.

Network üzerinde herbir aktivite yalnız bir okla gösterilir. Öncel ilişkilerinde bir aktiviteye birden fazla yerde ihtiyaç olursa kukla aktivite işimizi görür.

İki düğüm aynı anda birden fazla okla birleştirilmez, gerekli durumlarda kukla aktiviteyle bu sorun halledilir. Zaten başlangıc ve bitişi aynı olan yalnızca bir aktivite olabilir aksi takdirde hangisini kastettiğimiz belli olmazdı.

Aktivite listesi ve öncel ilişkileri verilen projenin AOA gösterimi aşağıdaki kurallara uyularakhazırlanır.

1.Düğüm 1 projenin başlangıcıdır. Düğüm 1’den çıkan okun ( Aktivitenin ) önceli yoktur.2.En son düğüm projenin bitişini ifade eder ve ağ üzerinde gösterilir.3.Düğümler öyle numaralandırılır ki aktivitenin bitişini gösteren düğümün numarası aktiviteninbaşlangıcını gösteren düğümün numarasından büyük olur.4.Ağ üzerinde bir aktivite birden fazla okla gösterilmez.5.İki düğüm en fazla bir okla birleştirilir.

Kural 4 ve 5’ i ihlal etmemek için aktivite zamanı 0 olan kukla aktiviteler kullanılır.



Yanda-üstteki durumda 1 ile 2’yi birleştiren ok yalnız bir aktivite kastetmelidir. Üstteki durumda bu belli değildir ve gösterim doğru değildir. 1-2 oku A’mıdır B’midir karar verilemez ve her okun yalnız bir aktiviteyi kastetmesi gerekmektedir. Alttaki şekil doğrudur ve her aktivite bir okla gösterilmiştir. 1-3 A’yı, 1-2 B’yi kastetmektedir.


A ve B , C’nin önceli olsun, A ayrıca D’nin de önceli olsun bu durumu nasıl çizebiliriz? Aşağıda hem yanlış hem de doğru gösterimi verilmiştir. Kukla aktiviteye bu gibi durumlarda ihtiyaç vardır.

A

B

C

D

Yanlış gösterim

A

B

D

C

Kukla-1 Doğru gösterim

ÖRNEK:

Philips yeni bir ürün piyasaya sürmek üzeredir (Ürün 3) . 1 birim ürün 3 için, 1 birim ürün 1 ve

bir birim ürün 2 monte edilir. Ürün 1 ve Ürün 2 monte edilmeden önce hammadde alınmalı ve

işçiler eğitilmelidir. Ürün 1 ve Ürün 2 monte edilmeden önce Ürün 2 muayene edilmelidir.

Aktiviteler listesi ve bu aktivitelerin öncelleri ve her aktivitenin süresi aşağıdaki tabloda

verilmiştir.

Aktivite Açıklama En yakın önceller Süre

A İşçi eğitimi - 6

B Hammadde alımı - 9

C Ürün 1’in üretimi A,B 8

D Ürün 2’nin üretimi A,B 7

E Ürün 2’nin muayenesi D 10

F Ürün 1 ve Ürün 2’nin montajı C,E 12

Yukarıdaki projenin ağını çiziniz.


ÇÖZÜM:

Proje ağının çizilmesi (AOA Gösterimi):

C 65

4

Kukla

B

A

2

31

DE

F

Kural 5’i ihlal etmemek için 2-3 düğümleri kukla bir aktiviteyle birleştirilmiştir. ( Kural 5 İki düğüm en fazla bir okla birleştirilir.


AON Gösterimi :

AON gösterimini çizmek AOA gösterimine göre daha kolaydır

Bu gösterimde aktiviteler düğümle gösterilir. 1. Projeye Başlangıç düğümüyle başlanır2. Önceli olmayan aktiviteler başlangıç düğümünden çıkan oklara bağlanır.3. Önceli olan aktiviteler öncellerinden çıkan oklara bağlanır4. Ardılı olmayan aktivitelerin tamamı projenin bitiş düğümüne bağlanır.

Başlangıç ve Bitiş düğümleri dikdörtgenle diğer aktivite düğümleri yuvarlakla gösterilir.

Yukarıdaki örneğin AON gösterimi takibeden slaytta verilmiştir.


Başlangıç Bitiş

A

B

C

D

E F

ÇÖZÜM:

Proje ağının çizilmesi (AON Gösterimi):



PROBLEM 3-BWT

Aşağıdaki aktiviteler için Gantt şeması ve proje ağını oluşturun. Ağdaki her bir yolun uzunluğunu hesaplayın ve kritik yolun uzunluğunu gösterin.


1 - 4

2 - 7

3 1 8

4 1 3

5 2 9

6 3 5

7 3 2

8 4,5,6 6

9 2 5

Gantt şeması ilgili bölümde çizilmişti. Şimdi AOA ve AON gösterimli ağları çizelim.

AOA ve AON ağlarına göre yollar 1-3-7 (14 hafta), 1-3-6-8 (23 hafta), 1-4-8 (17 hafta), 2-5-8 (22 hafta), 2-9 (12 hafta)

En uzun yol 1-3-6-8 (23 hafta) Kritik yoldur. Gantt şemasında bulunduğu gibi.


2

1

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

9

8

BWT PROBLEM-3AOA Representation


1

2

3

4

5

9

6

7

8Başlangıç Bitiş

BWT PROBLEM-3AON Representation


Şebeke Gösterimi

Örnek: Kitabın basılmasıyla ilgili basitleştirilmiş faaliyetler aşağıda verilmiştir. Buna göre projenin şebeke diyagramını oluşturun.

FaaliyetlerÖnceki

Faaliyet(ler)Süre

(hafta)A: Editörün kitap taslağında düzeltmeler yapması -- 3B: Örnek sayfaların hazırlanması -- 2C: Kapak tasarımı -- 4D: Şekillerin hazırlanması -- 3E: Yazarın taslağı ve örnek sayfaları onaylaması A,B 2F: Kitabın dizilmesi E 4G: Yazarın dizilmiş sayfaları kontrol etmesi F 2H: Yazarın şekilleri kontrol etmesi D 1I: Baskı kalıplarının hazırlanması G,H 2J: Kitabın basılması ve ciltlenmesi C,I 4


6G-2

F-443

E-22

H-15

B-2

D-2

1

A-3

C-4

7 I-2

8 9J-4

Dm1-0


PROBLEM 10

Bir çiftlik sahibi elektrik jeneratörü ve su tankı bağlı bir bakım binası yapacaktır. Aktiviteler,

aktivite tarifleri ve tahmine edilen aktivite süreleri tabloda verilmiştir.


Önceli

Aktivite

süresi (hafta)

a Kazı - 2

b Binayı dikmek a 6

c Jeneratörü kur a 4

d Tankı kur a 2

e Bakım ekipmanını kur b 4

f Jeneratör ve tankı binaya

bağla

b,c,d 5

g Boyayı bitir b 3

h Tesisi kontrol et e,f 2

Yukarıdaki problemin AOA ve AON proje ağını çiziniz.

4

1 2

3

56

7

a

b

c

d Dm2

Dm1 e

g

fh

BWT problem-10

AOA (Activity on Arc = Aktiviteler okla gösterilir)

FinishStart a

b

c

d

f h

e

g

BWT PROBLEM-10AON (Activity on Node = Aktivitelere düğümle gösterilir


PROBLEM 12

Lessburgdaki Çifçinin Amerikan Bankası yeni bilgisayarlı muhasebe sistemi kurmayı

planlamaktadır. Banka yönetimi projeyi tamamlamak için gerekli aktivitelere aşağıdaki tablodaki

gibi karar vermiştir. Öncellik ilişkileri ve aktivite zaman tahminleri tablodaki gibidir.

Aktivite süresi tahmini

(hafta)


Önceli

a m b

a İşe Alma - 5 8 17

b Sistem geliştirme - 3 12 15

c Sistem Eğitimi a 4 7 10

d Teçhizat eğitimi a 5 8 23

e Manuel sistem testi b,c 1 1 1

f Ön sistem değiştirme b,c 1 4 13

g Bilgisayar-Personel arayüzü d,e 3 6 9

h Teçhizat ayarlaması d,e 1 2,5 7

i Teçhizat test etme h 1 1 1

j Sistem hata ayıklama ve kurulum f,g 2 2 2

k Teçhizat değiştirme g,i 5 8 11

Yukarıdaki problemin AOA ve AON proje ağını çiziniz.

1

2

3

4 5

6

8

7

9

a

b

c e

f

h

d g Dm1

Dm2

i

k

j

BWT PROBLEM-12AOA Network

Start

Finish

h

a

b

c

d

f

e j

g

i

k



PROBLEM 16: Devlet Üniversitesinin Bilişim teknoloji merkezi ofislerini genişletmeyi

düşünmektedir. Bu nedenle Bates (B) Salonundan daha geniş olan Allen (A) salonuna

geçilecektir. Taşınma Yaz semester’inin sonuyla sonbahar semesterinin başı arasındaki 3 haftalık

arada olacaktır. Taşıyıcılar üniversitenin fiziksel tesislerinden ayarlanacaktır ve mobilya, kitap

kolileri ve akademik kadronun toparlayacağı dosyaları taşıyacaklardır. Merkez ayrıca ofis

bilgisayarlarının zarar görmeden taşınması için yerel bir bilgisayar satış firması ile anlaşmıştır.

Aşağıdaki tabloda aktivitelerin listesi, öncellik ilişkileri ve rassal zaman tahminleri tabloda

verilmiştir:

Aktivite süresi

tahmini (gün)

Aktivite Aktivite tarifi Aktivite Önceli a m b

a A ofislerini paketle - 1 3 5

b A ofislerinin networkunu kur - 2 3 5

c B ofislerini paketle - 2 4 7

d Taşıyıcılar A ofislerini taşır a 1 3 4

e A ofislerini boya ve temizle d 2 5 8

f Bilgisayarları taşı b,e 1 2 2

g Taşıyıcılar B ofislerini taşır b,c,e 3 6 8

h Bilgisayarları kur f 2 4 5

i Akademik personel taşınır ve paketleri açar g 3 4 6

j Akademik personel bilgisayarları kurar ve

ofisi yerleştirir

h,i 1 2 4

1

2 3

4 7

5 6

8 9

a

d

b

f

Dm1

g

h

i

j

c

e


Start Finish

a

b

c

d

g

f

e

i

h

j





PROJE YÖNETİMİ

CPM-II

DERS NOTLARI

CPM (Critical Path Method = Kritik Yol Metodu) Kritik yolun bulunması

Kritik Yol Metodu (CPM) İleriye doğru hesaplama Geriye doğru hesaplama En erken başlama, En erken bitme zamanları En geç başlama, En geç bitme zamanları Serbest sürelerin (bolluk) hesaplanması


Şebeke Gösterimi


FaaliyetlerÖnceki

Faaliyet(ler)Süre



6G-2

F-443

E-22

H-15

B-2

D-2

1

A-3

C-4

7 I-2

8 9J-4


6G-2

F-443

E-22

H-15

B-2

D-2

1

A-3

C-4

7 I-2

8 9J-4

CPM Hesaplamaları

Bunun için şu özel hesaplamalar yapılmalıdır:

1. Projenin tamamlanması için gereken toplam süre

2. Projenin faaliyetlerinin kritik ve kritik olmayan faaliyetler diye sınıflandırılması.

Başlangıç ve bitiş zamanı arasında gevşeklik olmayan faaliyete kritik faaliyet denir.

Projenin zamanında bitebilmesi için her kritik faaliyetin zamanında başlayıp bitmesi gerekmektedir.

CPM Hesaplamaları

Kritik olmayan faaliyetlerde bazı çizelgeleme gevşemelerine izin verilir. Bu sınırlar içerisinde bu faaliyetin başlangıç zamanı farklı olabilir, bu tüm proje süresini etkilemez.

Şebekede düğümlere karşılık gelen olay, gerekli hesaplamaları yapabilmek için, bazı faaliyetlerin bitip başka faaliyetlerin başladığı noktalardır.

CPM Hesaplamaları

j = j olayının (düğümünün) en erken gerçekleşme zamanı

j = j olayının (düğümünün) en geç gerçekleşme zamanı

Dij = (i, j) faaliyetinin süresi

İleriye ve geriye doğru iki türlü hesap yapılır;

• İleriye doğru hesaplama, en erken (j )olay zamanlarını (o düğümde en erken ne zaman bir olay gerçekleşebilir),

• Geriye doğru hesaplama, ise en geç (j ) olay zamanlarını belirler.

CPM Hesaplamaları / İleriye Doğru (En erken)

1. düğümde başlar ve n. düğüme kadar yinelenerek ilerler.

Başlangıç adımı: 1 = 0 olarak al.

j. genel adım: p, q, …, v düğümlerinin (p, j), (q, j), …, (v, j) gelen faaliyetleri ile j. düğüme doğrudan bağlı olduğu verilmişse ve p, q, …, v olaylarının (düğümlerinin) en erken gerçekleşme zamanları daha önce hesaplanmışsa, j olayının en erken gerçekleşme zamanı şu şekilde hesaplanır:

j = maks {p + Dpj, q + Dqj, v + Dvj}

n. düğüme kadar işlemler tekrarlanır.

CPM Hesaplamaları / Geriye Doğru (En geç)

n. düğümde başlar ve 1. düğüme kadar yinelenerek ilerler.

Başlangıç adımı: n = n olarak belirle.

j. genel adım: p, q, …, v düğümlerinin (p, j), (q, j), …, (v, j) çıkan faaliyetleri ile j. düğüme doğrudan bağlı olduğu verilmişse ve p, q, …, v olaylarının (düğümlerinin) en geç gerçekleşme zamanları daha önce hesaplanmışsa, j olayının en geç gerçekleşme zamanı şu şekilde hesaplanır:

j = min {p - Djp, q - Djq, v - Djv}

1 hesaplandığında geriye doğru hesaplama tamamlanır.

CPM Hesaplamaları

(i, j) faaliyeti aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa kritik faaliyettir:

1. i = i (faaliyetin başlangıç düğümündeki değerler)

2. j = j (faaliyetin bitiş düğümündeki değerler)

3. j - i = Dij

Bu üç koşul şunları ifade etmektedir:

• i ve j düğümlerinin en erken ve en geç gerçekleşme zamanları eşittir.

• Bununla birlikte Dij j olayının en geç gerçekleşme zamanı ile i olayının en erken gerçekleşme zamanı arasındaki farka eşittir. Bu üç koşulu sağlamayan bir faaliyet kritik değildir.

1

2

3

B6

4

56

A5

C 3

8D

E2

F

11H12

G1

0

0

5

5

13

13

13

1325

25

8

11

Örnek: Aşağıda verilen şebekenin kritik yolunu belirleyin.


Kritik yol: 1-2-4-5-6, A-D-H faaliyetleriProje süresi = 25 hafta

1

2

3

B6

4

56

A

5

C 3

8

D

E2

F

11H

12

G1

0

0

5

5

13

13

13

1325

25

8

11

Örnek: Zaman çizelgesini oluşturun.

1

2

3

B6

4

56

A

5

C 3

8

D

E2

F11

H12

G10

0

55

1313

1313

2525

811

5 10 15 20 25

A - 5D - 8

H - 12B - 6

C - 3

F - 11

E - 2

G - 1

Kritik

Kritik olmayan


Şebeke Gösterimi


FaaliyetlerÖnceki

Faaliyet(ler)Süre



6G-2

F-443

E-22

H-15

B-2

D-2

1

A-3

C-4

7 I-2

8 9J-4

Dm1-0


6G-2

F-4

43E-2

2

H-1

5B-2

D-2

1

A-3

C-4

7I-2

8 9

J-4

Dm1-0

0

0

3

3

3

3

5

5

9

9

10

2

11

11

13

13

17

17


6G-2

F-4

43E-2

2

H-1

5B-2

D-2

1

A-3

C-4

7I-2

8 9

J-4

Dm1-0

0

0

3

3

3

3

5

5

9

9

10

2

11

11

13

13

17

17



Aktivite Aktivite tarifi Aktivite Önceli Zaman(ay) Zaman(hafta)

1 Evi tasarla ve finans

sağla

- 3 12

2 Temel at 1 2 8

3 Malzemeleri sipariş

et ve al

1 1 4





1 2

4

3

5 6

71,12

3,4

2,8

Dm1,0

4,12

5,4

6,47,4


Düğüm Numarası

Aktivite

Aktivite Süresi

1 2

4

3

5 6

71,12

3,4

2,8

Dm1,0

4,12

5,4

6,47,4


0

0

12

12

20

20

20

20

24

28

32

32 36

36

ORJINAL PROBLEMPROJE SÜRESİ 36 HAFTA

1 2

4

3

5 6

71,12

3,4

2,8

Dm1,0

4,12

5,4

6,47,4


0

0

12

12

20

20

20

20

24

28

32

3236

36

En geç olay (düğüm) zamanı

En erken olay (düğüm) zamanı

Kırmızı Yol = Kritik Yol

1 2

4

3

5 6

71,12

3,4

2,8

Dm1,0

4,12

5,4

6,47,4


0

0

12

12

20

20

20

20

24

28

32

3236

36



PROBLEM 10




Önceli

Aktivite

süresi (hafta)

a Kazı - 2



d Tankı kur a 2


f Jeneratör ve tankı binaya

bağla

b,c,d 5

g Boyayı bitir b 3


Yukarıdaki problemin AOA ve AON proje ağını çiziniz. Kritik yolu bulunuz

4

1 2

3

56

7

A,2

B,6

C,4

D,2 Dm2,0

Dm1,0 E,4

G,3

F,5H,2

BWT problem-10


Aktivite

Süre (hafta)

Düğüm No.

4

1 2

3

56

7

A,2

B,6

C,4

D,2 Dm2,0

Dm1,0 E,4

G,3

F,5H,2

BWT problem-10


8

4

0

0

2

2

8

8

8

8

13

13

15

15

4

1 2

3

56

7

A,2

B,6

C,4

D,2 Dm2,0

Dm1,0 E,4

G,3

F,5H,2

BWT problem-10


8

4

0

0

2

2

8

8

8

8

13

13

15

15

Kritik Yol

4

1 2

3

56

7

A,2

B,6

C,4

D,2 Dm2,0

Dm1,0 E,4

G,3

F,5H,2

BWT problem-10


8

4

0

0

2

2

8

8

8

8

13

13

15

15

Kritik Yol

Kırmızı Yol kritik yoldur. Kritik Yol = A,B,Dm1,F,H yoludur. (Dm1=Dummy 1 = Kukla1)Proje Süresi 15 haftadır.Kritik Aktivitede 1. Başlangıç düğümde En erken ve En geç zamanlar eşittir i = i

2. Bitiş düğümünde En erken ve En geç zamanlar eşittir j = j

3. Bitiş düğümündeki en geç zamanın başlangıç düğümündeki en erken zamandan farkı oaktivitenin süresine eşitse aktivite kritik aktivitedir. j - i = Dij

FinishStart A,2

B,6

C,4

D,2

F,5 H,2

E,4

G,3


FinishStart A,2

B,6

C,4

D,2

F,5 H,2

E,4

G,3


Süre (hafta)

Aktivite

0 2

0 2

ES EF

LS LF

ES = En erken başlama EF = En erken bitişLS = En geç başlama LF= En geç bitişES=LS ise veya EF=LF ise aktivite kritiktirBolluk (Slack,Float) = LS –ES = LF- EF

2 6

4 8

2 8

2 8

2 4

6 8

8 13

8 13

8 12

9 13

13 15

13 15

8 11

12 15

FinishStart A,2

B,6

C,4

D,2

F,5 H,2

E,4

G,3


Süre (hafta)

Aktivite

0 2

0 2

ES EF

LS LF


2 6

4 8

2 8

2 8

2 4

6 8

8 13

8 13

8 12

9 13

13 15

13 15

8 11

12 15

FinishStart A,2

B,6

C,4

D,2

F,5 H,2

E,4

G,3


Süre (hafta)

Aktivite

0 2

0 2

2 6

4 8

2 8

2 8

2 4

6 8

8 13

8 13

8 12

9 13

13 15

13 15

8 11

12 15

S değerleri Bolluk değerleridir.Kırmızı yol kritik yoldur. Kritik Yol = A,B,F,H yoludurProjenin Bitiş süresi 15 haftadır.

S=0

S=4

S=0

S=2 S=0

S=1

S=0

S=4


PROBLEM 12: Lessburgdaki Çifçinin Amerikan Bankası yeni bilgisayarlı muhasebe sistemi

kurmayı planlamaktadır. Banka yönetimi projeyi tamamlamak için gerekli aktivitelere aşağıdaki

tablodaki gibi karar vermiştir. Öncellik ilişkileri ve aktivite zaman tahminleri tablodaki gibidir.

Aktivite süresi tahmini (hafta)


Önceli

a m b Mean=

(a+4m+b)/6

a İşe Alma - 5 8 17 9b Sistem geliştirme - 3 12 15 11c Sistem Eğitimi a 4 7 10 7d Teçhizat eğitimi a 5 8 23 10e Manuel sistem testi b,c 1 1 1 1f Ön sistem değiştirme b,c 1 4 13 5g Bilgisayar-Personel arayüzü d,e 3 6 9 6h Teçhizat ayarlaması d,e 1 2,5 7 3i Teçhizat test etme h 1 1 1 1j Sistem hata ayıklama ve

kurulum

f,g 2 2 2

2k Teçhizat değiştirme g,i 5 8 11 8

Yukarıdaki problemin AOA ve AON proje ağını çiziniz. Kritik yolu bulunuz. Aktivite sürelerini Mean (Ortalama) süreler olarak alın ve CPM yöntemine göre çözünüz.

1

2

3

4 5

6

8

7

9

A,9

B,11

C,7 E,1

F,5

H,3

D,10 G,6 Dm1,0

Dm2,0

İ,1

K,8

J,2


0

0

9

9

18

16

19

19

24

22

25

2531

25

25

25

33

33

1

2

3

4 5

6

8

7

9

A,9

B,11

C,7 E,1

F,5

H,3

D,10 G,6 Dm1,0

Dm2,0

İ,1

K,8

J,2


0

0

9

9

18

16

19

19

24

22

25

2531

25

25

25

33

33

Aşağıdaki kırmızı yol kritik yoldur. Kritik Yol = A,D,G,Dm2,K yoludur.Projenin tamamlanma süresi 33 haftadır.

Start

Finish

h

a

b

c

d

f

e j

g

i

k


Start

Finish

H,3

A,9

B,11

C,7

D,10

F,5

E,1 J,2

G,6

İ,1

K,8


ES EF

LS LF


Süre (hafta)

Aktivite

Start

Finish

H,3

A,9

B,11

C,7

D,10

F,5

E,1 J,2

G,6

İ,1

K,8


ES EF

LS LF


Süre (hafta)

Aktivite

0 9

0 9

0 11

7 18

9 19

9 19

9 16

11 18

16 17

18 19

16 21

26 31

19 22

21 24 22 23

24 25

19 25

19 25

25 33

25 33

25 27

31 33

Start

Finish

H,3

A,9

B,11

C,7

D,10

F,5

E,1 J,2

G,6

İ,1

K,8


Süre (hafta)

Aktivite

0 9

0 9

0 11

7 18

9 19

9 19

9 16

11 18

16 17

18 19

16 21

26 31

19 22

21 24 22 23

24 25

19 25

19 25

25 33

25 33

25 27

31 33

Aşağıdaki networkde proje tamamlanma süresi 33 haftadır.Kırmızı Yol = Kritik Yol = a,d,g,k yoludur.




PROJE YÖNETİMİ

CPM-III

DERS NOTLARI

CPM (Critical Path Method = Kritik Yol Metodu) Bollukların Hesaplanması

1

2

3

B6

4

56

A5

C 3

8D

E2

F

11H12

G1

0

0

5

5

13

13

13

1325

25

8

11



Kritik yol: 1-2-4-5-6, A-D-H faaliyetleriProje süresi = 25 hafta

1

2

3

B6

4

56

A

5

C 3

8

D

E2

F

11H

12

G1

0

0

5

5

13

13

13

1325

25

8

11

Örnek: Zaman çizelgesini oluşturun.

1

2

3

B6

4

56

A

5

C 3

8

D

E2

F11

H12

G10

0

55

1313

1313

2525

811

5 10 15 20 25

A - 5D - 8

H - 12B - 6

C - 3

F - 11

E - 2

G - 1

Kritik

Kritik olmayan

• Kritik faaliyetler zamanında başlamalı ve bitmelidir.

• Kritik olmayan faaliyetlerin mümkün olduğunca erken başlaması tercih edilir. Bu durumda beklenmedik gecikmeler için süre bollukları kullanılabilecektir.

• Bununla birlikte bir faaliyeti en erken başlama zamanından geciktirmek gerekebilir. Örneğin E ve F faaliyetlerin her birinde buldozer kullanmak gerektiğini ve sadece bir buldozer olduğunu varsayalım. E ve F mümkün olduğunca erken çizelgelenirse 8-10 günlerinde 2 buldozer gerekecektir. Bu çakışmayı, E’yi 8. günde başlatarak ve F’yi 10 ile 14 arası bir güne öteleyerek giderebiliriz.

Bollukların Belirlenmesi

Bolluklar, kritik olmayan bir faaliyetin aralığı içerisindeki gevşek/serbest zamanlardır. En çok bilinen bolluklar toplam bolluk (TF) ve serbest bolluk (FF) tur.

CPM hesaplamaları ile aşağıdakiler bulunmuştu:

Bir olayın en erken başlama zamanı (Early Start) =

ES = i

Bir olayın en geç bitme zamanı (Latest Finish) =

LF = j

Bollukların Belirlenmesi

Bunlara bağlı olarak aşağıdakiler bulunabilir:

Bir faaliyetin en erken bitme zamanı (Earliest Finish): EF = ES + Dij

Bir faaliyetin en geç başlama zamanı (Latest Start): LS = LF - Dij

Bir faaliyetin toplam boşluğu (Total Float)

TF = LF – ES – Dij = LF – EF = LS – ES

Bir faaliyetin serbest boşluğu (Free Float)

FF = j – i – Dij

• Bir olayın en erken başlama

zamanı (Early Start) = ES = i

• Bir olayın en geç bitme zamanı

(Latest Finish) = LF = j

TFij = j - i – Dij

i

j

j

FFij = j - i – Dij

i jDij

Faaliyet Süre ES EF LS LF TF FFA 5 0 5 0 5 0 0B 6 0 6 5 11 5 2C 3 5 8 8 11 3 0D 8 5 13 5 13 0 0E 2 8 10 11 13 3 3F 11 8 19 14 25 6 6G 1 13 14 24 25 11 11H 12 13 25 13 25 0 0

Kritik faaliyetler

Ele aldığımız örnek ile ilgilihesaplamalar aşağıdaverilmiştir.

1

2

3

B6

4

56

A

5

C 3

8

D

E2

F

11H

12G

10

0

5

5

13

13

13

1325

25

8

11

TF = (LF–EF)=(LS–ES)

FF = j – i – Dij

Acil uyarı kuralı:

Eğer FFij = TFij ise bu faaliyet, çizelge çelişkisine neden olmayacak şekilde kendi (i - j) aralığında herhangi bir yerde çizelgelenebilir.

Eğer FFij ≤ TFij ise, faaliyetin başlaması faaliyetin en erken başlama zamanına göre (i), FFij’den büyük olmayacak ve çizelge çelişkisine neden olmayacak şekilde geciktirilebilir.

FFij’den büyük (ancak TFij’den büyük olmayan) bir gecikme, j düğümünü terk eden tüm faaliyetlerin başlama zamanındaki j’ye göre eşit bir gecikme ile eşleştirilmelidir.

Faaliyet Süre TF FFA 5 0 0B 6 5 2C 3 3 0D 8 0 0E 2 3 3F 11 6 6G 1 11 11H 12 0 0

Kritik faaliyetlerFF < TF olan faaliyetler

1

2

3

B6

4

56

A

5

C 3

8

D

E2

F

11H

12G

10

0

5

5

13

13

13

1325

25

8

11

B’nin serbest bolluğu 2 gün olduğundan B’nin başlangıcı 0 ile 2. gün arasında olursa E ve F etkilenmez.

Eğer B faaliyeti 2 ile 5 (= TF) arası bir zamanda başlarsa, en erken başlama zamanında (= 8) başlayamayacak olan E ve F faaliyetleri de aynı miktarda ötelenmek zorundadır.

Faaliyet Süre TF FFA 5 0 0B 6 5 2C 3 3 0D 8 0 0E 2 3 3F 11 6 6G 1 11 11H 12 0 0

Kritik faaliyetlerFF < TF olan faaliyetler

1

2

3

B6

4

56

A

5

C 3

8

D

E2

F

11H

12G

10

0

5

5

13

13

13

1325

25

8

11

C faaliyetinin serbest bolluğu ise 0’dır. Buna göre en erken başlama zamanında (= 5) başlamamış olan C’nin başlangıcındaki bir gecikme, C faaliyetini izleyen E ve F faaliyetlerinin başlangıcında en az C’nin gecikmesine eşdeğer bir gecikmeyle sebep olur.


Şebeke Gösterimi


FaaliyetlerÖnceki

Faaliyet(ler)Süre



6G-2

F-443

E-22

H-15

B-2

D-2

1

A-3

C-4

7 I-2

8 9J-4

Dm1-0


6G-2

F-4

43E-2

2

H-1

5B-2

D-2

1

A-3

C-4

7I-2

8 9

J-4

Dm1-0

0

0

3

3

3

3

5

5

9

9

10

2

11

11

13

13

17

17

Bir olayın en erken başlama zamanı (Early Start) = ES = i

Bir olayın en geç bitme zamanı (Latest Finish) = LF = j



Bir faaliyetin toplam boşluğu (Total Float) = TF = LF – ES – Dij = LF – EF = LS – ES

Bir faaliyetin serbest boşluğu (Free Float) = FF = j – i – Dij

Faaliyet Süre ES = i EF LS LF = j TF FF

A 3 0 3 0 3 0 0

B 2 0 2 1 3 1 1

C 4 0 4 9 13 9 9

D 2 0 2 8 10 8 0Dm1

(Dummy= Kukla) 0 3 3 3 3 0 0

E 2 3 5 3 5 0 0

F 4 5 9 5 9 0 0

G 2 9 11 9 11 0 0

H 1 2 3 10 11 8 8

I 2 11 13 11 13 0 0

J 4 13 17 13 17 0 0

Kritik faaliyetler



Önceli

Zaman(a

y)

Zaman(h

afta)

1 Evi tasarla ve

finans sağla

- 3 12

2 Temel at 1 2 8

3 Malzemeleri

sipariş et ve

al

1 1 4





1 2

4

3

5 6

71,12

3,4

2,8

Dm1,0

4,12

5,4

6,47,4


0

0

12

12

20

20

20

20

24

28

32

3236

36



1 12 0 12 0 12 0 0

2 8 12 20 12 20 0 0Dm1

(Dummy= Kukla) 0 20 20 20 20 0 0

3 4 12 16 16 20 4 4

4 12 20 32 20 32 0 0

5 4 20 24 24 28 4 0

6 4 24 28 28 32 4 4

7 4 32 36 32 36 0 0

Kritik faaliyetler








PROBLEM 10



Aktivite Aktivite tarifi Aktivite Önceli Aktivite süresi

(hafta)

a Kazı - 2



d Tankı kur a 2


f Jeneratör ve tankı binaya bağla b,c,d 5

g Boyayı bitir b 3


Yukarıdaki problemin AOA ve AON proje ağını çiziniz. Kritik yolu bulunuz

4

1 2

3

56

7

A,2

B,6

C,4

D,2 Dm2,0

Dm1,0 E,4

G,3

F,5H,2

BWT problem-10


8

4

0

0

2

2

8

8

8

8

13

13

15

15

Kritik Yol

Kırmızı Yol kritik yoldur. Kritik Yol = A,B,Dm1,F,H yoludur. (Dm1=Dummy 1 = Kukla1)Proje Süresi 15 haftadır.Kritik Aktivitede 1. Başlangıç düğümde En erken ve En geç zamanlar eşittir i = i

2. Bitiş düğümünde En erken ve En geç zamanlar eşittir j = j

3. Bitiş düğümündeki en geç zamanın başlangıç düğümündeki en erken zamandan farkı oaktivitenin süresine eşitse aktivite kritik aktivitedir. j - i = Dij


A 2 0 2 0 2 0 0

B 6 2 8 2 8 0 0

C 4 2 6 4 8 2 2

D 2 2 4 6 8 4 0Dm1

(Dummy= Kukla) 0 8 8 8 8 0 0Dm2

(Dummy= Kukla) 0 4 4 8 8 4 4

E 4 8 12 9 13 1 1

F 5 8 13 8 13 0 0

G 3 8 11 12 15 4 4

H 2 13 15 13 15 0 0

Kritik faaliyetler







FinishStart A,2

B,6

C,4

D,2

F,5 H,2

E,4

G,3


FinishStart A,2

B,6

C,4

D,2

F,5 H,2

E,4

G,3


Süre (hafta)

Aktivite

0 2

0 2

ES EF

LS LF


2 6

4 8

2 8

2 8

2 4

6 8

8 13

8 13

8 12

9 13

13 15

13 15

8 11

12 15

FinishStart A,2

B,6

C,4

D,2

F,5 H,2

E,4

G,3


Süre (hafta)

Aktivite

0 2

0 2

2 6

4 8

2 8

2 8

2 4

6 8

8 13

8 13

8 12

9 13

13 15

13 15

8 11

12 15

S değerleri Bolluk değerleridir.Kırmızı yol kritik yoldur. Kritik Yol = A,B,F,H yoludurProjenin Bitiş süresi 15 haftadır.

S=0

S=4

S=0

S=2 S=0

S=1

S=0

S=4


PROBLEM 12

Lessburgdaki Çifçinin Amerikan Bankası yeni bilgisayarlı muhasebe sistemi kurmayı

planlamaktadır. Banka yönetimi projeyi tamamlamak için gerekli aktivitelere aşağıdaki tablodaki

gibi karar vermiştir. Öncellik ilişkileri ve aktivite zaman tahminleri tablodaki gibidir.

Aktivite süresi tahmini (hafta)


Önceli

a m b Mean=

(a+4m+b)/6

a İşe Alma - 5 8 17 9b Sistem geliştirme - 3 12 15 11c Sistem Eğitimi a 4 7 10 7d Teçhizat eğitimi a 5 8 23 10e Manuel sistem testi b,c 1 1 1 1f Ön sistem değiştirme b,c 1 4 13 5g Bilgisayar-Personel arayüzü d,e 3 6 9 6h Teçhizat ayarlaması d,e 1 2,5 7 3i Teçhizat test etme h 1 1 1 1j Sistem hata ayıklama ve

kurulum

f,g 2 2 2

2k Teçhizat değiştirme g,i 5 8 11 8

Yukarıdaki problemin AOA ve AON proje ağını çiziniz. Kritik yolu bulunuz. Aktivite sürelerini Mean (Ortalama) süreler olarak alın.

1

2

3

4 5

6

8

7

9

A,9

B,11

C,7 E,1

F,5

H,3

D,10 G,6 Dm1,0

Dm2,0

İ,1

K,8

J,2


0

0

9

9

18

16

19

19

24

22

25

2531

25

25

25

33

33

Aşağıdaki kırmızı yol kritik yoldur. Kritik Yol = A,D,G,Dm2,K yoludur.Projenin tamamlanma süresi 33 haftadır.


A 9 0 9 0 9 0 0

B 11 0 11 7 18 7 5

C 7 9 16 11 18 2 0

D 10 9 19 9 19 0 0

E 1 16 17 18 19 2 2

F 5 16 21 26 31 10 4

G 6 19 25 19 25 0 0

H 3 19 22 21 24 2 0

I 1 22 23 24 25 2 2Dm1

(Dummy= Kukla) 0 25 25 31 31 6 0Dm2

(Dummy= Kukla) 0 25 25 25 25 0 0

J 2 25 27 31 33 6 6

K 8 25 33 25 33 0 0

Kritik faaliyetler







Start

Finish

H,3

A,9

B,11

C,7

D,10

F,5

E,1 J,2

G,6

İ,1

K,8


ES EF

LS LF


Süre (hafta)

Aktivite

0 9

0 9

0 11

7 18

9 19

9 19

9 16

11 18

16 17

18 19

16 21

26 31

19 22

21 24 22 23

24 25

19 25

19 25

25 33

25 33

25 27

31 33

Start

Finish

H,3

A,9

B,11

C,7

D,10

F,5

E,1 J,2

G,6

İ,1

K,8


Süre (hafta)

Aktivite

0 9

0 9

0 11

7 18

9 19

9 19

9 16

11 18

16 17

18 19

16 21

26 31

19 22

21 24 22 23

24 25

19 25

19 25

25 33

25 33

25 27

31 33

Aşağıdaki networkde proje tamamlanma süresi 33 haftadır.Kırmızı Yol = Kritik Yol = a,d,g,k yoludur. S değerleri bolluk değerleridir.

S=0

S=7

S=0

S=10

S=2 S=2 S=6

S=2

S=0

S=2

S=0




PROJE YÖNETİMİ

CPM-IV

DERS NOTLARI

CPM (Critical Path Method = Kritik Yol Metodu) Örnekler Ağ çizimi Kritik yol bulunması Bollukların Hesaplanması


PROBLEM 16

Devlet Üniversitesinin Bilişim teknoloji merkezi ofislerini genişletmeyi düşünmektedir. Bu nedenle Bates (B)

Salonundan daha geniş olan Allen (A) salonuna geçilecektir. Taşınma Yaz semester’inin sonuyla sonbahar

semesterinin başı arasındaki 3 haftalık arada olacaktır. Taşıyıcılar üniversitenin fiziksel tesislerinden

ayarlanacaktır ve mobilya, kitap kolileri ve akademik kadronun toparlayacağı dosyaları taşıyacaklardır. Merkez

ayrıca ofis bilgisayarlarının zarar görmeden taşınması için yerel bir bilgisayar satış firması ile anlaşmıştır.

Aşağıdaki tabloda aktivitelerin listesi, öncellik ilişkileri ve rassal zaman tahminleri tabloda verilmiştir:

Aktivite süresi tahmini (gün)


Önceli

a

(iyimser)

m

(muhtemel)

b

(kötümser)

a A ofislerini paketle - 1 3 5

b A ofislerinin networkunu kur - 2 3 5

c B ofislerini paketle - 2 4 7

d Taşıyıcılar A ofislerini taşır a 1 3 4

e A ofislerini boya ve temizle d 2 5 8

f Bilgisayarları taşı b,e 1 2 2

g Taşıyıcılar B ofislerini taşır b,c,e 3 6 8

h Bilgisayarları kur f 2 4 5

i Akademik personel taşınır ve paketleri açar g 3 4 6

j Akademik personel bilgisayarları kurar ve

ofisi yerleştirir

h,i 1 2 4

Yukarıdaki problemde Aktivite sürelerinden muhtemel süreleri kesin süreler gibi düşünün. Problemi CPM yöntemiyle çözün, Proje Ağını oluşturun, Kritik yolu bulun ve bollukları hesaplayın.

1

2 3

4 7

5 6

8 9

A,3

D,3

B,3

F,2

Dm1,0

G,6

H,4

İ,4

J,2

C,4

E,5


0

0

3

36

6

11

11

11

1117

13

17

17

21

21

23

23

1

2 3

4 7

5 6

8 9

A,3

D,3

B,3

F,2

Dm1,0

G,6

H,4

İ,4

J,2

C,4

E,5


0

0

3

36

6

11

11

11

1117

13

17

17

21

21

23

23

Kırmızı Yol kritik yoldur.Kritik Yol = a,d,e,Dm1,g,i,j yoludur.Proje Süresi 23 gündür


A 3 0 3 0 3 0 0

B 3 0 3 8 11 8 8

C 4 0 4 7 11 7 7

D 3 3 6 3 6 0 0

E 5 6 11 6 11 0 0

F 2 11 13 15 17 4 0Dm1

(Dummy= Kukla) 0 11 11 11 11 0 0

G 6 11 17 11 17 0 0

H 4 13 17 17 21 4 4

İ 4 17 21 17 21 0 0

J 2 21 23 21 23 0 0

Kritik faaliyetler







Start Finish

A,3

B,3

C,4

D,3

G,6

F,2

E,5

İ,4

H,4

J,2


Start Finish

A,3

B,3

C,4

D,3

G,6

F,2

E,5

İ,4

H,4

J,2


ES EF

LS LF


0 4

7 11

0 3

8 11

0 3

0 3

3 6

3 6

11 17

11 17

6 11

6 11

11 13

15 17

13 17

17 21

17 21

17 21

21 23

21 23

Start Finish

A,3

B,3

C,4

D,3

G,6

F,2

E,5

İ,4

H,4

J,2

BWT PROBLEM-16AON Representation0 4

7 11

0 3

8 11

0 3

0 3

3 6

3 6

11 17

11 17

6 11

6 11

11 13

15 17

13 17

17 21

17 21

17 21

21 23

21 23

Kırmızı Yol kritik yoldur.Kritik Yol = a,d,e,g,i,j yoludur.

Start Finish

A,3

B,3

C,4

D,3

G,6

F,2

E,5

İ,4

H,4

J,2

BWT PROBLEM-16AON Representation0 4

7 11

0 3

8 11

0 3

0 3

3 6

3 6

11 17

11 17

6 11

6 11

11 13

15 17

13 17

17 21

17 21

17 21

21 23

21 23

Kırmızı Yol kritik yoldur.Kritik Yol = a,d,e,g,i,j yoludur.S değerleri bolluk değerleridir.

S=0 S=0

S=7

S=8

S=0

S=0

S=0

S=4

S=4

S=0

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI – IIcontent.lms.sabis.sakarya.edu.tr/Uploads/49856/27323/3-2-proje... · Gantt diyagramından farklı olarak CPM/PERT network kullanmakta ve networkün diyagrama

Documents