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Www. Cours Mpsi Chap05

Dec 13, 2015

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  • Document cr le 22 novembre 2013 Lien vers la dernire mise jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

    Chapitre 5

    Techniques danalyse (intgration)

    Sommaire5.1 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    5.1.1 Primitives dune fonction numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.1.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.3 Reconnatre la drive dune compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.4 Primitivation de x 7 px+ q

    ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.2 Intgration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    5.2.1 Intgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.2.2 Intgration et fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.3 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.4 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.5 Utilisation de la parit ou de la priodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    5.3 Complments sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.3.1 Primitives de sinp(x) cosq(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.3.2 Primitives de P (x) eax (et associes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.3.3 Utilisation de rcurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.3.4 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.5 Fractions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.3.6 Primitives avec radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    5.4 Extension aux fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4.1 Fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4.2 Drive et intgrale des fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.4.3 Extension des rsultats relatifs aux fonctions relles . . . . . . . . . . . . . . . 1585.4.4 Cas de la fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    5.5 quations diffrentielles y + a(x)y = b(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.5.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.5.2 Rsolution de lquation homogne y + a(x)y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.5.3 Rsolution de lquation y + a(x)y = b(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.5.4 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.5.5 Mthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.5.6 Problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    5.6 quations diffrentielles du 2nd ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6.2 Rsolution de lquation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

  • 5.1 Calculs de primitives Chapitre 5 : Techniques danalyse (intgration)

    5.6.3 Forme des solutions de lquation complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.6.4 Problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.6.5 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    5.1 Calculs de primitives

    5.1.1 Primitives dune fonction numriqueDans cette section, I est un intervalle de R, dintrieur non vide.

    Dfinition 5.1.1 (primitive sur un intervalle)Soit f une fonction de I dans R. On dit quune fonction F : I R est une primitive de f sur I si Fest drivable sur I et si, pour tout x de I, on a : F (x) = f(x).

    Proposition 5.1.1 (relation entre les primitives dune mme fonction)Soit f : I R une fonction numrique, et soit F une primitive de f sur I.Les primitives de f sur I sont les fonctions x 7 G(x) = F (x) + , avec dans R.Pour tout a de I, et tout y0 dans R, il existe une unique primitive G de f telle que G(a) = b.

    Remarques

    Les primitives de f sur I sont dfinies une constante additive prs .

    On note souventf(x) dx = F (x) + pour dsigner lensemble des primitives de f sur I.

    On dit alors communment que est la constante dintgration .

    Par exemple

    cos(x) dx = sin(x) + dsigne lensemble des primitives de x 7 sin(x) sur R.Dans cette notation, x joue le rle de variable muette . Le symbole choisi na pas dimportancedans la mesure o il ne cre pas dambiguit.

    Soit f : I R une fonction numrique. Soit F et G deux primitives de f sur I.Si on souhaite dterminer la constante telle que G = F + , il suffit de calculer G(a) F (a) en unpoint de I (ou de calculer la diffrence des limites de F et G en une extrmit de I).

    Le calcul de primitives seffectue toujours sur un intervalle.

    Par exemple, parler des primitives de x 7 1x

    sur R na aucun sens.

    Supposons par exemple que f soit dfinie sur la runion D = I J de deux intervalles disjoints.Supposons galement que F et G soient drivables sur D et que : x D, F (x) = G(x) = f(x).Dune part : R, x I, G(x) = F (x) + . Dautre part : R, x J, G(x) = F (x) + .Mais en aucun cas, on ne peut affirmer que les constantes et sont gales.

    Mathmatiques en MPSI Jean-Michel Ferrard

    mathprepa.fr Page 146

  • 5.1 Calculs de primitives Chapitre 5 : Techniques danalyse (intgration)

    5.1.2 Primitives usuellesVoici un mmento des primitives x 7 F (x) dune fonction numrique x 7 f(x), dans les cas usuels .Les rsultats qui figurent dans le tableau suivant doivent donc tre connus par cur .

    f(x) F (x) sur f(x) F (x) sur

    x, ( 6= 1) x+1

    + 1 R+ 1

    1 + x2 arctan x R

    1x

    ln |x| R, R+ 11 x212 ln

    1 + x1 x x 6= 1

    ex ex R 11 + x2

    ln(x+

    1 + x2)

    R

    ax (a 6= 1) ax

    ln a R1

    1 x2 arcsin(x) ]1, 1 [

    sin(x) cos(x) R 1x2 1 ln

    x+x2 1 |x| > 1cos(x) sin(x) R tan(x) ln |cos(x)| x 6= pi2 + kpi

    sh(x) ch(x) R 1sin(x) lntan(x2

    ) x 6= kpich(x) sh(x) R 1cos(x) ln

    tan(x2 + pi4) x 6= pi2 + kpi

    1cos2(x) tan(x) x 6=

    pi

    2 + kpi1

    ch2(x)th (x) R

    1sin2(x)

    1tan (x) x 6= kpi

    1sh2(x)

    1th (x) R+, R

    Remarque : sif(x) dx = F (x) + , alors

    f(ax+b) dx = 1

    aF (ax+b) + .

    Par exemple :

    (ax+ b) dx = 1a

    (ax+ b)+1 + 1 +

    dxax+ b =

    1a

    ln |ax+ b|+

    cos(ax+b) dx = 1a

    sin(ax+b) +

    eax dx = 1a

    eax +

    5.1.3 Reconnatre la drive dune composeSoit f : I R une fonction numrique, et soit : J R une fonction drivable, telle que (J) I.Soit F une primitive de f sur I. Alors F est une primitive de (f ) sur J .On peut donc crire directement :

    f((x))(x) dx = (F )(x) +

    Voici trois situations classiques :(x) e(x) dx = e(x) +

    (x)(x) dx = ln |(x)|+

    (x)r(x) dx =

    r+1(x)r + 1 +

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  • 5.2 Intgration sur un segment Chapitre 5 : Techniques danalyse (intgration)

    5.1.4 Primitivation de x 7 px+ qax2 + bx+ c

    Les deux rsultats ci-dessous sont utiles connatre : dxx2 + a2 =

    1a

    arctan xa

    + dxx2 a2 =

    12a ln

    x ax+ a+

    Plus gnralement, soit la fonction numrique f : x 7 px+ qax2 + bx+ c , o p, q, a, b, c sont rels (et a 6= 0).

    On veut calculerf(x) dx, sur un intervalle I o le dnominateur de f ne sannule pas.

    La premire ide est dcrire : f(x) = p2a

    ( 2ax+ bax2 + bx+ c

    )+(q pb2a

    ) 1ax2 + bx+ c .

    Cette dcomposition permet dutiliser 2ax+ bax2 + bx+ c dx = ln

    ax2 + bx+ c+ .Il reste donc calculer

    dxax2 + bx+ c .

    Pour cela, on utilise la forme canonique , et le discriminant = b2 4ac.

    ax2 + bx+ c = a(x2 + b

    ax+ c

    a

    )= a

    ((x+ b2a

    )2 b

    2

    4a2 +c

    a

    )= a

    ((x+ b2a

    )2 4a2

    )Suivant le signe de , on est donc ramen lune des trois situations suivantes :

    Si > 0 : dx

    (x+ )2 2 =1

    2 lnx+ x+ +

    + Si = 0 :

    dx(x+ )2 =

    1x+ +

    Si < 0 : dx

    (x+ )2 + 2 =1

    arctan x+

    +

    5.2 Intgration sur un segment

    5.2.1 Intgrale dune fonction continueNous admettrons le rsultat suivant :

    Proposition 5.2.1Si f : I R est une fonction continue, elle admet des primitives sur I.

    Remarque : la rciproque de la proprit prcdente est fausse (il existe des fonctions numriques quiadmettent des primitives sur un intervalle I sans tre continues en tout point de I) mais la question estrelativement difficile et elle est hors-programme.

    Dfinition 5.2.1 (intgrale dune fonction continue sur un segment)Soit f : I R une fonction numrique continue. Soit a, b deux lments de I.On note

    baf(x) dx la quantit F (b) F (a), o F est une primitive quelconque de f sur I.

    Cette quantit est appele intgrale de f sur le segment [a, b] (ou entre a et b ).

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  • 5.2 Intgration sur un segment Chapitre 5 : Techniques danalyse (intgration)

    Remarques Si f vaut constamment sur I, alors on a :

    baf(x) dx = (b a).

    La quantit F (b) F (a), note[F (x)

    ]ba, ne dpend pas de la primitive F choisie pour f .

    Soit f : I R une fonction numrique continue. Soit a un lment de I.Alors la fonction F : x 7 F (x) =

    xaf(t) dt est la primitive de f sur I qui sannule en a.

    Le nom de la variable dintgration (ici t) doit tre diffrent de celui de

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