WS 2009/10 Diskrete Strukturen - in.tum.de · WS 2009/10 Diskrete Strukturen. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza –Institut für Informatik, TU München

Prof. Dr. J. Esparza

Lehrstuhl für Grundlagen derSoftwarezuverlässigkeit und theoretische

InformatikFakultät für Informatik

Technische Universität München

http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

WS 2009/10

Diskrete Strukturen



Vorlesung Diskrete Strukturen WS 09/10Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München

2

Kapitel IV – Graphentheorie• Graphentheorie

– Grundlagen

– Bäume

– Eigenschaften von Graphen

– Graphen-Algorithmen

– Matchings und Netzwerke


3

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Was sind Graphen?

– Allgemeine Bedeutung: Eine graphische Darstellung von numerischen Datenin einem Koordinatensystem.

i.d.R. der Graph (Gf A B) einer Funktion f

wobei Gf = {(x,f(x)): x A)}

– Technische Bedeutung in der Diskreten Mathematik:Eine spezielle Klasse von diskreten Strukturen, die hilfreich zur Darstellung von Relationen ist.


4

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Was sind Graphen?

– Strukturen gebildet aus einer endlichen Anzahl von Knoten, die durch Kanten verbunden sein können.


5

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Anwendung von Graphen

– Viele reale Probleme lassen sich durch Graphendarstellen und somit auf GraphentheoretischeFragestellungen zurückführen –

Georg Cantor, 1867: „In der Mathematik ist die Kunst des Fragestellens öfter gebräuchlich als die des Lösens!“

• Verkehrswege zwischen Städten – kürzeste Wege

• Transportwege mit Kapazitäten – maximale Flüsse

• Zugmöglichkeiten in Spielen – Gewinnstrategien


6


– In der Graphentheorie interessieren unsausschließlich die Beziehungen zwischen den Knoten (deren Topologie).

– Topologie (topos „Ort, Platz“, logos „Lehre, Wissen)

Die Lehre von den Eigenschaften von Räumen, die bei Abbildungen, die die Lagebeziehungen zwischen den Elementen des Raumes erhalten, unverändert bleiben (Verzerrungen, die nicht zum Zerreißen führen).


7

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Einschub Topologie

Beispiel U-Bahn Karte

http://www.gitta.info/Accessibilit/de/download/london_tube.pdf


8


– “A Topologist is someone who can't tell thedifference between a doughnut and a coffee cup.”

– Eine Kaffeetasse und ein Donut haben die gleicheTopologie.

http://en.wikipedia.org/wiki/Topology





9


– In der (mengentheoretischen) Topologie untersucht man für jedes Element die Teilmengen, die man als die Umgebungen dieses Elements definiert hat.

– Hierbei spielt der Abstand der Elemente keine Rolle, ganz generell interessieren hierbei metrische Eigenschaften (wie Streckenlängen, Winkellängen, Krümmungen) in der Regel nicht.


10


– Zwei topologisch äquivalente Graphen


11


– Topologische Grundbegriffe:

„auf dem Rand“, „innen“, „außen“, „sich schneidend“, „geschlossen“

– keine topologischen Grundbegriffe:

„eckig“, „rund“, „links“, „rechts“, „oben“, „unten“ , da sie z.B. bei Achsenspiegelungen nicht unverändert bleiben.


12


– In der Graphentheorie interessiert uns:

• Welcher Knoten ist mit welchen anderen verbunden.

• Komme ich über gegebene Verbindungen von einemKnoten zu einem anderen.

• Wieviele Verbindungen muss ich überqueren, um von einem Knoten zu einem anderen zu kommen.

• Welches ist der kürzeste Weg, um von einem Knoten zueinem anderen zu gelangen.

• Gibt es einen Weg der alle Knoten/Kanten genau einmalbesucht.


13


– Königsberger Brückenproblem: Kann man einen Spaziergang durch Königsberg machen und dabei über jede Brücke genau einmal gehen und nach dem Spaziergang wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren?


14


– Königsberger Brückenproblem – vom Problem zum Graph und dem graphentheoretischen Problem.


15


– Das Haus vom Nikolaus: Entscheide, ob man das Haus zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen.


16


– Städtetour: Entscheide, ob man beginnend in einem Knoten (einer Stadt) alle Städte genau einmal bereisen kann und wieder in der ersten Stadt ankommt.


17

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Definition:

Ein Graph G ist eine Tupel (V,E), wobei V eine(endliche) nicht-leere Menge von Knoten(vertices) ist, und E eine Menge von Paaren{u,v}, u ≠ v ist. Die Elemente der Menge E bezeichnet man als Kanten (edges).

Graphische Repräsentationeines Graphen


18

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Einige spezielle Graphen

– Graphen dürfen in manchen Fällen auch Mehrfachkanten und Schleifen haben.

ParalleleKanten

Schleifen


19


Eine Schleife (oder Schlinge) ist eine Kante der Form {u, u}.

u


20


Ist E eine Multimenge (d. h. Kanten treten mit Vielfachheit auf), dann sind die Kanten mit Vielfachheit 2 oder größer Mehrfachkanten.

Ein Graph, der Mehrfachkanten enthält, heißt auch Multigraph.

u

v


21

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Einige spezielle Graphen

– Ein Graph heißt einfach, falls er keine Schlingen oder Mehrfachkanten enthält.

– Einfache ungerichtete Graphen korrespondieren zusymmetrischen, irreflexiven binären Relationen R.


22

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Vollständige Graphen

– In vollständigen Graphen Kn sind alle n Knoten miteinander verbunden.

– Frage:

Wieviele Kanten gibt es in einem vollständigen Graphen mit n Knoten.

K1 K2 K3 K4K5 K6


23

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Vollständige Graphen

– Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen mit n Knoten (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt:

K1 K2 K3 K4K5 K6

( 1)

22

n n nE


24

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Kreise

– In Kreisen Cn sind alle n (n 3) Knoten zyklisch miteinander verbunden.

C3 C4 C5 C6 C7 C8


25

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Gittergraphen

Definition: Ein Graph G = (V,E) heißt ein m-n-Gitter (zweidimensionales Gitter mit den Seitenlängen m und n, Mm,n), falls V = {1,…,m} × {1,…,n} und

Kante zwischenKnoten ( , ) undKnoten ( , )

, , , 1

i jk l

i j k l E i k j l


26

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Gittergraphen

Beispiele:


27

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• (Binärer) Hyperwürfel

Definition:Ein Graph G = (V,E) heißt n-dimensionalerbinärer Hyperwürfel (Qn), falls V = Vn = {0, 1}n

mit

E = {{v,w} Vn2: Hamming-Abstand(v,w) = 1}.

– Hamming-Distanz: Maß für die Unterschiedlichkeit von Zeichenketten - an wie vielen Stellen unterscheiden sich zwei Zeichenketten.


28

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• (Binäre) Hyperwürfel


29

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Q4: 4-dimensionaler Hyperwürfel


30

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Q8: 8-dimensionaler Hyperwürfel


31

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Hyperwürfel

Für die Anzahl der Knoten in Qn gilt: |V| = 2n

Für die Anzahl der Kanten in Qn gilt:

122

2

nnE n n


32

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Bipartite Graphen

Definition:Ein Graph G = (V,E) heißt bipartit, genau dannwenn V = V1 V2 und V1 ∩ V2 = und

e E: v1 V1, v2 V2: e = {v1,v2}.

D.h. der Graph kann in zwei Teile zerlegtwerden, so dass alle Kanten zwischen diesenTeilen verlaufen.


33

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Bipartite Graphen

Beispiele:

V1 V2

Kreis C8


34

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Bipartite Graphen werden auch in der Form

G = (V1, V2, E) geschrieben.

Definition:Ein bipartiter Graph G = (V1, V2, E) heißtvollständig, falls E = {{u,v}: u V1 v V2}. (Notation: Km,n mit m = |V1|, n = |V2|)


35

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Wege, Pfade, Kreise

– Ein Weg der Länge k in einem Graphen G = (V,E) isteine nichtleere Folge w = (v0,…,vk) von Knoten aus V, so dass {vi,vi+1} E für alle i = 0,…,k-1. (Beachte: (v_0) ist ein Weg der Länge 0.)

– Ein Pfad in G ist ein Weg in G, in dem alle Knotenpaarweise verschieden sind.

– Ein Kreis der Länge k (k 3) in G ist ein Weg w = (v0,…,vk) in dem v0, …, vk-1 paarweise verschiedensind und v0 = vk.


36

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Pfade

Definition:

Der Graph Pn ist der Graph (V,E) mit V = {v1,…,vn} und E = {vi, vi+1}; i = 1,…,n−1.


37

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Wege und Pfade

Beispiel: Ein Weg der Länge 7, der aber keinPfad ist.


38

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Teilgraphen

Ein Graph H = (VH,EH) heißt Teilgraph einesGraphen G = (VG,EG), falls VH VG und EH EG.

Gilt EH = EG M = {{u,v}: u VH v VH}, so nennt man H einen induzierten Teilgraphen von G und schreibt H = G[VH].


39

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Induzierte Teilgraphen

G1 ist Teilgraph von G, aber nicht induziert; G2 ist der von{1, 2, 4, 5, 7} induzierte Teilgraph; G3 ist nicht Teilgraph von G.


40


Sei V´ V. Dann bezeichnet G \ V´ den durchV \ V´ induzierten Teilgraphen von G.

Beispiel: G4 = G \ {2, 3, 4, 7}


41


– Zur Konstruktion von induzierten Teilgraphendürfen nur Kanten in Kombination mit den dazugehörigen Knoten entfernt werden.


42

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Nachbarschaft und Grad

Definition:

Für einen Knoten v V eines Graphen G = (V,E) definiert man die Nachbarschaft (v) durch

(v) := {u V: {v,u} E}

Der Grad (degree) von v bezeichnet die Anzahl von Nachbarn von v:

deg(v) := (v) .

Wenn v V gilt: deg(v) = k, dann ist G k-regulär.


43

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Wenn G = (V,E) ist, dann

– heißen u und v adjazent, wenn {u,v} E,

– heißen u und v Endknoten der Kante {u,v} E,

– heißen u V und e E inzident, wenn u Endknotender Kante e ist,

– ist u V erreichbar von v V, falls es einen Pfad P mit Anfangsknoten v und Endknoten u gibt.


44

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Wenn G = (V,E) ist, dann

– ist Erreichbarkeit eine Äquivalenzrelation auf V,

– nennen wir die auf den einzelnenÄquivalenzklassen induzierten Untergraphen die (zusammenhängenden) Komponenten von G,

– heißt G zusammenhängend, wenn er nur eineKomponente hat.


45

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Darstellung von Graphen

– Neben der bisherigen Darstellung können Graphenin Form von Adjazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen dargestellt werden.

– Bei Nummerierung der Ecken (u1,…,un) und Kanten(e1,…,em) ist die Adjazenzmatrix die n x n-Matrix A mit Einträgen

1 falls

0 sonst.

i j

ij

uu Ka


46




47



– Bei Nummerierung der Ecken (u1,…,un) und Kanten(e1,…,em) ist die Inzidenzmatrix die n x m-Matrix B mit Einträgen

1 falls

0 sonst.

i j

ij

u kb


48



49



Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Isomorphe (strukturgleiche) Graphen

Zwei Graphen G(V,E) und G´(V´,E´) heißen isomorph (in Zeichen G G´), falls gilt:

(Bijektion : V V´):

{u,v} E { (u), (v)} E´.

Die Abbildung ist dann eine Permutation der Knotenmenge V



Die Abbildung ist: 0 1 2 3 4

a b c d e

Die Graphen sind offensichtlich isomorph.

0 1

4 2

3

a b

e c

d



Unter der Abbildung 0 1 2 3 4

e d b a c

wird jede Kante {u,v} E auf eine Kante { (u), (v)} E´ abgebildet. Die Graphen sind also isomorph.

0 1

3

a b

d

4 2 e c


53

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Isomorphe Graphen

Sind die beiden folg. Graphen isomorph?

– Beachte die Gradfolgen (aufsteigend geordnete Folge der Knotengrade) der beiden Graphen.


54

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Zusammenhängende Graphen

Definition:Ein Graph G = (V,E) heißt zusammenhängend, wenn für jedes Paar von Knoten u,v V ein Pfadvon u nach v in G existiert.

Ansonsten heißt der Graph unzusammenhängend.

Die Relation RGµ V £ V mit u RG v gdw. es einenPfad von u nach v gibt ist eine Äquivalenzrelation.

Die Äquivalenzklassen von RG heissenZusammenhangskomponenten.


55

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Zusammenhangskomponenten eines Graphen

Lässt sich die Knotenmenge V eines GraphenG(V,E) darstellen als

so dass zwei Knoten u,v genau dann über einenPfad verbunden sind, wenn u,v Vi, dann sinddie Teilgraphen G[Vi] die Zusammenhangs-komponenten des Graphs.

1

k

ii

V V


56

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Zusammenhangskomponenten eines Graphen

Beispiel:

Ein Graph bestehend aus drei Zusammenhangs-komponenten


57

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Frage:

Gibt es eine Beziehung zwischen den Gradender Knoten und der Anzahl von Kanten in einemGraph?


58


Gibt es eine Beziehung zwischen den Gradender Knoten und der Anzahl von Kanten in einemGraph?

• Antwort:

Satz (Handshaking Theorem): Für jedenGraphen G = (V,E) gilt:

deg( ) 2 .v V

v E


59

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Beweis des Handshaking Theorems:

Wir verwenden das Prinzip der doppeltenAbzählung.

Auf der linken Seite der Gleichung wird jedeKante zweimal gezählt, nämlich für die beidenEndknoten der Kante. Auf der rechten Seitewird jede Kante auch zweimal gezählt. □


60


Angenommen es wären n Leute auf einemEmpfang, von denen sich im Verlauf des Empfangs einige die Hand geben, andere nicht.

Können wir etwas über die Anzahl von Leutensagen, die einer ungeraden Anzahl von Leutendie Hand geben?


61

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Antwort:

Wir repräsentieren “Händeschütteln” durcheinen Graphen G(V,E), wobei die Knoten v V des Graphen die Leute repräsentieren, und eineKante e E zwischen zwei Knoten bedeutet, dass sich die korrespondierenden Leute die Hand geben.


62


Es gilt: V = Vg ⊎ Vu

wobei Vg und Vu die Knoten mit geradem bzw. ungeradem Grad sind.


63


Es gilt: V = Vg ⊎ Vu

wobei Vg und Vu die Knoten mit geradem bzw. ungeradem Grad sind.

Also ist:

deg( ) deg( ) deg( ) 2g uv V v V v V

v v v E


64


Da

muss der zweite Summand gerade sein.

Die Summe von k ungerade Zahlen ist aber nurgerade, wenn k gerade ist, woraus das Korollarfolgt:

Für jeden Graphen G = (V,E) ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade.

deg( ) deg( ) deg( ) 2g uv V v V v V

v v v E


65

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Graphkomponenten

Satz:Jeder Graph G = (V,E) enthält mindestens|V|-|E| viele Zusammenhangskomponenten.Beweis: Durch Induktion über m=|E|.Basis: m=0. Dann gibt es |V|= |V|-m Komponenten.Schritt: m>0. Wir nehmen eine Kante e weg. Derresultierende Graph G’ hat mindestens |V|- (m-1) Komponenten (Induktionsannahme). Wir fügen nun e erneut zu G’ hinzu. Das reduziert die Anzahl derKomponenten um höchstens 1. Der Graph G hat also mindestens |V|- (m-1) -1 = |V|-m Komponenten.


66

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Graphkomponenten

Satz:Für jeden zusammenhängenden Graph G = (V,E) gilt: |E| |V| - 1.

Beweis:Da ein zusammenhängender Graph aus genaueiner Komponente besteht, folgt aus demvorherigen Satz, dass |V| - |E| 1. □


67

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Bisher haben wir ausschließlich ungerichtete

Graphen besprochen, d.h. die Kantenmenge besteht aus ungeordneten Paaren {u, v}.

• Ein Graph heißt ein gerichteter Graph, falls E eine Menge von geordneten 2-Tupeln (u, v) ist, d.h. E V V.


68

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Gerichtete Graphen

Definition:

– d−(v) ist der Aus-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Anfangsknoten v.

– d+(v) ist der In-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Endknoten v.

– d(v) = d−(v) + d+(v) ist der (Gesamt-)Grad von v.


69


Definition:

– d−(v) ist der Aus-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Anfangsknoten v.

– d+(v) ist der In-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Endknoten v.

– d(v) = d−(v) + d+(v) ist der (Gesamt-)Grad von v.

Es gilt:d ( ) d ( )

v V v V

v v E


70


Ein gerichteter Pfad ist eine Folge von verschiedenen Knoten u1,…,un mit ui ui+1(d.h. es existiert eine gerichtete Kante von ui

nach ui+1) für alle i.

Ein gerichteter Kreis wird analog definiert.

In Graph G, der keinen gerichteten Kreis enthält, heißt azyklisch.


71


Anwendung Prozessabhängigkeiten:

Programm A benötigt Ergebnisse von B und CProgramm B benötigt Ergebnisse von D und EProgramm C benötigt Ergebnisse von B und DProgramm D benötigt keine ErgebnisseProgramm E benötigt Ergebnisse von A und C

Frage: Funktioniert ein so konstruiertes Programm?


72


Anwendung Prozessabhängigkeiten

Bei Darstellung als Graph erkennen wir einen Zyklus:

A wartet auf B

B wartet auf E

E wartet auf A!


73


Azyklische gerichtete Graphen G spielen eine zentrale Rolle in Transportproblemen.– G enthält immer spezielle Knoten, sog. Quellen, aus

denen Kanten nur ausgehen, und sog. Senken, in die Kanten nur eingehen, da jeder azyklische Graph mindestens einen Knoten v mit d+(v) = 0 und mindestens einen Knoten w mit d−(w) = 0 besitzt.

– In Transportproblemen wollen wir möglichst viel von den Quellen zu den Senken transportieren.


74

Kapitel IV – Graphen; Grundlagen• Beispiel dag (directed acyclic graph)

WS 2009/10 Diskrete Strukturen - in.tum.de · WS 2009/10 Diskrete Strukturen. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza –Institut für Informatik, TU München

Documents