Wie misst man Marktliquidit atsgerhold/pub_files/sem14/s_gerharter.pdf · 1 Der Begri der Liquidit at Die folgende Seminararbeit besch aftigt sich mit der Messung und den verschiedenen

Wie misst man Marktliquiditat

Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik

Wintersemester 2014/2015

Autor: Caroline Gerharter, 1225897

Betreuer: Privatdoz. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold

Inhaltsverzeichnis

1 Der Begriff der Liquiditat 3

2 Die Bedeutung von Marktliquiditat und ihre Auswirkung auf denAsset-Preis 5

3 Volumenbasierte Liquiditatsmaße 73.1 Conventional Liquidity Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Hui und Heubel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Liquiditatskennzahl von Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Turnover Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Illiquidity Ratio von Amihud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Preisbasierte Indizes 114.1 Liquiditatskennzahl von Marsh und Rock . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Variance Ratio oder Market Efficiency Coefficient (MEC) . . . . . . . . 114.3 Verschiedene Schatzungsmethoden mittels Vektor Autoregression . . . . 13

5 Messungen bezuglich Transaktionskosten 145.1 Bid-Ask Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Maß von Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Asymmetrische Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Beziehung zwischen Lagereffekten und Effekten nachteiliger Informationen 175.5 Das Modell von Stoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Schlussfolgerungen 22

7 Literaturverzeichnis 23

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1 Der Begriff der Liquiditat

Die folgende Seminararbeit beschaftigt sich mit der Messung und den verschiedenenMessmethoden von Asset Liquiditat. In Finanzmarkten gilt die Liquiditat als einesder Schlusselkonzepte. Das Konzept der Liquiditat bezeichnet oftmals eine erwunschteFunktion, die einen gut organisierten Finanzmarkt widerspiegeln soll.Ein Markt wird als liquide bezeichnet, wenn Angebot und Nachfrage von Assets weit-gehend ubereinstimmen bzw. dementsprechend geringe Transaktionskosten anfallen.

Eine entscheidende Rolle bei der Marktliquiditat spielt der Bid-Ask Spread und dieBewertung seiner Komponenten.

Um das Konzept der Marktliquiditat umfassend darzustellen, ist es erforderlich zweiweitere Komponenten miteinzubeziehen:

1. Die Transaktionszeit: Sie bezeichnet die Schnelligkeit der Durchfuhrung von Trans-aktionen. Dies ist einerseits jene Zeit, die es braucht, bis eine Order im Markt ab-gewickelt werden kann. Andererseits ermoglicht eine Bestellungsanfrage fur einenInvestor, ein Asset zum derzeitigen oder nahezu derzeitigen Preis am Markt zukaufen oder zu verkaufen.

2. Die Transaktionskosten: Hierbei handelt es sich um jenen Preis, welchen der In-vestor fur die Durchfuhrung der Transaktion zu bezahlen hat.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass ein Asset als liquid bezeichnet werdenkann, wenn es schnell und zu den geringsten Kosten gehandelt werden kann.

Ein weiterer wichtiger Aspekt betrifft das Ausmaß der Beeinflussung eines Asset-Preisesdurch die Handelsaktivitat. Hier unterscheidet man zwischen folgenden Begriffen:

• In einem liquiden oder tiefen Markt sollten Preisveranderungen nicht durch Trans-aktionskosten bestimmt werden, d.h. auch sehr große Transaktionen sollten nureine minimale Auswirkung auf den Preis haben.

• In einem illiquiden oder engen Markt sind die Preise hingegen sehr leicht beein-flussbar uber die Bestellgroße.

Infolgedessen ist es essentiell zu erkennen, inwieweit die Anzahl der Transaktionen oderdie Bestellgroße großere Preisschwankungen verursacht.

Es gibt unterschiedliche Konzepte, die Liquiditat von Assets zu messen. Manche fokus-sieren sich auf die Rolle der Volumensgroße, andere wiederum konzentrieren sich aufden Aspekt der Transaktionskosten. Generell basieren samtliche dieser Analysen auf

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dem Bid-Ask Spread und seinen Veranderungen.

Der Bid-Ask Spread ergibt sich im Wesentlichen aus drei Komponenten, namlich aus derAuftragsabwicklung, der nachteiligen Information und den Inventurkosten. Je starkerder Wettbewerb zwischen den Vermittlern/Handlern ist, umso weniger Bedeutung istder Komponente der Auftragsabwicklung beizumessen. Die Informationskomponenteist insofern entscheidend, als durch verborgene Informationen oder Insider-Handel eineInformationsverzerrung vorliegen kann, die sich auf den Bid-Ask Spread auswirkt.

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2 Die Bedeutung von Marktliquiditat und ihre Aus-

wirkung auf den Asset-Preis

Die Relevanz der Marktliquiditat ergibt sich aus der Struktur des jeweiligen Finanz-marktes. Beide Faktoren beeinflussen einander und wirken sich auf die Effizienz vonMarkttransaktionen aus.Die Eigenschaften eines liquiden Markts kann man laut Baker (1996) in drei Dimen-sionen einteilen:

1. Tiefe (Depth): Ein Markt ist tief, wenn eine große Anzahl von Auftragen exis-tiert, deren Kursziele sich sowohl unter als auch uber dem aktuellen Handelskursbefinden.

2. Breite (Breadth): Ein Markt ist breit, wenn die Preiseinflusse minimal bleiben,obwohl eine große Menge an Auftragen mit großem Volumen vorhanden ist.

3. Elastizitat (Resiliency): Der Markt wird als elastisch bezeichnet, wenn trotz Preis-anderungen wieder schnell viele Auftrage eingehen.

Ob ein Markt liquide ist, hat entscheidende Konsequenzen auf die Asset-Preise und dasAusmaß des Wettbewerbs.Gemaß John Maynard Keynes ist ein Asset als liquide zu bezeichnen, wenn

”it is more

certainly realizable at short notice without loss“.Keynes Aussage beleuchtet zwei wesentliche Aspekte, namlich das Risiko der Realisie-rung eines Asset-Preises und das Vorhandensein eines Marktplatzes, auf dem das Assetgehandelt werden kann ohne einen Preisverlust in Kauf nehmen zu mussen.Andere Wirtschaftstheoretiker, Massimb und Phelps, stellen die Rolle der Geschwin-digkeit und der Kosten verbunden mit Marktveranderungen in den Vordergrund (

”im-

mediacy“).

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass der Kern des Liquiditatskonzeptes darinbesteht, ein vorhandenes Asset auf einem Markt austauschen zu konnen, ohne dass sichder aktuelle Preis stark verandert.

Die Liquiditat eines Marktes wirkt sich auf verschiedenste Weise auf die Asset-Preiseaus. So sollte die Rentabilitat/Verzinsung (Rate of Return) eines Assets auch den poten-tiellen Verlust aufgrund von Transaktionskosten berucksichtigen. Je hoher die Transak-tionskosten sind, desto niedriger werden die Asset-Preise in einem Markt sein bzw. wirddie Verzinsung steigen. In anderen Worten, ein illiquides Asset wird eine hohere Ver-zinsung aufweisen, um den Investor fur die hoheren Liquiditatskosten zu entschadigen.Basierend auf dieser Annahme haben Amihud und Mendelson (1988, 1991) ein Modellentwickelt, das die Auswirkungen der Marktliquiditat auf die Asset-Preise berechnet.

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Das Modell zeigt auf, dass hohere Spannen aufgrund hoherer Transaktionskosten einehohere Rentabilitat erbringen. Somit erzielen Investoren mit einem langfristigen Inves-titionshorizont einen Vorteil, wenn sie in Assets mit hoheren Spannen investieren.

Liquiditat ist auch wegen der technischen Analyse als Indikator fur Preisdruck wich-tig fur Portfolio-Management. Oft wird die technische Analyse als teilwiese unwichtigfur die Bepreisung von Assets betrachtet. Allerdings konnen typische technische Indi-katoren von Analysen, wie das gehandelte Volumen, sehr nutzlich sein. Laut Blume,Easley und O’Hara (1994) bekommt man durch Informationen von gehandeltem Volu-men wichtige Einblicke, die durch einfache Preisstatistiken nicht ubermittelt werden.

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3 Volumenbasierte Liquiditatsmaße

Das Wesentliche bei volumenbasierten Kennzahlen ist die Beziehung zwischen Mengeund Preis eines Assets. Sie bewerten, in welchem Ausmaß sich die Große einer Trans-aktion auf den Preis auswirkt. Die Hohe der Liquiditat am Markt ist dabei direktproportional zum Handelsvolumen.

Trotzdem weisen volumenbasierte Kennzahlen ein paar Nachteile auf:

1. Einerseits weisen die Indizes keine Unterscheidung zwischen vorubergehendenund bleibenden Preisschwankungen von gehandeltem Volumen auf. Unter einervorubergehenden Preisschwankung kann man einen kurzweiligen Mangel von Li-quiditat verstehen oder die alleinigen Kosten, die durch Transaktionen entstehen.Eine bleibende Preisanderung bezieht sich auf Informationen, die gewisse kundi-ge Handler haben. So entsteht das Konzept der asymmetrischen Information amMarkt.

2. Die Methode von volumenbasierten Liquiditatsmaßen zeigen nicht wie ein neuerAuftrag die Preise beeinflussen kann, sondern es werden nur vergangene Ander-ungen betrachtet.

3. Marsh und Rock (1986) meinen, dass konventionelle Liquiditatsmaßen die Preis-anderungen, welche wegen großen Transaktionen stattfinden, uberschatzen. Au-ßerdem wurden diese die Preisanderungen von kleinen Transaktionen unterschat-zen. Diese Defizite treten dadurch auf, dass Preise und Volumen nicht direktproportional zueinander stehen.

Das gehandelte Volumen am Markt bezeichnet den Betrag der zwischen Handlern durchKaufs- oder Verkaufsaktivitat von einzelnen Assets oder fur den ganzen Markt ge-tauscht wird. Da Transaktionen sowohl auf der Kaufer, als auch der Verkaufer Seiteaufgezeichnet werden konnen (double counting) ist das gehandelte Volumen oft nichtals ein angemessenes Liquiditatsmaß angesehen. Ein dafur geeigneteres Maß ist es dasVerhaltnis zwischen gehandeltem Volumen und Borsenwert zu betrachten.

3.1 Conventional Liquidity Ratio

Die Conventional Liquidity Ratio ist eine der meist verwendeten Kennziffern in derempirischen Analyse und gibt an, wie viel Handelsvolumen notwendig ist, um einePreisanderung von einem Prozent zu erreichen. Die Formel der Liquiditatskennzahl fur

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ein Asset i sieht wie folgt aus:

LRit =

∑Tt=1 PitVit∑Tt=1 |PCit|

(1)

wobei Pit den Preis des Assets i am Tag t bezeichnet und Vit fur das gehandelte Volumensteht. |PCit| ist die absolute prozentuelle Preisanderung uber ein festes Zeitintervall,welches durch PCit = Pit − Pit−1 gegeben ist. Die Liquiditatskennzahl wird fur ei-ne bestimmte Anzahl an Assets mit ahnlichen Merkmalen aggregiert und berechnet.Grundsatzlich wird das Zeitintervall willkurlich gewahlt, doch in der Praxis meist mo-natlich. Je hoher das Liquiditatsmaß LRit ist, desto hoher ist auch die Liquiditat, dem-nach haben große Handelsmengen wenig Einfluss auf den Preis. Die Liquiditatskennzahlkonzentriert sich offensichtlich mehr auf den Preisaspekt, als auf die Zeit oder die Kos-ten der Ausfuhrung.

3.2 Hui und Heubel

Das Liquiditatsmaß von Hui und Heubel (1984) gibt in der Praxis das Verhaltnis zwi-schen der großten Preisanderung und dem gehandelten Volumen der Marktkapitalisie-rung an. Die Formel fur diese lautet:

LRHH =(Pmax − Pmin)/Pmin

V/(S · P )(2)

Pmax und Pmin beschreiben den hochsten bzw. niedrigsten erzielten Preis uber ein Zei-tintervall von funf Tagen. V steht fur das Handelsvolumen der letzten 5 Tage. Unter Sversteht man die Gesamtanzahl der ausstehenden Assets und unter P den durchschnitt-lichen Schlusspreis. Je hoher der Wert von LRHH ist, desto niedriger die Liquiditat.

Bei dem Index von Hui und Heubel gibt es zwei Nachteile. Zunachst ist der Zeitraumvon funf Tagen zu lange, um Anomalien am Markt zu erkennen, welche sehr kurzfristigauftreten konnen. Zudem ist die Wahl der Variablen kritisch, da so der Bid-Ask Spreadherangezogen werden konnte und die Schatzung verzerren konnte.

3.3 Liquiditatskennzahl von Martin

Martins (1975) Index bezeichnet ein Liquiditatsmaß, bei der eine stationare Verteilungvon Preisanderungen vorliegt, welche konstant ist. Fur Pit als closing price und Vit alsHandelsvolumen ist der Index von Martin so definiert:

MLIt =N∑i=1

(Pit − Pit−1)2

Vit(3)

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Der Index wird uber die Gesamtanzahl der Assets berechnet. Je hoher der Wert vonMLIt ist, desto weniger liquid ist der Markt, wegen der Auswirkung der Preisstreuung.Anders betrachtet bedeutet ein hoherer Wert fur das Verhaltnis eine hohere Preiss-treuung bezogen auf das Handelsvolumen und eine niedrigere Liquiditat des Marktes.Damit konnen Ereignisse oder Informationen gezeigt werden, die nicht mit dem Han-delsprozess selbst zu tun haben. Der Index liefert aussagekraftige Werte, wenn er taglichbetrachtet wird. Diese Liquiditatskennzahl ist der von Hui und Heubel sehr ahnlich.

3.4 Turnover Ratio

Die Turnover Ratio TRit fur eine Aktie i zum Zeitpunkt t hat die Form:

TP it =

ShitNShit

(4)

wobei Shit die Anzahl der gehandelten Assets zum Zeitpunkt t fur eine Aktie i istund NShit ist die Gesamtanzahl der sich im Umfeld befindenden Assets. Dieser Indexbezieht sich auf eine einzelne Zeitperiode, die beispielsweise ein Tag oder ein Monat seinkonnte. Um einen Durchschnittswert uber einen vorgegebenen Untersuchungszeitraumzu erhalten, wird folgende Formel verwendet:

TRiT =

1

NT

NT∑t=1

TRit (5)

mit einer Anzahl an Subperioden NT .

3.5 Illiquidity Ratio von Amihud

Die Illiquiditatskennzahl von Amihud (2002) wird mithilfe folgender Formel dargestellt:

ILLIQiT =

1

Dt

DT∑t=1

|Rit,T |

V it,T

(6)

Dt ist die Anzahl der Tage, an denen Daten verfugbar sind. Rit,T bezeichnet die tagliche

Rendite am Tag t vom Jahr T und V it,T das tagliche Handelsvolumen. Die Werte in der

Summe ergeben so den Einfluss vom t-ten Tag auf den Preis vom gehandelten Volumen.Dieses Maß ist also der durchschnittliche tagliche Einfluss auf Preise fur einen gegebenenZeitraum.Dieses Liquiditatsmaß ist sehr ahnlich zur Conventional Liquidity Ratio. Im Unterschid

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zum Bid-Ask Spread liegt der großte Vorteil der Illiquiditatskennzahl dabei, dass soeine umfassende Verfugbarkeit von Daten zur Berechnung vorhanden ist. Dieser Vorteilwirkt sich besonders auf Markte aus, welche komplexe Messungen des Spreads nichtangeben.

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4 Preisbasierte Indizes

Bei preisbasierten Kennzahlen wird auch der Gleichgewichtspreis betrachtet. Das Zielsoll sein, besser zu erkennen, welche Preisanderungen aufgrund neuer Informationenauftreten, und welche rein durch mangelnde Liquiditat entstehen.

4.1 Liquiditatskennzahl von Marsh und Rock

Die Formel fur das Liquiditatsmaß von Marsh und Rock (1986) ist unabhangig von derHandelsgroße außer es geht um Blocktransaktionen. Die dazugehorige Formel lautetwie folgt:

LRiMR =

1

M i

M i∑m=1

∣∣∣∣P im − P i

m−1

P im−1

∣∣∣∣ · 100 (7)

M i steht fur die Gesamtanzahl der Transaktionen eines Assets i uber eine bestimm-te Zeitperiode. P i

m steht fur den Preis des Wertpapiers zum Zeitpunkt t. Demnachist LRi

MR die durchschnittliche prozentuelle Preisveranderung pro Transaktion ubereine vorgegebene Zeitperiode. So gilt: Je kleiner das Ergebnis, desto liquider ist dasWertpapier. Bei volumenbasierten Messungen stellt die großenveranderte Variable dasgehandelte Volumen dar. Beim Liquiditatsmaß von Marsh und Rock hingegen ist diegroßenveranderte Variable die Anzahl der Transaktionen. So hangt die Liquiditat vonden Auswirkungen der Transaktionskosten ab und nicht vom Volumen. Dieser Indexist fur kurze Zeitperioden gedacht und ist ein geeignetes Maß fur Handlermarkte undauch Auktionsmarkte.

4.2 Variance Ratio oder Market Efficiency Coefficient (MEC)

Die Varianzkennzahl betrachtet den Einfluss von Ausfuhrungs-Kosten auf Preisvolati-litat uber kurze Zeitraume.

Der MEC V Ri kann wie folgt dargestellt werden:

V Ri =var(Ri

T )

T · var(ZiT )

(8)

Hier ist var(RiT ) die langfristige Varianz und var(Zi

T ) die kurzfristige Varianz einesAsset Returns i. Um die kurzfristige Varianz mit der langfristigen Varianz vergleichenzu konnen, muss sie mit dem Faktor T multipliziert werden, welcher die Zeitperiodegleichsetzt. Falls V Ri < 1, ist der Markt illiquid.

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Der MEC kann uber beliebige Zeitintervalle berechnet werden, wobei eine Folge vonkurzfristigen Intervallen von Transaktionen den Marktpreis starker beeinflusst als lang-fristige.

Die Varianzratio weist jedoch zwei wesentliche Schwachen auf. Dies betrifft einerseitsdas Zeitintervall, welches die Resultate stark beeinflussen kann. Andererseits ist es nichtmoglich zu beobachten, ob eine Tendenz zu einem Gleichgewichtspreis vorhanden ist.Der MEC wird mittels effektiven Preisen berechnet, also wird die Handelsaktivitat so-wohl innerhalb als auch außerhalb der Bid-Ask Grenze miteinbezogen.

Gegeben ist der Assetpreis Pt als ein Random-Walk Prozess:

Pt = Pt−1 + ηt (9)

Hier ist ηt eine homoskedastische Storung unkorrelliert uber die Zeit. Nach dieser Hy-pothese erhalten wir ∆Pt = ηt. Um die Varianzkennzahl zu konstruieren, kann manzeigen, dass folgende Gleichungen stimmen.

var(Pt − Pt−2) = var(Pt − Pt−1) + var(Pt−1 − Pt−2) = 2σ2ηvar(Pt − Pt−T ) = Tσ2

η (10)

Nach dieser Random-Walk Hypothese gilt: ∆Pt = RT , wodurch sich die Varianz-Ratiofolgendermaßen ergibt:

V RT =var(Pt − Pt−T )

Tσ2η

= 1

Fur V RT = 1 gibt es keine Abweichungen von der Random Walk Hypothese.Um die Auswirkung der Abweichung der Random Walk Hypothese zu beachten, be-trachten wir folgenden Fall:

var(Rt + Tt−1) = 2V ar(Rt) + 2Cov(RtRt−1)

Die Varianzkennzahl kann durch folgende Umformung konstruiert werden:

V R(2) =2V ar(Rt) + 2Cov(RtRt−1)

2V ar(Rt)= 1 + 2

[Cov(RtRt−1)

2V ar(Rt)

]= 1 + 2ρ(1)

wobei ρ(1) eine Approximation fur den Korrelationskoeffizienten ist. Diesen kann manso angeben:

ρ(1) =Cov(RtRt−1)

2V ar(Rt)

Fur einen allgemeineren Ausdruck der Varianzkennzahl schreiben wir:

V R(T ) =V ar(Rt)

TV ar(RT )= 1 + 2

T−1∑s=1

(1− s

T

)ρ(s) (11)

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Mit reiheinweise unkorrelierten Asset Returns entspricht die Varianzratio 1. Mit derAutokorrelation von 1,

Rt = φRt−1 + εt und

E(εt) = 0, V ar(εt) = σ2ε wird die Formel der Varianzkennzahl so umgeformt, dass sich

folgendes ergibt:

V R(T ) = 1 + 2T−1∑s=1

(1− s

T

)φk

4.3 Verschiedene Schatzungsmethoden mittels Vektor Auto-regression

Vektorautoregressive Modelle (VAR) werden vielfach in der Volkswirtschaftslehre ver-wendet, um die Auswirkungen von Schockwellen in der Wirtschaftsstruktur zu iden-tifizieren. Es werden die Ubertragungsmechanismen von Schockwellen quer uber dieMarkte untersucht.Ein reprasentatives Beispiel hierzu liefern Chung, Han und Tse (1996), die das Verhalt-nis der verschiedenen Aktienindices von NYSE (New York Stock Exchange) und AMEX(American Stock Exchange) messen. Das Ergebnis zeigt, dass der NYSE liquider ist alsder AMEX.Die Veranderungen der Preisindices des AMEX lassen sich an Hand des Modells auf-grund der verzogerten Veranderung des NYSE erklaren.Eine Weiterentwicklung des VAR Modelles stammt von Hasbrouck (2002). Er beruck-sichtigt die Abweichung der tatsachlichen Transaktionspreise von den nicht beobacht-baren Gleichgewichtspreisen. Daruber hinaus ist es mit seinem Methodik moglich, dasAusmaß der in einem Markt stattfindenden Fluktuationen zu berechnen, die aus denSchwingungen eines anderen Marktes resultieren.

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5 Messungen bezuglich Transaktionskosten

Es gibt zwei verschiedene Arten von Transaktionskosten - die expliziten und die im-pliziten. Zu den expliziten gehoren die Gebuhren, Steuern und Courtagen (Vermitt-lungsgebuhren fur Broker). Die impliziten sind die Kosten zwischen dem theoretischrichtigen Gleichgewichtspreis, welcher die Mitte des Bid-Ask Spreads bedeutet, unddem echten Preis. Demnach wird bei einem Kauf mehr als der theoretische Marktwertbezahlt und bei einem Verkauf ein niedrigerer Wert erhalten. Je enger diese beidenWerte aneinander liegen, desto liquider ist der Markt. Daher ist der Bid-Ask Spreadund seine Varianten eines der gelaufigsten Maße bezuglich Transaktionskosten.

5.1 Bid-Ask Spread

Das Marktangebot ist der hochste Preis, zu dem ein Handler eine Aktie kaufen wurdeund ein Investor die Aktie verkaufen wurde, daher wird der hochste Preis auch als dasbeste Marktangebot bezeichnet. Die Marktnachfrage ist der niedrigste Preis, zu demein Handler seine Aktie verkaufen wurde.Laut Huang und Stoll (1996) arbeiten Experten oft selbst als Handler. Normalerweisesetzt ein Handler einen Preis fest. Die Marktauftrage werden dann mit den Auftragender Kunden verglichen.

Der absolute Bid-Ask Spread hat die Form:

St = At −Bt (12)

At ist der Ask-Preis, Bt der Bid-Preis und St der Spread zum Zeitpunkt t. Ein liquidererMarkt ergibt einen niedrigeren Spread. Demnach gibt es einen negativen Zusammen-hang zwischen Spread und Asset Preis. Um die Formel wirklich anwenden zu konnen,also auch fur verschiedene Wertpapiere mit unterschiedlichen Kursen, muss man sie umden Gleichgewichtspunkt Mt = (At+Bt)/2 erweitern. Dann ist der prozentuelle SpreadpSt definiert durch:

pSt =At −Bt

Mt

(13)

Der Spread stellt viel mehr ein Maß fur Transaktionskosten dar, und weniger ein Li-quiditatsmaß. Wie schon zuvor erwahnt, implizieren hohe Transaktionskosten niedrigeLiquiditat.

Der Unterschied zwischen Dealer Spread und Market Spread wird von Cohen (1986)erlautert. Der Dealer Spread ist durch die Bid-Ask Formel St = At − Bt definiert.Der Market Spread allerdings betrachtet die Differenz des hochsten Gebots und des

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niedrigsten Verkaufspreises zwischen Dealern die zur gleichen Zeit die gleiche Aktieanbieten.

5.2 Maß von Roll

Das Maß von Roll (1984), als Maß eines impliziten Spreads, ist ein Modell um denrealisierten Spread zu folgern, der durch die Eigenschaften von Zeitreihen der beobach-teten Marktpreise oder Renditen dargestellt wird. Hierbei bekommt man keine Einsichtauf die moglichen Komponenten des Spreads, da bei diesem Index davon ausgegangenwird, dass Handler gleichviele Informationen haben. So wird ohne die Moglichkeit vonnachteiliger Information gerechnet.Das große Nachteil beim Maß von Roll ist, dass asymmetrische Information nicht be-achtet werden kann. Laut Huang und Soll (1997) konnen kurzzeitige Renditen vonverschiedensten weiteren Faktoren, die beim Maß von Roll nicht beachtet werden, be-einflusst werden.Sei Pt der beobachtete Transaktionspreis eines Assets zum Zeitpunkt t, welche zwischendem Bid- und Ask-Angebot oszillieren. Sei der Gleichgewichtspreis Vt ein Random-WalkProzess mit Storung:

Vt = V + Vt−1 + εt (14)

wobei sich εt die unbeobachtbare Erneuerung des Wertes eines Assets zwischen Trans-aktionen t − 1 und t befindet. Dieser Ausdruck ist unabhangig gleichverteilt (i.i.d furindependent and identically distributed) mit Mittelwert 0 und konstanter Varianz σ2

ε .Der beobachtete Preis kann folgendermaßen beschrieben werden:

Pt = Vt +S

2Qt (15)

S stellt den absoluten bepreisten Spread dar, der nach Annahme konstant ist. Qt ist eineIndikatorfunktion, die entweder den Wert −1 oder 1 annimmt, mit gleicher Wahrschein-lichkeit, abhangig davon, dass die t-te Transaktion zum Bid- oder Ask-Preis zustandekommt. So ist die Veranderung der Transaktionspreise so gegeben:

∆Pt = V +S

2∆Qt + εt (16)

Um eine verkurzte Form zu erhalten, braucht man zwei weitere Annahmen. Erstensgehen wir davon aus, dass der Markt informationseffizient ist, also cov(εt, εt−1) = 0.Des Weiteren haben die Kaufs- und Verkaufsauftrage die gleiche Wahrscheinlichkeit(z.B.: cov(∆Pt,∆Pt−1) = −1).

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Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Handelsrichtung kann man so darstellen:

Qt−1 = −1 Qt−1 = +1

Handel zum Bid Preis Handel zum Ask Preis

Handelsfolge → Bt−1Bt Bt−1At At−1At At−1Bt

↓ 0 2 0 -2

BtBt+1 0 1/4 0 1/4

BtAt+1 2 1/4 0 0 1/4

AtAt+1 0 0 1/4 1/4 0

AtBt+1 -2 0 1/4 1/4 0

Da die Kauf- und Verkaufstransaktionen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kannman die zusammengesetzte Verteilung so darstellen:

∆Qt

2 0 -2

2 0 0 1/8

∆Qt+1 0 1/8 1/4 1/8

-2 1/8 1/8 0

Die Autokovarianz der Handelstransaktionen ist folgendermaßen gegeben:

Cov(∆Qt,∆Qt+1) = −4 · 1

8− 4 · 1

8= −1 (17)

Demnach kann man die Autokovarianzfunktion der Preisabweichungen so darstellen:

Cov(∆Pt,∆Pt−1) = Cov

(S

2∆Qt,

S

2∆Qt−1

)=S2

4Cov(∆Qt,∆Qt−1)

Von dieser Gleichung erhalten wir:

Cov(∆Pt,∆Pt−1) = −S2

4(18)

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Diese Formel liefert das Maß des Spreads von Roll (1984). Man erhalt seinen Schatzer,indem man die Autokovarianz abschatzt und nach S auflost. Der Schatzer fur die serielleKovarianz ist:

Cov =1

n

n∑t=1

∆Pt∆Pt−1 −∆P2

(19)

wobei ∆P2

der Stichenprobenmittelwert von {∆P} ist. Laut Harris (1990) ist die Bevol-

kerungsverteilung von Cov asymptotisch normal, wenn n wachst.Der Schatzer der seriellen Kovarianz hat eine fallende Tendenz in kleinen Probedatenmit kleiner Haufigkeit.Die Auswirkungen von (18) und (19) sind, dass je negativer die Ruckholautokorrelationist, desto illiquider wird die gegebene Aktie sein.

5.3 Asymmetrische Information

Glosten (1987) erlautert den Unterschied zwischen den Preiseffekten bezuglich des Be-stellvorgangs und jenen bezuglich nachteiliger Information. Wie schon erwahnt sind dieFolgen des Bestellvorgangs vorubergehend. Die Auswirkungen von nachteiliger Infor-mation sind dauerhaft, da sie den Gleichgewichtswert des Wertpapiers verandern.Glosten hat zwei Grundformeln dazu veroffentlicht:

Vt = V + Vt−1 + (1− γ)S

2+ εt (20)

Pt = Vt + γS

2Qt (21)

wobei γ der Anteil am angebotenen Spread aufgrund von Transaktionskosten ist und(1 − γ) der Anteil der durch nachteilige Information entsteht. εt stellt den Effekt, derdurch das Vorhandensein offentlicher Information zustande kommt, dar. Der echte PreisVt spiegelt die gesamte Information, die in der Offentlichkeit verfugbar ist, sofort nacheiner Transaktion t wider.Qt ist die Information, welche durch eine einzelne Transaktionzum Vorschein kommt. Das Modell von Roll (1984) entstand durch diese Angabe mitγ = 1.

5.4 Beziehung zwischen Lagereffekten und Effekten nachteili-ger Informationen

Durch Informationseffekte entwickeln sich die Preise nach einem Handel in entgegenge-setzte Richtung. Sie steigen nach einem Handlerverkauf und fallen nach einem Handler-

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kauf. Das ist ein sogenanntes”price reversal“ und bedeutet, dass ein Dealer gegen in-

formierte Agenten handelt. Dadurch kann ein Kursmacher große Verluste machen. DasKonzept des

”price reversal“ bringt also mit sich, dass der erzielte Spread oft anders

ist als der bepreiste Spread.Im Modell von Roll (1989) wird davon ausgegangen, dass Transaktionen einzig zuden Kaufs- oder Verkaufspreisen stattfinden. Falls Lagerhaltungskosten miteinbezogenwerden, wird der Dealer den Spread verandern, um weitere Handelsbewegungen herbei-zurufen oder zu verhindern. Nach einem Handlerkauf (Marktverkauf) fallen die Preisefur Kauf und Verkauf, um einen Anreiz fur Handlerverkaufe zu bieten und weitereHandlerkaufe abzuwehren. Genau das gleiche Prinzip erfolgt beim Handlerkauf, wobeihier die Verkaufs- und Kaufpreise steigen um weitere Handlerverkaufe anzuregen.Durch asymmetrische Information ubermittelt eine vom Kaufer ausgeloste TransaktionInformationen uber einen Preis des Assets, den man hoher erwartet hatte. Der Grunddafur ist, dass Marktteilnehmer davon ausgehen, dass aktive Handler mehr Informatio-nen haben.

5.5 Das Modell von Stoll

Im Modell von Stoll (1989) werden die drei Schlusselkomponenten des Spreads berech-net. Damit sind die Shares aufgrund von Auftragsabwicklung, Inventurbestand undnachteiliger Information gemeint. Das Handelsvolumen, welches hier durch verschiede-ne Aspekte ausgelost wird, muss nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.So definieren wir θ als die Wahrscheinlichkeit einer Preisumkehrung, wie zum Beispieldie unbeschrankte Wahrscheinlichkeit eines Handelswechsels: θ = P{Qt = Qt−1}. DieGroße einer Preisanderung bedingt durch eine Umkehrung ist gegeben durch (1−∆)S.Das kann man wie folgt darstellen:

(1− λ)S = ∆Pt | {Qt 6= Qt−1}

wobei

{Qt 6= Qt−1} =

{Pt−1 = Bt−1, Pt = At, oder

Pt−1 = At−1, Pt = Bt

Die Preisanderung ∆Pt ergibt sich hier dadurch, dass der Einfuhrungspreis gleich demBid oder Ask ist. Demnach ist die Formel, bei welcher eine Transaktion zum Ask Preisbeginnt, so gegeben:

∆Pt =

{(Bt − At−1) = (1− λ)S, mit Wahrscheinlichkeit θ

(At − At−1) = −λS, mit Wahrscheinlichkeit (1− θ)

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Falls die Transaktion mit dem Bid Preis anfangt, sieht die Formel so aus:

∆Pt =

{(At −Bt−1) = (1− λ)S, mit Wahrscheinlichkeit θ

(Bt −Bt−1) = −λS, mit Wahrscheinlichkeit (1− θ)

Demnach wird die erwartete Preisanderung bedingt durch eine Einfuhrungstransaktionzum Ask Preis so dargestellt:

E{∆Pt | Pt−1 = At−1} = −(θ − λ)S (22)

und die erwartete Preisanderung bedingt durch einen Einfuhrungspreis zum Bid Preisfolgendermaßen dargestellt:

E{∆Pt | Pt−1 = Bt−1} = (θ − λ)S (23)

Der realisierte Spread ist der Gewinn des Dealers nach zwei Transaktionen, bestehendaus einem Kauf und einem Verkauf. Genauer beschreibt er den Unterschied zwischen dererwarteten Preisanderung nach einem Dealer Kauf und der erwarteten Preisanderungnach einem Dealer Verkauf. Mit dem effektiven Spread s ergibt sich:

s = 2(θ − λ)S (24)

Der realisierte Spread ist der Lohn fur die Dienstleistungen des Marktmachers. In dervorigen Gleichung wird die Bestellvorgangskomponente, als auch die Inventurkompo-nente miteinbezogen. Hier bezeichnet die nachteilige Komponente den Teil des Spreads,welcher nicht vom Marktmacher eingenommen wurde, und entspricht [1− 2(θ − λ)S].

Man kann hier zwischen zwei interessanten Fallen unterscheiden. Das betrifft einer-seits den Fall, der auftritt, wenn es moglich ist, die Handelsrichtung zu beobachten,und wenn die Daten fur den Handel nicht zur Verfugung stehen. Falls die Marktdatenverfugbar sind, kann man die erwartete Preisveranderung folgendermaßen anschreiben:

(siτ | Biτ ) = [(P i

t+τ ) | P it = Bi

τ ] (25)

ist die Gleichung fur den Handel zum Bid-Preis.Fur den Handel zum Ask-Preis sieht diese so aus:

(siτ | Aiτ ) = [(P it+τ ) | P i

t = Aiτ ] (26)

Hier bezeichnet τ die Lange der Zeit, nach welcher ein nachfolgender Preis betrachtetwird. Es ist nicht einfach den Zeitraum fur die Berechnung auszuwahlen, da es so zuNachteilen kommen kann. Falls der Zeitraum zu kurz ist, konnte der nachfolgende Preisdaran scheitern, eine Umkehr widerzuspiegeln, und zeigt vielleicht nur einen Handel in

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die gleiche Richtung an. Falls jedoch ein zu langer Zeitraum gewahlt wird, konntenErgebnisse, beeinflusst von ubermaßiger Preisvolatilitat wegen haufigen aufeinander-folgenden Preisveranderungen auftreten.Falls Handelsdaten nicht verfugbar sind, muss man auf Informationen von statistischenMustern, welche einen Asset Preis charakterisieren, zugreifen. So ist die Kovarianz einerPreisanderung folgendermaßen gegeben:

Cov(∆Pt,∆Pt+1) = S2[λ2(1− 2θ)− θ2(1− 2λ)] (27)

Um Inventurkosten zu ermitteln gibt Stoll (1989) auch die Autokovarianz von Veran-derungen des Kurses an:

Cov(∆Qt,∆Qt+1) = S2λ2(1− 2θ) Q = A,B

Unter der Annahme eines konstant bepreisten Spreads kann die Kovarianz entwederdurch Veranderungen des Bid- oder des Ask-Preises berechnet werden, sodass

Cov(∆Bt,∆Bt+1) = S2λ2(1− 2θ)

oderCov(∆At,∆At+1) = S2λ2(1− 2θ)

Die Ausdrucke der Kovarianz von verschiedenen Versionen des Modells kann man an-hand folgender Tabelle betrachten:

Kovarianz vom Modell von Stoll

Spread Bestimmungsfaktor Cov(∆Pt,∆Pt+1) Cov(∆Qt,∆Qt+1)

Bestellvorgangskosten: θ = 1/2, λ = 0 −14S2 0

Nachteilige Information: θ = 1/2, λ = 0.5 0 0

Inventurkosten: θ > 1/2, λ = 0.5(−1

4S2, 0

) (−1

4S2, 0

)Der Bid-Ask Spread basiert auf verschiedensten Annahmen. George, Kaul und Nima-ledran (1991) zeigen dass die Faktoren fur den Spread meistens verzerrt und ineffizientsind. Sie haben in ihrem Modell zeitlich veranderliche erwartete Returns eingefuhrtindem sie V t 6= V angenommen haben. Dabei ist die Autokovarianz von Angebots-veranderungen positiv.Andere Ansatze zur Berechnung der Spread Komponenten sind die sogenannten ”Tra-ding Indikatoren”. Die Modelle in diesem Kontext, wie das von Glosten und Harris(1988), Glosten (1987) und Madhavan, Richardson und Roomans (1997) beinhalten kei-ne Annahmen uber die Ankunft von Bestellungen. Hier beeinflusst nur die tatsachliche

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Richtung die Bewertung der Parameter. Wegen der Struktur dieser Modelle ist einegenaue Spezifikation des Markt-Typs notwendig, da sie nicht allgemein genug sind.Bei kleinen Transaktionen wird im Modell von Glosten und Harris (1988) die Kompo-nente der nachteiligen Selektion unterschatzt und die Komponente des Bestellungsvor-gangs uberschatzt. Der gegenteilige Fall tritt bei großen Transaktionen ein. Im Modellvon Madhavan, Richardson und Roomans (1997), welches zu denen, konzentriert aufHandelsindikatoren, gehort, werden die Ausiwrkungen von nachteiliger Information undInventurveranderungen nicht betrachtet. Der vorgestellte Preismechanismus zeigt dieKomponente der asymmetrischen Informationen des Spreads bezuglich Erneuerungender Auftragseingange. Madhavan, Richardson und Roomans (1997) haben es in ihremModell moglich gemacht, dass auch Informationsvorsprunge bezuglich unerwartetenHandelsbewegungen erfasst werden konnen.

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6 Schlussfolgerungen

Zusammenfassend kann Folgendes gesagt werden: Das Konzept der Marktliquiditatbeschreibt unter welchen Umstanden Assets gekauft und verkauft werden konnen. Jeliquider ein Markt ist, desto einfacher ist es ein Asset zu handeln. Der Markt ist dannidealerweise tief, breit und elastisch. Zur Messung der Marktliquiditat gehoren die vo-lumenbasierten Indizes, welche die Beziehung zwischen der Menge und des Preises einesAssets untersuchen. Eine der wichtigsten Kennzahlen dafur ist die Conventional Liqui-dity Ratio.Weitere Liquiditatskennzahlen sind die preisbasierten Indizes, wie der von Marsh undRock. Hierbei steht die Auswirkung der Transaktionskosten im Vordergrund und be-einflusst damit die Anzahl der Transaktionen und so die Liquiditat.Das wichtigste Maß, welches sich mit den Transaktionskosten auseinandersetzt ist derBid-Ask-Spread. Dieser bezeichnet die Spanne des zugleich angebotenen Kauf bzw.Verkaufspreises. Asymmetrische Information bezeichnet den Zustand, in dem Vertrags-parteien zum Zeitpunkt eines Handels nicht uber dieselben Informationen verfugen unddiese von einer Seite moglicherweise ausgenutzt werden konnen.Nach diesen Ausfuhrungen konnen sie erkennen, dass das Konzept der Marktliquiditateinen wesentlichen Bestandteil fur das funktionieren eines Finanzmarktes darstellt.

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