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Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión 1 Wavelets: introducción • Considera una pieza de música: al analizarla usando Fourier podemos determinar en qué clave musical está, pero no podemos distinguir entre música clásica y hard rock. • Por lo tanto, el orden de las notas es tan importante como su distribución. • Lo que podemos hacer es subdividir la pieza en trozos, y analizar cada trozo. Esto nos da una información rudimentaria sobre el órden. Este tipo de análisis se conoce como la transformada de Gabor (aplicar ventana a datos). • Pero este tipo de análisis es imperfecto, ya que el ritmo de las notas no es constante. Se puede extraer mucha más información. • Para ver esto, recuerda que Heisenberg nos enseñó que t .
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Wavelets: introducción

Jan 18, 2016

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Page 1: Wavelets: introducción

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Wavelets: introducción

• Considera una pieza de música: al analizarla usando Fourier podemos determinar en qué clave musical está, pero no podemos distinguir entre música clásica y hard rock.• Por lo tanto, el orden de las notas es tan importante como su distribución.• Lo que podemos hacer es subdividir la pieza en trozos, y analizar cada trozo. Esto nos da una información rudimentaria sobre el órden. Este tipo de análisis se conoce como la transformada de Gabor (aplicar ventana a datos).• Pero este tipo de análisis es imperfecto, ya que el ritmo de las notas no es constante. Se puede extraer mucha más información.

• Para ver esto, recuerda que Heisenberg nos enseñó que t ≥ .• Así que la resolución temporal y la resolución en frecuencias están acopladas, y se obtiene la máxima información para t = .• ¿Existen métodos de análisis que alcanzan este máximo? Si, hay toda una clase de métodos (Fourier es uno de ellos pero alcanza la máxima resolución espectral sacrificando la resolución temporal).

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Wavelets: ideas centrales

Tiempo

Fre

cuen

cia

t

f

• El análisis de wavelets:• Proporciona información sobre el espectro en función del tiempo.• La resolución espectral de una frecuencia f es: f f• La resolución temporal de esta misma frecuencia es: t 1/f (tf = cst).

• Gráficamente:

¿Cómo sería estagráfica para latransformada de Gabor? ¿Qué información se pierde?

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Wavelets: ideas centrales

• De alguna manera, esta forma de descomponer la señal es “ideal” o “natural”:los eventos de baja frecuencia suelen durar en el tiempo, mientras que los eventos de frecuencia alta suelen ser breves (piensa en “eddies” turbulentos, remolinos).

• Este análisis está especialmente indicado para señales con “intermitencias” o “pulsos”: eventos que ocurren de manera no periódica. Para este tipo de señales, Fourier nos proporciona muy poca información, al perder casi toda información temporal.

• Fourier es “inestable” frente a señales de tipo intermitentes: si añadimos un impulso localizado en el tiempo a una señal, todo el espectro de Fourier se verá afectado, mientras que solo algunos coeficientes de wavelets se modificarán.

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Wavelets: ideas centrales

• En particular, pensando en sistema dinámicos:• Cuando un sistema es lineal y los modos de vibración son modos propios del sistema, entonces el análisis de Fourier proporciona mucha información sobre los mismos.• Pero si, por el contrario, los modos no son modos propios, entonces la descomposición en modos (propios) no revela ninguna información interesante, ya que mezcla la información de los varios modos de oscilación (que no son modos propios).• Y sabemos que sistemas no lineales con disipación no tienen modos propios, así que ninguna descomposición global en el espíritu del análisis de Fourier tendrá éxito.• Por tanto, en este caso uno se debe limitar a una expansión local en modos, que es lo que hace el análisis de wavelets. Esta descomposición local (como un desarollo tipo Taylor) funciona porque:el sistema dinámico puede aproximarse linealmente en un entorno de un punto (siempre que la no-linealidad del sistema no es demasiado fuerte).

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Transformadas generalizadas

• Definición general de la transformada lineal de una función (Fourier, Gabor, wavelet,...):

Type of transformψ a(t−τ)

Fourier eit/a

Gabor eit/a ⋅w t−τ( )

Wavelet1a

ψt −τ

a⎛ ⎝

⎞ ⎠

• 1/a juega el papel de

• w: función de peso/ventana (normalmente una Gaussiana)

• ¡La propiedad de escalado caracterizalos wavelets, no la función particularelegida!

S(a,τ) = ψ a(t −τ) ⋅x(t) dt−∞

∫ *

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Transformadas generalizadas

• Como veremos más adelante, esta propiedad de escalado (“scaling”) es muy apropiada para el estudio de señales con auto-similaridad (estructura a muchasescalas, o sin escala –tamaño– definida). Encontraremos este tipo de señales en el estudio de caos y turbulencia.

• Nota que la transformada:

se puede considerar un producto interior:

(teoría de funciones). Visto así, cualquier transformada de una función puede considerarse un cambio de base siempre que las funciones base sean ortonormales (esto es necesario para conservar la información):

S(a,τ) = ψ a(t −τ) ⋅x(t) dt−∞

∫ *

S(a,τ) = ψ a,τ (t),x(t)*

ψ a,τ(t),ψ b,θ(t) =δabδτθ* *

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Transformadas generalizadas

• Esta exigencia (ortonormalidad) se cumple automáticamente para Fourier.• Se cumple sólo aproximadamente para Gabor.• Se cumple para los wavelets si se imponen algunas condiciones adicionales a la función (ver más adelante).• Hay una cuarta transformada que se puede definir de una forma natural en el formalismo de productos interiores: la transformada identidad. Es la transformación trivial con

que transforma x(t) en x(t).• La transformada de wavelets está a mitad de camino entre la transformada de Fourier (con t = ∞ y f = 0)* y la identidad (con t = 0 y f = ∞)*. Es un compromiso entre resolución temporal y resolución en frecuencias.

ψ a,τ(t) =δτt

* Señal de N puntos que dura un tiempo T: Fourier: t = T y f = 1/2T. Identidad: t = T/N y f = N/2T.

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Ejemplos de

Gabor WaveletM

enor

esc

ala

(a)

o m

ayor

fre

cuen

cia

()

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Definiciones de wavelets

• Haciéndo un paréntesis en cuanto a la ortonormalidad (que volveremos a abordar cuando nos referimos de la transformada discreta, igual que pasó con Fourier), la transformada de wavelets contínua es:

ψ a τ( ) =1a

ψτa

⎛ ⎝

⎞ ⎠ S(a,τ) = ψ a * (t−τ) ⋅x(t) dt

−∞

(Se escribe a* en lugar de a para indicar “complejo conjugado”, así generalizando a ’s complejos, igual que se hace con Fourier).• Escribiendo esto usando transformadas de Fourier:

S(a,τ) = ˆ ψ (aω)* ⋅ˆ x (ω)eiωτdω−∞

“Filtro”

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Definiciones de wavelets

• S(a,) se puede entender como la versión filtrada de x(t), usando un filtro de “escala a”, que es un filtro de paso-banda centrado en la frecuencia = 1/a.

• La expresión anterior sirve para deducir que la transformada de wavelets, promediada sobre la variable , se aproxima al espectro de Fourier (como era de esperar).

S2(a,τ)τ

= ˆ ψ a(ω)∫2

ˆ x (ω)2dω

• En otras palabras, la forma del espectro de wavelets promediada es igual que la forma (suavizada con el filtro de los wavelets) del espectro de Fourier.

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Definiciones de wavelets

ˆ ψ (ω)2

ωdω

−∞

∫ <∞

• Esto garantiza cierta localización en el espacio de frecuencias y permite la inversión de la transformada.• Se supone que también está localizado en el tiempo.• Matemáticamente, no hay más exigencias. ¡Por tanto, la funciones admisibles como wavelets son muchas!• El requisito de arriba significa que el componente cero de la transformada de Fourier del wavelet debe ser cero, así que el promedio debe ser cero.

c =

• Se supone siempre que x(t) es una señal que es “integrable al cuadrado”.• La función debe cumplir el siguiente requisito:

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Definiciones de wavelets

ψ a τ( ) =1a

ψτa

⎛ ⎝

⎞ ⎠

• El factor 1/a no es necesario. Se usa también 1/a o 1, pero 1/a garantiza que la norma L2 de la señal es igual que la de la transformada.• La transformada es invertible, y la inversa es:

x(t) =cψ−1 dτ

daa2 ψ a(t−τ)S(a,τ)

0

∫−∞

donde c es la constante de normalización de la condición de admisibilidad.• Así, la señal es una superposición lineal de wavelets a, con coeficientes S(a,).• En el espacio de wavelets, el elemento de “volumen” natural es: dda/a2, invariante bajo cambios en tiempo o escala (ya que t = cst.).

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La transformada discreta

• La transformada discreta de wavelets surge al restringir los parametros a y a ciertos valores discretos.• La elección más común es la rejilla diádica:

Sj,k =1

2j /2 ψ * 2−jτ−k( )x(τ)dτ−∞

x(t) = Sj ,k˜ ψ j,k(τ)

j ,k∈Z∑

con su inversa

función por definir

• Estas transformadas se pueden definir inluso para funciones no-ortogonales.• Nosotros sin embargo exigiremos ortogonalidad, lo que nos lleva al concepto del análisis multi-resolución.

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La transformada discreta y ortogonal: FWT

• El análisis de wavelets tomó vuelo cuando se descubrió que de hecho existen funciones ortogonales de este tipo.

• Esto conlleva:• Conservación de información• Posibilidad de construir algoritmos rápidos

• En suma, esto puso el análisis de wavelets al mismo nivel que el de Fourier.

• Entre los wavelets ortogonales se distinguen: • wavelets de soporte compacto• otros wavelets

• Los wavelets de soporte compacto sólo difieren de cero en un intervalo finito, y permiten algoritmos de transformación incluso más rápidos que la FFT.

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Wavelets de soporte compacto

• Todos los wavelets se caracterizan por dos funciones, conocidos como:• La función de escala madre, • El wavelet madre,

• Ejemplo: el “Haar” wavelet = “Daubechies” wavelet de orden 0:

0 1 0 1

“integrar” “diferenciar”

función de escala wavelet

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Wavelets de soporte compacto

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 50 100 150 200 250-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 50 100 150 200 250

• Los wavelets de Daubechies son los más conocidos. Se muestra :

orden 4 orden 12

• Son fractales. Su estructura surge automáticamente a partir de las reglas de escalado y ortonormalidad. • Sus derivadas no son contínuas (es una característica de wavelets de soporte compacto).

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-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x(t)

Descomposicón de una señal en wavelets

• Como ejemplo, usamos el wavelet más sencillo: el wavelet de Haar.• Señal de 16 puntos: el nivel más alto de wavelets es 4 (24 = 16)

señal

4

• La señal puede descomponerse así:

x(t) = si4

i=0

15

∑ φi4(t)

donde los factores s son, exactamente:

si4 =x((i +1)/ 16)

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Descomposicón de una señal en wavelets

• Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, 2ik y 2i+1

k, se pueden escribir como la suma de:una funcion de escala de nivel k-1 y un wavelet de nivel k-1:

= +

2ik

2i+1k

ik-1 i

k-1

• Así, la expresión para x(t) se puede escribir:

x(t) = si4

i=0

15

∑ φi4(t)= si

3

i=0

7

∑ φi3(t) + di

3

i=0

7

∑ ψ i3(t)

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Descomposicón de una señal en wavelets

• La denominación “s” y “d”es tradicional.• s: “smooth” o “sum”• d: “detail” o “difference”

• Es evidente que el procedimiento de descomposición se puede repetir recursivamente para niveles más bajos (al menos es evidente para señales con un número de puntos que es una potencia de 2; nos limitaremos a este caso).• La recursión termina al llegar al nivel 0. Este nivel representa la transformada completa de wavelets. Para este ejemplo:

x(t) =s00φ0

0(t) +d00ψ 0

0(t) + di1

i=0

1

∑ ψ i1(t)+ di

2

i=0

3

∑ ψ i2(t) + di

3

i=0

7

∑ ψ i3(t)

• Como era de esperar, el número total de coeficientes de wavelets es:1+1+2+4+8=16, igual que el número de puntos de la señal.

sik−1 =1

2 s2ik +1

2 s2i+1k ; di

k−1 =12 s2i

k −12 s2i+1

k donde:

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Descomposicón de una señal en wavelets

• Invirtiendo el proceso anterior, se obtiene la transformada inversa de wavelets.• También es recursiva. Empezando al nivel más bajo (0), se obtiene el nivel inmediatamente superior mediante:

s2ik+1 =si

k +dik; s2i+1

k+1 =sik −di

k

(estas fórmulas valen sólo para los wavelets de Haar)

• El procedimiento anterior vale para el wavelet de Haar, que tiene un soporte de dos puntos (un wavelet consiste de 2 valores).• Se puede generalizar fácilmente a wavelets que tienen un soporte de más puntos. Las sumas y restas se deben calcular sobre el número de puntos del soporte.

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Wavelets de Daubechies

• Como ejemplo de la contrucción de wavelets más interesantes que los de Haar, construiremos los de Daubechies.• Para tomar un caso sencillo, construiremos el wavelet de Daubechies de soporte N=4.• Entoces, la función de escala madre de cada nivel j debe construirse a partir de cuatro funciones de escala de nivel j-1:

• Similarmente, el wavelet madre se construye así:

• Ortogonal a la función de escala; es complementario, también conocido como “el filtro dual”: suaviza (paso-bajo), pero differencia (paso-alto).

ψ (x) = −1( )kck

k=0

N−1

∑ φ(2x+k −N +1)

φ(x) = ckk=0

N−1

∑ φ(2x−k)

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Wavelets de Daubechies

• Tomando las definiciones anteriores como una prescripción iterativa para la construcción de los wavelets, y aplicándolas repetidas veces sobre una función arbitraria inicial, esta evolucionará hacia la función escala y wavelet deseados.• Sin embargo, se puede proceder de manera más sistemática. Integrando la ecuación para a ambos lados, se obtiene:

φ(x)dx−∞

∫ = ckk=0

N−1

∑ φ(2x−k)dx−∞

∫ = ckk=0

N−1

∑ 12

φ(y)dy−∞

y por tanto

ckk=0

N−1

∑ =2

• Esta condición garantiza la conservación de área para la función de escala, al reescalarla.• Es la primera condición que deben cumplir los coeficientes ck.

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Wavelets de Daubechies

• Los wavelets de soporte N tienen N coeficientes, así que para definirlos inequívocamente hay que encontrar N ecuaciones para los coeficientes. Ya tenemos una (conservación de área).• Se puede obtener otra condición a partir del espectro de la función de escala:

• Usando la definición de :

P(ω) =12π

φ(x)e−iωxdx−∞

• Definiendo:

P(ω) =12π

ckk∑ φ(2x −k)e−iωxdx

−∞

∫ =12

cke−iωk/2P(ω / 2)

k∑

p(ω / 2)=12

cke−iωk /2

k∑

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Wavelets de Daubechies

−1( )kkmck =0

k=0

N−1

y con

P(ω) =p(ω / 2)P(ω / 2) =p(ω / 2)p(ω / 4)P(ω / 4)

P(0)=1

2πφ(x)dx=

12π−∞

se obtiene

P(ω) =12π

pω / 2j( )

j=1

• Esta sumatoria infinita debe ser finita. Daubechies impone un cero de orden N en el punto :

dmp(ω)dωm =0

para m = 0, ... , N

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Wavelets de Daubechies

• Esta condición se concoce como la condición de precisión (accuracy condition), ya que esta elección garantiza la mejor precisión posible en la representación de una función por wavelets, cuando la función es un polinomio.

• Finalmente, hay otra condición más general para garantizar que la inversa de la transformada de wavelets, escrita como una multiplicación de matriz, es igual a la traspuesta de la transformada directa (A-1 = AT) – en otras palabras, que la transformada sea ortogonal. Es la condición de ortogonalidad:

ckck+2m =0k=0

N−1

∑ m > 0

• Aunque hay ahora N+1 ecuaciones, existen dependencias entre ellas de tal forma que hay una ecuación redundante.

ck2 =2

k=0

N−1

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Wavelets de Daubechies

• Ahora podemos juntar todas las condiciones y calcular los coeficientes.

N = 2:c0 + c1 = 2c0 – c1 = 0c0

2 + c12 = 2

N = 4:c0 + c1 + c2 + c3 = 2c0 – c1 + c2 – c3 = 0– c1 + 2c2 – 3c3 = 0c0 c2 + c1c3 = 0c0

2 + c12 + c2

2 + c32 = 2

c0 = c1 = 1c0 = (1+√3)/4c1 = (3+√3)/4c2 = (3–√3)/4c3 = (1–√3)/4

etc.

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Wavelets de Daubechies

• Los wavelets definidos así tienen unas propiedades extraordinarias:

φ(x)φ(x−m)dx=0 (m≠0)−∞

ψ (x)φ(x −m)dx=0−∞

ψ (x)ψ (x−m)dx=0−∞

∫ (m≠0)

ψ (2nx)φ(x−m)dx=0−∞

∫ (n≥0)

ψ (x)ψ (2nx −m)dx=0−∞

∫ (n≥0; m≠0 cuando n=0)

Ortogonalidad frente adesplazamiento en el mismonivel

Ortogonalidadentre nivelesdiferentes

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Otros tipos de wavelets

• Los wavelets de Daubechies son compactos en el “tiempo”, y por tanto tienen unaextensión infinita en el espacio de “frecuencias” (debido a t ≥ ).• Esto se manifiesta en la naturaleza no-suave (no diferenciable) de los mismos.

• Existen otros muchos wavelets que son compactos en el espacio de “frecuencias” (suaves) y que por ello se extienden hacia infinito en el “tiempo”.• Tienen la desventaja que no existen algoritmos muy rápidos para la transformación (los más rápidos están basados en la FFT), y la ventaja de ser diferenciables.• Ejemplos:

• Wavelet armónico• Wavelet de Meyer

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Uso práctico en el análisis de datos

• Representación de las frecuencias presentes en una señal frente al tiempo.• Lo que se representa es el cuadrado de los coeficientes de wavelets.• ¡La “rejilla” de representación no es uniforme!

tiempo

log 2(

frec

uenc

ia)

s00

d00

d01 d11

d02 d12 d22 d32

d03 d13 d23 d33 d43 d53 d63 d73

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30

El análisis de datos

• Volvemos a los wavelets continuos.• Al ser más suaves y al no estar limitadas a ciertas posiciones en el plano tiempo/frecuencia (la rejilla diádica de los wavelets ortogonales), a veces son preferibles sobre los ortogonales, incluso si los cálculos tardan mucho más.

• Debido al hecho de que las señales experimentales están siempre contaminadas con ruido, los coeficientes S oscilarán mucho, especialmente para las frecuencias altas (a pequeño).• Para suavizar este problema, a veces se promedian los coeficientes sobre intervalos T. El intervalo de suavizado debe ser menor que el evento más rápido que se quiere seguir.

Sx(a,τ) = ψ a *(t−τ)⋅x(t) dt−∞

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El análisis de datos

• Si elegimos el tiempo T centrado en un tiempo T0:T: {T0 – T/2 ≤ ≤ T0 + T/2}

• se puede calcular el espectro cruzado y suavizado de wavelets así:

Cxyw(a,T0) = Sx

*(a,τ)Sy(a,τ)T∫ dτ

y lo mismo se puede hacer para todas las demás cantidades (coherencias, ...)• Este procedimiento, además, permite definir un nivel de error para los estimados espectrales obtenidos: suponiendo que el error relativo máximo en un coeficiente S es 1, y que el suavizado sobre el tiempo T involucra N coeficientes independientes S, el error relativo en el espectro suavizado C es 1/√N.• La exigencia de que los coeficientes sean independientes se traduce en que su separación temporal debe ser = a/2. Por tanto, una estimación del error relativo es:

• y el espectro cruzado, suavizado, y con retraso:

Cxyw(a,T0,Δτ) = Sx

*(a,τ)Sy(a,τ+Δτ)T∫ dτ

ε(Cxyw) ≈

a2τsamp

⋅1N

⎣ ⎢

⎦ ⎥

12

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Uso práctico

Seno con frecuencia variable como:f = 1000/(10+t)

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Uso práctico: ejemplo

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

2 4 6 8

200

150

100

50

Señal con altas y bajas frecuencias

Resultado del análisis con wavelets:

es posible seguir las frecuencias dominantes en el tiempo

frec

uenc

ia

tiempo

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El análisis de datos

• Es posible adaptar el tipo de wavelet a las necesidades del análisis. Es decir, elegir un tipo de wavelet similar al tipo de pulso que se espera detectar en la señal.• Por ejemplo, la función de autocorrelación de las fluctuaciones de densidad en plasmas de fusión tiene este aspecto:

• Esto indica que esta es la forma dominante de las fluctuaciones (similar a un solitón). Por tanto, se podrían analizar estas fluctuaciones con un wavelet que tiene esta forma aproximadamente (“Mexican hat”).

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

RealImag

Wavelet amplitude

Time

Mexican Hat wavelet