Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze středním školám

1

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze středním školám

Pořadové číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0068

Šablona: IV/2 Sada: 1Číslo: VY_42_INOVACE_31 SM4 DK

2

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.

Předmět: Seminář matematiky

Ročník: 4 (4/4G, 6/6G)

Anotace: Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Klíčová slova: Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. Geometrický význam absolutní hodnoty. Metoda nulových bodů.

Jméno autora: Mgr. Dagmar Kolářová

Škola: Gymnázium Hranice, Zborovská 293, 753 11 Hranice

3

Rovnice s absolutní hodnotou Definice absolutní hodnoty: Absolutní hodnota reálného čísla je takové číslo, pro které

platí: 1. =a pro každé a 2. =-a pro každé a

Absolutní hodnota čísla udává vzdálenost čísla a od počátku na číselné ose.

Řešte v R: |𝑥|=3 0 |𝑥|=−1

{−3 ;3 }Výsledky {0 } 𝐾=∅Výsledky Výsledky

4

Rovnice s absolutní hodnotou Absolutní hodnota rozdílu 2 čísel udává vzdálenost

těchto dvou čísel na číselné ose.

Řešte v R pomocí geometrického významu absolutní hodnoty.

|𝑥−1|=3 |𝑥+2|=0 |𝑥−4|=−1{−2; 4 }Výsledky {−2 } 𝐾=∅Výsledky Výsledky

1 4

{52 ; 72 }Výsledky {− 149 ; 109 }Výsledky

5

Rovnice s absolutní hodnotou Metoda nulových bodů

1. Rovnici anulujeme2. Určíme nulové body absolutních hodnot a naneseme na

číselnou osu3. Odstraníme absolutní hodnoty v jednotlivých intervalech a

rovnici v každém intervalu vyřešíme4. Zkontrolujeme, zda řešení náleží do intervalu na němž rovnici

řešíme

Řešte v R:

|𝑥|+2|𝑥+1|−3|𝑥−3|=0

|𝑥+5|−|𝑥−2|=|𝑥|−𝑥+7

{76 }Výsledky

⟨2 ;+∞ )Výsledky

𝐾=∅Výsledky

|𝑥+2|−2|2𝑥+4|=|3𝑥−1|

[1]

6

Nerovnice s absolutní hodnotou

Řešte v R geometrickým významem absolutní hodnoty: |𝑥|<3 ≧1 |𝑥|>−1

(−3 ;3)Výsledky (−∞ ;−1 ⟩∪ ⟨1 ;+∞ ) 𝐾=𝑅Výsledky Výsledky

≤0

|𝑥|≤−4

⟨− 23 ; 23 ⟩Výsledky ⟨−4 ; 4 ⟩𝐾=∅Výsledky Výsledky

0 0 0

|−𝑥|≤ 4

𝑅∖ {0 }Výsledky RVýsledky {0 }Výsledky𝐾=∅Výsledky

Řešte v R geometrickým významem absolutní hodnoty:

7

Nerovnice s absolutní hodnotou

|𝑥−1|<3 |𝑥+2|>0 |𝑥−4|≥−1(−2; 4)Výsledky 𝑅∖ {−2 } RVýsledky Výsledky

|2 𝑥−6|≥1 4

(−∞ ; 52 ⟩∪ ⟨ 72 ; +∞ )Výsledky (−∞ ;−149 )∪( 109 ;+∞ )

4

⟨−109 ; 149 ⟩Výsledky Výsledky

8

Nerovnice s absolutní hodnotou Metoda nulových bodů

1. Nerovnici anulujeme2. Určíme nulové body absolutních hodnot a naneseme na

číselnou osu3. Odstraníme absolutní hodnoty v jednotlivých intervalech a

nerovnici v každém intervalu vyřešíme4. Zkontrolujeme, zda řešení náleží do intervalu na němž

nerovnici řešíme

Řešte v R:

|3 𝑥+1|−|𝑥−2|>−1

2𝑥−14 +|2𝑥−6|≤ 5−𝑥2

(−∞;−1 )∪ (0 ;+∞ )Výsledky

𝐾=∅

[1]

Výsledky

9

Příklady Množinou všech řešení nerovnice je množina:

[2]

𝑣𝑦𝑛 á𝑠𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑖 ,𝐵Výsledky

1|3 𝑥+5|

<1 𝐴 ¿(−2 ;− 43 )∖{− 53 }𝐵 ¿ (−∞;−2 )∪(− 43 ;+∞)

C

𝐷 ¿ (−∞ ;−2 )

10

Příklady Jsou dány množiny:

Vyznačte na číselné ose množiny

Řešte v R:

[1]

⟨−6 ;−5 ⟩∪ ⟨−1 ;0 ⟩

𝐴= {𝑥∈𝑅 ;|𝑥−3|≤2 }𝐵={𝑥∈𝑅 ;|𝑥|≥3 }

2≤|𝑥+3|≤3 Výsledky

𝐴= ⟨1 ;5 ⟩ ;𝐵=(−∞; −3 ⟩∪ ⟨3 ;+∞ )Výsledky

[1]

11

Internetové zdroje příkladů

Příklady:

http://www.priklady.eu/cs/Matematika.alej

http://educhem.cz/skola/maturitni-zkousky/zkusebni-ulohy-a-temata/podklady-pro-pripravu/

12

ZdrojeKnihy:

1. Janeček, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy. Výrazy, rovnice a nerovnice a jejich soustavy. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-076-4.

2. Zhouf, Jaroslav. Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky . Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-249-X.

Web:1. Mgr. Roman Hesteric. Matematika - příklady.eu. www.priklady.eu.

[Online] 2013. [Citace: 10. 07 2013.] http://www.priklady.eu/cs/Matematika.ale.

2. Matematika - podklady pro přípravu. educhem.cz. [Online] 2013. [Citace: 10. 07 2013.] http://educhem.cz/skola/wp-content/uploads/2012/01/%C4%8C%C3%ADseln%C3%A9-mno%C5%BEiny.pdf.