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Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 19.01.2018 (Teil 2) 17. Januar 2018
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Sep 16, 2019

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Tutorium: Diskrete MathematikVorbereitung der Bonusklausur am 19.01.2018

(Teil 2)

17. Januar 2018

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Steven Kö[email protected]

mathe.stevenkoehler.de

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Algebraische Strukturen

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Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen I

Eine algebraische Struktur (oder Algebra) ist ein Paar(A, (fi )

),

bestehend aus einer nichtleeren Menge A, der Trägermenge der Al-gebra, und einer Familie (Menge) von (endlichstelligen) Verknüp-fungen auf A, die auch fundamentale Operationen genannt werden.

Meistens hat eine Algebra nur endlich viele Verknüpfungen f1, . . . , fn;man schreibt dann für die Algebra einfach nur(

A, f1, . . . , fn).

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Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen II

Die Trägermenge A der Algebra ist abgeschlossen bezüglich derdefinierten Operationen, d.h., die Verknüpfung von zwei Elemen-ten a, b ∈ A (im Fall einer binären Verknüpfung) liefert stets einElement c ∈ A. a, b und c müssen dabei nicht notwendigerweiseverschieden sein.

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Algebraische Strukturen

Halbgruppen I

Eine Halbgruppe ist eine algebraische Struktur

H =(H, ?

)mit der Trägermenge H und einer zweistelligen Verknüpfung ?.

Für die Verknüpfung ? gilt das Assoziativgesetz, d.h., für alle a, b, c ∈H gilt stets

a ? (b ? c) = (a ? b) ? c .

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Algebraische Strukturen

Halbgruppen II

Häufig wird für die Verknüpfung ? das Symbol · benutzt, manspricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe. Wieauch bei der gewöhnlichen Multiplikation, kann in vielen Situatio-nen der Malpunkt weggelassen werden.

Eine Halbgruppe lässt sich auch additiv notieren, indem für dieVerknüpfung ? das Symbol + benutzt wird.

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Algebraische Strukturen

Halbgruppen III

Da das Assoziativgesetz gilt, kann eine vereinfachte, klammerfreieNotation verwendet werden:

a ? (b ? c) = (a ? b) ? c = a ? b ? c .

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Algebraische Strukturen

Monoide I

Ein Monoid ist eine algebraische Struktur

M =(M, ?

)mit der Trägermenge M und einer zweistelligen Verknüpfung ?.

Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit einem neutralen Element e.

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Algebraische Strukturen

Monoide II

Für Monoide gelten also die folgenden Eigenschaften:

I Für die Verknüpfung ? gilt das Assoziativgesetz:

∀a, b, c ∈ M : a ? (b ? c) = (a ? b) ? c = a ? b ? c .

I Es existiert ein neutrales Element e, für das gilt:

∀a ∈ M : e ? a = a ? e = a.

Das Element e ist also sowohl links- als auch rechtsneutralbzgl. der definierten Operation ?.

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Algebraische Strukturen

Aufgabe 1

Entscheide für die folgenden Punkte, ob es sich um Monoide han-delt. Begründe deine Antworten.

a)(N,+

)b)(N0, :

)c)(Z,−

)

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Algebraische Strukturen

Gruppen I

Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur

G =(G , ?

)mit der Trägermenge G und einer zweistelligen Verknüpfung ?.

Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem für jedes Element a ∈ G daszugehörige inverse Element a−1 in G enthalten ist.

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Algebraische Strukturen

Gruppen II

Für Gruppen gelten also die folgenden Eigenschaften:

I Für die Verknüpfung ? gilt das Assoziativgesetz:

∀a, b, c ∈ G : a ? (b ? c) = (a ? b) ? c = a ? b ? c .

I Es existiert ein neutrales Element e, für das gilt:

∀a ∈ G : e ? a = a ? e = a.

I Existenz inverser Elemente:

∀a ∈ G : ∃a−1 ∈ G mit a ? a−1 = a−1 ? a = e.

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Algebraische Strukturen

Gruppen III

Beispiele für Gruppen

I(Z,+

)I(Q \

{0}, ·)

I(R,+

)I Kleinsche VierergruppeI Dreiecksgruppe

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Algebraische Strukturen

Die Dreiecksgruppe I

Die Dreiecksgruppe G∆ ist eine Gruppe, die die folgenden Elementeenthält:

i , r und s sind dabei Drehungen um 0◦, 120◦ bzw. 240◦. x , y undz sind Spiegelungen an den Winkelhalbierenden des Dreiecks.

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Algebraische Strukturen

Die Dreiecksgruppe II

Diese Gruppe besitzt die folgende Gruppentafel, in der die Ergeb-nisse der Veknüpfung der Elemente tabellarisch notiert sind:

◦ i r s x y z

i i r s x y z

r r s i y z x

s s i r z x y

x x z y i s r

y y x z r i s

z z y x s r i

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Algebraische Strukturen

Aufgabe 2

Bestimme die Elemente der Rechteckgruppe und stelle die Grup-pentafel dieser Gruppe auf.

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Algebraische Strukturen

Die Ordnung einer Gruppe

Die Mächtigkeit (Kardinalität) |G | der Trägermenge der Gruppenennt man die Ordnung der Gruppe oder auch die Gruppenord-nung.

Für endliche Mengen G ist dies einfach die Anzahl der Elemente inG .

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Algebraische Strukturen

Die Ordnung eines Gruppenelements

Unter der Ordnung eines Elements a ∈ G einer Gruppe G = (G , ?)versteht man die kleinste natürliche Zahl m > 0, für die am = egilt; e ist dabei das neutrale Element der Gruppe.

Gibt es keine derartige Zahl m, so hat a unendliche Ordnung.

Man definiert die Potenzen eines Gruppenelements wie folgt:

a0 := e

an+1 := an ? a.

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Algebraische Strukturen

Untergruppen I

Ist U eine Teilmenge der Trägermenge G einer Gruppe G = (G , ?)(also U ⊆ G ) und ist U = (U, ?) selbst eine Gruppe, so nennt manU eine Untergruppe von G.

Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe von G ist, genügt es zuzeigen, dass Folgendes gilt:I U 6= ∅I a, b ∈ U ⇒ a ? b, b ? a ∈ U;I a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U.

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Algebraische Strukturen

Untergruppen II

Jedes Element a ∈ G einer Gruppe G erzeugt eine Untergruppe H.

Die durch a ∈ G erzeugte Untergruppe wird mit < a > bezeichnet.

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Algebraische Strukturen

Aufgabe 3

Gegeben seien die beiden Gruppen G = (G , ?) und H = (H, ?).Zeige, dass (G ∩H, ?) sowohl eine Untergruppe von G als auch vonH ist.

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Algebraische Strukturen

Der Satz von Lagrange

Der Satz von Lagrange wurde nach dem italienischen MathematikerJoseph-Louis Lagrange benannt.

Der Satz besagt, dass die Mächtigkeit (oder Ordnung) einer Un-tergruppe stets die Mächtigkeit der Gruppe teilt.

Es sei G eine endliche Gruppe:I Ist H eine Untergruppe von G, so ist die Mächtigkeit |H| ein

Teiler von |G |.I Insbesondere teilt die Ordnung eines Elements a ∈ G die

Mächtigkeit |G | von G .

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Algebraische Strukturen

Aufgabe 4

Gegeben seien die beiden Gruppen G = (G , ?) und H = (H, ?). Esgelte |G | = 48 und |H| = 56. Zudem gelte |G ∩ H| ≥ 2. Zeige,dass in (G ∩ H, ?) stets ein Element der Ordnung 2 existiert.

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Algebraische Strukturen

Die symmetrische Gruppe

Als symmetrische Gruppe bezeichnet man die Gruppe Sn aller mög-lichen Permutationen über n Elementen.

Die Operation der Gruppe ist die Nacheinanderausführung ◦ vonPermutationen.

Da es n! verschiedene Permutationen über n Elementen gibt, gilt

|Sn| = n!

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Algebraische Strukturen

Permutationsgruppen

Als Permutationsgruppe bezeichnet man eine Untergruppe einersymmetrischen Gruppe Sn.

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Algebraische Strukturen

Isomorphie von Gruppen

Zwei Gruppen heißen isomorph oder strukturgleich, wenn ihre Grup-pentafeln bis auf die Bezeichnungen der Elemente übereinstimmen.

Eine wichtige Voraussetzung für Isomorphie ist, dass die Gruppengleichviele Elemente einer jeweiligen Ordnung besitzen.

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Algebraische Strukturen

Aufgabe 5

Zeige, dass (bis auf Isomorphie) genau 2 verschiedene Gruppen derOrdnung 4 existieren.

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Algebraische Strukturen

Zyklische Gruppen

Eine Gruppe G = (G , ?) heißt zyklisch, wenn sie mindestens einElement enthält, aus dem sämtliche Elemente der Gruppe erzeugtwerden können.

Mit anderen Worten: In G muss mindestens ein Element der Ord-nung |G | existieren.

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Algebraische Strukturen

Abelsche Gruppen

Eine Gruppe G = (G , ?) heißt abelsch oder kommutativ, wenn zu-sätzlich zu den bisher genannten Gruppeneigenschaften das Kom-mutativgesetz gilt, d.h.:

∀a, b ∈ G : a ? b = b ? a.

� 30 c© 2018 Steven Köhler 17. Januar 2018

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Algebraische Strukturen

Nebenklassen

Es sei H eine Untergruppe einer Gruppe G und a sei ein Elementvon G . Mithilfe von a und H definieren wir eine Teilmenge von Gwie folgt:

aH :={g ∈ G : Es gibt ein h ∈ H mit g = a ? h

}.

Man nennt eine solche Teilmenge aH eine Linksnebenklasse vonH in G.

Analog werden die Rechtsnebenklassen Ha definiert.

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Algebraische Strukturen

Aufgabe 6

Es sei G die symmetrische Gruppe S3 und H die durch das Element(12) erzeugte Untergruppe von G. Bestimme die Links- und dieRechtsnebenklassen von H.

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Algebraische Strukturen

Ringe I

Ein Ring ist eine algebraische Struktur

R =(R,+, ·

)mit der Trägermenge R und zwei zweistelligen Verknüpfungen +und ·.

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Algebraische Strukturen

Ringe II

In einem Ring gelten die folgenden Eigenschaften:I Bezüglich der Operation + bildet (R,+) eine kommutative

Gruppe.I Bezüglich der Operation · bildet (R, ·) ein Monoid.I Es gelten die Distributivgesetze:

a · (b + c) = a · b + a · c;(a+ b) · c = a · c + b · c .

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Algebraische Strukturen

Die Einheitengruppe

Als Einheitengruppe E (R) eines Rings R bezeichnet man die Men-ge derjenigen Elemente, die im Ring R ein multiplikatives Inversesbesitzen.

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Algebraische Strukturen

Aufgabe 7

Bestimme die Einheitengruppe des Rings (Z42,+, ·).

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Algebraische Strukturen

Körper I

Ein Körper ist eine algebraische Struktur

K =(K ,+, ·

)mit der Trägermenge K und zwei zweistelligen Verknüpfungen +und ·.

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Algebraische Strukturen

Körper II

In einem Körper gelten die folgenden Eigenschaften:I Bezüglich der Operation + bildet (K ,+) eine kommutative

Gruppe.I Bezüglich der Operation · bildet (K \

{e+

}, ·) eine

kommutative Gruppe.I Es gelten die Distributivgesetze:

a · (b + c) = a · b + a · c ;(a+ b) · c = a · c + b · c .

� 38 c© 2018 Steven Köhler 17. Januar 2018

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Algebraische Strukturen

Körper III

Beispiele für Körper

I (Q,+, ·)I (R,+, ·)I (C,+, ·)I der Galoiskörper GF2 (oder auch F2)

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Permutationen

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Permutationen

Aufgabe 8 a-d

Eine Permutation π ∈ S9 sei wie folgt definiert:

π =

(1 2 3 4 5 6 7 8 93 1 2 5 7 4 6 9 8

).

a) Gib π in Zyklenschreibweise an.b) Gib π als Nacheinanderausführung von Transpositionen an.c) Ist π eine gerade oder eine ungerade Permutation?d) Bestimme signπ.

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Permutationen

Aufgabe 8 e-f

π =

(1 2 3 4 5 6 7 8 93 1 2 5 7 4 6 9 8

)e) Entscheide, ob durch die folgende Permutation ρ ∈ S9 dieselbe

Permutation wie durch π beschrieben wird:

ρ = (12)(23)(13)(42)(98)(46)(12)(16)(21)(25)(83)(39)(98).

f) Entscheide, ob durch π und ϕ dieselbe Permutationbeschrieben ist:

π = (12)(34)(13)(24)(14)(23)ϕ = (13)(24)(12)(24)(13)(23).

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Viel Erfolg bei der Bonusklausur :)

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