Top Banner
Variabel Kompleks (VARKOM) Pertemuan 4 : Daerah dan lintasan pada bidang kompleks Oleh : Team Dosen Varkom S1-TT Team Dosen Varkom S1-TT Versi 02: Agustus 2018 Faculty of Electrical Engineering, Telkom University
27

Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Jul 01, 2019

Download

Documents

duongcong
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Variabel Kompleks (VARKOM)

Pertemuan 4 : Daerah dan lintasan padabidang kompleksOleh : Team Dosen Varkom S1-TT

Team Dosen Varkom S1-TT

Versi 02: Agustus 2018

Faculty of Electrical Engineering, Telkom University

Page 2: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Tujuan Perkuliahan

Tujuan dari Kuliah kali ini adalah menyampaikan teknik-teknikuntuk menyatakan suatu wilayah dan batas wilayah, serta lintasanpada bidang kompleks. Materi ini berguna dan menjadi landasandari materi tentang integral lintasan pada bagian selanjutnya dariMK ini.

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 1 / 26

Page 3: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Daftar Isi

1 Bidang kompleks

2 Lintasan

3 Latihan

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 2 / 26

Page 4: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks

1 Suatu variabel kompleks

z = x + yi

dapat mengambil sebarang nilaix dan y .

2 jika−∞ < x <∞

dan

−∞ < y <∞

maka variabel zmengambilbidang kompleks sepenuh.

y

x

Bidang z

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 3 / 26

Page 5: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks

1 Kita dapat menyeleksi sebagiandari bidang kompleks sesuaikeinginan.

2 Penyeleksian dapat dilakukandengan mengatur :

1 Modulus: |z|2 Argumen: ∠z3 Kombinasi Modulus dan

Argumen4 bagian Riil: Re(z)5 bagian Imaginer: Im(z)6 Kombinasi Riil dan Imaginer7 Kombinasi semua

x

y

x

y

x

y

x

y

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 4 / 26

Page 6: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks : notasi Polar

z = |z| ei∠z , |z| : modulus, dan ∠z : argumen.

Mengatur Modulus.

1 |z| = r0 menyatakan lingkaran:

1 pusat di O(0,0)

2 jari-jari r0

2 |z − z0| = r0 menyatakan lingkaran:

1 pusat di z0

2 jari-jari r0

xO

y ro

xz0

y ro

O

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 5 / 26

Page 7: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks : notasi Polar

Cobalah sketsa:

1 |z| = 2

2 |z| = 3

3 |z − (1 + i)| = 2

4 |z + 1 + 2i| = 3

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 6 / 26

Page 8: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks : notasi Polar

Mengatur area dengan Modulus.

1 Area di dalam lingkaran dinyatakandengan < atau ≤

2 Area di luar lingkaran dinyatakandengan > atau ≥

3 |z| < 5

4 |z| ≤ 5

5 Gambarkan : |x | ≥ 5

x

y

5

x

y

5

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 7 / 26

Page 9: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks : notasi Polar

Gambarkan:

1 |z − 1− i| < 5

2 |z + i| ≤ 5

3 |z + 1| ≥ 5

4 Variasi : |2z + 1| ≥ 5a

abagi kedua ruas dengan 2

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 8 / 26

Page 10: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks : notasi Polar

Gambarkan:

1 3 ≤ |z| < 5

2 3 ≤ |z − 1− i| < 5

3 3 ≤ |z + 1| ≤ 5

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 9 / 26

Page 11: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks : notasi Polar

Mengatur Argumen.

1 Arg(z) = θ0

2 adalah garis lurus dengansudut θ0 terhadap sumburiil.

3 Contoh : Arg(z)=300

4 Gambarkan : Arg(z)=1350

x

y

300

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 10 / 26

Page 12: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Dengan mengambil sudut argumen [00 − 3600], gambarkan:

1 Arg(z) ≤ 300

2 90 ≤ Arg(z) ≤ 1350

x

y

300

Arg(z) ≤ 300

x

y 900 ≤ Arg(z) ≤ 1350

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 11 / 26

Page 13: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Menggeser pusat koordinat:

1 0 ≤ Arg(z − i) ≤ 300

2 90 ≤ Arg(z +1+ i) ≤ 1350

x

y00 ≤ Arg(z − i) ≤ 300

x

y 900 ≤ Arg(z + 1 + i) ≤ 1350

i300

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 12 / 26

Page 14: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Mengatur Modulus dan Argumen sekaligus:

1 2 ≤ |z| ≤ 3 dan00 ≤ Arg(z) ≤ 300

2 1 ≤ |z| ≤ 4 dan90 ≤ Arg(z) ≤ 1350

x

y2 ≤ |z| ≤ 3 ; 0 ≤ Arg(z) ≤ 300

x

y

2 3300

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 13 / 26

Page 15: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks pada notasi Polar

Beberapa soal review:

1 Gambarkan : |z + 2| ≤ 1

2 |z + 2| ≤ 1 adalah area bagiandalam lingkaran tersebut.

3 Gambarkan : |z + 1− 2i|4 Gambarkan :

350 ≤ arg(z) ≤ 1000

5 Gambarkan :350 ≤ arg(z + 1 + i) ≤ 1000

Gambar:

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 14 / 26

Page 16: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks pada notasi Kartesian

Mengatur bagian Riil dan Imaginer.

Jika z = x + iy , maka

1 Re(z) = 0 ekivalendengan x = 0

2 Re(z) = 2 ekivalendengan 2 = 0

3 Im(z) = 0 ekivalendengan y > 0

4 Im(z) = 2 ekivalendengan y = 2

y

x0

x=0 x=2

y=0

y=2

2

2i

1-1 3

i

-i

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 15 / 26

Page 17: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks pada notasi Kartesian

Seleksi area bagian Riil dan Imaginer dilakukan dengan tanda <atau ≤ atau > atau ≥.

1 Re(z) > 0 ekivalendengan x > 0

2 Im(z) > 0 ekivalendengan y > 0

y

x0

x=0

21 3 x

y

x

Re(z) > 0

Im(z) > 0

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 16 / 26

Page 18: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks pada notasi Kartesian

Mengatur bagian Riil dan Imaginer.

y

x

Re(z)=2

2

Re(z)>2

3 Gambar daerah : Re(z) > 2

Cobalah :5 Gambarkan daerah : Re(z) ≤ 4

6 Gambarkan daerah :2 < Re(z) ≤ 4

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 17 / 26

Page 19: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks

Gambarkan:

1 Im(z) > −2

2 −2 < Im(z) ≤ 4

3 −2 < Im(z) ≤ 4dan Re(z) > 2

4 −2 < Im(z) ≤ 4dan0 ≤ Re(z) ≤ 2

1 2

3 4

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 18 / 26

Page 20: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks

Variasi lain:

1 Gambarkan :Re(z + 2 + 3i) < 5

2 Jawab :

Re(z + 2 + 3i) < 5

Re(x + yi + 2 + 3i) < 5

Re((x + 2) + (y + 3i)) < 5

x + 2 < 5

x < 3

Atau: Re(z) < 3

Gambar:

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 19 / 26

Page 21: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang kompleks

Variasi lain:

1 Gambarkan :Im(2z − 3 + 4i) < 7

2 Jawab :

Im(2z − 3 + 4i) < 7

Im(2(x + yi)− 3 + 4i) < 7

Im(2x + 2yi − 3 + 4i) < 7

Im((2x − 3) + (2y + 4)i) < 5

2y + 4 < 7

y <32

Atau: Im(z) < 32

Gambar:

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 20 / 26

Page 22: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Bidang Kompleks

Variasi lain:1 Gambar : Re(z) ≤ Im(z)2 Gambar : Re(z) ≤ Im(z + 3i)3 Gambar : Re(z + 5 + 3i) ≤ Im(z + 4− 2i)

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 21 / 26

Page 23: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Definisi Lintasan

Lintasan adalah arah tempat kedudukan berupa kurva padabidang kompleks:

1 Memiliki titik awal (z0)2 Memiliki titik akhir (zN )

y

x

z0

zN

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 22 / 26

Page 24: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Persamaan parameterik lintasan

Cara termudah menyatakan lintasan adalah dengan persamaanparametrik:

1 z = x + iy2 x dan y adalah fungsi t3 Contoh:

z = (t2 + 1) + i(t + 1)

dengan 0 ≤ t ≤ 2(misalnya)

4 titik awal : t = 0→z0 = 1 + i , titik ujungzN = 5 + 3i

y

x

z0 = (1, 1)

zN = (5, 3)t=0

t=2

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 23 / 26

Page 25: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Lintasan tertutup dan tidak tertutup

Lintasan tertutup : titik ujung bertemu titik awal zN = z0

Lintasan tak tertutup : titik ujung tidak bertemu titik awal zN 6= z0

y

x

z0

zN

y

x

z0 = zN

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 24 / 26

Page 26: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Lintasan pada bidang kompleks

Gambarkan lintasan pada bidang kompleks:

z = x(t) + iy(t)

dengan:1 x(t) = −t + 12 y(t) = t3

3 −1 ≤ t ≤ 1

t -1 -0,5 0 0.5 1z 2-i 0,5-i0,125 · · · · · · · · ·

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 25 / 26

Page 27: Variabel Kompleks (VARKOM) · Variabel Kompleks (VARKOM) ... 3 Contoh : Arg(z)=300 ... Bidang Kompleks pada notasi Polar Beberapa soal review: 1 Gambarkan: jz +2j 1

Bidang kompleks Lintasan Latihan

Latihan 4

Gambarkan:1 1 ≤ |z + 2i| ≤ 3

2 450 ≤ Arg(z + 1 + 2i) ≤ 1800

3 |z| ≤ 3 dan Re(z) ≥ 2

4 z = x + iy , dengan1 x = 2t2 y =

√4− t

3 0 ≤ t ≤ 4

Variabel Kompleks (VARKOM) Team Dosen Varkom S1-TT 26 / 26