Uvod u matematicku analizupetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/UvodUAnalizu... · Uvod Nizovi Funkcije Uvod u matematicku analizuˇ Marko Diki- c´ Univerzitet u Nišu Prirodno

UvodNizovi

Funkcije

Uvod u matematicku analizu

Marko -Dikic

Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet

februar 2010

Istraživacka stanica Petnica

Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu

UvodNizovi

Funkcije

Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova

Definicija niza

Intuitivno, niz brojeva predstavlja konacnu ili beskonacnu “gomilu”brojeva poredanih jedan za drugim:

2, 0, −2.5,√

7, π, 1, ...

Formalna matematicka definicija niza je:

Definicija

Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti clanniza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ilisa (fn)n.

Nekoliko primera nizova:1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti clan niza je an = n;2o 1, 1

2 ,13 ,

14 , ...,

1n , ..., opšti clan niza je an = 1

n .3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti clan je an = (−1)n

4o 1, 6,−2,√

2, 2010, ..., opšti clan?Na dalje ce se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako sene naglasi suprotno.


UvodNizovi

Funkcije


Definicija niza


2, 0, −2.5,√

7, π, 1, ...


Definicija



2 ,13 ,

14 , ...,



4o 1, 6,−2,√



UvodNizovi

Funkcije


Definicija niza


2, 0, −2.5,√

7, π, 1, ...


Definicija



2 ,13 ,

14 , ...,



4o 1, 6,−2,√



UvodNizovi

Funkcije


Definicija niza


2, 0, −2.5,√

7, π, 1, ...


Definicija



2 ,13 ,

14 , ...,



4o 1, 6,−2,√



UvodNizovi

Funkcije


Definicija

Niz (an)n je rastuci ako je a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ..., odnosno, ako jean ≤ an+1 za svako n ∈ N. Ukoliko je an < an+1, za svako n ∈ N,kažemo da je niz (an)n strogo rastuci.Niz (an)n je opadajuci ako je a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ..., odnosno, ako jean ≥ an+1 za svako n ∈ N. Ukoliko je an > an+1, za svako n ∈ N,kažemo da je niz (an)n strogo opadajuci.Ukoliko je niz ili rastuci ili opadajuci kažemo da je on monoton, a akoje strogo rastuci ili strogo opadajuci, kažemo da je strogo monoton.

Koji od sledecih nizova ima navedene osobine:

a) 1,2,3,4, ... (niz je an = n)

b) 12 ,

23 ,

34 ,

45 , ... (niz an = n

n+1 )

c) −1,1,−1,1, ... (niz an = (−1)n)

d) 1,1,1,1... (niz an = 1)


UvodNizovi

Funkcije


Operacije sa nizovima

Kao što se realni brojevi mogu sabirati, oduzimati, množiti i deliti,tako se i nad nizovima mogu vršiti te operacije:

Definicija

Niz (cn)n je zbir nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važicn = an + bn;Niz (cn)n je razlika nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važicn = an − bn;Niz (cn)n je proizvod nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važicn = an · bn;Niz (cn)n je kolicnik nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važibn 6= 0 i cn = an/bn.

Niz (an)n može se množiti i konstantom (skalarom) c, pri cemudobijamo niz (bn)n = c · (an)n, ciji je opšti clan odreden sabn = c · an.


UvodNizovi

Funkcije


Ogranicenost niza

Definicija

Niz (an)n je ogranicen odozgo ukoliko postoji takav broj G da jean ≤ G za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen odozdo ukoliko postoji takav broj D da jean ≥ D za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen ukoliko je on odozgo i odozdo ogranicen.

Šta je sa nizovima: an = n,n ∈ N, bn = −n,n ∈ N, cn = 1n ,n ∈ N,

i dn = (−1)n · n,n ∈ N.Ako stavimo da je M = max{|D|, |G|}, zakljucujemo da se sviclanovi niza nalaze u segmentu [−M,M]. Dakle, niz je ogranicenako i samo ako postoji neko M > 0 tako da za sve clanove nizavaži |an| < M.Kada za niz kažemo da je neogranicen?


UvodNizovi

Funkcije


Ogranicenost niza

Definicija

Niz (an)n je ogranicen odozgo ukoliko postoji takav broj G da jean ≤ G za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen odozdo ukoliko postoji takav broj D da jean ≥ D za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen ukoliko je on odozgo i odozdo ogranicen.

Šta je sa nizovima: an = n,n ∈ N, bn = −n,n ∈ N, cn = 1n ,n ∈ N,

i dn = (−1)n · n,n ∈ N.Ako stavimo da je M = max{|D|, |G|}, zakljucujemo da se sviclanovi niza nalaze u segmentu [−M,M]. Dakle, niz je ogranicenako i samo ako postoji neko M > 0 tako da za sve clanove nizavaži |an| < M.Kada za niz kažemo da je neogranicen?


UvodNizovi

Funkcije


Podniz

Definicija

Neka je dat niz (an)n i strogo rastuci niz prirodnih brojeva n1,n2,n3, ....Tada je niz an1 ,an2 ,an3 , ... podniz niza (an)n. Obeležavamo ga kratkosa (ank )k .

Recimo, niz svih brojeva deljivih sa 3: 3,6,9,12, ... je podniz nizaprirodnih brojeva 1,2,3,4, ....

Lema

Neka je dat niz (an)n. Ako je niz (an)n rastuci (opadajuci, ogranicen),tada je i svaki njegov podniz takav.


UvodNizovi

Funkcije


Pojam konvergencije niza

Posmatrajmo niz ciji je opšti clan an = 0.99...9︸︷︷︸n

:

0.9,0.99,0.999,0.9999, ...

Zašto kažemo da ovaj niz “teži” broju 1, a ne, recimo, broju 1.1.Obe vrednosti: |1− an| i |1.1− an| sve vreme se smanjuju. Kojaje razlika?Vrednost |1− an| može se naciniti proizvoljno malom, avrednost |1.1− an| uvek je veca od 0.1. Šta je sa bilo kojimdrugim brojem a 6= 1? Da li se u tom slucaju vrednost |a− an|može uciniti proizvoljno malom?Posmatrajmo sada niz −0.9,0.99,−0.999,0.9999, ... ciji je opšticlan an = (−1)n · 0.99...9︸︷︷︸

n

.

Obe razlike |1− an| i |(−1)− an| mogu se uciniti proizvoljnomalim, ali da li niz an teži broju 1 ili broju −1.


UvodNizovi

Funkcije




:

0.9,0.99,0.999,0.9999, ...


n

.



UvodNizovi

Funkcije




:

0.9,0.99,0.999,0.9999, ...


n

.



UvodNizovi

Funkcije


Definicija

Niz (an)n konvergira (ka) broju a ako za bilo koji broj ε > 0 važi da se,pocevši od nekog elementa niza (an)n, svi ostali nalaze u intervalu(a− ε, a + ε).Tada kažemo da je a granicna vrednost niza an, i to zapisujemo

an → a, n→∞ ili limn→∞

an = a.

Ako niz ima granicnu vrednost kažemo da je on konvergentan, u suprotnomkažemo da je divergentan.

Korisno je zapisati ovu definiciju na “matematickom jeziku“:

a = limn→∞

an ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ |an − a| < ε)

Šta znaci da niz (an)n ne konvergira broju a?


UvodNizovi

Funkcije


Definicija



an = a.



a = limn→∞

an ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ |an − a| < ε)



UvodNizovi

Funkcije


Definicija



an = a.



a = limn→∞

an ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ |an − a| < ε)



UvodNizovi

Funkcije


Dokažimo da niz an = (−1)n · 1n konvergira ka nuli:

Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Razlika clana niza an i nule je|0− an| = |an| = 1

n . Pronadimo n0 takvo da je 1n0

manje od ε. Iz1n0< ε sledi 1

ε < n0, odnosno, za n0 možemo uzeti broj[ 1

ε

]+ 1.

Za svako n > n0 bice 1n <

1n0

, a 1n0< ε, pa ce i 1

n < ε. Dakle, datiniz zaista konvergira ka nuli.Dokažimo da niz an = qn gde je q ∈ (0,1) konvergira nuli:

Ponovo, neka je ε > 0 proizvoljan broj. Da bi važimo an = qn < εtreba da važi n > logq ε. Ako uzmemo da je n0 = [logq ε] + 1, zasvako n > n0 ce biti an < an0 < ε, pa ovaj niz zaista konvergira kanuli.Dokažimo da niz 0.9,0.99,0.999,0.9999, ... ne konvergira kabroju 1.1.

Ako uzmemo da je ε = 0.05, nijedan clan navedenog niza necese naci u intervalu (1.05,1.15), zato dati niz ne konvergira kabroju 1.1.


UvodNizovi

Funkcije


Od razlicitih nacina da niz divergira, jedan se izdvaja. Naime,kada clanovi niza beskonacno rastu, ili beskonacno opadaju,kažemo da niz konvergira ka +∞ ili −∞. Formalno:

Definicija

limn→∞ an = +∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an > M),limn→∞ an = −∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an < M).

Recimo nizovi an = n2 i bn = −n konvergiraju, redom, ka +∞ i−∞. Niz cn = (−1)n · n ne konvergira ni ka +∞ ni ka −∞.Na dalje, kada kažemo da niz konvergira, smatracemo da jenjegova granicna vrednost konacna!


UvodNizovi

Funkcije



Definicija




UvodNizovi

Funkcije



Definicija




UvodNizovi

Funkcije



Definicija




UvodNizovi

Funkcije


Tri jednostavne ali bitne teoreme

Šta ako pretpostavimo da niz (an)n konvergira i broju a i broju b?

Teorema

Svaki konvergentnan niz ima jedinstvenu granicnu vrednost.

Teorema

Svaki konvergentan niz je ogranicen.

Navedimo još jednostavnu teoremu, sa lepom posledicom:

Teorema

Ako su svi clanovi nekog konvergentnog niza nenegativni, tada je i granicnavrednost tog niza nenegativna.

Posledica

Ako su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi i an ≤ bn za svako n ∈ N, tada je ilimn→∞an ≤ limn→∞bn.


UvodNizovi

Funkcije




Teorema


Teorema



Teorema


Posledica



UvodNizovi

Funkcije




Teorema


Teorema



Teorema


Posledica



UvodNizovi

Funkcije




Teorema


Teorema



Teorema


Posledica



UvodNizovi

Funkcije


Operacije sa konvergentnim nizovima

Kada izvršimo neku od 5 navedenih operacija nad konvergentnimnizovima, ponovo dobijamo konvergentne nizove, sa ocekivanimrezultatima za granicne vrednosti:

Teorema

Neka su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi sa granicnim vrednostima a i b,redom. Tada su i nizovi (an ± bn)n, (an · bn)n konvergentni, a njihove granicnevrednosti su, redom, a± b, a · b.Ako je bn 6= 0 za svako n ∈ N, te ako je limn→∞bn 6= 0, tada je i niz ( an

bn)n

konvergentan, a granicna vrednost mu je ab .

Ako je c proizvoljan broj, tada je i niz (c · an)n konvergentan, a granicnavrednost mu je c · a.

Napomena: Ne možemo zakljuciti da jelimn→∞(an + bn) = limn→∞an + limn→∞bn, ako pre toga nismo sigurnida su nizovi (an)n i (bn)n konvergentni!

Kolika je granicna vrednost niza an = n2−5n+123n2−n+1 ?


UvodNizovi

Funkcije


Nula-niz

Zbog cestog korišcenja, niz sa narednom osobinom zauzimaposebno mesto:

Definicija

Niz koji konvergira ka nuli nazivamo nula-niz

Neke od osobina nula niza su:

Teorema

Ako je (an)n nula-niz, a (bn)n ogranicen niz, tada je (an · bn)n nula-niz.

Teorema

Ako je limn→∞an = +∞ ili limn→∞an = −∞, tada je niz ( 1an

)n nula-niz.


UvodNizovi

Funkcije


Nula-niz


Definicija



Teorema


Teorema


)n nula-niz.


UvodNizovi

Funkcije


Nula-niz


Definicija



Teorema


Teorema


)n nula-niz.


UvodNizovi

Funkcije


Dva policajca i plavuša

Naredna teorema poznata je pod nazivom teorema o presretanju, ili,popularnije, teorema o dva policajca:

Teorema

Neka su (an)n, (bn)n i (cn)n tri niza koja zadovoljavaju sledeca svojstva:1o limn→∞an = limn→∞cn;2o an ≤ bn ≤ cn, pocevši od nekog n ∈ N.Tada je i niz (bn)n konvergentan i važi limn→∞bn = limn→∞an = limn→∞cn.

Sledeca teorema daje dovoljne uslove za egzistenciju granicnevrednosti nekog niza, ali ne i nacin da pronademo tu granicnu vrednost:

Teorema

Ako je niz (an)n rastuci i ogranicen odozgo, tada je on konvergentan.Ako je niz (an)n opadajuci i ogranicen odozdo, tada je on konvergentan.


UvodNizovi

Funkcije




Teorema



Teorema



UvodNizovi

Funkcije




Teorema



Teorema



UvodNizovi

Funkcije




Teorema



Teorema



UvodNizovi

Funkcije


Podniz konvergentnog niza

Teorema

Svaki podniz konvergentnog niza je konvergentan i ima istu granicnuvrednost kao i taj niz.

Naredna teorema je izuzetno bitna u citavoj analizi. Dokazao juje ceški matematicar i sveštenik Bernard Bolcano, 1817. godine,a pedeset godina kasnije i nemacki matematicar Karl Vajerštras.Po njima je i dobila ime:

Teorema (Bolcano-Vajerštras)

Svaki ogranicen niz sadrži konvergentan podniz.


UvodNizovi

Funkcije



Teorema






UvodNizovi

Funkcije



Teorema






UvodNizovi

Funkcije


Broj e

Može se pokazati da niz an =(1 + 1

n

)nkonvergira. Njegova

granicna vrednost je još jedna poznata konstanta u matematici:

e := limn→∞

(1 +

1n

)n

.

Oznaku e uveo je Ojler. Može se pokazati da je e iracionalanbroj, a nekoliko njegovih decimala su:

e = 2,718281828459045...


UvodNizovi

Funkcije


Broj e


n



e := limn→∞

(1 +

1n

)n

.


e = 2,718281828459045...


UvodNizovi

Funkcije


Broj e


n



e := limn→∞

(1 +

1n

)n

.


e = 2,718281828459045...


UvodNizovi

Funkcije

Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije

Osnovne osobine realnih funkcija

Predmet našeg izucavanja bice funkcije f : X → R, gde je X ⊆ R.Takva funkcija zove se realna funkcija (jer uzima vrednosti izskupa realnih brojeva) realne promenljive (jer joj je domenpodskup skupa realnih brojeva).Primeri funkcije:f : R→ R definisana sa f (x) = 2x + 3;f : [0,+∞)→ R definisana sa f (x) =

√x

Šta može da bude domen funkcije f (x) =√

ln cos(2π · x)?


UvodNizovi

Funkcije




√x


ln cos(2π · x)?


UvodNizovi

Funkcije




√x


ln cos(2π · x)?


UvodNizovi

Funkcije




√x


ln cos(2π · x)?


UvodNizovi

Funkcije




√x


ln cos(2π · x)?


UvodNizovi

Funkcije


Okolina tacke

Definicija

Neka je ε proizvoljan pozitivan broj. ε-okolinom tacke a ∈ Rnazivamo skup svih realnih brojeva cije je rastojanje od tacke a manjeod ε. Dakle, ε-okolina tacke a je interval (a− ε,a + ε).

Šta predstavlja ε-okolinu neke tacke iz skupa R2, a šta iz skupaR3?

Definicija

Okolina tacke a ∈ R je skup koji, zajedno sa tackom a, sadrži i nekunjenu ε-okolinu, za neko ε.

Dakle, ako za funkciju f kažemo da je definisana u nekoj okolinitacke x0, to znaci da postoji interval sa središtem u tacki x0 kojise ceo nalazi u domenu funkcije f .


UvodNizovi

Funkcije


Okolina tacke

Definicija



Definicija




UvodNizovi

Funkcije


Okolina tacke

Definicija



Definicija




UvodNizovi

Funkcije


Okolina tacke

Definicija



Definicija




UvodNizovi

Funkcije


Pojam granicne vrednosti funkcije

Posmatrajmo sledece tri funkcije definisane na skupu R \ {0}:

f (x) =

√1 + x2 − 1

x, g(x) =

1x, h(x) = sin

1x.

Cemu ”teže“ ove funkcije kada se x približava nuli?


UvodNizovi

Funkcije


Pojam granicne vrednosti funkcije

Posmatrajmo sledece tri funkcije definisane na skupu R \ {0}:

f (x) =

√1 + x2 − 1

x, g(x) =

1x, h(x) = sin

1x.

Cemu ”teže“ ove funkcije kada se x približava nuli?


UvodNizovi

Funkcije


Definicija (Hajne)

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki niz (xn)n

ciji su clanovi iz skupa E \ {x0} i koji konvergira ka broju x0, važi da niz(f (xn))n konvergira ka broju A, tada je broj A granicna vrednost (limes)funkcije f u tacki x0.Zapisujemo:

limx→x0

f (x) = A.

Navedena definicija koristi ideju konvergencije nizova. Narednadefinicija koristi pocetnu ideju o beskonacnom smanjivanju razlike.

Definicija (ε− δ)Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Kažemo da je Agranicna vrednost (limes) funkcije f u tacki x0 ako: za svako ε > 0 postojiδ > 0, tako da je |f (x)−A| < ε za sve one x ∈ E \{x0} za koje je |x − x0| < δ.

Ove dve definicije su ekvivalentne!


UvodNizovi

Funkcije


Definicija (Hajne)



limx→x0

f (x) = A.





UvodNizovi

Funkcije


Definicija (Hajne)



limx→x0

f (x) = A.





UvodNizovi

Funkcije


Definicija (Hajne)



limx→x0

f (x) = A.





UvodNizovi

Funkcije


Beskonacni limes i limes u beskonacnosti

Definicija

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki realanbroj M postoji broj δ > 0 tako da nejednakost f (x) > M (f (x) < M) važi zasve one x ∈ E \ {x0} za koje je |x − x0| < δ tada kažemo da f teži +∞ (−∞).Zapisujemo:

limx→x0

f (x) = +∞, ( limx→x0

f (x) = −∞).

Definicija

Neka je funkcija f definisana na segmentu E = (a,+∞) (E = (−∞, a)).Kažemo da je A limes funkcije f u +∞ (−∞) ako za svako ε > 0 postoji M,takav da je |f (x)− A| < ε za sve one x ∈ E koji su veci (manji) od M.Zapisujemo:

limx→+∞

f (x) = A, ( limx→−∞

f (x) = A).


UvodNizovi

Funkcije


Beskonacni limes i limes u beskonacnosti

Definicija

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki realanbroj M postoji broj δ > 0 tako da nejednakost f (x) > M (f (x) < M) važi zasve one x ∈ E \ {x0} za koje je |x − x0| < δ tada kažemo da f teži +∞ (−∞).Zapisujemo:

limx→x0

f (x) = +∞, ( limx→x0

f (x) = −∞).

Definicija

Neka je funkcija f definisana na segmentu E = (a,+∞) (E = (−∞, a)).Kažemo da je A limes funkcije f u +∞ (−∞) ako za svako ε > 0 postoji M,takav da je |f (x)− A| < ε za sve one x ∈ E koji su veci (manji) od M.Zapisujemo:

limx→+∞

f (x) = A, ( limx→−∞

f (x) = A).


UvodNizovi

Funkcije


Osobine limesa

Teorema

Neka je limx→x0 f (x) = A i limx→x0 g(x) = B, pri cemu su A i B realnibrojevi. Tada je:1o limx→x0(f (x)± g(x)) = A± B2o limx→x0(f (x) · g(x)) = A · B30 limx→x0

f (x)g(x) = A

B , ako je B 6= 0.

Teorema

Neka funkcije g i h imaju u tacki x0 jednaku granicnu vrednost A. Akoza funkciju f važi g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) za svako x iz neke okoline tackex0, tada i funkcija f ima granicnu vrednost A u tacki x0.


UvodNizovi

Funkcije


Pojam neprekidnosti funkcije

Intuitivno, funkcija je neprekidna kada grafik možemo danacrtamo ”bez podizanja olovke sa papira“. Formalno:

Definicija

Neka je f : E → R funkcija, i x0 ∈ E. Za funkciju f kažemo da jeneprekidna u tacki x0 ako za svaki broj ε > 0 postoji broj δ > 0,takav da je |f (x)− f (x0)| < ε, za sve one x ∈ E za koje je |x − x0| < δ.Ako u nekoj tacki svog domena funkcija nije neprekidna, kažemo da utoj tacki ima prekid. Ukoliko je funkcija f neprekidna u svakoj tackiskupa E, tada kažemo da je f neprekidna na skupu E.

Teorema

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke x0. Funkcija f jeneprekidna u tacki x0 ako i samo ako je limx→x0 f (x) = f (x0).


UvodNizovi

Funkcije




Definicija


Teorema



UvodNizovi

Funkcije




Definicija


Teorema



UvodNizovi

Funkcije


Osobine neprekidnih funkcija

Teorema

Ako su funkcije f i g neprekidne u tacki x0, tada su i funkcije f ± g if · g neprekidne u x0, a ako je g(x0) 6= 0 i funkcija f

g je neprekidna ux0.

Teorema

Ako je funkcija f : A→ B neprekidna u tacki x0, a funkcija g : B → Rneprekidna u tacki f (x0) = y0, tada je funkcija g ◦ f : A→ Rneprekidna u tacki xo.

Pomocu ove dve teoreme možemo zakljuciti da su neprekidneneke funkcije koje imaju ”komplikovan” zapis, gde bi dokaz podefiniciji bio mukotrpan. Recimo, funkcija:f (x) = (e − 2010)sinx+cos(2009·x).


UvodNizovi

Funkcije



Teorema



Teorema




UvodNizovi

Funkcije



Teorema



Teorema




UvodNizovi

Funkcije


Koši-Bolcanova teorema

Naredne dve teoreme su izuzetno važne osobine neprekidnefunkcije.

Teorema (Koši-Bolcano)

Neka je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i neka je A = f (a) iB = f (B). Ako je M bilo koji broj izmedu brojeva A i B, tada postojic ∈ [a,b] tako da je f (c) = M.


UvodNizovi

Funkcije


Vajerštrasova teorema

Teorema (Vajerštras)

Neka je f neprekidna na segmentu [a,b]. Tada je f ogranicena nasegmentu [a,b], tj. postoji broj M > 0 takav da je |f (x)| < M za svakox ∈ [a,b]. Pored toga, postoje tacke c,d ∈ [a,b] u kojima funkcija fdostiže svoju najvecu i najmanju vrednost na segmentu [a,b].


UvodNizovi

Funkcije


Vajerštrasova teorema

Teorema (Vajerštras)

Neka je f neprekidna na segmentu [a,b]. Tada je f ogranicena nasegmentu [a,b], tj. postoji broj M > 0 takav da je |f (x)| < M za svakox ∈ [a,b]. Pored toga, postoje tacke c,d ∈ [a,b] u kojima funkcija fdostiže svoju najvecu i najmanju vrednost na segmentu [a,b].


UvodNizovi

Funkcije


Problem odredivanja tangente

Koeficijent pravca secice grafika funkcije f u tackama saapscisama x i x + h iznosi k = f (x+h)−f (x)

(x+h)−x . Kako odreditikoeficijent pravca tangente?


UvodNizovi

Funkcije


Pojam izvoda funkcije

Definicija

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke x0. Ako postoji(konacna) granicna vrednost

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

onda kažemo da je f diferencijabilna u tacki x0, a taj limesnazivamo izvodom funkcije f u tacki x0. Oznacavamo ga sa:

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h.


UvodNizovi

Funkcije


Odredimo, recimo, izvod funkcije f (x) =√

x u nekoj tacki x0 > 0.

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lim

h→0

√x0 + h −

√x0

h=

= limh→0

(x0 + h)− x0

h(√

x0 + h +√

x0)= lim

h→0

1√x0 + h +

√x0

=1

2√

x0.

Definicija

Neka je funkcija f diferencijabilna u svakoj tacki svog domena E.Tada funkciju x 7→ f ′(x) nazivamo izvod funkcije f i obeležavamo saf ′,Df ili df

dx .

Recimo, izvod funkcije f (x) =√

x , posmatrane na domenu(0,+∞) je funkcija f ′(x) = 1

2√

X.


UvodNizovi

Funkcije




f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lim

h→0

√x0 + h −

√x0

h=

= limh→0

(x0 + h)− x0

h(√

x0 + h +√

x0)= lim

h→0

1√x0 + h +

√x0

=1

2√

x0.

Definicija


dx .



2√

X.


UvodNizovi

Funkcije




f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lim

h→0

√x0 + h −

√x0

h=

= limh→0

(x0 + h)− x0

h(√

x0 + h +√

x0)= lim

h→0

1√x0 + h +

√x0

=1

2√

x0.

Definicija


dx .



2√

X.


UvodNizovi

Funkcije


Pravila diferenciranja

Teorema

Neka su funkcije f i g diferencijabilne u tacki x. Tada su i funkcije f ± g, f · g if/g diferencijabilne u x (poslednja pod uslovom g(x) 6= 0) i važi:1o (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x) 2o (f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)

3o“

fg

”′(x) = f ′(x)g(x)−f (x)g′(x)

(g(x))2 .

Teorema

Neka je funkcija f diferencijabilna u tacki x, a funkcija g diferencijabilna utacki y = f (x). Tada je i funkcija g ◦ f diferencijabilna u x i važi(g ◦ f )′(x) = g′(y)f ′(x) = g′(f (x))f ′(x).

Teorema

Neka je f diferencijabilna u tacki x0 i neka je f ′(x0) 6= 0. Ako postoji f−1 i akoje neprekidna u tacki y0 = f (x0), tada je ona diferencijabilna u tacki y0 i važi(f−1)′(y0) = 1

f ′(x0).


UvodNizovi

Funkcije



Teorema


3o“

fg

”′(x) = f ′(x)g(x)−f (x)g′(x)

(g(x))2 .

Teorema


Teorema


f ′(x0).


UvodNizovi

Funkcije



Teorema


3o“

fg

”′(x) = f ′(x)g(x)−f (x)g′(x)

(g(x))2 .

Teorema


Teorema


f ′(x0).


UvodNizovi

Funkcije


Tablica izvoda elementarnih funkcija


Uvod u matematicku analizupetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/UvodUAnalizu... · Uvod Nizovi Funkcije Uvod u matematicku analizuˇ Marko Diki- c´ Univerzitet u Nišu Prirodno

Documents