of 75

Uvod u matematicku Uvod Nizovi Funkcije Uvod u matematicku analizuث‡ Marko Diki- cآ´ Univerzitet u Niإ،u

Feb 04, 2020

ReportDownload

Documents

others

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Uvod u matematičku analizu

    Marko -Dikić

    Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet

    februar 2010

    Istraživačka stanica Petnica

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Definicija niza

    Intuitivno, niz brojeva predstavlja konačnu ili beskonačnu “gomilu” brojeva pored̄anih jedan za drugim:

    2, 0, −2.5, √

    7, π, 1, ...

    Formalna matematička definicija niza je:

    Definicija

    Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti član niza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ili sa (fn)n.

    Nekoliko primera nizova: 1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti član niza je an = n; 2o 1, 12 ,

    1 3 ,

    1 4 , ...,

    1 n , ..., opšti član niza je an =

    1 n .

    3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti član je an = (−1)n 4o 1, 6,−2,

    √ 2, 2010, ..., opšti član?

    Na dalje će se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako se ne naglasi suprotno.

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Definicija niza

    Intuitivno, niz brojeva predstavlja konačnu ili beskonačnu “gomilu” brojeva pored̄anih jedan za drugim:

    2, 0, −2.5, √

    7, π, 1, ...

    Formalna matematička definicija niza je:

    Definicija

    Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti član niza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ili sa (fn)n.

    Nekoliko primera nizova: 1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti član niza je an = n; 2o 1, 12 ,

    1 3 ,

    1 4 , ...,

    1 n , ..., opšti član niza je an =

    1 n .

    3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti član je an = (−1)n 4o 1, 6,−2,

    √ 2, 2010, ..., opšti član?

    Na dalje će se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako se ne naglasi suprotno.

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Definicija niza

    Intuitivno, niz brojeva predstavlja konačnu ili beskonačnu “gomilu” brojeva pored̄anih jedan za drugim:

    2, 0, −2.5, √

    7, π, 1, ...

    Formalna matematička definicija niza je:

    Definicija

    Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti član niza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ili sa (fn)n.

    Nekoliko primera nizova: 1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti član niza je an = n; 2o 1, 12 ,

    1 3 ,

    1 4 , ...,

    1 n , ..., opšti član niza je an =

    1 n .

    3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti član je an = (−1)n 4o 1, 6,−2,

    √ 2, 2010, ..., opšti član?

    Na dalje će se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako se ne naglasi suprotno.

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Definicija niza

    Intuitivno, niz brojeva predstavlja konačnu ili beskonačnu “gomilu” brojeva pored̄anih jedan za drugim:

    2, 0, −2.5, √

    7, π, 1, ...

    Formalna matematička definicija niza je:

    Definicija

    Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti član niza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ili sa (fn)n.

    Nekoliko primera nizova: 1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti član niza je an = n; 2o 1, 12 ,

    1 3 ,

    1 4 , ...,

    1 n , ..., opšti član niza je an =

    1 n .

    3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti član je an = (−1)n 4o 1, 6,−2,

    √ 2, 2010, ..., opšti član?

    Na dalje će se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako se ne naglasi suprotno.

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Definicija

    Niz (an)n je rastući ako je a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ..., odnosno, ako je an ≤ an+1 za svako n ∈ N. Ukoliko je an < an+1, za svako n ∈ N, kažemo da je niz (an)n strogo rastući. Niz (an)n je opadajući ako je a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ..., odnosno, ako je an ≥ an+1 za svako n ∈ N. Ukoliko je an > an+1, za svako n ∈ N, kažemo da je niz (an)n strogo opadajući. Ukoliko je niz ili rastući ili opadajući kažemo da je on monoton, a ako je strogo rastući ili strogo opadajući, kažemo da je strogo monoton.

    Koji od sledećih nizova ima navedene osobine:

    a) 1,2,3,4, ... (niz je an = n)

    b) 12 , 2 3 ,

    3 4 ,

    4 5 , ... (niz an =

    n n+1 )

    c) −1,1,−1,1, ... (niz an = (−1)n)

    d) 1,1,1,1... (niz an = 1)

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Operacije sa nizovima

    Kao što se realni brojevi mogu sabirati, oduzimati, množiti i deliti, tako se i nad nizovima mogu vršiti te operacije:

    Definicija

    Niz (cn)n je zbir nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važi cn = an + bn; Niz (cn)n je razlika nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važi cn = an − bn; Niz (cn)n je proizvod nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važi cn = an · bn; Niz (cn)n je količnik nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važi bn 6= 0 i cn = an/bn.

    Niz (an)n može se množiti i konstantom (skalarom) c, pri čemu dobijamo niz (bn)n = c · (an)n, čiji je opšti član odred̄en sa bn = c · an.

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Ograničenost niza

    Definicija

    Niz (an)n je ograničen odozgo ukoliko postoji takav broj G da je an ≤ G za svako n ∈ N. Niz (an)n je ograničen odozdo ukoliko postoji takav broj D da je an ≥ D za svako n ∈ N. Niz (an)n je ograničen ukoliko je on odozgo i odozdo ograničen.

    Šta je sa nizovima: an = n,n ∈ N, bn = −n,n ∈ N, cn = 1n ,n ∈ N, i dn = (−1)n · n,n ∈ N. Ako stavimo da je M = max{|D|, |G|}, zaključujemo da se svi članovi niza nalaze u segmentu [−M,M]. Dakle, niz je ograničen ako i samo ako postoji neko M > 0 tako da za sve članove niza važi |an| < M. Kada za niz kažemo da je neograničen?

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Ograničenost niza

    Definicija

    Niz (an)n je ograničen odozgo ukoliko postoji takav broj G da je an ≤ G za svako n ∈ N. Niz (an)n je ograničen odozdo ukoliko postoji takav broj D da je an ≥ D za svako n ∈ N. Niz (an)n je ograničen ukoliko je on odozgo i odozdo ograničen.

    Šta je sa nizovima: an = n,n ∈ N, bn = −n,n ∈ N, cn = 1n ,n ∈ N, i dn = (−1)n · n,n ∈ N. Ako stavimo da je M = max{|D|, |G|}, zaključujemo da se svi članovi niza nalaze u segmentu [−M,M]. Dakle, niz je ograničen ako i samo ako postoji neko M > 0 tako da za sve članove niza važi |an| < M. Kada za niz kažemo da je neograničen?

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Podniz

    Definicija

    Neka je dat niz (an)n i strogo rastući niz prirodnih brojeva n1,n2,n3, .... Tada je niz an1 ,an2 ,an3 , ... podniz niza (an)n. Obeležavamo ga kratko sa (ank )k .

    Recimo, niz svih brojeva deljivih sa 3: 3,6,9,12, ... je podniz niza prirodnih brojeva 1,2,3,4, ....

    Lema

    Neka je dat niz (an)n. Ako je niz (an)n rastući (opadajući, ograničen), tada je i svaki njegov podniz takav.

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konvergentni nizovi Osobine konvergentnih nizova

    Pojam konvergencije niza

    Posmatrajmo niz čiji je opšti član an = 0.99...9︸ ︷︷ ︸ n

    :

    0.9,0.99,0.999,0.9999, ...

    Zašto kažemo da ovaj niz “teži” broju 1, a ne, recimo, broju 1.1. Obe vrednosti: |1− an| i |1.1− an| sve vreme se smanjuju. Koja je razlika? Vrednost |1− an| može se načiniti proizvoljno malom, a vrednost |1.1− an| uvek je veća od 0.1. Šta je sa bilo kojim drugim brojem a 6= 1? Da li se u tom slučaju vrednost |a− an| može učiniti proizvoljno malom? Posmatrajmo sada niz −0.9,0.99,−0.999,0.9999, ... čiji je opšti član an = (−1)n · 0.99...9︸ ︷︷ ︸

    n

    .

    Obe razlike |1− an| i |(−1)− an| mogu se učiniti proizvoljno malim, ali da li niz an teži broju 1 ili broju −1.

    Marko -Dikić Uvod u matematičku analizu

  • Uvod Nizovi

    Funkcije

    Pojam niza. Ograničenost niza. Podniz Konverg