Uso de Gompertz y Logistico

Cabeza-Herrera, E.A., Cabeza-Herrera, R.A. El Modelo Modificado de Gompertz, Logístico y Modificado Logístico….

Por una Universidad incluyente y comprometida con

el desarrollo integral

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

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El Modelo Modificado de Gompertz, Logístico y Modificado Logístico para el ajuste de datos de crecimiento microbiano.

Prof. Enrique Alfonso Cabeza Herrera Ph.D. - D.E.A. Ciencia y Tecnología de los Alimentos Esp. Protección de Alimentos Microbiólogo con Énfasis en Alimentos Prof. Rodolfo Andrés Cabeza Herrera M.Sc. Ciencia y Tecnología de Alimentos Microbiólogo

RESUMEN El modelo Modificado de Gompertz y Modelo Logístico son dos ejemplos de modelos primarios empleados en Microbiología Predictiva para el ajuste de datos de crecimiento / muerte, los cuales fueron desarrollados por Gibson et al., en 1987. En su momento, el primer modelo fue considerado como el mejor modelo sigmoidal para el ajuste de curvas de crecimiento y fue adoptado como el modelo primario para los softwares FoodMicroModel y Pathogen Modelling Program (PMP) de la USDA. Zwietering et al., presentan en 1990 una reparametrización del Modelo Logístico, incorporando en este los parámetros cinéticos representativos del crecimiento: la velocidad de crecimiento (µmáx), fase de adaptación latencia (λ) y la mínima y máxima densidad de población (Y0 y Ymáx, respectivamente). En el presente documento se desarrolla una aplicación de ajuste de datos del crecimiento de Salmonella enteritidis en yema de huevo mantenida a 30°C (datos tomados del trabajo de Grijspeerdt y Vanrolleghem, 1999) mediante los modelos Modificado de Gompertz, Logístico y Modificado Logístico. Este último modelo presentó los mejores resultados en cuanto al ajuste de los datos observados, lo cual fue corroborado mediante el índice de ajuste de los datos. los índices de evaluación de los modelos predictivos en microbiología de alimentos, que fueron introducidos por Ross en 1996: Error cuadrado medio (MRSE), Factor de sesgo (Bf) y Factor de Exactitud (Af).

INTRODUCCIÓN Los modelos matemáticos cada día están adquiriendo más importancia en microbiología de alimentos, ya que estos presentan serias ventajas frente a la microbiología clásica de alimentos. Permiten optimizar el tiempo de trabajo, son menos laboriosos, ahorran recursos económicos entre otros. La primera etapa en la construcción de un modelo que permita evaluar el efecto de una o varias condiciones ambientales sobre la supervivencia / crecimiento / muerte de un microorganismo es la obtención y ajuste de los datos experimentales a un modelo matemático primario, el cual permite





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evaluar el efecto que esa condición causa sobre la población microbiana. A partir de estos datos, se puede construir el modelo secundario o terciario que permiten evaluar cómo cambia el comportamiento microbiano cuando esa o esas condiciones varían, De allí la importancia de la selección de un buen modelo primario, ya que de la bondad de ajuste que tenga este modelo, más exactos serán los parámetros cinéticos que se obtengan para la construcción de los modelos superiores. El objetivo principal de este trabajo es comparar la efectividad de ajuste de tres modelos sigmoidales de amplio uso en microbiología predictiva (Modelo Modificado de Gompertz – MMG, Modelo Logístico – ML y el Modelo Logístico Modificado – MLM) y determinar cuál de ellos es el mejor para el ajuste de los datos evaluados obtenidos del trabajo de Grijspeerdt y Vanrolleghem (1999).

EL MODELO MODIFICADO DE GOMPERTZ La ecuación de Gompertz fue originalmente desarrollada para describir la mortalidad humana como una función de la edad. Gibson et al. (1987) fueron los primeros en utilizar la ecuación de Gompertz para ajustar las curvas de crecimiento microbiano y encontraron que la ecuación podía describir con precisión las fases exponencial y estacionaria de las curvas sigmoides de crecimiento microbiano, pero no era eficaz para la fase de latencia (Li et al., 2007). Para solventar este problema, Gibson et al., propusieron en 1987 el modelo modificado de Gompertz, el cual fue considerado como el mejor modelo sigmoidal para curvas de crecimiento (Gibson et al., 1988; Zwietering et al., 1991; McMeckin et al., 1993). Con la adopción de este modelo por el consorcio Food MicroModel en el Reino Unido y el grupo Pathogen Modelling Program (PMP) del USDA, este modelo ha sido ampliamente usado en Microbiología Predictiva. El modelo modificado de Gompertz se expresa en la siguiente ecuación:

Y(t) = [ * , -+]

Según Zwietering et al., (1992) en el modelo anterior podemos deducir que: Y(t) = Conteo de la población al tiempo t (log10 población)

A = Logaritmo de la población al tiempo –∞, lo que equivale a la densidad de población al tiempo

inicial (Ymin = Y0). C = Incremento final en el número de bacterias (log10), equivalente a Ymáx – Ymin. M = Tiempo en el cual el cultivo alcanza su máxima velocidad de crecimiento (h) B = Velocidad máxima de crecimiento al tiempo M (1/h), equivalente a la pendiente en el punto de

inflexión. t = tiempo (h) Si tomamos la ecuación modificada de Gompertz en una curva de crecimiento, los parámetros del modelo pueden representarse gráficamente como se muestra en la figura 1:





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Figura 1. Representación gráfica del Modelo Modificado de Gompertz.

(Fuente: Autor)

A partir de la ecuación anterior, pueden calcularse diversos parámetros del crecimiento tales como: Fase de latencia (λ): la fase de latencia convencionalmente se define como el momento en el que la tangente del punto de inflexión de la curva de crecimiento cruza con el nivel inicial de la población. Sin embargo, Gibson et al., presentan una forma de calcular la fase de latencia mediante la siguiente expresión matemática:

Tiempo de generación:

Fin de la fase exponencial (α):

Duración de la fase exponencial (ε):

C

M

B

Tiempo (h)

A

Lo

g10

Y

λ ε

ymáx





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Velocidad máxima de crecimiento (µmáx):

EL MODELO LOGÍSTICO Gibson et al., (1987) también presentaron el Modelo Logístico, el cual se muestra en la siguiente ecuación:

( )

, ( )-

Donde Y(t) = Conteo de la población al tiempo t (log10 población)

A = Logaritmo de la población al tiempo –∞, lo que equivale a la densidad de población al tiempo

inicial (Ymin = Y0). C = Incremento final en el número de bacterias (log10), equivalente a Ymáx – Ymin. M = Tiempo en el cual el cultivo alcanza su máxima velocidad de crecimiento (h) B = Velocidad máxima de crecimiento al tiempo M (1/h) t = tiempo (h) A partir de las constantes anteriores pueden determinarse los mismo parámetros vistos para el modelo Modificado de Gompertz así: A partir de las constantes de la Función Logística, se pueden calcular diversos parámetros cinéticos como: Fase de latencia (λ):

Tiempo de generación:

Fin de la fase exponencial (α):





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Duración de la fase exponencial (ε):

Velocidad máxima de crecimiento (µmáx):

EL MODELO LOGÍSTICO MODIFICADO Cayre et al. (2007) presentan en su artículo el siguiente modelo logístico modificado:

( )

( [

* + ])

Donde: λ = Tiempo de latencia µmáx = Máxima velocidad de crecimiento y0 – ymáx = Mínima y Máxima densidad poblacional





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EJERCICIO DE APLICACIÓN Para el desarrollo del presente ejercicio, se empleará la Hoja de Cálculo de Microsoft Excel 2007 (Microsoft ®). Los datos con los cuales se va a trabajar son tomados del artículo publicado por Grijspeerdt, K., and Vanrolleghem, P., 1999. Tabla 1. Datos de crecimiento de Salmonella enteritidis en yema de huevo a 30ºC.

Figura 1. Curva de crecimiento de Salmonella enteritidis en yema de huevo a 30ºC.

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

0 5 10 15 20 25 30

Ln c

fu/m

l

Time (h)

Time (h) Ln (cfu/ml)

0 2,833

2 2,079

3 3,135

4 4,500

5 6,466

6 4,663

7 7,919

8 7,804

9 9,488

10 11,194

11 11,970

12 13,128

13 14,279

14 13,641

15 16,341

26 21,289

27 21,001

28 21,001





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DETERMINACIÓN DE LA MAXIMA VELOCIDAD DE CRECIMIENTO Y LA DURACION DE LA FASE DE LATENCIA POR EL MÉTODO DE LA TANGENTE.

1. Se debe determinar la fase de crecimiento exponencial. Para ello asumimos que el cultivo está

en fase exponencial cuando la población a un tiempo t ha duplicado la inicial. Para esta determinación dividimos la población a cada tiempo entre la población inicial y en aquel intervalo de tiempo donde Nf/N0 ≥ 2 asumimos que en ese instante ha iniciado el crecimiento exponencial.

2. En nuestro ejemplo, nos situamos sobre la celda C3 y colocamos la fórmula =(EXP(B3))/(EXP($B$2)). Damos enter y arrastramos la formula o pegamos la misma en las siguientes columnas. En este caso vemos que en la celda C4 se obtiene un valor de 1,35 y en la C5 un valor de 5,29. Por lo tanto, la fase exponencial comienza entre las 3 y 4 horas de iniciado el experimento (Figura 2).

Figura 2.

3. Posteriormente, graficamos los datos de crecimiento en función del tiempo de crecimiento en su

fase exponencial, y calculamos tanto la ecuación de la recta como el coeficiente de regresión (R2).

4. Posteriormente seleccionamos aquel intervalo de tiempo donde la pendiente (equivalente a la velocidad de crecimiento) sea mayor y el coeficiente de regresión se aproxime más a uno. En este caso y después de realizar varias selecciones de intervalos desde A4 hasta B17 y comprobar su pendiente y R2, escogemos el intervalo A9:B14, obteniendo una pendiente de 1,2593 y un R2 de 0,9846 (ver figura 3).





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Figura 3.

5. Finalmente, calcularemos la duración de la fase de latencia (λ) empleando el método de la tangente. En este caso extrapolamos la recta hasta el punto de corte con la horizontal de la población inicial. Dicho de otra forma, a partir de la ecuación de la recta reemplazamos en Y el valor de la población inicial y obtenemos en X el tiempo donde finaliza la fase de latencia:

( )

( )

6. En este caso podemos ver que la fase de latencia finaliza a las 3,77 horas aproximadamente, lo que concuerda con lo expuesto en el numeral 2: “la fase exponencial comienza entre las 3 y 4 horas de iniciado el experimento”.





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IDENTIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO MODIFICADO DE GOMPERTZ, LOGÍSTICO Y MODIFICADO LOGÍSTICO.

1. Según lo visto anteriormente, los modelos Modificado de Gompertz (MMG), Modelo

Logístico (ML) y Modelo Modificado Logístico (MML) comparten los mismos parámetros, siendo expresados en el último modelo bajo otras denominaciones.

2. En la siguiente figura se muestran los parámetros que se usaran para la modelización de los datos, siendo A el valor de la población a tiempo cero (2,833 Ln ufc/ml); C la diferencia entre la máxima y la mínima densidad de población (21,289 – 2,833); B la máxima velocidad de crecimiento, la cual corresponde a la pendiente que hemos hallado anteriormente; y M el tiempo medio del intervalo en el que se observa la máxima velocidad de crecimiento (Promedio de A9:A14). Estos parámetros se usaran para los modelos MMG y ML.

Figura 4.

3. El siguiente paso es modelizar los datos, para ello introducimos la siguiente ecuación del MMG en la celda F2: =$E$2+($E$3*EXP(-EXP(-$E$5*(A2-$E$4))))

4. Arrastramos la formula y obtenemos los datos de crecimiento ajustados al MMG (Figura 5). 5. Para el ML introducimos en la celda G2 la siguiente ecuación: =$E$2+(($E$3)/(1+EXP(-

$E$5*(A2-$E$4)))) 6. Arrastramos la formula y obtenemos los datos de crecimiento ajustados al ML (Figura 6).





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Figura 5.

Figura 6.





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7. Posteriormente modelizaremos los datos de crecimiento ajustándolos al MML. Para ello identificaremos los parámetros necesarios a este modelo:

( )

( [

* + ])

Y0 = mínima densidad de población. Es equivalente al parámetro A.

Ymáx – Y0 = diferencia entre la máxima y mínima densidad de población. Es equivalente al parámetro C.

µmáx = máxima velocidad de crecimiento. Es equivalente al parámetro B. De tal forma que el MML puede reducirse a la siguiente expresión:

( )

( [ * + ]

)

8. La anterior ecuación la introducimos en la celda H2 la siguiente ecuación:

=$E$2+(($E$3)/(1+EXP(((4*$E$5)/($E$3))*($E$6-A2)+2))) 9. Arrastramos la formula y obtenemos los datos de crecimiento ajustados al MML (Figura 7).

Figura 7.

Si representamos gráficamente los datos modelizados frente a los observados, obtendremos la siguiente figura (Figura 8). En esta figura puede apreciarse que de los tres modelos escogidos para ajustar los datos observados, el MML resulta ser el más bondadoso. Para corroborar lo anterior,





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deberá hacerse la validación de cada modelo determinado el factor de sesgo (Bf), factor de Aseguramiento o Exactitud (Af) y el Error Cuadrado Medio (RMSE), usando la metodología vista anteriormente.

Figura 8.

Si observamos los datos obtenidos, puede notarse que después de las 15 horas no se realizó medición de la población hasta las 26 horas posteriores. Por lo tanto, podemos estimar como la población evoluciona durante este tiempo reemplazando en cada modelo el tiempo desde las 16 horas hasta las 25 horas. Así obtenemos la figura mostrada a continuación (Figura 9)

Figura 9.

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

0 5 10 15 20 25 30

Ln c

fu/m

l

Time (h)

Obs

MMG

ML

MML

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

0 5 10 15 20 25 30

Ln c

fu/m

l

Time (h)

Obs

MMG

ML

MML





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BIBLIOGRAFÍA Grijspeerdt, K., and Vanrolleghem, P. 1999. Estimating the parameter of the Baranyi model for

bacterial growth. Food Microbiol., 16: 593 – 605.

Cayre, M.E., Vignolo, G.M., Garro, O.A. 2007. Selección de un modelo primario para describir la curva de crecimiento de bacterias lácticas y Brochotrix thermosphacta sobre emulsiones cárnicas cocidas. Información Tecnológica 18(3): 23-29.

Zwietering, M.H., I. Jongenburger, F.M. Rombouts y K. Van’t Riet. 1990. Modeling of the bacterial growth curve. Appl. Environ. Microbiol. 56 (6): 1875-1881.

Gibson, A.M., Bratchell, N., Roberts, T.A. 1987. The effect of sodium chloride and temperature on rate and extent of growth of Clostridium botulinum type A in pasteurized pork slurry. J. Apppl. Bacteriol., 62: 479-490.

Zwietering, M.H., Rombouts, F.M., and van’t Riet, K. 1992. Comparison of the definitions of the lag phase and the exponential phase in bacterial growth. Journal of Applied Bacteriology, 72: 139 – 145.

Buchanan, R.L., and Cygnarowisz, M.L. 1990. A mathematical approach toward defining and calculating the duration of the lag phase. Food Microbiology, 7: 237 – 240.

Ross, T. 1996. Indices for performance evaluation of predictive models in food microbiology. Journal of Applied Bacteriology, 81: 501 – 508.

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