Uso das Equações de Darcy-Weisbach e Colebrook-White em Condutos Forcados

Uso das Equaes de Darcy-Weisbach e Colebrook-White em Condutos Forcados

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HIDRULICA APLICADA A TUBULAES - CONDUTOS FORADOS(este artigo em pdf ou zip)

Hidrulica aplicada - Condutos forados Eng. Luiz A. Camargo (*) - Perdas de carga - Rugosidade - Viscosidade - Equao de Darcy Neste texto, interessa-nos mostrar os aspectos prticos que envolvem a anlise do escoamento de fluidos incompressveis em condutos forados, - Eq. de Colebrook uniformes e de seo circular, em regime permanente. Esta reunio de condies representa a maioria das situaes com as quais uma grande parte dos projetistas de hidrulica se defronta no seu dia-a-dia. Por esta razo que este tema aqui apresentado. Contudo, no tem o presente trabalho a inteno de esgotar o assunto, e nem de apresentar, questionar ou demonstrar teorias hidrulicas, pois isto j amplamente tratado na literatura corrente sobre o assunto, mas sim mostrar tpicos prticos relevantes sobre o dimensionamento hidrulico de condutos forados. Aqueles que desejarem se aprofundar mais no assunto, podero consultar as referncias indicadas no final do texto. Entende-se por conduto forado quele no qual o fluido escoa plena seo e sob presso. Os condutos de seo circular so chamados de tubos ou tubulaes. Um conduto dito uniforme quando a sua seo transversal no varia com o seu comprimento. Se a velocidade do fluido em qualquer seo do conduto no variar com o tempo, o regime de escoamento dito permanente. A densidade dos lquidos, ao contrrio do que se passa com os gases, varia muito pouco quando se varia a sua presso ou temperatura. A ttulo de exemplo, considerando que a gua tem compressibilidade igual a 5.10-5 cm2/Kgf, isto significa que em condies normais seria necessrio um 2 3 incremento de presso de 20 Kgf/cm para que um litro de gua se reduza de 1 cm , ou seja, para que sua densidade aumente um milsimo. Por isto, do ponto de vista prtico, a densidade da gua e de qualquer lquido independente da temperatura e da presso. Diante dessa reduzidssima variao da densidade, nos escoamentos de lquidos em regime permanente considera-se que os mesmos se comportam como incompressveis. Neste contexto se incluem querosene, gasolina, lcool, leo diesel, gua, vinho, vinhoto, leite, etc. Como este trabalho tratar de um tema da engenharia relacionado especificamente hidrulica de tubulaes, e alguns de seus aspectos dimensionais, pode-se inici-lo apresentando a equao da continuidade em sua forma mais comum: (1) onde:

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Q = vazo no tubo (m3/s) 2 2 A = .D /4 = rea da seo transversal do tubo (m ) D = dimetro interno do tubo (m) V = velocidade do lquido no interior do tubo (m/s) conveniente ressaltar que um escoamento se classifica tambm como turbulento ou laminar. No escoamento laminar h um caminhamento disciplinado das partculas fluidas, seguindo trajetrias regulares, sendo que as trajetrias de duas partculas vizinhas no se cruzam. J no escoamento turbulento a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direo, com trajetrias irregulares, e podendo uma mesma partcula ora localizar-se prxima do eixo do tubo, ora prxima da parede do tubo. O critrio para determinar se o escoamento turbulento ou laminar, a utilizao do nmero de Reynolds: (2)

Substituindo a Eq. 1 na Eq. 2, o nmero de Reynolds assume a conveniente forma: (3)

onde: Re = nmero de Reynolds (adimensional) V = velocidade do lquido no interior do tubo (m/s) D = dimetro interno do tubo (m) Q = vazo no tubo (m3/s) = viscosidade cinemtica do lquido (m2/s)

Nas condies normais de escoamento o nmero de Reynolds interpretado conforme segue: Re > 4000, ento o escoamento turbulento. Re < 2000, ento o escoamento laminar. Entre estes dois valores h a zona de transio, onde no se pode determinar com preciso os elementos do dimensionamento. As equaes que aqui so utilizadas se aplicam ao chamado escoamento turbulento. Em geral, o regime de escoamento na conduo de lquidos no interior de tubulaes turbulento, exceto em situaes especiais, tais como escoamento a baixssimas vazes, como ocorre em gotejadores de irrigao, onde o escoamento laminar.

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Sempre que um lquido escoa no interior de um tubo de um ponto para outro, haver uma certa perda de energia, denominada perda de presso ou perda de carga. Esta perda de energia devido ao atrito com as paredes do tubo e devido viscosidade do lquido em escoamento. Quanto maior for a rugosidade da parede da tubulao, isto , a altura das asperezas, maior ser a turbulncia do escoamento e, logo, maior ser a perda de carga. J h cerca de dois sculos estudos e pesquisas vem sendo realizados, procurando estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos. Vrias frmulas empricas foram estabelecidas no passado e algumas empregadas at com alguma confiana em diversas aplicaes de engenharia, como as frmulas de Hazen-Williams, de Manning e de Flamant. Mas, trabalhos de diversos investigadores tem mostrado que, em sua totalidade, so mais ou menos incorretas. A incorreo dessas frmulas tanto maior quanto mais amplo o domnio de aplicao pretendido por seus autores. Atualmente a expresso mais precisa e usada universalmente para anlise de escoamento em tubos, que foi proposta em 1845, a conhecida equao de Darcy-Weisbach: (4)

que, aps substituir valores e realizar operaes, tambm assume uma conveniente forma: (5)

onde: hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca) f = fator de atrito (adimensional) L = comprimento do tubo (m) V = velocidade do lquido no interior do tubo (m/s) D = dimetro interno do tubo (m) 2 g = acelerao da gravidade local (m/s ) J = hf /L = perda de carga unitria (mca/m) Mas somente em 1939, quase 100 anos depois, que se estabeleceu definitivamente o fator de atrito f, atravs da equao de Colebrook-White: (6)

onde:

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f = fator de atrito (adimensional) k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) D = dimetro interno do tubo (m) Re = nmero de Reynolds (adimensional) Obviamente, trata-se de uma equao implcita, isto , a varivel f aparece nos dois membros da equao, de forma no ser possvel explicit-la. Mas isto no sugere que seja impossvel resolver equaes implcitas. Os mtodos numricos, embora aproximativos, so capazes de resolver equaes implcitas com a preciso que se desejar. So mtodos basicamente computacionais pois incorrem em operaes matemticas repetidas. Encontram, contudo, muita utilidade em hidrulica. o caso dos mtodos iterativos, nos quais ordena-se adequadamente a equao, e arbitra-se um valor inicial qualquer para a varivel procurada que est no seu segundo membro. Com o valor inicial j arbitrado, calcula-se um novo valor para esta mesma varivel procurada, mas para a que est no primeiro membro. Se a diferena entre o valor inicial e o novo valor calculado estiver fora da preciso desejada, repete-se esta operao, porm colocando como valor inicial o novo valor calculado. Se a diferena aumentar diz-se que os valores esto divergindo, e se diminuir diz-se que os valores esto convergindo para a soluo. O nmero de repeties, isto , o nmero de iteraes poder ser pequeno ou no, dependendo do mtodo a ser utilizado, e se suceder at que a diferena seja suficientemente pequena ou compatvel com a preciso desejada. uma tcnica manual, cuja soluo se torna trabalhosa e enfadonha. Mas com o uso de programas para computadores, tal como o HidroTec Calculador, a resoluo torna-se simples, automtica e rpida. Num esquema bsico de clculo, passo-a-passo, seria algo do tipo: 12345Arbitra-se um valor inicial qualquer para a varivel do segundo membro. Calcula-se novo valor para a mesma varivel que est no primeiro membro. Compara-se a diferena entre o valor calculado e o valor inicial com a tolerncia estabelecida. Se maior, o novo valor passa a ser o valor inicial, e volta-se para o passso (2). Se menor passa-se para o passo (5). O corrente valor da varivel o valor procurado.

Mtodos iterativos como o de Newton so muito potentes e convergem muito rapidamente, podendo alcanar resultados altamente precisos com duas ou trs iteraes. Mas no sero aqui mostrados, pois requerem outros conhecimentos que nos tirariam do rumo aqui almejado. Neste texto se pretende mostrar em linguagem simples, como resolver a equao implcita de Colebrook em simultaneidade com a equao de Darcy, a equao da continuidade e o nmero de Reynolds, empregando um mtodo iterativo simples, fcil e capaz de convergir com razovel rapidez quando aplicado a estas equaes. Na prtica, em nosso dia-a-dia, em termos especficos, sempre nos deparamos com as trs situaes a seguir, que nos levam a calcular: 1) o dimetro 2) a vazo (ou velocidade) 3) a perda de carga Estas so em sntese, as trs variveis principais envolvidas no clculo hidrulico, pois as demais (material do tubo, tipo de lquido, temperatura, etc), so bsicas. Por qualquer mtodo que viermos a empregar, para se determinar qualquer uma dessas trs variveis, as duas demais devero ser conhecidas. Ento, substituindo-se as equaes 3 e 5 na equao 6 e realizando operaes, tem-se:

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(7)

(8)

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Como j dito anteriormente: D = dimetro interno do tubo (m) Q = vazo no tubo (m3/s) J = hf /L = perda de carga unitria (mca/m) k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) - ver tabela adiante. = viscosidade cinemtica do lquido (m2/s) - ver tabela adiante. 2 g = acelerao da gravidade local (m/s ) Com isto passa-se a dispor do conjunto de equaes que melhor se aplica a anlise, ao clculo e ao dimensionamento hidrulico de condutos forados, uniformes, de seo circular, com qualquer dimetro e comprimento, em regime permanente, para fluidos incompressveis. Ao invs de se calcular primeiramente o valor de f, estas equaes possibilitam calcular logo diretamente os valores do dimetro D, da vazo Q e da perda de carga unitria J, respectivamente. Note-se que a equao 8 explcita. J as equaes 7 e 9 so implcitas e por isto, para facilitar a resoluo, as variveis recebem o ndice "n", que indica um valor qualquer, ou inicial, e o ndice "n+1", que indica o valor imediatamente subsequente. Em suma: atribui-se valor para a varivel com ndice "n" e calcula-se o valor da varivel com ndice "n+1", repetindo-se este procedimento at alcanar a preciso desejada. Os exemplos a seguir ilustram bem o uso desta tcnica.

Estudo de CasosCaso 1:

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Um conduto cilndrico, de ferro fundido com cimento centrifugado, comprimento 360 m, rugosidade equivalente de 10-4 m, conduz gua temperatura de 20 oC ( = 10-6 m2/s), com vazo de 12 m3/s e sob a diferena de carga piezomtrica nas sees extremas de 3,9 m. Pede-se o dimetro. Soluo Dados do problema: = 0,000001 m2/s k = 0,0001 m Q = 12 m3/s hf = 3,9 mca L = 360 m J = hf /L = 0,0108333 mca/m 2 g = 9,81 m/s Para determinar o dimetro utiliza-se a equao 7:

Dn+1 = 3,074284.[-log10(0,000027.Dn-1 + 0,000005444.Dn-1,5)]-0,4 Ser usada neste exemplo a preciso de 4 casas decimais, ou seja, o valor encontrado ser dado como aceito quando o erro for na ordem de 10-4, isto , 10 milsimos, ou 0,01%. Como valor inicial ser adotado D = 1. Ento: Como valor inicial tem-se Do = 1,0000 Iterao 1: com Do = 1,0000 tem-se D1 = Iterao 2: com D1 = 1,6861 tem-se D2 = Iterao 3: com D2 = 1,6508 tem-se D3 = Iterao 4: com D3 = 1,6521 tem-se D4 =

1,6861 (isto , Dn = 1,0000 resulta em Dn+1 = 1,6861) 1,6508 1,6521 1,6521

Neste ponto o clculo pode ser interrompido j que D4 igual a D3 . Isto significa que para esta tolerncia o valor procurado j convergiu na terceira iterao. Logo, como resposta tem-se D = 1,6521 m.

Clculo com o HidroTec Calculador:

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Seleciona-se o material da tubulao: ferro fundido com cimento centrifugado Seleciona-se o lquido: gua Seleciona-se a temperatura: 20 oC Seleciona-se "Dimetro interno" para calcular Entra-se com a vazo = 12 m3/s Entra-se com a perda unitria = 0.01083333 mca/m Sada: dimetro interno D = 1,6526 m; e mais: f = 0,0112, Re = 8784901 e V = 5,592 m/s.

Caso 2: Num conduto cilndrico de fibrocimento de comprimento igual a 100 m, de dimetro igual a 0,20 m e de rugosidade equivalente uniforme de 10-4 m, est escoando gua temperatura de 20 oC ( = 10-6 m2/s) com a vazo de 62,8 litros/s. Pede-se a perda de carga. Dados do problema: = 0,000001 m /s k = 0,0001 m D = 0,20 m Q = 0,0628 m3/s L = 100 m g = 9,81 m/s2 Para determinar a perda de carga, utiliza-se a equao 9:2

Jn+1 = 0,25453.[-log10(0,000135 + 0,000006335.Jn-0,5)]-2 Neste exemplo tambm ser usada a preciso de 4 casas decimais, ou seja, o valor encontrado ser considerado como aceito quando o erro for -4 na ordem de 10 , isto , 10 milsimos, ou 0,01%. Como valor inicial ser adotado J = 1. Ento: Como valor inicial tem-se Jo = 1,0000 Iterao 1: com Jo = 1,0000 tem-se J1 = 0,0185 Iterao 2: com J1 = 0,0185 tem-se J2 = 0,0182 Iterao 3: com J2 = 0,0182 tem-se J3 = 0,0182

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Aqui interrompe-se o clculo, uma vez que J3 igual a J2 , o que significa que para esta tolerncia o valor procurado convergiu com duas iteraes. Logo, como resposta tem-se J = 0,0182 mca/m.

Clculo com o HidroTec Calculador: Seleciona-se o material da tubulao: fibrocimento Seleciona-se o lquido: gua o Seleciona-se a temperatura: 20 C Seleciona-se "Perda unitria" para calcular Entra-se com a vazo = 0.0628 m3/s Entra-se com o dimetro interno = 0.20 m Sada: perda unitria J = 0,01826 mca/m; e mais: f = 0,0179, Re = 379906 e V = 0,1998 m/s.

Nota: o clculo aqui feito foi da perda unitria. Para encontrar a perda total basta multiplicar a perda unitria pelo comprimento, isto , Nota: o clculo aqui feito foi da perda unitria. Para encontrar a perda total basta multiplicar a perda unitria pelo comprimento, isto , hf = J.L = 0,01826 x 100 = 1,826 mca.

Caso 3: Num conduto cilndrico longo de concreto alisado centrifugado de dimetro igual a 0,10 m e rugosidade equivalente de 3,0.10 m, est escoando gua temperatura de 37 oC ( = 7,0.10-7 m2/s) com perda de carga unitria de J = hf /L = 0,0115 mca/m. Pede-se a vazo. Dados do problema: = 7.10-7 m2/s k = 0,0003 m D = 0,10 m J = hf /L = 0,0115 mca/m g = 9,81 m/s2 Para determinar a vazo utiliza-se a equao 8:-4

Como a equao explcita, o clculo aqui imediato: Q = 0,007155 m3/s.

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Clculo com o HidroTec Calculador Seleciona-se o material da tubulao: concreto alisado centrifugado. Seleciona-se o lquido: gua Seleciona-se a temperatura: 37 oC Seleciona-se "Vazo" para calcular Entra-se com a perda unitria: J = hf /L = 0.0115 mca/m Entra-se com o dimetro interno = 0.10 m Sada: vazo Q = 0,007152 m3/s; e mais: f = 0,0271, Re = 128530 e V = 0,91 m/s.

ComentriosCabe ressaltar que, em que pese a tcnica iterativa dar um pouco de velocidade ao clculo, contudo permanece o mesmo sendo realizado manualmente, o que no deixa de ser cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o uso de programas para computadores, tal como o HidroTec Calculador, a resoluo torna-se simples, fcil, automtica, rpida e sem erros. O HidroTec possui um banco de dados que contm uma vasta biblioteca com dados, para diferentes temperaturas, dos lquidos mais frequentemente utilizados na prtica do dia-a-dia (cerca de 20 tipos), e dos materiais mais usualmente empregados na fabricao de tubos (cerca de 24), tudo j embutido no programa, e com uma interface faclima, bastante amigvel e interativa, alm de auto-explicativa, de modo a automatizar e agilizar os clculos, tornando as operaes mais simples e sem necessidade de consultas a outras fontes externas como tabelas e diagramas. Quanto a preciso dos clculos, utiliza as melhores ferramentas da hidrulica e mecnica dos fluidos para este fim: as equaes de DarcyWeisbach e de Colebrook-White. Alm do clculo do dimetro, vazo e perda de carga, utilizando a mesma tcnica aqui apresentada, o HidroTec calcula tambm os valores do fator de atrito, do nmero de Reynolds e da velocidade de escoamento, a fim de que o usurio possa fazer sua anlise tambm atravs destes parmetros. Uma demonstrao real do programa pode ser vista na HidroTec Home Page, em http://hidrotec.calculador.vilabol.uol.com.br, onde tambm a verso demo do HidroTec Calculador poder ser obtida gratuitamente

TabelasValores da rugosidade equivalente dos materiais e da viscosidade cinemtica dos lquidos utilizados no HidroTec, retirados de manuais de hidrulica, so mostrados nas tabelas a seguir:

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Bibliografia

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- Assy, T.M.; "O emprego da frmula universal de perda de carga e as limitaes das frmulas empricas". Cetesb, So Paulo, 1977. - Hwang, N.H.C.; "Fundamentos de sistemas de engenharia hidrulica". Prentice-Hall, Rio de Janeiro, 1984. - Quintela, A.C.; "Hidrulica". Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1981. - Simon, A.L.; "Hydraulics". John Wiley & Sons, New York, 1986. - Tullis, J.P.; "Hydraulics of pipelines". John Wiley & Sons, New York, 1989.

Vitria, maio/2001

(*) O autor ex-Engenheiro Ass. Tcnico da Tubos e Conexes Tigre S/A e atualmente Chefe da Manuteno do SESC/ES.

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