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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE MARABÁ CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

ELAINE CRISTINA SOUZA DE ALEXANDRIA

OBSTÁCULOS DIDÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE

EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO 6º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

MARABÁ-PA 2013

ELAINE CRISTINA SOUZA DE ALEXANDRIA

OBSTÁCULOS DIDÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE

EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO 6º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para

obtenção do grau de Licenciatura Plena em

Matemática, da Universidade Federal do Pará –

UFPA, Campus de Marabá.

Orientador: Profª Me. Ronaldo Barros Ripardo

MARABÁ-PA 2013

ELAINE CRISTINA SOUZA DE ALEXANDRIA

OBSTÁCULOS DIDÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE

EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO 6º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção do grau de

Licenciatura Plena, do Curso de Matemática, da Universidade Federal do Pará -

UFPA, Campus de Marabá.

Aprovada em ____de ___________ de 2012.

BANCA EXAMINADORA:

_____________________________________________- Orientador Profª. Me. Ronaldo Barros Ripardo UFPA – Campus de Marabá _____________________________________________ Profº. Josiel de Oliveira Batista UFPA – Campus de Marabá ___________________________________________ Profª Ma. Claudete Marques de Medeiros UFPA – Campus de Marabá

DEDICATÓRIA

Dedico primeiramente a Deus, que nesse período de universitária me fez perceber a

sua grandiosidade em minha vida, me mostrou coisas que são essenciais a vida e que

nem sempre e dado o devido valor, me deu força, muita coragem para enfrentar os

obstáculos, me deu apoio diante das dificuldades.

Aos meus pais, Florineide de S. de Alexandria e Pedro Ferreira de Alexandria, por todo

apoio, dedicação, força, e que diante de todos os obstáculos que vivemos no decorrer

do curso, estavam sempre firmes, muitas vezes acreditando em mim mais que eu

mesma.

Aos meus avos maternos, Luzia de S. Souza e Antônio Alves de Souza, minha

madrinha, Valdeires de S. Souza e tias e tios por toda torcida, Florismar, Valdeniza,

Valdemir, Geraldo, Raimundo, Lena, que sempre acreditaram nos meus sonhos, e

estiveram presentes sempre que necessário para ajudar na realização.

À minha irmã Laís Souza de Alexandria, que acompanhou o período do curso com

muito orgulho e sempre me incentivando.

Aos meus avos paternos, Joaquim Antero de Alexandria, Antônia Ferreira de

Alexandria, que receberam um chamado de Deus antes do fim de minha jornada de

curso, mas sei que do céu estão vibrando com mais uma conquista minha.

AGRADECIMENTOS

A DEUS, o principal responsável pela conclusão desse trabalho, meu guia e minha

fortaleza em todos os momentos da minha vida.

Ao Profº. orientador deste Trabalho de Conclusão de Curso, Prof. Me. Ronaldo Barros

Ripardo, por me aceitar como orientanda, pela atenção, extrema paciência,

compreensão, pelo conhecimento transmitido sempre de forma alegre e incentivadora.

Obrigada por acreditar em mim.

Aos professores da UFPA,Carlos Henrique, Elizabeth Sabino, Francisco Sousa,

Geraldo Daltron, Raimundo Mangabeira, Margareth Delaia, Marcelo Oliveira, Pablo

Nascimento, Kátia Regina, Pedro Cruz, Renata Soraia, e Josiel de Oliveira Batista, que

se fizeram mais que professores, amigos, durante essa jornada, agradeço a

oportunidade de aprendizado e contribuições.

A minha família, pais, irmã, tios, tias, primos, agradeço pelos almoços, momentos de

descontração, por estarem comigo e me ajudar a chegar a realização desse sonho.

Aos colegas do curso, Abenilton, Alex, Aline, Allydriane, Eduardo, Éderson, Fabiana,

Harlen, Leonardo, Paula, Sâmila, Paulino, que sempre estiveram comigo,

compartilhando momentos de agonia com disciplinas complexas, a momentos felizes de

congressos, a diversas refeições, feitas em grupo, muitas vezes as pressas para voltar

a sala.

A todos que estiveram ao meu lado, incentivando-me na busca pelos conhecimentos,

contribuindo direta e/ou indiretamente para que este trabalho se concluísse.

Muito Obrigada!

Fala-se hoje, com insistencia, no professor pesquisador. No meu entender o que há de

pesquisador no professor, não é uma qualidade ou uma forma de ser ou de atuar que se

acrescente à de ensinar. Faz parte da natureza da prática docente a indagação, a busca, a

pesquisa. O de que se precisa é que, em sua formação permanente, o professor se perceba e

se assuma, porque professor, como pesquisador.

Freire, 1996, p.29

RESUMO

Os erros e obstáculos apresentados por alunos da educação básica tem sido tema de diversas publicações de artigos e livros na área da educação, e está presente no meio acadêmico, nas graduações em licenciaturas. Na educação matemática, podem-se citar erros cometidos pelos alunos nas resoluções das questões propostas em sala de aula, que, a princípio, parecem decorrer de dificuldades para compreensão de certos conteúdos, como as expressões numéricas. É desse contexto que surgem questionamentos a respeito do que estaria causando tal situação, motivando a desenvolver uma pesquisa sobre os obstáculos na resolução de expressões numéricas no ensino fundamental. Diante disto, a presente pesquisa teve como questão de investigação: que obstáculos didáticos são manifestados por alunos do 6º ano do ensino fundamental na resolução de expressões numéricas?. A abordagem metodológica foi qualitativa. As referências teóricas da pesquisa foram, Linz e Gimenez (1997), Luz (2008) e Almoloud (2007). Como instrumentos de coleta de dados foi aplicado um teste de matemática a 25 alunos do 6º ano do ensino fundamental do município de Marabá-PA. É visível que os alunos pesquisados possuem um sentido numérico pouco desenvolvido em relação a expressões numéricas, pois, em um estágio mais avançado desse estado, os alunos poderiam ter identificado importantes relações entre número e operações presente em algumas expressões e, com isso, ter chegado aos resultados de forma mais precisa e flexivelmente. No desenvolvimento de todas as expressões e problemas apresentados aos alunos, é visível que eles apresentam obstáculos, em sua maioria didática, na resolução das questões. A pesquisa possibilitou uma melhor visão sobre as fragilidades na resolução de expressões numéricas. Tais resultados chamam a atenção para a importância que as estratégias de ensino utilizadas pelo professor, e abordagens de conteúdos ensinados, devem ser melhor analisadas por eles, pois, ao invés de facilitarem a compreensão dos alunos, podem dificultar a aprendizagem por se configurarem como obstáculos didáticos.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Modalidade do atletismo salto com barreira ................................................ 13

Figura 2 – Metáfora educação e atletismo.................................................................... 15

Figura 3 – Processo de desenvolvimento da adição ................................................... 23

Figura 4 – Questão 6 aplicada no teste ........................................................................ 30

Figura 5 – Questão 4 aplicada no teste ........................................................................ 31

Figura 6 – Formação de pares ..................................................................................... 32

Figura 7 – Ignora os parênteses ................................................................................... 33

Figura 8 – Importância dos parênteses ........................................................................ 34

Figura 9 – Ordem do cálculo das operções .................................................................. 34

Figura 10 – Utilização do zero ...................................................................................... 37

Figura 11 – Interpretação do zero ................................................................................ 38

Figura 12 – Dificuldades com os sinais ........................................................................ 39

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 9

CAPÍTULO I: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................... 11

1.1. ERROS E OBSTÁCULOS ................................................................................ 11

1.2. OBSTÁCULO DIDÁTICO ................................................................................. 17

1.3. SENTIDO NUMÉRICO ..................................................................................... 19

1.4. EDUCAÇÃO ARITMÉTICA .............................................................................. 23

1.5. EXPRESSÕES NUMÉRICAS .......................................................................... 25

CAPÍTULO II: PERCURSO METODOLÓGICO ............................................................. 28

CAPÍTULO III: RESULTADOS E DISCUSSÕES .......................................................... 30

3.1. ERROS ORIUNDOS DE OBSTÁCULOS DIDÁTICOS ....................................... 32

3.1.1 Regra do cálculo por pares ........................................................................ 32

3.1.2. O zero e o um como elemento neutro ........................................................... 36

3.2. OUTROS OBSTÁCULOS ................................................................................... 39

CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................... 41

REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 44

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INTRODUÇÃO

Atualmente, na educação matemática, um assunto bastante discutido entre

estudiosos da área, e que tem sido tema de diversas publicações como artigos e livros,

têm sido geradas em torno dos erros apresentados por alunos na aprendizagem em

matemática na educação básica, que podem ser oriundos de diversas fontes.

Este tema também está presente no meio acadêmico, nas discussões em sala

de aula e nas experiências com estágios no decorrer da graduação em licenciaturas,

como as de Matemática e Pedagogia, acerca da aprendizagem por alunos do ensino

fundamental. Dentre alguns problemas, pode-se citar erros cometidos pelos alunos nas

resoluções das questões propostas em sala de aula, que, a princípio, parecem decorrer

de dificuldades para compreensão de certos conteúdos.

Diversos questionamentos foram feitos a partir desse contato com a sala de aula,

a respeito das dificuldades dos alunos em compreender conteúdos como o cálculo das

expressões numéricas. É desse contexto que surgem questionamentos a respeito do

que estaria causando tal situação, motivando a desenvolver uma pesquisa sobre os

obstáculos na resolução de expressões numéricas no ensino fundamental.

O ensino das expressões numéricas se faz presente desde os primórdios da

humanidade, quando surge a necessidade de expressar a quantidade de seus bens ou

alimentos através de alguma representação, ou seja, de contar. Esta situação levaria,

gradativamente, a demanda por resolver expressões, conhecimentos adquiridos na

aritmética.

De acordo com alguns estudiosos da área, como Brousseau (apud Almoloud,

2007), existem origens diversas para os obstáculos, identificados na didática da

matemática, podendo ser caracterizados em quatro tipos: o epistemológicos, didáticos,

psicológicos e o ontogênico.

Será dado ênfase ao estudo sobre obstáculos didáticos, pois os mesmos surgem

na sala de aula, podendo ser oriundos dos métodos utilizados pelo docente, ou como

as ferramentas usadas para repassar conteúdo, sua aplicação ou até a exposição dos

conceitos.

Diversos conhecimentos são necessários para a resolução de expressões

numéricas, dentre eles dominar o cálculo com as quatro operações fundamentais e

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conhecer seus diversos significados. Dessa forma, não fica restrito a um conceito de

interpretação, quando a expressão surge através de um problema, e as informações

extraídas do mesmo forma a expressão numérica. Além disso, conhecer e saber

trabalhar com os sinais de associação. Tais conhecimentos são pré-requisitos não

apenas para a resolução das expressões numéricas, mais tornam-se importantes para

a compreensão de diversos conceitos estudados em séries posteriores, sendo

considerado de grande relevância para a aprendizagem matemática.

Este trabalho se apresenta em três capítulos, além das considerações finais e

apêndice. No primeiro capítulo é feita algumas considerações sobre os erros e

obstáculos, obstáculos didáticos, sentido numérico e educação aritmética.

No segundo capítulo é descrito o percurso metodológico desta investigação.

O terceiro capítulo é constituído pela análise dos resultados da pesquisa que

está dividida em tópicos que abordam os erros vinculados a obstáculos didáticos.

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CAPÍTULO I: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

1.1. ERROS E OBSTÁCULOS

A sociedade está sempre em busca de soluções quando se depara com algum

problema. Nesse processo de busca de soluções, surgem vários questionamentos e

empecilhos na tentativa de colocá-las em prática surgindo assim, erros e obstáculos.

Um termo bastante ouvido em nosso cotidiano é a palavra “erro”. De acordo com

o dicionário Aurélio (1986, p. 679), tem-se a seguinte definição para tal vocábulo: “Erro:

ato ou efeito de errar; juízo falso; desacerto, engano; incorreção, inexatidão; desvio do

bom caminho, desregramento, falta”. Ou seja, compreende-se como o ato de praticar ou

falar algo que não deveria ser praticado aos olhos da sociedade, é visto como algo ruim

ou sem utilidade, fora das regras, que deve ser vetado ou corrigido assim que for

percebido.

Em se tratando de educação escolar, as questões relacionadas ao erro também

estão em constantes discussões entre educadores e pesquisadores tanto no Brasil

como em outras partes do mundo. Porém, essas discussões assumem outra conotação,

com enfoques variáveis. (Almoloud, 2008).

Segundo Almoloud, baseado nos estudos de Brousseau 1 e Piaget 2 , (2008,

p.131-132), “o erro é a expressão ou a manifestação explícita de um conjunto de

concepções espontâneas, ou reconstruídas, que, integradas em uma rede coerente de

representações cognitivas, tornam-se obstáculos à aquisição e ao domínio de novos

conceitos”.

A manifestação espontânea está ligada a algum conceito que o aluno pode ter

adquirido fora da sala de aula, e quando proposto o mesmo conteúdo em sala, o aluno

julga saber mesmo que esse conhecimento do conteúdo seja apenas parcial ou um

conhecimento que para o professor é considerado incorreto. Exemplo: a multiplicação

quando proposta com números naturais tem sempre o produto maior que o os fatores,

1 Brousseau é um educador matemático francês. Como um dos pioneiros da Didática da Matemática, ele desenvolveu uma teoria para compreender as relações que acontecem entre alunos, professor e saber em sala de aula e, ao mesmo tempo, propôs situações que foram experimentadas e analisadas cientificamente (http://educarparacrescer.abril.com.br/aprendizagem/guy-brousseau-473927.shtml). 2 Jean Piaget nasceu na cidade de Neuchâtel (Suíça). Um dos mais importantes pesquisadores de educação e pedagogia, suas ideias estão presentes em diversos colégios de todo mundo (Fonte: http://www.suapesquisa.com/piaget).

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como, por exemplo, em 8x2=16 ou 2x3=6. Este conhecimento, pode ter sido adquirido

em situações extra escolar, quando torna necessário fazer multiplicação para descobrir

o valor que será pago em uma compra, por exemplo. Esta mesma idéia pode ser

estendida pelo aluno para outros conjuntos de números, estudados posteriormente.

Todavia, a sua validade para este novo conjunto não é totalmente verdade como no

caso dos números inteiros. Neste último, uma multiplicação de -8 com 2 terá como

produto um valor menor que os fatores. Assim, o conhecimento da multiplicação no

conjunto dos inteiros pode ser considerado parcialmente correto.

Nesse caso, o erro não está ligado ao fato de não se ter conhecimento

propriamente dito do assunto proposto e errar, mas sim, de ter um conhecimento prévio

do conteúdo ou adquirido de forma não satisfatória, o que pode levar o aluno ao erro.

O erro pode surgir tanto de momentos de aprendizagens exteriores à sala de

aula como dentro da própria sala de aula, ou seja, estudado anteriormente e que

precisa ser mobilizado para aquisição de um novo conhecimento. Se o aluno possui

conhecimento prévio ele pode ser correto, ou seja, adequado para a situação. É

equivocado por não ter relação com o conteúdo ou não se adéqua à nova situação ou

pode ser parcial, ou seja, contempla até certo ponto a nova situação. Ambas as

situações podem deixar o aluno sujeito a cometer um erro.

Considerando a natureza do conhecimento prévio, pode ser necessário ‘corrigir’

tal conhecimento, ensinando-o da forma considerada correta para o aluno. Pode-se

também acrescer ao mesmo, quando se trata de um conhecimento ‘correto’, mas

apenas parcial. Ou ainda, adquirir outro totalmente novo.

Segundo Sperafico e Golbert (2001), o erro tem importância fundamental no

processo de ensino aprendizagem da matemática, pois além de identificar os

obstáculos que dificultam o aluno a progredir em relação a um dado conteúdo, ajuda o

educador a formular estratégias para contorná-los.

Após a identificação da origem dos erros, o educador pode torná-los uma

ferramenta útil para a aprendizagem, auxiliando a fixar os conteúdos e a fazer o aluno

adquirir novos conceitos a partir de conhecimentos prévios ou incompletos.É frequente

também nas discussões acerca do erro na educação, a associação do mesmo a

obstáculos na aprendizagem. Este pode ser entendido como a dificuldade para realizar

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alguma atividade. Segundo o dicionário Amora, (1999, p. 493), obstáculo, é “tudo o que

obsta a alguma coisa. Dificuldade, barreira”. Ou seja, é considerado como uma

dificuldade, algo que impede de realizar alguma coisa. Por essa definição dicionarizada,

obstáculo pode ser compreendido como algo que está interposto entre duas coisas.

Dizendo de outro modo, é uma limitação que impede ou dificulta uma ação de ser

realizada. Um exemplo que ajuda a compreender bem essa noção é a modalidade

esportiva salto com barreira.

Nessa modalidade esportiva, o percurso é composto de 110 metros, é disputado

numa linha reta e contém 10 barreiras com 106,7 cm de altura. Os obstáculos são

desenhados de forma a caírem para frente, para não provocarem lesões se derrubados

pelo atleta. A primeira barreira é colocada a 13,72 metros da linha de partida. As 9

restantes são dispostas em intervalos de 9,14 m. O percurso final até a linha de

chegada é livre de barreiras e mede 14,1 metros e o atleta ganha a prova passando por

todas as barreiras com um menor tempo dos demais competidores, sem derrubar

nenhum obstáculo. Os obstáculos devem ser transpostos saltando por eles e não

passando pela lateral.

Figura 1 – Modalidade do atletismo salto com barreira

Fonte: Adaptado de http://www.colorirgratis.com/desenho-de-atleta-saltando-sobre-a-barreira-corrida-de-obst%C3%A1culos_8026.html.

Atleta/

Aluno

Conhecimento

Barreira /

Obstáculo

14

Podemos compreender melhor obstáculo relacionado à educação assimilando-o

com esta modalidade esportiva. A barreira, o atleta e a chegada são representados na

educação respectivamente pelo obstáculo, o aluno e o conhecimento.

Assim como no jogo, em que o objetivo é chegar ao fim da pista, na educação

para o aluno, chegar ao conhecimento pode também ter que passar por

barreiras/obstáculos que podem impedí-lo ou atrasá-lo para chegar ao ponto final, que

na educação é a aquisição de conhecimento.

Na modalidade esportiva o atleta conta com diversos recursos que podem

auxiliá-lo durante o percurso como o treinamento antes da corrida, a roupa, o sapato e

até a alimentação podem facilitar a sua corrida. Parte importante no processo que não é

visto no momento do percurso da corrida é a presença do treinador, que está com o

atleta desde o início dos treinamentos, orientando-o em como usar melhor as

estratégias para conseguir chegar ao fim do percurso. Este papel importante no esporte

também está presente na educação e pode ser representado pela figura do professor.

No momento da corrida o treinador não está presente fisicamente, mas deixou

sua importante contribuição em orientações que auxiliam o atleta para melhor forma de

desenvolver a corrida e ultrapassar as barreiras. Na educação, o professor não está

presente no momento da aquisição de conhecimento, pois o mesmo é feito pelo aluno.

Mas, o professor assim como o treinador é um facilitador do processo, auxiliando o

aluno a adquirir conhecimento com orientações em relação ao conteúdo, desde a

forma de exposição oral em sala de aula até usando metodologias diferenciadas para

ensinar.

Ainda segundo essa metáfora do atletismo, outra modalidade esportiva pode

representar o papel do professor e da importância de instrumentos/recursos didáticos

no processo de ensino. Trata-se da modalidade esportiva salto com vara. Nessa

modalidade os competidores usam uma vara longa e flexível para alcançar a altura e transpor por cima

de uma barra. O atleta deve saltar sobre um travessão – a fasquia ou sarrafo – que é apoiado em duas

traves verticais. A pista oficial no salto com vara, deve medir no mínimo 45 metros. Há muitos anos as

varas eram feitas de bambu ou madeira e posteriormente, passaram a ser feitas de alumínio. Atualmente

as varas modernas são feitas de fibra de carbono ou fibra de vidro. Estas mudanças geraram grande

diminuição do peso da vara e uma maior flexibilidade. Graças a estes avanços os recordes de salto com

vara tornaram-se cada vez mais altos. Outra melhoria aplicada foi na área de pouso. Até a década de

15

1960, os atletas eram obrigados a cair na areia dura, o que propiciava lesões e até mesmo medo e falta

de confiança. Hoje os atletas aterrissam em colchões macios produzidos sob medida para o esporte.

Esta modalidade esportiva também apresenta elementos que podemos usar

como metáfora em relação à educação, como mostra a Figura 2.

Figura 2 – Metáfora educação e atletismo

EDUCAÇÃO ATLETISMO

O aluno se apropria do instrumento disponível.

O atleta corre com a vara.

O aluno faz uso do instrumento

de acordo com a necessidade de aprendizagem.

O atleta apoia a vara no chão para ganhar impulso.

O aluno supera o obstáculo ao

mesmo tempo em que se separa do

instrumento.

O atleta larga a vara ao ultrapassar a barreira.

O aluno aprende o conteúdo.

O atleta cai no colchão.

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Na figura é explícita a importância da vara para o atleta conseguir sobrepor a

fasquia de modo satisfatório às regras do jogo. No caso da educação, é clara a

importância dos instrumentos didáticos disponibilizados ao aluno.

Todavia, a preparação até esse ponto deve ser cuidadosa, pois nem sempre o

uso do recurso garante a ultrapassagem do obstáculo. O atleta pode tocar a vara com o

corpo e ser penalizado por isso. O aluno poderá ultrapassar o obstáculo, mas com

problemas na aprendizagem que podem se transformar em novos obstáculos

futuramente para aprender outros conteúdos.

A metáfora do salto com vara e educação foi usada para mostrar a importância

do uso de instrumentos como recurso facilitador para superar um problema. Agora é

preciso deter-se mais na discussão sobre o que são obstáculos na educação.

A concepção de obstáculo na educação é vista de forma diferente que em nosso

cotidiano. Segundo Duroux (apud Almoloud, 1983), “um obstáculo é um conhecimento,

uma concepção, e não uma dificuldade, ou uma falta de conhecimento”. O obstáculo é

um conhecimento que pode estar incompleto, ainda em fase de construção de

conceitos, o que pode dificultar a compreensão do aluno.

O obstáculo e o erro, apesar de conceitos diferentes no que diz respeito à

educação matemática, estão interligados. O erro pode ser causado por algum

obstáculo. Nesse caso, é preciso deixar claro que o erro não é oriundo da falta de

conhecimento do aluno sobre determinado conteúdo.

Uma forma de superar este obstáculo pode ser à medida que o mesmo foi

observado, identificar sua origem a fim de orientar a utilização de métodos de ensino

que evitem o aluno permanecer com tal obstáculo. Porém, não basta apenas ensinar a

forma correta para o aluno, pois o mesmo pode ter dificuldades para adquirir o novo

conhecimento, considerado ‘correto’, a partir de um conhecimento que para o aluno não

estava errado.

Ambos os termos erro e obstáculo, podem ser essenciais para o processo de

ensino, pois os mesmos podem ser um importante aliado para o professor no momento

de ensinar. O professor primeiro tem que identificar o erro e posteriormente, tentar

verificar se esse foi causado por algum obstáculo. A partir disso, (re)organizar sua

prática docente em relação a esse obstáculo.

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1.2. OBSTÁCULO DIDÁTICO

Tomando como base a ideia de utilizar do erro/obstáculo para auxiliar na

aprendizagem de novos conteúdos, outro assunto que entra em discussão é como

identificar a origem desses obstáculos, como o professor pode utilizar dos erros para

ajudar no processo de ensino.

Os obstáculos se manifestam pela incapacidade de compreender certos

problemas, de resolvê-los com eficácia, ou pelos erros que, para serem superados,

deveriam conduzir a instalação de um novo conhecimento (Brousseau apud Almoloud,

2008). Ou seja, os obstáculos são gerados através de uma incapacidade que pode está

sendo desencadeada por diversos fatores. Segundo Almouloud, (2008, p.135), os erros

provocados pelos obstáculos são resistentes e podem ressurgir muito tempos após de

um sujeito ter rejeitado o modelo inadequado do sistema cognitivo.

Para que os erros sejam eliminados de forma que o conhecimento seja

adquirido, os obstáculos assim que identificados, tem que ser suprimidos evitando que

tais “resistências” permaneçam, levando o aluno ao erro ou que apareçam em

conteúdos ou séries posteriores. ou seja, evitar que o obstáculo seja “eliminado”

apenas para o conteúdo que está sendo ministrado no momento, e sim que as dúvidas

ou idéias que fez o aluno ter obstáculos, seja eliminadas por completo fazendo o

mesmo adquirir um conhecimento considerado correto.

Segundo (Brosseau apoud Almoloud p. 138,139), existem origens diversas para

os obstáculos identificados na didática da matemática, caracterizando-os em

epistemológicos, didáticos, psicológicos e ontogênicos.

“Obstáculos epistemológicos são aqueles que tiveram um papel importante no

desenvolvimento histórico dos conhecimentos e têm sua rejeição integrada

explicitamente no saber ensinado/aprendido (ALMOLOUD, 2008, p. 139)”. Tais

obstáculos em algum momento histórico impediram de se produzir novos

conhecimentos pelo fato de não ter uma compreensão mais completa acerca de outros

conhecimentos.

Segundo Almouloud (2007, p.144) “os obstáculos psicológicos aparecem quando

a aprendizagem contradiz as representações profundas do sujeito, ou quando induz

uma desestabilização inaceitável”. O zero, por exemplo, pode causar obstáculo

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psicológico pelo fato do aluno não conseguir relacionar o nada, situação esta do

cotidiano, com a ausência de algo na logica da matemática, (Oliveira, et all, 2012), ou

seja, o zero já se traz a ideia de que não é nada, não tem valor algum, mais quando se

ensina as casas decimais, o zero, está presente na formação desses números como os

número 10, 20 e 100, e o aluno depara-se com está idéia em contradição, pois na

cabeça do aluno como o número 100 que apresenta 2 zeros pode ser maior que 12 por

exemplo, levando o aluno a uma contradição tendo obstáculo para compreender.

Os obstáculos psicológicos podem surgir por diversos motivos, além de

contradição do que o aluno ver no seu cotidiano, com o que ele ver em algumas

denominações em sala de aula, podendo ser gerado por fatores criados através de

situações dentro da sala de aula, como ter tirado nota baixa em alguma atividade

quando os demais alunos da turma tiveram desempenho superior ao mesmo, tornando

um bloqueio em estudar conteúdos matemáticos.

Outro obstáculo presente neste processo é o de origem ontogênica. Este é

oriundo de limitações neurofisiológicas dentre outras, do sujeito em certo momento de

seu desenvolvimento (Brousseau apud Almoloud, 2007, p. 145).

Um dos obstáculos frequentes no processo de ensino aprendizagem são os

obstáculos didáticos. De acordo com Brousseau (apud Almoloud 2007 p.141), “os

obstáculos de origens didáticas são aqueles que parecem depender apenas de uma

escolha ou de um projeto de sistema educativo”. O obstáculo didático é aquele que

pode ser gerado através de recursos utilizados em sala de aula para ministrar o

conteúdo ou até a não utilização de recurso em sala, a partir da escolha ou forma que

foi usado para a transmissão de conteúdo.

Estes obstáculos surgem desde a forma como o conteúdo é ministrado, seguidos

dos recursos que o professor utiliza para repassar o conteúdo para os alunos, até o não

domínio do professor em relação ao conteúdo. Tais obstáculos tornam-se fatores

importantes para a não compreensão do conteúdo podendo levar o aluno ao erro.

Todos esses fatores são essenciais para sucesso no processo de ensino

aprendizagem, em relação aos recursos que o professor utiliza, o mesmo na tentativa

de tornar as aulas dinâmicas pode levar um recurso diferenciado para a sala, como

jogos matemáticos, por exemplo, tento que ser bastante minucioso da escolha e

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aplicação de tais jogos, pois em uma mesma sala de aula, pode se encontrar alunos de

diferentes idades desde, como 10 e 15 anos, e um jogo que será motivador para um

aluno de 10 anos, pode não ser para um aluno de 15, pois os alunos já estão com

mentalidades diferentes, um esta na fase de criança ainda e outro na adolescência.

Outro fator importante e o domínio do professor em relação aos conteúdos que

serão repassados, pois não adianta ter ideias de metodologias para ensinar, ou os

alunos estarem motivados para aprender, se o professor não tiver domínio do que vai

transmitir, pois pode passar informações a respeito do conteúdo equivocadas, ou

passar conteúdo apenas parcial, pode demonstrar insegurança ao estar na sala de

aula, quando for questionado sobre alguma duvida do aluno ao não saber responder. O

que torna o domínio do professor, a forma como será aplicado o conteúdo e os métodos

que serão usados, de extrema importância para o sucesso na formação do sentido

numérico dos alunos.

1.3. SENTIDO NUMÉRICO

É essencial para os alunos desenvolver e dispor de conceitos que são

necessários para conhecer valores e expressões bem como operações e diversos

elementos que são expressos a partir de números. O sentido numérico das pessoas é

construído com base em informações de seu cotidiano, desde dinheiro, juros, medidas,

número das casas ou até de telefone. Mas também é possível aperfeiçoar o sentido

numérico a partir de situações escolares, que não estejam obrigatoriamente vinculadas

a uma situação vivida corriqueiramente.

Em relação ao conceito de sentido numérico, este pode ser entendido como “o

conjunto de características e de rede de relações que permitem relacionar números

com operações, com o objetivo de resolver problemas flexivelmente e mediante formas

criativas” (JUDITH SOWDER apud LINS e GIMENEZ, 1997, p. 59-60). Para

compreendermos melhor essa rede de relações que permite relacionar números e

operações, devemos compreender primeiramente o que é número e/ou conjuntos

numéricos e as operações existentes relacionadas a eles.

Segundo Ifrah (1997) existe um longo processo no decorrer da história para se

chegar aos números que conhecemos hoje. Os números surgiram a partir da

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necessidade que se teve de contar algo há mais de 30.000 anos. Nesse período, os

homens viviam em cavernas e ainda não havia a idéia de números, porém eles tinham

a necessidade de contar. Assim, quando os homens iam caçar, por exemplo, levavam

pedaços de ossos ou de madeira. Para cada animal que capturavam, faziam no osso

ou madeira um pequeno risco.

Com a evolução do homem que passou a fixar-se em um só lugar, o mesmo

passou a praticar não somente a caça e a coleta de frutos, mas o cultivo de plantas e

até a criação de animais. Podemos caracterizar que a partir daí, surgiu à necessidade

de uma nova forma de contagem, pois o homem precisava controlar suas criações.

Com a passagem de uma vida nômade para uma vida sedentária, nossos ancestrais

passaram a ter a necessidade de ter controle da produção de alimentos e também de

aperfeiçoar os mecanismos e instrumentos de contagem. Em um longo processo

evolutivo, do uso de materiais como pedras para controlar entradas e saídas de objetos

a coleções, surgiram os números e as primeiras operações (Ifrah, 1997). É por meio de

resolução de cálculos com números que surgem as expressões, hoje denominadas de

expressões numéricas.

As operações tem uma diversidade de conceitos, sendo que existem quatro tipos

consideradas fundamentais para o ensino da matemática que são: a adição, subtração,

multiplicação e divisão. Em torno destas há vários questionamentos a respeito de sua

aplicação em sala de aula e dos conceitos atribuídos a elas pelos alunos.

Em sala de aula, é comum perguntas dos alunos sobre qual operação

matemática usar para resolver as questões problemas. Borba (2009) sugere alguns

motivos que podem provocar esta situação.

Dificuldade de interpretação do texto do enunciado;

Operações ensinadas de forma estanque, uma a uma sem articulação interna entre

elas;

Enunciado não evidencia apenas dois números a serem diretamente operados;

Hábito de encontrar, no texto, palavras que são interpretadas como pistas da

operação aritmética a ser utilizada, tais como: “Juntos” é para somar, “retirou” é para

subtrair, “repartir” é para dividir e assim por diante. “

21

Existem diversas razões que causam dúvida nos alunos sobre qual operação

usar e quando usar, dando ênfase à última razão. Tal situação pode gerar obstáculos

no ensino, pois no momento em que os alunos associam algumas palavras a uma

operação matemática, pode fazer que eles tenham uma idéia restrita em relação às

operações, tendo apenas um conceito e não uma visão mais abrangente de problemas

que embora distintos, possam ser resolvidos por uma mesma operação (Borba, 2009).

Borba (2009) indica outros conceitos presentes nas operações fundamentais

além daqueles que geralmente fazem parte do repertório de conhecimentos dos alunos.

Quadro 1: Significado das operações

OPERAÇÃO ARITMÉTICA CONCEITOS

Adição Acrescentar Juntar

Subtração Retirar Comparar Complementar

Multiplicação Proporção Combinação

Divisão Repartir Medir Relacionar parte/parte ou parte/todo

Fonte: Borba (2009, p. 104)

No caso da adição além do significado de juntar, esta operação tem também o

de acrescentar. Juntar se refere ao ato de reunir em apenas uma coleção duas de

objetos distintos já existentes. A idéia acrescentar, por sua vez, diz respeito ao ato de

aumentar uma coleção ao inserir nela novos objetos, ou seja, uma quantidade inicial

que é transformada pela inclusão de novos objetos.

Em relação à subtração tal operação possui os significados de retirar, comparar

ou completar. O significado de retirar está ligado à existência de uma coleção em que é

retirado uma parte dela com o objetivo de descobrir o quanto resta. A comparação diz

respeito à existência de duas quantidades de objetos de mesma natureza com o intuito

de saber qual delas tem mais ou menos que a outra, ou seja, saber a diferença entre

elas. É possível também usar a subtração com a ideia de completar, ou seja, quando se

conhece parte da quantidade de uma coleção e se deseja saber qual o complemento

dessa parte para fechar a coleção.

22

A multiplicação pode ser usada com as idéias de proporção e combinação. A

multiplicação com idéia de proporção é quando se conta elementos de uma coleção por

grupos, em que um número se refere à quantidade de grupos e o outro ao número de

elementos de cada grupo. A combinação consiste em colocar uma relação de dois

conjuntos diferentes, procurando saber quantas formas distintas de combinar os

elementos dos dois conjuntos é possível, como por exemplo o uso das cores e formas.

A divisão pode ser usada com significados de repartir, medir e relacionar. A

partilha é o conceito que possivelmente é o mais usado pelos alunos, pois é utilizada

quando temos uma coleção e temos que reparti-la em partes iguais, ou seja, para

formar determinados grupos com a mesma quantidade de elementos. A divisão com

conceito de medida é usada quando se quer formar grupos a partir de uma coleção e se

sabe quantas vezes o grupo cabe na coleção. A relação parte/parte ou parte/todo está

ligada à idéia frações, quando se estabelece uma relação com 2 valores, sendo uma a

parte e a outra o todo. Essa relação é bastante usada em receitas de bolos ou em

estatística.

O aluno que cursa o ensino fundamental com senso numérico desenvolvido, irá

perceber que uma mesma operação poderá ser utilizada para resolver problemas com

significados distintos. Assim, entendendo que uma operação não serve apenas para

resolver um tipo exclusivo de problema, e não possui um único significado, e o aluno

não se prenderá a procurar palavras no problema como sugestão da operação a ser

utilizada. O sentido numérico desenvolvido ,portanto, permitirá ao aluno perceber o

significado das operações que podem ser associadas aos números de um determinado

problema.

O sentido numérico mais apurado por parte do aluno, pode ser percebido

também na compreensão que possui do algoritmo das operações. Além da técnica

operatória o aluno deve compreender que características do sistema de numeração

decimal leva determinado algoritmo a ter os procedimentos que possui. Um exemplo

pode ser percebido no uso dos textos numéricos, como sugere Lins e Gimenez (1997).

23

Figura 3 – Processo de desenvolvimento da adição

No exemplo acima, o esquema mostra o processo envolvido na operação de

adição. Somam-se as dezenas entre si como também as unidades. A soma desses dois

resultados leva ao total. Uma compreensão desse modo certamente é diferente daquela

em que o aluno utiliza o algoritmo, mas não compreende, por exemplo, o que é ‘sobe’

um. Além do mais, a compreensão do valor posicional dos algarismos na formação do

número pode favorecer certamente, a compreensão do que é a técnica operatória da

adição.

1.4. EDUCAÇÃO ARITMÉTICA

Normalmente quando se fala em aritmética, seja em sala de aula ou em outros

ambientes, é comum ouvir que aritmética é um ramo da matemática que lida com

números e as possíveis operações feitas com eles Esse é um conceito pertinente, mas

precisa ser ampliado.

As quatro operações básicas são um dos primeiros conceitos estudados nas

séries iniciais e reforçados em anos posteriores. Outros conceitos estudados em séries

seguintes, para serem compreendidos, necessitam do conhecimento das quatro

operações fundamentais que é domínio da aritmética. Porém, além das operações

fundamentais outros conteúdos são de domínio da aritmética.

A aritmética inclui: a) representações e significações diversas (pontos de referência e núcleos, que ampliam a ideia simples do manipulativo); b) analise do porquê dos algoritmos e divisibilidade (elementos conceituais); c) uso adequado e racional de regras (técnicas e habilidades); é d) descobertas ou

40

12 34 + = ?

10 2 30 4

6

46

24

“teoremas” (descobertas, elaboração de conjecturas e processos de raciocínio) (LINS E GIMENEZ, 1997, p. 33).

O item (a) se refere, por exemplo, aos diversos significados dos conceitos das

operações, como já citado em tópico anterior, a adição pode ser realizada com sentido

de juntar e acrescentar, ou seja, mais de um significado. O item (b) trata da

compreensão dos algoritmos para além da técnica incluindo as explicações do que

significa cada procedimento. O item (c) trata da compreensão do uso de forma

adequada de transmitir regras utilizadas na aritmética, que podem estar relacionadas

com a resolução do algoritmo nas operações fundamentais. O item (d) está ligado à

formação das idéias e conceitos do aluno em relação à compreensão dos teoremas e

seus vínculos com a elaboração e o raciocínio que está se desenvolvendo.

A aritmética se relaciona com diversas áreas da matemática e se mostra

necessária trabalhar em conjunto, como a geometria e a álgebra, pois os cálculos

aritméticos são essenciais para a resolução de problemas e expressões. Um desses

casos é o das medidas de um terreno, em que se utiliza a geometria para desenho do

local e a aritmética para o cálculo de sua área.

Antes de tudo e mais do que nunca, deve-se, reconhecer o valor social do aritmético e suas novas competências: diversidade de métodos, capacidade de interpretar informações, o que implica deixar de pôr toda a ênfase na função de contar e reconhecer as funções de ordenar e medir dos sistemas numéricos (LINS e GIMENEZ, 1997 p. 40-41).

Essa concepção deixa de lado a ênfase que era dada apenas à resolução do

cálculo e passa a reconhecer e usar novas estratégias para o processo de

aprendizagem. A mudança de foco na aritmética possibilita também a utilização de

problemas matemáticos mais criticamente, que exige do aluno um raciocínio mais

apurado e abrangente acerca dos problemas propostos, resolvendo-os mais

flexivelmente.

Uma educação aritmética pode estar comprometida com a aprendizagem do

aluno menos superficialmente do que as que historicamente se desenvolve na escola,

àquelas limitadas a simples resolução de operações, por exemplo, deve estar

essencialmente direcionada para o desenvolvimento do sentido numérico do aluno.

25

1.5. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Resumidamente pode-se dizer que expressão numérica é uma forma de

expressar, traduzir ou descrever matematicamente uma situação (Ramos apud

Parmegiani, 2001; apud Lorenz e Chies, 2007). Essas expressões se apresentam em

formas de números associados a operações matemáticas, e são usadas para calcular

as expressões formadas. As mais frequentes são a adição, subtração, multiplicação e

divisão além da potenciação e radiciação.

Esse conteúdo é inserido logo nas séries iniciais do ensino fundamental, em que

é estudado desde o conceito, a identificação dos números, o cálculo com dois números,

e gradativamente vai se inserindo mais operações, até que tenham expressões em que

se use várias operações.

Existe uma sequência de passos a ser seguido e uma ordem para calcular as

operações, uma vez que a expressão numérica pode ser formada por mais de uma

operação. As primeiras operações a serem resolvidas devem ser a multiplicação e/ou a

divisão em seguida, a adição e/ou a subtração. Para cada um desses dois grupos de

operações (inverter os sinais) (÷ e × ; − e + ) se calcula a primeira operação que

aparecer na sequência (da esquerda para a direita) de resolução da expressão.

É frequente também o uso de sinais de associação nas expressões numéricas

que possuem o objetivo de organizar as expressões. Tais sinais são: os parênteses,

colchetes e chaves, respectivamente (), [] e {}. A utilização desses sinais tem um papel

fundamental para o sentido e resultado da expressão.

O uso dos sinais de associação pode ser comparado com a importância da

vírgula na escrita, por exemplo, em que a ausência dela ou a simples mudança de lugar

pode modificar o sentido da frase. Exemplo:

1) Tia Ana, Clara vai ao cinema!

Esta frase tem o sentido de que existe uma tia chamada Ana e que é informada

que outra pessoa chamada Clara, irá ao cinema. Se mudar a vírgula de lugar o sentido

da frase muda completamente.

2) Tia, Ana Clara vai ao cinema!

26

Nesta frase, a tia de nome desconhecido é informada de que outra pessoa, Ana

Clara, vai ao cinema. Apenas uma pequena mudança de lugar de uma vírgula, mudou o

sentido da frase.

A mesma importância pode ser dada aos sinais de associação. Uma

compreensão inadequada de sua utilização pode mudar o resultado da expressão.

Exemplo:

(15 – 5) + 2 = 10 + 2 = 12

Nesta expressão aparecem apenas parênteses e dentro dele os números e a

subtração entre 15 e 5. Tal resultado deverá ser adicionado a 2, que está fora do sinal

de associação. O resultado da expressão, portanto, será 12. A mesma expressão,

porém com os parênteses em outro local, muda o resultado.

15 – (5 + 2) = 15 – 7 = 5

Nesta expressão que utiliza os mesmos números, sinais de operação e sinais de

associação, tem outro resultado, isto porque o parênteses foi posto em outro local da

expressão. Como se vê, os sinais de associação são importantes para a resolução das

expressões podendo alterar seu resultado.

Os sinais de associação são utilizados para dar preferência para um conjunto

numérico, porém ainda seguindo a ordem de resolução das operações, indicando que

os números que estiverem dentro desses sinais de associação devem ser calculados

primeiro. Essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e por

último, as chaves, resolvendo os cálculos que estiverem dentro dos mesmos. Ao restar

apenas um único elemento dentro dos sinais ele pode ser retirado.

Para o aluno obter êxito na resolução de uma expressão, deve manter a ordem

de resolução das operações fundamentais, respeitando a ordem de eliminação dos

sinais de associação. A expressão chega ao fim, quando todos os números possíveis

foram calculados.

Essas expressões podem surgir através de problemas matemáticos e formar

estruturas através das informações dados no problema. Esses problemas requerem do

aluno além das informações a respeito de saber calcular as quatro operações

fundamentais, bem como a ordem correta de calcular.Além disso, ordem de eliminação

dos sinais de associação, a interpretação através da leitura feita no problema, a

27

habilidade de retirar as informações do problema, afim de montar a expressão para

enfim poder usar as regras e técnicas para calcular.

28

CAPÍTULO II: PERCURSO METODOLÓGICO

O desenvolvimento desta pesquisa aconteceu em fases. A primeira compreende

a fase exploratória, momento em que foi pesquisada a respeito de erros e obstáculos,

obstáculos didáticos, sentido numérico, educação aritmética e expressões numéricas. A

partir desse estudo inicial foi definida a pergunta norteadora da pesquisa, a saber: que

obstáculos didáticos são manifestados por alunos do 6º ano do ensino fundamental na

resolução de expressões numéricas? Teve como objetivos:

Compreender a natureza dos obstáculos didáticos na resolução de expressões

numéricas;

Verificar se os alunos apresentam um sentido numérico consoante às

necessidades de resolução de expressões numéricas.

A escola que serviu como local de pesquisa foi a Escola Municipal de Ensino

Fundamental Martinho da Silveira Mota3. Esta unidade de ensino está localizada no

Bairro Nova Marabá, na Folha 27. Atende no período diurno o ensino regular do 6º ao

9º ano do ensino fundamental e no período noturno na modalidade da EJA referente às

3ª e 4ª etapa. Nesta escola, estudam alunos de diversas folhas vizinhas, tanto próximas

como mais distantes dela. Ao todo, a escola atende cerca de 744 alunos, de acordo

com as informações fornecidas pela coordenadora pedagógica. O principal motivo que

levou à escolha da escola foi a disponibilidade da instituição para a realização dessa

pesquisa.

A segunda fase foi a produção dos dados, realizada no mês de março de 2013.

Neste momento foi feito contato com a escola e apresentada a proposta de pesquisa,

por meio da carta convite e termo de autorização para a coordenadora pedagógica do

estabelecimento (Apêndice I). Após esse contato inicial, foi marcada a data para

aplicação dos instrumentos de produção de dados, constituido por um teste com

questões matemáticas (Apêndice II), .

O primeiro processo de produção dos dados ocorreu com a elaboração de um

teste com questões relacionadas a expressões numéricas, para 24 alunos de uma

turma do 6º ano do ensino fundamental, do período vespertino. Por meio de tal

3 <http://www.qedu.org.br/escola/

29

instrumento. No que se refere a essas atividades, demandavam a representação de

situações problemas por meio de expressões numérias, bem como a resolução das

mesmas, envolvendo habilidades e conteúdos tais como as quatro operações

fundamentais da matemática, o uso de sinais de associação. O teste continha 6

questões matemáticas, sendo 4 questões objetivas com justificativas e as demais

discursivas.

O segundo processo de produção de dados se deu com a aplicação de um teste.

Neste processo, foi feita uma leitura das questões juntamente com os alunos, que não

manifestaram quaisquer dúvidas acerca do que teria que ser feito acerca do material

entregue a eles.

A terceira fase foi a de sistematização e análise e dos dados. Os dados foram

sistematizados no período de março e abril de 2013, demonstrados a partir de algumas

respostas dos alunos que foram selecionadas e discutidas neste trabalho.

A análise dos dados foi feita por uma abordagem qualitativa e quantitativa.

Segundo Diehl apud Dalforo et all (2004), a escolha do método se dá pela natureza do

problema, bem como de acordo com o nível de aprofundamento da pesquisa. Nesse

sentido, a pesquisa qualitativa, descreve a complexidade de um determinado problema,

sendo necessário compreender e classificar os processos dinâmicos vividos no objeto

da pesquisa, visando contribuir no processo de mudança e possibilitando o

entendimento das mais variadas particularidades dos indivíduos. Ou seja, a pesquisa

qualitativa analisa a interação entre algumas variáveis e possibilita o entendimento das

particularidades dos indivíduos avaliados. Entraram em cena, em relação a esse

aspecto, os dados oriundos do teste aplicado aos alunos. Essa análise qualitativa dos

dados foi embasada principalmente na fundamentação teórica de LINZ e GIMENEZ

(1997), Luz (2008) e ALMOLOUD (2007).

30

CAPÍTULO III: RESULTADOS E DISCUSSÕES

É visível que os alunos pesquisados possuem um sentido numérico pouco

desenvolvido em relação a expressões numéricas, pois, em um estágio mais avançado

desse estado, os alunos poderiam ter identificados importantes relações entre número e

operações presente em algumas expressões e, com isso, ter chegado aos resultados

de forma mais precisa e flexivelmente, como propõem Lins e Gimenez (1997).

Uma dessas situações era a questão 6. Na expressão se desconhecia um dos

valores existentes na segunda parte da mesma.

Figura 4 – Questão 6 aplicada no teste

QUESTÃO 6. Mariana, Marcos e Juliana são amigos. Eles adoram divertir-se fazendo

desafios matemáticos entre si. Outro dia Marcos fez uma expressão numérica e dividiu

em duas partes.

Ele apagou parte da expressão numérica, e enviou para suas duas amigas e fez a

seguinte pergunta:

- Qual deverá ser o valor da segunda parte para que seja possível encontrar um valor

para a expressão numérica?

A Juliana disse que certamente o valor a ser encontrado dentro dos colchetes será um

número grande. Porém, a Mariana disse que número a ser encontrado na segunda

parte é com certeza um número bem pequeno. Qual das duas amigas de Marcos você

acha que está certa? Justifique sua resposta.

31

Um aluno com senso numérico desenvolvido identificaria de início que a relação

entre a primeira e a segunda parte era dada por uma subtração. Como tais alunos

ainda não estudaram o conjunto os números inteiros, deveriam perceber que o valor da

primeira parte teria que ser maior que o da segunda para que fosse possível efetuar a

subtração. Assim, não interessaria o número apagado pelo lápis. Entretanto, nenhum

dos alunos demonstrou em suas respostas fazerem esse tipo de relação.

Alem dessa questão, outras situações permitem identificar que o senso numérico

em relação às expressões numéricas dos alunos é pouco desenvolvido, como a

questão 4.

Figura 5: - Questão 4 aplicada no teste

QUESTÃO 4. Paulo, em uma atividade para casa, respondeu uma expressão de quatro

formas diferentes. Em qual das alternativas a resposta está correta? Justifique cada

uma das respostas dadas.

O sentido numérico desenvolvido permitiria ao aluno saber que a resposta seria

um número par, pois o resultado a ser encontrado com a resolução das operações de

dentro dos colchetes está sendo multiplicados pelo número 2. Logo, de acordo com

regras matemáticas, todo número multiplicado por 2 será par.

2 x [32-10 – (2 x 5)]

(d) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [22 – (2 x 5)]

2 x [ 22 – 10]

2 x 12

24

(c) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [22 – (2 x 5)]

2 x [ 22 – 7]

2 x 15

17

(b) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [22 – (2 x 5)]

2 x [ 20 x 5 ]

2 x 100

200

(a) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [31 – (2 x 5)]

2 x [ 22 – 10]

2 x 21

42

32

Das 4 alternativas da questão o aluno eliminaria a alternativa (c), pois o seu

resultado é um número impar. Além disso, a expressão dentro do colchete indicava uma

subtração a ser feita de 32. Assim, não seria possível encontrar dentro do colchete

outro valor superior a esse. E, considerando-se que tal valor seria multiplicado por 2,

então o resultado da expressão não poderia ser maior que 64. Desse modo, seria

possível excluir duas das opções das respostas fornecidas, a que resultou em 17 e a

que informou 200 como resultado. Todavia, nenhum dos alunos demonstrou em suas

justificativas respostas que fossem ao encontro dessas percepções.

No desenvolvimento de todas as expressões e problemas apresentados aos

alunos, é visível que eles apresentam obstáculos, em sua maioria didática, na

resolução das questões. O sentido numérico desenvolvido facilitaria as resoluções de

tais e certamente, a superar tais obstáculos e vice versa.

3.1. ERROS ORIUNDOS DE OBSTÁCULOS DIDÁTICOS

Neste eixo serão discutidos alguns dos erros cometidos por alunos que foram

originados de obstáculos didáticos.

3.1.1 Regra do cálculo por pares

Um dos obstáculos apresentados por grande parte dos sujeitos pesquisados está

relacionado a uma técnica para resolver a expressão, pois usam a estratégia de fazer

agrupamentos de 2 em 2 números para poder calcular, formando pares.

Figura 6 – Formação de pares

33

Para a resolução desta expressão o aluno deveria ter domínio das regras

envolvidas na resolução de expressões numéricas, bem como as operações básicas,

saber a ordem de resolver os cálculos e eliminação de sinais de associação.

É possível perceber que o aluno tem a idéia que para resolver a expressão tem

que calcular fazendo agrupamentos em pares, pois coloca setas indicando os números

envolvidos na operação que está efetuando, como na adição entre o 7 é o 40. O

mesmo é feito entre os números 10 e 4, mesmo com o fato de tais números estarem

separados por um sinal de associação, obtendo como resposta o número 14. Tal

procedimento é repetido no restante da expressão.

Alguns casos quando se tem apenas um número no início da expressão e se

encontra fora de algum sinal de associação, poucos alunos conservam esse número

para efetuar as operações existentes dentro dos sinais de associação. Em sua maioria,

os alunos formam os pares na ordem que os números aparecem na expressão. A figura

abaixo é característica desse procedimento.

Figura 7 – Ignora os parênteses

Como o número 3 está fora dos parênteses e existem mais três números dentro

destes sinais, o aluno agrupa o número que está fora com o primeiro que se encontra

dentro dos parênteses. Pode-se perceber que a concepção de formação de pares para

a resolução da expressão numérica é superior a de ordem de eliminação dos

parênteses.

Mas, há alguns casos, quando não é possível formar pares, no caso de

apresentarem uma quantidade de números ímpares, o último elemento é conservado

como é evidenciado na resposta da figura abaixo.

34

Figura 8 – Importância dos parênteses

Neste caso, o aluno desenvolve a questão de acordo com o pensamento de

formação de pares, o último elemento é o número 1 e por não encontrar outro número

para formar um par com ele, o aluno compreende que ele deve ser conservado. É como

tivesse “sobrado” um número na expressão.

No processo de resolver expressões o aluno apresenta obstáculos, além da

utilização de sinais de associação, em muitas repostas percebe que as dificuldades em

relação à ordem de resolver as operações. A figura abaixo traz um desses exemplos

Figura 9 – Ordem do cálculo das operções

O aluno sabe que tem de resolver primeiro as operações que estão dentro dos

parênteses, pois conserva o número 2. Porém, novamente prevalece a pseudo regra da

resolução das operações por pares, pois o aluno calcula a operação de multiplicação

entre um número de fora do parêntese com um que está dentro, e assim, se tem duas

operações a serem realizadas com dois pares de números. Portanto, fica claro que a

regra de formação dos pares se sobrepõe a das operações.

35

Nas respostas acima, observa-se que os alunos apresentam obstáculo didático,

pois demonstram um conhecimento em relação às expressões numéricas e não à

ausência de conhecimentos (Almoloud, 1983). É preciso ressaltar que o

desenvolvimento do senso numérico ajudaria os alunos a resolverem ou a perceberem

seus erros. Um exemplo é a resolução da figura 4, em que o aluno deveria ter

percebido que não é possível subtrair 8 de 2.

Em parte das questões, fica claro que os alunos sabem algumas regras de

prioridade no processo de resolução de expressões numéricas, bem como a utilização

de sinais de associação e ordem de calcular as próprias operações. Porém, o conceito

que ele possui de sempre calcular em pares é superior às regras, aos conceitos

pertinentes à resolução das expressões.

É evidente que em algumas questões os alunos aprenderam a fazer os cálculos

por agrupamentos, pois eles até demonstram possuir um conhecimento sobre a

resolução, como em algumas respostas obtidas o aluno sabe, por exemplo, que um dos

primeiros passos é resolver as operações localizadas dentro dos parênteses ou a

multiplicação antes da adição (Figuras 2,3). Todavia, no caso da eliminação dos sinais

de associação, demonstra conhecer que os parênteses tem que ser resolvidos

primeiramente, mas quando se tem a presença de colchetes ou chaves o aluno não

sabe calcular usando tais sinais. Portanto, apresenta um conhecimento porém, parcial.

Este obstáculo didático pode ter sido desencadeado pela explicação inicial do

professor em como calcular expressões numéricas, em que são ensinados primeiro

expressões sem uso de todos os sinais de associação. Ou seja, os conceitos são

repassados por partes.

Primeiro as expressões com adição.

6 + 5

47 + 12 + 103 + 2

Depois inicia com o uso da adição com a subtração.

52 – 31 + 20

230 – 40 + 68 - 20

Até que as 4 operações básicas sejam inseridas em uma única expressão.

32 + 9 x 2 – 15 + 31 – 12/2

36

5 x 9 + 5 – 20 : 2 + 26 – 12 : 4 + 3 x 2

Em seguida, inicia o uso dos sinais de associação, começando com os

parênteses, depois os colchetes e chaves, até que o mesmo possa calcular uma

expressão usando todos os sinais de associação e com todas as operações.

(8 + 3 + 9 ) – 10

30 – [ 2- ( 15*3 + 6 ) + ( 18 – 7 + 3*4 ) ]

{26 – 4 : 2 + [ 54 – (50 + 16 x 2) – ( 83 + 7 – 5 + 15 - 96)]} + 38

Com o intuito de facilitar a aprendizagem, o professor pode ter explicado para

separar os números em pares para evitar possíveis confusões no processo de

resolução. Isto, provavelmente, quando ainda trabalhava com expressões sem sinais de

associação e somente com as operações de adição e subtração, pois nesses casos,

mediante a multiplicidade de números seria importante ter algum mecanismo de

controle, para não usar o mesmo número em mais de uma operação. Desse modo, as

setas abaixo deles amenizariam a chance e cometer erros. Ou, ainda, para resolver as

operações dentro dos colchetes.

{26 – 4 : 2 + [ 54 – (50 + 16 x 2) – ( 83 + 7 – 5 + 15 - 96)]} + 38

Essa forma de explicação posteriormente transforma-se em obstáculo didático, a

partir do momento que o aluno se prende a essa orientação transformando-a em regra.

Como exemplificado no capitulo 1, acerca da metáfora envolvendo a modalidade

esportiva salto com varas e a educação, esse recurso do professor foi utilizado para

facilitar a aprendizagem, mas terminou por produzir obstáculos para os alunos.

Isso deixa claro que os recursos são importantes no processo, porém a escolha

e aplicação de metodologias tem que ser feitas de forma minuciosa para que possa

auxiliar e não prejudicar o processo de aprendizagem.

3.1.2. O zero e o um como elemento neutro

Um dos fatores que levaram o aluno ao erro foi a compreensão limitada na

interpretação do zero em algumas das operações matemáticas realizadas. Alguns

37

sujeitos pesquisados encontram respostas em que o zero é sempre o último elemento a

ser resolvido na expressão, como se fosse um elemento que pode ser deixado para

“depois” sem alteração no resultado da expressão. Ou seja, o zero é tratado como se

não tivesse nenhum valor para a expressão, caracterizando-se um obstáculo para

resolver a expressão na medida em que o aluno não sabe exatamente o que fazer com

ele.

Um dos obstáculos, nesse sentido, é o caso da multiplicação, em que os alunos

não sabem o que fazer com o zero quando chegam a certo ponto da resolução.

Figura 10 – Utilização do zero

Em algumas alternativas, como nas letras (d) e (e), o pensamento que o aluno

obteve através dos passos demonstrados na resolução da expressão é até em parte

correto, mas quando apresenta o zero, o aluno para de responder a questão,

evidenciando que um obstáculo o impede de continuar o processo de resolução. Este é

um obstáculo didático e pode ter sido gerado na exposição do conteúdo por parte do

38

professor ao dizer apenas que o zero e o um são o elemento neutro em algumas

operações, ou seja, que não interferem no resultado da operação em questão. A

alternativa (d) evidencia este fato, quando o aluno calcula os dois primeiros números e

quando se depara com o numero 0 para de responder a questão, como se não tivesse

mais nada para calcular, já que o numero restante é o zero. Desse modo, ficou a

concepção de que tais números são insignificantes nestas operações.

Alguns alunos tem uma interpretação um tanto curiosa quando se deparam com

um número qualquer somado à zero. Eles acrescem o zero ao outro número por

justaposição, sem efetivar uma operação matemática.

Figura 11 – Interpretação do zero

No caso dessa expressão, o aluno demonstra saber que na multiplicação de um

valor qualquer por zero tem como produto o próprio zero, o que pode ser confirmado

através das alternativas de (a) à (c). Mas, quanto às alternativas (d) e (e) o aluno

evidencia possuir um obstáculo na compreensão de que somar um número com o zero

o resultado é o próprio número, pois quando se depara com a soma de 18 + 0, ele une

o zero como se fosse uma centena, obtendo o resultado o número 180. O mesmo

ocorre na letra (e), onde o aluno soma 9 + 0 e obtêm 90.

Alguns alunos apresentam obstáculo de cunho didático na interpretação do zero

como elemento neutro apenas em algumas das operações fundamentais, como na

adição. Ele interpreta que não serve como um número a ser calculado, demonstrando

não saber que o zero representa ausência de unidades na posição em que ocupar no

numeral. Assim, une o zero com o numeral formando uma centena, mas sem essa

percepção.

39

De uma forma geral, os obstáculos didáticos envolvendo o zero podem estar

ligados ao fato de não estar claro que pode ter diferentes resultados de acordo com a

operação usada. Na multiplicação, o produto de um número por zero terá como

resultado o zero, mas, na adição, a soma de um número com zero é o próprio número.

Em algumas questões, percebe-se que o aluno sabe que o zero tem diferentes

significados em algumas operações, ou seja, sabe que ele é elemento neutro em uma

operação, mas não em outra. O aluno apresenta obstáculo ao não distinguir isso, então,

claramente confunde-se na resposta. O numeral zero permeia de diversas formas nos

obstáculos na resolução de expressões numéricas, desde obstáculos gerados pela

interpretação do próprio aluno, ou incompreensão na resolução das questões, mas o

que aparece com mais frequência é dificuldade de diferenciar os conceitos do zero

como elemento neutro para duas das operações elementares.

3.2. OUTROS OBSTÁCULOS

Alguns obstáculos encontrados são oriundos do desenvolvimento da própria

expressão em si. No exemplo abaixo, o aluno apenas retira os colchetes em

determinado momento da resolução para efetuar os cálculos, demonstrando que em

sua compreensão tais sinais podem ser retirados da resolução sem atender aos

critérios de resolução de uma expressão numérica.

.

Figura 15 – Dificuldades com os sinais

40

Outro detalhe a ser considerado, é que o aluno sabe em parte a ordem das

operações para resolver a expressão, como quando soma o 7 com o 40, em seguida

conserva o sinal de subtração, é dentro das chaves conserva o número 10.

Primeiramente calcula os números dentro dos parênteses, mas ao eliminar os

colchetes ele confunde-se. Na figura acima se nota que primeiro o aluno somou o 1, em

seguida o repetiu, porém com um sinal de subtração, onde anteriormente havia uma

adição.

Na fase final da resolução da expressão, em que as operações finais são a

adição e subtração, o aluno apresenta erra na resolução da subtração. Onde deveria

somar foi subtraído, concluindo que o aluno demonstra conhecer em parte o processo

para resolver a expressão, mas no desenvolvimento se confunde por conta de vários

sinais, ou por não organização dos valores na resolução.

Os erros gerados pelos obstáculos na resolução das operações fundamentais

como a questão anterior é assunto abordado em diversas pesquisas da área da

educação matemática, segundo Luz (2008, p. 5-6)

No que se refere à resolução das operações fundamentais deve-se buscar, em sala de aula, meios de reverter os casos de erro em uma situação de aprendizagem e, tentar fazer com que o aluno externe a maneira de pensar que o levou ao erro, pois se sabe que o erro contribui à formação da figura de “mau” que ele possui na aprendizagem

matemática, muitas vezes inclusive, na visão dos professores.

O autor ressalta a importância de reverter os casos de erros, para evitar que o

obstáculo didático que ele apresentou levando ao erro, possa gerar obstáculos

psicológicos no aluno, e criar uma imagem para o próprio aluno de que ele é um mau

aluno.

Outras respostas, principalmente em relação à expressão na questão 5 do teste

aplicado, demonstram que os alunos apresentam obstáculos para organizar as idéias

o que podem levar ao erro.

41

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A aritmética nos seus diversos conteúdos, bem como na representação das

operações matemáticas estão inseridas no ensino básico desde as séries iniciais, tais

conceitos são necessários para o estudo e compreensão das expressões numéricas.

Entre os obstáculos encontrados na resolução de expressões numéricas, nos

alunos do 6º ano do ensino fundamental, o mais frequente nas respostas obtidas

através do teste aplicado, foi o pensamento que devem calcular, agrupando a

expressão aos pares, onde os alunos demonstram claramente esta idéia, quando

inserem setas indicando os números que estão calculando. Essa formação de pares,

não leva em consideração a presença de sinais de associação, e os agrupamentos são

feitos na ordem que os números aparecem, não respeitando também o uso das

operações.

Este obstáculo pode ter sido gerado através da explicação do professor desde o

inicio do conteúdo de expressões numéricas, onde pode ter explicado para os alunos

calcularem em pares e na ordem que aparecem as expressões, a fim de facilitar a

compreensão do aluno, e dando ênfase nisso, o que posteriormente quando o aluno

precisa de uma compreensão mais técnica em relação a ordem de resolução, pode ter

causado um obstáculo, complexo de ser retirado.

Outro obstáculo presente nos resultados dos testes, foi o fato de não respeitar os

sinais de associação e a ordem de calcular as operações, o que e evidenciado através

de algumas respostas obtidas, em que os alunos ignoram os sinais de associação,

sobretudo as chaves, pois alguns demonstram não conhecer, ou não saber lidar com a

presença das chaves em uma expressão.

Dentro os sinais de associação, o que os alunos demonstram trabalhar com

mais facilidade e o parêntese, esse fato pode estar ligado ao parêntese ser o sinal de

associação mais frequente na vida escolar do aluno, pois o professor pode ter dado

mais ênfase em como calcular usando os parênteses, a fim de inserir aos poucos o uso

de sinais de associação, onde o estudo, inicia com os parênteses, para que o aluno

compreenda o uso de um sinal de associação na expressão, e em seguida inserir os

colchetes e chaves.

42

Esta ênfase dada no início, expondo mais expressões usando somente o

parêntese, pode ter deixado a desejar na formação e conhecimentos dos demais

conceitos referentes ao estudo de expressões numéricas, e devido ao curto tempo que

ficou para expor em sala de aula os demais sinais de associação, o processo de

aprendizagem ficou em formação, e não concluído.

E mesmo após os alunos terem visto os demais sinais de associação, os

parênteses são usados em expressões consideradas menores, o que pode estar sendo

mais frequente na vida escolar do aluno, fazendo com que ele tenha mais facilidade,

por ter mais familiaridade com o parêntese. A não compreensão de tais conceitos pode

ter impedido o desenvolvimento do sentido numérico em relação as expressões

numéricas, para os alunos dessa serie.

Assim como o obstáculo de saber usar os sinais de associação, outro frequente

na maioria dos testes, foi o de saber a ordem correta de calcular as operações, os

alunos calculam as expressões na ordem que aparecerem os números, e usam a

operação matemática do sinal que estiver na frente do número, ou entre os números,

independente, por exemplo, de ser uma multiplicação que deve ser calculada antes de

uma adição.

Este fato pode estar ligado com a explicação inicial do professor, onde o mesmo

com intuito de facilitar o processo, pode ter explicado que os números devem ser

calculados na ordem em que aparecem na expressão, para evitar que os alunos

calculem um número no inicio, depois outro no final da expressão, o que pode confundir

o aluno.

Esta confusão do aluno, é evidenciada em alguns casos, quando existe a

presença dos 3 sinais de associação e varias operações em uma mesma expressão,

que são consideradas grandes pelos alunos. Em algumas partes, como saber que tem

que eliminar os sinais é fazer alguns cálculos, o aluno demonstra que sabe o que fazer

deve ser feito, mas se confunde na resolução, talvez por está acostumado com

expressões menores.

De uma forma geral, o aluno se confundi na resolução das expressões, em casos

por desconhecer a forma correta de calcular, ou ate desconhecer o uso de sinais de

associação.

43

De acordo com umas respostas obtidas, percebe-se que o sentido numérico dos

alunos para as expressões numéricas deveria ser mais apurado considerando-se a

série em que estão, pois conceitos que antecedem tal conteúdo, como calcular as

quatro operações básicas, ou saber lidar com expressões consideradas grandes, ainda

não estão formados corretamente, ou ainda em processo de formação para o aluno. O

uso de expressões numéricas, serve como base para a compreensão de diversos

conteúdos que serão estudados posteriormente na vida escolar do aluno, Portanto, é

essencial a compreensão de tais conceitos.

A pesquisa possibilitou uma melhor visão sobre as fragilidades que os alunos do

6º ano do ensino fundamental apresentam na resolução de expressões numéricas. Tais

resultados chamam a atenção para a importância que as estratégias de ensino

utilizadas pelo professor, ou, ainda, certas abordagens de conteúdos ensinados, devem

ser melhor analisadas por eles, pois, ao invés de facilitarem a compreensão dos

alunos, podem dificultar a aprendizagem por se configurarem como obstáculos diáticos.

44

REFERÊNCIAS

AMORA, S. Mini dicionário soares amora língua portuguesa. Rio de Janeiro: Saraiva, (1999) ALMOLOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: EdUFPR, 2007. BECKER, F. O que é construtivismo? Revista de Educação AEC, Brasília, v. 21, n. 83, p. 7-15, abr./jun. 1992. BORBA, G. Reflexões sobre o ensino de matemática nos anos iniciais de escolarização. Recife: SBEM, 2009 IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. v. 2. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. FERREIRA, A. B. H. Dicionário aurélio básico da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986. LINZ, GIMENEZ. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas SP: Papirus, 1997. LORENZ, R. M. P. L.; CHIES, R. P. Expressões numéricas: sugestões de histórias matemáticas para uso em sala de aula. Revista do Professor, n. 23, p. 24-28, 2007, Porto Alegre. LUZ, M. A. B. Caderno pedagógico de análise de erros. Paraná: Secretaria de Estado de Educação do Paraná, 2008. NACARATO, M. P. A matemática nos anos iniciais do ensino fundamental. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. PARMEGIANI, R. Contextualizando o ensino das expressões numéricas no ensino fundamental. CONGRESSO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2.; ENCONTRO REGIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2011, Caxias do Sul. Anais... Caxias do Sul, 2011. OLIVEIRA, J. L. Os conceitos de erro, obstáculo, e contrato didático, segundo Guy Brousseu. ESCOLA DE INVERNO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA III, Santa Maria, 2012. Anais... Santa Maria, 2012. SOUSA, B. S.; SILVA, C. F. R. Erros e obstáculos didáticos em matemática: os licenciandos de Matemática em foco. Ponto de partida, v. 1, n. 1, 2013.

45

SPERAFICO, Y. L. S.; GOLBERT, C. S. Refletindo sobre os erros na resolução de problemas envolvendo equações algébricas do 1ª grau: Uma experiência com alunos do ensino fundamental, Curitiba, 2011.

46

APÊNDICE I: Carta convite e termo de autorização para as diretoras dos

estabelecimentos

47

APÊNDICE II: Teste com questões matemáticas

Identificação

EMEF___________________________________________ TURMA:________

ALUNO: ______________________________________ IDADE: ________

Importante!

I. Leia atentamente cada questão antes de respondê-la.

II. Caso não consiga resolver toda a questão, faça o que conseguir, mesmo que seja

apenas o início da resolução.

III. O objetivo destas questões é apenas para sabermos os conhecimentos que você

possui sobre alguns assuntos de matemática. Sua resposta não será utilizada como

avaliação para a disciplina matemática.

IV. É importante que você tente responder toda a questão sem a ajuda de terceiros,

pois, como já dito, o objetivo destas questões não é atribuir nota ao que você

responder.

QUESTÕES

1. Qual das expressões abaixo tem o maior resultado? E qual tem o menor resultado?

Justifique.

a) (6 + 3) x 0

b) 6 x 3 x 0

c) 6 + 3 x 0

d) 6 x (3 + 0)

e) 6 + 3 + 0

2. Na mercearia da esquina está afixada a tabela como segue abaixo. Maria comprou 5

quilos de arroz, 2 de feijão e 5 de açúcar.

OFERTA DA SEMANA

PRODUTO PREÇO POR QUILO R$

Arroz

6

Feijão

2

48

Açúcar

1

a) Quanto Maria pagou pela compra?

b) Represente em forma de expressão numérica sua solução.

3. É possível encontrar uma resposta para as seguintes expressões numéricas?

Justifique.

a) 3 – ( 4 + 2 x 5) b) 2 – ( 10 – (2 x 3 +1) )

4. Paulo, em uma atividade para casa, respondeu uma expressão de quatro formas

diferentes. Em qual das alternativas a resposta está correta? Justifique cada uma das

respostas dadas.

a) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [31 – (2 x 5)]

2 x [ 22 – 10]

2 x 21

42

b) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [22 – (2 x 5)]

2 x [ 20 x 5 ]

2 x 100

200

c) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [22 – (2 x 5)]

2 x [ 22 – 7]

2 x 15

17

d) 2 x [32-10 – (2 x 5)]

2 x [22 – (2 x 5)]

2 x [ 22 – 10]

2 x 12

24

2 x [32-10 – (2 x 5)]

49

5. Encontre o valor da expressão numérica abaixo.

6. Mariana, Marcos e Juliana são amigos. Eles adoram divertir-se fazendo desafios

matemáticos entre si. Outro dia Marcos fez uma expressão numérica e dividiu em duas

partes.

Ele apagou parte da expressão numérica, a enviou para suas duas amigas e fez a

seguinte pergunta:

- Qual deverá ser o valor da segunda parte para que seja possível encontrar um valor

para a expressão numérica?

A Juliana disse que certamente o valor a ser encontrado dentro dos colchetes será um

número grande. Porém, a Mariana disse que número a ser encontrado na segunda

parte é com certeza um número bem pequeno. Qual das duas amigas de Marcos você

acha que está certa? Justifique sua resposta.

7 + 40 - {10+ [ 4 + (7 x 3 + 1 )] – 3}