UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD …DOCUMENTO N.º 4: PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS TEORÍA DE LOS CAMPOS 4 EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1, Onda electromagnética

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

Departamento de Ingeniería Eléctrica

DOCUMENTO Nº 4: PROPAGACIÓN DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Asignatura: TEORÍA DE LOS CAMPOS

Docentes:

PROFESOR. ING. PABLO BERTINAT

JTP: ING. IGNACIO ARRAÑA (Autor)

Versión 1.0 / Febrero, 2019.

DOCUMENTO N.º 4: PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

TEORÍA DE LOS CAMPOS

2

INDICE DE CONTENIDOS

INTRODUCCION .......................................................................................................................................................................... 3

EJERCICIO 1, ONDA ELECTROMAGNÉTICA GENERAL .......................................................................................................................... 4 EJERCICIO 2, LÁSER DE CO2 ............................................................................................................................................................. 5 EJERCICIO 3, AMPLITUD DE INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO ........................................................................................................ 7 EJERCICIO 4, LÁMPARA DE VAPOR DE SODIO ..................................................................................................................................... 8 EJERCICIO 5, ÍNDICE DE REFRACCIÓN ............................................................................................................................................... 9 EJERCICIO 6, INTENSIDAD DE LA RADIACIÓN ................................................................................................................................... 11

APENDICE .................................................................................................................................................................................. 12

TABLAS DE UNIDADES DEL SI ......................................................................................................................................................... 12 PERMITIVIDADES RELATIVAS O CONSTANTES DIELÉCTRICAS.............................................................................................................. 13 CONDUCTIVIDADES ........................................................................................................................................................................ 13 PERMEABILIDADES RELATIVAS ........................................................................................................................................................ 14



3

INTRODUCCION

El siguiente material es una herramienta complementaria a las clases prácticas de la cátedra Teoría de los Campos. En

el documento se presenta la resolución analítica de una serie de ejercicios, las mismas están acompañadas de

observaciones físicas, hipótesis de cálculo y gráficas vectoriales.

Además de una herramienta de ejercitación, el apunte presenta “una” forma de resolución posible; una orientación que

pretende direccionar al alumno, hacia un estilo de trabajo ordenado y con una cierta lógica para la resolución de los

ejercicios.

La estructura del apunte contiene mayormente ejercicios del libro “Teoría y problemas de electromagnetismo” por

Joseph Edminister de la editorial McGraw-Hill Latinoamérica S.A. A pesar de que en dicho libro los ejercicios ya

aparecen resueltos, el presente apunte pretende desarrollar aún más la parte fisicomatemática. De esta manera el alumno

podrá evacuar completamente sus inquietudes y abordar aún más seguro los demás ejercicios resueltos del libro. El

hecho de incluir la resolución de un ejercicio es una tentativa para no hacer un esfuerzo adicional en la interpretación.

Sería deseable que esto no ocurriese, y que a partir de las resoluciones aquí mostradas, se analicen otros ejercicios sin

resolver y se trabaje en la comprensión de las problemáticas que se aborden.

El manejo de vectores y sistemas coordenados es importante para el buen uso y la comprensión de las leyes del

electromagnetismo, úselos.

Serán bienvenidos los errores o ideas de mejoras que sean observadas en el presente documento.



4

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1, Onda electromagnética general1

En una región homogénea donde µ𝑟 = 1 y 𝜀𝑟 = 50.

(𝑧, 𝑡) = 20π ∙ e−j(ωt−βz)𝑥 (V/m)

(𝑧, 𝑡) = µ0𝐻𝑚á𝑥 ∙ e−j(ωt−βz)𝑦 (T)

a) Hallar la frecuencia angular y la intensidad de campo máxima si la longitud de onda es 1,78 m.

1. Por definición la frecuencia angular es:

ω = 2 ∙ π ∙ F y

v = λ ∙ F

2. También sabemos que la velocidad de propagación de la onda depende de las características del medio:

v = √1

𝜀𝜇= √

1

𝜀𝑟𝜀0𝜇𝑟𝜇0=

𝑐

√𝜀𝑟𝜇𝑟

=3 ∙ 108𝑚/𝑠

√50 ∙ 1= 42,43 ∙ 106𝑚/𝑠

de donde

F =v

λ=

42,43 ∙ 106𝑚/𝑠

1,78 m= 23,83 ∙ 106𝐻𝑧

Y finalmente:

ω = 2 ∙ π ∙ F = 2 ∙ π ∙ 23,83 ∙ 1061/𝑠 = 1,5 ∙ 108𝑟𝑎𝑑/𝑠

Para la intensidad de campo magnético usaremos la definición de la impedancia intrínseca del medio:

Ƞ =||

||= √

𝜇

𝜀= √

𝜇𝑟𝜇0

𝜀𝑟𝜀0= Ƞ0 ∙ √

𝜇𝑟

𝜀𝑟= 120𝜋 Ω ∙ √

1

50= 53,31 Ω

De donde:

|| =||

Ƞ=

20𝜋 𝑉/𝑚

53,31 Ω= 1,18 𝐴/𝑚

b) Determinar la dirección y sentido de propagación de la onda.

A través de la expresión para el vector de Poynting:

𝑆 = × = ×

µ0

1 Ejercicio extraído del libro “Teoría y problemas de electromagnetismo” por Joseph Edminister de la editorial McGraw-Hill Latinoamérica

SA”.



5

Deducimos que si la dirección y sentido de propagación de la onda es (+𝑧) y la polarización del vector densidad de

flujo magnético es 𝑦 resulta que para que se verifique el producto vectorial que define Poynting tendremos el siguiente

vector de campo eléctrico:

(a) figuras del ejercicio

Ejercicio 2, láser de CO22

Un láser de CO2 emite una onda electromagnética sinusoidal3 que viaja en el vacío con dirección x negativa. La longitud

de onda es de 10,6 μm y el campo eléctrico es paralelo al eje de las “z” con una magnitud máxima de 1,5 MV/m. Halle

las ecuaciones vectoriales para 𝑦 . Use unidades.

1. Un posible par de funciones de onda serán:

(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑀sen (𝑤𝑡 + 𝛽𝑥) ±?

(𝑥, 𝑡) = 1,5 sen(𝑤𝑡 + 𝛽𝑥) MV/m 𝑧

En el argumento del seno se colocó un + debido a que por dato la onda se propaga hacia las x negativas.

2. Determinación de la amplitud de la densidad de campo magnético, para una onda que se propaga en el vacío:

𝐸 = 𝑐𝐵 → 𝐵𝑀 =𝐸𝑀

𝐶=

1,5. 106 V/m

3. 108𝑚/𝑠= 5. 10−3𝑊𝑏/𝑚2 = 5. 10−3𝑇

3. Determinación del número de onda:

𝛽 =2𝜋

𝜆=

2𝜋

10,6. 10−6m = 5,93. 105𝑟/𝑚

4. Determinación de la frecuencia angular:

𝑤 = 2𝜋𝑓 =2𝜋𝑐

𝜆= 𝛽𝑐 = 5,93. 105

𝑟

𝑚∙ 3. 108

𝑚

𝑠= 1,78. 1014

𝑟

𝑠

2 Extraído del libro “Física universitaria con física moderna” por Sears, Zemansky, Young y Freedman, de la editorial Pearson Educación. 3 Una onda sinusoidal depende de una función que podrá ser senoidal o cosenoidal.



6

5. Determinación del versor asociado a la densidad de campo magnético:

Del vector de Poynting tenemos, 𝑆 = × = ×

µ0. De acuerdo a la gráfica del ejercicio para t=0 tenemos:

𝑆(−𝑥) = 𝐸𝑧 ×𝐵

µ0±?

De donde se deduce que tendrá asociado el versor (𝑦).

Finalmente las ecuaciones serán:

(𝑥, 𝑡) = 5. 10−3 sen (1,78. 1014𝑟

𝑠𝑡 +

5,93. 105𝑟

𝑚𝑥) 𝑇𝑦

(𝑥, 𝑡) = 1,5 sen (1,78. 1014𝑟

𝑠𝑡 +

5,93. 105𝑟

𝑚𝑥) MV/m 𝑧

Para t=0:

(𝑥, 0) = 5. 10−3 sen (5,93. 105𝑟

𝑚𝑥) 𝑇𝑦

(𝑥, 0) = 1,5 sen (5,93. 105𝑟

𝑚𝑥) MV/m 𝑧

Las ecuaciones verifican la gráfica mostrada, lo que indica que el ejercicio ha sido resuelto correctamente.

Análisis gráfico:

(a) figura del ejercicio



7

Observación sobre el ejercicio:

Conceptualmente, el vector de Poynting describe la magnitud, dirección y sentido de la rapidez de flujo de energía por

unidad de área de una onda electromagnética.

𝑆 = × = ×

µ0

Si en el tercer término de la expresión reemplazamos los vectores de la siguiente manera genérica, observaremos como

el vector de Poynting varía en función del tiempo.

𝑆 = 𝐸𝑀 cos(𝑤𝑡 + 𝛽𝑥) 𝑦 ×𝐵𝑀cos (𝑤𝑡 + 𝛽𝑥) 𝑧

µ0=

𝐸𝑀𝐵𝑀

µ0cos 2(𝑤𝑡 + 𝛽𝑥) 𝑥

Lo anterior puede ser expresado de manera equivalente como sigue:

𝑆 =𝐸𝑀𝐵𝑀

µ0cos2(𝑤𝑡 + 𝛽𝑥) 𝑥 =

𝐸𝑀𝐵𝑀

2µ0[1 + cos 2(𝑤𝑡 + 𝛽𝑥)] 𝑥

Esta variación con el tiempo es muy rápida, ya que la frecuencia angular de las ondas electromagnéticas responde a

frecuencias elevadas. Recuerde que 𝑤 = 2𝜋𝑓. Por esta razón lo más apropiado es trabajar con el valor promedio del

vector de Poynting en un punto:

𝑆𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =1

𝑇∫

𝐸𝑀𝐵𝑀

2µ0[1 + cos 2(𝑤𝑡 + 𝛽𝑥)] ∙ 𝑑𝑡 𝑥

𝑇

𝑜

=𝐸𝑀𝐵𝑀

2µ0𝑇∫[1 + cos 2(𝑤𝑡 + 𝛽𝑥)] ∙ 𝑑𝑡 𝑥

𝑇

𝑜

𝑆𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝐸𝑀𝐵𝑀

2µ0 𝑥

Esta magnitud es conocida como la intensidad de la onda:

𝐼 =𝐸𝑀𝐵𝑀

2µ0

Para este caso sería intensidad de una onda sinusoidal en el vacío.

De este análisis se pretende resaltar que al ser Poynting una función del tiempo, la rapidez instantánea con la que llega

a una superficie energía electromagnética no es constante, es decir, que por ejemplo la luz de un foco que parece estable

e invariable llega a nuestro ojo pasando por valores nulos y máximos. Esto no parece ocurrir por la elevada frecuencia

de oscilación que no es perceptible por el ojo humano. Lo que sí percibimos es la rapidez promedio con que la energía

llega al ojo y de ahí el empleo del concepto de intensidad.

Ejercicio 3, amplitud de intensidad de campo eléctrico4

Estimar la amplitud del campo eléctrico de una onda armónica plana en el aire (aproximar con vacío) cuyo promedio

temporal del vector de Poynting es:

a) 125 W/m2 (lamparita)

b) 1 kW/m2 (luz solar).

Hacer la hipótesis de que la onda es expresable como onda armónica plana es totalmente falso en la mayoría de los

casos, sin embargo se resuelve por ese camino.

4 Extraído del libro “Física universitaria con física moderna” por Sears, Zemansky, Young y Freedman, de la editorial Pearson Educación.



8

(𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑀ej(ωt−βz) V/m 𝑥

Sabemos que:

|𝑆𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜| =𝐸𝑀𝐵𝑀

2µ0=

𝐸𝑀𝐸𝑀

2µ0𝑐=

𝐸𝑀2

2µ01

√𝜀0µ0

=𝐸𝑀

2

2√µ0𝜀0

De donde:

𝐸𝑀 = √2|𝑆𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜|√µ0

𝜀0

Los valores numéricos que se obtienen son, para la lamparita:

𝐸𝑀 = √2 × 125VA

m2× 120𝜋𝑉/𝐴 = 307 𝑉/𝑚

Para la luz solar:

𝐸𝑀 = √2 × 1000VA

m2× 120𝜋𝑉/𝐴 = 868 𝑉/𝑚

Para poder comparar, el campo eléctrico que siente un electrón de un átomo de Hidrógeno es, muy aproximadamente:

Podemos apreciar que los campos electromagnéticos de las ondas son siempre muy pequeños comparados con los

campos atómicos internos.

Ejercicio 4, lámpara de vapor de sodio5

Considere un diamante iluminado por una lámpara de alumbrado público. El vapor de sodio caliente de dicha luminaria

emite luz amarilla, una onda electromagnética con frecuencia de 5,09.1014 Hz. Para la frecuencia en estudio el diamante

tiene una permitividad dieléctrica 𝜀𝑟 = 5,84 y una permeabilidad magnética 𝜇𝑟 = 1.

a) Hallar la longitud de onda si la luz se propaga en el aire (aproximadamente igual al vacío).

b) Hallar la velocidad de propagación y longitud de onda que tendrá cuando se propaga en el diamante.

a) 𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝜆𝑎𝑖𝑟𝑒 =𝑣

𝑓=

𝑐

𝑓=

3.108𝑚/𝑠

5,09.1014𝑟𝑎𝑑/𝑠= 5,89. 10−7𝑚 = 589,4 𝑛𝑚

b) 𝑣𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒 =1

√𝜇0𝜇𝑟𝜀0𝜀𝑟=

1

√𝜇0𝜀0

1

√𝜇𝑟𝜀𝑟=

𝑐

√𝜇𝑟𝜀𝑟=

3.108𝑚/𝑠

√1∙5,84= 1,24. 108𝑚/𝑠

La velocidad de una onda en un dieléctrico distinto al aire o el vacío siempre es menor que la velocidad de la luz.

Luego:

𝜆𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒 =𝑣

𝑓=

1,24. 108𝑚/𝑠

5,09. 1014𝑟𝑎𝑑/𝑠= 2,4389. 10−7𝑚 = 243,9 𝑛𝑚

Observe que la frecuencia se mantuvo constante.

5 Adaptado del libro “Física universitaria con física moderna” por Sears, Zemansky, Young y Freedman, de la editorial Pearson Educación.



9

Ejercicio 5, índice de refracción

El índice de refracción “n” de un medio es la relación entre la velocidad de una onda electromagnética en él respecto a

la que tendría en el vacío.

𝑛 =𝑐

𝑣

Donde “v” es la velocidad de propagación de la onda en el medio en cuestión y “c” es la velocidad de la misma onda en

el vacío (c= 2,998·108 m/s). Este índice varía en función de la sustancia, pero también en función de la longitud de

onda analizada.

Índice de refracción en distintas sustancias para luz amarilla de sodio, λ= 589 nm.

Se destaca que la frecuencia de la onda no cambia al pasar de un material a otro, lo que sí cambia es su longitud de onda.

Esto se debe a que en cualquier material v = λf y como se sabe, la velocidad de la onda varía en los diferentes medios

de propagación.

A continuación se analiza una onda electromagnética que se propaga en un medio con un campo eléctrico (en unidades

SI) dado por:

𝒙 = 𝟎

𝒚 = 𝟑𝟎 ∙ 𝒔𝒆𝒏 [𝟐𝝅 (𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟒𝒕 −𝒙

𝟒 ∙ 𝟏𝟎−𝟕)] 𝑽/𝒎

𝒛 = 𝟎

a) Determinar la frecuencia de oscilación y el periodo del campo eléctrico.

b) Calcular el valor de la longitud de la onda en el medio, el índice de refracción del medio para esa frecuencia y el

valor de la longitud de onda de la citada onda electromagnética en el vacío.

c) Indicar el estado de polarización del campo eléctrico.

d) Escribir la expresión del campo (𝒕,𝒙) asociado con la onda electromagnética en el vacío.

Resolución:

a) 𝑤 = 2𝜋𝑓 → 𝑓 =𝑤

2𝜋=

2𝜋 5∙1014𝑟

𝑠

2𝜋= 5. 1014 𝐻𝑧



10

𝑇 =1

𝑓=

1

5 ∙ 1014 𝐻𝑧= 2. 10−15 𝑠

b) 𝛽 =2𝜋

𝜆 → 𝜆 =

2𝜋

𝛽=

2𝜋2𝜋

4∙10−7𝑟𝑎𝑑/𝑚= 4 ∙ 10−7𝑚

𝑛 =𝑐

𝑣=

3 ∙ 108𝑚/𝑠

𝑣 → 𝑣 = 𝜆 ∙ 𝑓 = 4 ∙ 10−7𝑚 ∙ 5. 1014 𝐻𝑧 = 2 ∙ 108 𝑚/𝑠

𝑛 =𝑐

𝑣=

3 ∙108𝑚

𝑠

2 ∙108𝑚

𝑠

= 1,5

𝑐 = 𝜆 ∙ 𝑓 → 𝜆 =𝑐

𝑓=

3 ∙108𝑚

𝑠5. 1014 𝐻𝑧

= 6. 10−7𝑚

c) El campo eléctrico está polarizado o tiene componente en el eje y.

d) (𝑡, 𝑥) = 𝐵𝑀sen (𝑤𝑡 + 𝛽𝑥) ±?

𝐸𝑀 = 𝑐 ∙ 𝐵𝑀 → 𝐵𝑀 =𝐸𝑀

𝑐=

30 𝑉/𝑚

3 ∙108 𝑚

𝑠

= 1. 10−7𝑊𝑏

𝑚2 𝑜 𝑇

±? 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑦𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑦 × ? = 𝑥

Para que el producto vectorial sea correcto la dirección y sentido debes ser zeta positivo. Finalmente:

(𝑡, 𝑥) = 1. 10−7sen [2𝜋 (5 ∙ 1014𝑡 −𝑥

4 ∙ 10−7)] 𝑇 𝑧

Análisis gráfico:




11

Ejercicio 6, intensidad de la radiación6

Ya que las frecuencias de las ondas electromagnéticas típicas son muy altas, la variación del vector de Poynting con el

tiempo es tan rápida que lo más apropiado es examinar su valor promedio. La magnitud del valor promedio de Poynting

se conoce como la INTENSIDAD de la radiación en ese punto.

Para una onda electromagnética SINUSOIDAL, la intensidad “I” de la misma será:

𝐼 = 𝑆𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝐸𝑚á𝑥 ∙ 𝐵𝑚á𝑥

2𝜇 (

𝑊

𝑚2)

Cuando se observa luz en el espectro visible, la frecuencia de las ondas está en el orden de 5 ∙ 1014 𝐻𝑧, nuestro ojo no

es capaz de ver esa variación y lo que captamos es la rapidez promedio con que esa energía llega a nuestro ojo, de ahí

el uso de la INTENSIDAD.

Si la luz monocromática (700 nm) que emite una lámpara de un aula en la UTN tiene los siguientes valores de campo

𝐸𝑚á𝑥 = 12,0𝑉

𝑚 𝑦 𝐵𝑚á𝑥 = 4,00 ∙ 10−8 𝑇 a una distancia de 5 m del foco, hallar:

1. La potencia (W) con que la lámpara emite, considerando que lo hace en todas las direcciones por igual. Recuerde

que el área de la esfera es: 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2.

2. Ahora considere que la onda anterior se transmite con una única dirección y sentido −𝑧, y que el vector de

campo eléctrico está polarizado en 𝑥. Escriba las ecuaciones de 𝑦 con todos sus parámetros definidos.

Análisis gráfico:


6 Adaptado del libro “Física universitaria con física moderna” por Sears, Zemansky, Young y Freedman, de la editorial Pearson Educación.



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APENDICE

Tablas de Unidades del SI7

Derived quantity Name Symbo

l

Expression in terms

of other SI units

Expression in terms

of SI base units

Unidades básicas del SI

Length Meter M - -

Mass Kilogram Kg - -

Time Second S - -

Electric current Ampere A - -

Thermodynamic

temperature Kelvin K -

-

Amount of substance Mole Mol - -

Luminous intensity Candela Cd - -

Unidades derivadas del SI

Plane angle Radian Rad - m·m-1 = 1 (b)

Solid angle Steradian sr (c) - m2·m-2 = 1 (b)

Frequency Hertz Hz - s-1

Force Newton N - m·kg·s-2

Pressure, stress Pascal Pa N/m2 m-1·kg·s-2

Energy, work, quantity

of heat Joule J N·m m2·kg·s-2

Power, radiant flux Watt W J/s m2·kg·s-3

Electric charge,

quantity of electricity Coulomb C - s·A

Electric potential

difference,

electromotive force

Volt V W/A m2·kg·s-3·A-1

Capacitance Farad F C/V m-2·kg-1·s4·A2

Electric resistance Ohm V/A m2·kg·s-3·A-2

Electric conductance Siemens S A/V m-2·kg-1·s3·A2

Magnetic flux Weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1

Magnetic flux density Tesla T Wb/m2 kg·s-2·A-1

Inductance Henry H Wb/A m2·kg·s-2·A-2

7 Tabla obtenida del sitio http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html.



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Permitividades relativas o constantes dieléctricas8

Conductividades9

8 Los valores de permitividad son para campos constantes a una temperatura de 20 °C y presiones ordinarias. Cuando los campos

oscilan rápidamente son por lo general mucho más pequeños que los valores de la tabla. 9 Los parámetros de algunos de los materiales dependen de la frecuencia y de la temperatura. Las constantes listadas son para baja

frecuencia y temperatura ambiente.



14

Permeabilidades relativas10

10 Los parámetros de algunos de los materiales dependen de la frecuencia y de la temperatura. Las constantes listadas son para

baja frecuencia y temperatura ambiente.

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