TRANSP (2)

FUNES RACIONAIS Uma funo racional da forma:

f(x) = p(x)/q(x)

onde p e q so polinmios.

FUNES RACIONAIS O domnio de uma funo racional o conjunto de todos os nmeros reais, com exceo daqueles que anulam o denominador ( as razes de q).

FUNES RACIONAIS O grfico de uma funo racional tem assntotas verticais nestes pontos nos quais o denominador se anula.

FUNES RACIONAIS Tambm pode ter assntotas horizontais, que ocorrem se f(x) se aproxima de um valor finito quando x ou x -.

FUNES RACIONAIS O comportamento de uma funo quando x chamado limite no infinito.

Assntotas so retas das quais o grfico se aproxima cada vez mais, sem nunca toc-las.

FUNES RACIONAIS Por exemplo, consideremos a funo racional f , definida por:Esboce seu grfico.

FUNES RACIONAIS Na forma fatorada podemos escrever:

FUNES RACIONAIS de modo que podemos identificar x = 1 como sendo os zeros do denominador, ou seja: R { 1} o seu domnio

x = 1 so as assntotas verticais .

FUNES RACIONAIS Se y = 0 ento (x + 2)(x - 2) = 0 ou x = 2,

isto , em x = 2 ocorrem as interseces

com o eixo x.

FUNES RACIONAIS Se x = 0, temos y = 4 , isto , em y = 4 ocorre a interseco com o eixo y . Para ver o que acontece quando x , vamos completar a tabela a seguir:

xf(x)xf(x)10-10100-1001000-1000

FUNES RACIONAIS Note que f(x) se aproxima de 1 quando x assume valores muito grandes, positivos e negativos. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a 1 e escrevemos:

xf(x)xf(x)100.969697-100.9696971000.999700-1000.99970010000.999997-10000.999997

FUNES RACIONAIS A assntota horizontal , ento, a reta definida por y = 1.

FUNES RACIONAIS Como vimos, f no est definida para x = 1. Podemos analisar o que ocorre com os valores de f quando x tem valores prximos de 1. Isto pode ser feito como acima, atravs de uma tabela de valores mostrada na tabela a seguir:

FUNES RACIONAIS

xf(x)xf(x)0,916.78951,1-13.28570,99151.7541,01-148.2540,9991501.751,001-1498.250,999915001.81,0001-14998.3

FUNES RACIONAIS Podemos concluir que, para valores prximos de 1, sua esquerda, f(x) cresce indefinidamente e escrevemos:lendo: o limite de f(x) quando x tende a 1, pela esquerda, +.

FUNES RACIONAIS Podemos concluir que, para valores prximos de 1, sua direita, f(x) decresce indefinidamente e escrevemos:lendo: o limite de f(x) quando x tende a 1, pela direita, -.

FUNES RACIONAIS Como vimos, f tambm no est definida para x = -1. Podemos analisar o que ocorre com os valores de f quando x tem valores prximos de -1. Isto pode ser feito como anteriormente, atravs de uma tabela de valores mostrada na tabela a seguir:

FUNES RACIONAIS

xf(x)xf(x)-0,916.7895-1,1-13.2857-0,99151.754-1,01-148.254-0,9991501.75-1,001-1498.25-0,999915001.8-1,0001-14998.3

FUNES RACIONAIS Podemos concluir que, para valores prximos de -1, sua esquerda, f(x) cresce indefinidamente e escrevemos:lendo: o limite de f(x) quando x tende a -1, pela esquerda, +.

FUNES RACIONAIS Podemos concluir que, para valores prximos de -1, sua direita, f(x) decresce indefinidamente e escrevemos:lendo: o limite de f(x) quando x tende a -1, pela direita, -.

FUNES RACIONAIS Resumindo estes dados em uma tabela:

X = -1x-1+x-1-Assnt vert0 deny+y-X = +1x+1+x+1-Assnt vert0 deny-y+

FUNES RACIONAIS Continuao da tabela:

X = -2X = +2x-x+0 num0 numy+1y+1Cruza eixo xCruza eixo xAssnt horizAssnt horizY = +4X = 0Cruza eixo y

FUNES RACIONAISCom a tabela anterior podemos esboar este grfico facilmente:

++--+1+1

-1+2+1-20

+1+4xy

FUNES RACIONAIS Usando o Mathematica:

FUNES RACIONAISExplorando o Mathematica um pouco mais:

FUNES RACIONAISExplorando o Mathematica um pouco mais:

FUNES RACIONAISExplorando o Mathematica um pouco mais:

FUNES RACIONAISExplorando o Mathematica um pouco mais:

FUNES RACIONAIS - EXERCCIOS 1) Faa uma anlise da funo racional definida pela expresso abaixo, determinando seus zeros, pontos de interseo com os eixos e assntotas.

FUNES RACIONAIS - EXERCCIOS 2) Calcule o limite seguinte e confirme seu resultado algbrica, numrica e graficamente

FUNES DEFINIDAS POR PARTES H funes que so definidas por mais de uma expresso, como no exemplo a seguir:

FUNES DEFINIDAS POR PARTES

FUNES DEFINIDAS POR PARTES A funo valor absoluto abaixo definida por duas sentenas:

FUNES DEFINIDAS POR PARTES

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS 1) Construa o grfico e determine o limite quando x0 da funo abaixo, denominada de funo degrau de Heaviside.

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS 2) Considerando a funo H(x) definida anteriormente, determine a funo H(x-1).

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS3) Represente graficamente a funo g(x) definida abaixo e determine: (a) g(-1); (b) g(1); (c) g(2,5); (d) g(4) ;(e) g(5).

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS 4) Encontre uma funo que seja compatvel com o grfico abaixo.

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS 5) Construa o grfico da funo definida abaixo e responda s seguintes questes: (a) quais os zeros de h(x)? (b) quais os valores de x que tornam h(x) > 0? (c) e que tornam h(x) < 0? (d) calcule limite de h(x) quando x tende a 2.

FUNES DEFINIDAS POR PARTES - EXERCCIOS 6) Supe-se que a populao de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, ser de(a) Ache P(9); (b) de quanto a populao crescer durante o 9 ano? (c) ao longo desse tempo, o que aconteceu com a populao?