Trabalho Sobre Millman

Teorema de millman

ISPS- Eng. Electrica I , 2012 Pag 1

Índice

I. Introdução ............................................................................................................................2

II. Objectivos ............................................................................................................................3

1. Algorítmo do teorema de millman ....................................................................................4

1.1. Teorema de millman em corrente contínua ....................................................................4

1.2. Teorema de millman em corrente alternada ................................................................. 11

III. Conclusão ....................................................................................................................... 13

IV. Bibliografia .................................................................................................................... 14

Teorema de millman


I. INTRODUÇÃO

Os circuitos eléctricos, tanto os de corrente contínua, como os de corrente alternada, podem ser

simples, sendo fácil o seu cálculo, ou complexos. Para o cálculo de circuitos complexos, recorre-

se à vários métodos de resolução. Entre eles, encontramos o teorema de millman, muito útil para

a simplificação de circuitos, onde o objectivo é o de transformar diversas fontes de tensão em

paralelo numa única fonte em série com uma resistência.

É nesta ordem de ideias, que o presente trabalho irá descrever as particularidades deste teorema.

Para uma fácil percepção, a análise dos circuitos usando o teorema está dividida em duas partes:

corrente contínua e corrente alternada.

Teorema de millman


II. OBJECTIVOS

GERAL

Fazer uma abordagem geral sobre o teorema de Millman

ESPECÍFICOS

Mostrar o algorítmo do teorema tanto para circuitos de corrente contínua, como os de

corrente alternada;

Dar exemplos, sobre a sua aplicação no cálculo de circuitos eléctricos.

Teorema de millman


1. ALGORÍTMO DO TEOREMA DE MILLMAN

O Teorema de Millman é um caso particular do Teorema de Thévenin e utiliza-se para reduzir a

complexidade de um circuito transformando um conjunto de N fontes de tensão em paralelo

numa única fonte de tensão Vn com resistência interna Rn (em corrente contínua).

A resolução de circuitos pelo método de Millman é feita em três passos simples:

1. Para iniciar , todas as fontes são convertidos fontes de alimentação de tensão (se necessário)

de acordo com a maneira mais conveniente.

2. Se há mais de uma fonte de corrente em paralelo, é necessário reduzir a uma única fonte, tal

como descrito por outros métodos.

3. Finalmente, deve converter a fonte de corrente, resultando em uma fonte de tensão.

1.1. TEOREMA DE MILLMAN EM CORRENTE CONTÍNUA

Este método é apresentado frequentemente na analise de circuitos com bipolos activos de uma

estrutura como mostra a figura.

Figura 1: circuito com bipolo activo

Teorema de millman


Figura 2: Circuito Equivalente pelo teorema de millman

O circuito da figura acima pode ser interpretado como uma ligação paralela de três fontes onde a

terceira f.e.m tem o valor zero.

Vamos thevenizar esse bipolo.

Quanto a determinação de Req não apresenta nenhuma dificuldade pois,

Então

ou

onde m é o numero de ramos do bipolo.

Para a determinacao de é necessario determinar a tensão entre os terminais do circuito

aberto. Para isso, podemos usar qualquer metodo da análise de circuitos. Aqui aplicaremos a

analise nodal:

Equação de no:

,

Substituicao das correntes:

,

Teorema de millman


Resolvendo para:

Em ambos esquemas Uab é a mesma, ou numa forma geral:

A analise de circuitos complexos pode ser simplificada se varios ramos paralelos contendo fonte

de tensao e resistências são substituidas por um unico ramo equivalente. Isto pode ser feito com

base no teorema do fonte em paralelo, isto é:

o teorema de Milliman que diz que é a soma algebrica das f.e.m. nos bracos, multiplicada

pelas condutancias correspondentes, dividida pela soma das condutancias nos ramos, e e a

resistencia paralela efectiva.

Uma maneira de memorizar o teorema de Millman é notar que o numerador contem cada tensão

de ramo do circuito com um sinal positivo quando o sentido da tensao concorda com o sentido da

.

Vamos considerar mais uma dedução desse teorema aplicando a nocão da fonte de corrente.

Podemos facilmente transformar cada fonte de tensao real numa fonte de corrente real obtendo.

Teorema de millman


A tensao comum nos terminais de uma fonte ligados em paralelo sobre uma resistencia é

onde é a soma das correntes de curto-circuito de cada ramo e é a resistencia

paralela efectiva de todos os ramos incluindo a carga.

Figura: 3 Circuito com fonte ligado em paralelo

Figura:4 Circuito Equivalente

O seguinte passo é simplificar a fig 3) para a fig 4), inspencionando a fig 4) podemos escrever:

Teorema de millman


Figura 5: Um caso particular de Par de Nos

Neste caso as correntes podem ser calculadas facilmente pelo metodo de par de nos. Neste

processo, partimos da tensao entre esses nos, calculando a partir dela as correntes.

Pelo metodo da analise de nos é mais facil determinar as correntes, determinando a tensao entre

os terminais:

Potencia dessipada Potencia fornecida

Teorema de millman


Exemplo 1: Determinar a corrente na resistência de I2 utilizando o Teorema de Millman.

R1=10 ; R2=5 ; R3=2 ; R4=4 ; E1=8V ; E3=4V

Resolução:

Teorema de millman


Exemplo 2: Utilizando o teorema de Millman, determine a tensão medida entre os pontos A e B.

R1=50 ; R2=25 ; R3=30 ; E1=200V ; E2=100V ; E3=150V

Resolução:

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1.2. TEOREMA DE MILLMAN EM CORRENTE ALTERNADA

A teorema de Millman é conseqüência da validade da transformação de fonte no regime forçado

senoidal. Indica visualmente, a aplicação sucessiva da transformação de fonte permite associar e

simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão. A informação contida na figura é

suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de Millman em notação fasorial.

Exemplo 3: Dado o circuito calcule a corrente que circula na impedância Z.

Dados :Z1=1+j, Z2=1-j , Z=1+j2 , E1=10e j0 , E2=10e

-j/3

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Resolução: Aplicando teorema de millman calculamos a tensão nos exetremos da impedância Z.

E a corrente que circula na impedância Z é:

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III. CONCLUSÃO

O teorema de Millman constitui um caso particular do teorema de Thevenin, aplicado para

reduzir diversas fontes de tensão em paralelo, em apenas uma. Porém, se for mais conveniente

para o circuito a calcular, pode-se transformar em uma fonte de corrente em paralelo com uma

resistência.

A sua aplicação é larga nos bipolos activos. No caso de sua aplicação em corrente alternada,

deve-se prestar especial atenção na determinação da impedância equivalente, uma vez que

recorre-se à números complexos.

Teorema de millman


IV. BIBLIOGRAFIA

ORDABAEV, B..Fundamentos de Electrotecnia. Maputo, 1990

GUIMARÃES, Mauro. Electrotécnica Geral: Apostila – parte 1. UEP; Departamento de

Engenharia Eléctrica, 2010

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