Trabajo Practico Individual

CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL UTN

San Rafael ING. ELECTROMECÁNICA AÑO: 2012 LEG. 5632

TRABAJO PRÁCTICO INDIVIDUAL

H O J A

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1. Mecanismo de biela manivela

a. Deducir la expresión del desplazamiento.

b. Deducir la expresión aproximada del desplazamiento.

c. Deducir la expresión de la velocidad.

d. Deducir la expresión de aceleración.

e. Graficar desplazamiento, velocidad y aceleración tomando incrementos cada 5° de la rotación del

cigüeñal.

Datos:

Peso de la biela ∑ [Kg]

Peso del pistón ∑ [Kg]

Peso del perno ∑ [Kg]

∑( ) [mm]

∑ [RPM]

∑( ) [mm]

Aclaración: si los valores que correspondan no son coherentes desde el punto de vista mecánico,

plantear otros según consulta con el docente.

f. Con los datos anteriores graficar las fuerzas de inercia hasta el tercer armónico.

Introducción:

El mecanismo de biela y manivela tiene por objeto transformar el movimiento rectilíneo alternativo en

un movimiento circular de rotación, y viceversa.

Es un mecanismo muy difundido en las maquinas de vapor, motores de combustión interna, bombas,

maquinas de embutir y estampar, prensas denominadas de balancín, escopleadoras, mortajadoras y

muchas otras maquinas industriales.




H O J A

146

El mecanismo mas comun esta compuesto por una manivela M solidaria a un arbol A, que recibe o

comunica su movimiento de rotacion; una cruceta, dado o corredera C, cuyo unico movimiento es

rectilineo alternativo, recibido mediante un vastago V, (por ejemplo, desde el embolo del motor o

comunicado al embolo de una bomba), y que corre entre dos guias paralelas G, y por una biela B,

cuyos extremos se articulan por una lado al gorron de la manivela y por el otro al gorron de la cruceta.

En la figura anterior se representa el mecanismo de biela manivela de una maquina de vapor, con la

forma de las piezas enumeradas en el caso comun.

En la sigueiente figura se representa el mismo mecanismo de biela y manivela aplcado a un motor de

combustion interna. La diferecncia con el anteriores que la cruceta es reemplazada por el embolo

mismo; por lo tanto la biela B esta articulada por su pie directamente a este.

De este modo el embolo cumple una doble funcion, y de allí la necesidad de una mayor longitud que

la de las utilizadas en las maquinas de vapor, lo que es debido a la necesidad de repartir sobre una

mayor superficie la presion normal a su eje N proveniente de la oblicuidad de la biela.

Datos del ejercicio N° 1:

Peso de la biela ∑ [Kg]

Pb= ( ) [Kg]

Pb= [Kg]

Pb= 8,4 Kg

Peso del pistón ∑ [Kg]

Pp= ( ) [Kg]

Pp= [Kg]

Pp= 25,2 Kg

Peso del perno ∑ [Kg]

Pp= ( ) [Kg]




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147

Pp= [Kg]

Pp= 2,1 Kg

∑( ) [mm]

( )

∑ [RPM]

( ) [RPM]

∑( ) [mm]

( ) [mm]

Estudio del movimiento:

Si denominamos O al centro de rotación del árbol al cual esta unida la manivela AO, el punto A,

denominado botón de la manivela, cumple una trayectoria circular alrededor de O.

La biela AK esta unida al botón de la manivela A y el botón de la cruceta K o del embolo. Su extremo K

esta obligado a recorrer una trayectoria rectilínea cuya prolongación pasa por O.

Siendo finita a longitud de la biela, el botón de la cruceta o del embolo recorre una trayectoria

también finita; en efecto, cuando la biela se coloca en línea recta con la manivela, el punto A habrá

llegado a B y, por lo tanto, el punto extremo de la biela K habrá alcanzado la posición B1.

Al girar la manivela en el sentido de las agujas del reloj, el punto A llegará a D, después de girar 180°.

En esta posición la manivela y biela están otra vez en línea recta, pero superpuestas en partes, debido

a su desigualdad de longitud. El botón de la cruceta K o del embolo habrá alcanzad, en su movimiento

rectilíneo hacia la derecha, el punto D1.




H O J A

148

La magnitud del recorrido rectilíneo B1D1 es igual al doble de la longitud de la manivela; por lo tanto,

igual al diámetro del movimiento circular de rotación descrito por punto A, o sea: B1D1 = 2r = S.

A este recorrido rectilíneo se lo denomina carrera. B1 y D1 son llamados puntos muertos, por cuanto

colocadas la biela y manivela, ambas en línea recta y en situación de reposo, no es posible imprimir al

mecanismo el movimiento; por lo tanto, la puesta en marcha en estas condiciones no es posible si no

se varia por otros medios la posición de la manivela.

Al girar la manivela, prosiguiendo el movimiento de rotación, el punto A llegara nuevamente al punto

B; por lo tanto, el botón de la cruceta ha realizado dos carreras rectilíneas de igual longitud y, por

consiguiente, un movimiento rectilíneo alternativo.

La carrera determinada por el botón de la cruceta es al mismo tiempo carrera del embolo, al cual se

desliza en el interior de un cilindro y se une a la cruceta mediante una barra V, denominada vástago.

Tal como se ha dicho anteriormente el vástago puede o no existir y la cruceta ser reemplazada por un

embolo cruceta.

Carrera del embolo:




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149

Se tiene que

A su vez:

Luego:

Pero:

( )

Entonces:

( ) ( )

En esta expresión podemos remplazar el valor de cos β en función de α; para ello se tiene que

Y como

√ ( )

Esto sale de que la suma del coseno cuadrado mas el seno cuadrado del mismo angulo es igual a 1.

Se obtiene que:

√ (

)

Llevando la expresión anterior a la ecuación de x obtenemos:

( ) ( √ (

) )

De igual forma podemos obtener la carrera de retroceso del pistón




H O J A

150

Se tiene que

Pero:

Luego:

( )

Por lo tanto:

( ) ( )

Y como:

√ (

)

Llevando la expresión anterior a la ecuación de x obtenemos:

( ) ( √ (

) )

La podemos escribir de forma más general como:

( ) ( √ (

) )

Donde el signo mas es de avance y el signo menos es de retroceso.

De esta formula se deduce también que, a igualdad de ángulo α, el camino recorrido es mayor durante

el retroceso que durante el avance del pistón.

Algunos autores simplifican la formula general anterior y dan la siguiente:

( )

( )

( )

( )

Esta formula es aproximada, y es muy utilizada por algunos autores para el calculo de biela-manivela.




H O J A

151

Para este caso particular la ecuación del movimiento es;

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

Se expresa con el signo positivo ya que el ángulo queda en función de la velocidad angular por el

tiempo.

Grafica del desplazamiento:

Velocidad del embolo:

Tanto en las maquinas de vapor como en todos los motores de embolo, la energía calórica se

transforma en mecánica, originando el movimiento rectilíneo alternativo, que a su vez es

transformado en circular por el mecanismo biela manivela.




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152

Con la expresión del camino recorrido en función del ángulo que gira la manivela:

( ) ( √ (

) )

Donde la expresión bajo el signo radical también puede expresarse como:

(

)

El cual constituye un binomio de la forma:

( ) ( )

En este caso se tendrá:

(

) (

)

( )

(

)

De este desarrollo solamente se utilizaran los dos primeros términos, puesto que el tercero es

despreciable.

Se tendrá entonces:

√ (

)

(

)

Que reemplanzadolo en la ecuación general obtenemos:

( ) (

(

)

)

Simplificando se obtiene:

( )




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153

Diferenciando esta ecuación obtenemos que la velocidad v es:

(

)

Que para este caso particular es:

(

)

(

)

Grafica de la velocidad:

Aceleración del embolo:

Se obtiene derivando la ecuación de la velocidad, obteniendo:

(

)

Que para este caso particular es:

(

)




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154

(

) (

)

(

)

Grafica de la aceleración:

Fuerza de inercia:

La fuerza de inercia se obtiene de multiplicar la función de la aceleración por la masa total del

conjunto:

Donde la masa total es:




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155

Obteniendo:

(

)

(

)

(

)

Grafica de la fuerza de inercia:

Una forma más sencilla pero con menor exactitud que la anterior:

Ecuación del desplazamiento:

Teniendo en cuanta el radio de la manivela Rm y la biela tiene una longitud l donde se debe cumplir

que l > 2*Rm. La manivela gira con una velocidad angular constante ω.

Ecuación de la posición del pistón respecto a O:

( ) √ ( )

Ecuación de la posición del pistón cuando θ=90°:




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156

√

La ecuación de posición del pistón es:

( ) √ ( ) √

Donde θ es igual a ω*t, obteniendo

( ) √ ( ) √

Los valores máximos y mínimos de la posición se obtienen igualando ω*t a 0 y Pi.

Máximo:

√

√( ) ( )

Mínimo:

√

√( ) ( )

Obtenemos como ecuación de posición la siguiente expresión:

(

) √( ) (

)

(

) √ (

)

Función aproximada de la posición:

Esta la obtenida al ver el movimiento como un movimiento armónico simple de la manivela.

( )

(

)

Donde los valores máximos de x son:




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157

Si ω*t es 0

Si ω*t es π

Grafica de la función de posición:

Función aproximada de la velocidad:

Esta función se obtiene derivando la función de posición respecto al tiempo, lo que se puede escribir

como:

( )

(

)

(

)

Grafica de la velocidad:




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158

Función aproximada de la aceleración:

Esta función se obtiene derivando la función de velocidad respecto al tiempo, lo que se puede escribir

como:

( )

(

) (

)

(

)

Gráfica de aceleración:

Fuerza de inercia:

La fuerza de inercia se obtiene de multiplicar la función de la aceleración por la masa total del

conjunto:

Donde la masa total es:




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159

Por lo que obtenemos como ecuación de la fuerza de inercia:

(

)

(

)

Grafica de la fuerza de inercia:




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160

2. Determinar el perfil de una leva que gira a velocidad constante, ∑ [rad/s].

La condición del movimiento con desplazamiento vertical debe cumplir en un determinado arco de

rotación con MRUV, teniendo en cuenta aquellos puntos donde existe una aceleración vertical.

Graficar el perfil cada 5 en 360 . A demás graficar desplazamiento, velocidad y aceleración. El

radio base es ∑ [mm].

Datos del ejercicio N° 2:

∑ [rad/s]

( ) [rad/s]

∑ [mm]

( ) mm

Una leva es un cuerpo sólido con una forma determinada, tal que su movimiento imparte un

desplazamiento concreto a un segundo cuerpo denominado seguidor, que se mantiene en todo

momento en contacto con la leva. La forma de la leva y la relación física entre esta y el seguidor

definen la relación que existirá entre la posición de la leva y la del seguidor. La utilización de levas es

una de las formas más simples de generar movimientos complejos periódicos con precisión,

obteniéndose a un costo razonable.

Una leva transforma el movimiento según una cierta ley. El conjunto de transmisión está formado por

dos elementos: Leva y palpador o seguidor (a veces existe un tercer elemento, el rodillo de contacto).

La ley de una leva se puede definir como la función que refleja la relación entre el desplazamiento de

la leva (lineal o angular) y el palpador (lineal o angular)




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161

Definiciones útiles:

-Perfil de leva: Es la parte de la superficie de la leva que hace contacto con el seguidor.

-Círculo base: Es el círculo más pequeño que, estando centrado en el eje de rotación de la leva, es

tangente al perfil de la misma.

-Curva primitiva: Es la curva cerrada descrita por el punto de trazo. Dicho punto se considerará el eje

de rotación del rodillo si el seguidor es de rodillo.

-Círculo primitivo: Es el círculo más pequeño que estando centrado en el eje de rotación de la eleva es

tangente a la curva primitiva.

Tiempo que tarda la leva en dar una vuelta:

Aquí vemos la forma a la corresponde cada ecuación de movimiento:

Esta imagen es ilustrativa, obtenida de bibliografía.

Los tiempos t1, t2 y t3 son:




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Desplazamiento:

La ecuación del desplazamiento para 0 < t < 0,25*T

(

)

Donde S es la distancia que se debe levantar la leva y T el periodo de la leva, quedando la ecuación

como:

(

)

La ecuación es definida entre el intervalo de 0 s a 3,7375*10-3 s

La ecuación del desplazamiento para 0,25*T < t < 0,75*T

(

)


como:

(

)

(

)

La ecuación es definida entre el intervalo de 3,7375*10-3 s s a 0,01122 s

La ecuación del desplazamiento para 0,75*T < t < T

(

)


como:




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(

)

( )

La ecuación es definida entre el intervalo de 0,01122 s a 0,01495 s

La grafica de la suma de las 3 funciones es:

Velocidad:



como:




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como:

( )




como:

( )






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165

Aceleración:



como:




como:




como:





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Perfil de la leva:

ALZADA

Radio base

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