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Trabajo Hyo

Jan 13, 2016

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Introduccin

El nmero ureo, F, fue el primer nmero raro es decir irracional descubierto hace muchos siglos por los magnficosmatemticosgriegos. Profilaxis, un matemtico de esaescuelaque meda 4 metros de eslora, lo encontr debajo de una zarzamora mientras buscaba la proporcin perfecta -que haba perdido su hermana Cltoris de Joroa paseando por el campo.Sin embargo, hasta que no lo vio, Pitgoras no se lo crey. Ese fue el origen de la famosa frase "si no lo veo, no lo creo".Efectivamente, el nmero era raro, cuando fue descubierto tena esta forma: ?Pero los griegos, muy hbiles, lo desenredaron y qued as: F, y le llamaron nmero ureo, porque sonaba como muy chico.Ya sabemos que los griegos se preocupaban mucho por laimagen. Profilaxis no estuvo de acuerdo, pues l quera ponerle su nombre y llamarle nmero profilaxis, pero sus compaeros lo descartaron por razones estticas.

Numero ureoSe trata de un nmero algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigedad, no como "unidad" sino como relacin o proporcin. Esta proporcin se encuentra tanto en algunas figuras geomtricas como en lanaturalezaen elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunosrboles, el grosor de las ramas, etc.Asimismo, se atribuye uncarcteresttico especial a los objetos que siguen la razn urea, as como una importancia mstica. A lo largo de lahistoria, se le ha atribuido importancia en diversas obras dearquitecturay otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para lasmatemticasy laarqueologa.El nmero ureo, tambin conocido como "nmero deoro" o "divina proporcin", es una constante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en elcuerpo humano. Un objeto que respeta la proporcin marcada por el nmero ureo transmite a quien lo observa una sensacin de belleza y armona. Veamos un poco ms en qu consiste.El nmero ureo es el punto en que las matemticas y elartese encuentran. Existen en matemticas tres constantes que son definidas con una letra griega:p=(3,14159).Pi, es la relacin entre la longitud de la circunferencia y su dimetro.e=(2,71828)e, es el lmite de la sucesin de trmino general (1+1/n)^n.ees el nico nmero real cuyo logaritmo natural es 1.F= (1,61803).Phi, el nmero de oro. Matemticamente hablando, podemos definirlo como aquel nmero al que, tanto si le sumamos uno como si lo elevamos al cuadrado, sale el mismo resultado.Los tres nmeros tienen infinitas cifras decimales y no son peridicos (sus cifras decimales no se repiten peridicamente). Todos ellos son, por tanto, nmeros irracionales.Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El nmero ureo era conocido en la antiguaGreciay se utiliz para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo, la planta del Partenn es un rectngulo en el que la relacin entre el lado menor y el lado mayor es el nmero ureo. Esta misma proporcin est presente en lastarjetasdecrditoactuales, entre otras.

Definicin:

Se dice que dos nmeros positivosaybestn en razn urea si y slo si:

Para obtener elvalordea partir de esta razn considere lo siguiente:Que la longitud del segmento ms corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razn urea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

Mediante la frmula general de lasecuacionesde segundo grado se obtiene que las dossolucionesde la ecuacin son

La solucin positiva es el valor del nmero ureo, y esto es una prueba formal de que el nmero ureo es irracional, ya que incluye la raz de un nmero primo.Nmeros? - ?(3) - v2 - v3 - v5 -f- a - e - p - d

Binario1,1001111000110111011...

Decimal1,6180339887498948482...

Hexadecimal1,9E3779B97F4A7C15F39...

Fraccin continua

Algebraico

HISTORIA DEL NMERO UREO:

Existen numerosos textos que sugieren que el nmero ureo se encuentra como proporcin en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000a.C. Sin embargo no existedocumentacinhistrica que indique que el nmero ureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en laconstruccinde las estelas. Tambin es importante notar que cuando se mide unaestructuracomplicada es fcil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Adems para que se pueda considerar que el nmero ureo est presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del nmero ureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el nmero ureo.La razn urea.El valor numrico de esta razn, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" (f ), es:

La fama que tiene de esttico le viene dada por elrectngulo ureocuya altura y anchura estn en la proporcin 1 a f .

Rectngulo ureo.

Es decir, si siendo su altura a y su anchura b se cumple que

Esto es lo primero que te sugerimos comprobar: que la mayora de los rectngulos que nos encontramos en nuestra vida cotidiana son ureos. Para ello mide tu D.N.I., unlibro, el carnet del instituto o cualquier otro rectngulo que lleves contigo y divide la medida ms larga entre la ms corta y comprueba si da un nmero aproximado a f.

Las fachadas de muchos edificios como, por ejemplo, la del Partenn tambin guardan una proporcin aproximada a la razn urea.Larazn ureatambin podemos encontrarla en otras figuras geomtricas, por ejemplo el pentgono regular, en el que la razn entre la diagonal y el lado cumple la divina proporcinPero lo que quizs nos pueda resultar ms curioso es la presencia de la razn urea en lanaturaleza. Hay enigmticas conexiones de la espiral de los nautilus (un tipo de caracola) y las espirales de los girasoles con la razn urea.

Tambin los cuerpos humanos exhiben proporciones cercanas a la razn urea, como puede verse comparando la altura total de unapersonacon la que hay hasta su ombligo.

El nmero ureo:En el arte.Durante los ltimos siglos, creci elmitode que los antiguos griegos estaban sujetos a una proporcin numrica especfica, esencial para sus ideales de belleza ygeometra. Dicha proporcin es conocida con los nombres de. Aunque recientesinvestigacionesrevelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporcin con laestticagriega, esta sigue manteniendo un cierto atractivo comomodelode belleza.Matemticamentenace de plantear la siguiente proporcionalidad entre dos segmentos y que dice as: "Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor"Sean los segmentos:A: el mayor y B el menor, entonces planteando la ecuacin es:A/B =(A+B)/ACuando se resuelve se llega a una ecuacin de 2do. grado que para obtener la solucin hay que aplicar la resolvente cuadrtica.El valor numrico de esta razn, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" es:

En artey laarquitectura tambin se han usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades armoniosas de a Seccin urea. 1 las dimensiones de la Cmara Real de la GanPirmidese basan en la Seccin urea; el arquitecto Le Corhusier diseosusistemaModulor basndoseen la utilizacin de la proporcin urea, el pintorMondrianbas la mayora desusobras en laSeccin urea:Leonardo la incluy en muchas de suspinturasy Claude Dehussy se sirvi de sus propiedades en la msica. La Seccin urea tambin surge en algunos lugares inverosmiles: los televisores de pantalla ancha, laspostales, lastarjetasdecrditoy las fotografas se ajustan por lo comn a sus proporciones. Y se han llevado a cabo muchosexperimentospara probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan ms estrechamente a la Seccin urea que las del resto de lapoblacin. lo cual supuestamente explica por qu las encontramos bellas. Propiedades algebraicas.

F es el nico nmero real positivo tal que: La expresin anterior es fcil de comprobar:

F posee adems las siguientes propiedades:

El nmero ureo en la geometra.El nmero ureo y la seccin urea estn presentes en todos los objetos geomtricos regulares o semiregulares en los que haya simetra pentagonal, pentgonos o aparezca de alguna manera la raz cuadrada de cinco. Relaciones entre las partes del pentgono. Relaciones entre las partes del pentgono estrellado, pentculo o pentagrama. Relaciones entre las partes del decgono. Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.EL RECTNGULO UREO DE EUCLIDES

Euclides obtiene el rectngulo ureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectngulo BEFC es asimismo ureo.El rectngulo AEFD es ureo porque sus lados AE y AD estn en la proporcin del nmero ureo. Euclides en su proposicin 2.11 de Los elementos obtiene su construccin.>

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

resultando evidente que

de donde, finalmente

Por otra parte, los rectngulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que ste ltimo es asimismo un rectngulo ureo

. El pentagrama y el nmero ureo.El lema de laEscuelaPitagrica fue todo es nmero y su emblema el pentagrama o pentgono regular estrellado. En el pentgono estrellado figura el nmero ureo infinidad de veces.Veamos qu relacin existe entre el pentgono regular y el pentgono regular estrellado.Si consideramos el lado del pentgono la unidad, basta aplicar el teorema del coseno al tringulo ABC y resulta que AC es igual al nmero ureo.El teorema del coseno afirma que en todo trigulo un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el dobleproductode ellos por el coseno del gulo comprendido.

En nuestro caso, aplicando dicho teorema al tringulo ABC, tendremos:AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB. AC. cos (108)y como AB = BC = 1, efectuandooperacionesresulta:AC 2 = 2 - 2 cos (108)Extrayendo la raiz cuadrada:AC = 1,6180340...Considerando el lado del pentgono regular la unidad, (AG = 1), pueden obtenerse de forma inmediata las siguientes expresiones:

Qu pudo hacer que los pitagricos sintieran tanta admiracin por el nmero ureo ?.Casi con todaseguridad, para la escuela pitagrica la consideracin del irracional 5 1/2, de cuya existencia tuvieronconcienciaantes que de 2 1/2, tuvo que causar una profunda reflexin en lasteorasde la secta.Si tienes alguna duda de las relaciones del nmero ureo con el pentgono estrellado... mira!, y as hasta el infinito. Siempre que encuentres un pentgono regular podrs hacer lo mismo.

Dado un segmento AB, se dice que est dividido en media y extrema razn, cuando: "[...] si hay de la parte pequea a la parte grande la misma relacin que de la grande al todo" (Vitrubio). A partir del Renacimiento recibi el nombre de Divina Proporcin.La Proporcin urea fascin como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas y perdura en nuestros das. Los pintores y escultores del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta... y tambin los impresores. En el grfico de la izquierda se puede apreciar el diseo de la caja y los mrgenes de un libro segn lanormasde la Divina Proporcin. En el de la derecha aparece lareproduccinde un incunable impreso en Venecia (1495), segn dichas normas. Se trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna). Exquisita tipografa romana,calidadde papel y tinta, proporciones divinas. Una joya.Pentagrama que ilustra algunas de las razones ureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.El nmero ureo tiene un papel muy importante en los pentgonos regulares y en los pentagramas. Cada interseccin de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razn urea.El pentagrama incluye dieztringulosisceles: cinco acutngulos y cinco obtusngulos. En ambos, la razn de lado mayor y el menor es f. Estos tringulos se conocen como los tringulos ureos.Teniendo en cuenta la gran simetra de este smbolo se observa que dentro del pentgono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentgono por el exterior, que sera a su vez el pentgono interior de una estrella ms grande. Al medir la longitud total de una de las cinco lneas del pentculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea F. Por lo tanto el nmero de veces en que aparece el nmero ureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

Relacin con los slidos platnicos.El nmero ureo esta relacionado con los slidos platnicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones estn dadas en trminos del nmero ureo. Los vrtices de un icosaedro puden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0,f, 1), (0,f, -1), (0, - f, 1), (0, - f, -1), (1, 0,f), (1, 0, - f), (-1, 0,f), (-1, 0, - f), (f, 1, 0), (f, -1, 0), ( - f, 1, 0), ( - f, -1, 0)Los vrtices de un dodecaedro tambin se puden dar en trminos similares: (0, f,f), (0,f, - f), (0, - f,f), (0, - f, - f), (f, 0,f), (f, 0, - f), ( - f, 0,f), ( - f, 0, - f), (f,f, 0), (f, -Phi, 0), (-phi,f, 0), (-phi, -Phi, 0), (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

Las 12 esquinas de los rectngulos coinciden con los centros de las caras de un dodeacaedro.Para un dodecaedtro con aristas de longitid a, suvolumeny su rea total se puden expresar tambin en trminos del nmero ureo:

Si tres rectngulos ureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectngulos ureos coinciden exactamente con los vrtices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:El punto que los rectngulos tienen en comn es el centro tanto del dodeaedro como del icosaedro. Rectngulo ureo:

Un rectngulo especial es el llamado rectngulo ureo. Se trata de un rectngulo armonioso en sus dimensiones.Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vrtices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectngulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectngulo vale por lo que la proporcin entre los dos lados es:

A este nmero se le llama nmero deoro, se representa por el smbolo - y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relacin entre la diagonal de un pentgono y el lado. El nombre de "nmero de oro" se debe aLeonardo da Vinci.En "elhombreideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el nmero de oro.

Otra propiedad de este rectngulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro rectngulo ureo ms grande.

Los egipcios ya conocan esta proporcin y la usaron en la arquitectura de la pirmide de Keops (2600 aos a.C.).Aparece en pinturas de Dal, en la Venus de Boticelli. Esta razn tambin la usaron en sus producciones artistas del Renacimiento. EnEspaa, en la Alhambra, en edificios renacentistas como El Escorial... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos.

Los griegos tambin la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenn, cuyas proporciones estn relacionadas entre s por medio de la razn urea.

El smbolo - para la relacin urea fue elegido por el matemtico americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que sola usar la relacin urea en sus esculturas.Tambin se ha usado en el diseo del DNI, en la construccin de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

EL NMERO UREO EN LA NATURALEZA:La neutralidad de estaseccinest en duda. Por favor, vase la pgina de discusin de este artculo

Concha de nautilus en espiral logartmicaEn la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la seccin urea:El nmero ureo en la religin.Un estudio realizado por la SARU (Science and religion united =cienciayreliginunidas) en noviembre del ao 2005, analiz meticulosamente el "Evangelio Prohibido deJudas" descubierto aprincipiosdel ao 2000(aquel que afirma que en realidad Jess le pidio a Judas que lo traicione). Entre otros hallazgos, fue notorio el hecho de que se detallaran las medidas de la cruz en la cual Jesucristo fue crucificado, y ms sorprendentemente, una de sus caractersticas: el trozo demaderams largo de esta meda 3,23 m aproximadamente; mientras que el trozo ms corto tena una longitud aproximada de 2m. Lo curioso fue que notaron que al dividir la longitud del trozo mayor por la del menor se obtiene (usted mismo puede comprobarlo) 1,615, que es el valor aproximado de F.Otro estudio de la SARU, en este caso sobre el Santo Sudario (la tela en que se cree que Jess fue envuelto en su sepulcro), en el que se presentanmarcasy traumas fsicos propios de la crucifixin; demuestra que las marcas alrededor del crneo que, segn se cree, fueron causadas por la corona de espinas, se presentan en forma de espiral logartmico, y consecuentemente sus espinas siguen la sucesin de Fibonacci. Por lo que se cree, el sudario fue falsificado por Da Vinci. El nmero ureo en el ser humano. LaAnatomade los humanos se basa en una relacin Festadsticay aproximada, as vemos que: La relacin entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. La relacin entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. La relacin entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. La relacin entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi. La relacin entre el dimetro de la boca y el de la nariz Es phi la relacin entre el dimetro externo de los ojos y la lnea inter-pupilar Cuando la trquea se divide en sus bronquios, si se mide el dimetro de los bronquios por el de la trquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilacas primitivas). El nmero ureo en la msica.Es necesario aclarar que cuando se menciona al nmero ureo en una realizacin artstica de cualquier naturaleza no se est haciendo mencin al nmero ureo de losmatemticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximacin racional adecuada a las circunstancias o a undibujohecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un comps de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de nmeros pertenecientes a la sucesin de Fibonacci que danvaloresaproximados, alternativamente por defecto o por exceso, segn la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separacin tonal de cada instrumento. Un violn, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. Elodohumano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logartmica. Se cre muy pocotiempodespus de que los logaritmos pasaran alpatrimoniode lamatemtica. La octava atemperada est basada enEste nmero irracional tiene infinitos decimales, pero la afinacin se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el odo humano no lo nota. La uniformidad de la separacin de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una meloda por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatnica y la escala fsica. De la misma manera se acta con la distribucin de tiempos o la altura de los tonos usando el nmero ureo; con una aproximacin racional que resulte prctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.ConclusionesEl descubrimiento de este nmero se atribuye vida cotidiana tanto a la escuela Pitagrica, de hecho los pitagricos utilizaban como smbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones ureas.

Tambin encontramos su aplicacin en diferentes ciencias de ingeniera, tanto ecologa, entre otras.

Es fcil encontrar distintas proporciones ureas en diversas figuras. Este nmero aparece repetidamente en el mundo que nos rodea, como elemento de diseo en construcciones arquitectnicas tan antiguas como la pirmide de Keops, o en distintos seres vivos, tanto en el reino vegetal (flores, semillas,...) como en el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen en funcin de relaciones ureas,...) Leonardo da Vinci en su "Esquema de las proporciones del cuerpo humano" seala distintas relaciones ureas que existen en el ser humano.Cuando la razn entre las dimensiones de un rectngulo es el nmero de oro, el rectngulo recibe el nombre de ureo. Los rectngulos ureos, son proporcionados, y por eso se utilizan frecuentemente en el arte.

Bibliografa

Circo matemtico. Martin Gardner. Alianza EditorialDIRECCIONES DE INTERNET http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html http://averroes.cec.junta-andalucia.es/recursos_informaticos/concurso/accesit3 http://www.mathsoft.com/