TORSIÓN - FLEXIÓN.(Demostración de fórmulas).

MECÁNICA DE MATERIALES

INTEGRANTES: - GAMARRA PAREDES, JONATHAN. - IDROGO AGUILAR, ALEXIS. - ROSADO LUJAN, ANGEL. - RUIZ RUIZ, LUIS EDUARDO.

DOCENTE: - RODRIGUEZ HERRERA, JORGE

TORSIÓN

Demostración de fórmulas del tema de Torsión

Capítulo de Estructuras Indeterminadas

UNIDAD

2

Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.

MECÁNICA DE MATERIALESMECÁNICA DE MATERIALES

2 - 2

Torsión


Deformación Unitaria.

Deformación Unitaria máxima.

Esfuerzo máximo.

Momento Polar de Inercia.

Barra Circular Maciza.

Tubo Circular.

Ángulo de giro en el rango elástico.

Contenido

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

R L

A

A’

LA

A’

=

*Longitud de Arco

Deformación Unitaria


2 - 3

Torsión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Distancia del eje al punto a analizar

Longitud de la barra

< de torsión

Donde:

L

* Ahora, cuando la deformación unitaria es máxima:

Tenemos que,

Se

gu

nd

a

Un

ida

d


2 - 4

Torsión


*Despejando:

*Reemplazando en:

*Obtenemos:

*Deformación Unitaria:

*Tenemos:


2 - 5

Torsión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d


2 - 6

Torsión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d

*Dela Ley de Hooke: *Para el esfuerzo y la deformación a cortante de la sección.*Donde G es el módulo del material.*Ahora, cuando son

máximos:

*Dividiendo:

*Despejando:

*Obtenemos:

*Recordando que la suma de los momentos de las fuerzas elementales ejercidas sobre cualquier sección transversal de eje debe ser igual a la magnitud T de par ejercido sobre el eje.

dAT

*Sabemos que:

*Entonces:

*Tenemos:


2 - 7

Torsión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d

J

*Reemplazando:

*La integral en el último miembro representa el momento polar de inercia J de la sección transversal con respecto a su centro O.

*De:

*Reemplazamos:

*Constante:


2 - 8

Torsión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d

*Barra Circular maciza:

*Tubo circular:

44

2 io ccJ

421 cJ

41422

1 ccJ


2 - 9

Torsión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Ángulo de giro en el rango elástico

Permanece elástico = cumple la Ley de Hooke

*De la Ley de Hooke:

*Despejando:

*Igualando:


2 - 10

Torsión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d


FLEXIÓN

Demostración de fórmulas del tema de Flexión

UNIDAD

2


FLEXIÓN


2 - 12

Flexión


Introducción.

Superficie Neutra.

Eje Neutro.

Deformación Unitaria longitudinal(DUL).

DUL máxima.

Esfuerzo y Deformación.

Explicación de eje Neutro.

Esfuerzo máximo.

Contenido

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

*Recordando de la estática que un par M en realidad consiste de dos fuerzas iguales y opuestas. La suma de las componentes de estas fuerzas en cualquier dirección, es igual a cero. Además el momento del par es el mismo alrededor de cualquier eje perpendicular a su plano y es ceo alrededor de cualquier eje contenido en dicho plano.

=


2 - 13Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Flexión

*La superficie neutra interseca el plano de simetría según un arco de círculo AB e interseca una sección transversal a lo largo de una línea recta llamada eje neutro de la sección.

C



Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Flexión

*Longitud de Arco AB:

*Ahora la longitud de Arco CD:

*Entonces tenemos que:

*Sustituyendo:



Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Flexión

*Deformación unitaria:

*Sabiendo que:

*Reemplazando:

*Obtenemos:

^



Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Flexión

*Ahora cuando la Deformación unitaria es máxima:

*Entonces:

*Resolviendo y reemplazando

*Obtenemos:



Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Flexión

Esfuerzo y Deformación

* Se analizan elementos homogéneos y elásticos.

*Ley de Hooke:

*Recordando:

* Reemplazando y multiplicando ambos miembros por E:

Obtenemos:

Módulo de elasticidad

Deformación unitaria es máxima:



Se

gu

nd

a

Un

ida

d

Flexión

*Explicación del eje Neutro:

*Constante:

*Primer momento de Inercia

*Cuando pasa por su centroide de la sección transversal

FF


2 - 19

Flexión


Se

gu

nd

a

Un

ida

d

*De Momentos alrededor del eje Z:

*Sustituyendo:

*Constante:

*Entonces: I

=


3 - 20Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston

Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d


FLEXIÓN

Desarrollo de ejercicio referente al tema de Flexión.

UNIDAD

2


FLEXIÓN



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

• EJEMPLO

La viga de hierro fundido soporta las cargas mostradas en la figura. Si los esfuerzos admisibles son de 48MPa y 120MPa en tracción y compresión, respectivamente, determinar el valor máximo de la longitud del voladizo, sabiendo que la posición racional de la sección transversal de la viga es la mostrada en la figura



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

CALCULO DE REACCIONES20 KN/m

15 KN15 KN

Ax

By

X X

Ay

4 m

∑ Fx=0Ax=0

∑ Fy=0Ay+By= 15+15+(20*4)

Ay+By= 110……..(I)

∑ MA=0

(15*x)-(20*4*2)+(By*4)-(15*(4+x))=0

By=55 KN………..(II)

15x-160+4By-60-15x=0

Reemplazando en (II) en (I)

Ay+55= 110

Ay=55 KN

A B



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

20 KN/m

15 KN15 KN

55 KN

X X

55 KN

4 m

DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

V (KN)+

-

15

15

40

40

-

+ +

--

M (KN-m)-

+

M(I)= 02 m III

15X 15X

15X-40

DIAGRAMA DE MOMENTOS

A B

I

II

M(A)=15*x

M(II)= 15x+1/2(2*40)=15x-40

M(B)=15x-40-(1/2(2*40))=15x

M(III)=15x-(15*x)=0

-

+

RELACION DE TRIANGULOS

X=2m



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

CENTRO DE GRAVEDAD

EJE BASE7 5

7 5

150

mm

30 m

m

30 mm 30 mm120 mm

CENTROIDES

Ab mm2 yb mm Abyb mm3 I Ab(yb-y)2

1 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25

2 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25

3 (180)(30}=5400 165 891000 405000 17085937.5

∑ 14400 1566000 17280000 27337500

I=bh3

12

y=Abyb mm3

Ab mm2

y=1566000

= 108.75 mm14400



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

MOMENTO DE INECIA

EJE BASE

7 5

7 5

150

mm

30 m

m

30 mm 30 mm120 mm

CENTROIDES

Ab mm2 yb mm Abyb mm3 I Ab(yb-y)2

1 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25

2 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25

3 (180)(30}=5400 165 891000 405000 17085937.5

∑ 14400 1566000 17280000 27337500

I=bh3

12

IEN= I + Ab(yb-y)2

IEN= 17280000 + 27337500

IEN= 44617500 mm4



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

POSICION RACIONAL DE LA VIGA

EJE NEUTRO

150

mm

30 m

m

30 mm 30 mm120 mm

Tiene que cumplir las siguientes condiciones:

1. POR AREAS

108.

75m

m71

.25

mm

Asup=(41.25)(30)+(180)(30)+(41.25)(30)=7875 mm2

Ainf=(108.75)(30)+(108.75)(30)=6525 mm2

Por lo tanto la parte superior se encuentra en tracción.

Entonces el momento máximo debe ser negativo.

2. POR MOMENTO MAXIMO



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

CONDICIONES DE RESISTENCIA

TRACCION

COMPRESION



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

2.003 3.282

Por lo tanto el valor máximo de “x” es 2.003 m



Flexión

Se

gu

nd

a

Un

ida

d

GRACIAS

TORSIÓN - FLEXIÓN.(Demostración de fórmulas).

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