RegioneToscana Università degli studi di Firenze Prof. Fausto Sacerdote Topografia e cartografia digitale Capitolo 4.2 Reti topografiche dispense del corso Modulo Professionalizzante Corso perTecnico in CartografiaTematica per i Sistemi InformativiTerritoriali
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Topografia e cartografia digitalearch.areaopen.progettotrio.it/html/mod_prof/cartografia/sacerdote/0… · 4.2. Intersezione multipla inversa (giro d’orizzonte) - Si fa stazione
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Regione Toscana
Università degli studi di Firenze
Prof. Fausto Sacerdote
Topografia
e cartografia digitale
Capitolo 4.2
Reti topografiche
dispense del corso
Modulo Professionalizzante
Corso per Tecnico in Cartografia Tematica
per i Sistemi Informativi Territoriali
RETI TOPOGRAFICHE
1. Premessa
Una rete topografica e costituita da un insieme di punti, detti vertici della rete, connessi fra di loro da uninsieme di misure di distanze e di angoli azimutali e zenitali; sia i punti di stazione, sia i punti collimati sonovertici della rete. Le misure devono essere in numero sufficiente per rendere la rete rigida (contrariamente aquanto avviene in fig.1), e in generale si richiede che siano ridondanti, per poter eseguire compensazioni; laridondanza viene richiesta non soltanto per la rete nel suo complesso, ma per ciascuno dei suoi vertici (cosanon vera, ad esempio, per il punto P0 in fig.2). Inoltre devono essere fornite informazioni atte a fissare ilsistema di riferimento.
Le compensazioni vengono eseguite con il metodo dei minimi quadrati, utilizzando le equazioni di osservazioneche legano le quantita misurate con i parametri da stimare (in generale le coordinate dei vertici). Si e giaaccennato al fatto che, per la compensazione rigorosa di una rete 3-dimensionale, e necessario tenere contoche la direzione della verticale varia e che in generale non viene osservata in tutti i punti di stazione, e vaquindi inserita come parametro incognito.
Ovviamente, per rendere la compensazione il piu possibile robusta, si dovrebbe cercare di avere la massimaridondanza possibile; tuttavia in generale e possibile limitare il numero delle misure, e quindi il costo delrilevamento, senza deteriorare in modo inaccettabile la qualita della rete.
Per ottenere questo scopo, e essenziale una accurata progettazione della rete preliminarmente all’esecuzionedella campagna di misure. E possibile fare una previsione sull’accuratezza delle coordinate calcolate, espressadalla matrice di covarianza dei parametri stimati, e visualizzata con gli ellissi di errore nel caso planimetrico(ellissoidi nel caso 3-dimensionale), prima di eseguire le misure, utilizzando la struttura geometrica dellarete, implicitamente contenuta nelle equazioni di osservazione, e le informazioni a priori sull’accuratezzadelle misure eseguite, contenuta nella matrice di covarianza delle osservazioni.
Verranno illustrati nel seguito alcuni esempi che, per semplicita, si riferiscono a reti i cui vertici stanno su unpiano; le coordinate possono quindi essere riferite ad un sistema di assi cartesiano locale 2-dimensionale. Inuna situazione realistica il problema non e tanto che i punti non sono tutti alla stessa quota e bisogna quindiintrodurre una terza coordinata, quanto che le quote non possono essere riferite ad una superficie piana e chela verticale, fisicamente determinabile, varia da punto a punto. Una prima approssimazione consiste nelloscegliere come superficie di riferimento una sfera locale e come piano xy il piano tangente alla sfera in undeterminato punto; per ogni altro punto le coordinate planimetriche approssimate consentono di stabilire siala direzione della normale alla sfera sia la coordinata z.
2. Programmi di compensazione
I calcoli per la compensazione di una rete, che sono in generale lunghi e laboriosi, vengono oggi eseguitial calcolatore usando perlopiu programmi preconfezionati. La possibilita di scrivere programmi generaliapplicabili a qualsiasi tipo di rete si basa sul fatto che le equazioni di osservazione per direzioni azimutali,angoli zenitali, distanze e dislivelli hanno forma standard, e l’utilizzatore deve soltanto inserire correttamentei dati, in modo che il programma possa riconoscere la geometria della rete e il tipo di misure eseguite, noncheessere consapevole delle approssimazioni contenute negli algoritmi del programma, e quindi dell’estensionedelle reti a cui esso e applicabile.
Per l’inserimento dei dati e naturalmente previsto un formato ben preciso. In primo luogo i vertici devonoessere numerati; di conseguenza, ogni direzione di collimazione e univocamente individuata da una coppiadi numeri costituita, nell’ordine, dal numero del vertice di stazione e da quello del vertice collimato. Perogni direzione devono essere poi riportate, in un ordine ben preciso, le misure degli angoli azimutali (rispettoallo zero dello strumento la cui direzione, a sua volta, viene trattata come un’incognita del problema), delle
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distanze, degli angoli zenitali, dei dislivelli, ciascuna con lo sqm a priori, usando ovviamente le unita dimisura richieste dal programma. Se una certa misura non e stata eseguita, lo spazio ad essa attribuito deveessere lasciato vuoto. Inoltre devono essere assegnate le coordinate approssimate dei punti, e devono essereindicati i vincoli, ossia le coordinate di punti noti e gli azimut di direzioni note, che definiscono il sistema diriferimento, e possono anche essere in numero superiore a quello strettamento necessario.
Un’ulteriore possibile opzione e quella di inserire, oltre al sistema di riferimento in cui viene eseguita lacompensazione, che e in generale un sistema locale arbitrario, le coordinate di un certo numero di punti inun sistema di riferimento diverso, per esempio legato alla cartografia, in modo che possano essere calcolatele trasformazioni necessarie per l’inquadramento della rete.
Il programma, oltre ad eseguire la compensazione con il metodo dei minimi quadrati (con iterazioni, vistoche si tratta di equazioni non lineari, fino alla stabilizzazione degli sqm stimati), deve segnalare se le misureinserite non sono sufficienti ad assicurare la rigidita della rete, e se i vincoli non sono sufficienti a definire ilsistema di riferimento.
Infine, deve essere possibile utilizzare il programma per lo studio a priori della rete, prima di eseguire lemisure, dando indicazione soltanto di quali misure sono previste nel progetto di rete e dei loro sqm a priori,oltre alle coordinate approssimate dei vertici.
3. Equazioni di osservazione
3.1 Equazioni di osservazione di azimut (angoli in verso orario dall’asse y) - Con riferimento alla fig.3,che rappresenta misure angolari da una stazione posta nell’origine, le relazioni fra angoli misurati e coordinatedei punti collimati sono le seguenti:
I quadrante: α1 = arctan x1y1
II quadrante: α2 = arctan x2y2
+ π
III quadrante: α3 = arctan x3y3
+ π
IV quadrante: α4 = arctan x4y4
+ 2π
Ovviamente, se la stazione e in un punto generico (x0, y0) , nelle equazioni xi , yi devono essere sostituitecon xi − x0 , yi − y0 .
NOTA: i valori di arctan sono compresi fra π/2 e π/2 .
3.2. Equazioni di osservazione di angoli azimutali (fig.4) - Si misurano gli angoli θ1 e θ2 in versoorario a partire dallo zero dello strumento. L’azimut β della direzione dello zero non entra nell’equazione.L’equazione per α12 e
α12 = θ2 − θ1 = (θ2 + β) − (θ1 + β) =
= arctanx2 − x0
y2 − y0+ π − arctan
x1 − x0
y1 − y0
(1)
L’equazione per α13 e del tutto analoga.
NOTA: anche se le misure degli angoli θi sono indipendenti, gli angoli α12 e α13 sono correlati.
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(α12
α13
)=
(−1 1 0−1 0 1
) ⎛⎝ θ1
θ2
θ3
⎞⎠ =⇒
Cα =(−1 1 0−1 0 1
) ⎛⎝σ2
1 0 00 σ2
2 00 0 σ2
3
⎞⎠
⎛⎝−1 −1
1 00 1
⎞⎠ =
(σ2
1 + σ22 σ2
1
σ21 σ2
1 + σ23
) (2)
4. Esempi di reti piane con misure ridondanti
4.1. Intersezione multipla in avanti - Il punto P ≡ (x, y) incognito viene collimato da un certonumero di punti noti Pi ≡ (xi, yi) , e vengono misurati angoli azimutali. A rigore, per ciascun punto distazione bisognerebbe introdurre come incognita l’azimut dello zero del cerchio orizzontale e misurare gliangoli usando lo zero come direzione di riferimento. Per semplicita le equazioni di osservazione vengonoqui scritte introducendo direttamente come osservabili gli angoli azimutali θj fra le direzioni collimate daciascun punto di stazione. Gli azimut βk delle direzioni di punti noti sono ovviamente noti; con riferimentoalla figura βi = arctan((xi+1 − xi))/(yi+1 − yi)) , i = 1, 2 ; β3 = arctan((x4 − x3)/(y4 − y3)) + 2π ;β4 = β3 − π .
Equazioni di osservazione (con riferimento alla fig.5):
θ1 = β1 − arctanx − x1
y − y1
θ2 = β2 − arctanx − x2
y − y2
θ3 = β3 − 2π − arctanx − x3
y − y3
θ4 = −β4 + π + arctanx − x4
y − y4
(3)
Queste equazioni vengono linearizzate (i simboli soprasegnati con una barra indicano valori approssimatidelle osservabili e delle coordinate, supposti noti):
θ1 + δθ1 = β1 − arctanx − x1
y − y1− y − y1
(x − x1)2 + (y − y1)2δx +
x − x1
(x − x1)2 + (y − y1)2δy
θ2 + δθ2 = β2 − arctanx − x2
y − y2− y − y2
(x − x2)2 + (y − y2)2δx +
x − x2
(x − x2)2 + (y − y2)2δy
θ3 + δθ3 = β3 − 2π − arctanx − x3
y − y3− y − y3
(x − x3)2 + (y − y3)2δx +
x − x3
(x − x3)2 + (y − y3)2δy
θ4 + δθ4 = −β4 + π + arctanx − x4
y − y4+
y − y4
(x − x4)2 + (y − y4)2δx − x − x4
(x − x4)2 + (y − y4)2δy
(4)
e viene applicato il metodo dei minimi quadrati per la stima dei parametri δx , δy .
4.2. Intersezione multipla inversa (giro d’orizzonte) - Si fa stazione nel punto P ≡ (x, y) incognito e sicollima un certo numero di punti noti (ad esempio, punti trigonometrici IGM visibili dal punto di stazione).Nell’esempio che segue si assume di misurare gli angoli a partire dallo zero del cerchio orizzontale la cuidirezione rispetto agli assi coordinati e incognita. Oltre alle coordinate x, y di P , si introduce l’ulterioreparametro incognito β che e l’azimut della direzione dello zero.
Equazioni di osservazione (con riferimento alla fig.6):
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θi = arctanx − xi
y − yi+ π − β i = 1, 2, 3
θ4 = arctanx − x4
y − y4+ 2π − β
(5)
Equazioni di osservazione linearizzate:
θi + δθi = arctanx − xi
y − yi+ π − β +
y − yi
(x − xi)2 + (y − yi)2δx − x − xi
(x − xi)2 + (y − yi)2δy i = 1, 2, 3
θ4 + δθ4 = arctanx − x4
y − y4+ 2π − β +
y − y4
(x − x4)2 + (y − y4)2δx − x − x4
(x − x4)2 + (y − y4)2δy
(6)
Si noti che, dato che il parametro β compare linearmente nelle equazioni di osservazione, non e necessarioconoscere un valore approssimato.
4.3. Poligonale - Una poligonale piana e una rete che connette in sequenza un certo numero di punti, tuttigiacenti su uno stesso piano orizzontale. Si fa stazione in ognuno dei punti e vengono misurate la distanzadel punto successivo e l’angolo azimutale fra la direzione del punto precedente e quella del punto successivo.
Il sistema di riferimento e definito se le coordinate del punto di partenza P0 ≡ (x0, y0) sono note, e se epossibile collimare da P0 un altro punto noto P0 ≡ (x0, y0) , in modo che e noto anche l’azimut α0 delladirezione di collimazione P0P0 : con riferimento alla figura, α0 = arctan((x0 − x0)/(y0 − y0)) + π .
Procedendo a passi a partire da P0 , si possono stimare successivamente, senza ridondanza, le coordinatedei punti P1, P2, . . . e le loro matrici di covarianza. Le equazioni di osservazione possono essere espressenella forma seguente (con riferimento alla fig.7):
xi+1 = xi + di+1 sin αi
yi+1 = yi + di+1 cos αi
i = 0, . . . , n − 1 (7)
dove di sono le distanze misurate, αi sono gli azimut delle direzioni PiPi+1 , che non vengono misuratidirettamente, ma possono essere espressi ricorsivamente in funzione degli angoli azimutali θi misurati frale direzioni PiPi−1 e PiPi+1 :
αi+1 = αi + θi+1 − π (8)
(al primo passo, P−1 ≡ P0 ).
A titolo di esempio, si costruisce la matrice di covarianza per le coordinate di P1 e di P2 . A tale scopo,bisogna scrivere le equazioni linearizzate per i primi due passi.
Al primo passo, x0 e y0 sono note, e si linearizza solo rispetto a d1 e α0 :
(δx1
δy1
)=
(sin α0 d1 cos α0
cos α0 −d1 sin α0
)(δd1
δθ0
)+
(termine
noto
)(9)
Di conseguenza, assumendo che le misure di d1 e di θ0 siano incorrelate, la matrice di covarianza di x1
e y1 e
Cx1y1 =(
sin α0 d1 cos α0
cos α0 −d1 sin α0
)(σ2
d10
0 σ2θ0
)(sin α0 cos α0
d1 cos α0 −d1 sin α0
)(10)
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Al secondo passo bisogna tenere conto che anche x1 e y1 sono affette da incertezza. L’equazione linearizzatae quindi
(δx2
δy2
)=
(1 0 sin α1 d1 cos α1 d1 cos α1
0 1 cos α1 −d1 sin α1 −d1 sinα1
)⎛⎜⎜⎜⎝
δx1
δy1
δd2
δθ0
δθ1
⎞⎟⎟⎟⎠ +
(termine
noto
)(11)
(le ultime 2 colonne sono le derivate parziali rispetta a θ0 e θ1 , dato che α1 = α0 + θ1 − π ), da cui siottiene
Cx2y2 =(
1 0 sin α1 d1 cos α1 d1 cos α1
0 1 cos α1 −d1 sin α1 −d1 sin α1
) ⎛⎜⎝
Cx1y1 . . .. σ2
d20 0
. 0 σ2θ0
0. 0 0 σ2
θ1
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
1 00 1
sin α1 cos α1
d2 cos α1 −d2 sinα1
d2 cos α1 −d2 sinα1
⎞⎟⎟⎟⎠(12)
NOTA: i puntini nella matrice quadrata in (12) non corrispondono necessariamente a degli zeri, dato chex1 e y1 sono correlati con θ0 .
Procedendo in questa maniera non si ha ridondanza. Non e quindi possibile fare alcuna compensazione, egli errori si amplificano passando da un vertice al successivo (vedi fig.8). E’ possibile ottenere ridondanzaimponendo che il punto terminale della poligonale Pn sia un punto noto, e che da esso sia collimabile unaltro punto noto Q , in modo che sia noto l’azimut β0 della direzione PnQ . Utilizzando le equazioni (7)e (8), si ottengono le equazioni di condizione
xn = x0 +n−1∑j=0
dj+1 sin αj
yn = y0 +n−1∑j=0
dj+1 cos αj
β0 = α0 +n∑
i=0
θi − (n + 1)π
(13)
dove le αj possono essere espresse in funzione delle osservabili θi nella forma αj = α0+∑j
i=0 θi−(j+1)π ,ricavabile dalla (8).
La compensazione puo essere eseguita sulle osservabili con il metodo dei minimi quadrati, utilizzando leequazioni di condizione (13); successivamente, introducendo le osservabili compensate nelle (7) e (8), siottengono le stime delle coordinate x e y degli n − 1 punti incogniti P1, . . . , Pn−1 .
E’ pero possibile adottare una procedura di compensazione semplificata, suggerita in numerosi manuali,che non e equivalente al metodo dei minimi quadrati, ma che fornisce pur sempre valori compensati, ossiacompatibili con le equazioni di osservazione. Viene prima eseguita una compensazione sugli angoli, equiri-partendo su tutti i θi lo scarto della terza equazione di condizione (13). Gli angoli αi ottenuti dai valoricompensati dei θi vengono poi introdotti nelle altre due equazioni di condizione, che presentano ancora unoscarto ε ≡ (εx, εy) . Questo scarto viene compensato aggiungendo a ciascun vettore congiungente due verticiconsecutivi Pi e Pi+1 (di lunghezza di+1 ) il vettore εi+1 = −(di+1/
∑j dj)ε , che e proporzionale alla
distanza. Questo criterio, che e del tutto arbitrario, riflette la convinzione, in verita non sempre giustificata,che gli errori commessi nella misura delle distanze siano proporzionali alle distanze stesse.
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4.4. Trilaterazione - Una rete piana puo essere compensata anche disponendo soltanto di misure didistanza. Ad esempio, in una rete con 5 vertici sono determinabili 10 distanze; supponendo che 2 punti sianonoti (e quindi anche la loro distanza), si possono misurare 9 distanze e si devono determinare le 6 coordinatedei 3 punti incogniti.
Indicando con PA , PB i 2 punti noti, e con Pi , i = 1, 2, 3 i punti incogniti (fig.9), le equazioni diosservazione hanno la forma