TMPA-2013 Dmitry Zaitsev

Эффективная универсальная

сеть Слепцова

Зайцев Дмитрий Анатольевич

http://daze.ho.ua

Международный гуманитарный университет,

Одесса, Украина

По материалам arXiv:1309.7288 размещенным на http://arxiv.org/abs/1309.7288

Ординарная сеть условий-событий

Step

Behavior

0

1

2

3

(1,1,0,0)

(0,0,1,0)

(1,1,0,1)

(0,0,1,1)

:

:

t1

t1

t2

t2

Сеть с кратными дугами

Ингибиторная сеть

)1,12()1,7,5(:1275 fzsyx

47

35

21 )()( tttt

Сеть условий-событий

как универсальная

алгоритмическая система

• Ингибиторная сеть – Тилак Агервала, 1974

• Синхронная сеть

• Приоритетная сеть

• Нагруженные сети

Универсальная сеть

условий-событий

Заданная

сеть

Начальная

разметка

Универсальная

сеть

условий-событий

Конечная

разметка

Трасса

запуска

переходов

Арифметическая сеть Слепцова (АС)

Места

Переходы

Дуги

Разметка

Правила запуска переходов

Кратность возбуждения

дуги

Кратность возбуждения

перехода

На шаге срабатывает произвольное максимальное множество переходов,

не приводящее к получению отрицательных маркировок.

При срабатывании переход

извлекает

помещает

фишек

фишек

Реализация арифметических

операций

при x=1 умножение на y

при y=1 деление на x

x y

УАС(15,29)

Слабая

универсальная

машина Тьюринга

с

2 состояниями и

4 символами

СУМТ(2,4)

Neary и Woods

Универсальная

арифметическая

сеть Слепцова

15 позиций и

29 переходов

УАС(15,29)

Прямое

моделиров

ание

Цепь трансляций

УАС(15,29) МТ ЦТС КА АС

СУМТ(2,4) МТ ЦТС КА

Моделирует

Кодирование состояний

символов и функции переходов

Шифрование ленты

1

0

021 )()...(l

i

iill rxsxxxs

x R0

R1

…

Rk-1

L0

L1

…

Ll-1

)...( 021 LLLsL ll )...( 021 RRRsR ll )(xsX

L L X X R R

Функция шифрования:

Шифрование пустых слов

Особенности программирования на АС

• инверсный поток управления –

движение нулевой разметки

• двойственные позиций для

представления условий

• проверка отрицания условия с

помощью ингибиторной дуги для

обеспечения максимальной кратности

запуска переходов

Общая схемы УАС(15,29)

Моделирование инструкций МТ

инструкция с перемещением влево инструкция с перемещением вправо

(2,0,4,left,1) (4,1,2,right,1)

Подсеть FS

моделирующая

функцию

переходов

СУМТ(2,4)

Рекуррентное

шифрование/дешифрование ленты

1

0

021 )()...(l

i

iill rxsxxxs

Добавить к шифру (push): S:=S*r+X

Извлечь из шифра (pop): X:=S mod r, S:=S div r

Дисциплина стека:

где X код текущего символа s(xi)

Добавить символ к шифру MA5

MA5:

L:=L*5+X

Извлечь символ из шифра MD5

MD5:

L:=L div 5,

X:=L mod 5

Выбор кода (L/R)

для моделирования левого движения (когда RIGHT = 0):

R := R*5+X; L := L div 5, X := L mod 5

MA5(R); MD5(L)

для моделирования правого движения (когда LEFT = 0):

L := L *5+X; R := R div 5, X := R mod 5

MA5(L); MD5(R)

используем последовательность подсетей MA5LR, MD5LR

и

Подсеть MA5LR

Подсеть MD5LR

УАС(15,29)

Формальные результаты

Лемма 1. Последовательность подсетей MA5LR, MD5LR,

дополненная переходами lb, rb, моделирует работу с

лентой слабой универсальной МТ за не более чем 13

шагов АС.

Теорема 1. УАС(15,29) моделирует СУМТ(2,4) за время

O(14 · k) с памятью O(k), где k количество шагов

СУМТ(2,4).

Трасса выполнения УАС(14,29)

Моделирование АС на МТ

• Многоленточная конструкция

• Первая лента – разметка в двоичной системе счисления

• Вторая лента – переходы сети

• Третья лента – вычисление условий возбуждения переходов

• Четвертая лента – промежуточные вычисления; деление и умножение алгоритмом «в столбик»

Сложность МТАС

• Просмотр всех переходов: n

• Вычисление условия возбуждения: m

• Умножение: k2

• Деление: k2

• Минимум: k

• Общая сложность: k3

Формальные результаты

Утверждение. Машина Тьюринга моделирует

арифметическую сеть Слепцова за время O(k3) с

памятью O(k), где k число шагов сети.

Следствие. УАС(15,29) моделирует заданную АС

N за полиномиальное время и с полиномиальной

памятью по отношению к числу шагов сети N.

Детали оценки сложности:

МТ моделирует АС за время u = O(k3) с памятью v = O(k).

СУМТ(2,4) моделирует МТ за время r = O(u4 · log2u).

УАС(15,29) моделирует СУМТ(2,4) за время O(r) с памятью O(r).

Итак, УАС(15,29) моделирует заданную АС за время O(z) с

памятью O(z), где z = k12 · log6k.

Выводы и направления работ

• Построена универсальная арифметическая сеть Слепцова с 15 местами и 29 переходами

• Ее временная сложность полиномиальная

• Преимущество арифметических сетей Слепцова – эффективность вычислений

• Парадигма программирования на арифметических сетях

http://daze.ho.ua

Парадигма вычислений на

сетях условий-событий

• Zaitsev, D.A.: Petri Net Paradigm of Computation. In Book of abstracts of the International scientific conference on Computer Algebra and Information Technology, Odessa: ONU, August 20-26, 2012, pp. 107-114.

• Программа написанная на языке сетей условий-событий выполняется на процессоре сетей условий-событий

Основные операторы

s operator1 f/s operator2 f

c

f/s

s operator

conditions

f

f

c

f/s

s

s

operator1

operator2

fconditionsa)

b)

c)

d)s f

a) последовательность: operator1; operator2;

b) ветвление: if(condition)operator1; else operator2;

c) цикл: while(condition)operator;

d) параллельное: parbegin thread1; ... threadk; parend;

Композиция программ

start finish

f s

Выходные переменные . . .

Входные

переменные . . .

Потоки управления

Переменные

Оператор (процедура)

Преимущества

http://daze.ho.ua

Существенное ускорение

вычислений и процесса

разработки ПО

благодаря сохранению

естественного параллелизма

предметной области

и ультра параллельной

аппаратуре