Top Banner
1 TKS 4007 Matematika III Fungsi Kompleks (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Persamaan += tidak memiliki akar dalam himpunan bilangan real. Pertanyaanya, dapatkah dibangun suatu lapangan baru yang memuat akar dari persamaan tersebut? Misal didefinisikan i sebuah bilangan yang memenuhi = โˆ’, tetapi ada dua buah akar dari +=, yang manakah yang akan dipilih sebagai i? Jika sudah dipilih i, apakah perlu mendefinisikan persamaan += sebagai j atau cukup dengan definisi sebelumnya, sehingga semua polinom di lapangan baru tersebut mempunyai akar-akarnya.
16

TKS 4007 Matematika III Fungsi · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

Feb 06, 2018

Download

Documents

dobao
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

1

TKS 4007 Matematika III

Fungsi Kompleks (Pertemuan XXVII - XXX)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Pendahuluan

Persamaan ๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ tidak memiliki akar dalam himpunan

bilangan real.

Pertanyaanya, dapatkah dibangun suatu lapangan baru yang

memuat akar dari persamaan tersebut?

Misal didefinisikan i sebuah bilangan yang memenuhi

๐’Š๐Ÿ = โˆ’๐Ÿ, tetapi ada dua buah akar dari ๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ, yang

manakah yang akan dipilih sebagai i?

Jika sudah dipilih i, apakah perlu mendefinisikan persamaan

๐’™๐Ÿ’ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ sebagai j atau cukup dengan definisi sebelumnya,

sehingga semua polinom di lapangan baru tersebut

mempunyai akar-akarnya.

Page 2: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

2

Pendahuluan (lanjutan)

Sebuah bilangan kompleks dapat disajikan dalam dua bentuk :

1. ๐’› = ๐’™ + ๐’Š๐’š

2. ๐’› = ๐’™, ๐’š

x adalah bilangan riil dan y adalah bagian imaginernya dan

bisa ditulis sebagai : ๐ซ๐ž ๐’› = ๐’™

๐ข๐ฆ ๐’› = ๐’š

Contoh :

๐Ÿ + ๐Ÿ‘๐’Š โ†’ ๐ซ๐ž ๐Ÿ + ๐Ÿ‘๐’Š = ๐Ÿ

๐ข๐ฆ ๐Ÿ + ๐Ÿ‘๐’Š = ๐Ÿ‘

Bidang Kompleks

Bilangan kompleks digambarkan dalam suatu bidang

kompleks seperti penggambaran suatu titik pada bidang

kartesius xy.

sumbu x = sumbu riil

sumbu y = sumbu imaginer

Page 3: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

3

Bidang Kompleks (lanjutan)

Operasi pada bidang kompleks :

Jika ๐’›๐Ÿ = ๐’™๐Ÿ + ๐’Š๐’š๐Ÿ dan ๐’›๐Ÿ = ๐’™๐Ÿ + ๐’Š๐’š๐Ÿ

1. Penjumlahan

๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ = ๐’™๐Ÿ + ๐’™๐Ÿ + ๐’Š ๐’š๐Ÿ + ๐’š๐Ÿ

2. Perkalian

๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ = ๐’™๐Ÿ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐’š๐Ÿ๐’š๐Ÿ + ๐’Š ๐’™๐Ÿ๐’š๐Ÿ + ๐’™๐Ÿ๐’š๐Ÿ

3. Pembagian

๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ=

๐’™๐Ÿ+๐’Š๐’š๐Ÿ

๐’™๐Ÿ+๐’Š๐’š๐Ÿ=

๐’™๐Ÿ+๐’Š๐’š๐Ÿ ๐’™๐Ÿโˆ’๐’Š๐’š๐Ÿ

๐’™๐Ÿ+๐’Š๐’š๐Ÿ ๐’™๐Ÿโˆ’๐’Š๐’š๐Ÿ=

๐’™๐Ÿ๐’™๐Ÿ+๐’š๐Ÿ๐’š๐Ÿ

๐’™๐Ÿ๐Ÿ+๐’š๐Ÿ

๐Ÿ + ๐’Š๐’™๐Ÿ๐’š๐Ÿโˆ’๐’™๐Ÿ๐’š๐Ÿ

๐’™๐Ÿ๐Ÿ+๐’š๐Ÿ

๐Ÿ

Bidang Kompleks (lanjutan)

Contoh :

Diketahui ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ + ๐’Š dan ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ๐’Š 1. Penjumlahan

๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ + ๐Ÿ + ๐’Š ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ = ๐Ÿ‘ โˆ’ ๐’Š 2. Perkalian

๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ. ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ.โˆ’๐Ÿ + ๐’Š ๐Ÿ.โˆ’๐Ÿ + ๐Ÿ. ๐Ÿ = ๐Ÿ’

3. Pembagian

๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ=

๐Ÿ.๐Ÿ+(๐Ÿ.โˆ’๐Ÿ)

๐Ÿ๐Ÿ+(โˆ’๐Ÿ)๐Ÿ+ ๐’Š

๐Ÿ.๐Ÿโˆ’(๐Ÿ.โˆ’๐Ÿ)

๐Ÿ๐Ÿ+(โˆ’๐Ÿ)๐Ÿ=

๐ŸŽ

๐Ÿ–+ ๐’Š

๐Ÿ’

๐Ÿ–=

๐Ÿ

๐Ÿ๐’Š

Page 4: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

4

Bidang Kompleks (lanjutan)

Sifat-sifat operasi :

1. Komutatif

๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ = ๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ = ๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ

2. Asosiatif

๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ‘ = ๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ‘ ๐’›๐Ÿ ๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ‘ = ๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ ๐’›๐Ÿ‘

3. Distributif

๐’›๐Ÿ ๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ‘ = ๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ +๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ‘

Bidang Kompleks (lanjutan)

Sifat-sifat operasi :

4. Identitas

๐ŸŽ + ๐’› = ๐’› + ๐ŸŽ = ๐’›

๐’›. ๐Ÿ = ๐’›

๐’› + โˆ’๐’› = โˆ’๐’› + ๐’› = ๐ŸŽ

Page 5: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

5

Bilangan Sekawan

Jika ๐’› = ๐’™ + ๐’Š, maka sekawan

dari ๐’› dinotasikan dengan ๐’›

dapat dinyatakan sebagai

berikut :

๐’› = ๐’™ โˆ’ ๐’Š๐’š

Jika dihubungkan dengan nilai

๐’› dengan ๐’› , maka bagian riil

dan imajiner dapat dinyatakan

sebagai berikut :

๐’™ =๐Ÿ

๐Ÿ๐’› + ๐’› dan

๐’š =๐Ÿ

๐Ÿ๐’Š๐’› โˆ’ ๐’›

Latihan 1

Diketahui ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ + ๐’Š dan ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ’๐’Š

1. ๐Ÿ‘๐’›๐Ÿ + ๐Ÿ๐’›๐Ÿ

2. ๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ

3. ๐’›๐Ÿ + ๐’›๐Ÿ๐Ÿ

4. ๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ+๐’›๐Ÿ

5. ๐’›๐Ÿ โˆ’ ๐’› ๐Ÿ๐Ÿ

6. ๐’›๐Ÿ + ๐’› ๐Ÿ๐Ÿ

Page 6: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

6

Bentuk Polar (lanjutan)

Bilangan kompleks untuk koordinat bidang polar (r,) dapat

dibuat hubungan sebagai berikut :

๐’™ = ๐’“ ๐œ๐จ๐ฌ ๐›‰

๐’š = ๐’“ ๐ฌ๐ข๐ง ๐›‰

๐’“ = ๐’› = ๐’™๐Ÿ + ๐’š๐Ÿ

๐›‰ = ๐š๐ซ๐  ๐’› = ๐š๐ซ๐œ ๐ญ๐  ๐’š

๐’™

r disebut modulus ๐’›

disebut argumen ๐’›

Jadi ๐’› dapat ditulis dalam bentuk :

๐’› = ๐’“ ๐œ๐จ๐ฌ ๐›‰ + ๐’Š ๐’“ ๐ฌ๐ข๐ง ๐›‰ = ๐’“ ๐œ๐จ๐ฌ ๐›‰ + ๐’Š ๐ฌ๐ข๐ง ๐›‰

Bentuk Polar (lanjutan)

Secara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik

asalnya (0,0), sedangkan merupakan sudut z yang diukur

dari sumbu x positif dan tidak terdefinisi pada z = 0.

Nilai prinsipil didefinisikan pada - < < , dikarenakan

sifat dari yang berulang, maka hanya digunakan nilai pada

selang tersebut.

Page 7: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

7

Bentuk Polar (lanjutan)

Untuk memudahkan dapat digunakan sifat operasi pada

bidang kompleks dengan :

๐’›๐Ÿ = ๐’“๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ + ๐’Š๐’“๐Ÿ ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ dan

๐’›๐Ÿ = ๐’“๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ + ๐’Š๐’“๐Ÿ ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ

1. Perkalian :

๐’›๐Ÿ. ๐’›๐Ÿ = ๐’“๐Ÿ๐’“๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ + ๐›‰๐Ÿ + ๐’Š ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ + ๐›‰๐Ÿ

2. Pembagian :

๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ=

๐’“๐Ÿ

๐’“๐Ÿ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ โˆ’ ๐›‰๐Ÿ + ๐’Š ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ โˆ’ ๐›‰๐Ÿ

Hasil operasi tersebut menggunakan sifat :

๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ ยฑ ๐›‰๐Ÿ = ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ ยฑ ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ

๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ ยฑ ๐›‰๐Ÿ = ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ ยฑ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰๐Ÿ๐’๐ข๐ง ๐›‰๐Ÿ

Bentuk Polar (lanjutan)

Contoh :

Diketahui ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ + ๐’Š dan ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ‘ + ๐’Š a. Tentukan modulus ๐’›๐Ÿ๐’›๐Ÿ dan nilai prinsipil argumen

๐’›๐Ÿ๐’›๐Ÿ

b. Tentukan modulus ๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ dan nilai prinsipil argumen

๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ

Jawaban :

Jika ๐’›๐Ÿ dan ๐’›๐Ÿ ditulis dalam bentuk polar :

๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐…

๐Ÿ’+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐…

๐Ÿ’ dan

๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐…

๐Ÿ”+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐…

๐Ÿ”

Page 8: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

8

Bentuk Polar (lanjutan)

a. ๐’›๐Ÿ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐…

๐Ÿ’+

๐…

๐Ÿ”+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐…

๐Ÿ’+

๐…

๐Ÿ”

= ๐Ÿ ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐Ÿ“๐…

๐Ÿ๐Ÿ+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐Ÿ“๐…

๐Ÿ๐Ÿ

Sehingga modulus ๐’›๐Ÿ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ ๐Ÿ dan argumen ๐’›๐Ÿ๐’›๐Ÿ =๐Ÿ“๐…

๐Ÿ๐Ÿ

b. ๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ=

๐Ÿ

๐Ÿ๐‚๐จ๐ฌ

๐…

๐Ÿ’โˆ’

๐…

๐Ÿ”+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐…

๐Ÿ’โˆ’

๐…

๐Ÿ”

=๐Ÿ

๐Ÿ๐‚๐จ๐ฌ

๐…

๐Ÿ๐Ÿ+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐…

๐Ÿ๐Ÿ

Sehingga modulus ๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ=

๐Ÿ

๐Ÿ dan argumen

๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ=

๐…

๐Ÿ๐Ÿ

Latihan 2

Jika diketahui :

1. ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ + ๐’Š dan ๐’›๐Ÿ = โˆ’๐Ÿ โˆ’ ๐’Š

2. ๐’›๐Ÿ = ๐Ÿ โˆ’ ๐’Š dan ๐’›๐Ÿ = โˆ’๐Ÿ + ๐’Š

Tentukan modulus ๐’›๐Ÿ๐’›๐Ÿ dan ๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ, serta nilai prinsipil argumen

๐’›๐Ÿ๐’›๐Ÿ dan ๐’›๐Ÿ

๐’›๐Ÿ.

Page 9: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

9

Bentuk Pangkat dan Akar

Dari hasil operasi perkalian bentuk polar dapat diperoleh bentuk

pangkat bilangan kompleks ๐’›๐’ yaitu :

๐’›๐’ = ๐’“. ๐’“โ€ฆ๐’“ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰ + ๐›‰ + โ‹ฏ+ ๐›‰ + ๐’Š ๐’๐ข๐ง ๐›‰ + ๐›‰ + โ‹ฏ+ ๐›‰

= ๐’“๐’ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰ + ๐’Š ๐’๐ข๐ง ๐›‰

Bentuk pangkat ๐’›๐’ dikenal dengan rumus De Moivre, yang dari

bentuk tersebut dapat diturunkan bentuk akar ๐’›๐’ yang diperoleh

dengan cara sebagai berikut :

Diketahui bentuk akar bilangan kompleks ๐’›๐’ = ๐‘พ.

๐‘พ mempunyai bentuk polar ๐‘พ = ๐‘น ๐‚๐จ๐ฌ ๐›ƒ + ๐’Š๐‚๐จ๐ฌ ๐›ƒ ,

sedangkan ๐’› = ๐’“ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰ + ๐’Š๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰ .

Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)

Nilai ๐‘น dan ๐›ƒ ini akan dicari berdasarkan nilai ๐’“ dan ๐›‰.

Dari bentuk ๐‘พ = ๐’›๐’ , dapat diperoleh bentuk ๐‘พ๐’ = ๐’›.

Dari rumus De Moivre ๐‘พ๐’ = ๐‘น๐’ ๐‚๐จ๐ฌ ๐’๐›ƒ + ๐’Š๐‚๐จ๐ฌ ๐’๐›ƒ = ๐’›,

maka didapatkan persamaan berikut :

๐‘น๐’ = ๐’“

๐’๐›ƒ = ๐›‰ + ๐Ÿ๐›‘๐’Œ k : bilangan bulat

Nilai ๐‘น dan ๐›ƒ bisa diperoleh :

๐‘น = ๐’“๐Ÿ/๐’

๐›ƒ =๐›‰+๐Ÿ๐›‘๐’Œ

๐’ k : bilangan bulat

Page 10: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

10

Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)

Jika dicoba memasukkan nilai k mulai dari 0, 1, 2, โ€ฆ akan

diperoleh bahwa nilai akan kembali periodik untuk k = n,

yang artinya :

nilai W akan sama untuk k = 0 dan k = n,

nilai W akan sama untuk k = 1 dan k = n + 1, dan seterusnya.

Karena diinginkan nilai W yang berbeda saja, maka :

๐›ƒ =๐›‰+๐Ÿ๐›‘๐’Œ

๐’ untuk k = 0, 1, โ€ฆ, n โ€“ 1

Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)

Jadi akar-akar yang dicari adalah ๐’˜๐Ÿ, ๐’˜๐Ÿ, โ€ฆ ,๐’˜๐’ dimana untuk :

๐’Œ = ๐ŸŽ โ†’ ๐’˜๐Ÿ = ๐’“๐Ÿ/๐’ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰

๐’+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐›‰

๐’

๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐’˜๐Ÿ = ๐’“๐Ÿ/๐’ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰+๐Ÿ๐›‘

๐’+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐›‰+๐Ÿ๐›‘

๐’

โ‹ฎ

๐’Œ = ๐’ โˆ’ ๐Ÿ โ†’ ๐’˜๐’ = ๐’“๐Ÿ/๐’ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰+๐Ÿ ๐’โˆ’๐Ÿ ๐›‘

๐’+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐›‰+๐Ÿ ๐’โˆ’๐Ÿ ๐›‘

๐’

Page 11: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

11

Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)

Untuk kasus khusus n = 2, yaitu akar bilangan kompleks yang

berbentuk ๐’›๐Ÿ dapat juga dicari dengan menggunakan persamaan

berikut :

๐’›๐Ÿ = ยฑ๐’› +๐’™

๐Ÿ+ ๐ฌ๐ข๐ ๐ง ๐’š ๐’Š

๐’› +๐’™

๐Ÿ

dengan ketentuan sign y = 1 jika y 0 dan sign y = 1 jika y < 0.

Rumusan ini diperoleh dengan menggunakan sifat :

๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰ = ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ๐Ÿ๐›‰

๐Ÿโˆ’ ๐Ÿ dan

๐‚๐จ๐ฌ ๐›‰ = ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ ๐’๐ข๐ง๐Ÿ ๐›‰

๐Ÿ

Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)

Contoh :

Tentukan semua nilai ๐’› yang memenuhi ๐’›๐Ÿ‘ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ

Jawaban :

๐’›๐Ÿ‘ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ โ†’ ๐’›๐Ÿ‘ = โˆ’๐Ÿ โ†’ ๐’› = โˆ’๐Ÿ๐Ÿ‘

(bentuk akar pangkat 3)

Bilangan kompleks โˆ’๐Ÿ memiliki ๐’“ = ๐Ÿ dan ๐›‰ = ๐›‘ , jika

๐’˜๐Ÿ, ๐’˜๐Ÿ, โ€ฆ ,๐’˜๐’ adalah akar-akar dari โˆ’๐Ÿ๐Ÿ‘

, maka :

Page 12: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

12

Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)

๐’Œ = ๐ŸŽ โ†’ ๐’˜๐Ÿ = ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‘

๐Ÿ‘+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐›‘

๐Ÿ‘=

๐Ÿ

๐Ÿ+

๐Ÿ‘

๐Ÿ๐’Š

๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐’˜๐Ÿ = ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‘+๐Ÿ๐›‘

๐Ÿ‘+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐›‘+๐Ÿ๐›‘

๐Ÿ‘= โˆ’๐Ÿ

๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐’˜๐Ÿ‘ = ๐Ÿ ๐‚๐จ๐ฌ ๐›‘+๐Ÿ’๐›‘

๐Ÿ‘+ ๐’Š ๐’๐ข๐ง

๐›‘+๐Ÿ’๐›‘

๐Ÿ‘=

๐Ÿ

๐Ÿ+

๐Ÿ‘

๐Ÿ๐’Š

Jadi akar-akar yang dimaksud adalah :

๐Ÿ

๐Ÿ+

๐Ÿ‘

๐Ÿ๐’Š, โˆ’๐Ÿ, dan

๐Ÿ

๐Ÿ+

๐Ÿ‘

๐Ÿ๐’Š

Latihan 3

Tentukan semua nilai ๐’› yang memenuhi :

1. ๐’›๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ๐’› + ๐’Š = ๐ŸŽ

2. ๐’›๐Ÿ + ๐Ÿ๐’› โˆ’ ๐’Š = ๐ŸŽ

Page 13: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

13

Turunan

Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk :

๐’‡ ๐’› = ๐’– ๐’™, ๐’š + ๐’Š ๐’—(๐’™, ๐’š)

Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil ๐’–(๐’™, ๐’š) dan

๐’—(๐’™, ๐’š) yang masing-masing tergantung pada dua variabel riil x

dan y.

Limit Fungsi :

๐ฅ๐ข๐ฆ๐’›โ†’๐’›๐ŸŽ

๐’‡(๐’›) = ๐‘ณ

Pengertian limit fungsi adalah untuk semua ๐’› yang dekat dengan

๐’›๐ŸŽ, maka nilai ๐’‡(๐’›) akan dekat dengan nilai ๐‘ณ.

Pengertian dekat dengan ๐’›๐ŸŽ adalah bialngan kompleks yang

terletak di dalam cakram buka dengan pusat ๐’›๐ŸŽ dengan jari-jari

yang sangat kecil.

๐’‡(๐’›) dikatakan kontinu di titik ๐’›๐ŸŽ, jika :

๐ฅ๐ข๐ฆ๐’›โ†’๐’›๐ŸŽ

๐’‡(๐’›) = ๐’‡(๐’›๐ŸŽ)

๐’‡(๐’›) dikatakan differentiable di titik ๐’›๐ŸŽ โ†’ ๐’‡โ€ฒ ๐’›๐ŸŽ , jika :

๐ฅ๐ข๐ฆโˆ†๐’›โ†’๐ŸŽ

๐’‡ ๐’› โˆ’ ๐’‡(๐’›๐ŸŽ)

โˆ†๐’›= ๐’‡โ€ฒ ๐’›๐ŸŽ ๐š๐๐š

atau

๐ฅ๐ข๐ฆ๐’›โ†’๐’›๐ŸŽ

๐’‡ ๐’› โˆ’ ๐’‡(๐’›๐ŸŽ)

๐’› โˆ’ ๐’›๐ŸŽ= ๐’‡โ€ฒ ๐’›๐ŸŽ ๐š๐๐š

Turunan (lanjutan)

Page 14: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

14

Turunan (lanjutan)

Contoh :

1. Periksa apakah ๐Ÿ๐’™ + ๐’Š ๐Ÿ๐’š mempunyai turunan? Jika ada,

tentukan turunannya!

2. Diketahui ๐’‡ ๐’› = ๐Ÿ‘๐’›๐Ÿ + ๐Ÿ๐’›, tentukan ๐’‡โ€ฒ(๐Ÿ + ๐’Š)!

Jawaban :

1. ๐’‡ ๐’› = ๐’‡ ๐’™, ๐’š = ๐Ÿ๐’™ + ๐’Š ๐Ÿ๐’š

๐’‡โ€ฒ ๐’› = ๐ฅ๐ข๐ฆโˆ†๐’›โ†’๐ŸŽ

๐’‡ ๐’›+โˆ†๐’› โˆ’๐’‡(๐’›)

โˆ†๐’›

= ๐ฅ๐ข๐ฆโˆ†๐’›โ†’๐ŸŽ

๐’‡ ๐’™+๐’Š๐’š+โˆ† ๐’™+๐’Š๐’š โˆ’๐’‡ ๐’™+๐’Š๐’š

โˆ† ๐’™+๐’Š๐’š

Turunan (lanjutan)

Jawaban (lanjutan) :

= ๐ฅ๐ข๐ฆโˆ†๐’›โ†’๐ŸŽ

๐’‡ ๐’™+โˆ†๐’™+๐’Š ๐’š+โˆ†๐’š โˆ’๐’‡ ๐’™+๐’Š๐’š

โˆ† ๐’™+๐’Š๐’š

= ๐ฅ๐ข๐ฆโˆ†๐’›โ†’๐ŸŽ

๐Ÿ๐’™+๐Ÿโˆ†๐’™+๐Ÿ๐’Š ๐’š+โˆ†๐’š โˆ’๐Ÿ ๐’™+๐’Š๐’š

โˆ† ๐’™+๐’Š๐’š

= ๐Ÿ (limitnya ada)

Jadi fungsi bilangan kompleks ๐’‡ ๐’› = ๐Ÿ๐’™ + ๐’Š ๐Ÿ๐’š mempunyai

turunan ๐’‡โ€ฒ ๐’› = ๐Ÿ.

Page 15: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

15

Turunan (lanjutan)

Jawaban (lanjutan) :

2. Diketahui ๐’‡ ๐’› = ๐Ÿ‘๐’›๐Ÿ + ๐Ÿ๐’› , jika ๐’‡ ๐’› diberikan dalam

bentuk variabel ๐’› saja, maka dapat diturunkan secara

langsung dengan aturan penurunan biasa.

Jadi ๐’‡โ€ฒ(๐’›) = ๐Ÿ”๐’› + ๐Ÿ, sehingga ๐’‡โ€ฒ ๐Ÿ + ๐’Š = ๐Ÿ” ๐Ÿ + ๐’Š + ๐Ÿ

= ๐Ÿ– + ๐Ÿ”๐’Š

Latihan 4

a. Tentukan turunan dari fungsi berikut :

1. ๐’‡ ๐’™, ๐’š = ๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ‘๐’™ โˆ’ ๐’š๐Ÿ

2. ๐’‡ ๐’› = ๐’›๐Ÿ + ๐Ÿ‘๐’›

b. Tentukan ๐’‡โ€ฒ ๐Ÿ + ๐’Š dari fungsi berikut :

1. ๐’‡ ๐’› = (๐Ÿ๐’› โˆ’ ๐Ÿ)๐Ÿ‘

2. ๐’‡ ๐’™, ๐’š = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐’š๐Ÿ โˆ’ ๐’™ + ๐’Š(๐Ÿ๐’™๐’š โˆ’ ๐’š)

Page 16: TKS 4007 Matematika III Fungsi  · PDF fileTurunan Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk : ๐’‡ = , +๐’Š ( , ) Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil

16

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!