Titre: Title: Hybrid finite element method applied to the analysis of free vibration of spherical shell Auteurs: Authors: Mohamed Menaa et Aouni Lakis Date: 2013 Type: Rapport / Report Référence: Citation: Menaa, M. & Lakis, A. (2013). Hybrid finite element method applied to the analysis of free vibration of spherical shell (Rapport technique n° EPM-RT-2013- 02). Document en libre accès dans PolyPublie Open Access document in PolyPublie URL de PolyPublie: PolyPublie URL: http://publications.polymtl.ca/2800/ Version: Version officielle de l'éditeur / Published version Non révisé par les pairs / Unrefereed Conditions d’utilisation: Terms of Use: Tous droits réservés / All rights reserved Document publié chez l’éditeur officiel Document issued by the official publisher Maison d’édition: Publisher: École Polytechnique de Montréal URL officiel: Official URL: http://publications.polymtl.ca/2800/ Mention légale: Legal notice: Ce fichier a été téléchargé à partir de PolyPublie, le dépôt institutionnel de Polytechnique Montréal This file has been downloaded from PolyPublie, the institutional repository of Polytechnique Montréal http://publications.polymtl.ca
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Titre:Title:
Hybrid finite element method applied to the analysis of free vibration of spherical shell
Auteurs:Authors: Mohamed Menaa et Aouni Lakis
Date: 2013
Type: Rapport / Report
Référence:Citation:
Menaa, M. & Lakis, A. (2013). Hybrid finite element method applied to the analysis of free vibration of spherical shell (Rapport technique n° EPM-RT-2013-02).
Document en libre accès dans PolyPublieOpen Access document in PolyPublie
URL de PolyPublie:PolyPublie URL: http://publications.polymtl.ca/2800/
Version: Version officielle de l'éditeur / Published versionNon révisé par les pairs / Unrefereed
Conditions d’utilisation:Terms of Use: Tous droits réservés / All rights reserved
Document publié chez l’éditeur officielDocument issued by the official publisher
Maison d’édition:Publisher: École Polytechnique de Montréal
M. Menaa, A.A. Lakis Département de Génie mécanique École Polytechnique de Montréal
Avril 2013
1
EPM-RT-2013-02
HYBRID FINITE ELEMENT METHOD APPLIED TO THE ANALYSIS OF FREE VIBRATION OF SPHERICAL SHELL
M.Menaa, A.A.Lakis Département de génie mécanique École Polytechnique de Montréal
Avril-2013
2013 Mohamed Menaa, Aouni A. Lakis Tous droits réservés
Dépôt légal : Bibliothèque nationale du Québec, 2013 Bibliothèque nationale du Canada, 2013
EPM-RT-2013-02 Hybrid finite element method applied to analysis of free vibration of spherical shell par : Mohamed Menaa, Aouni A. Lakis Département génie mécanique École Polytechnique de Montréal Toute reproduction de ce document à des fins d'étude personnelle ou de recherche est autorisée à la condition que la citation ci-dessus y soit mentionnée. Tout autre usage doit faire l'objet d'une autorisation écrite des auteurs. Les demandes peuvent être adressées directement aux auteurs (consulter le bottin sur le site http://www.polymtl.ca/) ou par l'entremise de la Bibliothèque :
École Polytechnique de Montréal Bibliothèque – Service de fourniture de documents Case postale 6079, Succursale «Centre-Ville» Montréal (Québec) Canada H3C 3A7 Téléphone : (514) 340-4846 Télécopie : (514) 340-4026 Courrier électronique : [email protected]
Ce rapport technique peut-être repéré par auteur et par titre dans le catalogue de la Bibliothèque : http://www.polymtl.ca/biblio/catalogue/
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1 1(1,3) ( cot ) Re( )sin
1 1( cot ) 1 Im( )sin
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11)sin
1 1(1,5) ( cot ) 1 cotsin
1 1(1,6) ( cot ) 1 Re( )sin
1 1( cot ) Im( )sin
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1 1(1,7) ( cot ) Re( )sin
1 1( cot ) 1 Im( )sin
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1 1(2,1) 1 ( cot ) cotsin
1 1 1(2,2) 1 ( cot ) Re( ) ( cot ) Im( )sin sin
1 1( )cot Re( ) ( ) cot Im( )
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1 1cot ) Re( ) 1 ( cot ) Im( )sin
1 1( )cot Re( ) ( ) cot Im( )
1 1(2,4) 1 cot ( 2) 12 sin 2 sin
1 1(2,5) 1 ( cot )sin
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1 1 1(2,6) 1 ( cot ) Re( ) ( cot ) Im( )sin sin
1 1( )cot Re( ) ( ) cot Im( )
1 1 1(2,7) ( cot ) Re( ) 1 ( cot )sin sin
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3
2 1 2 1(3,1) ( 1) cotsin sin
2 1 2 1(3,2) ( 1) cot Re( ) ( 1) cot Im( )sin sin
2 1 2 1( ) Re( ) ( ) Im( )sin sin
2 1(3,3) ( 1) cot Resin
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2 1 2 1( ) Re( ) ( ) Im( )sin sin
1(3,4) 1 2 cot 2 1 cot2 sin2 1 2 1(3,5) ( 1) cot
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2 1 2 1( ) Re( ) ( ) Im( )sin sin
2 1 2 1(3,7) ( 1) cot Re( ) ( 1) cot Im( )sin sin
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11 1(4,1) 1 1 cot cotsin
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13 2 2 3 2 2 3 32 2
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1 1(4,3) 1 cot Resin
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3 22
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1 1(4,4) 1 cot ( 2)( 1)2 sin 2 sin
11 1(4,5) 1 1 cot cotsin
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11 cot Imsin
1 11 cot Re 1 cot Im
1 1(4,7) 1 cot Resin
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1 11 cot Re 1 cot Im
1 1(4,8) 1 cot ( 2)( 1)2 sin 2 sin
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1 12 2 3 3 3 2 2 32 2
32
11(5,1) 1 cot cotsin
1 1(5,2) 1 cot Re cot Imsin sin
1 11 cot Re 1 cot Im
(5,3)
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11 12 2
212 2
1 1cot Re 1 cot Imsin sin
1 11 cot Re 1 cot Im
1 1(5,4) 1 cot 2 12 sin 2 sin
1(5,5) 1 cotsin
n n
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2 2
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2
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1 12 2 3 3 3 2 2 32 2
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1 1(5,6) 1 cot Re cot Imsin sin
1 11 cot Re 1 cot Im
1(5,7) cot Re 1sin
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( ) ( ) ( ) ( )
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2
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1 13 2 2 3 2 2 3 32 2
11 12 2
1cot Imsin
1 11 cot Re 1 cot Im
1 1(5,8) 1 cot 2 12 sin 2 sin
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
11 1 12 2
2 32 2
1 12 2 3 3 3 2 2 32 2
32
2 1 2 1(6,1) 1 1 cot 1sin sin
2 ( 1) 1 2 ( 1) 1(6,2) 1 cot Re cot Imsin sin
2 1 2 11 Re 1 Imsin sin
2 ( 1)(6,3)
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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
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2 2
22
1 13 2 2 3 2 2 3 32 2
2 11 12 2 2
12
1 2 ( 1) 1cot Re 1 cot Imsin sin
2 1 2 11 Re 1 Imsin sin
1(6,4) 1 2 cot 2 1 cot2 sin2 1(6,5) 1 1 co
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
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2 2
2 2
2
11 12
2 32 2
1 12 2 3 3 3 2 2 32 2
32 2
2 1t 1sin
2 ( 1) 1 2 ( 1) 1(6,6) 1 cot Re cot Imsin sin
2 1 2 11 Re 1 Imsin sin
2 ( 1) 1 2 ( 1)(6,7) cot Resin
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n
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n ne c e c Q e c e c QR R
n n n nQ e QR R
µ µ
µ µ
µ µ
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+ += − + ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 2
2
1 13 2 2 3 2 2 3 32 2
2 11 12 2 2
11 cot Imsin
2 1 2 11 Re 1 Imsin sin
1(6,8) 1 2 cot 2 1 cot2 sin
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In deriving the above relation we used the recursive relations:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
22 1
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22 1
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11 cot cot 1sin
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µ µ φ φ µ µφ φ
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References
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