Top Banner
S.SORIN - Théorie des jeux Yeganeh FOROUHESHFAR 28/10/2010 Les Duels S.SORIN - Théorie des jeux Yeganeh FOROUHESHFAR 1
35

Théorie des jeux : LES DUELS

Apr 08, 2016

Download

Documents

Théorie des jeux : LES DUELS
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Les DuelsS.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR

1

Page 2: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Sommaire

Introduction..........................................................................................Page 3 Duels bruyants avec une seule balle........Page 5

Duels bruyants avec plusieurs balles......Page 14

Duels silencieux avec une seule balle...Page 24

Les autres types de duel.................................................Page 35

2

Page 3: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Introduction

• Le duel est un jeu de «timing».

• Nos hypothèses :

- La probabilité que le joueur tue son adversaire en tirant une balle à l’instant t es où est une fonction croissante ( avec ).

- La fonction de paiement de ce jeu à somme nulle est l’espérance du gain (survivre) du joueur 1 (Bleu).

3

Page 4: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Introduction

Distance initiale «D»

• Gains :

- Si le joueur est le seul survivant : 1.

- Si les deux meurent ou survivent : 0.

- S’il est le seul à mourir : -1.

4

Page 5: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Duels bruyants avec une seule balle

5

Page 6: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Duels bruyants avec une seule balle

• Les joueurs disposent chacun d’un pistolet bruyant et d’une seule balle ainsi si l’un des deux a tiré l’autre l’entend.

• Après le premier tir le comportement optimal du survivant est donc d’avancer jusqu’à une distance nulle et de tuer l’adversaire.

• Une stratégie pure de Bleu est de tirer à l’instant x.

• Une stratégie pure de Rouge est de tirer à l’instant y.

6

Page 7: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Nous avons donc la fonction de paiement de Bleu:

Duels bruyants avec une seule balle

7

Page 8: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• On sait que augmente avec x et y donc on a :

• On peut diviser l'intervalle (0,1) en trois intervalles suivants :

Duels bruyants avec une seule balle

8

Page 9: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Ces intervalles sont non nuls, pour l’intervalle A on a :

• On en déduit :

• et :

• Donc pour l’intervalle A on a :

Duels bruyants avec une seule balle

9

Page 10: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• L’intervalle B est défini par :

• Qui montre :

• Et donc :

Duels bruyants avec une seule balle

10

Page 11: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• L’intervalle C est défini par :

• Donc on a :

• On en déduit donc :

Duels bruyants avec une seule balle

11

Page 12: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• On a :

• Où :

• De la même manière, on peut montrer :

• Où :

• Donc on a :

• C'est-à-dire que chaque joueur a une stratégie pure.

Duels bruyants avec une seule balle

12

Page 13: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Résumé du résultat :

• La stratégie optimale pour les joueurs est de tirer simultanément à l’instant . qui satisfait :

• Si Bleu utilise cette stratégie, il peut être sûr de gagner au moins :

• et Rouge perd au plus :

Duels bruyants avec une seule balle

13

Page 14: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Duels bruyants avec plusieurs balles

14

Page 15: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Les joueurs disposent de plusieurs balles. À l’instant t Bleu a m(t) et Rouge a n(t) balles.

• On supposera que les fonctions de précision sont :

• Une stratégie optimale pour chaque joueur est de tirer quand :

• mais le joueur qui a moins de balles ne tire avant que :

• la valeur de jeux est :

Duels bruyants avec plusieurs balles

15

Page 16: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Preuve par récurrence : pour m(0)=2 et n(0)=1 on obtient :

parce que

C'est-à-dire que le duelliste avec une seule balle préfère attendre jusqu’à l’instant quand l’autre va tirer. S’il est encore vivant, on sera dans le cas «duel bruyant avec une seule balle».

Duels bruyants avec plusieurs balles

16

Page 17: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Duels bruyants avec plusieurs balles

• La valeur de ce jeu est :

• Maintenant on considère le cas où les joueurs ont m et n balles.

17

Page 18: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

la fonction de paiement sera : [ cas avec m-1 et n balles] [cas avec m-1 et n-1 balles]

[cas avec m et n-1 balles]

Duels bruyants avec plusieurs balles

18

Page 19: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

si on aura :

Duels bruyants avec plusieurs balles

19

Page 20: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

si

on a

Duels bruyants avec plusieurs balles

20

Page 21: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Donc si les deux duellistes tirent en même temps le paiement pour Bleu va être plus grand que C’est pour ça que rouge ne préfère pas cette stratégie !

Duels bruyants avec plusieurs balles

21

Page 22: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• si

• dans ce cas on a

• supposons

• La fonction de paiement à Bleu sera :

Duels bruyants avec plusieurs balles

22

Page 23: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• comme

• Si Rouge tire avant Bleu la fonction de paiement a Bleu sera plus grand que donc Rouge ne préfère pas cette stratégie.

• On déduit que la valeur du jeu est :

Duels bruyants avec plusieurs balles

23

Page 24: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Duels silencieux avec une seule balle

24

Page 25: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Les joueurs disposent d’une balle chacun et de pistolets silencieux de sorte qu’aucun des deux ne sait si l’adversaire a déjà tiré ou pas.

• on supposera qu’ils ont la même précision :

• une stratégie pure de Bleu est le moment où il va tirer s’il est encore en vie :

• une stratégie pure de Rouge est le moment où il va tirer s’il est encore en vie:

Duels silencieux avec une seule balle

25

Page 26: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Le paiement à Bleu est :

Duels silencieux avec une seule balle

26

Page 27: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Ce jeu n’a pas de valeur en stratégie pure donc les joueurs doivent utiliser des stratégies mixtes.

• On suppose que Bleu utilise une stratégie mixe F , l’espérance de Bleu est :

• Il est pratique d’assumer que :

Duels silencieux avec une seule balle

27

Page 28: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Où une stratégie optimale pour Bleu est une fonction de densité, comme on va le vérifier .

• De la symétrie du jeu, on conclut :

• et on a pour tout y que est constant et égale à 0.

Duels silencieux avec une seule balle

28

Page 29: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• La valeur du jeu est donc :

• Qui est indépendant de y.

• On essaie de résoudre cette équation différentielle :

• où

• La solution est :

Duels silencieux avec une seule balle

29

Page 30: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• On substitue les solutions dans l’expression et on trouve :

• Maintenant on montre qu’une stratégie optimale pour Bleu et Rouge est de tirer à x avec la fonction de densité :

• Où :

Duels silencieux avec une seule balle

30

Page 31: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Et de ne jamais tirer avant :

• Supposons que Bleu utilise cette stratégie donc Rouge choisi un y entre 1/3 et 1 :

• Donc on aura :

Duels silencieux avec une seule balle

31

Page 32: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Et si Rouge choisit une stratégie :

• On aura :

Duels silencieux avec une seule balle

32

Page 33: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

• Résumé :

• Si Bleu utilise la stratégie mixte P(x), il peut être sur de gagner au moins 0.

• On peut aussi montrer que si Rouge utilise la même stratégie mixte, Bleu va gagner au plus 0.

Duels silencieux avec une seule balle

33

Page 34: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Précisions sur les duels silencieux :Dans les duels silencieux si les deux joueurs utilisaient des stratégies pures, ils pourraient prédire à quel instant l’autre va tirer, on serait alors dans le même cas que les duels bruyants ! C’est pour cela que dans les duels silencieux les duellistes utilisent des stratégies mixtes.

Duels silencieux avec une seule balle

34

Page 35: Théorie des jeux : LES DUELS

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Les autres types de duel

• Bruyants :- Avec une seule balle.- Avec une seule balle, fonction de précision arbitraire.- Avec plusieurs balles, même fonction de précision.• Silencieux :- Avec une seule balle, même fonction de précision.- Avec 1 balle contre 2 balles.- Bruyant / Silencieux avec une seule balle.• ...

35