Top Banner
Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu
340

TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

Feb 06, 2018

Download

Documents

HoàngNhi
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

Textbook of

Finite ElementAnalysis

P. Seshu

Page 2: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ������� ������ ���� �

����������������

������ �� ��� ���� ���� � �� ���� �� �� � � �������� ��� ���� ������ �����

�����

����������

Page 3: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

Rs. 250.00

TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSISP. Seshu

© 2003 by PHI Learning Private Limited, New Delhi. All rights reserved. No part of this book may bereproduced in any form, by mimeograph or any other means, without permission in writing from thepublisher.

ISBN-978-81-203-2315-5

The export rights of this book are vested solely with the publisher.

Tenth Printing � � January, 2012

Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus,New Delhi-110001 and Printed by Mohan Makhijani at Rekha Printers Private Limited,New Delhi-110020.

Page 4: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

Respectfully Dedicated to

My Parents and Teachers

Page 5: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������� �

�� ���������� � ����� ����������� ���������� �

����� �� ��� ��������� ���� ������ ����� ������ �������� ���� ��� ����� ��� �����!���� ������������������������ ���� "����� �������������� ���� ��

����� ��

�� ���������������������������������������������������������������������� �� ����� #���$ �!�%���!���� $�!&'�������������(�� ����������

)��� ��� �*��� �$��+�����#���$ �!�%���!�� ,#%-�� ���� �"�� #�.� ,/�� ���-�)������� $��#���$ �!�%���!��� ���� ��� (������������0������� ���1� ���2�#���$ �!�%���!�� �!�#�.

)���� *��3 �����45���� (�� ������� ���� )��� ���� ��� ���� ��� $��#�.� )��� ����* 6��4!���������7��)��� ������� �"��� 6��4!���������8� �������������� � 3������ ���������� ��

� ��������������������������!������������������"��������������� �� ## �� 9� ��!�� ��� ** �� )��� ���� �!�0������� ���1� ����)���� *� � ��������� ��� � �������� � �� �� �� ,����- �

� ��� �%����$:%� ;��� $�! �3

��������

Page 6: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ��������

�� �����45����(�� �����������)��� ����&)��� ������� ��� $�! "� ���� 7�� ����� � )���� �!� ����� $�� � ����� �� ��� � )��� ��� "� ���� 6��4!���������8� �������������� �7��!���� $��� ����� �� ���

)��� ��� " �3 ����������)��� ������� ��1� ���� "������ ���������� ��

$� %��&��������������������������'���"��� #( �$$��� +����� )���� ��� $�� �� � �� �� �� ���� �4! "<��� +������� )������� )��� ������� ��1� ���� <=�� �$��>�����7��)��� ������� < ��� �$��?�!� ���7������� �=�

����� 0� ����� ���� ��� �$��� )��� ���� �=������ ����� �� ����� �=�

��3 7�������� �����3�� ���� ���� ��� @�!� !����� �����3�� 0� ����� ���� ��� �$��� )��� ���� ��"��3� ����� �� ����� ��<

��* )��������� ��3��� 6��4!���������8� �������� � ������ ����������� ���

�� )*�&��������������������������'���"��� �$� � �3�� 9� ��!�� ���&0��������� �� ��� ����A�� ��33�� �������� �������+���� ����!�)��!�/��A� ��"

3���� �������$���4��!�!�������������� ��<3���� )���4��!�!� %�� ����� ����� �3�3��� ���4��!�!�������������� �3

3� @ ��� (���!�� ��� �!�(���!�� �� �������� ��� �3*3� �� � ��� ���� $�!�� ���0�������� �$��� )��� ���� �3�3� �� @ ���(���!�� ��&?�!�� �������� � �3<3� � @ ���(���!�� ��&������������� � �*�

3�� �4!� ����� �� ���� � ��� ��� ���$���� �*�3���� +�������%� ���� �*�3���� �$���4��!�!�������������� ���3��� )���4��!�!� %�� ����� ����� ��<3���� (��� �A�� �����0�������� � �"�3���3 )���4��!��?�!�� �������� � �" 3���* ���$ 4��!��?�!�� �������� � �""3���� @���4��!��?�!�� �������� � �<=3���" ���4��!��������������� � �<�

Page 7: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ���

3�3 @������� 9� ��� ��� �<�3�3�� ����;��!�%�� �<33�3�� �������B�� �C � %�� �<*3�3� @�5 ��:(� ��� )���� �<�3�3�� +���� ?�!� ���� )���� �<"3�3�� +���� ?�!� ���� ��� �5�� 0��������� �=�

3�* 9������� ���� ��� 7���!��� (��!� ���� �=33�� ��� �������� ����1���A������1� ���� �=*3�" �4!� )��!� )�5 ��=����� ����������� ���

�� �"������'���"����+�������������������� � � �($*�� 9� ��!�� ��� � �*�� /�A� �������A��� � �*� �1� ����� ����� ����7��!� ���#�.� )��� � 3

*� �� ����/�A� ��������%�! � 3*� �� ����������/�A� ���� ��� � 7�� � �

*�� �1� ����� ����� ����'�����>�����B��������$ ��=*���� )���� �������)��� ������� ��1� ���� ���*���� (����� �� ������ ������ ���� /������ ����� � ��3

*�3 (����� �� � �!� >����!������ ����� ��**�3�� 8%D�>���������$��� ���

*�* )������� )��� ������� ��1� ����� ����/�A� �������A��� �3 *�� ����� ������ ���� ��� ��������� �33*�" ��� �������������������A��� �3�

*�"�� �������� ���� 7��!� �� $�!� �3"*�"�� /�� ��� 9 �� ������ $�!� �*�

*�< ������� �/�A� ����������� � ���*�<�� ��!��������0����� ���*�<�� �$����!�� ��������� ���� ��$��� ��3*�<� 0���� � 9� ��� ���� �� $�!� ��<

*��= �$���� ������� �&'�� �!��8� � �������� ��� � ���4)�� �"<����� ����������� ���

,� '--����������.��-��� �(� /,��� )��� ������� �������� ���(��.�$� ���������/�A� ����� �<3

����� 7�������� ���!�� ���(��.�$� ������A� �<*����� %��� �� �!� 0��������� �<<���� 0������%�������������� =�

��� �������� ���� )��� ������� �������� ��� ����������/���� = ����� )��� ������� �)���� ���� ������������ ����>�!� =������ � ������������ ��� � ��������� /���� =3

Page 8: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� ��������

����������� ����������������� ������ ����������E�� � �F� �$����������� ��� � ���������/���� =<���E�� � �F� � ��� ��� 0������������� ��� � ���������/���� �=���E�� � F� 0������� ��� � ���� ��� )��� �����E�� � �F��� ��� ����($�����0������ � ���E�� � 3F�������� ��� ����A����0��. �*���E�� �*F�0�����������������7��!��� �����E�� � �F��$�������������� �� 9(��������(���!�� �"���E�� � "F� � ����� (����� � ��� �<���E�� � <F�0������� ��� �8�!�0��.�0�����%�!C#�� ��8�!������A� �<

�������� ������ �! ���"�#��$���� ��%����7��� � �������A� ��7��� 9� ���� ��� ��

�������� &�'���$" (����� )"�#��� ��� �$# ��*���+

,���� �������

Page 9: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� ������ � A��.�� $��� A���� 5�� ��� ��� )��� �� ����� � ������2� ���� �����2� A��.�� $���!�A��%�0��(��.2�0�����.����!���������$G�H�@��%�!!�G�I�H��7 $�G�6�(��D���.��5��;2I�������2� � � �� 9� $��� ��������� A����� �!� ����� $���� A��.�2� A� $� �� � � �!�� � �!� �� ��$������� �A��.�2�$�5����2������� � ���� ������� ��� $�!�,)��-��������������� ��������� � ���� �� $�!�� ��� � ��� ��� ������ ,����� 2� ���� �����2� $�� ����� A�� H�@�� %�!!�� �!8��A���-�� ������ 4!�� ���� ����� ��� )��2� $�5����2� ����� ����� � ��� ����� �� A��4���$���� �� ��� ������ ����� �$��� $�� ������� ��� ��� $�� ������ � A��.2� A��!� ��� ������ ����� �� ��$���� $�� ������� � 9�!��� 9�� � � �� ��� ���$������ ,99�-� 7��A�2� ��� �� ������ � )��� �� ������ ��� �� ���!�������� ����� ����� ��!������� ���1� �������$��������$��$��!����� $�� � �!�� � � A� ��� ������� ���� ��� $�� ��$��1��� �!� � �� 5�!�� ����� ��� ���� ������ )��� ������ � ����� ���2� A��!� ��� � ����� �� ��� � ���� ���2� ��� ��� !�������!2� �!� $���� 5������� ��� ���!� $����$�� � $�� A��.�

6���� $�� �� � ��5� ����2� ������ �������� ���� �!� ������������ ��� � � ��� ��� 9�!�� $���� ��!���!� � ���4����� ��� ������� ��� ���� �� ����� ��� $�!� � $�� ������� ��!����!� �� �����$��� ���������� �!���� $���A��.��������� $����A��������� ����$����������������5��.�!4�� � ������2� !�5�� ����� $�� ���!�� ��� � ��� ��� ���$����2� $� � ������� �!� ���!� ��52��� � �� $�� ����� � � ������ ��� ����� ��� $�� ������� ��� ��� �� � A����$ � �� � $����$� ��������A������ � $�� ���� ���2� �����J���A���� �� ����� �� �K������� � $�� ��!���� ��$��$� ����������� $�� � �!�� � �� $��.� A����!� 5$ � $�� A���� ������ �!� ��� $�� A��.�

)��� ��� � ��$��1��� ,�������� ��-2� �!� $�� ������� ������� ��� A�� � �� ���!� A� ��� ���� �$������� ��4���� ���A�����#$��� ��$���� $�� ������� � 99�� 7��A�2� 9� $������������� ���!� 5�� ����� ��� ���� ���E�� �� ,�������� $����$� $�� ����� ��-&���� 5$���� ���4��4�������A��������!��!��������������������� ������� ���������� 5����!� $�� $���5$���� $��� �!�� � ��� �� ��!������$����5����!���!�������� $��������������� �� 4A��.� ���� ���A����� ����� ������ ���� $�� ������� ��� ������ �!� ��������!����� �!� � ������!�� ��� ������ ��������!���(� ���� ������� ���2� ����4��!��1�!�� ��� ����� �

9� �� ��!�A �!� �� 99�� 7��A�� �!� ��� �������� ,�� �����2� ������� (�� ���� $27$� � �� $2� �!� I������ 9���-� ��� $�� ���$���� ������������ 0��� ��� � ���� �����!���� �������� 5��.� ���������� �� �$�� ������� ������ � �����!�!� A�� $�� ?�� �� 9���������

�����

��

Page 10: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ��������

��������� ,?9�-� � 99�� 7��A�� ���� $�� ����� ���� ��� $�� �������� � ��� �� �����.��5�!��!�

���� �!�� ��������+����2�/�����$�%E2�+�����$��2�I� �.�����������!�/�I��+�� !�!������!�!�E�A�A��� �!������������ $����$� $���� ������������ ��!���������� $������� ���!� ��������� ������ ��� 9� �� ��� $�.��� ����� � �!�� � ��.E� >��� �� ���� ���� ������� ���� ���� $�� !������ !�5�� �!� ������� �!������� ���� .������ ��� $�� 5$��� �������� �� 95��!��.�� �� $�.����5����'���!����� �� E�5����������!��.� ����� $������� ������������ � �!� ����������� �� ����� ���� ��� $���������� � ��.� ������ $�� 9� ����� �!� �!� 9���� ���� �����5��������$���������� ���������!� �� $���������!��)���2� 9�5��$� �� $�. $����A��$���2��89�>������& $�������2��!� �����!����!�� ���� ��&����� ��� ����������� $���$�!�������� $���������� ��!������ �������������������

��� ����

�����

Page 11: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����������

��������������������� ��������������������������������������������������������������� ��� ������ ������������ ����� ��� � �� ������� ��� ������� ��� ��� ������� ��������� ������ ! ���� ��� ������� ���� �� �� ���������� ��� ����� �� ���� ��� ���������� ������� ��� ��� ������������������ �� � ����� ���� ���������� ������� ����"� ���� ��������������� ����� ���� ����������� �������� ����������������������������������� �#���������������������������������� �� ��������� ��������� ��������� ������ �������� ��� ������������ ������� ������ � �� ������� �������� �� � $ �� ������ ��� ������� ������� ������� �� ������ ��� ���� ������ ��� ��������� ������ ��������� � %��� ��������� �������� �������� ��&���� ��� ���� ������"�������� ���� ���������� ���� ��� ������� ����������

�������� �������� �� ���� ��������� � ������������ ������� ��� �������� � �� ����������'������"������������ ����������������������������'������ �! �������������������������������������"���������������������������������������������������� �����'����������������������������������������������������� �$ ������������������ ������%����������������������� �� ��� ��� �������� ��������� ���������� ���� ������ ������������ �'������� ��� �� � ����� ���������� ������ ������������ �'������� ����� �������� �'������"� � �� � ��� � ��� ������ ������ #��� ��� � �� &��� ����� ����� ��� ������� ������� ���������� ��� ���� �������(

� #����� � �� ��������� ���� � �� ������ ������� ������������� � � ���������� ����������� ��� ���������������'������ �����&����"������������� ��������������� � ��� � �$ ������ ��������� ��� � ����� ��� � � �� � �� �������� ����������� ��� ��������

� $ ���������������������"����������"������������������ ���������������'��������������� ������ � � ����� �������� �������� �� � �� ������ ��� ���������� � �� ������������'�����

� )�� ������"� � �� ����� �������� ������ ���� ������ ��� ������ ��� ��� � �� ����� �������� ��� ������� �������� ��� *���� ������ ��� �!�� ��� � ����� ��� &�� ��� ���� � �������� ������� ��� ��� � �� ����"� ���� ��� ������� ��� ������� � �� �������� ����� ���"� ������ �����"� ����� � �� ������� ���� � $ ��"� ��� �������� ���� �� ��� � ������������ �������� ����� � �� ������� ����� ��� ��������� *���

CHAPTER 1

Page 12: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ����������

� $ �� ������� ��� � �� ������ ����� ��������� ��� ��� �������� ��� �&���� ��������" �� ��� ������ ����"� ���� � �� ����������� ������ �������� ��� ��� ���� ������� ������� �������� ���� ������� � ����"� ���� ������� ��������� �������"� � ������� � ����������������� ����� ��������� ����� ����� � �� ������� ����� ���������� � �� ������������������ ��� ���� � ������� ��& � !�� � �������� ������� ��� ��������� ��� � ����� �� ������� �������� ������� ������ ��������� ��� ���� ������� ����������� � ���� ������ ����� ��"� �� � ����� ��� ��� � ������� �������� �������

� $���� ���������� ����� ��� �� � ������� �������� �������� ��� &����� �� ������� ����������� ����� �� � $ ���� ��� �������� ��� � �� ���� ��� ������������� ���������� ����� �������������� ����������� ������������������������������������� ���� ���������������� ����� �� ������� &��� ������� ������� � �� � ����� ��� � �� ������ � $������ �������������� ����� ��� ������� ������� ������� ��� � ���� ��� ������� + +

���������� ���������� � ��������������������

���� ������� ���� ����� �

��

��

��

��

��

��

��

����

��

��

��

Page 13: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� !�� � � ���� � ��� ���������"� � �� ���� ���� ��� ��� � �� ����� �������� ��� � ������ � ����� ������� ��� � ��� ������� ��� ��� ���� ��� �������� ��� ������ � ����� ���� ��� ���� � �� ������� ����

� ���� ��� �������� ������ � �� ��� � ��� ���������"� � �� ����������� ����� ��� ����������"� � ��"� ���� �� � �������� ���������� ���������� ������ ����������������� $ ���� � ����������� ������� ���� ������� ������ ��� �������� ��� �������� � ������� ����������������������������������������� ����,#-#"�,�#$.�,"�)/��#"���� $ ����������� �������������������������� ����������� ����������������������������������� �$ ������������������������� ��� ������������������������ ���������� � ������� � ������������ � ��������� ���������������� � ������������������� � ������� ������ �'������

$ �� ����� ������ ��� ������� ������� ������"� �� ��������� ����"� ��� '����� �������� ��� ������������������������0����������� ����������������������� �������� ����������"�������������� ��� �������������� ������"� ������ � �� ���������� ������������ �'������ ��� ����������������� � )���������� � �� ��������� ��� � �� ����������������������������� �'������"� � �� ������������� ���������� ���� � ��������� ���� ��� ������������ �'������ ��� ��� ����� ��� ������ � �� ��� ������� � ���� �����"� � ������������ �'������ ��� � �� ����

2

2 0d f

AC qdx

+ =

����������

���� �� �� ���� ���� ����� �

��������������� ����� �

� � �

����� ��� ���� � ������� � ������

Page 14: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ����������

���������� ���� ���������� ��� � ���� � ��� ��� ���� � �� ����������� � �� �� ����������� � �� ������������"� �� ����������� � �� ���"� ��� �"� �� ����� ���� ��������������� ��� ��� -����1�������"� ������������ �$ �� ����'�����"�� ��� ��������������� � � ������������� � �� �� ��������� ���������"� �� ����������� �������� ��� ������� ��� �"� �� ����� ���� ��������������� ��� �������������� ��� � ���� ������������"� ������������� ����� ��� � �� ���������� �'������ ���� �������������� ��� ���������� � $ ��"� � ������� ������� ���������� ���������� ���� � �� ���������������� �'������ ��� ��� ������� ����� ��� ������ ��� ��� ��� � �� � ������ �������

#������"� � �� ���������� �'������� ��� ���� ������� ������� ��� � �� ���� ����������� �� �� �� ����� ��� � ���� �����"� ��� �������� ��� ���������� �� ����"� � ��'��������� ������������� ��� � �� ���� � �� ���������� ��� ��� � ������ �� ��� ����� � ������������� ���������� ��� ��� ���������� ������� ���� � ������� ���������� ��� � ���������"� �� ��� �� � ������������ �'����� � ! ��� ��� � � �� ����� ��� ������� ���� � ������ ������"� � ������������� �'������ ��� ���������� ����� ��� �'�������� ��� ��� ��� �������� ���� �� � �� ��

$ �� ������� ������� �� ��� ����������� ����� ��� �� � ����� ���� ���������� �� �����������"������������������� ��������� ����������������������� �! ������� �������� �������� �������������������������������������������������������������� ���������������������"�����"���� "� � ������� ��������������� �� ��� ��� � ������������������� � ���� ��"������������������������������������������������������������ ����������� �)����������� �� ��� ����� � ������ � ������� ������������ ��� � �� ������� ������ ��� ������� ������� ������ � )�� � �� ������ � �� ������"��������������� � ���������������������������������������������� �������������"� ������ ��� ������ �������

!�� ���� �������� ������� ������� ��� ���������� ��� ������� ������� ������� ��� ���������������"� ��� ����� �� ��������� ��� � �� ����������� ��� � �� �� �� � 2��� ���������� ��������� ����� ���� � �� ������� ��� ���������� �� ����"� �������"� ����������� ���������"��������������"� ���

��� ������ ����� ���� ������

����� ���������� �������

)�� � �� ����� ����� �����'��� ������������"� � �� ����� ������� ��� ���������� ��� � �� ���������� $ �������"� � �� ����� ������ ��� ���3������ ��� ���� ���� � 4����"� ��������� ��� ������� ��� � �������� ������ ��� ��� �������� � ������� + 5� � ���� � ��� �� � ��� � ������ ����� ���� � �� ���� ������ � ���� ���� �6��������� ���� ������ ���� ������� �� � �������������������������� �� ������������������������� �������� ����������������+7"888�'����������������������� ������������ ��������������������������������"��������������������������"���������������������� �$ ���� ������� ������� �� � ��� ���� ����� ���� ��� � ������� ������ 9#�/-,�� �������

��� ��������� ������� ��������� ����&� ������������ ������� ���������� ��� ������������������ ��� �� ��� ��������� ���� � )�� ��� ��������� ��� �������� ��������� � �� ��������� ��� � ���������� ��������������� ����������������� ������������������ ��������+ 7�� ����� ������� ������������� �� ���� �������� ����� ��� � ����� ��������� �������� ������� ������� ��������� ����& � #�� � ����� ��� ����� ��� �������� � �� ������ ������ ���'�������� ��� ���� � ���"� ��������� ������������ ��� ��������"� ���

Page 15: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ��� ������� � ������ ���� � �������������� ��� � �� � ��!� ��� � ��� ��� �"����#� ��� � � � � ����������� ����� � ������

����� ��$ ������� � ������ ���� � ��� ��� �"������%�� ������� � ����!� # ��&������������ �������� �� �������� ������ ������

�������� + : ;+ <� � ��� �������������� ������� ������� ������ ��� ������� ���������� ��� ���������� � ���� � �� ����� ��� ����� �������� �� ��������� � ���� � #�� � � ����� ��� ��� �������� ��������� � �� ������ ��������� ��� � �� ������� ���������

���� �!�� �����"#�$� ��

Page 16: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ����������

���� ��' $(�� ������� � ���������� � ��� �� �!��&� ��������������� �������� �� �������� ������ ��$%���

����� ��) $(�� ������� � ������ ���� � ��� �� ���!#�*������������ �������� �� �������� ������ ��$%���

����� ��+ $(�� ������� � ������ ���� � ��� �� �����!����� ������������ �������� �� �������� ������ ��$%���

����� ��, $(�� ������� � ������ ���� � ��� �� !��!� �* ������������� �������� �� �������� ������ ��$%���

!

"

"

!

Page 17: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

#�$ ���� &� #�$ ���� &� #�$ ���� &�

����� ��- ������� � ������ ���� ���� ��� �� �� ������� !������ ��� �� � ���!��� � � "������������� �'((��� ������

����� �����������������������������

�������+ =� ��� �� ������������ ������ ���� �� � ������� ������� ������ ������������� ���� ������������� ��������������������������� ����������� ���������������� ��������� �$ ������������������������������������������������� ������������ �� �4������"��������������������������� ������ ��� ������������ ��� �������� � $�� �������� � ��� ����������"� � �� ��������� ��� �������� ����������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ������������� � � ��������������������� ��� � ������� �������������� ���������� � $ ��� ����� ��� ����� ���� ���� ��� ������� ��� �����*����� ��� � �� �������

������� + >� � ���� ������� ������������� ��� � ������� ���� ������ ����& � �� ������������� ����������������� ���������������� ������������������������������������������������������������������������������ �$ ������������������������������������������������� ���������& ���7���� ����� ��������������������������������� ���������������"�� ������������ ���������� ��� ������"� ��� � �� ����� ���� ������ � $ ��� ���������� ��� ���� ��� ����� ��� � ���� �� ����������� ����������� ��� �� ��� �������� � ���� �� � �������� ��������

���� �!�� �����"#�$� ��

Page 18: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ����������

Central core

Broad face

Narrow face

����� ��� ����� ��� �� ����� ��� ������ ���� ���� ��� �������������� �� �� ������

����� ������������������������������������ �������

�������������������������������� ���������������*���������������������������� �� ��������'������� ��� �������� ��������� � �� ������� ��������� ��� �������������� ��� ����� � ��������������������������������������������������� ����������������"��������� ������������� ��������� ��� ��������� ���������"� ��� ���� ��������� � $ �� ���� ��� ��� ������������ ����� ����� ����� �����������'��������������������������� �� ������������������������������������������� ��������� ��� � ���� ��� ������� + +8 � ��� ������� ��� ����� ��������� ��� ��������������������������������*���������������������������������� �������������������������% ����������� ������������ ������������������������������+ ++"�� ������������������������� �� ����� �������� ������� ��� ���������� ����������� ����� ����������� �� � �������� ����������

Page 19: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

$ ���������������������� ���������� � ���������������������� ���������������������������������������������������������������� ������� ����������� � ����������� �$ �������������� ����������������� ��������������+ +5������������������������������������������?-������ ��� � �� � � ���������� ������ ������� ���������� ��� � �� ���������� ���������� �������� � $ �� �������� � ��� ��� ������� ��� � ��� ����� ������ ����� ����� � ����� � �� � ���������� �� 588@� � $ �� ���������� ���������� ����� ��� �������� � �� ����� ����� ��� � �� �������� �� �$ �������������������� ���"������������ ������ ������������������������������������ �� ��'������ � ��� ��� � �� ������� ����

%����&�� �$����� �

'� (���� "� (���� )� (����

����� ���� ��� ���� ��� ���� �"!!����� "����� �.���������� ����������� ������ ������ ������� ���������� ��� ���������� ��� ���

����� ���� ����� ������� �������� ������ ��� ������ ��� ����� ������������ ����������� ������ ������ ������� ���������� ��� ���������� ��� ���

*+�,�����&

�����

�+�,�����&

���� �!�� �����"#�$� ��

Page 20: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ����������

$ �� �������� ��� ������ ��� � �� ����������� ��� ������� ��� '����� � ��������� ��� ��� ������ ���������� �������� �������������� ��� � �� ���� ���� � �������� ��� 7A� �� �������� � ������������ �����"� ���������� ����� �������� ������� ��� B5��"� ��� ����� ��� �� �������������� A� �� ��� ��� � �������� ��� ��� <8� � �� <8� ������������"� ��� ���� �� ��� ������"� ���������������C;+5�����������������"��������������� ������� ����� ���������5� ���=��������� ������� ��� 58� ��� <A� �"� ��� ��������

#����� � ���������� ���� ��� �� "� � �������� ���������������������&���������������+7 �������+78�D�������� ��?-����� �$��� ���������������������������� ����B5�E"�� ���������������������������� ��������� ���������������� ���8 +������ �4����� � ���������� ������������� �� ���������������������������������������� �$ �������3����������� ����������������������������������� ����� ��������������+ +7����� ���������� ������������������� � �� ����� � �� ������� �������� ���� ��� � �� � ���� ��� ��������� ��� ������� + +:

$ ������������������������ ������������������������������������� �$ �������������� �� ���������� ����������+ +A�� ������������ � � ����� ��� ����������� � ������������������ A� &�� ��� ��� ����������� ����� � $ �� ����� ��� ��������� ���� � ��&� ����������� ��� ����+78� D�� � ���� ��"� � �� ������� ������ ��� ����� ��� � ������� ������������� ��&����� � ������ ��� � �������������������������������� �� � ������������������������������� �� ��������� +5� ����� �������������� ���� ������ � 4����� � �� ������� ������� ������� ��� �� �������� � ��������� ���'�������� ��� � �� ���� � ���� ����� �������� �$ ��� ����� ���� ��� � ������� � �� ������ ��������� ��� � ���� �� � ����"� &��������� ��� � �� ���� � ��� ����� ��� ������������ � �

X & Y motors

Elevator

XY Table & BH Assembly

Power supply

Base

Heater Block Assembly

Work Holder

Isolator

X & Y motors

Elevator

XY Table & BH Assembly

Power supply

Base

Heater Block Assembly

Work Holder

Isolator

����� ���� �� ��� ���� � ��� �� /�!�� #����!� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������

!� ���� "� �� ��

*�� ����$-������.

'���

��,�� �/((.

!"� ����� 0� '*������.

��1� �

2�-�����

3��� �

Page 21: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ���$ ������� � ������ ���� � ��� �� /�!�� #����!� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������

����� ���' ������� ����� � ��� ���' 01�� ��� /�!�� #����!� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������

���� �!�� �����"#�$� ��

����������� �

��������� �

Page 22: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ����������

��&����� ��� � �� ������� ���� � �� ������� �������� ���'������� � $ �� ����� ��������� ��� � �������&��� ���������� � �� � ���� ������ ��� ��������� ���������� ��� � �� ���� ��� ��� ����� ������ $ ������������������������������������ �� ���������������'������������������� �������������������������� �� ����������������� �������������������� ��������� ��������������� ����� � ���� ��� ������� + +C

����� ���) ������� � ������ ���� � ��� �� ���(�*��� ��# �������������!)������������� �����������)�*�������

'���

���

������$-�

����

+

!"

4/��.� ���

Undeformed model

Deformed model

Undeformed model

Deformed model

Fn=296 Hz Fn=584 Hz

Undeformed model

Deformed model

Undeformed model

Deformed model

Undeformed model

Deformed model

Undeformed model

Deformed model

Fn=296 Hz Fn=584 Hz

5�������������

4�����������

5�������������

4�����������

,�� 6� 789� *:,�� 6� �;<� *:

- .

+

����� ���+ ���"!� � �!�2"������� ���� ����� � ���� ��� ���(�*��� ��# �������������!)������������� �����������)�*�������

����� ��������� ���� ����� �

���������������� ����

Page 23: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��������������� ���������� ��������� �)��� ��� ���������������� � �� ������������������������ ������ ���������������� ���������������������������������������������������� ���������� )��� �� �$ ����������� ����������������� ��������������������������������������� �$ ���������������������������������������������"�� ����� ����������������������� � �� ����� ������ ������������ ��� � ����� ���� ������� ������������� ���������� ��� ������� �� ������������'��������������������+88��������������������������� ���������� ������� ����� ����"� ��� �� ��� ����� ��'���� ����� �������� ��� ��&� �� � �� �������� � 4�������� ������ ��� � �� ������ ��� �������� � �� ��� ��������� ���� ��������� � �������� ����������� ������� ������������� +<A@� �#�� � �������� ���������� ����������������������������� ��� ���� ���� � ����� ����� � �� ����� �������

�� ������� ������� ������� ����� ��� � �� �������� ������ ��� ����������� ��� ������� + +< � $ ����� ��� ������ ����� �������� ��� ������ ��� � ������� ������� �������� ��� ������ ��� ��������������� � �� ������� �������� ����� ��"� � ���� ������� ��� � ������� ��� ���������� ����������� �� �������������������������� � ������� ������� �.������� ���� �������� � �� ��� ������� ��� � �������������� ��� � �� ������� ����������� ��� �������� ��� �������� ������� �� ����������� ���������� ��� � �� ���� ��� � �� � ��� � F��������� ��� � ���� ��� ������� ����� ��� ��������� � ������� ��� ������ ��� � ���� ��������� �� ����� �� � ���� �������������� �����

����� ���, ������� � ������ ���� � ��� �� ��" ����� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������

��(� �� ��

��(� =��

'� ��� =��

'� ��� �� ��

�/������/��

��� �$ � �/��$��� ,�������� ��$��

���� �!�� �����"#�$� ��

Page 24: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ����������

����� ���- ���� � ���#��� ��!�!���������������!�������� �(��� ��$����!*�����/��*� �����

����� ����� ����� �������

)�� ������� �������� ����������"� ������� ������� ������� ��� ����� ���� ������� ��������"� ��* "���������� ������� ���� ������ ���'�������"� ���� � ���"� ��������� ������"� �����������������������"������������� ����������"��������+ +=�� ����� ���������������������������

����������������)��� ��������+ +>�������������������������� ������� ��������������������������������������������� �$�������� ����������������"����������������������������* "����"� ��� ����"� ����D� ���"� ��� �� ��� ����

������

��������������������� �����������������������������������������������������������"�������������������������������������������������������������������������������������������� ����� ������� ��� ������ � $ �� '�������� � �� �������� ������ ��� ��� � ������� ��� ��'��� ��� ��������������� �������������������������������� �2��������������*�� � ����������� ��� ��� ������������������������ �����������������������������"� � ��������������������'������� ��� � �� ���������� �����������"� ��� ����*�� � �� � ����� ��� ������ � ���� ��� ������������'������ ��� ��� ����� ��� ������ � �� � ��� ������� � F��������� ��� ������� ������� ����������� ��� �������� ������� ��� ���� ����������� ���(� ��� ��� ���������� ���� ��� �������� �������"� ����� ��� � ������� ���������� ���� ���� ��� ������ � ��� � ��� ����� � $ ��� � ��� ����� ��������� ���� ������� � �� ��������� ���������������� ��� � �� ������������� ������� ��������� ��� ��� ������ ����

Page 25: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ���3 ������� � ������ ���" ������ ��� ����!������� ��� �� ���� � ���#��� ��!�!���������������!�������� �(��� ��$����!*�����/��*� �����

)�$$���

Page 26: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��

��� ��������� �� �� ���� ��� ��� ����� ���� ������ � �� �� ������ ��� � ���� � ����� ���������� �� � ������ ������ ��� ����� ����� ����� � �� �� �������� �� ��� ��� ��� ������ ����� �� ��� � ��� ��� �� ������ ���� ��� ���� ������� ������� ��������� ���� � ������������ ������ ������ � ��� ����������� ��� ��������� �� �� ������ �� ���� ���� ��� � �� ��������� ��� ��������� �� �� ���� ���� ��� ���!������ ��" �� �#$������� ���%� � � ������ � � ��� ����� ��� ������ �� �������� ���� ������ � ��� �� ��������� ��� � ���� �� � �� ����%�� ������ ��� � �� � ������ ��������� ��� ��� ������ ��� ������������������ ��&� ��� ����� ��� �� ����� �� ���� �� ������� ���� ������ � ����'�� ��������� ���������� ���� �����

���(������)���� �� ()%���������� ���������� ����������� ����'�� �������������������� ���� ��������� ������ ������* ��&��(������)���� �������� ������������������� �� ����� ��� ����� ���� ����� ��� ����� $��!���� ��� �� ������� ����'�� ���� ��� ��� &� ����� ��� ���* ��&��������� ����� �� ������� ������ ��� � ���� ��� ��� ����� ���������� ���� �� ���������������� ������ �������� ��� �� ��������� ����� �� ������� ���� * ��&�� ����� ��� ��� ������� ����� �� �������� ����� � ��� ��� ��� �� ��������� ��� �������� ��� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� ���(������ ��� �������� ���� &� ����� ��� ��� ��� +� ����� �� ����� ����� ��� ���!���� ��� �� ������� ����'�� ���� ������� ���� ������ ��� ��� �� ������������ ���� ������������ ��� ���� ������ ������ �������� � ������ ����� ������ ���� ��� ��� ����� ����������

��� ������� �������� ��������� ��� �� ������� ��������������� �������

"������������ ��� ������������������ ��������������������������� �������� ��� ���� ��� �� � ���������� � � ������ �� ��� ���%������� � �������� ��� ��������� ���� ����������� �� ��� ���� ��� ��� ,��� ����� ��� ������ ����'�� �� �������� ��� ������� ��� ����� �������� ��� ��� ��������� ����-

���������������� ����������������������������������������� ������

CHAPTER 2

Page 27: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������ ������ �%�����������������������+���' ��������� ��!������ ��������� �� � �� ������ � ��� �� �������� �

� �%� .� �� /� ��� /� ���� /� 0 1��%

� ���� ���������������� ������������ ��������������������� ���� ������������ ��� �� �%� ��� ��� ���� ��� ��������� �� �%�� 2�� ������������ ��� ������������������������ ���� ���� ��������� �������������������������������� ����� �� � �������� ���� �� ����� � ��� ���� 3��� �� ����� �4� �� 3���� ������� �4%�

� 5����� ��� �&��� � � ����� ��� ��� ���0%� �� ��� ������ ��� �� ������� ������ � � �� �� ��� � &� ���� ����� ��� �� ���� �� ��������

�� ��� �������� ��� �� � � � &� ��� ��� �� �� ���� ��� ����� ��� ����� �� ��� 6����������������� ��� ��� ' ��� �������� ��� ��� ������� ������� �� �� ����� '���� ��� �� � � �� ���� ���� �� �������� ��� ��� ������� �� � ��� ��� ���� ������ �� ���� ������� � ������������ ��� �� � ����� ��� ���������� �� ���� � � ������ ����� �������� ���� ��� ���� ��������� ��������� ���� ������� � �� ������ ������� � ��������� ��� ������ ��� ��� ���������� �� �� ����������� � ������ ���������� �� �� ����������� ������� ��� ��������� ���������������6������� �������� �%�� ���������3���� ������������4����� ��� ������������� �� ��� ���� ��� ���� ������ ��� ����� ��� ����� ��� ����� �'��� ��� ������� ��� � �� ���� ��� �� � ��� �'��� ���� �� ���� ��� ����� �������

(� ����� ��� ��� ��������� ������ ' ���� ��� ������� �� ��� ���� ������ ��� ����� ����'�� �� ��������� ���������� �� �� �����

������� ��� ������� � ������� ���� ���7���� ��� � ������� '� �� �� �� �� ������� ��� �+����� 1���� ��� � � �� � ����� ����� �� �� ��� ����� ���� ��� ��� � �� ��� ������ ��� ��������� ���� ���

����� ��� �� � �������� �� ������ ����

2

02 0

d uAE q

dx� � 1�1%

����� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� 8�� = 0.x L

du

dx =

��

������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��

Page 28: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

"������������ � ����'�� ���������������������������������������7�������������

����� �� ��� �� �� ������ ��� ����� �������� "�

�%� �� � �%� .� �� /� ��� /� ��� 1�9%

���� ��� ���� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �������� �� ����� ��� � ������ ��� ������ ���� ���������� �� �� � 8%� .� 8���� � �� �� .� 8�� ��� � ������ ��� ����� ���� ��� ����������� � ��� .� :1���� ����� �� ��� � ��� ���� ���� ��� �� ��������

� �%� .� � ��� :� 1��% 1�;%

<��� ��� ��� �� �������� ��� ��� ���� �� ��� � � ���� ��� ��� ��� ���� ������ ��� �� � 3�!� � ���� �������4�

����� �� ����� ���� �� ���� �������� <����������� �� ��� ������� ������� �� �� ���2

2

ˆ d

d uR AE

dx= + ��� .� �� 1�%� /� �� 1�=%

����� �� ���� ���� ���� �������� <��� ���� ��� �� ����� �� ��� �� �������� �� �� � ���� ��� �� ���������� � � � ����� ����� ���� ��� �������� ��������� ��� �������� ����� �� ��� 6���� �������� .� 8�� ������

02

2

qc

AE

−= 1�>%

����� ���� �� �� �������� ��

20ˆ( ) (2 )2

qu x xL x

AE

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 1�?%

+��� ����� ������ ' ����� ������ ������� &� ��� ����� �� ����� ���� 6��� ����������� �� �� �������� � ���������� ��� ' ��� ��������

������� �� ��� ������� �� ���� ���� � ������ ������� �� ��� � �� �� ����� ��� @���� � �������� ������ �� � ������ �� �� ���� �� �� +����� 1�1%� ��� ���� ��

Lv(x)

����� ��� �������� ���� �� ��� ��������� � ������

#�

!���

������

Page 29: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

2

2 + cos = 0� � �

d vg

dx 1�A%

���� .� ��������� ��� ����������� .� ��������������� .� ������� .� ���� ���� ��� ��� �� ������ .� ��� ���� ��� ������ ���� �� �� ��� ����� ��

��� ���� ��� ��������� �� ���� ��

0

0x

dv

dx == 6��� �� �� �����% 1�B%

� �%� .� 8 �� ����%

"�� ��� ���� ��� �������� ������������ � �%� ����� ���������� ����� ��������

����� �� ��� �� �� ������ ��������� "�

� �%� �� v �%� .� �� /� ��� /� ��� 1��8%

C��

1 2

ˆ 2

dvc c x

dx= + 1���%

+���� ��� ���� ��� ���������� �� .� 8� �� .� :����� �������

v �%� .� � ��� :� ��% 1��1%

����� �� ����� ���� �� ���� �������

��� .� � 1�%� /� ��� ��� � 1��9%

����� �� ���� ���� ���� ��������� ��� ��� � ���� �� �� � � ������� �� ��� ��� 6���� C��

2cos

2

� �

gc

−= 1��;%

�������

2 2( )

cosˆ ( )

2xg

v L x� �

�= − 1��=%

�� ��� �������� ��������� ����� ��� �������� ������ ���� ����� �������� ��� !�� ��� �"�� ����� ���� �������� ����������� #����

�������� � ������� ������������� � � ������ � ������ �������������������� �� ���� �� ����� �� +����� 1�9�� ��� ������� ������� �� �� ���� ��� ���� ��

4

04 0

d vEI q

dx− = � 1��>%

�� ��� ���� ��� ��������� �� ���� ��

� 8%� .� 8� (0) = 0dv

dx

������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��

Page 30: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

������� ��� �������������������������� (��������� ����������� ����������� ���� � ��������� �� � ������� ��� ��� ���� ��� ���������� "�� ��� ������ v �%� .� �� /� ��� /� ��

�� /� ���� /� ��

��+���� ��� ���� ��� ��������� �� �� v 8%� .� 8� �� � v #��� 8%� .� 8�� �� � �� �� .� 8� .� ��

�� ����� ��� � ������ ��� ���� ��� ��������� �� �� .� ��� �� ������� � �

�� .� :9��� :� >���� �� .� :;�� 1��A%

<����������� �� � �� ���� ��� ����� �� ��� ��� �� ��������� �� ��

� v �%� .� � ��� :� ;���� /� >����% 1��B%

(� ����� ������ �� �� ������ ��� �� �������� �������� �� �� � ������ ��� ��� ���� ����������� ������� �� �� ��� �� ���������

������� ����������� ��������������<����������������������� ���� ���������������� ������ �� �

�� �%� .� 1;� �� :� �� 1�18%

������� ���� ������������������<����������������� ��������������� ����� � ������ �� �������� �� � � � ����� ����� ���� ��� �������� ��������� �� ��� ������ ������� �� ��� 6���� �������� .� 8�� ������� �����

�� .� ��# 1;� % 1�1�%

����� ���� ��� �� �������� ��v �%� .� ��# 1;� %� D��� :� ;���� /� >����E

������ � � �� � ����� ������� ��� �� ��� ' ��� �������� ������� ����� ��� ��� �� '����� �������� ��� ���� &� ��� ����� �� ����� ���� 6��������� ��� ���� ��� ��

������� ��� "�� ��� ������� ��� ' ���� ��� � ������� ��������� � �� ���� ������������������� �� �� ������� ��+�����1�;������������������� ���� ���� �� ������� ����������� �� ���� ��

2

2( ) 0

d vL

dx= �

3

3( ) 0

d vL

dx= 1��?%

���� ��� ������ ���� ���� ��� ��������� ����� 6��� ����� ���� �� ����� �� ��� ��'��� ������ ������������������������6������������� ���� ������� ����������

����� ��� ����������� ����� ����� ����

��

Page 31: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

4

04 0

d vEI q

dx− =

� 8%� .� 8�2

2(0) 0

d v

dx= 1�11%

� �%� .� 8�2

2( ) 0

d vL

dx=

����� �� ��� �� �� ������ ��������� (� � � ��� ��� ���� ��� ��� F' ���� 1�9� �� ���� ������� �� ��� �� �������� � �������� ��� ���� ��� ���������� C������ �� ���� ��� ��� ���� ����� ��� ��������� ��� ������ ���������� �� � � � &� ��� ������� ������ ��� ������������������� ��������� "�

� �%� �� v �%� .� �� ��� � �#�% 1�19%

����� �!� � ���� ��� �� �������� � ������� ��� ���� ��� ���������

����� �� ����� ���� �� ���� ��������� <����������� ��� ��� �� �������� v �%� �� ��� ������������� �� �� ����� ������ �� ����� �� ������ ��� �

��� .� � � #�%� � %� ��� ���#�%� :� �� 1�1;%

������� ���� ���������������� (��������� ������&��������������' ������������ ������ ��������� ����������������������������������� �� 8�G���G��%��<������ ������� ��������� ��� �� �������� �� � � ��� ��� ����� �� 6��� ���� �� �� �� ����� ��� ��������������� ��� ��� �� ����� ������� ��� ���� ��� ��� �������� ' ������ ����� ������� ��� ���� ��� ����� � ������ ����������� ����� �� ��� ��� ����� �� �� �� ��� � ��������� �%� ��� 6��� �� ����� ������ ������ ��� ��� �H��� ����� ��� ������ ���� �� �� ��� ������� ��� ���������� �� ��� ��� �� ������� �� �� �� ��� ����������(������ ������� �� ���������������������������������������������� �� ����� ���������� ���������������� ��� �� ���� ����� ������������ ��� ��� ���(�� �� ������ �� ��� 3������4� ��� ����� ��� � ��� ��� ��� ���� ��� ���� ��� �� � ���� �� � ������ ��� ����� ���� 6��� �� ���� �������� ������� ����� ����� �� ��������� �� ��� '�� ������

� ����� ��� ����� � ������ "�� ��� � &� ��� .� 8� �� �� .� �#;�� ���

� � #�%�� � %� ��� �#;%� :� ��� .� 8 1�1=%������������

40

1 4

2

q Lc

EI�

= 1�1>%

��

��

����� ��� ���� �� ���!��� � !!����

������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��

Page 32: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

�� ��� �������� ��� �� �������� ��

40

4

2ˆ( ) sin

q L xv x

EI L= 1�1?%

(�� �� �� �� ����� ���������� ������ ������ �� ����� �� 6��� �� ����� '� �� ��� �����+����� 1�=� ���� ��� ��� ��������� v �%� ��� ��� �� ����� � �� � ���� ��� �� ���� �� ' ��

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Rd(L/4)=0Rd(L/3)=0Rd(L/2)=0 SOM

Normalised Axial location on the beam

Tra

nsve

rse

Def

lect

ion

���� ��� ����������

������� ��������� ������������������

�� ����� � ��� ����� � ��� ���� � ���

���������+�����1�>������� ��������������� ������� ���� ���� ����������� ����� �� ������� ��������� ����'�� �������������� �������������� ������ ���������������� �� ����� ������������' ������������(�� ��������������� ������������� ����������������� ���<��������<��� ���������� ��� �� ������������ �������.��#1��������������� ��� ��������� �� �������-

� � �%� �� v �%� .� �� ��� � �#�%� /� �� ��� 9� �#�% 1�1A%

����� ��" #��!�$� � !!����� ����� ����������

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

normalised x location

resi

dual

Residual Rd(L/4)=0

Residual Rd(L/3)=0

Residual Rd(L/2)=0

������� ����� � �������� ����� � �������� ����� � �

������� ������������

����� ��% &��� �� ����� ��'���!�$� � !!����� ����� ()���!��� ���*�

� �� �� �

40q L

= 1000EI

����

����

����

����

�� �����

Page 33: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

(���� ����� ���!���� ��� �� �������� �� ��� �� ��� ��� �� ����� �� �

��� .� � � #�%� � %� ��� � �#�%� /� � 9� #�%� � %� ��� 9� �#�%� :� �� 1�1B%

<��� �� � �� ���� ���� ��� ��� �� �������� �� � � ��� ��� ����� �� 6��� �� ��������� ������� "�� ��� ��

04 3d dL L

R R⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1�98%

����

4 4

1 3 01 3 1

02 2

c EI c EI qL L

� �⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1�9�%

( )4 4

1 3 03 3

0 02

c EI c EI qL L

� �⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1�91%

<������ ���� �� �������� ��� �

40

1 4

2

3

q Lc

EI�

= 1�99%

�� .� 8�888891AB4

0q L

EI 1�9;%

+�����1�?����� �������������� v �%���� ����������� �� � ���� ����� ���� ��' ����������� +����� 1�A� ������ � ����� ��� ��� ��� �� ����� ���(� ������ �� �� ����� ����'�� ����� �������� ��� ��� ����� �� � ��� ����� �!� � ���� ��������� ���� ��� ������ ��� �� ����� ���� ����� ��� ' ��� ��������

������� ����������������

���� ��� ����������

����� ��+ #��!�$� � !!����� ����� ���������,-�'!��������� �� ����

������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

TWO TERM

SOM

Page 34: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

) ������ ������������� �������� ��' �����6��� �� ���������������� ��� ������������������������ �� �� ������������������������� ���������������������������������� �� �� � ��� ��� ���� ����� ������� ��� � ���� ���!�������� �������� ��������

���������� ���� �� ������� ������ � �������������� ��� ������������������ ����������������� �

0 ( ) ( ) 0

L

i dW x R x dx =∫ 1�9=%

���� $� �%� �� ������� ���� ����� �������� ��������� ������ ��� ��� ����� ��� � �&� ����������� ��� ����� �� ���� ��� ���� ��� ��� (� ������ �� � �� �������� �������� ���� ��� ��� �� �� ��� ������� ����� ��� �� ����� ���� ��� �������� ��� ��� ������������������������� ����������+���' ��������� ����!������� �������������������� &����������� �������� �������� ��� �� �� ���� �� ����� ��� ��� ��� ����� ���� ��� ��������������(��������������������������������$ �%���������� ����� ��� ������ ����� ���6��� ������ ��%�� � ��!���"�#�$%���������������������� �����&��"�%������������� ���� ���� � ��������� ������ '���� ������ �� ����� ' ����� �� � &� ����������� ������� ������� ��#�%����� 9��#�%������"������������ �������������������* ��&�������������� �������� ���� ��� �!���� ��� �� �������� ����� ��

� �%� �� v �%� .� �� ��� � �#�% 1�9>%

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Residual Rd(L/4 & L/3)=0

������� ����������������

�� �����

�������� �� ����� ���� � ��� � �

����� ��. /����� ����� ��,-�'!��������� �� ���� ��(�0�� ���� �0�*� 1� 2�

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

Page 35: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������ �� ����� ���� .� � � #�%� � %� ��� � �#�%� :� �� 1�9?%

2�� ��� * ��&�� ��������� �� ��4

1 00

( ) ( )

sin sin 0� � �

��� �����������d

L

w x R x

x xc EI q dx

L L L

⎡ ⎤⎛ ⎞ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ 1�9A%

(�� ������������������������������ �������������������� ���� ������������ ����� �� � �

42

1 00 0

sin sin � � �L Lx x

EIc dx q dxL L L

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ 1�9B%

������� �� .� 8�8�98?�����#� �� �������

40ˆ( ) 0.013071 sin

q L xv x

EI L

�= 1�;8%

+�����1�B����� �������������� v �%���� ����������� �� � ���� ����� ���� ��' ����������� ��� ��� ������� �� �� ��� �!���� �������� ��� ������� ���� �������� ��� ��� * ��&�

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

defl

ecti

on

SOM

Galerkin Solution

���

������ ��������

������� ����$�������

���������

�������3 #������4������������ (#56*�����7����8���9��� ����,#��!�$� � !!���������� ()���!������*�

������� ����� �� ������ ���� �������� ��� ����� �� ��� �������� �� ��� ���!�� � ��� 7���8�9AI�� +����� 1��8� ������ � ����� ��� ��� ��� �� ����� �� ��� ��� ��� ��� * ��&�� �������

(� � �� ����� ��������� � ���� �������� ����� ���� �������� ����'�� �� ��������� ������ ���� ��������������������������������� ���� ���� ��������� ����������������� ������ ������� ��� ��� ������ ��� �� ��������� �� �� � ������ ��� ���� ��� ��������� ��� ���������� (� ��� �� �� ��������� ����� ��� �� ����� ��� ����� ���� ��� �������� � ����� ��� ������ ��� ������� ���� �� ��� ��� ����� �� ��� 6���

������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� �

Page 36: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

(� � �� �� ��������� ������ �� �6���� ���� ��� �������� �������� ��� �� ���� ��� ��� �� ������ ��� ��� ����� � ����� �� �� ��� �� ������ ��� �������� ����������� ��5�� �:5�� � ��������� �����$ �%�.�� �� :� ��%�� ���������� ����� �� ������������ ��������������������� �������������������� �������������������� ����������������.���������* ��&����������� ������ ����������� �������� ��� �� ��� ��� �� �������� ����������� �� ������� ��� ��� ��� �� �������� ��� ������ ��� �

� �%� .� � �%� /� � �%� �% 1�;�%

���� � �%� �� %� �%� �� ������ &��� �������� ��� ��� ��!������ ����� �� �� ��� ���� ����������� �� � ������� ��� � �%�� ����� ������ ����������� �������� ��� ��$� �%� .��#�.� %� �%�

(��������� ����������������������������������������������� ����� ���� ������� ��������������� ���������������� ������� ��������� ���� ���� ��������� ������������(������ ������&� ���� � ������� ' ���� �������� ��� � �� ������� ������� ������* ��&��(������)���� �� ��������,���'��' ���� ������� ��� ��� ����� ������� ����������� ��� � �� �� ���� ��������

���������� �������������������� ���������������� �������������������������������� �� ���������� ��� ������� ������� �� �� ���� ��� ���� ��

20

2

1 0

qd T dT

r dr kdr+ + = 1�;1%

������� ����������������

����� ���2 /����� ����� ��� �������� �$� 7����8��� ���4�� ()���!��� ���*�

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

resi

dual

Galerkin Residual

�� ����� –0.2

–0.4

–0.6

–0.8

–1

Page 37: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ��� ���� ��� ��������� �� ���� ��

& �%� .� &�� ��� � ��� ���� ���

20 = ( )(2 )

r R

dTq R L k RL

dr� �

=− 1�;9%

��� ����� ���� ��� �������� ������� �� �� � �� �� ��� .� � �� �����(������ ��� ������ ��� ���� ���� ������������&� �� � ������� ��� � �� �� ��� ����� ��

����� �� ��� �� �� ������ ��������� (� ������ �� �� ��� � �� �� ������ ��� ������ ��� ��� ��������� �� ����� ��� �� :� �%� � ���� �� � ��

"�� ��� ������ ��� ��� �� �������� �

&� .� �� /� � �� :� �%� /� � �� :� �%� 1�;;%

+���� ��� ���� ��� ���������� �� ���� �� �� �� .� &�� �� �� .� : ���#1"%������ �� � �

&� .� D&�� :� ���#1"% �� :� �%E� /� � �� :� �%� 1�;=%

�������� ���� ��������� �������� ������&�.�� �%�/��% �%�����% �%�.� ��:��%�

����� �� ������������ �������$ �%�

����� �� ����� ���� �� ���� ��������� ��� ��� �� ����� �

��� .� 1�� /� ��#"� /� �#�%D: ���#1"%� /� 1� �� :� �%E 1�;>%

����� �� ���� ���� ���� ���������(� ������ �� �� ��� ����� �� ��� ��� ������������ ���� ������� ������ ��� ��� ��� �� �� �� � �� �� ������ ���� � ��� �� ������ ��� ���� �� ���������#%��������������� ����� ������ ������������ ������������������ ��������� � %������� '� ���������� #%����� �������������'������� ���� ������������������������ ����� ��� ���� �� 1��%�� �� ��� ������� ����� �� �� ���� ��� ���� ��

[ ]2

02 ( ) 0�

R

dL r R R r dr− =∫ 1�;?%

<������� �� ��� 02 =

4

qc

k− �� �������� ���� ����'�� ���� ��� ��� ���� ���� ������������ ��

2 20ˆ( ) ( )4wq

T r T R rk

− = − 1�;A%

��������������� ��������������� �������� ��� ���� ��������� ���������������� ������� �� �� ���� �� ��� ���� ��� ���������

(� ����� ��� ������� �� ��� * ��&�� (������ )���� �� �������� �� � ���!���� ��� �������� �������� ��� ��������� ' ����

������� ���� � ������� ��� ������� � �� ������� ��������� �� F' ���� 1���� "���� � �� �� ���7���� ��� � �� ���� � ����� �� ���� .����� ��� ������� ������� �� �� ���� ��������

2

2 0

d uAE ax

dx+ = 1�;B%

������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��

Page 38: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

����� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� 8�� 0x L

duAE

dx == �

������� ��� ���� ������ ��� ����� ��������� �� ������� ��� �� �� ������� '���� �� �� ���� ��� ��������� ������� �� � ������ ���� ������� �� �� � �� �� ���� ��F' ���� 1���� "�

�%� �� � �%� .� �� /� ��� /� ���� /� ��

� 1�=8%

+���� ��� ���� ��� ���������� �� ��

�� .� 8� �� .� : 1��� /� 9���% 1�=�%

����� �%� .� � �

�� :� 1��%� /� � ��� :� 9���% 1�=1%

����� �� ����� ���� �� ���� �������

��� .� �� 1�� /� >��%� /� �� 1�=9%

������� ���� ���� ������������������������������������������� ���* ��&�������� �� ��� ��� �� �������� ��������� ����� $� �%� .� ��� :� 1��%� �� $� �%� .� ��� :� 9���%�

����� �� � �� ��� ������� ����� �� �� ����

22 3

0( 2 )[ (2 6 ) ] 0

Lx Lx AE c c x ax dx− + + =∫ 1�=;%

3 22 3

0( 3 )[ (2 6 ) ] 0

Lx L x AE c c x ax dx− + + =∫ 1�==%

<������ ���� �� �� ��� �� ��� ��� .� 8� �� .� : �# >��%% 1�=>%

������ � �%� .� �# >��%% 9���� :� ��%�� ������ ��� � ����� ������� ��� � ���� ����� ��� ' ��� ��������

��� ��� �������� ������� �������� �� � ���!��C ���� ��������� ��� � ���� ������� �� ������������ ������ � ��� ����������� � � �� ������ ��� ����� ���� ��� �� �� ������� ����� �� �� ����

+��� ��� �&��� ����� � �� ��� �� �� ����� � ����'�� �� �������� ��� ��� ����

1

ˆ n

i ii

u u c N�

=

≈ = + ∑ 1�=?%

���� �� �� ��� ������ ���������� ��� �� ������� ��� ��� ()� ������� �� ������������ ��%�� ��������������� �� ���� � ������� ��� ���������������� ������������"�� ��� �� �� #%� �� ��� ��� �� ����� ��� ��� ()� �� ���� � � ��� �� ������ �

0i dW R d�

=∫ ���� �� .� ��� 1������ � 1�=A%

���� $�� .� %����� ��� ������� �� �� ����� �������� ��� ����������� � ������� ��� ��� ' ��� �������� ���� ���� ���

������ !��������� ������� ���� ��� ��� ����� ���� 6��� �������� ����� ��� ������ �� �� � ��

Page 39: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������������ �� ���� �������� �������� �� ������� ����������������������� ������������� ���������� �������������� ��������� ��� ��� ��� ��&��� �� �� ��� ��������������������� �� ��������� ��� ���' ��� ���������J������������ ������ �� � &� ������ ����� ��� ���� ������� ��� �����������%� ���� ��� ��� �� ������� ��� ��������$%�� �� '���� �� �� ���������������������� �������������������������������������'������������������������

������� ��� ��� ����� ��� ����� ���� ��� ��� * ��&�� ������� ��� � ���� �����'���� ����� ������� ��� ������� ��������� ��� ��� �� �� �� ���7���� ��� ������� �� �� �� ������+����� 1�������� ������� ������� �� �� ���� ��� ���� ��

3 4 4 4

02 4 2 2 4 2 0

12(1 )

Eh w w wq

v x x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − =⎜ ⎟− ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1�=B%

b

All edges simp supported

o

����� ���� :� ���!�$� � !!����� !�����

���� ���� � �� � � ����

#

� %

�!

�� ��� ���� ��� ��������� ��

! 8� �%� .� 8� .� ! �� �%� �!#��� .� 8� ���� �� .� 8� �� �

! ��� 8%� .� 8� .� ! ��� '% �!(��� .� 8� ���� �� .� 8� �� '

����� �� ��� �� �� ������ ��� ����� ��������� �� ���� ��� ��� ���� ��� ��������� ���� ��������������� �� ����� ������ � ������������ ������� ���� ��� �� ��������

"�� ��� ������ � �!���� ��� �� ������� ���� ��

! �� �%� �� w �� �%� .� ��� �� � �#�%� �� � �#'% 1�>8%

��

��� ������� ������� �������� &� '� ������ ��

Page 40: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

��� ��� ��� ��� �� �� �� ���� ��� �� ������� � ������� ��� ��� ���� ��� ��������� ��� ��� �������

������� ����������� ������������������� ������� �������� ������������������ w �� �%������������ �� �� ���� �� �������-

22 23

11 02 sin sin

12(1 )d

Eh x yR c q

a b a bv

� � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− ⎣ ⎦

1�>�%

������� ���� ��������������������������������������$ �� �%�.���� ��#�%���� ��#'%����������� ����� �� �� ��������� ��� �

3 22 211 020 0

sin sin ( / ) ( / ) sin sin = 012(1 )

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ −⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ � � � �� �

b a x y Eh x yc a b q dx dy

a b a bv 1�>1%

<������ ���� ���� �� ��

��� .�22

02 3 2 2

16 12(1 ) 1

( / ) ( / )

q v

Eh a b� � �

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

1�>9%

�����.�'����������� ���� ���� ������ ������������� ����������������� �� �������� ;#� �%� D�1 �� :� ��%# ���%E� ���

�%�

������� ��� ������� � �� ��� �� ����� =8� ��� ���� �������� ��!��� �� ����� �+����� �1��1%����� ���� �� ���� �� �� ���� ����� � ���� ��� ���� �� ��� ��988K������������ ������� �� �� ���� �� ��� ���� ��� ��������� �� ���� ��

L

¥

Wallw

����� ���� :� !��'����

��

"���

��

2

2 ( )

c

d T Phk T T

Adx∞= −

& 8%� .� &�� .� 988K�

( ) 0dT

Ldx

= ���� ������% 1�>;%

Page 41: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���" .� ��������� ��� ���� �� ������������) .� ��������� .� �����!����� �� � �� .� �������� � �� �� ���� ���������

&� .� � ��� ���� ����&� .� ����� ���� ����

"�� "� .� 188� (#�#K�� ���� ��������� �� .� 18� (#��K��� &�� .� 98K��� F���� �� ��� ���� ���

������������ �� ��� ��� ����� ���* ��&��������� ����� ��������(���� ��� ���� ����� �� � ������� � �

2

2 400( 30)

d TT

dx= − 1�>=%

with (0) 300 C, ( ) 0.dT

T Ldx

= ° =

����� �� ��� �� �� ������ ��������� "�

& �%� �� T �%� .� �� /� ��� /� ���

+���� ��� ���� ��� ���������� �� .� 988�� �� .� :1���� �������

T �%� .� 988� /� � ��� :� 1��% 1�>>%

����� �� *� ���� ���� ��������� <����������� T �%� �� ��� ������� �� �� ������� ��

�� �%� .� 1�� :� ;88D1?8� /� � ��� :� 1��%E 1�>?%

����� �� ���� ���� ���� ��������� ��� ������ ������� $ �%� .� ��� :� 1���� ����� �� � �

2

0( 2 ) ( ) 0

L

dx Lx R x dx− =∫ 1�>A%

<������ ���� ��� �� ��� �� .� 9A�?=��;9�� C��

T �%� .� 988� /� 9A�?=��;9 ��� :� 1��% 1�>B%

(� � � � ����� ��� �� ��� ' ��� �������� �

exact

( ) cosh [ ( )]

cosh ( )wT T

T x T m L xmL

∞∞

−⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

���

2 c

hPm

kA= 1�?8%

(������� �� �� ���' ��� �������� ��� �'���� �� ����������� ����'�� �� ���������� ��� 7���� ��� ��� �� �� ����� (� � � ������� ���� ����'�� ���� ��� � &��� ������ �������� �� � ��� ������� �� ��� �� �������� "�

T �%� .� �� /� ���/� ���� /� ��

� 1�?�%

��� ������� ������� �������� &� '� ������ ��

Page 42: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

+���� ��� ���� ��� ���������� �� .� 988K��

�� .� :1��� :� 9��� 1�?1%

�����

T �%� .� 988� /� � ��� :� 1��%� /� � �

�� :� 9���% 1�?9%

��� ������� ����� �� �� ����� � � �� ������� ����� ��� ���� �������� ������� ��� :� 1��%� �� ��� :� 9���%�� (� � � ��� ��� �������� �

�� .� ;A�A>8�;� �� .� :�8B�11B 1�?;%�����

T �%� .� 988� /� ;A�A>8�; ��� :� 1��%� :� �8B�11B ��� :� 9���% 1�?=%

(� � � ������� ������� ���� ���� �������� ��� � &��� �� ���� ���� �� ��� ������ ���

T �%� .� �� /� ��� /� ���� /� ��

�� /� ��� 1�?>%

+���� ��� ���� ��� ��������� �� � �

� �� .� 988� �� .� :1��� :� 9���� :� ;��

� 1�??%�����

T �%� .� 988� /� � ��� :� 1��%� /� � �

�� :� 9���%� /� � ��� :� ;���% � � � 1�?A%

(� � � ������ ��� ���� ������� ����� �� �� ����� ����� ��� �������� ������� ��� :� 1��%�� ��� :� 9���%� �� ��� :� ;���%�� (� � � ��� ��� �������� �

�� .� =9�?81�A� �� .� :1==�>>A� �� .� ��91� �� �8�

�������

� T �%� .� 988� /� =9�?81�A ��� :� 1��%� :� 1==�>>A ��� :� 9���%� /� ��91 � �8� ��� :� ;���% 1�?B%

� ��� 1��� ���� ��� ��� � ������ ����'�� �� ��������� ����� ��� ' ��� ��������� ��� ��������� �� �� ��� ���� ��� ��� ��� * ��&�� ����'�� �� ��������� � � �� ����� ��� ����������� ��� � &��� ���� �� ���� ����� �� ��� ����� ��������� C������ ��� � ��� ��� �

��� ��� �������������������������������� �� ����� ������

:���� ; ������� � ��� ; ����� )���������� �� ��� �� ��� �� ��� �� ���

! #!! #!! #!! #!!!$!!% &'($%) &'!$'* &'!$*% &'!$*%!$!( &+%$(& &+,$(( &+,$!! &+,$!&!$!(% &%!$%) &,)$+& &,)$+! &,)$+&!$!& &#'$!! &#*$## &#*$#) &#*$,#!$!&% &&*$#, &&*$(+ &&*$&* &&*$#(!$!# &('$+& &()$!& &()$(& &()$(+!$!#% &(($', &(&$'# &(&$'+ &(&$)(!$!, &!*$!! &!'$%( &!'$,# &!'$,)!$!,% &!,$!) &!%$)' &!%$*) &!%$'%!$!% &!#$(& &!%$(+ &!,$)( &!,$)*

Page 43: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ���� ����������������������(��������� �����������������������������������&��������������� ����������������� ������� ������������������������������ ������������ &����� ��� ��� ������� ����� �� �� ����

��" ���#� �$��������� � ���!� ��� �� ������� �������� ���!����������� ��� �� �� ������� ����� �� �� ���� F��� 1�=A%�� ��� ��� �������� ��� � ���� ������� ���� ��� � ���� �� �� ��� ��� �� �� ()� �� ����� ����� ����� ����� ��� ���������������� �� ��� ��� �� ������� ������ �� ��� ��������� (� ����� ����� � �� � ����� ���������� ��� ��� �� ��������� "�� ��� ������� �� ����� ����� ��� ��������� ' ����

������� ��� "�� ��� �������� F' ���� 1�>� �� ������ �� � �� ��� ������� ������� ��� ���

2

2 0

d uAE ax

dx+ = 1�A8%

����� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� 8�� �� 0x L

du

dx == �

"���� �� ��� ��� �� �������� �������<����������� �� ���������� �� �� ������� ���� ����� �� ����� �� �� ��� .� ��� ���#���% / ���

(����$ �%� �� ��� �������� �������� �� � �� ��� ������� ����� �� �� ���

2

20

ˆ( ) 0

L d uW x AE ax dx

dx

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ 1�A�%

���2

20 0

ˆ( ) ( ) 0

L Ld uW x AE dx W x ax dx

dx+ =∫ ∫ 1�A1%

��

0 0

ˆ( ) ( ) 0

L LduW x d AE W x ax dx

dx⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 1�A9%

)� ��� ��� �� � ��� ������ � ���� ���� ���� ��� � ���� ���� � ������ ���� �%

[ ] ( ) | ( ) | u dv uv v du uv uv v du� � ��

� � �� � �

= − = − +∫ ∫ ∫ 1�A;%

(��������� ���������� ����.�$ �%� ����.�ˆdu

AEdx

������ �������������������F��� 1�A9%��� � ����� �� � �

0 00

ˆ ˆ( ) ( ) 0

LL Ldu du dW

W x AE AE dx W x ax dxdx dx dx

⎡ ⎤ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ 1�A=%

(������ ˆ( / )AE du dx .�)�� ��� '� �� ����� �� ��� ��������� � � ������ ��� ���� �� ���� �

00 0

ˆ( ) (0) ( ) 0

L L

Ldu dW

W L P W P AE dx W x ax dxdx dx

− − + =∫ ∫ 1�A>%

���(� &)���������'� ����� ��� ��������� �������� ������ ��

Page 44: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

(��������� ���������������� ����� �%�� �������������������� ������������� �� �� ����� F��� 1�A�%�� �� � �� ��� ���� ���#���� ����� �� F��� 1�A>%� �� � �� �����#���� ����� ���� ������ ���� �%� ������� �� � ��� �� �� �� ���� ���� ��� ����� ��������� ����� ��� ��������������� ����������� ������ �� �� �� ��� �� �������� ������������������� ������� ��� �%����� ������������� ����'��������������������������()��� ����������(�� � ��� �������������� ����&��� ��� ������ ��������������)�����)��� ����� ��� ��� �������� ������������� ������ ���3���� �4����� ����������� ����.�8�� ���� 8%�.�8�%����������������()��� �������� �������!��"� ��������������%���� ������������������� ��� ����� ��� ��� ������ ��� �� ���� &� ������� ������ ���� &�� ����������� ���� ����� �� ��������� +���� ��� ��� �� ����� ��� ���� ����� ����� ��� ��� ()� �������

+���������������� ��� ������ ������������ 0.Ldu

AE Pdx

= = ������������������

������������� ������ ����������� ����+�8��� 8%,����������� �������������������$ �%� �� ����� �� �� $ 8%� .� 8�� ����� ��� � &� ����� �����

0 0

ˆ ( )

L Ldu dWAE dx W x ax dx

dx dx=∫ ∫ 1�A?%

� � � � � ���7��� ��� 8%� .� 8, ( 8%� .� 8

"����� �� ���� �� �� �� ����� �� �� �� �������� �� ���� ���� ���� ������ ������ ������ ������� �� ����� �� � ��� 1�1�

��� ��� ���!�� ��" �� � ����������#��� ����� � ��

/����������� 9���4���� ����� �� 9��8� ���� �< ���� ���������

2

2 0

d uAE ax

dx+ =

2

20

ˆ 0

L d uW AE ax dx

dx

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ 0 0

ˆ

L Ldu dWAE dx W ax dx

dx dx=∫ ∫

��-��� �� ��!�� .� ! ��-��� �� *�!�� .� ! ��-��� �� *�!�� .� !

( ) 0du

AE Ldx

( ) 0du

AE Ldx

= ��!�� .� !

��� ������� �� ��� �������� ��� ��� � &� ����� �� ���� ��� ��� ���� �������� ��

�%� �� � �%� .� ��� /� ��� 1�AA%

��� �� � �

��#��� .� �� /� 1��� $�� .� �� $�� .� ��

�$�#��� .� �� �$�#��� .� 1�

(� ������ �� �� � 8%� .� 8� $� 8%� .� 8� �� $� 8%� .� 8�� �� �������

Page 45: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

$ �%������������

����������������

1 20 0

( )( 2 )(1) ( )( )L L

AE c c x dx x ax dx+ =∫ ∫�����

2 31 2( ) /3AE c L c L aL+ = ������

$ �%���������&��

21 2

0 0( )( 2 )(2 ) ( )( )

L LAE c c x x dx x ax dx+ =∫ ∫

�����

2 3 41 2 4

3 4

c L c L aLAE

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

���� �

) �� ���� ��� ���� �� ������ �� � �

2

1 2 3

aLc c L

AE+ =

2

1 24

3 4

aLc c L

AE+ =

������

2

1 27

, 12 4

aL aLc c

AE AE= = −

����� ��� �������� � �%� ��� ��� ��� �

2ˆ( ) (7 3 )12

aLu x xL x

AE= − 1�B1%

��� ��� ����� ������� �� �� ��� ' ��� �������� ��

2 3( ) (3 )6

au x L x x

AE= −

��������� ����'�� ����������� �������������' ��������������� ��������������������������� ������� ���� ���� �� �� ���%�� +���� F' ���� 1�>�� ��� ��� ������� �� �� �� �� ������� ��� �� ������� ������ ���' ��� ������������� ���* ��&��������� ����� ���� ������� ��� ���� �� � '����� ���� ��� � ��� ��� ����� �� �� ��� �� ��� ��� � &� ��� � �� �� �� ������ ���������������� �%�.���/����/���

����������&�������������� ��* ��&�������������� ������� �� ������ ��� � �%� .� =��# �>��%% 1��� :� ��%�� +����� 1��9� ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ����'�� ����� ����� ��� ' ��� ��������� ��� ��� ������� �� �� ��� � &� ����� ����'�� !���� ������� ����� �� � ��� ()� ����'�� ����

(� ����� ��� ����� ��� ���� ������� � ��� ��� �� �� ����� ��� ��� � �� ������ �������� �� ��������� ���� �� ���� �� ����� � �����

1�B�%

���(� &)���������'� ����� ��� ��������� �������� ������ �

Page 46: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

��% ��!&������� ��� '����������� ()�����*� ������� ����������� ���#� ���!�

������� ���' ������� ��� '� ������� ������� � ���������������� ���������� ���� ���2

2 0

d uAE q

dx+ = 1�B9%

�� ��� ���� ��� �������� 8%� .� �

Lx L

duAE P

dx ==

1�B;%

��������'����������� ����'�� ��������������� ������������������������ ��� ���� �� �������-

2

20

ˆ( ) 0

L d uW x AE q dx

dx

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ 1�B=%

���7��� ��� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� �

ˆ L

x L

duAE P

dx ==

1�B>%

����� ���� ��!������ �� �!!�������� �� ����� ��� �� ��� ����� ���� ()���!��� ��3*�

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Axial Location

Axi

al d

efor

mat

ion

Quadratic - Weighted Residual

Quadratic - Weak Form

EXACT SOLUTION

�������������

����������������

����������������� �������

������������ ���

����� ��������

Page 47: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

(�� &� ��� �������������� ����-

�� �������������� �%�������' ������������������������������ ��������������������� ����������� �� ���������������������$ �%� �������� ������� ��������������� ��� � ������ ��� ����� ���� 6��L� ��������� ��� ����� ��� ����� �%� ���������� ���� ��� ���� ��� �� �� �������� ���� �� ���

1� +��� �� ���� ������� �� �� ���� �� �#��� ��� ���� ��#� ��� ��� ���%�� �� � ����� ��� ������� ����� �� �� ����

9� ��������������� ���� ����������� �������������������� ���� ���� �������� ������ ���� ���� ��� ���������� ��� ��� �� �������� ��� '����� ��� � ������ ��� ������ ��� ��������� �� ��� ���������������� ��� ��� �� ����� �� ������� �� ������� ��������� ���� ����

;� ����������� ��������$ �%� � �� �� ��������� �� �� �6���� ���� ��� �������2����������3�4����������������������������� �������� ������� �������� ��� ����� ���� ��� ���������� � �� .� ��� 1�� ��� �%� �� ��� ��� �� �������� ���� ������

=� �� �� ��� ��� �������� ������� $ �%� ��� ���7��� ��� ���� ������� ���������������� �� � ��� ����� ����� � �� ��� �� +��� ' ����� �� ��� ���� � ����� ��� �� �������� � �%� � �� ��� �� �� � ��� ����� ������� ��� �� ��� ��� ��� ���� ��#���%�� ���� �� ����� ���������� ������ ���� ����������� �������������7���������������� ���� ���� ��� � ���� �� �������� ��� � &� ����� ��� ��� ���������� ����������� �� �� ��������� ���� ��� ��� �� �������� � �%� �� ��� �������������� $ �%�

M���������������� �������� ���������� ������ &�������� ���������������� �

0 00

ˆ ˆ( ) ( ) 0

LL Ldu du dW

W x AE AE dx W x q dxdx dx dx

⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ 1�B?%

<����������� ��� ��������� ��� �� ����%� ���� ��� �������� �� �� .��,� ���

ˆ L

x L

duAE P

dx == �� �� �������� �� �� $ 8%� .� 8� �� ���� ��� ��������� ���� �� ���� ��

�������� 8%� .� ��� �� ��� ��� � &� ����� �� ���� �

0 0

ˆ ( ) ( )

L L

Ldu dw

AE dx W x q dx W L Pdx dx

= +∫ ∫ 1�BA%

���7��� ��� � 8%� .� ��� $ 8%� .� 8�

���������� �� �� ���� ����

�� �� ��� � &� ����� ��� ��� ��� ���� ���� ��� � ����� ��� ��������� �� �� �� ��� �������� � � �� ��� ���� �� �� �� �� ��� �������� ������� $� � �� ��� ���

���+������� ��� "����������� �������,� ������� �������� ���� ���(� ����� ��

Page 48: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

1� +��� �� ����� ������� �� �� ����� ��� ���� ����������� �� � ���������� �� �������&%�� �� ����� �� ��� ��� ���������� ��� ��������� �� �� ��� ��� ������� ���%�� �������������� ������������������ ����������������������������������� ���� ��� � ���� ��������� ����� ��� �����

9� <������ ��� ������ �����������'��������� ��������������������� ������� �������� ��������� ���������� ������������ ��� ������ �������������,��� ���� �������� ������ ������������� �������� ���������������� ���������������� &� ����� �� ����

;� �� ���� ��� ��� ���� ����� ������ � ����� ����� ������ ��� ��� �� �������� ���������� ���� ����� ����� ������� ��� �� � ��� �������������������� ����� �� �����%��� � �� ���

=� ��� � &� ����� � � �� ������� ���� ��� ������� ����� �� ����� ��� �� �������!� �������!����� ������� �� �� ������� ���� ������������������ ����� ������

>� ������������������������� ������ ����������������������� ������������������� �� 6��� �� ��� ����� ������ �� ��� ���� ��� ���� ����� ��������� ���������� ����� ��� �������� ������� ������� � ������ ��� ��������� � ��� ��� ����������� ���� �� ���� ��� ���������� ������� �� ����� �� �� ����� �� ��� ��� �� ����� ��� ��������� ��� ��� ��� � ���� ������������� �������� ��� �������� �� ����� �� ����� ���� �� <����� 9�1%� ��� �������� ��� �� �������� ����� ������������ ��������� ���� �� ��� ��������������� ��������������� �������� ���������� '����

(� ����� ��� ������� �� ��� ����� ���� ��� ��� � &� ����� �������� �������� ��� ����������������' ����

����������� "������������F' ����1�;������������������������������ ����������������� ���������������������������� �������������������� ���� ����� �������

4

4 0

d vEI q

dx− = 1�BB%

�� ��� ���� ��� ��������

F���� �-� � 8%� .� 8� � �%� .� 8 6��� ����� ����%

@ ��� �-�2

2(0) 0

d v

dx= �

2

2( ) 0

d vL

dx= 6��� �����%

"�� ˆ( )v x � �� ��� ������ ��� �� �������� �� ��� $ �%� �� ��� �������� �������� ��������� ����� �� �� ���� � � �� ������ �

4

40

ˆ( ) 0

L d vW x EI q dx

dx

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ 1��88%

Page 49: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���

3

30 0

ˆ( )

L Ld vW x d EI Wq dx

dx

⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭∫ ∫ 1��8�%

,� ���� ���� ��� � ����� �� ��

3 3

3 30 00

ˆ ˆ( )

LL Ld v d v dW

W x EI EI dx Wq dxdxdx dx

⎡ ⎤ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ 1��81%

���� ���� ��� � ���� ��� � ��� �� ��� �

3 2 2 2

3 2 2 20 00 0

ˆ ˆ ˆ( ) ( )( )

L LL Ld v dW x d v d v d W x

W x EI EI EI dx Wq dxdxdx dx dx dx

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ 1��89%

����������� ���� ����������������� �������������������� �� ��� v �%� ���� �������� ������� $ �%�� <����������� ���� ��� ��������� ��� �� ���� ��� ��������� ������ �� �� �� �� v #���� �� 6���� �� � �� ��� �������� � &� ����-

2 2 3

2 2 30 00

ˆ ˆ( ) ( )

LL Ld v d W x d vEI dx W x EI Wq dx

dx dx dx

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ 1��8;%

���7������������� ������ ������������� �� v 8%�.�8�� v �%�.�8��������������������������� �� ���� ��� ������������ ������ �� �� ����������� ������� �� ����� �� ��$ 8%� .� 8�$ �%� .� 8�� ����� ��� � &� ����� �����

2 2

2 20 0

ˆ ( )

L Ld v d W xEI dx Wq dx

dx dx=∫ ∫ 1��8=%

���7��� ��v 8%� .� 8� .� v �%$ 8%� .� 8� .� $ �%

(��������� ������ ��� ���������� v �%�����F��� 1��8=%��������������������� ������� � ��� �� �������� ����F��� 1��88%� ������� �� ������� ��� �� � ��� ����� ������ ������� � � ��� &� � ������ �� �� ���� ��� �� �������

"�� v �%� .� � �% �� :� �%� ������ � ������� ��� ���� �� ���� ��� �������� �� �� ������� ���� �� 6��� �� ����� ��� ������ ��������� ��� * ��&�� ��������� �� ������ ���������������������������� ��������������� ���������� ��$ �%�.�� ��:��%�������� ���� ������� ��� ������������������$ �%��+��� ������������ ���� �%�.����� ���������������������� ��� <����������� ���� �� ��� � &� ������ �� ��� �

0 00 0

( )( 2)( 2) ( )( ) L LEI c dx x L x q dx− − = −∫ ∫ 1��8>%

���3

00(4 )

6

q LEIL c =

��2

00

24

q Lc

EI=

���+������� ��� "����������� �������,� ������� �������� ���� ���(� ����� ��

Page 50: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

����� ���� ����'�� �� �������� ��� ��� ���� ������� ��

20ˆ( ) ( )( )

24

q Lv x x L x

EI= − 1��8?%

��� ' ��� �������� � � �� � ����� ��� ��� �

3 2 30( ) ( 2 )24

q xv x L Lx x

EI= − + 1��8A%

,��� ����'�� ����������� '���������������� ���� �� �� ������!�� ����������18I���������C������ ��� ��� ��������������� �� ��������� ���������� ������������' ���������N� ��� � ��� ��� ����� ��� ����� ���� ����� ������

�������� �

�� (��������� ������������������()��� �������F' ����1�;�������������� ��������� ����� ��� �� ����������� ������� ���� &������������� ����� v �%���� �� �� ��� ��� ������� ����� ����� ������� ���

1� (��������� ��� ���!��!� ������ �������������� �� ������������� ����������������� �� ��� �� �������� ��� ������ �� �������� ��� ������ ��� �� ������ ��� ������ �������� ��� ����������� ��� ��F' ����1�;� �� �������� ���+�����1��;������ � ���� ����� ��� ��� ���� ��� ��� ������� ���� �������� ��%� �� ����� ��

0

0.35

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Quadratic

Sinusoidal

Exact

��������� ��!���������!!���������� �������������������������!�$�� !!����������()���!������2*�

���������

��������� ��� �����

��������� ��� ����

����� ��� �����

�������������

���������������������������

����

Page 51: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������� ������ �� ����� ���� ����� �� ���� ��� �� +������ 1��= %� �� 1��= �%���������� �� �� � ��� �� �������� �� ����'�� �� ��������� �� ��� ������ � �� ������� ���� ��� ���� ���� �� ������� �� �� ���� ������� ����'�� ���� ��� ���� ��������� ��� ����� ���� �� ����� ������ �� � �� ���� ��� ������ �� ��� �������� ������ �#� ������� � �� ���'�� ���� ��� ��� ��������� �� �������� ��� � �� ���� ���������'����� �� "��&�� ���� ���������� �������������� ����%� ���� � �� ���� ����'���'��� ���� ��������� ��

-1

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Quadratic

Sinusoidal

Exact

�������������

/�� ���������

��������������

����� ���"(�* ��!������ �� ������ ������������ �� ���������� ()���!��� ���2*�

9� (�� ���� � ������ ����� ������� �� ��� ����������� ����'�� �����C������ ���� ������� ����������� ���������� ��������������� �� ��������� ���� &�������� ����� ��� ������&������ ���������� ������� ����������������� ��&� ��� ���������� ����'�� ���� ��� �� ���� ��� ����� ����� ������� ����(� ������� ��� ������������������ �������������� ������������� ���(����������������������� ����'�� ���� ��� �������� �� � ���!���� � ��� � ���� �� � ����� � ������������� ��� �� ������� ���� ��� ����� ��� ��

��+ ,����-.���� ���������� ������ �������� �������� ��� ����#� ���!

(�� ���� �� �� ����� ����������������������� �� ��������������� �� ������� ��� ����������������� ������������������� ���� ���� ����������* ��&��������� ���� �� ����� �������� ��� ������� ���������� ���������(�� �� ��� � ������������� ��� �������������� ��������� �� ��������������������C�������� ���� �������� ��������

! (!$)!$( !$& !$# !$, !$+ !$* !$'!$%

0�������1��� �����2���

-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ���� �

Page 52: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

������ �� � ����� ��������� �������� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� ��� +��� ' ������ ��� � �#�%� ���� ��F' ���� 1�;�� �� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� �� 8� G� �� G��,� ������� ���� � �� �� ����� � ��� <���� ����� ��� ��� �� ������� ��� ��� ��#�%� ��� ��#'%� ���� �F' ����1�?�� ��� �������������������������� ��8�G���G����8�G���G�',��������������� ��

(������������������������()������������� ������� ���� ���������������� ��� ������ ��� �� ������� �� �������� ��� ��� ' ��� �������� ��� ��� ���� ������� �� �� ��� �� ��� ���� ��� ������������ � ���� �� �� ����� ��� ���� ���� � ������� ��� 3����� ������4�� ����� ���� &��� �� �� ����� ������� ��� ���� ��� 3���!���4L� � ��� ���� ��� ����� ��� ���������������������+�����1��> %�������� ��������� ������ ��� �������� � �%�.���� ��#�%���� ����'�� ����������� ���������������<��� ���� ��������� ����� ���������� ��������������� ��� ��������� ����'�� ��������� ���� ����������������������� ��� ����.�8� �� ��.��#1���� ����� ����� ��� ������ ����'�� ������� ��� ������� ������O��#1�� �������������������� ����������������� ���������������������� ��������������H��������������������� ���� ����.�8� ����.��#1L� ����������������������������� ��� ����.��#1� �� ��.����F ������ ���� ��� ���� ����'�� ���� ��� ��� ������������� �� �� �������������������� �H��� ����������� �� ������!��� ��8�G���G��#1�� �� ��� � ���� �� �����!��� ���#1�G���G������ ������������� ������ ����'�� ���������������������� ����������������� ��� � &��� ����!��� ����� ����'�� ���� �� ����� �� +����� 1��> �%�

����� ��� ��� ���� �� �� � ��� ���!���� ��������� ��� �� ������� ����'�� ���� ���� ��� &� ������ ,�� ������� ��� �� ������� ���!���� ��� �� ��������� �� �� ��� ������������������������ �� ��� ���������� ����� �����7��������(�������' ���������������������������������������� �� ��� ���""�������� ��������'��������� ������� ���������� ��� ���� ����� ��� ���� ������ ���� ����� ���� ����'�� �� ��������� ����� � ��� ���

����� ���"(�* ��!������ �� ������ ������������ �� ���������� ()���!��� ���2*�

-3.5

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Quadratic

Sinusoidal

Exact

�������������

1���������������

0�������

1��� �����2���

!$)!$'!$*!$+!$%!$,!$#!$&!$(!!

3#$%

Page 53: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ���%(�* 5��� ���� ��'����� �������� �!!��������� �� �� � ������

����

� ���

4��� �����

�5�� �����

����� ���%(�* � �'����� �������� �!!��������� �� �� � ������

2���/���� �����

(

!$)

!$'

!$*

!$+

!$%

!$,

!$#

!$&

!$(

!$(

!

! !$& !$# !$, !$% !$+ !$* !$' !$) (

&

(

!

! !$( !$& !$# !$, !$% !$+ !$* !$' !$) (

-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ���� �

����

Page 54: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

�������������������������(� ����������������� �� �� �� ���� ���� ����������������� ����������� ���������� ����������������� ��%�������� ����!����� �������� ���� ����������� ��

"�� ��� ���� ���� ��� �� ��������� ��� � ���� �� ���� ��� ���!��� ��� �� ����� ��� ���������� ���� �����������������!��� ���+���' ���������+�����1��>�������������� ��������� �� ��� � �� �� �������-� ���� ��� �!��� ����� +����� 1��> %%� ����'�� ����

� -%� ��(0.5) 0

0.5 0

f −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

-� .� � 8�=% P 1-� 8� G� -� G� � 1��8B%

���� ��� ���!��� ����� +����� 1��> %%� ����'�� ����

� -%� �� � 8�=% P 1-, 8� G� -� G� 8�= 1���8%

� -%� �� � 8�=%� /�0 (0.5)

1 0.5

f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

-� :� 8�=%� 8�=� G� -� G� � 1����%

���� ��� ����!��� ����� +����� 1��> �%%� ����'�� ����

� -%� �� � 8�1=% P ;-� 8� G� -� G� 8�1= 1���1%

� -%� �� � 8�1=%� /�(0.5) (0.25)

0.5 0.25

f f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

-� :� 8�1=%� 8�1=� G� -� G� 8�= 1���9%

� -%� �� � 8�=%� /�(0.75) (0.5)

0.75 0.5

f f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

-� :� 8�=%� 8�=� G� -� G� 8�?= 1���;%

� -%� �� � 8�?=%� /�(1) (0.75)

1 0.75

f f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

-� :� 8�?=%� 8�?=� G� -� G� � 1���=%

+������!��� ������!������� �������� ����� ���������������������������� ������������������� ���� �������� ��������������������'�� �������������� ������!��� �� �� �������� ���� +����� 1��> �%%-

+��� ��� ���!��� ����� +����� 1��> �%%� ����'�� ���� ����� �� .� �#1� .� �#1%�

+����� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8%� /� D�#�E � 8�=%� 8� G� �� G� � 1���>%

<���� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�=%� /� D�#�E � �%� 8� G� �� G� � 1���?%

+��� ��� ����!��� ����� +����� 1��> �%%� ����'�� ���� ����� �� .� �#;� .� �#;%�

+����� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8%� /� D�#�E � 8�1=%� 8� G� �� G� � 1���A%

<���� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�1=%� /� D�#�E � 8�=%� 8� G� �� G� � 1���B%

������ ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�=%� /� D�#�E � 8�?=%� 8� G� �� G� � 1��18%

+������ ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�?=%� /� D�#�E � �%� 8� G� �� G� � 1��1�%

Page 55: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

L/2 L/2

x l=0x =

0x = x l=

(� ������ �� �� �� � �� ���� ��� �� � ��������� �������� D�� :� �#�%E� �� D�#�E� �������� ������ ���������������� �� �������������������!��� ����������� ���������������� �� ��� ��� ��� ��� ���!��� ���(� � � ����� �� �� ���� �������� �� ���������� ��� ����� ��� ������ � ��� �%� ��� ����'�� �� ��� �������� +��� ��� "��� ��� ������ � �

� �%� �� D�� :� �#�%E ���� /� D�#�E �� 8� G� �� G� �� .� �#� 1��11%

���� �� � ��������� �������� (�� )� "�*�%+� �� (�*�+� ���� �� ���� ������ ���� �� � ����������������� �������� ��� ������ �������� ���� ���� ������ ��� �� �� ��� � �� ���� ��� ��������������� ������!��� ���(�������������� ����%� ��.����1���������� �%�������� ���� �� �� ��������

���� �� � ��������� �������� ���� �� ��� ����������� ��� � ���� �� ��� ��� � ��� ��� ��������� �� �� �����)� ������ ��� ��� �� 8� G�-� G���� +����� 1��?� ������ ���� ������ ����������� ���� ��� ���!��� ����� � �� ��������� ������ +����� 1��? %� ������ ��� ������ !���� �������� �� � ���� ���� ��� ���� ���!��� �������� ��� +����� 1��? �%� ������ ����������� ����� ���� �������� ��� �� 8�G�-� G���� +����� 1��A� ������ ���� �� �� �������� ���� ������!��� ����� � ��

L/4

x l=

0x =

0x = x l= 0x =

x l= 0x = x l=

X0X =

L/4L/4L/4

����� ���%(�* =��� �� ����� ��������� �������

�6, �6, �6, �6,

/� .� !/

/� .� �

�� .� ! �� .� � �� .� ! �� .� �

�� .� ! �� .� � �� .� ! �� .� �

,#&(

� �

��

�� .� ��� .� !

( &

�� .� ��� .� !

�6& �6&

-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ����

Page 56: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

(��������� ����� �� ��� ���� ����������%� ������ ���������� ����������� ��� ������ ����� <������ �� ����� �� �� �� �� ��������� ��� �������%� � ���� �� ������������ ������!��� ���F ���%� � &�������� ����������� ������������.��� ����� ��� 6��� �� ��� ����� �!������ �� .� �� ���� "%�� ����� ��� ��� �� '����� ����� �� �� .� ��� ������� ����������� ��� ��� � ��� ��� ��� ������� ����� ����� �� ��� �� �� ���� F�� ��������� �������� ���������������� ������� ���������������� �� ��� ������������������ ��� ��� ��� ������� ���������� ��� ���!��� ��� �� ���� ����� ���� ���� �� ������������ ����� ����� ���!��� ��� ��� ������ ��� ��� 3�����4�

(���� ������ ��� ��� �������� ��� ������� �� �� ������ ��� �������� ��� �� ������� � �������������������������������� �%�������������� ����'�� ����� ����!����� � �� ��������� ����� ������ ��� ��� � ���� ��� ��� ������� ��� "� .� ��� 1�� 9�� 0�� ��� ��� �� ������������ ��� ��� ��� ������ ��� ����� ������� � �������� ��� � &� ������ ����������� ������ ���� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ������������ � ����� ��� �� �������� ������ ����� � �&����� �� ���� ��� ���� �� $� �%�� �%�������� ������ �� 8�G�-�G��%�(���� ��� ��� ��� ������ ���� �������� �� '�� ��� ����� �� �� ��� ������ ����� �� $� �%�� �% ���� ���� ��� ���� ���� ��� � ����� ���� ���� ��� ���!��� �� �� ������ ���� ��� � ����� ���� ���� ��� ��� ���!��� ���� ,�� ������ ����&� ���� '� ��� �� ����������� ��� ��� �������� ����� ���� ���� �������� '� ���� ��� ���� ����� �� ���� ���-��������� &���� ��� ��'����&��.������� ���������� �� ���� �������� ��� ���� /������� �� ��� ���-������� ��� �������� ����� ����� ��� ���� ����������� �������� � �������� ��������� ���� ������� ����������<������� &������������� ���������������� ���� ���� ����� ��� ����� ������������������� ������ ������������ �������� ���������������� ��������� ������ ��� ����� �� � �� ����� �� � ���

(� ���� �� ��� � ��� �� �� ��� �&��� ���������� ��� �� ������� ��� ���� &� ���� ����� ���� ������� ��� ������ �� ��� �� �� ��������� ������!��� ���� �������������� ��

1

��� 7��� ������� ��������5����� ����� ���������

��� 8�� ��� �� �� ������� ��� �� �� �������

1 �x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ �

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 �x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(

&

($!($!($! ($!

��0����0�!��0����0�!

1�

1� 1�

($! ($!

( ��0��

($!

����� ���+ ������� �����!������ � �������

&

Page 57: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������ ����� ��8�G�-�G��� ���� Q�R� ���!��� ������ ������ ����/����&���� ������� ��������� ��� �� ������� �������� � �������� ��� � &� ������ (� '���� ��� �� �� Q�� /� �R ���� ����� ���������� �������������� ���'������ ��D�E�S�T�.�S'T�����Q��/��R���������������� ��� �� �� ��� ��� ��� �� ����� �� ��� ������ ���� �������� ����������������� ���* ��&�� ������������� ������ ���� ����������� �������� �� ��� � �� ������ ����� �� +������ 1��?� �� 1��A�� ��� ��� ������� �� �� ���� �������� ������� �� ��������� ����� �� ���!��� �� ��� ������ ������ ��� ��� ������ ���� ��� ��� ��� ���

F

����� ���. >����!������ � ������� ��� � �'�������� �!!���������

( & # ,

( & # ,

( & # ,

( & # ,

( & # ,

($!

($!

($!

($!

($!

1�

1�

1�

1�

1�

-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ���� �

Page 58: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

������ ���������� ��� �� ������� ��� ���� �� $� �%�� �% ������ ����� &� ������ 7������� ������ "��� ���!��� ��� �� ����� ���� ��� � �� ������ ���� ��� ����� ���!��� ��� ��� �������� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ���!��� ���� (� ��� �� �� ��� ������������ ����� �����!��� �������������������� ���'�D�E� ������������� ���������� ��'������ ������������������������� ������������������&��������������������!��� �� ��� ����� ���������� ������������������������� �� ���������� �������������� ���������� &��������� ��� ���� ��� �� ��� � �� ���� ���������� �� ��� ���� ����� ���

� F� �� �� ��� ���!��� �� ���� ������������ ��� ��� ������� ����� �� ��� ������������� ��� ���� �� $� �%�� �% ��� ��� ���� � &� ������ 7���� ��� ���� ��� "��� ���!��� ��

� 2������������������������� ������D�E� ��S'T���� ������� ������ �����������!��� �� ���� ������������ �� ��� ������� �� ����� �� �������

� <������� ��/��%� ���� ����� ������������������&�������6����������� ����� �� ��� ��� ��� ��� ���!��� ���

,�� ��� �������� ���� �� �� ��������� ������!��� ���� ����������� �� ����� ��� ��� � ��� ��� ��� ������� �� �� ������� ����� � � �� ��� ��� ����� ��� ������� ������� ���� ��������

�������������������������������������F ������������!��� ������� ���� ���������� ���H����������������� ����� ���������� �� �������� ������������� ���������� ��� ��� ���!��� �� �� ������ ��� �� ��������� ��� ��� �����(������ � ��� �� ����������������� ���� ��� ��� ����� ��� ��� �� ���� ��� ���� ���� � ���� � � � �����!������������ ���������������&����������� ������ �����������������!��� �� �� &��� �� ��� ������ �������� ��� ������ � ������%�� �� �� �� ����� ���� � � ����� ���������� ���� ������ �� �������� ����� ���� ���������������!��� �� ���������������� ����� � &� ����� �� ����� ���� ������ ��� �� ��� ���� ������ ���������� ��� ������� ��� ���������� ��� ���� ��������� � ������ D�E� �� S'T� ��� &��� �� ��� ������� ��� ���� '��,� ���� ����������� ������� ������ �������������� �������� ���������� ���������������� �����

(��������� ������� �� ��� ����� ���� ������ ����� ����� ���� &� ����� �������� ������ ' ����� �������� ����� ' ����������� �� ������ ���� ��� �!������ �� � �� �������������� ��� � ��� ��������� ���� ���� �� ��� '� �� ����� ���� QR� �� ��� �� �� ��� �� �� ������� ����� ��� � ���� ������ ���� ��� ����� �������� ��� �����'� ����&� ����������(�������������� ��!������ ��� ���������������� ����������������� �� ������� ��� ������� �������� �� �� ����������� ��������� �� ������ ���

��/ 0��-��!��������� 1��� ������ (��!��"�������������F' ����1�B�������������������������������� &��������������������������������!��������� ������ �������������+����F��� 1�A=%�� ���� &��������� ��������� �� �� ���� � � �������� �

0 00

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0

LL Ldu du dW

W X AE AE dX W X q X dXdX dX dX

⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ 1��19%

Page 59: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

(� ��� ��� ������� 3-4� ���� 3���� �4� ������ �� ����� ���� ��� ����� ��� ��� ���� �� 8� ����%�� �� ��� ������� 3�4� ���� �������� ��� 3��� �4� ������ �������� ��� ��� 8� ��� �%�� )������� F��� 1��19%�� �� � �

0 0 0

ˆ ˆ ( ) ( ) ( )

LL Ldu dW du

AE dX W X q X dX W X AEdX dX dX

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ 1��1;%

"�����3��������4����� ������3�4������������������ ������������ �������� ��������+�����1��B��+�����1�18������� ������ ��� ������������������������� �� '� ������ ���� � �� ��� �� �� ������

21 &( �(

��� .� ! �� .� �

/

/� .� !/� .� �

����� ���3 6��4� �� �� ���� ���������

( (� 9� (

�� .� ��� .� !

��

�� ����

����

������ �$�$�$

������ �����

����� ���2 -$!����� ���� ��������

+��� ����� �!���� ����� ��� ��� ������ ��� ���� �� ���� �

0 0 01 1 1

ˆ ˆ ( ) ( ) ( )

n n n

k k k

du dW duAE dx W x q x dx W x AE

dx dx dx

�� �

= = =

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑∫ ∫ 1��1=%

������ � �� ��� ��� ��� ���� �� ���� 8� ������ ��� ���� ���� ���� ��� ��� ����� �����"��� �%������� ������������������������� ��������������������� �������������� � "��� ����

1ˆ ˆ ˆ( ) 1 k kx x

u x u u +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� �

� .� D%E� S�T 1��1>%

������� ������������������������ ������������� ����������������� �� �������� ����H� �������� ������������ ������������������� ��������H������ �����

(

2��$������������ 3��� ������ ������ �

Page 60: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

������������������� �������������������� ������� ��������� �� ��D%E� ������� �������� �� ��S�T� ����� ������� ����6�������������������������� �����+����������� ��

1

ˆˆ[ ] 1 , { }

ˆ

kk

k

ux xN u

u� �+

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭ 1��1?%

11

ˆ ˆˆ 1 1ˆ ˆ ˆ [ ]{ }kk kk k

u uduu u B u

dx�

��� � � �� � �

� 1��1A%

���

D.E� .�1 1

� �

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

"�����������������������������������"�������������"C<�����F��� 1��1=%� ��������

$� �%� .� �� :� �#� %� �$�#��� .� :�#�

$� �%� .� �#� %� �$�#��� .� �#� 1��1B%

�������������'(��� ��)����*+

!���

11

0 0

ˆ ˆˆ 1 k ku udWdu

AE dx AE dxdx dx

� �

� �+ − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

1

1

ˆ ˆ ( )

ˆ [1 1]

ˆ

k k

k

k

AEu u

uAE

u

+

+

= −

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1��98%

<���� ����

12

0 0

ˆ ˆˆ 1 k ku udWdu

AE dx AE dxdx dx

� �

� �+ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

� � � � � � � � � � �

1

1

ˆ ˆ ( )

ˆ [ 1 1]

ˆ

k k

k

k

AEu u

uAE

u

+

+

= −

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1��9�%

�������������"(��� ��)����*+

(� ������ �� �� ��� ������ ���� �� ��� )C<� ��� F��� 1��1=%� ������� ��������� ��� ���� ��'�� ���� ��������������������� �%�.���� ����� ����� ������ �����������)C<�����

Page 61: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

01 0

0 0( ) ( ) 1

2

qxW x q x dx q dx

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫� � �

02 0

0 0( ) ( )

2

qxW x q x dx q dx

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫� � �

1��91%

+��� ���������������� �%������� �������� ����� ���� ���������������������������� ��� ����� ���� ��� )C<� � � �� �������� �� �������-

1 00 0

ˆ( ) 1

du xW x AE P P

dx

��

�⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

20 0

ˆ( )

du xW x AE P P

dx

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

��

��

1��99%

���� �� � �� ���� ��� � ��� �� �� ��� ������ ��#��%� �� ��� ���� ��� '� �� �����)� �� ��� � � ���� ���������������)�� ��)��� ��������������� ����������������������� ����������� ���������� ����� ���� �������������'�� ���� �������������� ���������� ������� �� � ����� �������� ����� ����� ������ �� �� �� '���� �� ����� ���� ��� ��� �7��������%�� �� �� ��� '����� ��� �� ������� ����� ���� ��� �� � ��� �����

�������� F���� 1��98%: 1��9;%�� �� � � ����� ��� ������������ ��� ��� "��� ���� ����� ��� ��� ������ �� ����� ���� �� F��� 1��1=%� �

"C< )C<

1

1 1

1 1

k

k

uAE

u +

− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭�

0 0

0

/2 +

/2

q P

q P

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ �

� 1��9;%

���� ���� ���� ��� ����� ��������� ��� 3�� � ��������� � �����4� ��� 3�� � ���������� ����4� ���� ���� �������(������� �� �� ��#�%� ������� ��� '� �� ����������� � ���L��� ������ ����������� ������� ����� �� ���������� ��� ��� ����������������������� �� ������ �� ����� �� ������� ��� �� �� ����� ����������� �� ������ �� ���� ��� ��� � ��� �� ����� �� ����� ������ ��� ����!�������� �� ����� ���� ���� �� ����� ���"C<�� ���'� ������� �������� �������������� ������ �����)C<�������� �������� ����������������������

@������� ��� ������� ��� ������� ���������������� ����� �� ��� ������ ����� ��������� �� ������������������������������������������������������������������ � ������ ���� ����� ��� ������� �� ���� ��� ���� � ������ ��� ������� 3�� �� ������� ���4��������������� ������������������ ���������� ��������� ����!��������2 ����������������� �������������� ��� �����������3 �������������� ����4���� � ��� ���

����������� ������������������ '���� �������� � ������� ��� �� �������.�1��� ������������� ���� ������ �� ����� �� +����� 1�1��� ��� � &� ����� ��� ��� ������� �� �� ���� ��������

2��$������������ 3��� ������ ������ �

Page 62: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

((

�� .��6&

&

( &

& #

:���������������

�����������������

:���������������

�����������������

&

&

&

#

(

( ( &&

(

(; &; #

2�������� $

����� �� $

;

����� ���� -�'�������� �������������� �� �� ���

(

(

( &

&

&

($!

1�;��

1�;��

1�;��

($!

($!

����� ���� 9���4�� (�4�!�*� � ������� ��� ��� ������� ���� ���������

0 0 0

ˆ ˆ

LL Ldu dW du

AE dx Wq dx WAEdx dx dx

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1��9=%

(��������� ���������������������� ���������� ���������+�����1�11������� �

Page 63: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� +������ 1��?:1��A� ���� ������ �� ����� ������� �� � � ����� ��� �������� ������� ��������-

$� �% .� �� :� �#�� 8� G� �� G� � �� ��� ���� ���.� 8 �� ���1�� ���

$� �% .� �#�� 8� G� �� G� � �� ��� ���� ���.� �� :� �#�� 8� G� �� G� � �� ���1�� ��� 1��9>%

$� �% .� 8 �� ��� ���� ���.� �#�� 8� G� �� G� � �� ���1�� ���

(�� ����� �������������� �� ��������� ����� ����� ���������������������������� ��� �� �� ��� ���� �� ����� ��� ��� ��� ����� ���� ��� ���� ����� � �� ����<����������� ���� �� ��� � &� ������ �� ��� ��� ��� ��� �� ����� �� �������-

01�� ��2��� "����3%

� � � � �

21 1

0 01

2 1

0

1 2

ˆ ˆ

1 0

( )

� �

L dW dWdu duAE dX AE dx

dX dX dx dx

u uAE dx

AEu u

=

− −⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= −

∑∫ ∫

∫ 1��9?%

22 2

0 01

ˆ ˆ =

L dW dWdu duAE dX AE dx

dX dX dx dx�� ��

� � � � � � � � � � � � � � �

3 22 1

0 0

1 2 2 3

1 1

[( ) + ( )]

u uu uAE dx AE dx

AEu u u u

�� �� �� � � � � �� �� � � � � � � �

� � � �

� �� �

� � � �

1��9A%

� � � � �

23 3

0 01

3 2

0

3 2

ˆ ˆ

1 0 +

[( )

L dW dWdu duAE dX AE dx

dX dX dx dx

u uAE dx

AEu u

� �

=

−⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= −

∑∫ ∫

∫ 1��9B%

41�� ������ ����� �� 2��� "����3%

20

1 0 1 0 00 0 0

1

1 + 0 2

L qxW q dX W q dx q dx

� � ��

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ 1��;8%

2��$������������ 3��� ������ ������ �

Page 64: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

20 0

2 0 2 0 0 00 0 0 0

1

= 1 = 2 2

L q qx xW q dX W q dx q dx q dx

� � � � �� �

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ ∫ 1��;�%

20

3 0 3 0 00 0 0

1

0 + 2

L qxW q dX W q dx q dx

� � ��

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ 1��;1%

41�� ������ ����� �� 2��� "����3%

2(1)

1 1 00 0 01

ˆ ˆ( ) ( ) = 1 + 0 =

Ldu du x

W X AE W x AE P PdX dx

��

�⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ 1��;9%

%���/� � ��� ����������� �� ��� ����� ���� ��� (1)0P %� ������� ���� ����� �� ��

���������� ����� ��� �� .� 8� ��� ��

2

2 20 01

0 0

(1) (2)0

ˆ ˆ( ) ( )

1

Ldu du

W X AE W x AEdX dx

x xP P

P P

��

� �

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= −

1��;;%

2(2)

3 30 0 01

ˆ ˆ( ) ( ) 0

Ldu du x

W X AE W x AE P PdX dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑� �

�� 1��;=%

����� ��� ������ �� ����� �� ����� F���� 1��9?%: 1��;=%%

(1)001(1) (2)

2 0 0 0(2)

3 0

0 1

0 0 2

30

/21 1 01 1 1 1 /2 /2 0 1 1 /2

/2 /2 /2

/2

�� �

� �

�� �

PquAEu q q P Pu q P

q Fq q F

Fq

⎧ ⎫−− ⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− + − = + + −⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

1��;>%

(���� ������ ��� ��� ������ ��� �� ����� ���� ���� �� � � � &� ��� ������������� ����-

�� ��������������� ������ ���� �������������������������������� ������� ������� ���� 3�� ���4� ���� �� ��� ������� ������

Page 65: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

1� <��� ���� �� ���� � ��� ����� �� � ��������� ����������#��� ��� � �� ������� � � �� ����� �� � ����� �� ��� ������� ������ ������� �� ��� 7���������� <��� ���� �� �� ��� � �� �� �� ����� ����� ���� ��� �� ������� �� � � ��� �� ��� 7���������� ����� ����� ������� �������������� ������� ����' ���� �� 7������ ��� 1� ��%�

9� ��� ������ ���� �� ��� )C<� ������� ��� ���� ��� �� �� ����� ���� ��� ��������������� ��� �� ��� 7������ ����� ��� ������ ���� ��� ���� ���

;� (�� ���� ��� �� �� �������� ������)C<���������� '� �� ����� �� ������������������ ��� �� ����� ��� '�� �� ������ �%� ������ �� �� �� ������ �� ���� ���� ��� �� � ����� ������ �%� �� �� ��� '����� ��� �� ���� � ����� ���� � ����������C����������� ����������������������������������������� ������������ ��� ����������� ��� �������� � �����@���R��������� �%�� ���� ���� ��� '�� ���� ������ ����� ��� �� �� ������

=� F ��� ��� ��� �� ����� ������� ��� �� �� ����� ����������� �� ����� ������ �������� ������������ ������� �������� �������������� ���������������������� ������������������� �������������� ������������� ���� ������������������ ��� �������� ��� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� ������������ ����� ����� ��� ���� �� ��� ����� ����� � ��� ��� ��� ��� �������� ������� ��������������������������� ����� ��� ������� ����������������� �������������� �������� �� ����� ����� � �� �� �� ���������������� ����� ��� ������ �� ������������� �� ��� �� ����� ����

>� (�� ���������� �� �� ���� &������� ������ ��� ������� ���������� ���� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ���������� ����� ��� ����� ���� �� ����� ���� ���������� ����� ��� � &� ������ � ��� �� ������ ����� �� ���������� ���� ��� ���� ����� ��� ��������� ����� �� ��� ����� ���'��� ��� ���� �� ���� ��� ������������ ��� ��������� � ���� ��� ��� ����� ���� 34�

(� ������� �� ��� ����������� ����� ���� �� ����� ����� ��� ��������� ���� ' �����

���������� �� ���� ������������������� ����� �������� ���� 9 � �8���������!�����%���� ��'�� �� ���� ���� �� �� ���7���� ��� � ����� ��� ����� ��� �88�@� �� ���� ������ ��� "���� ��� ��� ���!���� ���� ��� F' ���� 1���� ��� ����� ����� �������� <����

�� .� 98� ���� .� 98� �� �8��� ��� �� .� 1� �� �8��� @#���

��� .� 8� ��� .� ��� ��� �������� � ����� ����%

��� .� 8� ��� .� �88� @

(�� �� ��� ����� ���� �� ����� �� �������-

1 16 11

2

3

1 1 0(30 10 )(2 10 )

1 2 1 0(0.5)

0 1 1 100

u R

u

u

−−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪× × ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− − = ⎨ ⎬⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

1��;?%

2��$������������ 3��� ������ ������

Page 66: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

��� ��� ���� ��� ��� ���� ��� �� ���� �� ����� ��� ���� �� ���� ��� �������� ��� �� ��� .� 8�� ��� ��� ������� �� �� ��� �&���� �� ���� �� ����� �� ������� ��� �� ������ ���������� �� ���������� ����� ���������(� �������� &� ��� ������������ ��������� ���������� ���������� ��F��� 1��;?%� ���� ����� ��� � ��� ������ ��������������������� �� ��� ������ �� ���� ���� ��� ���� ��� � ����� ��������� <��������� ��

�� .� 8�88A9;� ��� �� .� 8�8�>>?� ��

��� .� :�88� @ 1��;A%

(� ������ �� �� ��� ���� �������� � ���������� ��� ' ��� � ��� 3 F L

AE

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠�

��������� � ���������������'������������������� ������ �������� ��� � �� ���� ��� F' ���� 1��1� ���� ���7���� ��� ������ �� ����� �� +����� 1�19�

����� ���� �� ����� ������� ���� ���� ������������ ������ ()���!��� ����*�

( & # ,

& # ,

� � ��� .� !$&%

(

�� .� (!!��6�

(!!� �

(��������� � ����!��������������� �� ��� �������(�� �� ������� ������ ���� �

(1)6 11 1 0

(1)2

1 1 12.5(30 10 )(2 10 )

(0.25) 1 1 12.5

u P

u P

− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�

(2)6 11 2 0

(2)3

1 1 12.5(30 10 )(2 10 )

(0.25) 1 1 12.5

u P

u P

− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�

(3)6 11 3 0

(3)4

1 1 0(30 10 )(2 10 )

(0.25) 1 1 0

u P

u P

− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�

(4)6 11 4 0

(4)5

1 1 0(30 10 )(2 10 )

(0.25) 1 1 0

u P

u P

− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�

1��;B%

%

Page 67: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���������������� ���������������� �������������������������� ����� �

1 1

26 11

3

4

5

1 1 0 0 0 12.5

1 2 1 0 0 25 0(30 10 )(2 10 )

0 1 2 1 0 12.5 0(0.25)

0 0 1 2 1 0 100

0 0 0 1 1 0 0

u R

u

u

u

u

− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = +− − ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

1��=8%

C������.�: (1)0P � ������� ��� � ����� ����� ����� '������� ��� ���������<��� ���� ����

'�� ���� ����������� �������� �����1����9����� �� (1) (2)0 P P=

� �� (2) (3)

0 P P=�

������� ;� �� � �� (3) (4)

0 = 100P P−�

�� �� ��� =� ���� ��� ���� (4) = 0P�

�<����������� ���� ������� ������ ����������� �� ����.�8����� ������ ����� ����

��� ��� ��� �&��� �� �� ��������� �� ��� �������� � ����� ����� �

�� .� 8�88=?9� ��� �� .� 8�8�8;� ��� �� .� 8�8�;>� ��� �� .� 8�8�;>� ��

��� .� :�=8� @ 1��=�%

(��������� ����� '� �����������������;� ��=��������� �� ��'����� ���������������%����� � ����� ����� �� �������� �� ��� ��� ��� �� '�� �� ����� �������� ��� ���������

(� � �� ������ ��� ���� ��� ������ ��� ����� ���� �� ������ �� ����� ����� ��� &� �������� ���������� �� �� ����� ���� ��� '� ������� ������� �� ���(��������������� �� ���� ������ ��� ����� ����� �� � � �� ������ ��� �� ���� ������� �� �� ����� (������ �� �� �� ' ����� ��� � �� �������� � � �� ���� ��� ������ ��� ���� ' ����� ��� � ��� ���� ����

��2 0��-��!��������� 3��� ��������� (��!��������� � �� � � ��� ����� � ��������� ����������� � �� ������� ��� ������� ������� ��� ���� ���� ��� �� ��� �� �� �!������ �� ��������� � �� �� ���� ��� ���� ��

2

02 0

d Tk q

dX+ = 1��=1%

����"����������������������� ��������������������� ��� ���&��������������� ���� �� ��� ��� ��� �� � �� ������ ��� ���� ������� (� ����� �� �� "� ��� ��� � ������� ������ ����

��� ������� ����� �� �� ���� � � �� ������ �

2

020 0

L d TW k q dX

dX

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ 1��=9%

2��$������������ 4��� ��������� ������ �

Page 68: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

���� ���� ��� � ����� ��� � &� ����� ��� ��� ������� �� �� ���� � � �� ��� ��� �

00 00

0L

L LdT dW dTWk k dX Wq dX

dX dX dX⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ 1��=;%

���

00 0 0

L

L LdW dT dTk dX Wq dX Wk

dX dX dX⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1��==%

��� � &� ����� ���� � ����� �� ���� ��� �� ����� ����� � � �� ������ �

00 0 01 1

n n

k k

dW dT dTk dx Wq dx Wk

dx dx dx

�� �

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ � 1��=>%

��� ������ ��� ��� � ��� ��� �� �� ��� ��� ����� ����� ��� ��� � &� ����� �� ��� ����� ���� �� �� �� �� F��� 1��1=%� ���� ��� � �� �������� (� ��� ������� ��� ������ ��� �!������ �� � �� �� ���� ���� ��������� ��� �������� �� ���� ����� �������� ���� ����� ���� ���� �������+�����1�1;������� � ����� ������������ �������� �� ��� ����� ��� ������ ��6��� ���� ���%�� +�������� ��� ����� ����� ��� ��� � �� �� � �� �� ���

����� ���� -$!����� ������?� 4���� ��� ����� ��������

2����� ( ����

��0� �

����� < 9 (����� <

��

��.� !

������� ������� ��� ��� � �� �� �� �������� ���� ������ ���� ��� ���� ���������� ������ ����� ��� �� �� ���� ������ �����

1( ) 1 k kx x

T x T T +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� �

1��=?%

1 k kT TdT

dx+ −=

� 1��=A%

1 1 ,x

W = −�

1 1 ,

dW

dx= −

� 2 x

W =�

� 2 1

�dW

dx= 1��=B%

(����������� ������� ���� ������������ ��� ���� &� ����� F��� 1��=>%%� ����

01�� ������ ����� �� 2��� "���$5%� <���� �� ��� ��� "C<� ��� ��� � �� ���� �� ����� "��� ��� ��� �� &� ��� ��� �� ����� �� � �

1

1 1

1 1

k

k

Tk

T�+

− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

1��>8%

Page 69: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

41�� ������ ����� �� 2��� "���$5%� <��� ��� ��� ����� �� ��� ��� )C<� ������ ���� ��� ��� � ����� �� ����� �� � � ����

0

/2( )

/2q

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

� 1��>�%

41�� ������ ����� �� 2��� "���$5%� <��� ��� ��� ����� �� ��� ��� )C<� ����� ���� ��� � ������ �� � �

0Q

Q

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭�

1��>1%

���� 0��� 0� ������ ��� �� � �� ���'� �� ��� ��� ��� ��� ��������� ��� ���� ���� �� ����� � � �������� �

0

0

1

1 1 /2 ( )

1 1 /2

k

k

T Qkq

T Q�

� �+

⎛ ⎞ −− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ = +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ 1��>9%

���"C<�� �� �� �������� ��� �� ��� 3���� ������ ��� ���'4� �� ��� ������ ��������)C<�������3���� ����� ��� �����'4������������������������������ �������#��&���� ����� ������ �� ��� )C<� ����� ��� ��� �� � �� ���'� �� ��� ���� �� ������� ��� ��������� ����������� ��� ������ �������������(������������ ������� �� �������������� ���� 0R�� ���� �� ���� ���� ��� ��� ��� ����� �� '�� ���� ������ � �� ���'� �� ��������

��� ��������� ���� ��� ����� ����� �������� ������������������� �������� �� � �� ��� ����� � �� �� ���� ����� �� �� ��� �� �� ����� ��� ��� ��� ��� ����� ����� ��� ��������� ������� �� �� ����� �� ��� �� �� �������� ����� ������ ���� ���� ��� � ��� ������ ������������ �� ��� ���� ������������'������ ������ �� ����� �������������� ��� ���������������������'��������������������� ����� �� ������������� ���������� ����� �� � �& �� ��� ��� ��� ����� � ���� � ����� ��� ������ �� ��������

(������ ������� �� ��� ��� ��� ����� � �� �� ���� ��������� ��� ��������� ' ����

����������� )�����!����!��������� ���������'���������������������� � ����!������� ���� � �� �� ��� ��� ����&��� 1��� �� ����� �� +����� 1�1=�� ��� ����� ��� ��� ������ ���� �� �� .� 1�#;� .� �#1�� ��� ���� ����� �� ��� ���� �� ��� ������ ��� ��� ��� � ��� ���������� �� &��� ��� ������� �� ����� �

0

left

2 0

3 0

4 0

right0

1 1 0 0 0 2

01 2 1 0 0

0 0 1 2 1 0

00 0 1 2 1

0 0 0 1 1

2

w

w

qQT

T qk

T q

T q

QT q

⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = +− − ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

��

1��>;%

2��$������������ 4��� ��������� ������ �

Page 70: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

��� �&���� �� ��� ���� ����� �� ��� ������� ���� �� ��� � �� ���'�� �� ��� ��� ������������������ ����(����� ���� ��� �� ���� ������������� ������ ������������������ �� ��� � ��� ����� ���� ����� ���� ��� � �� ���'�� �� ��� ������ ���� ����� ���� ������� ���� ��� ���� ������ ) �� ���� ��� ���� �� ����� ���� ��� ���� ���� ���� �� ������� � �

2 0

3 0

4 0

2 1 0

1 2 1 0

0 1 2

w

w

T q Tk

T q

T q T

��

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

1��>=%

<��������� ��� ���� � .��#1%2

02 4

3

8 wq L

T T Tk

= = +

20

3 2 w

q LT T

k= +

��� ��� ����� ������� �� �� ���� ������� � ��������� ��� ' ��� ��������

����� ���" &����� ����� ���4� ������ 4���� � ���� ()���!��� ����*�

"���� �� ����������

"���� �� ������

�� �� �� �� ��

( & # ,( & # , %

� � � �

&�

1��>>%

Page 71: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������

(�� ������������������� ��������������������� ������ ����������� &�������� �� ������� �� �� ����� (� � �� ���� ������� ��� ��� �������� �������� ���� ����� �� �!������ ��' ����H '� ������� ������� ����� ��������� ������������������ �� ����(� �� ���������� ����������������� ��������� ������������ ����� �� ������������� �������������������(������������� ���������������������������� ��������� ��������� ���� �����,������������������������������������������������������� ���� ���� ��� ���� � � �� ���� �� ������ ��� ����� ������

� ����� �� �� � ������� �������� ��������� ��� ����� � ��� �� ������ ����� ������� ��������

�� (���� ���� ���(������)���� �� �� ����

1� $������ ���� ���� ��� � ���� �� ������ ���� &� ����� ��� ���()� �� ����� ������ �������� ������������� ����������������������������������������������������� ���� ���� ��� ����� � �� ��� �� ����������� �������� ��� ��� �������� ������ &������������� ���������������� ���� ���� ����� ��� ������ �����������

9� )����� ��� � &� ����� �� � ���� ���� ���� �� �����

;� 5��� ��� ����� ���� ���� ��� ������� ��� ��� ����� ���� ����� �� �� ������

=� 5��������� ����������� �������������M������ ��������������������� ����

>� ������� ��� ���� ���� �� ����� ��� ������������ ���� �� ���� &� �����

?� +��� � ���� ��������� ��� ����� ���� ����� ������ ��� ��� ������ �� ����� �� �������� ����������� ������ �����

A� <��������� ��� ��������� ���� ��� ��������� �� ����� ���� ��� �&����

������

��� <���� ��� ��������� �� ���� ����� � ���!� � ���� ��� �� �������� ��� %� ��� ����!������ ���������� ��� .� 8� �� �� .� �#9� �� �� .� 1#9%L� �%� ���* ��&��������� ������� �� ��� ���� ��������� ����� ��� ' ��� ��������

0dy

ydx

+ = � 8� �� �� �� �

� 8%� .� �

��� <������������������ ������������* ��&�R�������� M�� ��� ��� ����!� � ����������%-

50(1 cos ) 0.05dy

x ydx

= + − � 8� �� �� �� 1�

� 8%� .� 188

��� 5����� ����!� � �����������������������������������* ��&�R�������� ����� �� ��� ����� ��� ' ��� �������-

-��%���� ��

Page 72: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

2

2 cos ,

d yx

dx�= − 8� �� �� �� �

8%� .� 8� �%� .� 8

��3 5����� ����!� � ����* ��&�� ����'�� ������������������������� ���� ���-2

02 ,

d uf

dx= 8� �� �� �� �

= 0du

dx �� �� +� 8� �� �

��$ *��� ��!� � ����* ��&��������������������������� ������������������� ������� �� +���� $1�=-

2 2

2 2 + = 1

u u

x y

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂⎝ ⎠

�� .� !

�� .� !�� .� !

�� .� ! �(;(��!;(�

�!;!� �(;!�

� �� .� ! �� .� !+!=

+!= +!=

�� .� !

����� &��" (�*� #< ���� ������ ��� (�*� -����� ���� ������

��5 5����� ��� � &� ����� �� ���� ��� �������� +���� $1�>%�4

04 0

d vEI q

dx− =

(0) 0; (0) 0dv

vdx

= = �

2

2( )

d vEI I M

dx= �

3

3( )

d vEI I P

dx=

��

-

����� &��% ����������� �����

Page 73: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��6 +��� ������ ������� ������ ����� �� � �� �� ���� +���� $1�?%�� ��� �������� ������

1 �

d dur k

r dr dr⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0,r au = = 0r bu =

+��� ��� �������� ����� ��� � &� �����

�� 0� �

�� 0� %

����� &��+ ���� �4� �4� ��� ���� !�!��

��7 <���� ��� ��������� ���� &��� ��� ��� � &� ������ ���� +���� $1�A%-

4

04 0

d vEI q

dx− =

(0) 0,v = (0) 0dv

dx=

( ) 0,v L = ( ) = 0dv

Ldx

��# +���� �� ��������� �������� � ����� ����� +����$1�B%�� ���������� �� ���� ������ ����� ��������� ��� ���� ��� ����������5���� ���� &� ����� �� ���� ���������

20

2

1 0

qd T dT

r dr kdr+ + =

& ��%� .� &�� & ��%� .� &�

����� &��. �����'������ �����

��

-��%���� ��

Page 74: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������

���8 +��������������������������� ����!� � ����* ��&�� ����'�� ������������ ���� ��� ������������ ��� �� ��������

2

2 cos 10 0

�d y x

dx− − =

0 at = 0 and dy

x Ldx

=

���� 5����� ���* ��&�� ����'�� ��������������� ���������� ���� ���2

2 0

d u duA B C

dxdx+ + =

8%� .� �%� .� 8

���� �� ��� �� ������� ��� �!������ �� �� ��� � �� �� ���� ����� � ����������� � ������� ��� ������ ��� �� ���

2

2 1 0

d

dx

��+ + =

�� .� 8 �� �� .� 8

at 1d

xdx

��= − =

+��� ���* ��&�� ����'�� ���� ����������� ��� ����������� �� �� ����

���� 5����� ����!� � ����* ��&�� ����'�� ������������������������� ���� ���

2

2 ,c

d uf

dx= 8� G� �� G� �

= 0du

dx �� �� .� 8L� �� .� �

����� &��3 @���� ��� ����� ��� �� �����

����

��

��

Page 75: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������ ��� ��������

���3 ��� �������� ��� �� ������� �� ����� ���� � ��� ��������� ��� � � �� �� ��������-

21

0 2 a

d du dvAE q

dx dx dx

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

24

4

1 0

2 td v d dv du dv

EI AE qdx dx dx dxdx

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞⎜ ⎟⎨ ⎬− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

���� ��� ��� ���� � � �� &��� ���� ��L� � �� �� ���� ��� '� �� �� �� �������������� 5����� ��� � &� ����� �� ���� ���� ����� ��� �� �������

-��%���� �

Page 76: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��

��� ������� ����������� ������������������������������������������������������������������ �� �������� ������ �������� ������ ���� ����������� ��������� ����� ���� �������������������������������������������������� ��������������������������� ���� ������ !���� �� ����������� ��� �� ����� ���� ����� ������� ����� �� ������������������������������������� � ������������������������������������� ������������������� ���� ����� � ���� � ������� ���� ��������� � ��� �� ����� ��� "���������� ��� ����������#�� $�� ��� %���������&� ��� ���� �� ������ �� �������� ��� �� ������� � ���� ��'�������� ����� ��

21

( )( ) 2

duI AE q u dx

dx

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∫ ()�*+

����� ������������ ������� ����� ����� ����������������������� ����� ������ ������ ����������������������� �� ��������������� ������ ��� ��� �� �������� �� ���������� �������� ��� ������ ������ ���� �� ��� ��� ������������� ����� ���������� ���� ��������� ���������� � ��������� ��� ������ ���� ,��� '���� � ���� ���� ��� ���� ��� ��������� �������� � ����� �� ���������'�������� ������� �� "���� ������� ��� �� ����# � �� ������� ���� ����� �������������������������������������������$������� ��������� ���'����������������������������������������������������(���������� � -��������������������'�������������+������ ������ ��� ������� �� ������� ��� '����� ������� $�� .�������� ��� /�������� $���.������ (./$.+� ������������� �� ����� ����� ������������� ��� �� ������� ��� �� ���0�������������� ��� ������������������� ,��� ���������� ������ (���� ��� ���������� �����+ � �� ��� � ���� ��

��������� ��������� ����������� ���� ��� ������������������������������ ���� ������� �������� ������ ������ ���� ������ ��������� ��� ���� ������� ���������� ����� �������� ��� ������� ��������� ���������� ��� �����������

���������������� �������������������������������� �������

CHAPTER 3

Page 77: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

1�� �� ��� �� ��� %������� �&� �� ����� � �� ���������� ����� ��� �������� �������� �������� ���������� ���� ���� ��� ���� �� ���� �����2�������2����� � ��� ��� ��������� ,��� ���� � �� ���� �� ������� ������� �� ��� ����� ������ ��� ����������������� ���� ���� ���� ���� ��� ���� ��� ��������� �������� � �� ���� � �������� �� ����./$.�������������������������������$����������������������� �������������� ����� ����� �� ��������� ��������� �� ���������� ��� �� ����������� ��� ��� � �� ������������� ���� ��� �������� ��� �� ��� 34�� ���� ����� 54�� ��� ���������������������� ����� ������ ��������� ��� �� ������� �� ����� ��� ���� ��� ��������� ���������� /� ������ ����������������������� ��������������������������������������������������� ���� ����� ������� �� ������������ ���� ��� ��������� ���������� ������ ����������6������������������������������������������� ���7� ������������������ ���������� �������������� � ���������� � ����������� ����� ��� ��� � ��

��� ���� ������� � �� ����� ����� �������� ���� ����� ����� ��� ����������� ��������� ���� �'���� ��� �� ���������� ���� ����� ��� �� ��������� ���������� �������� (8���9:�������������+����� �����������������$�������� ��������������������������������������������� ���� �� ���������� �����������!� ����� ��� �������� �� ����� ��� ������������'�������������������� �������������������������������� ���� ��(�+�������������������'���������� �� �������������������������������������������������������������������!��������������������0�����������������������������������������������������������������������������������������������������!������������������������������������������������������������ ���� � ������������������������������������������������

�� ���� � ��������� ��� �� ����� ���� �������� ���� � ������ ����������� ����������� ������������������������������������������������������;������������ ���������������� �� ��������� ��� ���� ������� ����� �� ������������� ���������� ��������������� �� � ����������������������������������������������������������������������<����������������������������� ��������������������������(���������'���+�����������������������������������!���������������������������������(����./$.�����������+��������������������������������� ������� ����������������������� ����������� ����� ���� ��� ������ �� '����� ��� �� ����������� ��� �� �� ���������� � �� ����� ��� ��� ��� ������ ��������� ��� ���� ��������� �� �������� ���������

��� ����� ���� ��� � ������� ��� ����� �� ������ ��� ����� �� ����� ��� �� ����� ����������� �� ������� �� ������ ����� ��� ��������������������$�� ����������� ���������� �� ���� �� ���������� '����� ���� -���!���������� �� ���� ����������� �� �� ������ ������� ��� ����������� ���������

�� ��� ���� ������ ��� ���� �� �������� ��� ������ ����� � � ��7� � �(�+ � �� ��������� ���� ��'����� �������� �� �2 ��=�4��6� ����������� ������ ����� ��� � (�� ��� �> ���+������ ���� ��'����� �� �� ����� (�� � �� �> � ��+� ��

1 2

0n

f f f

x x x

∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂

� ()��+

��������� ��� ���������� �������� ����� ��

Page 78: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

?��� �������� �� "���������#� (���� �������� ��� ��������+� ����� ��

( ) , , b

a

duI u F u x dx

dx⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ()�)+

!��������������(�+�������������������������������� ��� -�������������������(�+� =���� �����(�+� =����� 6�� ��� '���� � ����� =� (*2�+� ( �2 �+�� 9� (�+(�+ � ���� �� ������ ���� ���������� ��� �(4+� =� 4@� �(!+� =� 4 � ��� ���� ������� �� ��� ��� ��� �� �������� ����������� ����������� �� -��� ��������� ��� ������(�+�� ���,�����)�* ��� ������ ������ ������� u (�+���������������������������������(�+��!�� ����������� u (�+�������

����� ��� ����� ��� ���������� �����

����

��

��

����

����

���� �����

�������� �������������� ��������������������������������'����������������!������� ����� ���� ������� �� � � ��� �(�+� ��� �������� ������� �� u (�+ � ���

( )u x � =� �(�+� A� ��(�+ ()�B+

���� � � ��� �� ������ ������� ���� �(�+� =� 4� =� �(�+�$�� �������� ��� u(�+� ���� �(�+� ��� ���� �� "��������#� ����(�+ � ������ ���

���� �� � �(�+�� $��� ��(�+� =� u (�+� 9� �(�+� =� ��(�+ ()�3+

Page 79: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

,����� )��� ������ �� ���������� ��� �� ������� �� �� ����� �������� � � �� ����������� ����� �� �� �������� ��� u (�+� ���� �(�+� ����� �� ����� �� �� ���������� �������� �(�+� ��� �� ��� ������� �� �� A� ��

����� ��� ������������ ������� ���� ���

����

����

��

��

��

� ������

����

!�����

� (��+ =� �������� ��� ����� ��� u (�+� ���� �(�+

=� u �(�+� 9� ��(�+� =� ��(�+� A� ���(�+� 9� ��(�+=� ���(�+� =� C��D� ()�5+

���� (� +E� �������� ������������ ���� ����� �� ��� $���� �� � ���� ��� �� ������� ����������������������������������� ���?�� ������������� ����������������(�+��� u (�+ �� ���

��� =� �(u � u � � �+� 9� �(� � �� � �+� =� �(�� A� �� � ��� A� � �� � �+� 9� �(� � �� � �+ ()�F+

8'�������� �� ����� ��� ��� $�����&�� ���� � �� ���

�(�� A� �� � ��� A� ��� � �+� =� �(� � �� � �+� A� F F

u uu u� �

∂ ∂ ′+′∂ ∂

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 2 2

2 22 2

1 2

2!

F F Fu u u u

u uu u� � � �

⎡ ⎤∂ ∂ ∂′ ′+ + + +⎢ ⎥′ ′∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦� ()�G+

��������� ��� ���������� �������� ����� ��

Page 80: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

$���

2 2 22 2

2 2

1 2

2 !

F F F F FF u u u u u u

u u u uu u� � � � � �

�� �

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞′ ′ ′= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠()�H+

$�� ����� ��������� ����� ��� ������ ��

F F

F u uu u

� � �∂ ∂ ′= +

′∂ ∂ ()�*4+

���� �� ������ ��������� ����� ��

2 2 22 2 2

2 2

2 ( )

F F FF F u u u u

u uu u� � � � � � �

∂ ∂ ∂′ ′= = + +′ ′∂ ∂∂ ∂ ()�**+

$�����

21

2 !F F F� �� = + + � ()�*�+

?��� �� ��� ����� ���� ������� �� �� ��� �� ���� �������� ��� �(�+ � ���

� � =� �(u � u ��� �+� 9� �(��� ���� �+

=� ( , , ) ( , , )b b

a aF u u x dx F u u x dx′ ′−∫ ∫

=� � b

aF dx�∫

=�21

2!

b

aF F dx� �

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ � ()�*)+

$�� ����� ��������� ��� �� ��� ������ ��

b

aI F dx� �= ∫ ()�*B+

���� �� ������ ��������� ��� �� ��

2 2 b

aI F dx� �= ∫ ()�*3+

$�����

��� =� � �� A�1

2 ! ���� "�� ()�*5+

��� �� ������� �� ���� ������� ��� �� ������� ���� �� ����� ���� �� �� �� ����� ���������������� � ���������� �� ������(�+� ������������ ��� /�����(�+���������� � ������ 4��6��� ��� ����� � ��� ���������� 7��� ���� ���� u (�+� =� �(�+ � �� ������ �� �������� ���� ��� �� 4�

I���������� �� �������������������������� ���������� ��� � �� �������� �� ���������� ���������������#(�+������� ������#(��+ ����!������������������������ �� ���������������������� ���� ������ �� �������� �� � � � ���� ���� �� ��������� ���� �� �� � �������� ����� � �� =� 4��!� ������� �� ����� ��� �� ����������� ����� ����� �� � �� =� 4� ������ ��� ��������� ���������� ������� ��� �� ��� ���� � ,���� � 8���� ()�*4+9()�*B+ � �� ���

Page 81: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

b

a

F FI u u dx

u u� � �

∂ ∂⎛ ⎞′= +⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠∫ ()�*F+

,���� 8��� ()�5+

( ) ( ) ( )d

u u udx

� � �′ ′= = ()�*G+

$���

( )b b

a a

F Fu dx d u

u u� �

∂ ∂′ =′ ′∂ ∂∫ ∫ ()�*H+

.��������� ��������� �� ���� � �� � ���

( ) ( ) b

b b

a aa

F F d Fd u u u dx

u u dx u� � �

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′ ′∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ()��4+

/� ������� 8��� ()��4+� ��� 8��� ()�*F+ � �� �

0b

b

a a

F d F FI u dx u

u dx u u� � �

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()��*+

/���� ���� �� ����� ��������� �(�+� ������� �� ��� ���������� �� �� =� �� ���� � � �� ���

��(�+� =� 4� =� ��(�+ ()���+

,��� �� ������ � � � �� ������ ��� � ����� 8��� ()��*+ � �� ������

0F d F

u dx u

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎢ ⎥′∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦()��)+

$���� ��� ������ ��� �� 8���9:������� �������� ,��� '���� � ��

21

( )( )2

duF AE q u

dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��� �� ���

F

qu

∂ = −∂

F du

AEu dx

∂ =′∂

()��B+

/� ������� ��� 8��� ()��)+ � �� �2

2 0

d uAE q

dx+ = ()��3+

������ ��� �� ��������� ���������� ������� ���� �� ��� �� -��� �� ����� ��� �������� �(�+�

��������� ��� ���������� �������� ����� ��

Page 82: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

:� ��� ���� ����� 8��� ()��*+� ���� �� �������� ���� ��� �'���� ���������� ��� �� ����!����

2

20

0L

b

a

d u duq AE u dx AE u

dxdx� �

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ()��5+

��� ��(4+� =� 4@� � �(!+� =� 4� ��� ���� ��� ������ �� �������� ���������� �� �� =� 4 � !�J����������� �������� �������� ����� ���� ���� ��� �� ��� ���

2

2 0

b

a

d uq AE W dx

dx

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ()��F+

!������������� ������ ���� ���������� ���$(�+� �7����� ��������������� ��� ������ ��� $��� �$(4+� =� 4� =�$(!+�

���������� �� ����� ��� �� �������� � ����� ������ �� ���� ����� ���� �� �������������� � �� � ���� ��� �� �������� ��������$(�+� ���� ������ ��� ������ ������������� ���� �� ���������� ��� �� ��������� ����(�+ � ���� ��(�+� ���� /���� ���� �� �������������(�+� ���� ��������� ������� �� ������� �������� ��������� ���(�+� �� �� =� �������� ��7���� ��� ������ ���� � ������ ����� ������� ���������� �������� �� � 7��� �� ��������� ,���� � ���� ��������� ��������� ��� ��� � ��� �(�+� ����� �� ����� ���������������� ���(�+�(��������$+�������������������������������������������������� �� �������� ���������� (��� � ��(�+� =� 4� =� ��(�++��� �� =� 4 � �� �������� ��� �� ����������� ���� ��������� �������� ����� ���������

!������ ���� �� ��� ��� '����� �� �� ����� �� ����� ��� ��

( , , ) b

aI F u u u x dx′ ′′= ∫ ()��G+

�� �������������8���9:������� ������� ��2

2 0

F d F d F

u dx u udx

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠()��H+

6�����'���� � ��22

2

1 ( ) ( )( )

2

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠d w

F EI q wdx

���������� ������������ ����� -��

������� ��������������������(�+��$����������8���9:����������������������������������� �� ��������� ���������� ������� ��� �� ���

/�������� ���������0�������������� ���������� �������������������������������2

02 0

d Tk q

dx+ = ()�)4+

�� -�� ��%(4+� =�%� � x Lq = � =� �(%�� 9�%�+� ��� �������� �� ����������� �� ���������

22

00 0

1 1 ( )

2 2

L LdTI k dx q T dx h T T

dx ∞⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ()�)*+

�� -�� �� % (4+� =� %��

Page 83: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

/�������� � ���� ��0����������� ��� ��������� � ���������� �� ���������� ������

2 2

02 2 0

T Tk k q

x y

∂ ∂+ + =∂ ∂ ()�)�+

���� �� �������� ���������

(�+ % =� %�� ��� &�

(��+ �� =� q � ��� &� (���+ �� =� �(%� 9� %�+� ��� &

����������� ������������������������

1

2 22

01 1

2 ( )2 2cA S S

T TI k q T dA q T ds h T T ds

x y ∞

⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫

�� -�� �%� =� %� ��� &� ()�))+

$��� � ����� �� ���������� � � ������ �� ����������� ��������� � �� =� 4 � �� ���� ����� ���������� ���������� �������� $����� � ��� ������ (���������� ���� ���������+� ����������

!� ����� ���� �������� ��� ��������� �� ����� �����'���� ��������� �� �� ��� ��� ���������������������������� ���� ��(�+��������������������'���������� ����!�������� ���� ���� ���������� � �� �������� ��������� ��� ��������� �������� � ��7� � �� .�������� ��/�������� $���� .����� � ���� ����� �� J������9J�7� ����� ��� �������� �����'������������ ���������������������!���������������������������������������������������������������������������� ����� ��� �����������0�������������� ����� ��������� ������� ��� ����������� ��� �� ����� ���� �������� ������� ����� �� ����� ����������

��� �� �� ���� �� ���� ����� ����� ����� ��� ����� �������� �� ������0����� ����� ������ ��� ,����� )�)�� :� �� �������� ��� ��� ����� ��� �������� ����������'��������������?�� ������������������������������� ��������'�������!����������������������������������.�����������/��������$����.������ ������������������ ������������������������0�����������6�����'���������������������� ��� ����������������������������������(*2�+(���+��$���������������������������� �� ����� ���� ����� �� �� ����� ����('� 9� �+�� /�� �� ����� �� ���� ������� ��� ������ ��� ���� ������������� ��

21 ( ) ( )

2p kx mg H x� ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ ()�)B+

I�������������������������� ����������������������������������������� �� ����� ���� ���� �� ��� '����� ������� $�� ��������� ��� ��������� ���� ������������� ��� ������� ��������������� ������ ����� ��� ������������� ����� ���� ��� �������������� � ���

��������� ��� ��������� ���� �������� ����� �

Page 84: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

0pd

dx

�= ()�)3+

��� (�+(���+� 9� (�+� =� 4 ()�)5+

$��� ����� �������� ��(�2�+ ����'�����$����������������'����������������� ���������!�� ������������������������������ ���������������������������������������!� ���� ������ �� ����� �� ����� ������� ���� ����� �� ��

21 ( )

2p kx mgx� ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ ()�)F+

$���� ������� ������� ������� �� � ���� �� ��� '����� � ����� ��� �������� �� ������ ���� ������������� ����� �� =� 4�� $�� ����� ��� ���� '����� ���� ��� ���� � ���� '����(���������+� �����(�� ���������� �������� '�������� ���� �� ����������� ��� �� ������

�� =� ������� ������ ����� ��� �� ������� A� .������ ��� '����� ����� ()�)G+

$������������'������������� � ���������� ����������������������������������(����������������+������������������ ��������������������������� ���������

0p

�∂=

∂()�)H+

$��� � ���� �� ������ �������� ��� ������ ������ � ��� �� � �� � �� � � � ��� ��� ����������� � ��� �� ���

0,p

i�

�∂=

∂�� =� * � � � > � ()�B4+

$��� � ���� ��� ���� �������� � �� ���� �������� �� ����� ��� �������� ��� �����'����������� �� �� ��� ��� �� ����� ��� ��������� K��� ��� �� ���� ��� �� ������ �������� ������������� ��������� � ��� �������� ��� ������� ����� �������� �������� �� ����� ����,��������������������������������������������������������� ��������������

����� ��� �������� ������ ����� �������

!

�"

������� ���� ������ ���� � ����� �����

#

�����

Page 85: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����������I������� ��./$. �������� ������������������ ����������� ��������������������!������������������ ����������� ��J������9J�7����� ������� ���������������� ��� ��������� ���������

������������ �������� ��

$�� J������9J�7� (J9J+������ �������� ��� ��� ����� ���L

���� ! ��������� ��������������� ��:������������������ ������ ��M�(�+�A��)�N ��=�* �� �> � �����)����������������������������������������������������������� ��� � ����� ��� �� ������� ���������� ����� ������� ������� ��� �� ������� �������������������� ����� ������� ������� ������ ���� � ���� ��� ������� ��������� � ����� � �������� �� �������

���� "! ��������� ��� ���� ������ ��������� ,��� �� ����� ����� ����������� � ������ ����� ��������� �������� ���� �� ������� ���������� ����� ��� /�� *� � ���

����#! &��� ���� � ������ ���� ���������� ��������� I���������� ��./$. � �� ���� ����������� � ������������� ����� �� ������ ���������� ��� �� ���������� ������$�� ���������� ���� ���������� ����� ��� ���� ���� ��� ������ �� ������ ���������� ��� �� ���������� ����$����� ���

0,p

ic

�∂=

∂�� =� * � � � > � ()�B*+

������ ����� ����� �� �������� �������� �� � ������ ���� �� ���������� ���$��������������������������� ��J�������(*GFF+���������������������������� �

J�7�(*H4G+��J�����������������-�������� ���7� ���)�������J�7�'�����������������0��������'��������1���� � ���������������������������)����������������������� ��������� ������ ���� �� ���� ������� ��� �� ��� ���� ,����� '������ ��� ���������� �� ������ ���0���� ������ ����� ��������� )�� ����� ���� ��� �� �� ��������������������� ��� �� ����� ���������

!� ����� ���� �������� �� ����� ����� ��� J9J� ����� ���� ���� ������ '������� ����

���������� ������ � ��� ������� ��� ���������� �� ��� ������� �� ��� ��� ���� ��� ������������������� -����������������'������������������������,�����)�B��$�������������������� ������� �������� � �

����� ��! "�� ����� �#���� ���� �$#������ �����

��

� � � � �

��������� ��� ��������� ���� �������� ����� ��

Page 86: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

2

2 0

d uAE q

dx+ = ()�B�+

���� �� �������� ���������� �(4+� =� 4@� � = 0x L

du

dx =�

!���������� �� �������������� ���������������� ������������� ���8'�����)�*�!������ ���� �������� �� �������� ������ ��J9J������� ,��� �� ������ ���������� �(�+

/����� ����� ����� ��� �� �� �*� =�2

0

1

2

L duAE dx

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()�B)+

.������ ��� �� '����� ����� � +� = 00

( )L

Lq u dx P u L− −∫ ()�BB+

��� ��������������������� �����������(��=�� x L

du

dx =������ ���������������������

��� '����� ������� ��� ������� �� ������ �������� �������� � �� '�������� ���� �� ��������� '����� ������ ������ (���� ���� '����+� �� �� ���������L

00

L

V q u dx= − ∫ ()�B3+

$���� �� ��� �� ����� �(�+� ��� ��������� �� ���� ������� ��� �� ����� ����� �

2

00

1

2

L

Pdu

AE q u dxdx

�⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()�B5+

�� -�� �� �� ������� �������� ��������� ��� �(4+� =� 4�� �� ��� �� � � ����� ��� �� ���� ��������������������������� ( / | 0)x Ldu dx = = ����� �������������������'����������� �� ���������� ����� ���� ���� �� ����� �������� ������� ��� ����� ������� �� ������ ������������������6��� ���� ������� ����������������������(�+� ��� �����(�������� � �������� �� ����� ���+� �������� �� �� ���������� ������� �����

:� ��� ���� ����� ���� �� ���������� ����� ������ �� J9J������

���� ! ������� �� ����������� ���� �� :� ��� ������ ��

�(�+� �� ���� A� ���� ()�BF+

$���� �������� �� ������� �������� ��������� ��� �(4+� =� 4��!� ���

1 2 2du

c c xdx

= + ()�BG+

���� "! ��������� ��� ���� ������ ���������� $�� ���� ������� ��� �� ����� ��� ����� ��

Page 87: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

2 21 2 0 1 2

0 ( 2 ) ( )

2

L

pAE

c c x q c x c x dx� ⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫2 2 3

2 22 11 1 2 0 0 23

4 2

2 2 33

c c LAE Lc L c c L q q c

L

⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦()�BH+

���� #! &��� ��� � � ������ ���� ������� ��� ��������� ,���� �� ��������� ��� ��������� ���������� (./$.+ � �� ���

0p

ic

�∂=

∂ � �� =� * � � ()�34+

$�����

22 0

1 2 0 (2 2 ) 02 2

p

i

q LAEc L c L

c

�∂= ⇒ + − =

33 2 0

2 12

0 (8 /3 2 ) 02 3

p q LAEc L c L

c

�∂= ⇒ + − =

∂ ()�3*+

/������ ���� ���

��� =�0q L

AE ��� =� 9

0

2

q

AE$���

20 0( ) ( /2) (2 )2

q qu x x L x Lx x

AE AE= − = − ()�3�+

������ ��� � ����� �� � �� ���� ��� ��� � ����� ��� 8'����� ��*�

�������� � ����������������� ������� ���������� ��� �� ������������������������� �������� ��������������� ��� ����������� ������ ���,����� )�3��,��� �� �����������(�+ �����

����� ��% &������ ��������� ���� ����� ���� �$#������ �����

� � $

� � �

��

0

��������� ��� ��������� ���� �������� ����� ��

Page 88: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

$�� ������ ����

*� =�22

20

1

2

L d vEI dx

dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ()�3)+

$�� ������� ��� �� '����� ������ ��

+� =� 00

Lq v dx−∫ ()�3B+

$������ ���� �� ���� ������

22

020

2

L

pEI d v

q v dxdx

�⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()�33+

���� ! ������� �� ����������� ���� ��:� ��� ������ �(�+��� ��� ���� (� �2!+��$���� �������� �������� �������� ���������� �(4+� =� 4� =� �(!+�� !� ���

22

12 sin

d v xc

L Ldx

� �⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠()�35+

���� "! ��������� ��� ���� ������ ���������� $�� ���� ������� ��� �� ����� ��� ����� �

22

1 0 10

42 01 13

sin sin2

2

4

L

pEI x x

c dx q c dxL L L

q LEIc c

L

� � �

�⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

= −

∫()�3F+

���� #! &��� ��� � � ������ ���� ������� ��� ��������� ,���� �� ��������� ��� ��������� ��������� ��� ���

1

0p

c

�∂=

∂ ()�3G+

$����� 4

32

EI

L

� 01

2 0

q Lc

− =

���

��� =� 4�4*)4F4

0q L

EI()�3H+

$���� �� ������ �������� ��

�(�+� =� 4�4*)4F4

0 sinq L x

EI L

()�54+

Page 89: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

!�� ������������������������������������������� ������������������������(���� 8'����� ��B+�� ��� �� �������� ���� � �� ��������� !����� J������� ����� ���������������������������������������� ������ ��������������������������������������� ������� ���� �� �������� ���������� ��� �� ��� ��� (������� ���� ������+�� $�� J9J�������� ������������������������������'���������� ������� ������������ ����������� ���� ���� ������� ������� �� ������� ��� �� '����� ������� $���� �� ����� �������� ����� J9J� ����� ��� ����� ������� �� ������� �������� ����������� ��� ����� � ��� ������������������ ��������� �� ���������� ������������������ ������ ��������� � � �����������������������J9J����������� �������������������������� ��������������� ������� �������� ���������� ���� ���� ��� ��� ��� �� ���� ����� ���������

��������� %����������� �����������������,��������������*��������� �34������������������ ���0���� ��� ������ ��� ,����� )�5 � ���� �� ������ �� ��� ������� ����� �� ����������������������)44O���:���=��44�!2�2O�� ���� ���������@���=��4�!2��2O� �%

��=�)4O��

����� ��' � ��� (��� �$#������ �����

������

$

%��

$�������������� ������������������� �����������������������������8'�������G ���� ��� �� ��������� ���������� �������� $�� ��������� ���������� ������� ���� � �������� ���������� �� ���� ��� ����� ��� ���� ��������L

2

2 ( )

c

d T Phk T T

Adx∞= −

(0) 300 CwT T= = ° ()�5*+

( ) 0L cdT

q kA Ldx

= = (����������+

������ ��� �������������� ������ ���������� �(� ��� ������� ��� ��� �������0���������� � �� ��� �� �������� ��� ������� �������� � %�� ��� �� ����� ������ � ���� %�� ��� ��� �������� $�� �������� ���������� ���������� ��� ����� �

��������� ��� ��������� ���� �������� ����� ��

Page 90: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

22

0 0

1 1 ( )

2 2

L L

L Lc

dT Phk dx T T dx q T

dx A� ∞

⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ()�5�+

��� ��������� ����������'����������������1���� ������������������������ ��������������� ������������������������ �������������%(�+�������������������������

22

0 0

1 1 ( )

2 2

L L

c

dT Phk dx T T dx

dx A� ∞

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ()�5)+

�� -�� �� �� �������� ��������� ��� %(4+� =� %�� =� )44O��

���� ! ������� �� ������ ��������� :

%(�+� �� T(�+� =� ��� A� ���� A� ����

,���� �� �������� ��������� � ��� =� )44�� $�����

T (�+� =� )44� A� ���� A� ���� ()�5B+

���� "! -������� ���� ��������

[ ] 22 21 2 1 2

0 0

1 2 270

2 2

L L

c

Phk c c x dx c x c x dx

A� ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ()�53+

���� #! .������� ���� ��������

1

0,c

�∂ =∂ 2

0c

�∂ =∂ ()�55+

,���� 8��� ()�53+

32 2 42

1 2 12

(2 2 ) 270 03 2c

cPh Lk c L c L c L L

A

⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 2 5 4 322 1 2

8 2 2 180 0

3 5 2c

cPhk c L c L L c L L

A⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

()�5F+

��� �� ������� �� ��������� ������ ���� �������� ���� �� ��� ���������� ��� ���� �� ��� �

��� =� 9)H�)�)5 ��� =� B4 BHG�BB ()�5G+

$���� ���� �����'���� �������� ���� ������ � ���� ��� �� ������������ ��� ���������� � ��� ����� ��� �������L

%(�+� =� )44� 9� )H�)�)5�� A� � B4 BHG�BB�� ()�5H+

$����������!J� �������� � ����� ���8'����� ��G� ��� ��������� ��� �����8��� (��5H+���� ����� �����L

%(�+� =� )44� A� )G F3*�B)(��� 9� �!�+ ()�F4+

Page 91: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

$����������'����������������������� ��'����������� ���$� ��)�*��8��� ����� ���������������������������� � �� �����������������������������$��J9J����������������� ���� A� ���

�� (���� ��� � ��� ��� �������� ��� ���� ��+������ �� �����������������!J����� ���� ��(�

�� 9� �!�+� ���� ���������� ��� �� �������� ����������

�� ��� ��� )���������� �(� *����+��� ,"� ��� "-"� &��������� �$#������ ����

#���� �������� $#���� �������� *����+��� ," "-"� ����������������

� ��� ��� �������� ���� � ��!��" ��!�#����! �$#��� �$��!� �$#������!� �#"�$� �����" �����$���� �� �#� ������ �� � ������ �� ��! �� ��# �� ������� �!"�!$ �!��$� �!�� ������ �!��"! �!!��# �!���"���# ����#" �� ��� �� ��$���#� ������ ��#��" ����#$���� ��#�" ����!� ������

��! � ���"# ��� $�� ����� �� ��� ����� ��%� � ��� �������&��'

��� �� '������ ��� ��� ��� ���� ���� �� ������ �������� ����� �������� �������� ���� �� ����������� !��� �� �������� �� ����� ��� �� J9J� ���� � ��� � ��������� �� ����� ��������������� ���� �������� �� ��� ������� ��� ����� �� �� �� '��� ������� � �� ������ ��� ���� ����������� �� ������� ��� "����� �����#�� �� ������� ������ ��� ����� ������ ��� �� �������0���;������ �� ��� �� ��� ���� � �� �� �� ����!� ���� ���� ���� �� ������ ���0���� ������ ����� ��������� ����� ���� �� �� ��� ��������� ������ ���� �� ���� ������� ��� ���� ����!������ ���� �������� ���� ������� ������� �� �� ����������� ��� �� ����� �������������������������������������������!������� ������������������������������� �������� ��������� ���� �� ���� ������� ��� �� ��� ����!��� �� ������������ ��� �������������� 0���������������������0����������������������� ������������������������ ���� ���� �� 0������� ("����� ���#+� ���� ���� ��� ���� ���� �� ������!������������� �� �������� ��� �� ��0����������� ��� ��� ��� ���� �������� ����� ��� ������ '����� �� ���� �� ��� �������� ��� ��� ������ ��

����� ������������������������ ����������������������������

�������� �� ������� ��� ���� ��� ������ ��� ,����� )�F� ���� ��� ����� ���� �� �'������������� �� ��� �� ������ ������� !� ����� ��� �� ���� ����������� ��������� ��� ���� �������� � � ��� � �� ���� ����� ������ �� ���� �� ���

1 2 1 x x

u u u⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � ()�F*+

�����&'����(���������� ���� ���������)������� �������*��%�� ��

Page 92: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

$���� �� ������ ����� ����� ������ �� ���� ��� ����� �

2 22 1

0

( )

2 2e u uAE du AE

U dxdx

�−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ()�F�+

��� ��� ��� �� ����� ��� ����� ��� ������ �� ���� ����� ��� �� ���� ���� ���������������� �� �� ���� � �� ������� ��� �� '����� ������ ��� ����� �

0 1 1 2 2 0 1 2 1 1 2 20

( ) 2

eV q u dx F u F u q u u F u F u= − − − = − + − −∫� �

()�F)+

$���� �� ���� ������� ���� �� ��� ���� ��� ����� �

ep� � =�* �A� + �=�

202 1( )

2 2

qu uAE − − ��

(��� A� ��+� 9� ����� 9� ���� ()�FB+

,��� �� ���� ������ � �������� ��� �� ����� ������ ��� ���� ���� � �� ���

1

n

ep p

k

� �=

= ∑ ()�F3+

I������������./$. ������������������� ��������������������������������������� �� ���������� ������$�� ���������� ��� �� ���������� ����� ��� ���� ���� ��� ������ ������� ���������� ��� �� ������ ������ � ���� $���

0p

iu

�∂=

∂ �� =� * � � � > � ()�F5+

!������������8���()�F3+��� �� ������������������������������������������� ������������ ��� �������������� � �������� ������������ C/DM�N�=�M �N��$������� ��������� ���� ���� �� ��� ����� ���� �������� ���� � � ����� �� ��������� 8��� ()�F5+� �� ����� ���� ������� ��� ����� ��8��� ()�FB+�� �$���������� �� ���� ���� ����� �������

01 2 1

1

0 ( ) 2

ep qAE

u u Fu

�∂= ⇒ − = +

∂�

02 1 2

2

0 ( ) 2

ep qAE

u u Fu

�∂= ⇒ − = +

∂�

()�FF+

����� ��. �������� ��� ��������

� � �

��

� � �

��

��

!

��

Page 93: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������'� ���� � ������ �� ���� ���� �������� ��� �������L

1 10

02 2

/21 1

/21 1

� �

u FqAE

qu F

− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

()�FG+

!�� ���� ��� ������ �������� �� ������������� ����� �� ������ �������� ��������������� �������� ���� � ������� ����� �� ��������� ���������� ������� ��� ���� ����(.����������������������������������������(�����8���(��*)B+�+�$��������������� ����� ����� �������������������� ������ ��� �������� �� ������ ������������ ���� ������

����� �!����"�����#���$���"����������"������ ���������������������������

�������� �� ���������0�������������� �������������� ��� ������ ���,�����)�G����� ������� ���� �� ������� %� ��� �� ������ ������� $�� ��������� ���������� ��� ����� �

����� ��/ �������� 0���� �����(��� ��������� � �

+�

!

��

� � �+�

��

2

0 1 1 2 20

1

2

dTk dx q T dx Q T Q T

dx� ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

()�FH+

������� � ��� ���������� ����������0� �0�� ��������� ���'��� ��������!��������� ������������������������������������������� ���� �����������������������������

1 2( ) 1 x x

T x T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � ()�G4+

$���� �� ���� ���� ���������� ��� ����� �

2 02 1 1 2 1 1 2 2

1 ( ) ( )

2 2e qk

T T T T Q T Q T� ⎛ ⎞= − − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠�

� ()�G*+

,��� �� ���� ���� � �������� ��� �� ����� ������ ��� ���� ���� � �� ���

1

n

e

k

� �=

= ∑ ()�G�+

$����������������� ����������������������������������������������������������

�����&'����(���������� ���� ���������)������� �������*��%�� �

Page 94: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

$������������������������������������������������� ����������������������������������� %�� � $���

0,iT

�∂ =∂

�� =� * � � � � � ()�G)+

!������������8���()�G�+��� �� ������������������������������������������� ������������ ��� �������� ������ � ��� ������ �������� ��� C/DM�N�=�M � N��$�� ����� ��������� ���� ���� �� ��� ����� ���� �������� ���� � � ����� �� ��������� 8��� ()�G)+� �� ��������������������������� ��8���()�G*+��$������������������������� ��������

01 1

02 2

/21 1

/21 1

qT Qk

qT Q

� �

− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

()�GB+

!�� ���� ��� ��� ����� ������ ��� �������� �� ����� ����� �� ������ ����������������������������������� ������������������������������������������������ ��� (����� ��� ��� �� ���� ���0�� ��� ��� ������� �� ��� ���0�� ��� 8��� (��*5�++�

��( &��� �)� �� � � ��� �������� ����� ��:� ��� ����� �� �� ���� ���� �������� ���� �� ��� �����!���� � �����8��� ()�FG+ ������� =� 4

1 1

2 2

1 1

1 1

u FAE

u F

− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭� ()�G3+

���C/DM�N� =� M�N

$�� ����������� ����� ��� �� ���� ������������'� ���� �� ����� ����������������/������ �� �������� �� ���������� ��� ���� �� ���� ������ �� ���� ��� =� *� ������=�4��,����������������������������������������������������������������������������������� �� 2!� �� ��������������*���� � ����������� ��� �� ������� �� �����������������������������������������������,������� ������������������������� ������ �� � ��� ���� ���� ������ �� ��������� � �� �� �� ���� ������!� � ���� ������������ �� ��������������� ��������������'���� �������� �� ��� �������/�������� �������������������������������������=�*��������=�4 ��������������������� �������� �� ������ ������� ��� �� �������� ����'��$���� � ������� ��� ����� �� ���� ��� �� �������������%� ����� �� ������� ���� ������ ������� ��� ������ �� ������� ����������� �����&���� ���� �� ���� ��������� ��� �� ����������� ������� ����� ���� ���� ������� ��� ������ ������� �������� ����� ������ � �� �������� �� ���� � � ����� ������� ��� �� �� '���

!������������������������������������������� ��������������������������������� � ������ �� (����� ������� ��� ���� ������ ��� ����� ���� ��������� !� ������������������������������������������������� ������������(�� ��������������������/�����B�3+������ �������(,�����)�H+�����������������������������-��������

Page 95: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ��� � �� �� ������� ������ �� ���� ���� ��� �� �������� ���������� � � ���� ������ (��������� ������+� �2 ���!� ���� '��� �� ����� �� ��� ���� �������� ��

11 12 13 14 1 1

21 22 23 24 1 1

31 32 33 34 2 2

41 42 43 44 2 2

k k k k v F

k k k k M

k k k k v F

k k k k M

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

()�G5+

I���� ��� �� ��������� ���������� ��� �� �������� ��� �� �������� ����'� � �� � �� ���� ��� �� �������� ��� �� �������� ����'� ������� ���������� �� �� ������ (�����+������� �� ����� �� ���������� ���� ������ ��� ,����� )�*4�� ,��� '���� � �� ������������������������ ��� �� �����������������0��� ���(��=�!� ��������������+� ���� �� ����� �� ���� �� �����.� ������� �� �� ��� �� =� 4� ����� ��� �� �������� ��������������������� ��7�����������,������������������������������������������8���9I�������� ��� ���� � �� ����� �� ������ (�����+� ���� �������� ��� ������������� ��� ������ ��� ,����� )�*4�� $���� �� ��� ���� �������� ����'� ������ ������ �"����#� ����� ��� ������ ��

3

2

3 2 3

2 2

12Symmetric

6 4

[ ] 12 6 12

6 2 6 4

��

� � �

� �� �

EI

EI EI

kEI EI EI

EI EI EI EI

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

()�GF+

����� ��1 �������� ���� ��������� � �

,�

!*�

*�

,�

� � �

10

x

dv

dx�

==

2 �

�x

dv

dx ==

�� ��

*����"� ��� ������� ������� �������� ��

Page 96: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

!����������� �� ��������������� �������./$.��������������� ��������������������(��/�����B�3+��8������������������������������������������������������������������������'��������������������� � ������������������������������������� ��� ������ �� ����� ������ ������!����� �������� ��0� ���� ��0����������� ��������� ���� ������ ����� ����� ���� ������� ���� � �� � �� ��� ��� ����� �� �� ����� ���������������� ������� ���� ����������������!���������������������� ������

����� ���2 )0������������� �(��������� �0����� (��� �� ���� ��������

!��

!��

!��

!��!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

!��

,� � !��% �� � �,� � �% �� � �

,� � �% �� � !��,� � �% �� � �

,� � �% �� � �,� � !��% �� � �

,� � �% �� � �,� � �% �� � !��

Page 97: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� ����������!J���� ��P�������������� � ���������� ��������������!���������������� ���������������������������������������������������������������

!������������������������������������ ���� ����������������������� �������������� ����� �� ��� �������L

%����&����������������������'���"�"����

� <����� �� ��������� ���������� ������ ����� ����� �������� �������� �����.��������������� ������������������� ����������������������������������������������������J���������������������������������������

�J� !��� �� ���������� ���������� ��� �� ��������� ���� � �����

���� "

� Q�������������� ��������������������� �������� ������������������ Q���� �� ����� ��� ����������� ���������

���� #

� ������ �� ���� ���� �������� �� �� ������� ��� ����� ��������� ��� ����� ����� ��� �� ���������� ����������

���� )

� Q�����������������������������������������,�������������������������������� � �������������������������� ������ �������������������������

� /� ���� �� ������ �� �������� ���������� ���� ����� ���� �� ���������

�(��'�)

!��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������� ������� ������������������������������� ��� ������������������ ��� � ��� � ����������� ������� ����������������� ������ ����������������./$.�����������������������������������������$������������������������������������������������������������������'������������������� ��������� ������� ���� �� ��������� �������� 1���� � ����� �� ���������� ���� ������ ��� (����� ��� �� ��� ������� '����� � ��+ �������� � � �� �� ������ �� ������������ ���� ��������� $�� ���������� ���� ���� ��� ��� � ����� ��� ���� ��� ���� ��� ��������� ���� ������ ���� � ���� ��� ���� ���� ����� ��������� ������ � ���� ��� �� ���� � ����������� �� ��� �� ��� ��� ��� ���� ��� �� ��������� ���������� ��������� �� ���� ��������� ��� �� ����� ���� �������� ���� � ������ ������������ ���� ����� �� ������� ��������� �������� ������������� ��������� �������;���������� ��� ������������� �� �� ����� ������� ��� �� ' � �� ����� ��� ��� ��� ������ ��������� ��� ������������ �� �������� ����� �����

������ ��

Page 98: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������

&� �*���

#� J���8'����� )�*����� �� ��� �����(�

C'��1� <�� +� =� 9(�(!+D�

#�" J��� 8'����� )�*� ���� �� �������� �������� ����� �� =� ���� Q�� �� ����� �� ��� '���������R

#�# J��� 8'����� )�� � ������ �(�+� �� ��(�+(!� 9� �+�

#�) J��� 8'����� )�� � ������ �(�+��� ��� A� ���� A� ����� A� ���

�� A� ���

()���1�� ���� ��� ���� ������������ ������������ ������� ��������� ����������������� ��� �� ��� ���� $���� �� ��� �� �� �(4+� =� 4� =� �(!+ � �������� ���������� ������� ����!� ��� �� �� ��������� ��� �������� ����� �� ./$.�+

#�* /���� ���� �� ���������� ����� ��� �� �������� ��� ����� ���������� ����� ������� ���� <�� �(�+� �� ��C*� 9� ���� (��2�!+D�

�������� �� �����������

#�+ $����������� � ��������0�������������� ��� �������������������� � �������� �

22

20 ( )

2

(0) (0) 0

LEI d yI dx Py L

dx

dyy

dx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

I������������������������ ��=�4 ����������������������������������������� ��� ���� �� �������� ���������� �� �� =� !�� !��� ��� �� ��������� �������������� �� ���� ���������R

#�, ,��� �� ���������� ����� ��� � � ���� �� ������������� ���������� (8���9:������+� ������� ���� �������� ���������L

22 2

0

1 ( )

2

L dyI y ryx dx y L

dx� �

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫�� -�� �� �(4+� =� 4�� 6����� ��� �� �� � ������ ��������

Page 99: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��

��� ����� ������ � �� �� ����� ������������� � ��� ������� ������� �������� �������� �� ���������������������� ����� ��� ����������� ��� �� ������������ ���� ������������� � � ����� ������ ������ �������� ������� ������� ������ ���� ����� ������������������������ ��������� ����� ���� �������� ��� �� �������� ������ �� �������� �������� ��� ��� ��������� !�� ��� � �������������� ���������������������������� � ������������ �������� ��� ������������������������� ������ �����������������������������������"����������#�����������$���������������#��������%������������������������������������� ���� ���������������� ��� ��� ������������ ����� ����������� ������� ��� �� ������� ���� ��� ��������� �������� �������� �� ��� � � ���� ���� ���������� $� ���������� ��� ����� � �� � ���� ���� ��� ����� ������� �� &�� ����� ��� ���� ��� �� ��� ����� � �� ���� ����� ���� ���������

��� ������ � ��� �� ���� � �� � ������ � �� ���'� �������� ������ ������� " ���� � � �� �� �� �� ���%� ����� ��� �������� �� � (����� ��� �� ���� ������� ��� ���� ���� ��� ��� ���� � " ���� � � ������%�� ���� � � �� ���� ���� � ������ " ���� � � �� �� ��%� �� ����������� ���� � ������ ��� ������� ����� �� ���� �� �� ������� �������� ������������ �������� ��� ����� ����������������������������������!������� �� �� � (����� ��� �������� ���� � ��� �� � � " ���� � � ��� ����� �������������� ��� ������������%��)��� ���� ���������� ���� ��� �� ��� �� ���� �������������������� ������� " �� � � ��������� ���� ���������%�� ������ � ���������� ��� ��� � �������� ����� ������������������ ������� ��� ���� ���� ��� ���� ������ ���������� ��� ���� �� ������� � ������ ������ ��� ���� ���������������� ������*����+ ����������� ��� ���������������� ���������������� �����������������

$�� � ��� ,��"��� -� ���%� .� ��� "/�0%

��������� � � ������������ ������������ � � ������������ �� ����� � �� �"��%��� ����������� ������������������ �����"���%��������� ������� �������������� ���� ���� ���������������� ����

������������� ������������� ������

CHAPTER 4

Page 100: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

������� 1�� ��� �� �� �� ��� ����� ���� ������� ��� ���� ���� ����� ����� ������� ��� ��������� ������������ ��� ����� ������ ��� ��� � ����� �������� ��� � � ������ �� ���� ����������� ���� ���������� � ���� ������ ��� ����� "�%� ��� ����������� � ���������� "��%�� *���� 2�3� ��� � ��� ���������� � ���������� ����� ������ � ���������� �� ��� �� ��� ���

��� ,� 4�54��5� ,� 4"��%"0%"0%54"���%"0%5� ,� �� ��� "/�6%

$� ��������� ��� �� � ���� 7��� "/�0%� ��� ����������� ����� � ����� ��� ����� ���� � ���� ���������� ��� ��� � ����� ���������������������� ������� ������������� ���������� �������� ���� ���� ������ ����� ������� ��� �

20 0

1

2� � � � �x x x x xU E A dx E A dx A dx

⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ∫ "/�8%

������������������������������������������������ ������������� � �������� ���������������� ���� �� ���� ����� ���� ������� �� ����� ��� ����� ��������� � � ������ � ��

�� ,� - "�9��%�� ���

���� � ��� �� �������� ������ ������� ���� �� � �� ���� "�� ��� ����� ������%� �� ����������"%�� ��������� ���� ���������� ��� �������� ���� � � � ������ �

( ) i iV q dx P� �= − + ∑∫ "/�/%

�������� ����������������������������������������������� ��� �� ����������������� ��������� � ������ ���� ���� ���� ����� � ����� ����������� ���� � ��� �� ����� ���� ������ ���������� ��� ��� ������� � � � ������ �

p U V� = + "/�:%

�������� � �� ��� � ������� ���� ��� ��� ������ � �� ���� ������ ����������� ��� ����� ���� �������������� �������� � ��� ����� ������� ����

��� �������� � ��� �� ������� ������� ����� ��;�������� ��������������������������������������������� ������������������������������� ��� � ���������� <�=�� � ���� ���� ����� �������� ��� � � ������ >

�� ,� 4�5<�=� "/�?%

���� ������������� ��� 7��� "/�?%� � � � � ������ >� &�� �� �������� ������ �� ����� ��� ����� ����� � ��� � ���������� ��� ����� ������ "������ � ���������� �� �� ��� �� �� � ���������� %�� ��<� =�� � � �� ������� ������ ��� ����� ������ ��� ���� �������� ��� � � ��� ���� ������ ��� ���� ������ ����� �� ��� ��� � ��� �������� "@@A7;%� ��� ���� ������ ��� ���� "@&B77%�

&�� �� �� �������� "&����� /�0%�

@@A7;�,�6@&B77�,�0

{ } 1

2

e

u

u�

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�C%

Page 101: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

&�� �� ���� �������@@A7;�,�6@&B77�,�6

{ }

1

1

2

2

/

/

e

v

dv dx

v

dv dx

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�D%

���� ������������� �4�5� ��� ���� ���� ���������������������� �� ���� ����� ����� ����������� ������������ ���� ��������� ��� ���� ���� ��� ���������� 4�5������ �� ��� � ���������� ���� ������ <�=��� &�� ��������� ��� ���� �� ��������� 4�5� � � ������ �

[ ] 1 � �x x

N⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

"/�E%

���� ������� ����� ��� �� ������ � ������� ���� �������� "������ ��%� � � ������ ��� ��� � ��� ����������� � ��� ���� � ���������� ����� ��� � � ������ ��� ����� ��� ��� � ��� ����� ������ �

��� ,� 4�5"�%� ,� 4�54�5<�=�� ,� 4�5<�=� "/�0F%

����� 4�5� � � �� ����������� ������� ��� 4�5� ,� 4�54�5�� ��� ������� ���� �������� � ��� ����

�������� �� &�� �� �� ��������� ��� ��������� 4�5� � � ������ �9��� ��� 4�5� ,� 1 1

� �−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦�

��� ���� ���� ������ ���� ������� ���� ���� ��� ���� ������ ���������� � � ������ � ���7��� "/�8%�� &�� ��� ��������

0 01

{ } [ ] [ ]{ } { } [ ] { } [ ] 2

T T Te e T e e T e Tx xU B B EA dx B E A dx B A dx� � � � � �= − +∫ ∫ ∫ "/�00%

'����� ���� 7��� "/�/%�

{ } [ ] { } [ ]T Te e T e T

i iV N q dx N P� �= − − ∑∫ "/�06%

1 2

�� �� �

� ����������� ��������� �� �

��

��

��

��

��

������������� �

����� ��� ��� � �� � �������

����� �����

������� ��� � ������ ������� ������� ��

Page 102: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

��� �

0

0

1 { } [ ] [ ]{ } { } [ ]

2

{ } [ ] { } [ ] { } [ ]

T T

T T T

e e T e e Tp x

e T e T e Tx i i

B B EA dx B E A dx

B A dx N q dx N P

� � � �

� � � �

� = −

+ − −

∫ ∫∑∫ ∫

"/�08%

����� 4�5�� � � ���� ������ ��� ����� ��������� ����� � ��� ���� ��������� ��$����� <�=�� � � �� ������ ��� ����� ������� ��� � � ���� �� ��������� ��� ���� ������� ��������� ��

��� ���� �� ������ ��� ��� ���� ������������ ��� � ��� ���

( ) 0 01

{ } [ ] [ ] { } { } [ ] + { } [ ]2

{ } [ ] { } [ ]

T T T

T T

e e T e e T e Tp x x

e T e Ti i

B B EA dx B E A dx B A dx

N q dx N P

� � � � � �

� �

� = −

− −

∫ ∫ ∫∑∫

"/�0/%

G�������� ���� �������� ������ � ������ 4�5�� ��� ���� ���� ������ < � =�� �

[ ] [ ] [ ]e Tk B B EA dx= ∫ "/�0:%

0 0{ } [ ] [ ] [ ] [ ]e T T T Tx x i if B E A dx B A dx N q dx N P� �= − + + ∑∫ ∫ ∫ "/�0?%

��� ���� ������ 7��� "/�0/%� ��� ���� ���

1 { } [ ] { } { } { }

2

T Te e e e e ep k f� � �� = − "/�0C%

#��������� ep� � ����� �� ����� ���������� ���� ������ ���������� ��� ���� �� ��� ������� ������� � ���� �

� ������ �� ������ �������� ���� ������ ���������� ��� ���� � ���� � � ������ �

NOELEM

1

1 { } [ ]{ } { } { }

2e T T

p p K F� � �� �= = −∑ "/�0D%

������� ���� ��� ��� ������ � ������ ��� ���� ������� 4�5� ��� ���� ��� ��� ���� ������ <�=� ��� �������

NOELEM

1

[ ] [ ]e

n

K k=

= ∑ "/�0E%

NOELEM

1

{ } { }eF f= ∑ "/�6F%

2@A7;7H3���� ��� �������� ������������ ���������� �����<� =�������� ����������������������� �� ������������������������������� ������� �������� ������������ �� ���������������������������������������� ������ �������������������������������� ��������� �������������� ����� ������� ��� � �� ���

Page 103: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

) ���� ���� #$�#����� ��� ���� ������ ���������� �������������� � ����� ��� ����� �������� � ������ ����� ������� ����I�

= 0{ }

p

T�

�∂

∂ "/�60%

��� � ���� � ���� ������ �������� � ��� ������ �

[ ]{ } { }K F� = "/�66%

�������� ���� ���� ����� ��������� � ��� ����������� ������� ���� �������� �� �������� ������� ����� ���� �������������� � ��� �� ���� ����������������� ������� ��� � ������� ��������� ����� ��������� ��� �������� ������ ������� � �� ��� ��� � ���� ���� � � ��� �� ��� ������ ���������� ���� ����� ��� � ���������� ������ ����� �� ����� ������ � �� ��� ���� � �� ��� ���� ����

��� ���� ������ ��� ������� ��������������� �������� ������ �� �������� "&�����/�0%� � � ���������� ������ ����� ������������� ������ ��7������������������������������� ����������������������������������� ������������������ ���� � ���������� ��� ���� ������ �� � ������� � � � ���� ��� �� ����� ��������� ��� ����

G� ���������� ����� <�=� ,�� "/�68%

@���� ������ ������ <�=�� ,�1

2

u

u

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�6/%

$����� �������� � 4�5� ,� 1 2[ N ] = 1 � �x x

N⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

"/�6:%

$����� <�=� ,� xdu

dx� = "/�6?%

��� � ���� ����������� ������� 4�5� � � ������ �9���� *�����

1 2 1 1[ ]

� �dN dN

Bdx dx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦"/�6C%

��� � ���� �������� ������ � ������ � � � ������ �

0[ ] [ ] [ ]

�e Tk B B EA dx= ∫ "/�6D%

0

1/ [ 1/ 1/ ]

1/

�� �

lEA dx

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ "/�6E%

1 1

1 1�AE −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

"/�8F%

�������� ����� ������ � ��� ����� � � � ������� ����� ����� �� ��� ����� � ������ ���� ���� ����� ���� ���� ������� � ����� ������� ��� ����� !���� �� � � ���� �� �!� � ���� �"�"�"

��� ������ ��� ������ ������� ��

Page 104: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

������� ����� ����� ������ ����� ������������" ���7���8�CD%��!������������� ��������������������� ���� ����� ���� � �� ��� ���� �� �������� ��� ������ �������� �

���������� ��������������������������� !�"�1�� �������������������������"&�����/�6%��� ������� #�� ������� �� � ��������� ������� �� ���� ��� ���J����+ � ����� � ������ �� �� ������ ���� ����� ��� ���������� ��� �� � ��� ���� �� � (����� ��� ������� ����� � ���� ���� ��������� (� �� � �� ��� ������� ��� � ��������� ����� �� ��� ���� ���� ������ �� ���� � ����� ��������� ��� ������� �������� ����������� ������� �

&�� �� �� ��������� ���� ������ � ������ � � ������ �� 7��� "/�8F%�� ��� �

1F

����� ��� �� �� �������� ������ ��� ��������� �����

1 1[ ]

1 1

e AEk

l

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦"/�80%

&�� ������ ���� ��������� ���� ��� ����� "������ ����������%� ���� �� � � 2�3���� ����� ������� � ������ �� "�� %�� !�� ����� ����������������� ������ ����������������� ����������� � ������� �7��� "/�0?%>

{ }0

1 / [ ] ( ) ( )

le Tx l

f N q dx g A dxx l

−⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎢ ⎥/⎣ ⎦∫ ∫ "/�86%

/2

/2

Alg

Alg

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�88%

$����� "��� %� ��� ��� � ���� ������� ��� ���� ��������� ���� ����������� ����� ����� ������ (� �� ������ � � ��� � ����������� �������������� ������������� �� ������������������������������ ������� ����� ����� ������ ���0?� ������� ������� � ���� ��� ����� �� ��� ���������� ���������������� ������ ��������� ���� ������ �������� � � ������ ������� ��� �� ������ �

Page 105: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

G� ���������� �"�%� ,�2

2

g xLx

E

� ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠"/�8/%

$�� � � "�%� ,� � "#� -� �% "/�8:%

���� ��������� ���������� ����������� ��� ���� ������������������ �� ������������������������ ���������������� ������������� ������������������������������� �������������� "7��� /�6:%� ���� ��� ���������� ��� ����� �� �� ��� � ��� ������� ��� �������� ��� �� ��������������� ������������ �� ����� �������� ����� �������������������������� �������� �� ���� ��� �� ��� ������� �

��������������� ��� ���� ���� ������ �������������������������������������������� � ����� ��� &����� /�8"�%����� ����

1

2

11

2

3

����� ��� ������ ������� �� �� !� � �� � "�� � ��!#$������ ��������� �����

�� # ������� � �� ���� ����� �� �� $�������� ��

2

�L=

4

�L=

� ��

� �

� � �

1 1

2 2

1 1

1 1

u FAE

l u F

− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�8?%

) ������$�#���� � ������������ ���� ������������������,�F������� ����������������� ,� �� #96�� ��� ���

��� ,�2

2 2

AgL L gL

AE E

� �⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠"/�8C%

� � �

��� ������ ��� ������ ������� ��

Page 106: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ������������� ������ ������� ������

��� �

�"�%� ,�2

gLx

E

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

"/�8D%

$����� ��� ,� 2

gL

E

�"/�8E%

$�� � ��� , = 2xgL

E�

� "/�/F%

����������� ���� ��� ;��� � � � ���� �� ���� �� ����� ���� ������ ������� ������� � "�� ,�#96%� � ����� ��� &����� /�8" %�� &�� ���� �� �� ��������� ��� ����

(1)1 1

(1)2 2

1 1

/2 1 1

u fAE

L u f

⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�/0%

&�� ���� ����� ��������

(2)2 1

(2)3 2

1 1

/2 1 1

u fAE

L u f

⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�/6%

' �� ����� ���� ���� ����������������� �������������� ������ ����

(1)1 1

(1) (2)2 2 1

(2)3 2

1 1 0

1 1 1 1 /2

0 1 1

u fAE

u f fL

u f

⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− + − = +⎨ ⎬⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�/8%

$� ��������� ���� ������ ���������� ��,� F�� ��� ���� ������ ����

(1)2

/2

2

AgLf

�= ��(2)

1/2

2

AgLf

�= �(2)

2/2

2

AgLf

�=

��� ���

2

3

2 1 /2

/2 1 1 /4

u AgLAE

L u AgL

− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

"/�//%

$������������ ����

22

3

3/2

4 2

u gL

Eu

�⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

"/�/:%

Page 107: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� �������� ������ ���� � ��� �� � � ��� �������� �

(1)1(1)

2

2

01 1 3

[ ] 3/2 /2 48

x

u gLB gLL L Eu

E

��

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎡ ⎤= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎩ ⎭"/�/?%

(2) 21(2)

22

3 /81 1 1 [ ]

/2 /2 4/2x

u gL E gLB

L L Eu gL E

� ��

⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭"/�/C%

(1) (1) 3

4x xgL

E�

� �= = "/�/D%

(2) (2) 4x xgL

E�

� �= = "/�/E%

������������ ���� ������ ������ � ����� ����� ��� ���� ���� ������� � � �� ������ ������&�����/�8"�%�� ������ ���� ������ ��� �� ���� �� ���������������� ���������� �������"#9/%��&������ ��������� ��� ����

1 1

2 2

1 1

/ 4 1 1

u FAE

L u F

− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�:F%

' �� ������������������������������������ ���� � ���������������� ��������������������� ������ ���� �� ��� � ����

2

3

4

5

1 1 1 0 0 1/2 1/2

1 1 1 1 0 1/2 1/2

/4 40 1 1 1 1 1/2 1/2

0 0 1 1 1/2

u

uAE ALg

L u

u

+ − +⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− + − +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥− + − +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

"/�:0%

$�������� ��� ���

��� ,�27

16 2

gL

E

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� ��� ,�212

16 2

gL

E

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ,�215

16 2

gL

E

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� ��� ,�2

2

gL

E

"/�:6%

���� ��� ������� �� � � ��� ��������� ������� � ��� � ������ �

��� ������ ��� ������ ������� �

Page 108: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

(1) 7 ,

32gL� �

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠(2) 5

32

gL� �⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ �

(3) 3

32gL� �

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ �(4) 1

32

gL� �⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ "/�:8%

A�� ������ ���� �� ��� ���� � ����� ���� ������������� ������ ��� 0?� �� ������� �� ����� ���� � ������� ������� ������������ � ����� �����&������������� ����� ����� �� "��,�6���0F���@9�����,�C�DFF���9��%���� �� � ��������� ����:�������� ���/�0� "&���� �/�/����/�:%� ������ � ���� ��������� � " �� � %� � ������ � ���� ���� ����� � ������� �������� ���� � ����� �� ���� ����� ��������

%����� ��� &��� "�� � '��!#$�����(����� � �� �!� ��!������ � ���!������ � � �� �� ��� ����� �

� �� ������ �� ������ �� ������ )� ������ �*� ������ �����

� � � � � � ��"�%�& �"��'� �"��'��"��& �"�(() �"�(() �"�(()�"�)*& �"�%(+ �"�%(+�"�& �"�)'% �"�)'% �"�)'% �"�)'%�"'��& �"��� �"����"'*& �"��% �"��% �"��%�"('*& �"�'� �"�'��"& �"�(' �"�(' �"�(' �"�(' �"�('�"&%�& �"�&& �"�&&�"%�& �"�%( �"�%( �"�%(�"%)*& �"�*� �"�*��"*& �"�*+ �"�*+ �"�*+ �"�*+�")��& �"�)( �"�)(�")*& �"�)) �"�)) �"�))�"+'*& �"�+� �"�+�� �"�+� �"�+� �"�+� �"�+� �"�+� �"�+�

���� ���� �������� ���������������� K����������������������������� ����������� ��������������� ���������������� �������������������� �� ������L�7���������(� �������������"������ �� ������ ������� ����� ��������� ��� � ���������� ������� ���� ������ �%�� ��� ���� ���� ����������� ��� ���� � ����������� ����� � ���� ������ �������� � � ������� �� �������� ��������� ��� ���������LI�*������������ ������������������������� ��������� ���������������� ���������������� ������� �

'� ������ ��� ��������� ����� �� � � 2����� ����� � ��������� � ����� ������� ���� ����� ��� �� � � �� ���������M3��������������������� �� ����� ����� (� ����� �������������� � ��������� ��������� ��� � ���������� ������� ���� ��������� $����� ���� �������� � �� ����� � ����� �����

,����� ������������ ������������-"��� ���.����������� �������� ���/�����/ ������� ��������� ���������� �� !�������+�� ��� �*)0�)��� �+%+"

Page 109: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

.�����������

�%�.���� �� �������

)�.���� �� �������

����� ��, &��� "�� � ��!#$�����(-���� � �� �!� � � � � �$���� )� ��� �*� ������ ��

����� ��� &��� "�� � ��!#$�����(-���� � �� �!� � � � � ��.� �� ��� �� ������� ��"��� ��

.�����������

(�.���� �� �������

��.���� �� �������

��.���� �� �������

��� ������ ��� ������ ������� ��

Page 110: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

������������� ����������������������� ��������� ���������������������������� �������� �� � ����� ��� ���� ����� ��� �� ���� � � �������� ���� ������ ��� � ���������� ��� ��� ������� ������ � ������� �� ��� ������� �������� ��������� ;��� � � ���� �� ��� �������� ���� � ���������� ���� ,� F�88#�� ������ � � ���� �� ���� ��� ���� ��� ���� ������� �������� ������� � ��� � ������� &�� ��� ���� ������ �� �� �������� ��������� �������� ��� � ������� "��� ������� ��� �� ,� F�88#%� ��� ���� � �� ���� ������ ������������� �������� �����

1 � �

ip pp

j

ux xu

u

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪= −⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭"/�:/%

����� ��� ��� ��� ��� ���� ����� � ��������� � ��� ����� �������� ��� ��� ��� ��� � ��������� ��� ��� ���� � ������ ���� ���� ���� ���� ��� ���� �������� ��� ���� ������� "������ ����� ��� � �� �� �������������� � ���� ��� ����� �������� ����� �� � ������ ������ ��� ���� ���� ����� ��� &����� /�0%��� ��� /�6� ������ � ���� ������ �������� ��� ���� ������� �������� �������� � ����������� ���������� �� ��� ������� ������ ���� ����� ��� ������� �������� �������� � � ��� ����� ��� ���������� ����� �������� ������ � ����� ����� ���� ��� �� ��� ������� �� ��� ����� �������� ���������2����������3� � � ��� ����� �� ���� ��� �� ��� ������� �

������� �� ����� ���������������� ������ �� ���������� �

/��� �! /� ���� ��� �� ��������� ��� �� 0� 1��������� ���� �� �������� 2������ ��"����

� �"&+)� �")+)( �"+*&) �"++'�% �"++)

$����� ��� � �������� � � � ������ ������������� �������� � ��� � ����������� ��� � � �� 2��� ���� �� 3� ��������� ��� � � � �������� ��� ��� ������� �������� � ��� � ��� �� � � � � ����� ��&���� �/�/����/�:�������� ���������� �������� ��� �� � � � ���������� ������� �������������������������� � ���� ���� � ���� 2 ���3� ���������� A�� ������������� ��� ��� �� ������ � ��������� ���� ��� �� ��� ������� �� $����� �� � � � ��� ������������ ����� ������������ � ���� ������� ����� ���� ��� ����� ���� ����� � ��� �� K���� ��� ������ ��������� '� ����������� � ���� � ����� ���� 2������3� ������ ��� �� � ��� ���� ���� ������ � ����� ���� ������ �������L� !�� � � �������������� ��� ��������� �� � ������ � ��� �� �������� ������� �������� �� �� ��� ������ �� ������������ ��� N� ��� � ��� � ��� ������ ������ � ����� ������ � �� ����� � ���������� �� � ���� �������� �� ��� ���� ����� ���� ������� �������� ����� � ��� �� � ��� ���� ������ ��� ����� ���������������������������� ���������'� ������������������ ������������ �� ����� �������������� ������������� � ������� �� ������� �������� ����� ���� ��� ��� ���� � ��������� ��� �� � � � � ���� ��� ��� !�� � ��������������������������� �� � ���������������������� ��� ������� �������������������� ������ � ��� ����� �

Page 111: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

'� ������ ��� ��� � ������� � � �� ��� ���� � ���� � �� ���� � � ���� ������

� G��������������������������� ������������� ���"� ���������� ��� ��� ��� �%������� ������������� �� �������������������������������������������������� ������������ ����� ����������� � ��������� ��� ���� ������� ����� �

� ���� ����� ���� ��� �� ���� ���� �� �� ��� ��� ����� �������� ��� ���� ��� ��� ����������� � "����� �� � ���%� ����� �� ��� ��� ���

� $�� ��������������� ������ ��� ������������� ���� ������������� �� ����������(������� ���� ������� ������� �

���� ����������� ����� ����������������������������������������� ���������������������� ����������� ���� ������� � �������� �� ��� ����� � ���� �������������� ���� ������� ��� �������� �� ���������� �������� ��������� ��� � ���������� ������� ���� ������������ ����� ���� �� ������������������������������������������� �������������������������������� �"���������%&�����������������������%������ (� �� ������� ���� ���������� ���������������� ������ ��������

!�� �� �� �� � ���� ����� ��� ����� ����� � �� ���� ��� � ����� ��� �������� ���'��%&����� �������� ����������� ����� ���������� ����� �"�%� ,� ��� .� ���

��� &�� ���� ��� ����������� ,� ��9��� ,� 6����� ��� �� ����� ��� �� � ����� ����� � �� ���� ��� ���� ��� ��� ����� �������"��� �� ,� F%L

��� ���� ������� ��� ������

����� �������� �� ������������� ������ ����������������� ���������� � � ����� ���&�����/�?�������� �� ���� ���������� � �0� ���6� ��� ������������� � ���������� ��8������� ���������� ��� ����������������� ���

� �� �1�� �� �� �� �

'��

�� �� ��

����� ��* 3"�� ����� �� � �������

�������� � � ���� ����������� ���� ���� ����� ����� � ��������� � � ���� ���� ����� �������� � � ������ >

�"�%� ,���"�%��� .���"�%��� .���"�%�� "/�::%

���� ����� �������� � ��� ���� ������������ ������� ���� �������� ��� ��� ���� � �� � � � �������� ������� ��� ����� ���� ����� �������� �� ;��� �"�%� �� ������ �� ���� ��������������������������

�"�%� ,� ��� .� ���� .� ���� "/�:?%

��� ����� ����� �"F%� ,� ���� �"�%� ,� ��� ��� �"�96%� ,� ���� *������ ���� 7��� "/�:?%�

��� "�������� ��� ������� ���

Page 112: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

��� ,� ��� ��� ,� ��� .� ���� .� ����

2

3 0 1 2 2 2

� �u c c c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠"/�:C%

$������� ��� ���� ��� � ������� ,� ��

���,� "/��� -� ��� -� 8��%9� � "/�:D%

���,� "6��� .� 6��� -� /��%9��

��� � ��� ����

�"�%� ,� ��� .�3 2 1 1 2 3 2

2

4 3 2 2 4

� �

u u u u u ux x

− − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠"/�:E%

B��������� ���� ��� �� ��� ���

2 2 2

1 2 32 2 2

3 2 2 4 4( ) 1

� � �� � �

x x x x x xu x u u u

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠"/�?F%

1�������� 7� �� "/�::%� ��� "/�?F%�� ��� � ����

2

1 2

3 2 1 ,

� �x x

N = − +2

2 2

2 ,

� �x x

N−= +

2

3 2

4 4

� �x x

N = − "/�?0%

��� � � � �� ������� ���������� ��� ���������� ���� ���� ��� ����� �������� � ������ �� �� �����������������������������"7���"/�:?%%��$� �������������������������� ���������������� ���� ���� ���� �� �� ����� ��� ����� ������� ��� �������� ���������� ��� �� ��� �������� "7��� "/�:C%%� ��� ����� ��� ����������� � ��� ��� ��� � ��� ����� ������ ��� ����� � ������� ��� ��"7��� "/�:E%%� ��� ������� ���� ��� � ��� � ����� ���� � ��� ����� �������� � "7��� "/�?F%%�� ;������ ��� ����� � �� � ����� ������� � ��� ���������� ���������� ��� ���� � ��� ����� ���������

����� ��������������

O����� ���� ����� �������� �� ��� ���� ���� ������ ���������� �������� ������ 4�5� �

[ ]{ } [ ]{ }e ex

du dN B

dx dx� � �= = = "/�?6%

����

31 22 2 2

2 3 2 4[ ] 2 2 (2 )

2 2

� ��

� �

dNdN dNB x x x

dx dx dx l

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦"/�?8%

*����� ��� ����� ���� �������� ������ � ������ ������ �� ���� 7��� "/�0:%� ��� 7��� "/�?8%>

Page 113: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

[ ] [ ] [ ] e Tk B B EA dx= ∫ "/�?/%

( )

2

20

2

2 32

2

2 2

2

42

��

��

��

l

x

x

x

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ � 2 2 2

2 3 2 42 2 (2 )

2 2

� ��

� � �x x x EA dx

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦"/�?:%

A�� ����������� ���� ���� ������� ����� � ����� ���� �������� ������ ������� �

7 1 8

[ ] 1 7 83

8 8 16�

e AEk

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

"/�??%

����������7�������/�0������ ��� ��������������������������� ���� � ��� �� ������ ���� �������� ����� ��� "������ �%� ��� ������ ��� "�������� �%� ������� ������� �

�������� � �� ��������(�!�' �' � ���� )���%&���*"+�,�������-"� &�� ������ ���� ������������ ��� ����� ��� ��� ������� ���� �� � � ����� �� ��� ����� ������� � � ������ �� "�� %�� ��� ����� �������� ����� ����� ������ "��� ���� � ����� ��� ���� ����� ����%� � � ������ �

2

2

2

20 0

2

2

3 21

2{ } [ ]

4 4

�� �

� �

� �

� �

e T

x x

x xf N q dx Ag dx

x x

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ "/�?C%

� � � �

1/6

1/6

4/6

Agl�

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�?D%

) ����(� �������������� ������������������������������������ � ��������&�����/�C����� ����� ���� ��������

��� "�������� ��� ������� ���

Page 114: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

2

3

7 8 1/6

3 8 16 4/6� �

uAEAg

u

− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

"/�?E%

��������� ������������������,�F������������������� ������������ ���� � ����������� ,� #�

$�������� ��� ���

2

2 2

gLu

E

�= �2

33

8

gLu

E

�= "/�CF%

$� ��������� ��� �� �������� � ��� 7��� "/�?F%�� ��� � ����

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 4 4 3( )

2 8

2

2 2

� �

� �

� �� �� �

�� �

x x g x x gu x

E E

g x x g xLx

E E

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞−= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

"/�C0%

1�������������7���"/�8/%������ ������������������������ ��������"��,�#%������� ��������� ������ �������� ����������� "����� ���� (� �� ��� ���� ��� � ��� ������� ����� � �� �%�� !�� � � ����� � ��� ����� �� ��� ���� ���� ��� ���� ����� ���� �� � � �� �� ������ ���� ������ ��������

�'

����� ��+ &��� "�� � ��!#$�����(3"�� ����� ������� ��"���� ��������� �����

Page 115: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������ �� ������������������������������� �������������(� �������������� �������������� � � ��� ����� ������ ������ �� ������� � ��� ���� �� �� ��� ��� �������� ��������

! ����� �'� ���� ������ ��� ������� � ��� ��� ������ ��� ������ ����� ��� ������� �

���������� ����������'����'�%����' ��'�����%����������'����%�����"������� �������� ��������&�����/�D��������������������������� ������������������������������������ � ������ � ��� �� ������� � ����� ��� ������� �� ��� ��� ���� ���� �� � � ��� ����� ���� ���� ��� ����� � ��������� &�� ����������� ���� � � � ������9�� ,� 0����� � ���� �������� ������ ������� � � ����������� �

1 1[ ] =

1 1

ek−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

"/�C6%

&�� ���� ���� ������� ���������� �� � ����� ��� &����� /�D�� ��� ���� ������ ���� � �� ����� � ����� ���� ��� ��� ������ �������� !�� ������ �� ��� ����� ����� ��� ����� ��� ����� ������

� � ' ( & % *

� * � % ' & (

� � ' ( & %

%&('��

�� 2���� �

�/� 2���� �

����� ��) 4� � ������� �� �(5�!!� ��� ���� "��� ��� ��������� �����

��� ���� �� "C��� C%� ��� ��� ������ ������� ��� ���� ������ �������� &�� ���� ���� ��� ��������������������������������������� N������������������ � ������������ ���������� � �������������� ���������� �������� � ��� ���� ����������� � ��� ���� ������ � ��� ���� � �� ��� ������ ��� �����������

��� "�������� ��� ������� ���

Page 116: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

� � � � � � � � � � � � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������

����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� � � � ������

����� �� � �� ������� �� �� �� ��

� �� �� �� � �� �� ���� � �� �� �� � �� ��

����� ��

����� �� � �� ������� �� �� �� ��

� �� �� �� � �� �� ���� � �� � �� � �� ��

����� ���

����� � �� �� ������� �� �� �� ��

� �� �� � � �� �� ���� � �� �� �� � �� ��

����� ���

����� �� �� �� ������ �� �� �� ��

� �� �� �� � �� �� ���� � �� �� �� � �� �

����� ��

����� �� �� � ������� �� �� �� ��

� �� �� �� � �� �� ��� � �� �� �� � �� ��

����� ��!

����� �� �� �� ������� �� �� �� ��

� �� �� �� � �� �� ���� � �� �� �� � �� �� ������ �

&������������ � ����������� ������ ������� ���� �� ��������� �� ��������� ������� &���� � /�E� ��� /�0F�

��� � ���� ���� ���������� ����� � ����� ��� ���� � �� ��� ������ � ������ ��� ��� ������>

Page 117: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ��6 � ������� ��!!� � ��� ��� 7#8� !� � 9� �� �

1 1 0 0 0 0 0

1 2 1 0 0 0 0

0 1 2 1 0 0 0

0 0 1 2 1 0 0

0 0 0 1 2 1 0

0 0 0 0 1 2 1

0 0 0 0 0 1 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0 0 0 0 0 1

0 2 0 0 0 1 1

0 0 2 0 1 1 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 2 0 0

0 1 1 0 0 2 0

1 1 0 0 0 0 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

����� ���1 � ������� ��!!� � ��� ��� 7#8� !� � 9� �� ��

H���� ������� � ��� ���� � �� ��� ������ ������� 4�5� ��� ����� B������ ��� ��������������� ���� ������� � ��� �� ������� ��� ��� �������� ������ � ������ 4�5�K���� ���� ������� ��� ��� �������� � ������ ������ �������������� ����� ���� ��������,�0�������������������������������� ��� � �� ���� �������� ������ � ����� ��� ����� � � ������ ��� �� ������� ��� ����� ���������� ����� ��� ���� ������� ����� ��� �� �� "0%�� ��� ��������� ����� ������� � ��� �������������� ������� ��� �� ��� � � �� �� ��� ��� ����� ��� ����� ���� �� ������� ��� ���� 6� "��� �������%� ��� ��� ��� ����� ���������� ��� ���� ?� ����� ���� ����� ������ �� ���

���� � �� ��� ������ 4�5� ��� ���� ���� �� � � � � ��������� ��� � ��� ���� ����� ��� �������� ����������� ����� ������ ���� ����� �� ���� ����� ��������� ������ ����� ��� ��������������'��� ���� ������� ����������� � ��� �� �� 0� "&����� /�E%� ��� ��� ���� ����� ���� ������� ������������������������������� ������������� ��6�"&�����/�0F%��!��������������������O�� ��������������� ����� ��� ���� ��������� � ���� 4�5<�=� ,� <�=�� �� �� ��� ��� �� ���� ����������� � ��� 4� 5� ���������� ���� ���������� ���� �������� ���� ����� � ����� � � ��� �� ��� ��� ����� ���� ������ ��

��� "�������� ��� ������� ��

Page 118: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

��� ����� ��� ���������� ����� � ��� ������ ��� 4� 5� ��� ���������� � �� �������� ������� &���������� �������� �� ���������� ��� ������ ���� ���� ���������� � � ���� ������ ������� ���H� ��0

1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

1 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�C/%

!�� � � � ������ �� ������ �������� ������ ����� ����� � ��� �� ������ � ����������� � ��� �������������� �������� � ��� ���� ������ ��� ��� ������ �������

����������� ������������������ ��"0%���� ������������ ������� ���� ���������4� 5�@��� ��� ������ ��������� �� � �� ����������� ������� ��� ���� � �� ������ ��� ���� ��� ����������������� ����������� ���������4�5������������'��'����'�%����' ���!�%����������������������� ���� ������� �� � �� ������������ �������� ��������� ������� �������� �� ��� �

�������� ��������������������!��%�������������1�� ������������������������#�������� �� � ������� ��� J����+ � ����� � ��� ��� ���� ������������ ��� ������� ����� ���� ��� ���������������������������������� �����.P1��G������������������� �� � �������� ����������� �������� � ����� ��� &����� /�00"�%�

����� ���� %�� ���� � � � ���� � � ��������� �����

���$����3����/

���� 4� �������5��� � ���� ��� �� �����

�/��$����3������/

���� -���� �� ��� ��

���

-������ /�6/ � ������

��� ����������� ����� �������������������� ��� ������������ �����<��=���� ����������������� ����� ��� ��� � �������� � ���� �������������� ���� ��� !�� ������ ������ ����� ������������� �� � ���� � � ���� ����� �������� ������ ��� ���� ���� ��� � �������� ��� �� �� ��������� ���������� ����������� ����� � ��������� ����� ����� ��� ��� ��� �������� � ���������� ����������� ������� �

Page 119: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

Q������������� �� ���� ��������������� �������� ��� ������ ������������� ������ ������ �������������� ������� �� � ������������ ���������������� ����������� ��.�� �������������� ��� ������ �� ��� ������� "�#.%�� ��� � ��� ��� � ��� ��� �������� ����� ��� ,� "�.%�� !�� ��� ������ � ����� � ��� ���� �� ��� ���� ����� ��� � ����� ���� � � �� � ���� ����� ���� �� ����������� � ���� ������������ ���� "�#.%�� ��� ��� � ��������������� ����� ��� ���� �� � ������� ��� ,��#.9#� ,� "�.%�� ��� � � � ���� �� �� ��� &����� /�00"�%��' � ����� ��� ��� ���� � � �������� ��� ������������ ��������������� ������������� �� � ������������� �� �������������������������� ��������� ��������������� �

�� ,� �"�� -� ��%� ,� �"�.� -� �.%� ,� F "/�C:%

*������� � � ���&����� /�00" %�� ��� ���� �� � � �������� �������� ������������� ���� ���������� ����� ���� � � ������� �� ���� �������� ����� ���� ����� ��������������� ����� ��� ���� �� � �� ,� F�� ��� � ���� �� � � � (����� ��� �� ����� ���� �� � �

�� ,� �"�� -� ��%� ,� �"F� -� �.%� ,� -��. "/�C?%

��� ����� ���� ���� ��� � ����� ���&�����/�00"�%�� ������ ���� ������ �� �������� �������������� ������� ���� ������ �� ���� ������� "�#.%�� ��� ���� ������ ������ � �������� ���� �������� �� ���� �� ���� "����� ����� %����� �������� ��� �� ����������� ������� !��� ����������� ��� ������ � � �� ������� � ������ ����� ���� ���� ��� ��� ���� �� � � ����� ��� &����� /�00"%� �� ���������� � ��������������� ��������� ����� ����� �������� �� � ��� ���������� ������� ��� ������� ��� �������� ����� ������� � ���� ��������� ���� ������� ������� ������� ���&����� /�00"%� � ��� ���� ���� �� ��� ���� ������� ������ !�� ���� ������ ������� �� ���� ��� ���� ������� ������ ������������ ����� �������� ������� �� ������� ���������� ������������ ���������������������������� ������ ������� ����� ��������� ����������

��� ������������������������������������� ���������� ��� ������� >������ ��������������������������� ���� ���������������������� ������������������ ����������� ������������� ��� ��� �� ������������� ����� ������ ��� ���� �������� ������)��� ��� �� ��� ����� ����� ������� ������� ���������� ��� ���� ������� ��� � ����� ����� �� � ������ � ������ �������� �� &����� �� ������� ��������� �� ��� ���� ���� ������� ����������� ������ ���� ��������� ������� ��������������������� ����� ��� �������������� ���� �� �������� ����� ��� � ��� ���� �������� �� � �

&������ ������� ���� ���� ��� ����� ����� ������ ������ ���7��� "/�0?%�� ���� ����� ��� ��� ��� �������� ����� ��������� �

0{ } [ ]e Tx

vf B E A dx�= ∫ "/�CC%

&�� ���� ������ �� ��������

1 1[ ] B

l l

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ "/�CD%

���� ,��. "/�CE%

��� � ���� ����� ����� ������ ��� ������� ��� �������� ����� � � ������ �

{ }0

1/

1/

lel AE T

f ETA dxl AE T

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

∫ "/�DF%

��� "�������� ��� ������� ���

Page 120: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

��� ����� � ��� ��� ���� ���� �� ��� ���� �������� ���� ������ �� ������� �� ����� ��� ������"#96%� ������������ ���� ������ ��� &�� �������� 0����� ������ ��� ���� � ����� ��� ���� ����� ����

(1) (1)1 1

(1)2 2

1 1

/2 1 1

u AE TfAE

L u AE Tf

⎧ ⎫− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�D0%

&�� �������� 6�� ��� ����

(2) (2)1 1

(2)2 2

1 1

/2 1 1

u AE TfAE

L u AE Tf

⎧ ⎫− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�D6%

!�� � � ������ ���� ����� ��� �� ���� �� ������� ��� �� ���� �� ��������� ����� ��� �� ���� ��� ������� ��� ���� �������� ����� ��� ,��.��' �� ����� ���� �������������� �� ��� ���

(1)1 1

(1) (2)2 2 1

(2)3 2

1 1 0

1 1 1 1 / 2

0 1 1

u fAE

u f fL

u f

⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− + − = +⎨ ⎬⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�D8%

!�� ���� ��� �� ,� #� � � ����� ����� ��� ������ ����� ��� ,� F�

2

3

2 1 0

/ 2 1 1

u AE T AE TAE

L u AE T AE T

� �

� �

− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭

"/�D/%

$�������� ��� ���

��� ,� #�.96� ��� ,� #�. "/�D:%

&�� �������� 0�� ���� ������������������ ����� �

{ }01 1

[ ]{ } /2

eB Tl l L T

� � �

⎧ ⎫− ⎪ ⎪⎡ ⎤= = =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭"/�D?%

���� �������� ������� �� � ��� �������� 0� � � ������ �

<�=� ,� �"�� -� ��%� ,� F "/�DC%

$��������� ��� �������� 6�� ��� ���� ���� ����� ���� �������� �� � � ����� �� ����� !�� � � ����� � � ������� �� ��� ���� ���� ��� ���� ����� �������� �� � � ������ ��� "/�.%������ �� �������� ��� ������ ��� ���� �� �� ,� #� � � �� �� �������

Page 121: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

"����#$� ������� ������� % ����&� �� '����� "�����0��&� +1 1������� ���� �������� ����� ����� ������ ��� ������� ��� ���� �������� ����� <��=�

0��&� 21 $����� ��� ���� ��������� � ��� ���� ������� ����� � (����� ��� ���� 2��� � ��� ���������� ����3� ������ ����� ���� ����� ��� � ��� ���� �������� ��� � ����� ����� ��� ������ �������� �

0��&� 31 &���������������� �� ������ ���$����6�� �������������� ������������ ������ ���� <�=� � ���� <�=� ,� 4�5<�=��

0��&� *1 7�������� ���� �������� �� � � �������� � ���� ���� ��� ��������� ��������� ��� ������������ ������ <�=� ,� �"<�=� -� <��=%�

������� ��� �� �!�������� ������ '������" ;��� � � ��� ��� ���� ���������� ������������� ������� ����� �� � � ����� ���&�����/�06��)���������� ���������� �������� �� �� �� ����� ��� ��� � �� �� ������� � � ��� ���� ������� ��� ���� ���� ��� ���� ��������� � �� ��� � �������� ��

X

��

'

(��

'

$

%

&

����� ������� %� ��#������� ������ �!� ����� ������ � " � ��������� ��,��

����� ���� �� �� ��#�� � � " � ��������� ��,��

$

%

&

���� ���� ���� � ��� ��� 2��� ������3� �������� ������ �������� � ��� ������ �������� � ����� �������� ��� ��� �������� ����� ����� � �� ���� $����� ���� ������� � � � (����� ��� ����� ��������������������������������������������������������������������������� �������������� ������� ����� ���� ������ �� �������� ����� ������� ��� ����� �� � ��� ��� &����� /�08"�%

��� "�������� ��� ������� ���

Page 122: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

&�� ����� �� � �������� ��� �� � ���� ������ ��������� ������ ��� ����� ���� ��������������������� ������

1 1

1 1

i i

j j

u FAE

l u F

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�DD%

!��������������������������������������������������������� �#��������������������������� �� �#9�� ������� ������������������������������ ������ ��� ��������� ������ ���7���"/�DD%� ���� ������� ��� ���� ���������� ������ ��� �������� �������� 1�� ������ ���� ��������� � ������������ � � ����� ��� &����� /�08" %�� ��� ���� ����

��� ,� ���� �� � �� .� �� ��� �

��� ,� ���� �� � �� .� ��� ��� �"/�DE%

��� � �� ������ ���� ��������� ������ ����4��5� ������� � � � ������ ��������� ��� ��� �� ������ ���������K���� � ������� ���������� ���� ����� �� ������ ���� ��� � ��� ���� �������� ��������� � � ��������������������������� ����� �� ������ ������� ���� ������� ��������������� ������ ������ ��������� ����� ��� ���� �������� ��� ���� ������� ������ ��� ���� ��� ��� ����� ���� �������� �

cos sin 0 0

0 0 cos sin

iX

i iY

j jX

jY

u

u u

u u

u

� �

� �

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�EF%

����� ������� 4� � ������� �� ������ ��� ������� ! ��� �

���

��

'���

��

%

&

��

�� ��� �

��

��� ���

�� �

����� �

��

'

��� � �� ������������� ����� ��� ���� ������� ���������� ���� �������� ��� � � ��� ���� ������ � ������� �� ��������������� ������������&�����/�08" %�������������� �������������� ��� ���� ����� ������ ������ �� � ��� �� ������ ��� ���� ���� ����� ������ ���� ��� ��� ��� �

Page 123: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� � ��� ����

{ } [ ]{ }� ��

e egT= "/�E0%

��������� � �����2�6� ��� ����������������� � �����2 6� ��� ������� �����������������!�� �������� ���� �������� ������ �������� � �

[ ] { } { }�� � �

e e ek F= "/�E6%

����

[ ] [ ]{ } { }�� �

e e egk T F= "/�E8%

#������������� �� 4.5�� ��� ���

( )[ ] [ ] [ ] { } [ ] { }�� �

T e e T egT k T T F= "/�E/%

���� B*$� ���� �� ������� �

cos cos 0

sin sin 0[ ] { }

cos 0 cos

sin 0 sin

��

��

��

��

i

i iT e

j j

j

F

F FT F

F F

F

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

"/�E:%

&��� &����� /�08" %�� ��� ��� ����� ��� �� ��� ������� ���� � ��� ���� ��� � ��� ���� ��� ��������� �� ��� � ��� ����

{ } { }[ ] �

e eTgT F F= "/�E?%

!�� ��� ������ ���� �������� ������ � ������ ��� ��� ��� �������� ����� �

[ ] [ ] [ ] [ ]�

e T egk T k T= "/�EC%

����� 7��� "/�E/%� ���� �� �������� �

{ }[ ] [ ] ee egg gk F� = "/�ED%

&����� /�0/� ����� � � ���� �������� ������ �������� � ��� ������ ��� ��� ��� �������� � ��� �������� ���������7�������� "/�EC%�� ������� ����� ��� ���� �������� ��� ��� � �������� ��������� � � �������� ���������� ��� ���� �� � �� ��� ��� ���� ���� ������� �������� ������ ������� ���� �������� ��� ��� ��������� �����

��� ���� ����� 7��� "/�EC%� ��� ������� ����� � �� ��� ���� ������������ ��� ���� �������� ���� ����� ��������� ���� ����������� ��������������������� ������������ ����������������� ������� ��� ��� ��� ����� ��� ����� ���� ������ ��������� ����� �� �� ��� ��� �������� � �����*����� ���� ��� ������� ����� ������ ��� ���� ��������� �� �� �� �� ���� ���� ��� ����������� ��� ���� ��������� �������� ������ ��� � ��� ����

�� ���� ,���� ��� "/�EE%

( ) ( )1 1{ } [ ] { } { } [ ] { }

2 2� � � �

� � �

TTe e e e e eg g gk k= "/�0FF%

��� "�������� ��� ������� ���

Page 124: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

) ���� ���� ��� ��������

{ } [ ]{ }� ��

e egT= "/�0F0%

��� ����

( ) ( ) ( )1 1{ } [ ] [ ] [ ] { } { } [ ] { }

2 2� � � �

T Te T e e e e eg g g g gT k T k= "/�0F6%

��������

{ } [ ] [ ] [ ]�

e T egk T k T= "/�0F8%

������ � � ���� ���� � � ���� � ���� � ������ �������������� ���� � �� ��� � � ���� ��� ��� ���� ���� �������� ������ ������� � ��� ��� ��������

1 1

1 1

u Fi iAE

L u Fj j

−=

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

����

'

��

��

��� ���

���

���

'

������

���

���

����� ���� 4� � ������� �:"���� � �� ������ ��� ������� ! ��� �

2

2

2 2

2 2

cos Symmetric

sin cos sin

cos sin cos cos

sin cos sin sin cos sin

� � �

� � � �

� � � � � �

iX iX

iY iY

jX jX

jY jY

u F

u FAE

L u F

u F

− −

− −

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

=

Page 125: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������� ������ �������� ������ ������� ��� �� � ���� ��������� ����� "�(%� � � ������ �

1 1[ ]

/ cos 1 1

el

AEk

L �

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦"/�0F/%

!�� ���� ��� ��� �������� ����� "45%�� ��� ������ ����� �� ,� ��

7����� "04% "05% "84% "85%#���� "�4% "�5% "(4% " �5% ;���� O�� ��

2 2

2 2(1)

2

2

( ) (1 )cos sin cos cos sin cos

( ) (1 )sin sin cos sincos [ ]

( ) (3 )cos sin cos

( ) (3 )Symmetric sin

g

iX X

iY YAEk

L jX X

jY Y

� � � � � �

� � � ��

� � �

� �� �� �� �� �� ��� �� �� ��

"/�0F:%

�������������������������"�(%������� ��������"45%���������������������������� ��� ��� ��������� ������������ ����

"6% "8%"�% " �%

[ ](2)1 1 ( ) (2)

1 1 ( ) (3)

g

iAEk

L j

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦"/�0F?%

7�������� "/�0F?%�� ����� �������� � � �� "/� �� /%� ������� ��� � ������� �

� � � 7����� "64% "65% "84% "85%� � � #���� "�4% "�5% " �4% " �5% ;���� O�� ��

(2)

1 0 1 0 ( ) (2 )

0 0 0 0 ( ) (2 )[ ]

1 0 1 0 ( ) (3 )

0 0 0 0 ( ) (3 )

g

iX X

iY YAEk

L jX X

jY Y

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�0FC%

������� ��� ���� ��� ��������� ������ ����� �� 4."-�%5�� �����

cos sin 0 0[ ] =

0 0 cos sinT

� �

� �

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

"/�0FD%

��� "�������� ��� ������� ���

Page 126: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

��������"/4% "/5% "84% "85%"�4% "�5% "�4% "�5%

2 2

2 2(3)

2

2

( ) (4 )cos sin cos cos sin cos

( ) (4 )sin sin cos sin[ ]

/ cos ( ) (3 )cos sin cos

( ) (3 )Symmetric sin

g

iX X

iY YAEk

L jX X

jY Y

� � � � � �

� � � �

�� � �

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�0FE%

*������ � ������ ���� �������� ������ � ��� �� ������� ��� ��� ����� 45�� ��� ��� ���� ��� �� ��������������� �������� ��������������&���������������������� �� �������������������� �������� ������ ��� ������� ������ �������� � ��� ���������� ����������� �� $�������� ����� ������ ������� ����� ��� ���������������������������� �� �� ��������� ��� ������ ������� � ��� ���� "D� �� D%�� ���� � �� ��� �������� � ��� ������ ��� &����� /�0:�

����� ���, � ������� �:"���� � ��������� ��,��

Q�� ������ ��� ���� ������ �������� � ��� ��� ����� � ��� ��� � 0�� 6� ��� 8�� ��� ����

���� ,� F� ,� ��� ���� ,� F� ,� ��� ���� ,� F� ,� �� "/�00F%

��� � ���� ���� :��� ��� ?��� �������� � ��� &����� /�0:�

33

23

1 2 cos 0

00 2 sin cos

X

Y

u PAE

L u

� �

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

"/�000%

$�������� ��� ���

3 3

1 ,

1 2 cosX

PLu

AE �

=+

��� ,� F "/�006%

������ ������ � ����� ���� ����������� � ����

3 2 3 2

2 2 2

3 3 2

2 2 2

3 2

2

cos sin cos 0 0 cos sin cos 0 0

sin cos 0 0 sin cos sin cos 0 0

1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

1 2 cos 0 cos sin cos

2sin cos sin cos sin cos

cos sin cos

Symmetric sin cos

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � � � � �

� � �

� �

AE

L

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢⎢

−⎢⎢⎢⎣ ⎦

1

1

2

2

3

3

4

4

0

0

0

0

0

0

0

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

u

u

u

u

u P

u

u

u

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭

Page 127: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

*������ � ������ ���� ���������� ��� ���� �������� ��� ���� � �� ���� �� �� ��� �������� � ��&����� /�0:� ��� ���� ���� ������ ������� � ��� ��� � 0-8�� ������ �� ��� ����� ���� � ��������� ������ ����� ���������������� ����� ������������������������ �� �������������������������� �

"����#$� ������ %��� �� �� (����)#0��&� +1 !�����������������"���������%������������� ���"��� ������%��������������������

��� ��������0��&� 21 A ����� ���� �������������� � ��� ���� ������ �������� �����0��&� 31 A ��������������������� ���������������4.5� ����������������������� �������

��� ��������0��&� *1 ��� ���� ���� �������� ������ � ����� ���� ������� ��� ��� �������� �����0��&� 81 !������� ���� ��� ��� �������� � ��� ���� ��������� ����������� � ��� ���� ��������������

� �� ��� ������ ��� ��� ��� ���� ��� � �0��&� 91 ' �� ��� ������������������ � ���������� ��������������� ���� ������������������

��� ����� ���������� ����� � � � ��������� ��� $���� :�

��* ���� ������

����� ������ �� ��� ������ ���'��� ��� �������� ����������������������������� ���� ����� ������������ � ������������ � ���� ���� � ���������� ��� ��� � ���� �� �������� �� � (� �� �� ����� �������� ����� ������ � ��� ����� ���� ������� �� � � ���� ����� ������ '� ����� ��� ���� ����� ����� ������ ��� �� �� ���������� ������ �� �� &����� /�0?� ��� � �� �������� ���� ������� ����������� �� �� �������������� � ���� ����� ���� �� � ������� � � �� ��� �������� ��� ���� �����

����� ���* %������� ����� ������ ��� �� � ��!� ������

(

%

)

���� ������� ��

Page 128: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

���� � ������ ��� �� ������ ��� �������� '������� ��� ���� ��� ����� ������ ��� ���� �����"7���-Q�������� �����%�� ���� ������ �� � ������� �� � ���� ���� ��� �� �� ���������� � � � ������������� N� ������ ��������������������������������������� ������� ������� �������*�������� ��������� � ��� ����� ������ � ���� ����� ���� �������� ��� ����� ������� � � ���� ���� � � ��� ������������������������������������������������"� 9��%������������������������������������������������������������������� � "��� ��� �����������%� � ������� �����,�- ":%"� 9��%��.!��;��� )�-���������%�'��;��!�'��!���'�������������������%����'�����!�����(������%&�����(������%�'���

A�� ������������� ����������� ���� ����������������������� �����������'������������������ ����� *������� ��� ��� ��� �� ��� ���� ����������� ��� ���������� ��� ���� ������ "����� �!����'� �!�� '������� ����� ��� ����� ��� ���(� ���%� ��%�� ��� ����� ��� �� ��� ����� � ��� "� 9��%� ����������� ����� �������� ��� � �� ������� ���� ����� ������� ������ � ��� �� ",� � 9��%�� ��� � �������� ���� ������� � ��� (����� ��������� ����� ���� �� ������� ���� ��� �� ����� ���� ������ �� ������������ ��� ������ !����������� ����� ���� ������������ ���������������������� ����� ��� ����� ��� ����� ��� �� ������������ � ���������� ���� �������� �� �������������������� ���� ����� �� �� ����� �� ��������� �� ��� � ���� ����� � ����� ���� ���� ������� ��� � ������������� ������� "���� ���������������%���������� "��������������%����� ������ ����� ��� ��� �� ���� "������ ��� ����������� ��������� ��� %�� ���� � ������� ������ �������� � ��� � �� �� ���� � ��� � 9���� ��� �� ������� ��� �� ����� ������ ����� � � � ��� ������ � ���� �� �� �� ������� ������ �������� � "����� ����� ��� �,�F�,� � 9��%��H������� �� �� �� ������������������������������� ����������������������������������������������������7���-Q������� ���� �������� � � ����� ��� &����� /�0C�

����� ���+ %��� �"�� ;4� �"���� ����� �������

*�

��

�� �� �

*�

�� �� �

��

����� �������� �� ������������� ��

����� ���������� ����� "�%�� ���� ��� ���� ������������ ����� �� ���� ����� ��� ���� ���� �������� � ��� ���������� ��� ���� ����� ��� ������ ��� � � ������ �� ��������� ����� � ������� ������� ;�� "�%� �� ������ �

"�%� ,� ��� .� ���� .� ����� .� ���

� "/�008%

G�������������� ����� � ����� ��� ��� ��� ����

� 9��� ,� ��� .� 6���� .� 8���� "/�00/%

'�� �� ,� F� ��� #�� ��� ����

��,� ��� ��� ,� ��� �� ,� ��� .� ��#� .� ��#�� .� ��#

�� ��� ,� ��� .� 6��#� .� 8��#� "/�00:%

��� ���� ����� ��� ���� ����������� � ���� ���� ���� ��� ��� ��� � ��� ���� ����� ������ ��� ���� ��� ��

��� � ������� ��� 7��� "/�008%� ��� ���

Page 129: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

"�%� ,� �� ��.� ����� .� �� �� .� ���� "/�00?%

����� ���� ����� �������� ��� ��� ������ �

��� ,� 0� -� 8��9#�� .� 6��9#�� ��� ,� �� -� 6�

�9#� .� ��9#�

��� ,� 8��9#�� -� 6��9#�� ��� ,� /�

�9#� .� ��9#�"/�00C%

"����1� ���� ���� � � ��� �� ��� ���� ���� ���� ��� � ��� ����� ����������� ����� ��� � ������ ��������� ���� ����� �������� �%

B�������� 7��� "/�00%�� ��� ���

"�%� ,� 4�5<�=�� ,� 4��� ��������5

i

i

j

j

v

v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�00D%

����� ��������������

���� ����� ��� ���� ������ ��� ���� ���� � � ������ �

{ }2

2 x

du d dv d vz z

dx dx dx dx� �

⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ "/�00E%

&��� 7��� "/�00D%�� ��� ����

{ }

{ }

22 2 231 2 4

2 2 2 2

2 3 2 2 3 2

6 12 4 6 6 12 2 6

� �

ex

e

d Nd N d N d Nz

dx dx dx dx

x x x xz

L LL L L L L L

⎡ ⎤= − ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

"/�06F%

��� � ���� ����-� ���������� �������������� 4�5� � � ������ �

4�5� ,� -: 3 2 2 2 3 2

12 6 6 4 6 12 6 2

x x x x

L LL L L L L L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦"/�060%

��� ���� � ����� ���� �������� ������ � ������ �

[ ] [ ] [ ]e T

vk B B E dv= ∫

���� ������� ���

Page 130: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

3 2

2

3 2 2 2 3 20

2 3

2

12 6

6 4

12 6 6 4 6 12 6 2( ) ( )( ) ( )

6 12

6 2

l

A

x

L L

x

LL x x x xz E z dA dx

L LL L L L L Lx

L L

x

LL

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

"/�066%

@������ �����2

Az dA I=∫ �� ���� ���������������������� ������ � ����������������

���� ���� ����������� ����� � ����� ��� ��� ��� ���

2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2[ ]

12 6 12 6

6 2 6 4

e

L L

L L L LEIk

L L L

L L L L

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

"/�068%

���� �������� ����� ����� ����� � ��� ���� � ������ ��� �������� �� � � ��� �������

"�����#����$� �

O�������������� ����������� ������������ ������� ��"� %������������������"�� %����������������������� � � ������ ��� ������� ��������������������������������� ����������� ��� ���� �� ���� ��� ����� ���� �� � ������ �

0 { } [ ] ( ) [ ] ( )

Le T T

vf N g dv N g A dx� �= =∫ ∫ �

2

2

/2

/12 ( )

/2

/12

LAg

L

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�06/%

'��� ����� � �� ���� ���� ��� �� ���� �������� ��� ���� ���� ��� 2�3� ��� ����� ���������� �� �� �� ��� �� ������ ������� &�� �� �������� �"�%�� ���� ���� ������ ���� ������������ 4�5�"�% ��� ��� � ����� < �=��� ��� �� ��� �� ��������� � �� ���� ����� ���� ��� ���� ����� �������������� ����� ����� ������ �

Page 131: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

0

20

00

0

20

/2

/12 { } [ ]

/2

/12

Le T

q L

q Lf N q dx

q L

q L

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ "/�06:%

��� � ���� ����� ��� ����������� ����� ���� � ������� ����� ������ L���� ���� ��� � � ������������������� �� ���������������� �� ���������� ����������� ������������������������ ��������� � �� ���� ���� ������� ��� ���� � � ���� � �� ���� �����I� *����� ���� �� ���������� � � ����� ��� ���� ����� ����� �������� ��� ����� ����� ������ ������� ���� ������ �� ���� ����� ��� ���� �������� "��#%� �� �������� ����� ����� ��� ���� ���� ��� �� $���� �� ��������� ������ � � ����� ������ ����� ����� ������� ��� � � ������ �

0

0

/2

0 { }

/2

0

e

q L

fq L

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�06?%

$���������������������������� ������������������������������������������������������� � ��� � ��� �� �������� H������� ��� ���� �������� ����� ��� ��������� ������ ������� ���������������� ��������������� ������������������ ��������������������������� �������������� ������� ������� � ���������� ������������������ ������ ��������������� ��� ���� ���� ��������� � � � ��������&�����/�0D������� ������� � �������� ����������� ��� ���� ���� ������� ���� �������� �������� ���� �� � �

,7����� ���� ��6� �� �� �� ������ ���������� ��"� ����� ��6� �� �� / � ���� �����/����� ����

consistent0 0

elemental force

( ) ( ){ } [ ] { } [ ] { } { } � � �

� �

���

T T Te T e T eq dx v q dx N N q dx f= = =∫ ∫ ∫

�� -�����!�� ������ ������ ��

�� ��

(�(�

����� ���) 4���� ������� !� �� �� ������

���� ������� ���

Page 132: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

���������� <�'���� ������%��'�������'� ���������"1�� ����������������� ��������� � ����� ��� &����� /�0E�� ) ���� ���� ���� ��������� ��� ���

1 1

2 21 1

32 2

2 22 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

v FL L

ML L L LEI

L v FL L

ML L L L

− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�06C%

2

qL

2

12

qL

2

qL

2

12

qL−

2

P2

P

8

PL

8

PL−

$

�1�

�/� 4� ����� �� ���� �����

����� ���) 4���� ������� !� �� �

$

(

��

����� ���6 -������� � ����� ��������� ��*��

'�� ���� ������� ���� ���� ������ ��������� �������� � ����� � ,��� ,� F��'�� �� ,�#�� ����������� �������� ����������� ����9������� � � ����� � � ����� ���� � ����������� ��� ���� � �� ������� �� ��� ����

02

2

q LF P

−= − "/�06D%

20

2 12

q LM M

+= − "/�06E%

Page 133: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

&��� ���� �� �� ���� �� � ��� 7��� "/�06C%�

0

2

3 222 0

12 6 2

6 4

12

q LPvLEI

L q LL LM

−⎧ ⎫−⎪ ⎪− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ +− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ −⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�08F%

$������������ ����� ���� ���������� �������������� ��� ����>

320

2

220

3 4 6

2 12

2 6 12

q Lv PL MLL

EIq L PL M

⎧ ⎫−⎧ ⎫ − −⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − − −⎩ ⎭

� "/�080%

��� � ���� � ���������� ����� "�%� ���� ���� �������� � � ������ �

"�%� ,� 4�5<�=�� ,� "��%"F%� .� "��%"F%� .� "��%" �%� .� "��%"��%

( )

32 30 2

2 3

3 22

02

23 2 0 3 2 2

33 2 4 6

2 12

2 6 1212

( 3 ) (2 5 )6 2 24

q Lx x LPL ML

EIL L

x x Lq L PL M

L EIL

qP Mxx x L x L x L

EI EI EI

⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= − − + − "/�086%

&��� ����� ����� ��� � ��� ���� H������� � ��� H������ �� ��� ����� ����

23 2 0 4 3 2 2( ) ( 3 ) ( 4 6 )

6 2 24

qP Mxv x x x L x x L x L

EI EI EI= − − + − + − "/�088%

���� ���������������� ��� ������������������ �� ������������������ ��������������������� �������� ��� ���� ����������� ���� � ��� ���� ������� =�� *������� ���� ��������� �� ���� ����� ��� ��� � � �� �������� ����� ��� ��� ������������ �������� � � ��� ���� ��������� ����� ��� �������� ����� ������� ��������� ��� �� ��� ������� �

���������� ����'��'��������%"� &�����/�6F� ��� � �� �������� ��������� � ���������� ����� ����� ����������������� ���� ����� ���� ���� ������������ (� ��� �� ���&�� ������������� ���� �>� ,� 0�

�������� ����� �� ��������������� ��� � ����� ��� ���� �������$� ������� ���� ����'Q� ��������������� ������ ��������� ���� ������������ � ���� ��������� ���������������� �� ���� ������������������� ��A���������������������������������������������������������������������������� ���� ���� ��� ��� ���� ����������� ����� ���� �� $����� ��� ����� (� �� ���� ���� ��� ���

���� ������� ���

Page 134: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

������ ������������������ ������������� �������������������������� �� �������������������� ���� ������� � ��� ���� ���� 1G�� A�� �� ����� �� � �� �� �� ��� ����� ���� ������� � ��� ��������� ���������� �������������������&������������� ����������������� ������������ �� ������ � ������ ��� ����� ������ �

12 12 12 1 12 1[ ] { } { }K F�× × ×= "/�08/%

12 6 12 6 0 0 0 0 0 0 0 0

4 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0

12 12 6 6 12 6 0 0 0 0 0 0

4 4 6 2 0 0 0 0 0 0

12 12 6 6 12 6 0 0 0 0

4 4 6 2 0 0 0 0 [ ]

12 12 6 6 12 6 0 0

4 4 6 2 0 0

12 12 6 6 12 6

4 4 6 2

12 6

Symmetric 4

K

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥

⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� �1 1 3 4 6{ } 1000 0 0 ( 600) 1000 12000 0 ( 6000) 1000T

F R M R R R� � � � � �"/�08?%

1 2

23 43 54

$� �� �� 6� �� �� ��� 6�1�

������������

�� 6� %� 6� ��� 6� %� 6�

� � ' ' ( ( & & %

�� 6�3��� 6�3��

�� 4� �� �����/��

����� ���1 %������� ����"�" � ����� ��������� ��+��

�/� $� ��������� �������

849:

"/�08:%

Page 135: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

$����� ����� ��� ��� ��� � ��� ���� ������ ��� ����� ���� ��� ��� ������ � ������ 4�5� � � �� ����"06���06%����<�=�� ������������������� ����"06%������ �������������� � ��������� �������� ����� ��� ���������� �� ���� ��� ���� 0�� ��� ���� �������� ���������� �� ���� ��� ��� � 8�� /���?����� ���������� �������������� ������������������������������ � �� ������������������ �

2

2

3

4

5

5

6

24 0 6 0 0 0 0 1000

8 2 0 0 0 0 0

8 2 0 0 0 0

8 6 2 0 1000

24 0 6 12, 000

8 2 0

4 1000

v

v

−⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =− −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩⎩ ⎭

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

"/�08C%

$�������� ��� ��� �� ,� -F�0:CF� �� ,� -0�/C6F

��� ,� -F�00:8� ��� ,� -F�8/6C "/�08D%

��� ,� F�/?06� ��� ,� 6�?6E8

��� ,� -0�6:D?

) ���� ��� �� ����� � ��� ���� � ���� �������� � "7� �� "/�08/%-"/�08?%%�� ��� ���� � ����� ��� ������ �������� ���� ��&��������� ������������� ����������� ��������� ���������� �������� ������ �������� �

2 exact

5 exact

0.1570

1.4720

v

v

= −

= −"/�08E%

&��� ���� �������� ������ � ������ � ��� ���� ����� � ��������� �� ��� ���� � ����� ����������� ������ ���� � �

{ } [ ] { }e e ef K �= "/�0/F%

��� ����� ���� ���� ���� ��������������� �� ���� ������������������� � �������� ��� ���� ������� �������� ������ ���� � ��� ����� ��� &����� /�60�� ����� ���� ��������� ������� � ��� ����������� ��� ������� ���� ������ ����� ���� ���� � ��� ���� �������� �������� � � ����� ��� ����������'������������ ���� �������� �������� ���� �������������������� ���� � ������� ���� ���������������������������� ��!��������� � ������������� ������������� ����� ��������������

��+ ����� ���������� �� �������� ���� ������ ����� ������ ���������� ��� ���� ���� �������� ���� ������ ������� �� �� ����������� Q�� ��� ������ ���� �� ��� ���� ���� ������� �� ��� � ����� ���� 2����

����� ������� ���

Symmetric

Page 136: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

�������3� ������ ��� �� � � � ��� ����� �������� �� ��� � ��� ����� ������ � ������ ��� �������������� �������� ���������������'����������������������������� � ��������&�����/�66�������� ��� ������� �������� �������� � ��

4�5�<�=�� ,� <�=� "/�0/0%

0.7112

1.1918

1.0 4.5927

12.8405

1.0

12

1.0

3.944

0.7112

1.1918 -1.1918

0.4806

Element 1

–0.4806

0.1918 –-0.1918

0.6724

Element 2

–0.6724

–4.7845 4.7875

–4.1121

Element 3

3.1121

8.056 –8.056

4.944

Element 4

–4.944

3.944 3.944

1.0

Element 5

����� ���� ������� ��� � ���� ������ !� �� � ��������� ��+��

����� ���� <���� ! ���� �������

*� *�

���� '�

��

�� �� ��� �� �

��

0�"�+�)

("*)(&

0'"+((

("+*%'

0�"�+�)

�"�

0("+((

�"*���

�"�+�) ��")(�&

�"� �"�

'"+((

��

�"�

'"+((

.���� �

0("����

.���� �

.���� � .���� �

.���� �

�"%*�(

0)"�&%

0�"�+�)�"�+�)0�"�+�)�"�+�)

�"*��� �"()�%

0("*)(& ("*)(&

0�"%*�(

0�"()�%

)"�&%

("+((

Page 137: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����

{ }{ } Te

i i i j j ju v u v� � �= "/�0/6%

��� ���� �������� ������ � ������ �

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

/ 0 0 / 0 0

0 12 / 6 / 0 12 / 6 /

0 6 / 4 / 0 6 / 2 /[ ]

/ 0 0 / 0 0

0 12 / 6 / 0 12 / 6 /

0 6 / 2 / 0 6 / 4 /

e

AE L AE L

EI L EI L EI L EI L

EI L EI L EI L EI Lk

AE L AE L

EI L EI L EI L EI L

EI L EI L EI L EI L

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

� "/�0/8%

���������� �����%�������������1�� ������� ����������� �������������� ����� ������� &����� /�68"�%����� �� �� ��� � ����� ���� ��������� � � ���� ���� ����� �������� (� �� � �� ��

��������";�������

;����� 3/��� �� ��������

���������

(��

'��

��� 6������ ������� '� "��" �� ������ � ��������� ��)��

������� ��� � ��������� ��� ����� ���� ����� ���� ������� ��� ��� ��������� ��� ����� ������������� � ���� ������ ��� ��� ��� �������� �������������� �� �� ���� ���� �������� ���� (���� � ���� ����������� ����� � �� ���� ������� � � � ����� ��� &����� /�68" %�� ) ���� ���� ���� ���� ��

����� ������� ��

Page 138: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

���� �������� ������ ������ � ����� ��� ���� ���� �������� ������ � ������ � � � � �� �� ����

������� �� # $ 8 �;� � $ 6�FFF� ����� � , 6FF�FFF� @9���;� > , 0F�� ����� ���� ������� ������ ������� ��� �� � ������ ��������� ����� � � ������ ��� ���� ���

6

2

6 9(1)

6 6

2 6 2

6 6 6 9

0.133 10

0 0.889 10 Symmetric

0 0.133 10 0.267 10[ ]

0.133 10 0 0 0.133 10

0 0.889 10 0.133 10 0 0.889 10

0 0.133 10 0.133 10 0 0.133 10 0.267 10

k

⎡ ⎤×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× ×⎢ ⎥=⎢ ⎥− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × − × ×⎢ ⎥⎢ ⎥× × − × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�0//%

1

2

2x

����� ������� ������ ������� ������ ��������� ��)��

'

%

��

&

��

;�����<3/��� �� ��������

���������

� (

��� 6�

���

��

��������";�������

Page 139: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� ������ ��������� ����� ��� �������� 0� � � ��������� ��� ���� ��� ��� ����� ��� ������ ����� ��������� � � ������

������� �� #�,�:���� ��,�80/�0?������ ��$� 6FF�FFF�@9���;� >� ,� C�D:/���������� ������� ������ ������� ��� �� � ������ ��������� ����� � � � ������ ��� ���� ���

( )

5

3 72

5 5

3

3 6 3 7

0.126 10 Symmetric

0 0.151

0 0.377 10 0.126 10[ ]

0.126 10 0 0 0.126 10

0 0.151 0.377 10 0 0.151

0 0.377 10 0.628 10 0 0.377 10 0.126 10

k�

⎡ ⎤×⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥× ×⎢ ⎥=⎢ ⎥− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥− − ×⎢ ⎥⎢ ⎥× × − × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�0/:%���� ������ ��������� ����� � � ������������� � ����� ��� ��� ��� �������� ����� ��������

������������� ���������������� ������ ��������������� ���������&�������������������� ������ ��������������� �������� ������ ��� ��� ��� ������ ���� �� ������ ����� ��� �� ������ �

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0[ ]

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

0 0 0 0 0 1

T

� �

� �

� �

� �

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�0/?%

��� � ���� �������� ������ � ������ ��� ���� ��� ��� ����� � � ������� ��� ���� ���

� (2)(2)[ ] [ ] [ ] [ ]Tg lk T k T=

4

4 4

3 3 7

4 4 3 4

4 4 3 4 4

3

0.452 10

0.603 10 0.804 10 Symmetric

0.302 10 0.226 10 0.126 10

0.452 10 0.603 10 0.302 10 0.452 10

0.603 10 0.804 10 0.226 10 0.603 10 0.804 10

0.302 10 0.226

×

× ×

− × × ×=

− × − × × ×

− × − × − × × ×

− × 3 6 3 3 7 10 0.628 10 0.302 10 0.226 10 0.126 10

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥× × × − × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�0/C%

����� ������� ���

Page 140: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

���� �!

���� ���������������������(����� �������������� �0����6������ ������������������� ����� �������� ����������� ������� ������� ���������������������������� ���� �������������(�������� � � � �������� ��� � �� ��� � � ���� ��� ������ � ������� ���� ���� ��������� ��� � � "�� � �����������%��������������������������������������������������� � �"�� �������������%����� ������ �������� � ������ ����� ��� ���� 0�� ���� ���� ������ �� �� ��� ��� ��� ���� 8�� ������ ������ � �� �� ���� ��� � ���� ����� � ���� ��� �������� � � � ������ � � ������ >

2 4 2 4 2 3 4

26

24 4

26 9

33 3 7

3 3 6 7

, ,

0.138 10

0.603 10 0.813 10 Symmetric

0 0.133 10 0.267 10

0.302 10 0.226 10 0 0.126 10

0.302 10 0.226 10 0 0.628 10 0.126 10

u u v vu

v

� � �

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥× − × ×⎢ ⎥⎢ ⎥× − × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

4

0

10, 000

0

0

0�

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

"/�0/D%

$�������� ��� ������ ,� -F�06� ��� �� ,� 6�:?/� ����� ,� F�FF08� �� ��� ,� ��� ,� 8�6?� �� 0F��� � "/�0/E%

��� �� � ��� � ���� �� �� ���� ������� � �� ��� ��� ����� �������� ����� � ���� ����� ���������� ��������8����/���� ���� ���� �����������6�� ����������� �������� (���� ���� ��� ����� �� ��������� ��� �� � � ��������

���������� 0�%&�(���&&���������%��'������%��'����������'�����'� ����������"�1�� ������ ������ ������� ���� ��������&�����/�6/� � (�������������������������������� �� ������ ������� ������ �������������������(� ��������������������� ��� �������������� �

1 21

���:���� �� � �!���� ������ � �/��

�/��$� ���� ����� �������

����� ���� 4���� "�� � �������� ���� �

2

L

$�

$�

$�

'

$�

� � �

Page 141: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

(� �� ���� ������� �� &�� ����������� ���� �>� ,� 0�� #� ,� 6�� ��� ,� 0�� !����������� ���� ������������� � ��� ��� � 0� ��� 8�� ��� ���� ���� ���������� �������� � ��� ���� �������� ����� �����>

1

2

2

2

3

3

4 0 6 2 0 0 0

1 0 0 1 0 0

24 0 0 6

8 0 2 0

1 0

0Symmetric 4

t

a

u

v P

u P

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

"/�0:F%

���� ������������� �������������� ���������� �� ����� ����� ����� �������������������������������� � ��������>

1

2

2

3

4 6 2 0 0

24 0 6

8 2 0

Symmetric 4 0

tv P

− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

"/�0:0%

2

3

1 1 0

Symmetric 1 a

u

Pu

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

"/�0:6%

���� ������������ ��������� ����� ����� ����������������������� ��������� ������� �������������������������� ������� ��������������������������������������� �� �������������� ��� ������� �������� ������������� � ���� ������ �������� ��� ��� � �� ���� � � ������ �

3

max3

tan

12 483

tPLLV V

EI

� �

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

"/�0:8%

����2

2 4

aP L

EI� = "/�0:/%

��� � � � ��� �� �������� ����� ��� 7��� "/�0//%� ����� � � ��� ��������� ������� ������ ����� �� �� ��������� � "����� ���� ���� � ��� ���� ������ � ������ 4�5�%�� H��� �������������� ������� ������������ �������� ���� ��������� ����� ����������� ����������������������������� �������� ������� ���� �� �� �������� �� ��������� ��� ����� ����� ����� ����� ��

����� ������� ���

Page 142: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

���������� ���� ���� ��� ����� ������ ����� ���� ��������� ��������� ����������� ������ ���������������� �������������������������������� ������������������� ������� ������������������������ ���� � � �������� �� ���������� ��� ��� ����������� ���� � ��� �� �������� ���� " ���� � �� ���� ���%�

! ����� ����� ������� �������� �������� ������� ������� ����������� �� ���� ������ ���� ������� � ��������� ����� �������� ��� ���� ����������� �� ���� ����� ����

��� ����� ��� � ��� ����� ����� � � ���� � ��� �������� ������ ������� �������� ����� � ������������ ���� ��� ����������������� ���������������� ������������ ��������� �������������������������� ������������������� ��������������� ������������������ ���� ����������� ����� ��� ��!��$�������6�C����� ����������������� ����������������������� �������������������������������������������� ������������ ������������������������������� ������ ���� ��������� ��� ���� �� ��� �

��, -���������� �� .��� ����������� ��������� ����������� ��������� ��� ���� ����� ����� �������� ������ ���������� ������� ��� ����� ����������� ����� �� � ���� ������� ����� � � � ������ �

2

2 ( )

c

d T Pk q h T T

Adx∞

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠"/�0::%

����� ,� ������������ ��� ������� ������������ ��� ���� ��������. ,� ����������� ,� �������� ����� ����� ��� ����� ������� ,� ���������� ,� ���� �� � ��������� ����! ,� ����������� ����� ��� ��� ������������� ��

.� ,� �� ����� ����������

���� �������� � ����� ��������� ���� �� ������� �

2

20 ( ) 0

L

c

d T PW k q h T T dx

Adx∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ "/�0:?%

Q�� ��������� ����������� �� ��� �� ���� ����� ���� ��� ���� ����������� ��������� ���� �� �������

0 0 00

( ) 0L

L L L

c

dT dW dT PWk k dx Wq dx W h T T dx

dx dx dx A ∞⎛ ⎞⎡ ⎤ − + − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ "/�0:C%

����

� �0 0 0 0

0

( ) L

L L L L

c c

dW dT P P dTk dx W hT dx Wq dx W h T dx Wk

dx dx A A dx∞⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ "/�0:D%

Page 143: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� ����� ����� ��� �� �������� �� �� ��� '� ������� ������� �� ���� �� ������� �

0 0 001 1

� � �n n

c ck k

dW dT P P dTk dx W hT dx W q hT dx Wk

dx dx A A dx∞= =

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ ∫ "/�0:E%

���� ���������� ��� ���� ���� � � ���� ��� ���� ��������� ��� ���� ����� ���� ��� ���� � ������������ ��� ����� ��� 7��� "6�06:%� ��� ���� �� �� �������� ���� ���� �� ��� ������� ���� �������� ������ ����� ��� ��� �������� ���������� ���� ������� ��� � �� ������ ���������� ����������� �������� �����������&�����/�6:� ��� ������������������� ������������������� ����

����� ���, %������� ����� � � !� � �������

�� ��

� � ��

� �� �

����� ������ �

��� ����� ������ &��������� ���� ��������� ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� ������������ ������ � ����� ���� ����� �������� � ��� ������������� ���� ����������������� ���� �������� ���� ���� ��������������

1 2( ) 1 � �x x

T x T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

"/�0?F%

2 1

�T TdT

dx

−= "/�0?0%

11

1 1 ,

� �dWx

Wdx

= − = −

22

1 ,

� �x dW

Wdx

= ="/�0?6%

��� ���� �������� ���� �������� ������ ����� ����� � ��� 7��� "/�0:E%� � ����

��� � �� ���� ���� ��� !"##� $������ ��� ���� ;*$� ��� �� �������� "7��� "6�06:%%�� ������� � ��� ��� .� ������ � �"� ��� � ��� ����

1

2

1 1

1 1

Tk

T�

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

��� ����� ���� ���� ��� !"##������� ?��

[ ]

1 20

2

1 20 0

1 2

1 1

= 1 1

= 2 6

� �

� � �

� � �

c

c

c

x P x xh T T dx

A

Ph x x xdx T T dx

A

PhlT T

A

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

+

∫ ∫

������������� +��� ������� ���

Page 144: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

�����?��

[ ]1 2 1 20

1 26

� � �c c

x P x x Phlh T T dx T T

A A

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠∫��� ���� ���� ����� ���� ����� ���� ��� ���� ;*$� ��� ������ ��������� �

1

2

2 1 6 1 2c

TPhl

A T

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

$��� ������� $�������������B*$��� ������������� ������������������������������

�� 0 c

PhTq

A∞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ��� ���� ����

0

/2

/2

�c

Pq hT

A ∞⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎪ ⎪+ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎭

$������������$���������B*$� ���������������� ����������"7���"6�06:%���������

0

l

Q

Q

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

�����@���@����� ��������������������������� ����������������"��� %����� �������������������������� � ���� �� ������� �

010

2

1 1 2 1 /2

6 /2 1 1 1 2

� �c c l

QTk Phl Phq T

A AT Q∞

⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟+ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠"/�0?8%

���� ;*$� ���� �� ��� ���� ��� �� ���� �������� ����������� ������� ��� ���� �� �� ����������B*$�� ���������������������������������� ��������������� �� ��������� ����9 �������� ����� ������ ��� ���� B*$� ��� � ��� ���� ���� ����� ����� ��� ���� ��� � ��� ����� � � � �������������� �� ��������� �������������� ��������������������������� ����� �� ����������� ��� ��@+ � ���� �������� ��� ��� ��� ���� � ������� ���������� ������� ����� ����� ��� ��� �������� 1�������� 7��� "6�0?8%� ��� "/�0?8%�� ��� � ���� ����� ���� ������ ������� � ��������������� ��� � ��� ������� ��� �����������

��� ���� ���� ����� ���� � �� ��� ��� � �������� ������� ���� ���������� ��������

������� ���� .�%&�������� �����������'� �'� �� &�'���'"�1�� ��� �� 0 ��� �������� :F� ������� ���������� �������� � � ����� ��� &����� /�6?� � �� ��� �������� ���� ����� ��� ��� ���� � ������ ����� ���������� ��� 8FFP1�� ) �� �� ,� 6FF� �9�9P1� ��� ����������� !� ,� 6F� �9��� 1�.�� ,� 8FP1����� � ������ ���� ���������� � �� ������ ��� ���� ���� � ���� ���� O������� �������� ��������������7�������6�D��������������� ��������������������������������� ��������� ����������������� ����������� ��� ������ ����� ���� ������� �������� � � �� ������������ � ���� ������������ �����

Page 145: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����������� ���� ��� $� ��������� ���� ��������� ����� � ��� 7��� "/�0?8%�� ��� ���� ����������� �������������� ��

1

22

wall

2tip

1 1 2 1200 ( )(0.001)(20)(0.05)

0.05 (6)( )(0.0005)1 1 1 2

0.025( )(0.001)(20) (30)

( )(0.0005) 0.025

T

T

Q

Q

⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎜ ⎟+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�0?/%

&��� ���� ������ �������� ����� �����.�� ,� 8FFP1��@��� ,� F����� ���� ���� �.�� ,� 0ED�C: 1�

��������������� ��� ���������������������� ������������,�F�F6:����' �� �������������������� ������ �������� � ��� ���� �������� � ���� �� ��� ���� ���� �� ������� ����� ���� ��� � ���� ������ �������� � �

1

22

3

2

1 1 0 2 1 0( )(0.001)(20)(0.025)200

1 2 1 1 4 1 0.025 (6)( )(0.0005)

0 1 1 0 1 2

0.0125( )(0.001)(20)

(30) 0.025 ( )(0.0005)

0.0125

T

T

T

⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

wall

tip

0

Q

Q

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

"/�0?:%

&��� ���� ������ �������� � ��� ����� .�� ,� 8FFP1��@��� ,� F�� $� ��������� ��� ���������� �������� �� ��� ���

.�� ,� 66?�0D:P1� .�� ,� 6F8�:/DP1 "/�0??%

=��

��

����� ���* �� ��#!��

������������� +��� ������� ���

Page 146: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ������������� ������ ������� ������

������������ ���� ��� ����� ���� ������ ������� �� ��� ����� �� ,� F�F06:� ��� ���� �� ��� �������� � ���� �� � ������ �

2

1 1 0 0 0 2 1 0 0 0

1 2 1 0 0 1 4 1 0 0( ) (0.001) (20) (0.0125)200

0 1 2 1 0 0 1 4 1 00.0125 (6) ( ) (0.0005)

0 0 1 2 1 0 0 1 4 1

0 0 0 1 1 0 0 0 1 2

⎛ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝

1

2

3

4

5

T

T

T

T

T

⎞ ⎧ ⎫⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎟ ⎨ ⎬⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎠

wall

2

tip

0.00625

0.0125 0( ) (0.001) (20)

(30) 0.0125 0 ( ) (0.0005)

0.0125 0

0.00625

Q

Q

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

"/�0?C%

$� ��������� ���� ������ �������� � ��� ������� ���� �������� �� ��� ���

.�� ,� 6:?�8CP1� .�� ,� 66C�F8P1

.�� ,� 60F�0/P1� .�� ,� 6F/�?8P1"/�0?D%

���� ������ �������� ��� ��� � �� ���� � � ������ �

wcosh ( )

( ) ( )cosh

m L xT x T T T

mL∞ ∞−⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥⎣ ⎦

"/�0?E%

����� c

hPm

kA= �

&����� /�6C� ������ � ���� ������ �������� ����� ���� ����� � ������� �������� ������� �� !�� � � ������������������� ��������� ������������������������������������������������������� �������������������� ��� ����������������� ����������������� ���������������������������� ������ ���������� ������� ������������ ��'�0F��������� ��������� � ��������������������� ������������ ������ �������� ��� &����� /�6D�

' � � ���� ����� � ����� ��� ���� �� ���� ��� �� �� ���� ����������� "7������� /�0� ��/�6%�� ��� ������� ����� ����� ��� �� ��� ������ ��� ������� �� ����� �������� ����� ��� ��������������� ���������� ����� �������� ����� ���� ������ �������� � �� ����

Page 147: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ���+ -���� � �� �!� ������ ��"���� $���� !����� ������� ��"��� � ��������� ���1��

����� ���) -���� � �� �!� ������ ��"���� $���� �1#������� ��"���� ��������� ���1��%

T(X

)

������������� +��� ������� ��

ExactOne-elementTwo-elementFour-element

%

ExactTen-element

T(X

)

Page 148: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

�"���#$

!�� ��� � ����������� ����� � �� �� ���� ������� ����������� ��� 0�� ������� �������� ����� � ��������� ����� ���������������� ��� ������������� ���� ���������������� ������������ ������ ����� ������ ���� ������ ���� � �� �� ����� ����9������ ��� ������� ������� �� ��� � ��������� ��� �� �������������� ��� � �� ���������������� ������� �� � �� ����� !��1������ :���� ����� ������ ��� ���� � ��� �������� 6�� �� ��� �

%#&'(���

�� 1�� ��� �� �� �������� ��� �� ���� ��� �� � ������� ���� � �������� ������ ��������������� ��� � "&����� #/�0%��G����� �� � ������ ��������*�������� ��� � ��������������� ������ �������� ������� ��������������� ��� ������������9 ������������� ����� ��� �� ����������M

����� <��� 4� � ������� $���� �� ���� � � # ������

�� � � �� �

��% ���� ���������� �� ����� ��� &����� #/�6� �� � ������ ���� � ������� ���#98� ��� 6#98�� ) �� ���� ������� �������� ������ ��� �������� ���� ������ ��������� � ��� ������������ �

'$ $

�,- �,- �,-

����� <��� �����#!����� �� �

��& &�� ���� �� ����� ��� &�����#/�8�� ����� ���� � �� ��� ������ ������� ��� ���� ���������� ����� ����� � �������������� ��������� �������� ������������� ���� �� ��� �����M�'��� ��� �9 � ,� �N� J����+ � ����� � ��

Page 149: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� 1�� ������� ������������ �� ��������&�����#/�/��$������������� ��������� ��� ����� � � ���@� � ���� �� ������� � "� ���� ��� ,� ��� ����%�

1 2 3 4

����� <��� �!!���� �!� ���� "��� ���

'

&

'

(

(

&

;�������

;�������

����

����� <��� '� ��� ��"���� �� �

��! ���������� ������� ����� ���&�����#/�:� � � ������ ��� ���� ����� ��� ������ ���������� � ��� ���� �� � ����� ��������� �� � ��������� ������� �� &��� ���� ���� ���������� ��� ���� ����<� ���� ���� ������� ��� ���� ������ �������

.

$ " ���� �

�$

$/

�0 �0 �

�0 �

�0 �0 ���

����� <��, �� ���� � � "��" ��

� � ' (

$�1��� ���

Page 150: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

��' G�������� ���� ��������� � ��� ���� �� � ������� ����� ��� &����� #/�?�

$

�0 �0 ��0 �0 �

%�> %�> .

����� <��* �� � " � � "��" ��

��( 1�� ��� �� �� �������� � ���� �� ����� ��� � � � ����� ��� &����� #/�C� ��� �� ��� ���� ������ �9 �� G����� ���� �������� ����� ����� ������ ��� ��� ���� ����������� ���������� 1�� ��� ���� ������ ��� �������� �� ������� �� ;��� ���� �� ���� �� �� ��������� �� � ��������� ���� ��

�����<��+ &������� ���

8����

��

��

� �1�

Page 151: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��) 1�� ����� �� ���������� �������������� ��� ������ !�� ������������ ���� ���� ����� ������������������������ ��"����(���:�%����"����(���:�%�������������������������� ��� � ��� ���� ����� ������ �

2 2 2 2 2 2 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

� �

� � � � � ��

x ym

x y z x y z= =

+ + + +

2 2 2

( ) ( ) ( )

zn

x y z

� � �=

+ +

�������,����-���N�(�,�(��-�(�N�:�,�:��-�:���$���� ����� ���� ��� ��������������4.5������������������� ��������� ���������������� ���������������� �� ������� �

0 0 0[ ]

0 0 0

l m nT

l m n

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦G����� ���� �������� ������ ������� ��� ���� ��� ��� �����45A�

��" &�� �� ������� ������� �9 � �� "���������� �������#������� � ��� �������7%� ������ ��� �������� ���� ������ � �������� �� ����

1 11 12 1

2 21 22 2

T k k

T k k

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

) �� ��� � ��� ����� ��� ���� ������ ��� ��� �� � ��� ����� ��� ����� ��� &����� #/�E

8��� ��� 8��� �

� �

� �

����� <��6 %� ��� �!� �� ������� ��!��

�� * '��������������������������� � ��������&�����#/�0F��) �������� �������������� ��� � ����� ����� ���� ������� ���� ���� ���� �����������) ���� ��� � � ���� ���� ������������� ��� ���� �������

�� &������ ������ ���� ��������&�����#/�00������������������������������ ������� ���� ����� ������

�� % '� ������������ � � ����� �������������� ������� �����&��� ������� � ���������������������*������������� �������������� ������������������������������������ ���� ����� ����� ��� ���� ������

$�1��� ���

Page 152: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

P

�1'

��1'

�1'

� � �� ���� ��� �1��

����� <���1 �� �������� � ����� "�� � ��� � ������ �����

����� <���� < ������ �������� � �����

'��

���

(

����� �

#� �� �����1�

�� �� ������1�

�� & G� �� ����������������������������� ���������������������� ���� �������&����� #/�08�

�� � &�� ���� � ���� ������ ��� ���� ������� � ����� ��� &�����#/�0/�� ��� �� ���� ��� �� � � ��� ������ �� ���� ������� ��� ���� � �� ��� ������ � ������ 4�5�

�� ! ���� ������� � ��� �� ����� ���������� ���� ������ ������� ��� �� �� �������� �������� ����� ��� ���� �� ��� �� ���� ��������� 7������� ���� ��� � � � ��

�� ' ��������������� ����� ���&�����#/�0?� � � F�:��� ����������� ����� ��������� ��������� ������������������� ������������������6FFP1�������������� ������� ��� ������

Page 153: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� <���� 4���� �� � ��� "��� � �

�� $

.�

.�

1

2

3

4

5

����� <���� /���� "��� ���

����� <���* =���� ���"����� �� �� ����

* + ��

��

�'��)

&

(

�(

�&

�%

%

'

�"&��

< ������

�� �� ���>4

3 400 W/mQ =

25 W/m Ck = °

$�1��� ���

Page 154: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������������� ������ ������� ������

���� ������� ������������ �� ,� 6:��9�P1�� ��� ����� � � �� ������� ����� ����������� ��� ��������� ���@�,� /FF��9���� G�������� ���� ���������� � �� ������ ��������������� ������� � � ���� ������ ������� �

�� ( &�� �� ������ �������� ������� ����� ������� ���� ����� �������� ����� � "������� ��� � ������ 6;%�� ���� ��������� ��������� �

2

2�

d u dP

dxdy=

����� � � � ���� �� �� ���� ��� ���� �����G����� ���� ��������������� ��������������������� �������������� �� ��������� ������������� ������� �����������9�������� �������������� �������������������������� � � ���� ��� ���� ������ ��� ���� ����� � ����� �"-#%� ,� FN� �"#%� ,� F�

�������� �� �����������

�� ) !������� ����� �� ������� �� �������� � � ��� ����� ���� GA&� ��� ����� �������� ������ ���������� �� ��� ������ ����� ���� *��� �������� ������ ��� ����� ���� ��������������� ���� ������ M

�� " *������������������������������������������������� ���� ����������� ��������� ���M

��%* !�� �������� �� ����� ����� ����������� �� ���� � � �� ���� ���� ��� ��� ��������� ������������ ������� ������� � ��� ��������������������� �� ���� ����� ������������� ��� ��������� ��� ������� �������� ������ �������� ��� �������� ����� � � ����������� ���� �������������������������� �����������������&�������� ����������������� ����� �� � ������ �

��% G������� �� �������� ������ ��� ������� �������� ����� � � � ���� ���� ������� ������� � �� �� ��� ��� � ��������J��� ���� � �� ���� ���������� ��� >

'����� ���� � �� ��� ���� �� ���� ����� ��� ����� � � " �������9����� ��� ���� ����%� ��� �������� ��� �������� "�� 9 ���9������ ������ �����9��������� ��� �� ��%�

'������������������������������������������������������������������ ���������� ���� ��������� ������ ��������� ����� �� ����

O������� �������� ������ � ��� ��� ���� ��� ��� ��� �������� �����

#����� � �� ��� ������������ ������ �������� �

$����� ��� �������� ���� �� �

&��� ���� ����� ���� �� � ��� ����� ��������� �������� ���� ��������� � ��� ����� ��� ���� �� � �� ����� �����

Page 155: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���

��� ������� ��� ���� ��� ��� �� �� ����������������� ������������������������ ������������������ ������������� �������� �������� �� �������� ��� ��������� ��������� ���� ��� �������� �� ��������� �� ���������������������������������������������������������������������������������������� ���������� �� ��������� �� ������ �������������� ��� ������� ���� ������������ ��� ��� ��� ��� ������ ����� � ��� �� ����� !����� ��������� � ���� ������������ ��� �������� ���������� ����� ����� ��� ���������������� ������� ��� �� ������������ �� � ������� �������� ���� �������� �����

"� ��� �������� �� ����� ����� ��� ����� ����� ������� ��� ��������� ������������� ��#����������������������������������������������������������$��������������� �������������������������� �%������������������� ������&����'�()�� ��� � ���� ������ ��� ������� ��� ����� ���� ������� � ���� ��*� ������� ����������� ��� �� �������� ������������� ��� �� �������������� ������ +��� !������ ���� �� ������ ���� ��� �������� ������������� �������*����������������������������������� ����������*�� �� ����������� ������������ &���� ��������� �����)��,���� �� ���� ���� �����!� �������� �������� ����� ���� ���� ���� ��� �� ���*� ������� ���� � ��� �� ����*� ������ � �� ��*�� �� ����� �������� ��������������������� ����� ������������������ ���������*��������������������������� ���� ���������+���������*����������������������������������� ����!������ ����������� ��� ���� ������� �����!����� ��� #��� ����� ���� ��� ���� ��� -���� $���� � �*� ��������������������� ���������������*�� �� ���������������+����������������� ����� �������� ��� ����� �� �� ��� ��� �������������� �������������� ��� �������������� ���� �� ������� ��� �� �������������� �������� �� ���� �� �������������� ��!���� � �� ������� ����� ��� ���������� ��� �� ������ ��������� ���������� � ���� �������� �������������������������������������%���$����������#������������������ ��������������� � ���*� ���� ������� ��� ���������� ������� ��. ������������� ������� $�� ��������������������������������������������������������������������������!���� ����������� ��� ����� � ���� ������������� ����� ���� ����� ������ ��� ���� ������

/����������������������������������������� ���� ������������� ��� ��������� ��*� ��������� ���������� ����� �� �������� ��� ��*�� �� �������� ��� �� ��������������$��� ����������� �������� ��������� ��� ���� ���� �������� ��� ��������������������� ��� �� ��� +����� 0���� ��� �� ����� ���� 1+���� 0���2�� �� ������� ��� ��� ���� ��� �������

����������� � ����� ����� ����

CHAPTER 5

Page 156: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

����� ��� ��� �� ���� ��������� ��� ������� � �����

��� ���� ��� ��� ����� ������

��� ����� ��������� ����� ��� ����� ������

��� ������������ ��������������� ����

Page 157: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��������� �������������������������������� ���������������������������� ����$����� ��� ��������� ����� ��� ��� ���������������� �������� ���� ����� �� ���*���� ��� ������ ���������� ���%��� ����������3������� ��������������������������$���� ����������%�������� ��� ���� ���� ����� $�� ����������� ������� � ������� ���� �� ������� ������� ��������������� ����� ����� ���������� ��������� ��� �� �� ��

{ }0

2

1 0

1 0 1

10 0

2

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

� � �

� � � ��

� � �

x x

y y

xy xy

E

&0��)

��� 4�5�� ������� ��� ������� ������$�������������������������� ������������&+����0���)� ��� ������!������ �

����� ����� ��� �� ����� ��� �� ����� ��� ��� ����� ��� �� ��� ��������� �� ������ ��������������������������%���������������������������������������3���������������������������������$���� �� ����� ���%��� ������� ��� ���� ���� �����$�� ����������� ������� � ������� ����� ������� ������� ���������������� ����� ����� ����������� ��������� ��� �� �� ��

{ }0

1 0

1 0 (1 )(1 2 )

1 20 0

2

� � � �

� � � � �� �

� � �

x x

y y

xy xy

E

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

&0�-)

������������� ���������������������� ������%�������������������������������� ��������� ��� �� ������������ ������ ��� �� %���

$����������������������� ��� �� ���������&+����0���)����������� ���������������� ��������� ��������� �������� ��� ����������� �������� ���� ������� ������ ��� �������� ��� ��� ������� ������� � ������ �� �� ���������� ���� �������� ��� ��������������� ��� �� ��� ��������� �� ������ ��� �� �������� ���������� ���� ����� ��!���������� ����� ��������� ���������� ������������������������$����� �� ������������ ��������� ����������� ����*�� ������� �������&������������� ������)� �������������� ��� ��� �� ��� �� ������� ��� ��������� ������� ������ ��� ���� �� ������ �������������� ����� ����� � ������ ����� ����� �!���� ������� ����� ��� ������� ��� � ������ ����� �������� ������ �� ��� ���� �� ������ �� ������ ���!� ����� ��������� �� ������� �������� -��� �!���������� 6� ��� ������� �� ����� �!��������� ������� ���� ����7��� �� ����!��������� �������� ����� ��� ������*� ��������� �� ���� ����� �� ������ �������� �� ������������� �!��������� ��������� ����� ���� ������ ���� �� ����������� ������������������������$�������!������������������!���������������������������������������������� ���� �� ���������� -��� �� ���� �� !������ ��� �� +������ ������$�� ���� ��������

������������������ ���� ��� �� ���� � ���

Page 158: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

��� ������ �� �������� �������� ����� ����� ��� �� ���� ��� ������ �������� ���� �� ���� ����� ��������� ��� �� ������������� �������� $�� +������ ���������� ��� �������� ��� ���������� ����� �� ���� �������� $���� ������� ��� *�� �� ��� �������������� +8,�� $�� ���%�������� ���� ������� ��� �� ����� �!��������� �������� ��� ����� ��� ����� �9

� { }0

1 01 1

1 0(1 ) 1 (1 )(1 2 )

1 0

1 2Sysmmetric

2(1 )

� �

� �

� �� �

�� ��

� �� �� �

� ��

r r

z z

rz rz

E

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎜ ⎟= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ − ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

&0�#)

3������� �� �������������� ����������� �� � �� ��������� ��� �� �������������������� ���� ������ ��� �� ���� ��� ������ ���� � ���� �������� �� ����������� �����������������������������$�������� ������������������������������������������������� ��������� ������� ���� ������ ������� ��� ������ &����� ��� �� ����� ���)�� �� �������������� ����������� � �� ��������� ������ ������������� ����� �����

��� ����� ��� �� �� �������� ��� � ��� �� ����/�������� ��������������������������������� �����+�����0�-�� ��� ������������* ��������������������7��������������������������� ��������*�����������������

����� ��� ��� �� ���� ���������� �� ����� ����� �� ������ �� �����

Page 159: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������������������� ����������������� ������������������!� ������������������������������� �������� ���������������*�� ������� ��������$��������� �������������������� ��� ����������� �������������������������������������� ������� ��� �������� ���� ������������� ��� ��� �� ��� +����� 0�#��8���� ���� ��� ����������������������������������������!����������������� ��� ��������������������������� ���� ��� ������ &������)� ���� ����� �������� ��������� 6� ��� ��� ��� ����� ��������� ������� ���� -��� ��� ������� ��������� 3����� �� �� ����� ����� �� � ����������������������������� ������,��������!������������������������� �����&������ ������� ��� ��������� ����� ��� ��������� �������� �� ������������)� �������������� �� ������� �����

2

����� ��� ��� �� ���� ������ ���������

�� ���� �� � ����� ���� ����������� ��� ������������� �������� ���� ����� �������� �� � ������� ����� ���� ��� � ���� ����� ���������� 3���������� � ���� �������� ������������ ��� -��� ��������� ��������� ���� ��� ������.������ ��� � �������� ������ ���������� ���� �� � ����� ���� ����������� ��� �� ������� ����� �%��� �� ������������������������ ����*�����������������������������������7�������������& �%���������� )� ��� ������� ����� ������� �������� ���� ������������������� ������ ���������� �!�� ���� ��������� ��������� ��������� $�� ��� � ��� ��� ����� ������ ��� -��� ���� �������� ��� ���� ��� �� ������� ������� �������� ���� ��� � �� � ����� ��� ������� ��� ����

����� ����� ����������� ���������������

/� ������� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0���� �� ���� ������� ����� ���� ��� ������ ��� �� ��� �!��$��������� �����������&������)�� &������)�� &������)� ��� �������������������������

� � �

!

"

��

!

"

�#

$

������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���

Page 160: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

��������������� �� ��� �� �������8������������ 7��� ������������������� ���������� �%���� ���� ��� �� ����������� ������ ��������� ������ �!��� ����� ���� ��� ��� ����� ��� � ��� �� ����� &����������)� ��������� ���� �� ������� ����� ���� ��� �� ���� ���� ����������������

�� ������ ��� �� ������� ����� � �� �� ���� ��� �� �� ��

�&�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ��� &0��)

����������� ��� ���� !�������� ������� ����� �� �� ������ ������� �� �� ������������ � ��

��� :� ��� ;� ����� ;� ����

��� :� ��� ;� ����� ;� ���� &0�0)

��� :� ��� ;� ����� ;� ����

3�� ���� ���� ���� ���� ���� � �

11 10 1

1 2 2 2

2 33 3

1

1

1

x yc T

c x y T

c Tx y

−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

&0�<)

3��������� ��� ��� 8��� &0�0)� ���� � ������� � �������� �����

3 3 31 1 1 2 2 21 2 3

( , )

2 2 2

x yx y x yT x y T T T

� � �� � � � � � + ++ + + + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ Δ &0�=)

����� ��! "������ ������������ ��� ��#� �� �������������

"

# $

������ ��� �

��

���� ��� � ����

��

� ���� �����

Page 161: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� :� ����� �� ����� ��� :� ��� >� ��� ��� :� ��� >� �� &0�?)

@��� ���������� &���� ���� ��)� ���� &���� ���� ��)� � ���� �� ������� ��� �� ������ ��������������� ��� ���������� ��� -�� #�� /����

1 1

2 2

3 3

1

2 1

1

x y

x y

x y

=Δ � :� -� &/��� ��� ������� �-#) &0�A)

��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� ���� ��

�&�� �)� :� ����� ;� ����� ;������ :� 1�24�5� &0��B)

$���� � �� � �� ����� ������������ ��� ����� �9

{ }1 ,

2i i i iN x y� � �= + +Δ

�� :� ��� -�� # &0���)

��� �������� ������� ������������������������������������������ ������ � ��������� �%����� ���� ��� ���� � ���� ��� �� ����������� �� ���� ������� ����� ��� ���� ��� ������� ����������� ������ �� ���� ����� ��������� ��

�&�� �)� :������ ;������ ;����� &0��-)

�&�� �)� :� ����� ;� ����� ;� ���� &0��#)

������� �������� ����� ���� �������� ������������ ����� �� ��� ������� ����� ��� ����� ��� ���� ��� ���� ��� �� ������ ������� ��

&0���)

�� ���� � ��� ���� ���� ���� ����� ����� �� ������ �������� ��� �� ��*�� �� ���� ������� ����� ���������� ������� �� �� �������� �������������� ���!� ��������������������� �� ����� ��� ������������������� ���� ���� ��� ����������������*�� ������ ������� ����� ������� &� �)���� �� � �������� �� ������� ���������� ����

������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���

1

1

1 2 3 2

1 2 3 2

3

3

0 0 0[ ]{ }

0 0 0�

e

u

v

N N N uuN

N N N vv

u

v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Page 162: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

����� ����������������������������

/� ������� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0�0�� �� ��� ���������� ���� ���� ����� ������ ��� �� ��� �!�� $�� ����� �� � ���������� &���� ��)�� &���� ��)�� &���� ��)� ���� &���� ��)� ��� �� �������������� ��������� ����� &���)� ��� ��� �� ��� �� ������� +��� ��� ��� ��� ������ � ����

����� ��� $� �#�������� ���� ��#� �� ��������#

"

$

� �

� %

�� ������ ��������� ����� &���)�� 8���� ���� ���� ������� ��������� ��� �� �������� �%��� �� ������ �� �����������������������������������!��� ����� ���� ��� �������� ��� � ������� �� ����� &����������)� ��������� ���� �� ������� ����� ���� ��� �� ���� ���� ����������������

�� ������ ��� �� ������� ����� � �� �� ���� ��� �� �� ��

�&�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ���� &0��0)

�� ���� � ��� ��� � �� � ����� ����� �� �� � ��� ���� �� �*� �� ������ ��� ��� �������������� ����������������� ��� ���� !�������� ������� ����� �� �� ������ �������� ��� ������ ������ � �� �� ���� �� ���������� ���� ��� ��%� &�� �� �)� ��� ��� �� ��� +����� 0�0�

��� :� ��� ��� :� ��� ;� ���� &0��<)

��� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ����� ��� :� ��� ;� ���

3�� ���� ���� ���� ���� ��� ���� ���� � �

� � � �0 1 c T= � 2 1

1 T T

c−

=�

� 4 12

T Tc

h

−= � 3 1 2 4

3

T T T T

ch

+ − −=

�&0��=)

3��������� ��� ��� 8��� &0��0)� ���� � ������� � �����

�&�� �)� :� 1 2 3 41 x y xy x xy xy y xy

T T T Th h h h h h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � � � � �&0��?)

Page 163: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� ���� ��

[ ]

1

21 2 3 4

3

4

( , )

T

TT x y N N N N

T

T

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

&0��A)

$���� � ������ �� ����� �����������9

1 1 x y xy

Nh h

= − − +� �

� 2 x xy

Nh

= −� �

3 xy

Nh

=�

� 4 y xy

Nh h

= −�

&0�-B)

��� �������� ������� ������������������������������������������ ������ � ��������� �%����� ���� ��� ���� � ���� ��� �� ����������� �� ���� ������� ����� ��� ���� ��� ������� ����������� ������ �� ���� ����� ��������� ��� ����� �9

1

1

2

1 2 3 4 2

1 2 3 4 3

3

4

4

0 0 0 0 [ ]{ }

0 0 0 0�

e

u

v

u

N N N Nu vN

v N N N N u

v

u

v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

&0�-�)

������ � ��� ���� ���� ������ �� ������ �������� ��� ��*�� �� ����� ������� ������� :� ������� ��� �� :� ������� ������ ���� ���� �� ��� *�� �� ��� �� �������� �������� 3����� ������ ���!� ��� ��� ���������� ������� ����� �� ����

�� ���� �� � �������� �� ������� ������ ����� ����

����� ���������� ���������������

/� ������� ������ ����� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0�<�� �� ���� ��!� ������ ��� �� �� �������� ��� ��� �� ���������� �������� �� ��� ����� ��� ������ �� �� ���������� �� ��� ����������� C�� ��� ������ � ������ �� ����� ��� ��� �� ��� �� ������� $�� ����� ��

������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���

Page 164: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

�������������

����� ��% $� ��&������� ��� ��#� �� ��������

����������&������)��&������)�����&������)��������������������������������������������� ���� �� ������� 8���� ���� ���� 7��� ������� ������� �� ��� �� �������� �%��� �� ���� ��� ������������ ������ ��������� ������ �!��� ����� ���

3���� ��� � ��!������� ����� ��� ����������������������� ���� �� ����������� ���*�� �� ����� �������� $�� �� ������� ����� ���� ���� ��������� � ���� ������ ��� �� ��!���������� ��&�� :� B�� ������ 0)�� $���� � ������ ��� �� ������� ����� � �� �� ������ �� ����� �� ������ ��������� ����������

�&�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ����� ;� ����� ;� ��

� &0�--)

����������� ��� ���� !�������� ������� ����� �� �� ������ ������� �� �� ������������ � ��

2 21 0 1 1 2 1 3 1 4 1 1 5 1 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +

2 22 0 1 2 2 2 3 2 4 2 2 5 2 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +

2 23 0 1 3 2 3 3 3 4 3 3 5 3 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +

2 24 0 1 4 2 4 3 4 4 4 4 5 4 T c c x c y c x c x y c y= + + + + + &0�-#)

2 25 0 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +

2 26 0 1 6 2 6 3 6 4 6 6 5 6 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +

������� ���������������� ����������������� > �� ��� ����������������������� � &������)�&���� ��)� ��� &���� ��)�� ���� ������ �������� �� > ��� ���� ������� ��� 8��� &0�--)� ��� � ����������� �� ���� �� �� �� ������ ����� ����������6� ��� �� ����� �� ��� ������ �

"

# $

!

"

Page 165: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� !������ !��������� ���� �� ����� ��������� ��� ���� ������� +����� ������������ ������������ ���������������������� �� �������� ������������������ ������������������ �� ���� ����� �

@�������� ��� ���� �� ������ ������� ������������ �������������� ���������� �����$�� ����� ������� ��������� �������� � ����� ��*� ���� ����� �� �������� ��� ��������� ��������� ������������*����� ������������������� ������������������������� ��� ��� ����� �� ����������� ���� �� �������� ������ �� ������� �������� ������������ ����� ��� ��������� ���������

��� ����� �� ���� � ��� ������� � �� � �������� ������������ ������� ���������� �%��� �� ���� ������� ������������ ������ �� ������� ��� � �� � �� ����� ������������� ��� ������� ����������� ����� ��� ���������� �� �� ������ ���� ��� �� ���� �!����������� ��� ��� �� ���+�����0�=��$��������� ���������� ���� �����>�� ��;��� ���� �� ��%�������������� ������-���-�������������� ������������������%��������������������������!���D������������������������������ ����&�)�������&�!�)������� ����� ��������������������������������������������������������������� ��� ��� �� ���� ��� �� �!�� ����������� �� ���� � ��� �� ��� � ��� ������

(1,1)

����� ��' $� ����� �� �#�������� (# ���� ��� �� ������ �������� ����� ���� )� ����*� �(# ��� ��������

"

#$

���� ���

���� ���

���� ���

���� ������ %���%�� %��

��� ���%�� ��

��

#

���������������������������� ���������������&������������������)���������������������!�������������������������&�)���� ������ ������������������������������������������ ������� ����������� �� ���� �� ��� �� ����������� �� � �� �� �� ������������������������������������������������������������������ �������� ����������������� ���� ���������� ��������� ������������������������ ������ ����������� �������������������� ��������������. ����������������� ��� �*���� �� ������������������������������

������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���

Page 166: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

��! "������� #� ������ ��� #� ����� $��������� ��� ����������� ����������������������������������������������������������������������� �����+�����0�?� ��� ����������������������������������"&��)�����#&��)��$�

����� ��+ , �#� �� ������� ���� ��� ����

��

�� & %��

� &�

�� & ��� &

�� & ���

$

�� &���

����� ���� ���������� � ������� ����� "�&>�)� �� #�&;�)� ��� ����� ��� �� ��� �� ������� /����������� ������ ������������� � �� �� ���� � ��� �� �� ��

1 2

1 2 2 1

1 2

1 1 2 2

( )

2 2

1 1

2 2

N N

x x x xx

x x

N x N x

� �

� �

����� �����

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= +

&0�-�)

��� ��� ������ �� ����������� ��������� ���� ���� ��������� �������������� 6�� ��������������������������������������& ����������)������������������������������������������� ������ ��������������*�� ������� ������������������������������ ��������� ��� ���� ���� ����������� �� ��*�� �� ����� ������� ���� ������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ��� ��� �� �� �� ���� ���� ���� ���� �� ��*�� �� ����� �������� ��� � ������� ������������� ������ ���� ��� �� ���� ������ �� ����� ��������� ���� ���� ��������������������� ��� ��� �� ������ ���� ���� ���� ���� �� ��*�� �� ����� �������� ��� � ������� 3������������ �����

E ������ �� ��� � ������� ��� ���� �������� �������� ����� ��

[ ] 11 2

2

xx N N

x

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

&0�-0)

+��� �� ����� $ ��� � :� B�0�� ���������������

1 2 3

4

x xx

+= ����� ��� �� �����$�

+��� �� �����%�

�� :� ��� ;�2 1

4

x x+

���������������� � :� >B�0� ����� ��� �� �����%��

'� �� ' �

Page 167: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����� �� ��� �� ��������� ������������� � �� �� ���� �� � ��� ������� ��������� ��� �� ���+�����0�A��$�� ������������������ ���� &"�����#�)� ��� ����� ��� �� ��� �� ������������ � ������ ����� ���� ���������:�B� ���� ���������������������������� ������� ���� ������ �������� ��� �� ����"#� ��� �� �������� �����

�� ���� ��� �� ������������� ��

� & )� :�� ����� :������ ;������ ;����� &0�-<)

�� ���� �� � �������� ������� ���� ��� ��� ���� �� ����� ��������� ��� ��� ����������������

����� ��������������� ��!�"���#�����������������

�������������� ���

/�� ���� ��� ��� ������ �� �� �� �������� ����� ��� ����������� ��������� ��� ��������� ����� ����� �9� ��� � ���� � �� ������������ ��� ����� ��������� &���� ���� 8��� &0�-�))�� � ����������� �*���� �������������� ������� ������������%�������������������&��� ���$������� ������� �������� ��������� �����������:�� ������������������ ���� ���� �� ����� ��� ����� ��������� ��� ������� +��� !������ � ���� �� � ��� �� ����� �������� ��� ��8���&0�-<)�������������� ����� ��������������������������������������%����������-� ���� #�� 3���� �� ���������� ��� ������ -� ���� #� ���� :� �� ���� B�� ����� ���� �� �������� ����������%��� �� ��������-� ����#� ��� ������� � &� >�B)� ���� &� >��)��$���� ����� ���� ������� ����� �������� ��9

��� :� &3+)&� >� B)&� >� �) &0�-=)

����������������&3+)� ���������������������������������������������������&� :� >�)���� ������� ����� ��� SF� :� B�0�� $���� �� ������� ����� �������� ��

��� :� B�0&� >� B) &� >� �) &0�-?)

@�� �������� ������ � ���� ������� ��� �� ���� �� ����� ��������� ��

��� :� B�0&� >� B)&� ;� �) &0�-A)

��� :� > &� ;� �)&� >� �) &0�#B)

��� ���� ���� � ���� ����� ��� �� �� ��� ������ �� ����� ��������� ���� ���� �����!�����������������������!�������������������������������������������������� ��� ������ 8���� &0�-?)>&0�#B)� ��� 8��� &0�-<)�� �� ������� ������������

� � � �& � : ���� ; ���� ; ���� : B�0& )&� >� �)�� ; B�0& )&� ;� �)�� > & ; �)& > �)�� &0�#�)

��� ����� #� ��� �� ��������� ����� �!�� �� �� �� ������ ��� �� ����� ���� �� : &B�0)&�� ;� ��)�� ��� � ���� � ����� �� ��� � ������� ��� �� ��������� ������������� 7��

�� � &� &�� & ���

$( �

(��� & ��� �� & ���

����� ��- .# �� ���� �� �� ��� ����� �������� �� ��� ��

�� � ��� �� � �� �� � ��

)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���

Page 168: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

������� ������ �� �� ������ ������ ������������� ������� ������� 6� ��� ��� ����� #� �������� � ��� ����� ������������ ���� ���� !������ ��� :� ��� ;� &B�-0)&��>� ��)�� ��� � ��������������������� ��� �� ������������������� ���������� �� ����������� ��� ��������$���������������� ����������������������������������8���&0�#�)�������&���������������� ��� :� B�� ��� :� ��� ��� :� �)�

�& ) :� B�0& )&� >� �)&B)� ;� B�0& )&� ;� �)&�)� >� &� ;� �)&� >� �)&�)

:� &�� ;� )� &0�#-)

$���� � ���� ��� �� ��������� ������������� � ���� ������3���� �� ������������� ����������������������������� ��������������� ��������� ��� ������������� ���������� ������

���������������� ��� �

��� ����� � ���� ������� ��� �������������� ���� �� ���������� ��� �� ����� ������� ������������ ������ ��������� �� ��������������������������������� ������������������������������������� ���������������������&����)��������������������� ����������������������� "������(�� ����������� ��������� ��� � ��� �� ��� ��� ������� �� �� ��� ���� ��������� ������� ��� ���� �� ������������� �������� ����� �� ��� ���� ������ ��� ���� ������� ���� ���� ��� ��

� &�)� �� '� ��� ;� '� ��� ;� �� ;� '� �� &0�##)

���'�� ��� �� "������� ������������ �� �� ��

1 2 1 1

1 2 1 1

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )i i n

ii i i i i i n i

x x x x x x x x x xL

x x x x x x x x x x− +

− +

− − − − −=− − − − −

� �� � &0�#�)

������ � ��� ��'���� ����� ����������� �� ������������ �������������$���� ���� ��� �� ����� ��������� ���� �� ��������� ��������� ������������� ��� � ��� ����� �9F� �� ������������ &��:�>�)�� &�:��)� � ���� &��:�B)� ���� ��������������� �������� �������� ���� ���� ���� � ���� ��� �� ������� "������� ����������� ������������ ��

2 31

2 1 3 1

( )( ) (1 )(0 ) ( 1)

( )( ) (1 1)(0 1) 2N

� � � � � � � �

� � � �

− − − − −= = =− − + + &0�#0)

� �1 3

21 2 3 2

( )( ) ( 1 )(0 ) (1 )

( )( ) ( 1 1)(0 1) 2

� � � � � � � �

� � � �N

− − − − − += = =− − − − − &0�#<)

21 23

1 3 2 3

( )( ) ( 1 )(1 ) 1

( )( ) ( 1)(1)N

� � � � � ��

� � � �

− − − − −= = = −− − − &0�#=)

������ � ���� ���������� �� ����� ������������ �� ����� �������� ���������� �%��3�����������"������(��� ��������������3���� �� ����� �������� ��� ������ ����������������������������������������������������������������������������!�������������������������8����������������������3��������&"������)���������������������������*�� �����3��������&"������)�����������������"�������������� ��� ���������������������������������������������������������������������������

Page 169: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� $������%��������� &'�����������������

�� �������������������������������������� �������������������������������$��� � ��� ���*���� ���� �������������� �� &�!�)� ���� &�)���������� �� ������ �����������"#�(� ��� �� ��� +����� 0��B�� $�� ����� ������"�#���(�� ���������� ��� ������� ����� >�� �;������������� ����� ��������� ��� ������ ��� ��&�!�)� ����� ������������ &��%������)�

"

# $

���� ���

���� ���

���� ���

���� ������ %���%�� %��

��� ���%�� ��

��

#

����� ���/ $� ����� �� �#�������� (# ���� ��� �� ��������

�� �������������� ������������������������ ������������������������������������ ���

2

x� =

�&0�#?)

2

y

h� = &0�#A)

+��� �� ������ ������������ ����� � �� � �� ������ �� ������������

&��� �)� � � &�� ) &0��B)

$������������������ ���������������������������������$&�� �)� �������������������� �� ������ ���������� &7��� ��� � �������� �� ���������.������� ����)�� ���� � ���� ��

��� :� � ����� ��� :� � ���� &0���)

��� �� :� ��� -����� GG@8"� ����� ������ ���� �� ������ ��� ����� ��� ���� &:� �� ��)������������ ������ ���� �� ����� �� ���� �� ���� %��� �� ���� ���� ������ �� ����� ����������� ���� �� ������� ��

�� : &3+) &8������� ��� ���� ->#) &8������� ��� ��� #>�)

: &3+) &� > ) &� > ) &0��-)

�� ( �

&���

(

&

)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���

Page 170: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

��� �� ����� ������ &3+)� ��� �� �� ������ ����� ������ ��� ����� �� ���� �� ���� �� ��������� ������� ��� ����� ->#� ���� #>�� ���� ��� �*�� �� ����� ��� ��� ��� %��� �� ����� -�� #���� ��

/� ���� ��� � :�� :� >�� ����� ������� 3+� :� B�-0�� $���� ���� ����� �������� ��� �� �� ��

11

(1 ) (1 )4

N � �⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

&0��#)

@�� �������� ������ � ���� ������ �� ���� ����� ��������� ��

21

(1 )(1 )4

N � �⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

&0���)

31

(1 )(1 )4

N � �⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

&0��0)

41

(1 ) (1 )4

N � �⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

&0��<)

����� � �� � ��� �� �� ����� ��������� ��� �� 3�������� ���������� �� ����� ���� ������������������������"������(������������+�����0������� ���������������������������

����� ���� "� ��� #�������� )�� 0�� 1� �2� �2� �2� !3� ��� .# �!� ��������

�'(

�'(

��

�'(�'(

� � �

���)� ���)�

���)� ��)�

Page 171: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

H����� ������������� �������������� � ���������� ������������� ���������� ��&�)����������������������������������������������&�!�)����������������������������!����������������������������� �����+�����0��-��H���������������������������� �� � ���� ��

�� :�� ����� :� ���� ;��� &0��=)

�� :�� ����� :� >0��� ;� 0�� &0��?)$���� � ��

[ ]1 (1 )(1 ) (1 )(1 )

4x � � � �= + + − − − &0��A)

[ ]5 (1 )(1 ) (1 )(1 )

4y � � � �= − + − + − &0�0B)

H����� ���� ������������� �������� � ���� ��*� ������ �������� ���� ������� ��� �������� �� ���� � :� B� ��� �� &�)� ������ ��� �������� ���� �� &�!�)� ����� ��� �� �� ��

�� :� &�.-)� �� :� &0.-) &0�0�)

$������� �� ������� ��� �� ���� ��� �� &�!�)� ����� ��� �� :� 0����� ����������������:�B������&�)������������������������&�!�)����������� �

���� :� &�.-)� �� :� >&0.-) &0�0-)

$���� �� ������� ��� �� ���� ��� �� &�!�)� ����� ��� �� :� >0��� $��� �� ����� ��� �������� ��+�����0��-�������� ���������!��������� ����������������������������&�!�)��������� ��� �� �������� �� �� �� ���� �� �!��� $�� ���������� ����� ��� ��� �� �� ������������ �� �!�� �������� ����� �� ���� ��� ���� ������ ������� &����� ��� ����������)� ��� ���������� ��������� �!�� �!��� ���� ��� ������ ��

����� ���� , �#� �� ��� 4 ����� �� ������� ���� ��� � ����� �� (# ���� ��� �� ��������

"

�(� !�

� ��� (��%�� (� �

� �(� %!�

� & ( ���� � � & !��

� & ( ���� �� & %!��

$

)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���

Page 172: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

+��� ����������������� ��� ����� ���������������������� ��� �������� ����������������� ������ ���� ��� &�)� ����� ���� �������� ������������ ������ ���� ���� ��������� &�!�)� ������ ��� � ��� ������ ��� �� ��� ����� � ������ �� ������ ����������������� ���� � ���� �� � �������� �� ��������� ���� ���� ���� �������

�������� �� ������ ������������ ���� ��� �� ��� +����� 0��#� ��� ���� ������ $������������������� ��� &�)� �������������������� �� ��� �� �������$����������

����� ���� $� ����� �� ������������ (# ���� ��� �� ������ �������� ����� ���� � �����

(0,1)� ��� ��

" ��� (�

�%�� ��

"

$#

�%�� (� $

�%�� %�� � � ��� %��! �(� %��

�������

������� #� �������

" �������

� �������

! �������� �������

����� $

�� ����� ��� ��� �� �� �� ��� ����� ����� �� ��� ��������� �� ������ $�� ����� ����������� ���� �� ������� ��

� :� &3+)&8��� ��� ���� -><>#)&8��� ��� ���� #>=>�)&8��� ��� ���� �>?>�)

:� &3+)&�� >� )&�� >� )&�� ;� ) &0�0#)

��� �� ����� ������ &3+)� ��� �� �� ������ ����� ����� ��� ����� �� ���� 0� ���� �� ��������� ���������� �����-><>#�� #>=>�������>?>��������� �*�� �� ����� ����� ��� %����� ������� �����

/�����0���:�>�������:�B������ �������3+�:�B�0��$������������� �������� ����� ���

( )( )25

1 1 1

2N � �

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠&0�0�)

@�� �������� ������ � ���� ������ �� ���� ����� ��������� ��

( )( )26

1 1 1

2N � �

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠&0�00)

( )( )27

1 1 1

2N � �

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠&0�0<)

( )( )28

1 1 1

2N � �

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠&0�0=)

# �(� ��

Page 173: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������ ������!�����������������������������������������3���������������������������� ��� ������ ����

E������� �� �� ���� ������ ���� �� ���������� ���� &+���� 0���&�))�� � ���� ����� �� ��������������������������������������������������������������������������������� ���� �����*���� �� ������ �� ����� 0� ���� ?� ������ $����

1 1 5 88 4

1 1

2 21 1

(1 )(1 ) (1 )(1 )(2 ) 4 4

1(1 )(1 )( 1 )

4

Node NodeN N N N

� � � � � �

� � � �

� � �

� � � � � � � �

� � � � � �

&0�0?)

@�� �������� ����� � ���� ������ �� ����� ��������� ���� ���� ����� ��

2 2 5 68 Node 4 Node

1 1

2 2

1 (1 )(1 )( 1 )

4� � � �

N N N N= − −

= + − − + −&0�0A)

3 3 5 78 Node 4 Node

1 1

2 2

1 (1 )(1 )( 1 )

4

N N N N

� � � �

= − −

= + + − + + &0�<B)

4 4 7 88 Node 4 Node

1 1

2 2

1 (1 )(1 )( 1 )

4

N N N N

� � � �

= − −

= − + − − + &0�<�)

)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���

����� ���! ��� #������� � � .# ��+� ��������

"

#

$

�! �

Page 174: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

/��������������������������������������������+�����0�����H�����������������������������������������������������������&>)������������� ���������������&���)�������������� ��� �>0>- &� : >�)��@�� ���� ���� � �� ���� :���� :���� :���� :���� :� B�� $���� �� �� ���� ���� ���� �� �������

�� :������ ;������ ;��� &0�<-)

�� :������ ;������ ;��� &0�<#)$����

21 2 5

(1 ) (1 ) (1 )

2 2x x x x

� � � ��

− − += + + − &0�<�)

21 2 5

(1 ) (1 ) (1 )

2 2y y y y

� � � ��

− − += + + − &0�<0)

+��� �� ������ ����� ��� ������ ���������� &���� ��)�� &���� ��)� ���� &��� �)�� ���� ���������� �� ��������� �������������� +��� !������ ��� �� ������ ���������� ��� �� �� ��&B�� B)�� &#�� A)� ���� &-�� �)�� ��� � ��

23 1 (1 ) (1 )

2 2x � �= + + − &0�<<)

29 1 (1 ) (1 )

2 2y � �= + − − &0�<=)

$������� �� ������� ��������� �� ��� �>0>-� ��� �� �������� ����� ��� &���������� ����� 8���� &0�<<)>&0�<=))

��� ;� ��� ;� -��� ;� �-�� >� #B�� :� B &0�<?)

$����������������������������������������������������&>)������������� ��������������&�>�)� ������ ���� � ���� ���� � ���� ����� ��� ��� �� ���� ��� ��� �� �� ���� ��������� �� ��������� ��� �� ������� ����� ��� ���� 0� ��� ������ �� ����������� ��� ��� �>-� ���� ��������� ������ ����� ��

1 25

2

x xx

+= &0�<A)

1 25

2

y yy

+= &0�=B)

��� �� ������������� &��� �� �� ��� 8��� &0�<�))&0�<0)� ���� ������ �� �� ������ ���� ���������� �� ������� ��� �>0>-� ��� �� &>)� ����� �� ������ ������� ��� ��� �� ��������&�>�)�������$����������*�����������0��<��=����?��� �� ����������������������������� �� ��������� &�>�)� ������ � ���� ���� � ��� �� ��� ������ �� ��� ���� �� ���������� � ��� ���� ��������� ��� �� ��������� &���)� ������ ������ 0�� <�� =�� ?� ��� �� ���������� ���� ���� ��� �� >� �����

����� $������%��������� & ��������������� $�� ������� ���������� ���� ���������� ����� ��� � ��� ������ ������ ��� ��� �� ��+����� 0��0�� $�� ��� ������� ���������� ��� ������ ��� �� ����� ���� !��������9

11

Area of 23

Area of 123

A PL

A

��

= = &0�=�)

Page 175: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

22

Area of 1 3

Area of 123

A PL

A

��

= = &0�=-)

33

Area of 12

Area of 123

A PL

A

��

= = &0�=#)

��������� ���������������������������������������������������������� ���������B� ����������� � ��� �� ������������������������������������� ������������������ ���� ��� �� ������ $����

'�� ;� '�� ;� '�� :� � &0�=�)

+�������������������������������������������������������������������� �����

�� :� '���� ;� '���� ;� '��� &0�=0)

�� :� '���� ;� '���� ;� '��� &0�=<)

��� ���� �������� ����� ���� �������� �� ����������������� ��� ���� ��

1

1

1 2 3 2

1 2 3 2

3

3

0 0 0

0 0 0

x

y

N N N xx

y N N N y

x

y

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

����� ���� , �#� �� ������� ���� ��� ��� ��#� �� ���������

� �*��*�� *��

#

"

$

&0�==)

)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���

Page 176: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

��� �� ����� ��������� ��� ������� ������� ��

��� :� '�� ��� :� '�� ��� :� '� &0�=?)

���������� ��� �� ����� ��������� ������� ���� �� �������� ���������� ���� �������� 0�-���� �� ��� ���� �� ��� � ���� ��� ������ ��� �� �� �� ������� ����� ����������� ������� ������������������� 7������������ ��� � ������������������� ����������������� !������ �� ����� ��� �� ��������� � ���� ��� ��� �� ��!������ ���������� ���� ����� �� ��� +����� 0��<�� $�� ������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� ��� �� ������+���� ���� ���� ������ ��������� �� ����� ��������� ���� �� ������� ��

�� :� &3+) &8������� ��� ���� ->0>#) &8������� ��� ���� �><)

:� &3+) &'�) &-'� >� �) &0�=A)

����� ���% $� ��&������� ��� ��#� �� ��������

��� �� ����� ������ &3+)� ��� �� �� ������ ����� ������ ��� ����� �� ���� �� ���� �� ��������� �� �������� ��� ����� ->0>#� ���� �><� ���� ��� �*�� �� ����� ������ ��� %��� �� ���� �������� 8������� ��� ���� ->0>#� ��� '�� :� B� ���� ��� ��� ���� �><� ��� '�� :� �.-�� ����� -'�� >� �� :� B�/��������'��:�������� �������3+�:����$���� �������� ����� �������� ��� ���������������

��� :� &'�) &-'�� >� �) &0�?B)

3���������� ���� ����� ��������� ���� �� ������� ��

��� :� &'�) &-'�� >� �)� ��� :� &'�)&-'�>� �)

� � � � � � ��� :� �'�'�� �� :� �'�'�� ��� :� �'�'�&0�?�)

"

# $

!�

"

�(�(���

���(�(�

�(���(�

1 1, ,0

2 2 � � �

1 10, ,

2 2 � � �

1 1,0,

2 2 � � �

Page 177: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���������� ��� ���� ����������� ��� ������ 0�-�#�� � ������� ���� � ��� �� ���������������� ��� ������ ��� ���� �� ���������� ���������� ������������� ��������� �� ��� ������������������������ ������ �������������������������������� ���������������������� �%�������������!������������������������������������������������������������������� ��������� �������� ���� ������ ��� � ��������

��% �&� '�������� ��� (���������� )��*�� ��

��(�� )��������������

�� ���� �� � ��������� ������ ������ �������� ����� ���� �� ������ ���� ���� �� -��� ��������������������������������+����� �������������������������������������������������� ���� �� � �� �������� ������������ �%��� �� ���� ��� ������ �� �� ������������������� ������� ����� ����$�� ���������������� �������� ��� �� �� ��

xu

x�

∂=∂ &0�?#)

yv

y�

∂=∂ &0�?�)

xyu v

y x�

∂ ∂= +∂ ∂ &0�?0)

1

1

2

2

3

1 2 3 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6 4

4

5

5

6

6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x

y

x

y

x

N N N N N N yx

y N N N N N N x

y

x

y

x

y

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

&0�?-)

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

H����� ��� ����� ���������� � ���� ��

Page 178: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

+��� �!��������� ��������� � ���� �������� �� �)� ����� &���������� �� ���� ����� �������� �������)� ��� ��� �� ��� +����� 0��=���� ���� � ���� �� ������ �� ���������� ��

����� ���' $�� &���������� ����� ��������

)�������������

)�������������

�!���������� ��� ���� �� ����� ��������� ���%��� ������� &��� �� ������ ��� ������������������ ����� �� ������������� ��������)9

ru

r�

∂=∂ � &0�?<)

u

r�� = &0�?=)

zv

z�

∂=∂ &0�??)

rzu v

z r�

∂ ∂= +∂ ∂ &0�?A)

��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� �� ���������������� �������� ��

4�5� :� 1#24�5� &0�AB)

��� �� ��%� ��� 1#2� ���� 4� 5� ���� �� ������ ��� �� ���� ���� 1#2� ���� ������� ���� �� �� ��� �� ����� ����������$�� ����������� �������� ���� ����� ����� ���������� ������ #��� 6��*(�� �� �� � ��� �� �� ��

{ } { }0 0

2

2

1 0

1 0 1

0 0 1 /2

� � �

� � � � ��

� � �

x x

y y

xy xy

E

⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠

&0�A�)

��� 4�5� ���� 4�5�� ���� �� �� ������� ������ ���� ������ ����� ���

Page 179: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

$�� ����������� �������� ���� ����� ������ ��� �� �� ��

{ } { }0 0

1 0

1 0 (1 )(1 2 )

0 0 1 2 /2

� � � �

� � � � � �� �

� � �

x x

y y

xy xy

E

⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= − − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟+ − ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠

&0�A-)

+��� �!��������� ��������� � �� � ����� �������� ���%��� ������ �� �� ��

{ } { }0 0

1 /1 /1 0

1 /1 0(1 ) +

(1 )(1 2 ) 1 0

Symmetric 1 2 /2(1 )

� �

� � � �� �

� �� ��� �

� �� �

� �� �

r r

z z

rz rz

E

− − ⎛ ⎞⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎝ ⎠

&0�A#)��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� �� ������ ����������� ������� ��

4�5� :� 1(2&4�5� >� 4�5�)� ;� 4�5� &0�A�)

��� ���������� �� 1(2�����!������������������.�����.�!����������������������� �*�� ����� 8���� &0�A�)>&0�A#)�

/� ������� ����� ��� ������� �� ���7��� �� ��������� �������� ��� �� ����� ��� ����& ����)�������4*5������������ ���� ���������������� �����������4*5����������������������������������� ��������������������4$�5�� ����������������7��� �� �����������������������&��������������������������������������������)��H���������������������������� �� �������� ����������� �������� &������ ���� �� ����������������)������������������� ���� ����� ������� ������ ������$�� ������ ����� !�������� ���� �� ���� ��

{ } { } { } { } { } { }( ){ } { } { } { } { } { }

0 0

0 0

1 1 [ ] ( )

2 2

1 [ ] [ ]

2�

� � � � � �

� � � � � �

T T

v v

T T T

U dv D dv

D D dv

= = − +

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫&0�A0)

$�� ��� ����� ��� �� ��� � !�������� ����� �� ������� ���� ����������� ��� 3����� ���&8��� &��#))� !��� ��� � �������� ������!� ������� �� ������� ���� ������������� ����� ����.������

+���� 8���� &0�AB)� ���� &0�A0)�� ���� � �� ������ ����� ��� �� �� ��

{ } { } { }

{ }

0

0

1 [ ] [ ][ ] [ ] [ ] { }

2

[ ] { }

� � � �

� �

T T

T

e e ee T T

e T

U B D B dv B D d v

B d v

= −

+

∫ ∫

∫ &0�A<)

+��� � ���� ���� ,�������� � -��%���� ���

Page 180: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

$�� ������� ��� !����� ������ ��� �� �� ��

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � TT Tev s i iv s

V q dv q ds P &0�A=)

��� 4�5�� ��� �� ���������� ��� �� ����� �� ��� ����� �� ��������� �����$�� ��� ������ ����� ��������� ��� �*�� � �� ���� ����� ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ����������� 4� 5� ��������� 4*5� �� � ���� ��� ���� ������������ 6���� ��������� �� �� �����

{ } u

v�

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

&0�A?)

{ } x

y

qq

q

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

&0�AA)

+���� 8��� &0�A=)�� ������ �� ������� ��� 8��� &0���)� ���� &0�-�)�� � �

{ } { } { } { } { } [ ] { } [ ] [ ]� � �T T Te e ee T T T

v S i iS

V N q dv N Q ds N Pv

= − − − ∑∫ ∫ &0��BB)

��� 1�2�� ��� �� ���� ��� ����� ��������� �� �� �������� ��� $���� �� ���� ������� ��� ������ ���� �� ���� ��

{ } { } { }

{ } { } { } { } { }

0

0

1[ ] [ ][ ] [ ] [ ]{ }

2

[ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { }

� � � �

� � � � �

T T

T T T T

e e ee T Tp

e e e eT T T Tv S i i

v S

B D B dv B D dv

B dv N q dv N Q ds N P

∏ = −

+ − − − ∑

∫ ∫

∫ ∫ ∫&0��B�)

3���� 4�5�� ��� �� ���� ��� ������ �������� �� ���� �� �*�� ������ �� ���������� $���� � �

{ } ( ){ } { } { }

{ } { } { }

0 01 [ ] [ ][ ] [ ] [ ]{ } [ ] { }

2

[ ] { } [ ] { } [ ] { }

� � � � � �

� � �

T T T

T T T

e e e ee T T Tp

v v v

e e eT T Tv s i i

v s

B D B dv B D dv B dv

N q dv N q ds N P

∏ = − +

− − − ∑

∫ ∫ ∫

∫ ∫D������� �� ���� �������� ����!� 1+2�� ���� �� ����� ���� 4�5�� ��

[ ] [ ] [ ][ ] e T

vk B D B dv= ∫ &0��B#)

{ } 0 0[ ] [ ]{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { }� �e T T T T T

v s i iv v s

v

f B D dv B dv N q dv N q ds N P= − + + + ∑∫ ∫ ∫ ∫ &0��B�)

� ���� � ��� � 8��� &0��B-)� ��

1 { } [ ] { } { } { }

2e eT e e eT ep k f� � �∏ = − &0��B0)

@��� ���� �� ����������� ��� '�������(� ������ � ������ �� ���� ������� ���� ����� ��

&0��B-)

Page 181: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

1 { } [ ]{ } { } { }

2e T T

p p K F� � �∏ = ∑ ∏ = − &0��B<)

��� ���������������������!���� ���������1,2�������������� ����� ����4-5������ ���

NOELEM

1

[ ] [ ]e

n

K k=

= ∑ &0��B=)

{ } { }NOELEM

1

e

F f= ∑ &0��B?)

G@8"8,������ �� ��������������������4� 5������������� ��������������� �������� ����� ���� ����� ���������$�� ���������� ���������� �������� ������ ��� �� ���� ������������������ ���������������������� ��� ���������������� ����� ���� ����������������� ��� ��������

H����� ��I����������� ��������� ���� ������� � �� �� ���� ������� ��������� ������� �� ������ ��������� ��� �� ������ �������� ���J

0 { }

p

T�

∂=

∂ &0��BA)

$���� � �� � �� ����� � �� �������� �� �� ��

[ ]{ } { }�K F= &0���B)

�� ������ ������������� ���� ������-�������������������� ������������������!� ���� ������ ����� ����� ���� �� �������

��(�� ����������� ���������������

$���� ��������� ������������������������������� ����������������� ��������������/������� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0��?�� /�� ��������� ��� ������ � 0�-���� �� ����� ����������� �� �� ��� &����� 8��� &0���))�

1 1 1 11

( )2

N x y� � ��

= + + &0����)

2 2 2 21

( )2

N x y� � ��

= + + &0���-)

3 3 3 31

( )2

N x y� � ��

= + + &0���#)

3���� �� ���� ��� �������� �� !�������� ��� � �� ����� ��������� ��� ��������������������������� � ������ ��� ��� ������� ����� ���� ������ �� ������� ����������

*��� �� ���� �+ ����� �� ,������ �� ������� ������ ��������� �� �� �� �� �����-� ���� �� ������ ������ ������� ����� ��������� �� ���������� ,��� ������� �� ����� -��������� �� ���� �� �-��� ���� '�'�'

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 182: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

������� ���� �������

$�� �������� ���%��� ������� ���� ����� ����.������ ��� �� �� ��

131 2

1

231 2

2

33 31 1 2 2

3

0 0 0

= 0 0 0

x

y

xy

uNN Nu

vx x xx

uNN Nv

y y y y v

uu v N NN N N N

y x y x y x y x v

⎧ ⎫⎡ ⎤⎧ ⎫ ∂∂ ∂∂ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

&0����)

$���� �� ���������������� �����������!� 1#2� ��� �� �� ��

31 2

31 2

3 31 1 2 2

0 0 0

[ ] 0 0 0

NN N

x x x

NN NB

y y y

N NN N N N

y x y x y x

⎡ ⎤∂∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

&0���0)

����� ���+ "������ ������������ ��� ��#� �� ��������

"

# $

������ ��� �

.�

���� ��� � �� .�

.�

� ���� �����

Page 183: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

$���

1#2�

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

0 0 01

0 0 02

� � �

� � �

� � � � � ��

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

&0���<)

������ � ��� ������������ ���������� ������� ������������������� &�������1#2� ��� ���� �������)� ����� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ��� *�� �� ��� ��������� 3����$�������&�3$)��$��������������������� ��������������������������������������������������� �!�������� ����������������������������������!����������� �� �������������������.��������������$������������������������!�1(2������ �����8���&0�A�)��������� ����� ���� ��� 8��� &0�A-)� ���� ����� ������ �����

��������������

+���� ���� 8��� &0��B#)�� �� ���� ������������!� ��� �� �� ��

6 3 3 3 3 6[ ] [ ] [ ] [ ]e T

vk B D B dv× × ×= ∫ &0���=)

$�� ��%� ��� �� �������� ����!� ��� &<� �� <)� ����� �� ���� !�������� �� ������� ��� �������������!�� � ����� ��� �� ����� -�� �������K� 3���� �� �������� ��� ���� ���������� ��������� ���� �� ������� ������� ��� ���� �� ���� ������������!� ������� ��

1+2�� :� 1#2�1(21#2&)&") &0���?)

��� � ��� �� �������� ���*���� ����"� �� ���� ��� �� ����+������������!�����������������������������1#2�����!� ���� �������������

������� �����������������!������������������!����������������� ������������� ��� �������/����� �� ��%� ��� ������!� ����� ���� �� ������ ���� � ��� �� ������������������ $���� � ���*� ���� ��� ������� ��� ��� ��������� ��� �������� ����������� ������ ������� ��������� ����� ��� ������� ������������ ������ ������� ����������

8!����� ������ ���� �� ��������� ������ ������ �� �� ����� ������ ��������� ���.��� ��!��� ���� ��� ���� �� ��������� � �� �� ���� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0��A�� $ ������� ��� �������� ��� ���� ������ ������ !���� ��� �� ����� ������ � ����� �� ���������������� �������������������������������������������������������� ��������������������������� ���� ������������������������ ��*��������������������$�� ���� ������ ����� ���� 4 �5�� �� �� ��� 8��� &0��B�)� ��� �� �������� ������ ����� ������ ���� �������� �� ��� ��� ���� ���� ��� �� ������ !�����

������� ��� .��������� ��� ��� ���� ���� �� ���������� ���� �� ������ �� ���������� �� ���� ���� ���7��� �� !�������� ������ ��� ��� �� ��� +����� 0�-B���� ���� ��� ���3$����� �� ��� � ���� �������� +���� �� ���������� ��� �� ������ � ����� ���������� � ������ ��� ��� ����� �9

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 184: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

������� � ����� �������� ������������

��� :� �-� ��� :� B� ��� :� >���� :� B� ��� :� #� ��� :� B &0���A)� � :� B� � � :� >#� � � :� �

������� �� ����� �������� ������������

��� :� �-� ��� :� >#� ��� :� B��� :� B� ��� :� #� ���:�>�������������������������������������&0��-B)� � :� B� � � :� B� � � :� �

# $

"

��

��

��

��

.���������� �������� ����/������ ��

������

����� ���- ������� ��� � 4"� ��������

����� ���/ ���� �� ��� #����� #�� ���� �������� 05& ����� ���3�

���

��

�01��

Page 185: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ���� � ��� �� ���� ��� ���� �� ����� ��� <� ���� ���� � �� �� ���*���� �� ������ ���� ����� ������ $�� ���������������� ����!� 1#2� ��� �� � ������� ��� �� �� ��� �

������� � ������������������� ������

(1)

0.25 0 0.25 0 0 0

[ ] 0 0.333 0 0 0 0.333

0.333 0.25 0 0.25 0.333 0

B

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

&0��-�)

������� �� ������������������� ������

(2)

0.25 0 0.25 0 0 0

[ ] 0 0.333 0 0 0 0.333

0.333 0.25 0 0.25 0.333 0

B

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

&0��--)

/��������/� :� -� �� �B�� G.���� ���� � :� B�#� ���� ���� � �� � �� ����������� ����������!� 1(2� ��

8 7

7 8

7

0.22 10 0.659 10 0

[ ] 0.659 10 0.22 10 0

0 0 0.769 10

D

⎡ ⎤× ×⎢ ⎥⎢ ⎥= × ×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

&0��-#)

$�� ���� �������� ����!� ���� ���� ���� ��� �!� ������� ��

1+2�� :� 1#2�1(21#2&)&") &0��-�)

$�� ��������� ����� ��� � 1+2�� � ���� �� �� ����� ��� ������� ��� �� �� ��� �

������� � ��������� ������� $�� ���� �������� ����!� ��� �� �� ��

(1) 7

1.34

0.714 1.75 Symmetric

0.824 0.33 0.824[ ] 10

0.385 0.288 0 0.288

0.513 0.385 0 0.385 0.513

0.330 1.47 0.33 0 0 1.47

k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

&0��-0)

1 2 3 4 5 6

1 2 5 6 3 4

1"����2

1F�����2

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 186: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

������� �� � ��������� ������� $�� ���� �������� ����!� ��� �� �� ��

( )2 7

1.34

0.714 1.75 Symmetric

0.824 0.33 0.824[ ] 10

0.385 0.288 0 0.288

0.513 0.385 0 0.385 0.513

0.330 1.47 0.33 0 0 1.47

k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

&0��-<)

� � � � � � � � � � � � � � �

1 2 3 4 5 6

7 8 3 4 5 6

3���� �� �� ����� ��� ��������� ��������� � ���� � ��� ���� �������� �������������� ��������

+��� ��� ��� ��������� �� ������ ���� ������� ���������� ��� �� ����� ��� �� �������������� �� � ����� ��� �������� ��� �� +���� ���� �� �������� �������� ��� �������� ���������������� ��������������������� ������:�B�:����:����� ��� �� ������ �� ��� ���������� ����� �9

2

3

73

4

4

1.75 0

0.714 1.34 Symmetric 1.5

10 0 0 1.75 0

0.385 0.513 0.33 1.34 1.5

0.288 0.385 1.47 0.714 1.75 0

v

u

v

u

v

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪− − −⎣ ⎦ ⎩⎩ ⎭

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

&0��-=)

$�� E63� ����� ���� ��� ��� ���� ������ ������ ���� �� ��������� ����� ��� �� ��#>��� �%��� ����� �� ���� ����� �� �������� ��� �������������3�� ���� ��� ��������� ���� ������ ��������� ��

��� :� >��0� �� �B �� ��

��� :� -� �� �B �� ��

��� :� B &0��-?)

��� :� -� �� �B �� ��

��� :� >��0� �� �B �� ��

+���� �� ������ ���������� � ���� ������ ���� � �� ������ ��� �������� �� 9

1"����2

1F�����2

Page 187: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������� �� ������

4 �5���� :� 1+2���4�5���� 7

1.34

0.714 1.75 Symmetric

0.824 0.33 0.824 10

0.385 0.288 0 0.288

0.513 0.385 0 0.385 0.513

0.330 1.47 0.33 0 0 1.47

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

�� �7

8

0 1.5

0 0

2 10 1.5

00

00

04.5 10

⎧ ⎫ −⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪× ⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎪ ⎪− ×⎩ ⎭

&0��-A)

������� �� ������

4 �5���� :� 1+2���4�5��� 7

1.34

0.714 1.75 Symmetric

0.824 0.33 0.824 10

0.385 0.288 0 0.288

0.513 0.385 0 0.385 0.513

0.330 1.47 0.33 0 0 1.47

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

� &0��#B)

7

8

8

7

2 10 1.5

4.5 10 0

0 1.5

04.5 10

02 10

00

⎧ ⎫× ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪− × ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬− ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪×⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 188: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

$���������������������������+��������������������������������������������-� ���� �� ������� ��� ����� �9

4�5�� :� 1#2�4�5� &0��#�)������� � �������

{ }(1)

0.25 0 0.25 0 0 0

0 0.333 0 0 0 0.333

0.333 0.25 0 0.25 0.333 0

x

Y

xy

� �

−⎡ ⎤⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= = −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

��

8

7

8

8

0

0 5 10

2 10 1.5 10

0 0

0

4.5 10

−−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪ ×⎪ ⎪⎪ ⎪×⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− ×⎩ ⎭

&0��#-)

������� �� �������

{ }(2)

0.25 0 0.25 0 0 0

0 0.333 0 0 0 0.333

0.333 0.25 0 0.25 0.333 0

x

Y

xy

� �

−⎡ ⎤⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= = −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

� � �

7

88

8

8

7

8

2 10

4.5 10 5 10

0 1.5 10

4.5 10 0

2 10

4.5 10

−−

⎧ ⎫×⎪ ⎪⎪ ⎪− ×⎪ ⎪ ⎧ ⎫×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬

− ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪×⎪ ⎪⎪ ⎪− ×⎩ ⎭

&0��##)

�� ��� ���� �� ��� ���� �������� ������ ������� ��� �� !���� ��������� �%����:� &$'."/)� ������� ������� ��� ��� �� �������� ��$�� ���� ������ ������ ������������������ ��� �������

����� � ���� �� !����� ������ ���� ���� ������ ������� ��� �� �3$� ����� ��

Page 189: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������� � ������ !��� ����� �� ����� ���������� ������ �� ��� ����� �� ������� ���������� ��� �������� �� �� ���� ����������� �������� ��� ����� &����� ����� ����������� ����� ���� ��� ���� ������ ������ �����)�� �� �3$� ���� ���� ��� �� � ����� ������

��(�� ����������������������������

$���� ��� �� �������������� �� ������������������������������������� ��������� ��+����� 0�-��� �� ���� ����� ������ ������� ������ ���� ���� ���� ������ �� �������� �%��� �� ���� ������������ ������ ������� ���� ������ �!��� @��� ����������� ��� �� ���� ����� �� ��������������� ���� ��� �������� �� �

����� ���� $� �#�������� ���� ��#� �� ��������#

"

$

��� �

� %

������������������������������������� ��

+���� 8��� &0�-B)�� � �� � �� ����� ���� ����� ��������9

1 1 x y xy

Nh h

= − − +� �

2 x xy

Nh

= −� �

&0��#�)

3 xy

Nh

=�

4 y xy

Nh h

= −�

����� ������� ���� �������

$�� �������� ���%��� ������� ���� ����� ����.������ ��� �� �� ��

#

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 190: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

{ }

1

131 2 4

2

231 2 4

3

33 31 1 2 2 4 4

3 8 4

4

0 0 0 0

= 0 0 0 0

x

ey

xy

u

vNN N Nu

ux x x xx

vNN N Nv

y y y y y u

vu v N NN N N N N N

y x y x y x y x y x u

v

� �

×

⎧ ⎫ ∂∂ ∂ ∂⎡ ⎤∂⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂∂ ∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ ⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦

8 1×

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭&0��#0)

$���� �� ���������������� �����������!� 1#2� ��� �� �� ��

1 10 0 0 0

1 1[ ] 0 0 0 0

1 1 1 1

y y y y

h h h h

x x x xB

h h h h h h

y y y yx x x x

h h h h h h h h h h

� � � � � �

� � � �

� � � � � � � � � �

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎢

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎢ −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

&0��#<)

������ ���������:��������������������� ������������� ��������� ��� �����$������� ��� *�� �� ��� �� �������� ���������� ���� ����� ��� ����� ��������� �� �� � ����������������� ��� ���� �� �� ���� �� ���������� $�� ����������� ������� ����!� 1(2� ��� �� �� ��8��� &0�A�)� ���� ����� ����� ���� ��� 8��� &0�A-)� ���� ����� ������

��������������������

$�� ���� �������� ����!�� ����� ���� 8��� &0��B#)�� ��� �� �� ��

1+2�� :� � 1#2�1(21#2 �� &0��#=)

$�� ��%� ��� �� ������������!� ��� &?��� ?)� ����� ��� ��� ����� ����� ���� �� ������� ��� ������� �� ���� !�������� �� ������� ��� �� �������� ����!�� � ����� ��� �� ����� #<�������K�/���������������1#2�����!��� � ��������������������� ���������������!������ ��������� ��� !��������� ��� �� ��� � ������� ������ ��� ������

8!����� ������ ���� �� ��������� ������ ������ �� �� ����� ������ �� ��������� ���.���� �!�� &��)� ��� ���� �� ��������� � �� �� ���� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0�--�� $ ������� ��� �������� ��� ���� ������ ������ !���� ��� �� ����� ������ � ����� �� ���������������� �������������������������������������������������������� ��������������������������� ���� ������������������������ ��*��������������������$�� ���� ������ ����� ���� 4�5�� �� �� ��� 8��� &0��B�)� ��� �� �������� ������ ����� ����

Page 191: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��(�( %�����*���+��!�"� �������

��� ����������������������������� ����������������� �������������������������� �� ������ ������� �� ����� ��� ������� ������ ����������� �� ���������� ����� ���� ������� ��������� ��� ����� �� ��� �������� ��� *��*���6� ��� ��� �� ����������������� ��������������������������� �������������� ��������������������������� ��� ����� �� ������� ��� ����� �� �� ���� ���� �� ��� ������� �� ������ �� ��������� �������"������������ ���������� �������������� 7������������������� �� ��7���� ����� ��� ��� �� ��� +����� 0�-#���� �� ��� ��� ����� ������� ����� �������������� ��� ������ �� ���� �� ��� ������ ������ ���� ���� ������ G� � �������

��

����

��

��

��

��

��

"

# $

� �

����� ���� ������� ��� 654!� ��������

����� ���� 4�����#��� � � ����� ������� ������ ���� ���������

� �

� �

� ��

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 192: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

��� �������� �����$� ��� ��� ->#� ���� ���������� ���� ��� ������ �� ��������� ������������������������������������������@�����->#�� ������������������:���������

1 0,N = 2 1 ,y

Nh

= − 3 1 ,y

Nh

= − 4 0N = &0��#?)

1

1

2

1 2 3 4 2 2 2 3 3

2 2 3 31 2 3 4 3

3

4

4

0 0 0 0

0 0 0 0

P

P

u

v

u

N N N N v N u N uu

v N v N vN N N N u

v

u

v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ +⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

+⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

$���� ��� ������ �������� ������������� �� ������������$�� ��� �������������������������� ������� �%���->#��3����������������������������� �������� ��������� ���� �� ��������� ��� �� �������� ��� ��� ������� ����� ��� �� ��� ���� ����� �� �� �������������������$���� ��� �������������������������������������������@���� �� ��7��� ���������� ��� �� �������� ���� ��� ��������� ��� � ��� ��� �� ���� ����� ����������� ��� ������ �� ���� �� � �������� ��� ���� ���� ���� ������ �� ������������������ � ������ ������� ������������ ��� ����������� ������� ������ "� ������������ ������������������������������� �� ���+�����0�-�� ����� �� �������������� �� �� ��

� &�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ���� &0���B)

�&�� �)� :� ��� ;� ��� ;� ���� ;� ���� &0����)

3���� ��� !��������� ���� ����� �� ������ ����������� ��� � ������� ���������������� � �� �� ����� ���� �������� ���� �!���������9

��� :� ��

��� :� ��� ;� ���

��� :� ��� ;� -���� ;� ���� ;� -���� &0���-)

��� :� ��� ;� ���

3�� ���� ���� �� ���������� ���� ����������� �� ����� � �

�&�� �)� :������ ;������ ;������ ;����� &0���#)

&0��#A)

Page 193: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��

1 1 ,x y xy

Na b ab

= − − + 2 x xy

Na ab

= − &0����)

3 ,2

xyN

ab= 4

2

y xyN

b ab= − &0���0)

/� ���� -����� :� �� ������� :���� :���� :� B�� 3���������� �� ���� #����� :� ������ :���� :���

:�B��6� ��� �������� ���������������� �����->#�� 1y x

b a⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

� ��� ��� ������

������������ ������� ��� ��� ������� 3��� �� ���������� ��� �� ����� ��� ��� ->#�� ��� ��������� �� �� ��

�� :������ ;������ ;������ ;����� &0���<)

3���� ���� ����������������������� ������� &��������������� �� ����7����������������������)�� �����������������������->#� ��������������� ������ �� ���� ������������ ���� ���� �� ����������� ���� ����������� ����� ����� ������ ��� �������� � ���� ����� ���� ����������� ��� ���� !� ����� �� ���� ����� ������������� ��� ��������� ������� �������� ����������� �� ���� �� � �������� ���������� ������������ ���� ������ �� ������� ���������� ���� ��� � ��� �� ��� �������� ����� ������������������

��(�� ����������'�����������������

������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������� �����+�����0�-0��$������������������������$&�� �)��� ��������� ����� ������ ���������� ��� ����� �9

4

1

i ii

x N x=

= ∑ &0���=)

4

1

i ii

y N y=

= ∑ &0���?)

������ ��� ��� �� �� ��� 8���� &0��#)>&0��<)�

����� ���! $� (# ���� ��� �� ��������

$�(� (� �

�(� ��

� ��� (�

� ���� ��

"

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 194: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

$������������������������������$���������������������������������������������������������������������������� �����������������������L���������������M�$�� ����������� ���� �� ���� ��

1

1

2

1 2 3 4 2

1 2 3 4 3

3

4

4

0 0 0 0

0 0 0 0

u

v

u

N N N N vu

v N N N N u

v

u

v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

&0���A)

"� ��� �� � ��� � ��� �� ����������� ��� ���� ���� ��� ��������� ������� �������� �����������/����� ��� ->#� &� :� �)�� ���� !������ �� ����� ������������ :� B� :����$������������ �������������������������������������������&���� ������������������������)�� �� ����������� ��� ���� ����� ��� ��� ->#� ��� �� �� ��

�� :������ ;�����

�� :� ����� ;� ����&0��0B)

����� ���� $� ����� �� �#�������� (# ���� ��� �� ��������

�/�� %�� ��� %��

�/�� ����� ��

��

�������

�������

�������

�������

"

# $

Page 195: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

$������� � ���� � ��� �� ���� �� ������ ������������ ������ �� ������������ ����������� �� ��������� ��� ����������� ������� �������� ��������� ����

E������������� ������������������������������!������������������������>��/����� �� �!��� ��� ���������� ���� ���� ��������� �>�� ������ ���� ��� �� ����������� $���� ��� �� ������ ���������� �������� ��� ��� ����������� �������� ����� ��� ������� ��

{ }

x

y

xy

u

x

v

y

u v

y x

� �

⎧ ⎫∂⎪ ⎪

∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∂ ∂⎪ ⎪+

⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭

&0��0�)

�� ���� � ��� �� ���� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ����� ������������ ����� ��� !�������� �� >� ���������� ����� ���� �>��� +��� �� ������ �������� ��� ������ �� ������ ���� ��������������� � ������ �� �������

f f f

x x x

� �

� �

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f f

y y y

� �

� �

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ &0��0-)

6� ��� ����� 8���� &0���=)>&0���?)�� �� ��� ����� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� &�>�)� ������ ��� &>)� ����� ���� �� ���� ��� ������� $���� � ��

f f x f y

x y� � �

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f x f y

x y� � �

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ &0��0#)

$����� ��� ������� � ���� ��

x y

x

x yy

� ��

� � �

∂ ∂⎡ ⎤∂⎧ ⎫ ∂⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎢ ⎥∂ ∂ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

&0��0�)

���

[ ] x

J

y

∂⎧ ⎫ ∂⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎩ ⎭⎩ ⎭

&0��00)

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 196: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

��

[ ]

x y

Jx y

� �

� �

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

&0��0<)

+���� 8���� &0���=)>&0���?)�

[ ]

i ii i

i ii i

N Nx y

JN N

x y

� �

� �

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∑ ∑

∑ ∑&0��0=)

6��� 102� ��� *�� �� ��� �� N�������� ����!� ������� �� ��� �� �� ��� �� ���������������$���������� !�������� ���� 102� ��� ��� ���� ���� -��� ������ ��� �� ������ ������������ ������!� ������������ �� ����� ��������������������� ������� ������ � ���� ������� ����������

+��� ���� ���������� ����� ���� !������ �� N�������� ��

[ ]2 1 3 4 2 1 3 4

4 1 3 2 4 1 3 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 4

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 4

x x x x y y y y

J

x x x x y y y y

� � � �

� � � �

⎡ ⎤− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎢ ⎥− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

&0��0?)

+���� 8��� &0��00)�

[ ] 22 121

21 11

1

� �

� �

J JxJ

J J Jy

∂ ∂⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎡ ⎤∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

&0��0A)

�� ���� �� � ������ �� ������� ������ ���������� ��������

{ }

[ ]1

1 0 0 0

0 0 0 1

0 1 1 0

������B

u

xuuxyv

y v

xu vvy xy

∂⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ⎢ ⎥ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ∂∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭

⎪ ⎪∂⎩ ⎭

&0��<B)

Page 197: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

6� ��� ����� 8��� &0��0A)�

[ ]2

22 12

21 11

22 12

21 11

0 0

0 0

0 0

0 0

B

J Juu

J Jx

J Ju uJ Jy

v vJ Jx J J

v uJ Jy

J J

���������������

⎡ ⎤− ∂⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂ ∂− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

&0��<�)

+���� 8��� &0���A)�

131 2 4

1

231 2 4

2

331 2 4

3

31 2 4 4

4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

� � � ��

� � � ��

� � � � �

� � � � �

uNN N Nuv

uNN N Nuv

uv NN N N

v

v NN N N u

v

⎧∂∂ ∂ ∂⎡ ⎤∂⎧ ⎫ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪∂∂ ∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

&0��<-)

+��� ���� ����� ���� !������ �� ����� �������� ��� �� �� ��� �� �� ����� ��� ������� �9

1 (1 )

4

N �

∂ − −=∂

�1 (1 )

4

N∂ − −=∂

2 1

4

N �

∂ −=∂

�2 (1 )

4

N∂ − +=∂

3 1

4

N �

∂ +=∂

�3 (1 )

4

N �

∂ +=∂

4 (1 )

4

N �

∂ − +=∂

�4 (1 )

4

N �

∂ −=∂

$������������������������8����&0��<B)>&0��<-)�� �������������������������������� �����

:� 1#�2 4�5�

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

&0��<#)

Page 198: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

{ } { } [ ]

x

ey

xy

B

� � �

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

&0��<�)

��� 1#2� : 1#�21#�21#�2�$�� ����������� �����������!� 1(2� ������������ �������� &��� ����8��� &0�A�))��$���

� �� � �� ���� �������� ����!

[ ]8 8

1 1

1 1

[ ] [ ][ ] = [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

e T T

v

T

k B D B dv B D B t dx dy

B D B t J d d� �

×

− −

=

=

∫ ∫∫

∫ ∫&0��<0)

��� �� ��������� ������������� ���� ��� �*�� ���� ������� ���� �� �������� ��� �� �� ������� �� ����������������� ���������������������3����1#2� ��������� ��������� ����� �� ����� ����� �� ����� � ���*� ���� ���� ��� �������� ��� ������������������ ������������������������������������������� ����!����������� ����������� ��������� ��������� ������ ��� 3����� 0�0�

��(�, �����������'�����������������

�������� �� ����� �������� ���������� ���� ��� �� ����� ��� ��� ��� �� �������������������������������������������������� �����+�����0�-<��$�����������������������$&�� �)� ��� ��������� ����� ������ ���������� ��� ����� �9

i ix N x= ∑ � i iy N y= ∑ &0��<<)

(1,0)

(0,-1)

# �(� ��

�������

� ��� ��

" ��� (�

� �

� ��� %��! �(� %��

�������

�������

�������

��������������

�������

�����

"

!�

$

#

�%�� ��

�%�� (� $

�%�� %�� �

����� ���% $� ����� �� ������������ (# ���� ��� �� ��������

Page 199: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ������*��������������7���������� �������������� ����������������������������� ��������� ������������� &��)� ��� �� ����� ���� ����� �� ����� ��� �� ����� $�����������������������������$������������������������������������������������������ ���������� $��� ������������ ����� ��� ��� �� ��� 9

���������� ������������� ������������ �������������"����� &���� ����� �!� ����) O�������� &���� ���� ���� ����)O������� O�������O������� "����

$������������������ �� ���������������������������������� ��������� ���� ��������� ������ ��� ������ ����������� ��� ��*�� �� ����� �������� ���� �� �� � ����� ����������$����������������������������������������������� ���������������� ��� ��� ��������� ��������� ��� ������������ ��� �� ������ ���� ������ ��� �� �������� ��� ��� �� �� � ����� ������� � ���� ��� �� ����� ���� ��������� �� �� �������������������� $�� ����������� ����� ��� ������� �� ���� ��

1

11 2

2

1 22 1 2 162

16 1

0 0

0 0

u

vN Nu

uv N N

v× ×

×

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

…⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥…⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

&0��<=)

��� �� ����� ��������� ��� ������������ �*�� ����� 8���� &0�0�)>&0�<�)� ���� ��%�� ��� �������� ��� �� ��� ����� ���� �� ����� ���� ������������ �����

$�� ������������� ���������������� �������� ����� ���� 8��� &0��<�)�� ��� ���� ��

{ } { }

[ ] { }

1 3 4 2 4 4 3 4 163 1 16 1

16 13 16

[ ] [ ] [ ]

� �

�����������e

e

B B B

B

× × ×× ×

××

=

=&0��<?)

+��� ����������� ����������������� ����!������ ��N�����������������������

[ ]

8 8

1 1

8 8

1 1

i ii i

i i

i ii i

i i

N Nx y

JN N

x y

� �

� �

= =

= =

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

∑ ∑&0��<A)

$�� �������� ����� �������� ��� �� �� ��� �� �� ����� ��� ���������� �� � ����8���� &0�0�)>&0�<�)9

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 200: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

1 (1 )( 2 )

4

N � � �

∂ − +=∂

�1 (1 )( 2 )

4

� � �

N∂ − +=∂

2 (1 )( 2 )

4

N � � �

∂ − −=∂

�2 (1 )(2 )

4

N � � �

∂ + −=∂

3 (1 )( 2 )

4

N � � �

∂ + +=∂

�3 (1 )(2 )

4

N � � �

∂ + +=∂

4 (1 )( 2 )

4

N � � �

∂ + −=∂

�4 (1 )(2 )

4

N � � �

∂ − −=∂

5 (1 ) N

� ��

∂ = − −∂

�2

5 (1 )

2

N∂ −= −∂ &0��=B)

26 1

2

N �

∂ −=∂

�6 (1 )� ��

N∂ = − +∂

7 (1 ) N

� ��

∂ = − +∂

�2

7 (1 )

2

N∂ −=∂

28 (1 )

2

N �

∂ − −=∂

�8 (1 )

N� �

∂ = − −∂

�� ���� ��� �� !�������� ���� �� ���� �������� ����!� ��

[ ]

1 1

1 1

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

e T

v

T

T

k B D B dv

B D B t dx dy

B D B t J d d� �− −

=

=

=

∫∫∫∫ ∫

&0��=�)

����� ���� �� ������ ��� ������ ������� ��������� ��������� ������

��(�- $���������'�����������������

$��������������� �����+�����0�-=������������������������������������������������� ������ 0���<� !��� ��� � �� � ����� ������� ���� ��� �� ���� &� :�� :� B)� ��� ������$���������������������������������� ����� ������������������������������ $�� ������ ���� ������ ������� �� ���� ���� ��� ��� ��� � ���� ��� �� �����������������������"��������������������+������������������������������������"����������������� ��� � ���� �� ���� ��

5 21

1 5 1 2

( )( ) ( 0)( 1) 1( ) ( 1)

( )( ) ( 1 0)( 1 1) 2L

� � � � � �� � �

� � � �

− − − −= = = −− − − − − −

&0��=-)

Page 201: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� ���� �� ���� �� ���� ��

8 41

1 8 1 4

( )( ) ( 0)( 1) 1( ) ( 1)

( )( ) ( 1 0)( 1 1) 2L

� � � � � �� � �

� � � �

− − − −= = = −− − − − − −

&0��=#)

$�� ������ ����� �������� ���� ���� �� ���� �� � �� ������� ��� ������� ��� �� ��� ������������� ��� �� ����

1 1 1 1

( ) ( ) ( 1) ( 1) (1 )(1 )4 4

N L L��

� � �� � � � �= = − − = − − &0��=�)

$�� ���� ����� ��������� ���� ���������� �� ������� ��

2 3 4

(1 )(1 ), (1 )(1 ), (1 )(1 )4 4 4

�� �� ��� � � � � �N N N

− −= + − = + + = + −

2 2 25 6 7

(1 )(1 ), (1 )(1 ), (1 )(1 )

2 2 2

� � �� � � � � �N N N

−= − − = + − = + −

2 2 28 9 (1 )(1 ), (1 )(1 )

2

�� � � �N N

−= − − = − − &0��=0)

$�� N�������� ����!� ��� ��������� ������������� ��� �� �� ��

[ ]

9 9

1 1

9 9

1 1

i ii i

i i

i ii i

i i

N Nx y

JN N

x y

� �

� �

= =

= =

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

∑ ∑&0��=<)

(1,0)

(0,-1)

# �(� ��

�������

� ��� ��

" ��� (�

� �

� ��� %��! �(� %��

�������

�������

�������

��������������

�������

�����

"

!�

$

#

�%�� ��

�%�� (� $

�%�� %�� �

����� ���' $� ����� �� ����������� (# ���� ��� �� ��������

2�����2 �(� (�

+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���

Page 202: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

���� ����� ���������� ����� ��� ��� ������� �

{ } { } [ ] { }1 3 4 2 4 4 3 4 183 1 18 1 18 13 18 [ ] [ ] [ ]

e eB B B B� � �× × ×× × ××

= =��������� �������

����� ���� ��� � � ������������ ������ ��� ��� ����� ���� �������� ��������� ����� �

[ ]1 1

1 1

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

e T T

v

T

k B D B dv B D B t dx dy

B D B t J d d� �− −

= =

=

∫ ∫∫

∫ ∫�������

���� �������� ������ � �!�� �!���� � �!����� �!������ ������"�� ��������������� ���������������������������" ������� ��#�� ����������" ��$���������������"�������������� �!���"��� ���!��� "�� ���� �"�� "�� � �" ��� %�� �� "���� � � ���� ���� ����� ��#� �����!���"��� � "� ��� ���� �"��"����������"�#�"��� �����&

��� ��� ��� � ��� ���� ���� � ���� �� � �����'�

���� $������ ����� �!���"��� �"�� ���� �����" �� �������� ���! �� �� �"��� �����"�#�"��� ������ (�

� �� � �����)�

��!��� �"��� ���� ��������� "��� �"��� ������ ���� �������#� �"�� ���� �"������� *! ����"�#�"��� �� �� +���� (��� ���� ������ � ��� ����� ���� %�� �������� ����� ��#� ��������� � �� ���������� � ������� ������ ��"� ��������� ��� �"��"��#� !�� � �� ��"� ����"��� ��#��� � � � ���������!��� ��"������������� "!���� ���� � ��!��"��"�����������#"� �������"��"�� ���� �������� ��!��"��

����� ����� ������������� � �

,� �#���� ����" �� ����!��� �������� �� ��"��� �� -�!��� ��.������� *! ���� ����� �!���"���� ��!��� �""� ����� ��� "���� � ��"�� /*��� ����)�� � � ������� �� �"��"��&

��� 0� ���.�� + ��� ��� 0� ���.�� + ��� ��� 0� ���.�� + ���������

��� 0� 1����� ��� 0� 1����� ��� 0� 1����

2�� ������ ��������������� ��� �"�� � ���� ���&

��� 3� ��� 3� ��� 0� �4�����

��� 0� �� +� ��� +� �� �����.�

5"�� �� ������ "�� ���� ���� ��� ������� ���� ����� �!���"��� �

��� 0� ��� +� ��� +� ������ +� .��� +� .���� ��� 0� 1����� +� ��� +� ���� ��� 0� 1�� ��� +� ��� +� ���

�����6�

Page 203: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� �� � ��� "�� ���� ����� �!���"�� ��� � ��� �#

1 11

1 2

2 22

1 2

3 31 2 1 2

1 2

4 42 1

1 2

5 52 1 2

1 2

6 62 1 1

1 2

4 1, 0

0, 4 1

3 4 4 , 3 4 4

4 , 4

4 , 4 4 8

4 4 8 , 4

N NL

L L

N NL

L L

N NL L L L

L L

N NL L

L L

N NL L L

L L

N NL L L

L L

∂ ∂= − =

∂ ∂

∂ ∂= = −

∂ ∂

∂ ∂= − + + = − + +

∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= − = − −

∂ ∂

∂ ∂= − − = −

∂ ∂

�����1�

���� 7�"��� �"�� ���� �"�������� �������� �� � ��� �#

[ ]

6 6

1 11 1

6 6

2 21 1

i ii i

i i

i ii i

i i

N Nx y

L LJ

N Nx y

L L

= =

= =

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

∑ ∑�������

����� ��� � ��� ������ ����������� ��������

��

���� � ���� ���� ��������� � ������� ���

Page 204: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

���� ����� ���������� ����"�� 8�9� ��� ��� ������� �

{ } [ ] { }3 1 12 13 12

eB� �× ××= �����:�

�����

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 33 12 3 4 4 4 4 12 B B B B× × × ×= �������

������8��9�� �8��9���� ���������� ��"���� ��� ��/*��� ����:)�+����:����� �8��9� ��"���� �

[ ]

3 5 61 2 4

1 1 1 1 1 1

3 5 61 2 4

2 2 2 2 2 2

3 3 123 5 61 2 4

1 1 1 1 1 1

3 5 61 2 4

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

×

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢⎢

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢⎢ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢⎣ ⎦

N N NN N N

L L L L L L

N N NN N N

L L L L L LB

N N NN N N

L L L L L L

N N NN N N

L L L L L L4 12×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

����������� �������� ��������� ����� ��� ��� �������� � �

[ ] 11 1

1 20 0

[ ] [ ][ ] = [ ] [ ][ ] Le T T

vk B D B dv B D B t J dL dL

−= ∫ ∫ ∫ �����'�

������ ���� ���� � �!�"�� "�� ���� �������� ��� ��� "��� !���� �!����� ������"�� �!��� �����!��� �""� ������2�� "���� �� ���� ������� ��� ����� �"� ����� ������� ���� ����� "�� ��� ��)� ��� ������ ���� �+�� ��� � �� �� ��� "�� ���� ����!��� "���� ��� ���� �������� )� � ��� +� ����

2�� � �� ��!��� � ���� �"��!��"�� "�� �� ���� ��"� ����"��� ��������� �"�� ���!��!����#��� �!��"���� ����� ��!��� �""� ����� � � �"�������� �"��!��"��� ���� ��"�� !��� �"� �� �"�� "�� �������� ����������� ������� �� ���#� �#������� � � ������� �"�"��!�����"��� 2���� ��� � �� ��!��� � ����� � � *! ���� ��������� ���� ��� �"���"��"��#� !�� � �� ����������� ��� ����� � ���� ���� ��"�� !��� �"� �"��!���� �!��� "�� *!���"��"�����������"� �������������/������ �� �"��"������������ ������������*!����� "!��� ��� �"";� �"�� ���"����� �������� �"�� �!������ ������"��� ����� ���� �"�� ��� ��!��� �

��� ������� ����������2����������� ��!����!������������"����"��� ����"��� ����������� �������������"���" ����"����<"�� ��� ����� �!�"��"�� ���� �"��"���� ������&

2

1

( )x

xI f x dx= ∫ ����')�

Page 205: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

������"����������������"��"������������"����������������#����"� ���������������!� ������ �!� �� � ���� �������� ���� ����� ��� � � ���� $��� ���� �!���"�� ��� ;�"��� �� ������� �"���� ������������ �����"����������������"���!������������"�������������(" ���!���� ����5���"�=�� �!���� ������ ��� �"�� �!����� �

����� ���� ����������

$��� � ������� ���� "�� !��"���#� ���� � �"���� ��� � � ���� �"�����"� ��� �!��� "�� ���� �!���"�������� ����%�������������������!������������!���"���� �#��������#������������������� ��"��� �� -�!��� ��.'��2�� ;�"�� ���� ���� ��� "�� ���� ����(!����� �� � ��� �#

����� ���� ������������ ����� ���� ���������� ������������

� ��

� �

� ���

� ���

�� ��������

� �

!

"

,������ 0� 1

2i if f

d−+����'��

���� ��� !� ��� ���� �!� �� �� ����� ���"���� � �� ���� �!�� "�� ���� ���� "�� ���� ����(�� � ��� � �� ���� ��!���� ��!�� ��� � �

1 12 3 1

1

( ) ( )

2 2

ni i n

ni

f f f ff x dx d d f f f�−

−=

+ +⎡ ⎤≈ = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ����'.�

-"�� ����� !���� ��� �"�� ������� ���� �"��!�� �

1 2 2 11

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

n

n n i ii

d df x dx f d f d f d f f W f� −

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑∫ ����'6�

��������� ��� ���� ������� �"�����"� ��� �"� ���

#������ � $�%����� ���

Page 206: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

����� ����������� ����

%�� ���� �������� ���� � "�� ����� ���"���"��� ��� !��� � ���"��� ���"���"�� �"�� ����!���"������� ���� �������� �� ��"��� ��-�!��� ��6)��2�� ��� �� � ���� ��� !� ��� ���� �!� ��� "��� �!��� �������� �� �"��"��&

����� ���� ������!�� ��� �"���� ����� ���� ���������� ������������

� ��

� �

� ���

�� ��������

� �

!

&

"

'

,��� !� ��� ���� �!� ����� 0� ,����� � 3� ,������ ����'1�

,����� � 0� 1 11 1

(2 ) ( )

2i i

i if f

d d f f− +− +

+⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎝ ⎠����'��

,��� ���� 0�2

3� ���� ������� 0� 1 1 2

(2 )3 2

i ii

f ff d− ++⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

����':�

��!�

,��� "�� "��� �������� 0�3

d� ����� 3� 1��� 3� ���� ����'��

�"��� ��� !� ��� ���� �!� �� 0�2 3

n

i

d

=∑ ������ 3� 1��� 3� ����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 3 15 6 5

3 3 3 3 3n nd d d d d

f f f f f−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

����'��

Page 207: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��!�� "!�� ��"�� !��� �"�� �!������ ������"�� �"������ "�� ��"� ������ ������� (��� ����� "��!� ���������������������"����������"�������!���"�������������������� ������� �!������ �"��� ���� � � �������� ���� ���!��� �� � ������� �"��!�� "�� ���� �#��

1

( ) n

i ii

f x dx W f=

= ∑∫ ����''�

�����!������������"����������"�!���#�!�� �����������������"��!��"�����;�"���� ��������������������������� �� ��������#���� �"�� ����� ������2������ ����� ��!��� ���>���"�+<"���� �"��!�� � � ����� �������� ���� ?!��� *! ��!��� �!���� �"��"�� � �#� � ���� "���������� %�� ��� "�� ���� ���� � � �����"�� �� ����� �������� �"��!��"��� !���� ��!���""� ������ ��� ����� �;��� ���� ����� "�� ������"�� �"� ��� +�� � � ��

���� ! "��#$�� ��%������

$��� !�� �"�� ��� ���� � �!�"�� "�� ���� ������

1

1( ) ( ) I x f x dx

−= ∫ ���.))�

�����������!��� ���� ���� �!���"�� �!��� ��� �� �"��� � ������#� ���� ������0����.��@����� ��;�"����2�� ����� ���"����� ���� �!���"�� � ���� !���� � �"�#�"��� ����� �

� ���� �� ����� 0� �� 3� ���� 3� ����� 3��� 3� �����

��� ���.)��

<"�� ����� ���� �� �� 0� ���� ������ 0� ���� ��� ���� �*!�"��

2 10 1 1 2 1 1 1 1

2 10 1 2 1

nn

nn n n n n

c c x c x c x f

c c x c x c x f

� � � � ��

−−

−−

+ + + + =

+ + + + =���.).�

%���������������� ���� ���� �����/*��� ���.).�� ��� ������ ����� ������� �*!�"��������������� �#��"� � �!������"���������� ����?!��������"���2����!�� �� �����*!�"��� ��� !�;�"����� ����� ��� ��� !�� � �"� �"� �� �"�� ���� �"��������� ��� ������� ����� �� ������ "�� ����!���"�� �!��� ����,��!���������������"���������� ������� ������� ��������� �!��������������

1 1

1 1 ( ) ( )I f x dx g x dx

− −= ≈∫ ∫ ���.)6�

4"�� ���

1 12 1

0 1 2 11 1

( ) ( )� nng x dx c c x c x c x dx−

−− −= + + + +∫ ∫

� � � � � � � � � � � �

12 3

0 1 2 1

1

2 3

n

nx x x

c x c c cn−

⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦�

� � � � 0 2 42 2

2 0 0 3 5

�c c c= + + + + + ���.)1�

#������ � $�%����� ��

Page 208: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

%����� �!����!��� ���� �!���"�� ���� �"��������� �� ���� �������"������"���� � �"��!��"����� �#��

�� ���� ��� 3��� ��� 3��� 3��� �� ���.)��

����� ���� �"��!������� � ����>���"�+<"���� �"��!���"!��� �!�"��"�� ���� ������������� ����� �� ���� "����� �!���"�� ����� ����� �#� �"�#�"��� !�� �"� ������ � + ���4������� � ���!�� � ���� �� � ��� �"��"��� �������� �"����� ���� ���� �!���"�� �!��� ��� ��� ;�"���� 4"� "����;�"���������� ����A�"" B� �"��"��� �"��������� ���� �!���"�C�����?!���*! ��!���"��!�� �������� �"� �� � ���� �"��"��� "�� ���� ������� �"���� ��� ������� �� ���������� ���"������2�������"�� ��!��� ���� �����"�� ���� ������������ ���"��"��#�!�� � �� �������������"��!��"���

����� &�����'�������� �%������

$��� �����!���"��������"���� ��#���"�#�"���"�� ������������������"��"�����"!� �� �������

����� �� ����� 0� �� 3� ���� 3� ����� 3��� 3� ���

� ���.):�

���� � �!�"�� "�� ���� ������� ��� ��� "��� �� �"��"��&

� � � �1 1

10 2 4

1 1

2 2 ( ) ( ) = 2 [1 ( 1) ]

3 5 1� p pc

I f x dx g x dx c c cp

+

− −= ≈ + + + + − −

+∫ ∫ ���.)��

,�� ���� "!�� ������� �"��!��� ��� ������� �"� �������� ���� ������� �� ���� �"��"���� �#&

�� ���� ��� 3��� ��� 3� �� 3��� �� ���.)��

����� /*�� ���.):��� ��� ��� ����

21 0 1 1 2 1 1

22 0 1 2 2 2 2

20 1 2

( )

( )

( )

pp

pp

pn n n p n

I W c c x c x c x

W c c x c x c x

W c c x c x c x

≈ + + + +

+ + + + +

+

+

+ + + + +

���.)'�

<"������ ���� �"��������� "�� ��� ���� ���� @� �� /*��� ���.)��� � � ���.)'��� ��� ��� ����

1 2

1 1 2 2

2 2 21 1 2 2

11 21 2

2

0

2

3

1

[1 ( 1) ] 1

n

n n

n n

p p p pn n

W W W

W x W x W x

W x W x W x

W x W x W xp

� +

+ + + =+ + + =

+ + + =

+ + + = − −+

���.�)�

Page 209: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������*!�"����������"� � ��"�� ���� �"��"���"�� ������������"���������0����.��@� ��� � ���� �"�����"� ��� ������ ���"�������� 0� ��� .��@�� ���� %�� �� ��#� �"� ���� ���� "!�� �!����"�� !�;�"���� � (��� .��� � � �*!�"��� ����� � �� 3� ��� ����� �����#� ����� ���� �"�#�"�� ������ �� �� �!��� ���

�� 3� �� 0� .�"�

� �� 0� .�� +� � ���.���

%�� "����� �"� ��� !���� �� ?!��� ������� �"���� �� ������� � �" ��� ��� ��� � �!��� �������� �����#� �� ���� ������ � �!���"�� � ���� �� ��"�#�"��� "�� ������ ����� ����"�� �*!�� � �"�.� + ���� ��!��� ���� "����"��� �!���� ��� ��� �������� � ����� �"�#�"��� �����#�� ����� �����"��"��� �!������ ��� �������� !�� �"� �!��� �"�#�"��� �����#�� %�� ������� !���� ��� "���� ����� ������"������������������������������� �� ������ �� ������"� ���"��?!���*! ��!���!���� ,�� �"���� � �"� ���� >���"�+<"���� �"��!��� ��� "���� �� ����� �"�� � � ��� �!����� "���������"���������?!���*! ��!����!�����������#����������!��������� �������"�#�"���

2�� �"�� ���� ���� ������� �"���� � � ���� ������ ���"��� �"�� ?!��� *! ��!��� �"�� "��� ����"��� ���� ������� ����

��#��� ��$ �������� %������ ���� &���"��� ���� '����� (���������

)�������� ��� ��������� ������ �� &���"�� �������(�

� �

�1

3+ �

1

3− �

� + 0.6 ���

��

0.6− ���

� �� ������ ���� �� �������� � ���������������� � ����������� � ������ ���� �� ��

%������#��"�"���� ����������������!������ �!���"��������������"����� �������������"���� "���� � �� � �"�!�"�� "�� /*�� ���.�)��� ���� � "�� ���� ������"�� ���� ��� ��!�� ����"��!������� � �� ��"���������� ��+���"����;���������� �������������������"��!��"��!������!����""� ������%���������� ���� ��������������� ��"�����"��������"����������"�� �""� ����� �!��� ���� ���� ����� ���#����� +�� � � ���2������ �"�� ��!������ ���� !��� "�� ����"��!�� ���"!��� ���� �"��"���� ��������

������� ���� � � �!����� �"�� �������!

( )12

1 2 I x x dx

−= + +∫ ���.�.�

#������ � $�%����� ���

Page 210: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

%������#��"� ���#����������� �����������"��"���������"���!������������������ ��"�����*! ����������2������"����"!�����"���"���"����������������"���� ���"��"���?!��*! ��!��� �!���� � � ��"�� ���� ���� ��"��"��� �!��� ���!��� ������� ���� ���� ����� �"�!�"��

-"�� � "����"��� �!���� ��"�� ����� ����� ��� � �

��� 0� )� ��� 0� .4�����

�� �� .�.� 3� )� 3� )�� 0� 1 ���.�6�

-"�� � ��"��"��� �!���� ��"�� ����� ���� ��� � �

��� 0� 31

3� ��� 0� �

��� 0� +1

3� ��� 0� �

������"���

1 1 1 1 (1) 2 (1) 2

3 33 3I

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠� 0� 1�:::� ���.�1�

���� ����� �"�!�"�� �� ���#� ���� � �"� ��

( )1 12 2 31

1 (2 ) 2 /3 4.6667I x x dx x x x −

−= + + = + + =∫ ���.���

������� � � � �!����� �"�� �������!

1

1 cos

2

xI dx

−= ∫ ���.�:�

���� ����� �"�!�"�� ��� ��� �� �#� "���� � �� �"��"��&

1

1

sin 1.273239544

2 2

xI

� �

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠���.���

-"�� ���� "����"��� ?!��� �!���

( )(0) 2 cos 2

2

�I

⎛ ⎞≈ =⎜ ⎟⎝ ⎠���.���

-"�� ���� ��"��"��� ?!��� �!���

1 1 1 cos 1 cos

2 23 3

� �I

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

���.�'�

0� 2 cos 1.2323812 3

�⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠���..)�

Page 211: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

-"�� ���� �������"��� ?!��� �!���

( )5 8 5 cos 0.6 cos 0 cos 0.6

9 2 9 2 9 2

� � �I

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � � � � � � � � � 0� ��.�1�.6��1 ���..��

2��� � �"!���"��� ?!��� �!���� ��� ���

(0.347854845) cos (0.8611363)2

I�⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.652145155 ) cos (0.3399810)2

�⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.652145155) cos ( 0.3399810)2

�⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.347854845) cos ( 0.8611363)2

�⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠0� ��.�6..'�)� ���...�

5�������������� ����"����������"�#�"����"!���!������������������ ���� ���������� �"�!�"�� �!�� ���"������ ���#� ����� ����� �!������� �!����� "�� �"���� ��� �;���

����� &�����'�������� ����"��(�� ����

2�� ����� ����� ��!��� ��"� ����"��� �!���� ���"����� �"�� *! ������� ����� ��������� � ����� �������� ������"�� �!���� �"�� ����!��� ���������

-"�� ��"� ����"��� ������"��� ��� ��� ����

1 1

1 1

1

1

( , )

( , )

( , ) ( , )

i ii

j i i j i j i jj i i j

I f d d

W f d

W W f W W f

� � � �

� � �

� � � �

− −

=

⎡ ⎤≈ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤≈ ≈⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∑∫

∑ ∑ ∑ ∑���..6�

��!�� ��� ��� "���� ���� �������#� ?!��� *! ��!��� �!��� ����#� �#� �;��� �����" !��� "�� ���"����� "��� ����"��� �!�������!��� � �.��� .��?!��� �!����"!� � ��� �� ��"���� -�!��� ��6��

1 1 1 1 1 1 (1)(1) , (1)(1) , (1)(1) ,

3 3 3 3 3 3

1 1 (1)(1) ,

3 3

I f f f

f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −≈ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞−+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

���..1�

#������ � $�%����� ���

Page 212: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

5����#�� � �6� �� 6�� �!��� �"!� � ��� �� ��"��� �� -�!��� ��6.�� ��!��

1 2 3

4 5 6

7 8 9

5 5 8 5 5 5

9 9 9 9 9 9

5 8 8 8 5 8

9 9 9 9 9 9

5 5 8 5 5 5

9 9 9 9 9 9

I f f f

f f f

f f f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

���..��

����� ���$ �������� ������� ���� �� �� �� �� '����� *���������� �����

1 =

3� − 1

= 3

����� ���� �������� ������� ���� �� �� �� �� '����� *���������� �����

= 0 .6 �

= 0.6 � −

= 0�

= 0.6� = 0�

1 =

3�

1 =

3� −

= 0.6� −

4 3

21

7

4 5 6

98

1 2 3

Page 213: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

%�����"���������#���������;�����������!�����"���"�����"����"������ ��� ����"���-"�� �������� � �.� �� 6�� �!��� �"!� � ��� �� ��"��� �� -�!��� ��66�

� � � 1 2 3 4 5 65 5 8 8 5 5

(1) (1) (1) (1) (1) (1)9 9 9 9 9 9

I f f f f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

���..:�

����� ���� �������� ������� ���� �� ���� '����� *���������� �����

= 0.6 � −

= 0�

1 =

3� − 1

= 3

���� ?!��� *! ��!��� �!���� ��� ��� ������ ��#� !�� � �"�� ����� �������� �"��!��"���<"�� ��� ������� ��� � �"� � �!��� ���� �"��"���&

1 1

1 1[ ] [ ] [ ][ ] � �e Tk B D B t J d d

− −= ∫ ∫ ���..��

����� ?!��� *! ��!��� �!��� ��� ������� ���� �*!�"�� �

( )[ ] [ ] [ ][ ] e Ti j

i j

k B D B t J WW= ∑∑ ���..��

������ ��� ���� ����������� ���� ����������� ��� � �!�� � �� ���� ���������� D������� ������� ������"������!�����"��?!����"������� � ����� �"��������������"�#�"��������������� ������������ ���������� �#�� �!����������������������������"�����"� ����"����������" ��"���� ���"�� ��� � �!�� � �� � ����� ������� >!������ ������"�� �"�� ����!��� "����"��"����������������4"�� ������� "��"�� �;�� ������" !���"��?!���*! ��!��� �!��� �� ��" ����"���� %���� �� ��� ����

11 1

1 2 1 20 1 ( , )

L

i iI f L L dL dL W f�

� � �� � ���..'�

5 6

43

1 2

#������ � $�%����� ���

= 0.6 �

Page 214: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

���� �"��"��� "�� ���� ������� �"���� � � ���� �"�����"� ��� ������� ��� � ��� ������ ��.� � � ��� ����� � �� -�!��� ��61�

� �

��������������

��� ���������� ����

����� ���+ �������� ������� ���� ���������� ������������ �,��� ����������� ������� -��#��� ���.�

��#��� ��� '����� (���������� %������ ���� &���"��� ���� ����������� /������

)�0��� ��� ������ )�������� ��� ��������� ������ &���"�� �������(

� *�� � ���*�� � ��� �*�� � ���

� ������ ����� ��������� �� ��� ������ ����� ��� ���

� ����������� ��� ����� ����� ���� �� ���� ����� ���� �� ���� ����� ���� �� ����

2�� � �� �"� ��� ��!��� �� �� ����� ���� �"��!��"�� "�� �������� �� ��� �*!�"��� � � �!�"�� "�� �������� ����������� ������� ���"!��� �!������ ������"��� ������ �������������� ��� ��� ������� � �"������� �"� �"��� ���� ��"��� �#����� �� ��� �������� �� � �����

��

�!� "���������� ����

����� ���� ��

����� ���� ������� ���� ��

����� ���� ���

�������� �����

������ �� ��� ��� ����� ���

�#� $%���������� ����

Page 215: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� �"� ����������#���"�� !���!�� � �"��"��� ����"�����"�������E��"�����������!��#!��� ������ ��������� �"� �"� �� �"��� ������� ��"������� ��� ��� � �"� ��!��� ��"� �"��� ������� (��� ��"��"����� ���� �������� � �"!� �#� �"� �"��� � �� ���"� �#�� ���� �"�!�"�� "�� �#������ ��� �*!�"���� %�� ���� ����"��� ���� �"��"��� ��� ���� ��!��� ������ ��"� ��!���

��� ����������� �� �������� ��������$��� ���� �#����� �� ��� ������� � �*!�"��� ��� � ��� �

{ } { }1 1[ ] n n n nA x b× × ×= ���.6)�

%�� �������� � �"���� ��� �#� ��� �������� � �"� ��� (��"� ������ � ��� � �!��"��� "�� � ���!��!���� "��"�(��"���������������� ������������!�����,�������� ���#�"��������������������"!� �#�"� �"�����"�� ������ ��F���������"������"���������"��8�9�� �G#H��������������" �#���� � � #�� �

ii ii pa a a= + ���.6��

i p ib a x= ���.6.�

��������� ������ �������#��!������ � ix � �� ������������ � �!���"����� � ix ��#�"���#��"����(��"�����!��"!������" � �� �"� ����#� ��������������#�� �#��� ix � � � ���� �"� ���������� �"��� �"�������� ����� %�� ��� II� ���� � $� 0� ��� .�� ��� ���� ���� �*!�"�� ���� ��������#� � ���� �� ix �� ���� ������ ���� �!�� "�� ���� ���� ��"���� "!�� ���"�������� "�� ���� �"������� ��� 0� ix ��#����#�����0��)

��+��)���������������" � ����#� �"� ��������� ����"��!������"���J� �����;�� ���� "�� �������� � (��"K�"�(��"� �"�������J� "��� �"�� � "� �� �#� ������������ "��"��������� �� 8�9� "�� G#H��4"�� ���� � ���������#� �� � �"� �!������ ���!����� �� �"�!�"��,�������������� �� �"� �;������"���������� �(��"��"!� �#��"� �"�� �� �"� ��"��"���� ������� ���� "�� ������#� ������� ����� �� � �"���� �� �������� � �"� ��� (��"�� � "� �"�� �������� ����*!�"��������������"��� ��"�!����������������L�,��"����!�����"����#�"���������������� ������� �"�(��"� �������� � �"!� �#� �"� �"�� �� �� �"��"���� <"�� ��� ������ �*!�"��� ������� !�;�"���� �

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + =

+ + =

+ + =

� � ���� 1x � 0� 1x ��2�� ��� ������� ������ �*!�"��� �

1 1

22 2 23 3 2 21 1

32 2 33 3 3 31 1

x x

a x a x b a x

a x a x b a x

=

+ = −

+ = −

��!���"!���������������#��� �"��;������0���� ����"������"��������� �� �����"��� ��"�!���"� ��� (��"��,��"�� ����F45� G#H� ���" �� � �

$���+������� ��� !������� "������� ���

Page 216: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

{ }( ) , 1, 2, , j ji ib a x j n�− = ���.66�

���� ���� �������� �� G#H� �� ����#� �;��� �� ix �� ���� ;�#� �� "�� ���� ����" � �� ���� ���� ����*!�"����� ���"��� �����#������0� ix J������ �!�� ix �����!��� ������"������*!�"���� �;��� �"� ����F45������ ���"��������"�� ���� �"����������0� ix � �� ����� � ��"�� ���"����� ��� ���� �����#�����" �

��� ������� �� ���� �������� ������������ ������� �"��� "�� ���� ����� �������� �*!�"��� �� ����� ����� ��#��� �� � ��� �#

{ } { }1 1[ ] n n n nA x b× × ×= ���.61�

%���#������������������" ����"���"�����������������"��������������!�����"���������������*!�� ��4����������(��"�������������� (�������!�!��#� ��#�������������������������" ������� �� ���� ��"!�� � �"���� ��� �"!����#� !�� �� ��!��� �"��!��"���#� �������� �"�!�"���"������������!�������"��� �"�����������������"��������;������"����"������"� ����"�!�"�� "�� /*�� ���.61�� ��� �"�����M ����� ����" � � � ���� ���� �� ����" ��� ���� �����"�!�"�� ����" �� ��� ��������#� ��� � "�� �� �"��� ?!��� �����"�� ������#��,�"��� ������� ������" ��� ����?!��+5� ��� � � ���� �"�N!������ ��������" � ���������"� �"������� �"�!���� 2�� ���� ��!��� ����� "��#� ?!��� �����"�� ��� � ����� ����" ��� %�� �#� �������� � ����� �� ���� ���� ?!��� �����"�� ��"������ ���"!��� � ������ "�� "����"��� "�� ���������� 8�9� � � G#H�� ��� �� �"� �����"��� /*�� ���.61�� ��"� ���� �"��"���� �"��&

11 11 1

22 2

33 3

1, 1 1,

0

0 0

0 0

n

n

n

n n n n

nn

a a a

a a

a a x b

a a

a

− − −

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

� � �

� � �

� �

� � �

���.6��

���� �"������������� �� ���� �"��� �� � ������ !����� ����!��������� ���� ���� �"�� �/*�� ���.6��� �� �

nn n na x b= ���.6:�

��!��

/n n nnx b a= ���.6��

-�"�� ���� ���!������ �"��� ��� � �

1, 1 1 1, 1 + n n n n n n na x a x b− − − − −= ���.6��

Page 217: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

5!����!���� �"�� ��� ��"�� /*�� ���.6��� ��"� /*�� ���.6���� ��� ��� �� � ������ ����� ��� � ������ ��� ��� �� � ������ � � �"� "�� ���"!��� ���� ��"����� "�� ��;�� � �!����!�"��

2������������"�������������������*!�"�������"���� �����������"�(��"������������8�9��� ��!����� � �"!� � ���� ������� �"��� �� ��"��� ���"��

�������������"�� 8�9� ���#"� � � ����������� ������ �(��"�� ������(��"� ���"!��"!�� ���?!��� �����"�� �"�!�"�� ��"������ ��!�� �� �� !��������#� �"� ��"��� � � "������ "�� ��������������

,� �!������ ����������� "�� ���� ����� �������� �"�������� ������� �� �#���� ���!��!���������������"������#�����#�� ��"�� �� �������������������������� �!���"��8�9����"�� ���� -"�� � �#�������� �� � � 8�9�� ��� ��� � "��#� ��"��� � � "������ "�� ���� �"�(��"��������� �"���� � ����� ���� �� � ���� �� ��"��� ���"��

0

0

× × × ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦ 0

× × × ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

&��'(�'�%

� �� � �� ,

)�* )��*

+������(�'�%&��'(�'�%

0

0

× × × ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ��

Page 218: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

5���� #� OO� ��� ���� � ��� �� �"��!���� ��"���� ����� � � ��"� �!������ �"��!��"��� �"!� � �������� "!���4"�� ���� ���� ����� �"�� � �!�!��#� ������ �"��!���� ��"���� �"� ;���� ���;� "�� ����"�����"� ����� "�� ��������� �� ���� "����� 8�9� � � 8��9� �������� ���� ;�#� ��� �� �!��� ��"���� ��&

� ���� ������� �"��� �� 8�9� �� ���� ����� �"�!��� �� 8��9�� ���� ����� ��� 0� ������ ��� �"��� 0� ��� ��

� 5����#�� �"�� $�0� �� �"� ���3��� � ���+�������% $��0���� ���������������� ���� � ��� ����"��� ��"�� �� �"� �� � ���

� -�"�� �#�����#�� �� $���� 0� ���� $��

-"�� �#�������� �"�� �� ������� �� � ������ 8�9�� ����?!��� �����"�� �"�!�"�� ����� ������ ��#� ��������� � � ���"!��� <�"���;#� ���"���"�� ����� �� �"�� ��!��� �

��������� ����������

4���� ��� �� �"� ���"���� ���� � ��� �"�������� ����� �

[ ] [ ][ ]TA L L= ���.6'�

������ 8�9� �� � �"���� ����!��� ������ ����

11

12 22

1

0[ ]

n nn

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� �

� �

� � �

���.1)�

%�� ��� ����"��� ���� �!������"�� 8�9� 8�9�� � � �"����� �"�������� �#� �"�������� ������������ �� 8�9�� ��� ���� ���� �������#� �*!�"��� �"� �� � ��� &

211 11 11 11 � �a a= ⇒ = √

111 1 1 1

11

, 2,jj j j

aa j n= ⇒ = =� � �

2 2 212 22 22 22 22 12 � � � �a a+ = ⇒ = −

2 12 112 1 22 2 2 2

22

, 3,

� �� � � � �

�j j

j j j j

aa j n

−+ = ⇒ = =

2 2 2 2 213 23 33 33 33 33 13 23 ( )a a+ + = ⇒ = − +� � � � � �

3 13 1 23 213 1 23 2 33 3 3 3

33

( ) , 4,

� � � �� � � � � � �

�j j j

j j j j j

aa j n

− ++ + = ⇒ = = ���.1��

Page 219: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��!��� ��� ���� �"��������� �� 8�9� ��� ��� ������� ��2�� � �

[ ]{ } { }A x b= ���.1.�"�

[ ][ ] { } { }TL L x b= ���.16�

���

[ ] { } { }TL x y= ���.11�

4����

[ ]{ } { }L y b= ���.1�����

11 1 1

12 22 2 2

1

0

� �

� � �n nn n n

y b

y b

y b

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

���.1:�

���� ����� �"�� � ��

111 1 1 1

11

b

y b y= ⇒ =�� ���.1��

� � ���� ���"� � �"�� #�� �

12 1 22 2 2 + y y b=� � ���.1��

5!����!�����"��'����"��/*�����.1������������ �'��� ���"�"������'�����"!���������"����"�� A�"��� � �!����!�"�B�� D���� G'H� �� �"!� �� ��� !��� ���"�� /*�� ���.11���

11 12 1 1 1

22 2 2

0

n

nn n n

x y

x y

x y

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

� � �

���.1'�

/*!�"�� ���.1'�� � ��� ��� � � ��� �� � ������ �������� ��� ���"!��� ��;�� � �!����!�"����!�� ���� <�"���;#� ������� "�� �"�!�"�� �� �� ������ �����&

(���� )&� � <�"���;#� ���"���"�� [ ] [ ][ ]TA L L= �

(���� *&� � -"��� � �!����!�"�� [ ]{ } { }L y b= �

(���� +&� � E�;�� � �!����!�"�� [ ] { } { }TL x y= �

�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���

Page 220: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

%�� ���� ��!�� ���������"�� "�� � �� � � ������ ���� �"��������� ������ "!�� �� ����� � ��� ��� (��"� � � ��� ������"��� �� ��� �"��!�� �� -"�� � ����� [ ]b n bA × � �(��� 8�9� �� ��""���(�� �����#��� %�� ��������"��� ���� ���� �"����!�����"�� ��"�����"���"����"��� � "� � � ����� �" �� ������ ������ �� ���"�����#� 2( / 2) 2nb nb⎡ ⎤+⎣ ⎦�� ������ ���� <�"���;#� ���"���"��;��� ��#�K.�� ��"��� � � ���� "�� � ������ .� � � 6� �;��� ��#�� ��"���� -"�� � � ��� ����� ����� �� �� ����������" ���!�������������� �������� � ���#�� ������"��!��"������"��� ���� ���������#� "��#�� 4����� �� �������� �"�!�"�� ������#����� ��*!��� ���� �� � ��� A#B� ��� ������ �� �"������� ��!�� �������� �" �� �!������� ��������� ����� "���(�� ���� ���!������ � ���� ��� �� ������� ���� "�� �#� ������"����"�� �� � �#���� ����� �������� �"�������;����2�� ���� �"�� �������� � ���� ������� ��"������

������� ��� �!!�������,�� ,�� ���� ,�� #�!������ ��������!��� �!�-���&� 2�� ���� �"� �� "� �����"�����"��/������������!�����������!�����������������!���������������������"����-�!�����6���������"��!��"����������� ������������ �"���.���.�?!���*! ��!����,�����������"�� �"���� ���� 7�"��� � � 8�9� ��� � ��� �� �"��"��&

���������� ���� ��� 0� +�K�6� �� 0� +�K�6

2 0[ ] , 3.0

0 1.5J J

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

0.197 0 0.197 0 0.0528 0 0.0528 0

[ ] 0 0.263 0 0.0704 0 0.0704 0 0.263

0.263 0.197 0.0704 0.197 0.0704 0.0528 0.263 0.0528

B

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

���.�)�

��!,

��!, ��-�,

��

��

����� ���� �"��� ������ ������ �������� �������� -1������� ��+.�

Page 221: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���������� ���� ��

�� 0� +�K�6� �� 0� �K�6

2 0[ ] , 3.0

0 1.5J J

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

0.0528 0 0.0528 0 0.197 0 0.197 0

[ ] 0 0.263 0 0.0704 0 0.0704 0 0.263

0.263 0.0528 0.0704 0.0528 0.0704 0.197 0.263 0.197

B

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

���.���

���������� ���� ��

�� 0� �K�6� �� 0� +�K�6

2 0[ ] , 3.0

0 1.5J J

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

0.197 0 0.197 0 0.0528 0 0.0528 0

[ ] 0 0.0704 0 0.263 0 0.263 0 0.0704

0.0704 0.197 0.263 0.197 0.263 0.0528 0.0704 0.0528

B

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

���.�.�

���������� ���� ���� 0� �K�6� �� 0� �K�6

2 0[ ] , 3.0

0 1.5J J

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

� �

0.0528 0 0.0528 0 0.197 0 0.197 0

[ ] 0 0.0704 0 0.263 0 0.263 0 0.0704

0.0704 0.0528 0.263 0.0528 0.263 0.197 0.0704 0.197

B

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

���.�6�

���� ����������������� 89� ������ ���� ���� �� ���"��� ����� /*�� ����.6���� ���� ���������������� ����� �� � �!�� � �

2 2

1 1

[ ] [ ] [ ][ ]e Ti j

i j

k B D B t J WW= =

= ∑ ∑ ���.�1�

,��������"����� �!���"��" ������ ���� ������"���"������������ ������������ ������������� �� �"��"��&

�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���

Page 222: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

�������� ��������� �����

7

0.891

0.357 1.17 Symmetric

0.379 0.0275 0.891

0.0275 0.296 0.357 1.17[ ] 10

0.446 0.357 0.0672 0.0275 0.891

0.357 0.585 0.0275 0.881 0.357 1.17

0.0672 0.0275 0.446 0.357 0.379 0.0275 0.891

0.0275 0.881 0.357 0.58

ek

− −=

− − −

− − − −

− − − −

− − 5 0.0275 0.296 0.357 1.17

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

��"����"��"����������"!� �#��"� �"���� �!�����*! ������" ���"���������"������� ���� ���� "�� �*!�"��� �"�� ���� !�;�"��� ������"���� �

2

2

73

3

4

0.891 1.5

0.357 1.17 Symmetric 0

10 0.0672 0.0275 0.881 1.5

0.0275 0.881 0.357 1.17 0

0.357 0.585 0.0275 0.296 1.17 0

u

v

u

v

v

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =− ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

���.�:�

5"� ������� ���� ���� �" �� ������"�� �

��� 0� .� �� �)��� ��

�� 0� )

��� 0� .� �� �)��� �� ���.���

�� 0� + 1��� �� �)� � ��

�� 0� + 1��� �� �)� � ��

��������� �������,���!�-�����"����,���"��.��,#������<"�� ��������"!���" ��*! ����������������"�����-�!�����6:���������"�����"� ������������������������������������"���� -�!��� ��6:���� �"��� ���� ���� ������� �"���� �"�� .� �� .� ?!��� *! ��!��� �!���� -"�� ���?!��� �"���� ��� ���� �"�� �"��!��� ���� ������ �"��� �� ���� ���� ��'� ����� � � ��"� ���7�"����2�� ���� �"� ��! #� ���� ������� �"� 8.9� �� ���� �������� �"���� ��� ������!��� �����

���.���

Page 223: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

-"�� ���0� +�K�6�� ���0� +�K�6�� ��� � ��� ��"�� /*��� ���16�+ ���1:��� ���� ����"��

( )( ) ( )( )

1 1 2 2 3 3 4 4

1 3

1 3

( 1) 0 (1) 0

1 1 1/ 1 1/ 1 1/ 1 1/

4

1/

px N x N x N x N x

N N

N N

�� �� �� ��

��

= + + +

= − + + +

= − +

⎡ ⎤= − + + + − −⎣ ⎦

= −

���.���

( )( ) ( )( )

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

4 2

(0) ( 1) (0) (1)

1 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 0

4

py N y N y N y N y

N N N N

N N

� � � �

= + + +

= + − + +

= −

⎡ ⎤= + − − − + =⎣ ⎦

���.�'�

-�"�� /*�� ��������� ��� � �

[ ]

1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3(0 1) (1 0) ( 1 0) (0 1)

4 4 4 4

1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3(1 0) (1 0) (1 0) + (1 0)

4 4 4 4

J

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ √ − √ − √ + √+ + − − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− √ − √ + √ − √+ + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

����� ���2 � �������� *������������� �������� -1������� ���.�

�� ����

� ��� �

� ��� ��

����� �

� ���� ��

����� �� �

����� � � � ���� �

�� � ������ � �����

�� � � 0.6

�� � 0.6

�� .�/��'�� ���,��� �# 0������ ���,���� ������

� .

& '

�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���

Page 224: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

��!��

[ ]0.5 0.5

, 0.50.5 0.5

J J−⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���.:)�

5����#�� �"�� "����� *! ��!��� �"����� ��� "���

2 1/ 3,� = − √ 2 1/ 3,� = √ 0,Qx = 1/ 3Qy = √

0.5 0.5[ ] , 0.5

0.5 0.5J J

−⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦���.:��

3 1/ 3� = √ � 3 1/ 3� = − √ � 0Rx = � 1/ 3Ry = − √

0.5 0.5[ ] , 0.5

0.5 0.5J J

−⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦���.:.�

4 1/ 3� = √ �4 1/ 3� = √ � 1/ 3Sx = √ � 0Sy =

0.5 0.5[ ] ,

0.5 0.5J

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.5J = ���.:6�

4

1

0.5 0.5 0.5 0.5 2J = + + + =∑ ���.:1�

��!��� �!�� "�� ���� ���������� "�� 7�"��� �*!��� ���� ��� "�� ���� ��������2��"���� ������P . P����"�� ��� �!��"��������*! ��!����"�����$���!���"���"�� ��

� ��"��� � �"!���" �� *! ������� �� ��"��� �� -�!��� ��6��� ���� �"�����"� ��� �"��!��"����� �� �"��"��&

����� ���3 � ���������� *������������� �������� -1������� ���.�

� ����

� ��� ��

�������

��� � �

Page 225: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

1 1/ 3� = − √ � 1 1/ 3� = − √ � 0.35566Px = � 0Py =

0.0915 0.5[ ] ,

0.0915 0.5J

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦ 0.0915J = − ���.:��

2�� "���� �� ���� ���� '�� ����� "!�� �� ���� �������� � � P . P� �� ���� ��

2 1/ 3� = − √ � 2 1/ 3� = √ �� � � 0.25Qx = � 1/ 3Qy = √

0.3415 0.5[ ] ,

0.0915 0.5J

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦ 0.125J = ���.::�

3 1/ 3� = √ � 3 1/ 3� = − √ � 0.25Rx = � 1/ 3Ry = − √

0.0915 0.5[ ] ,

0.3415 0.5J

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.125J = ���.:��

4 1/ 3� = √ � 4 1/ 3� = √ � 0.64434Sx = � 0Sy =

0.3415 0.5[ ] ,

0.3415 0.5J

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.3415J = ���.:��

4

1

0.0915 0.125 0.125 0.3415 0.5J = − + + + =∑ �� ��� "�� ���� ������� ���.:'�

2�� "���� �� ����� �� ���� �������� �� ��"��� � ��"�� ��� ������!��� ������ P . P� �#� �#��"���"��� �"� �"��� � ��#� ���"��� � ��� ���� �����"!��� ���� �"�������� �"��!��"�� ���!����""� �������������������*! ����������������� �� �����������������!� � �� ��������������!������������ �"�����!��#������ ��"��� ���"���������!��������� %���! � �������� ���� �������� ��"��"�� P . P� ��"��"���?!����"��� �"��"������ ��"�"�� �������"�� ���� �������"� ���� �������� � �� ������� ��"��� ����� ���������!�� ��� � ����"�� ��"��"���5!������!���"�� *!��#� "�� ����� "�� �� �������� ��� ��"��"��� � �� ��� ���� !�"���� ����� ������"���"������ ����� ���"��� �"������� -/� �"������ ��;����

������� ���� � /��� ,�� �!���� �!�-����� �,�� #������&� %�� ���� �������� ��� ���� �"�� ��� �����������"�����"�������� ���������� 0 )��::� � �)��>�������!�N���� ��"�������" ����������2��������� �"�!��� ����.� ��������������� �"��" ��� ������� ��� ��"���"���<"�� ��� �������� ���������"�����-�!�����6����� �����������" ������������� ���� ������"��� ���"����� �� �#�"���� ��

�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���

Page 226: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

3

tip 0.02 cm 3

PL

EI� = = ���.�)�

2

tip 0 .003 2

PL

EI� = = ���.���

2������ ����� !��� ���� ����� �"!���" �� *! ������� � �������� �"��" ��� ���� ��"����������" � �� ���� ��� �� ����!�� � �������� ���� �" ��� !���� ���� �"�������� �" � ���"��� (��

[ ] .TN q dv∫ ���� ����� �������� ��!��� � ����� "��� �"�� ������ �"��"��� �"���� �� ���� �" ���

��!�� ��� �"��!��� ���� ��"��� �� ���� ��� �� ������ +� ��������K"�� ������ ����� � � �������� �"�����"� �"������"��� ��"��"���" ���� �"�������������"������������������!����"���� ����� �������������� ��� ���� � �� ����� ��6�

�������� ������������������������������ !

4��"� ��� (���+� �������� ���� ����������� �!, ���� �����

�����,��� ��� ���� � �� ,�1% ��� ����������,���1�����2����2�%3������,���� ���%��2%�� � �� ,�1% �� ����� � �� ,�1% ���� ��� � �� ,�1% ��� ���� � �� ,�1% �� ���

2�� "���� �� ���� ���� ����� Q! 1� �������� �� �""� ����� � ������"�� �� !� �������� �� �"��" �������!������ ��� ��"���"��� � ���"�� �"����!�� � �"�� �!�����"�������2�� �� � ���� �� ������"�� �"� ��� �)R� �� ���"�� � ������� 1)� ��������L� -�"�� ���� ����� �!���"���� ��� "���� ����� "�� �#� ������ ���� ���� ��"��"���� ���������� �� ����������� �� ���� ���� ��/!���+E���"!��� ���� ��� ���� ��!�� �� �� �"������ �!������� �� �"� ��#� ���� Q! 1� �������=�����"������ �� �"� �""��� ���� �������� � �� ��� �� �� � �"� �"��!��� ���� �"�(��"� ����� ������ ������������!� ���� �#�����!������ ����"������������ �������������� ��������� ��"���(��"��� ���� ��!�"!�� ����� ����� �����#� ������� ������ ���!���� �� �""�� ����"������ "�� �����������

%������" ���������"�������������������" � ������ ��#�����������������!����"���� ������� � ������� ��1�

&� � � -

��!,

��!,

����� ��� � �������,��� ������� ��� �"�� ���� -1������� ��2.� -�� �� �� ���"� ��� (���+� �������� ��� �"�5�.�

Page 227: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������" ������������������������������ !

4��"� ��� (���� �������� ���� ����������� �!, ���� �����

�����,��� �� �� ��� �� �� ,�1% ���� ���

%�� ����� ����Q! '��������� ��������� �"!� � �"����� ���������� ����Q! ���������� �� ������"������ �#� �"� ����� ��"��"��� ���#� �"��" ��� ��� ��� ��"���"��� � � �"� "��

������� ��� (������ �,���������,�� ��,���� �� �����!��� ",!�&� %�� ���� �������� ��� ���� �"��!������ ���� !��� "�� �#���� .� � ��������� �"���" ������ ���� ��"�����"�� ������� �"�������"�� �� ���� ��������� � ���!��� �"����2�� ��"����� �"� ��!��� ����"���� �#�����#� �� �#���� -/��#����<"�� ����������!�N���� � �"� �������!����� ����"������"�����-�!�����6'��-"�

����� ���� �"��� ������ 5��"� �� ��������� "���� ������ �������� �������� -1������� ��3.�

��

��"�"����"!��� �"��"������������������ �#�����#��������"!�� ����0��� �1����� ��"��� ����� ��!���� ��!�� "��#� "��� *! ���� �� ��"��� �� -�!��� ��1)� ��� �� �"� ��� �" ���� � �"�� ����

����� ��+� (�������� ��� ������ -1������� ��3.�

�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ��

Page 228: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

����������#����-"������" ����������"�������#�����#�������������� ��"����!�����#�����#�"!� �#��"� �"����E#� ��!��"���#�����#�������"����"������0�������"��#��" ���"������0����� 5����#�� �"�� �"���� "�� ����1�����,� �#��������� �"�� ���� *! ���� "�� ���� ���!��!��� ���"�����-�!�����1���������������" ���"������� ������" ���� ����"���������" � ���"���"�

���� ��������� -"�� �������� �"�� � Q! � 1� ��������

{ } [ ]

1

1

2

2

3

3

4

4

0

0

0

0

0

0

0

0

�T xe

ys

N

N

N

qNf N q dv ds

qN

N

N

N

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

������ ��� ��� ���������� ���� ����!�� � �"���� ���� !��� ������� "�� ���� � ��J� ����� �!���"����� ��� � �!�� � "�� ���� � ���� � � �� �� ���� �""� ���� !�� � �"�� ������"�� �"��� ���� � �����������"������%���������������"������"��#���"������������" ���"�������" � �� �������� ��"��(��"��" �� �"������-"��� �#�����"!� �#� �� ���������������0�)�� ���0�+��"�� ����� �����!��� �"���1��" ��������������0�)�0���� � �������0�)�� ���� �������� �"���" �� �"���� ���"�

����#� � "� �� 1( 1) yN q� � � ��� � � 4 ( 1) .y yN q d� � � � ���� �"�������� �" �� �"����� �"�

Q! � 1� � �Q! � '� ��������� ��� ����� � ���"��

����� ��+$ �6������ ������� �������� ���"� -1������� ��3.�

Page 229: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

-�"�� ���� ������� �"�!�"��� �� �� ����� ;�"��� ���� ���� ������� �"�������"�� ���"�� �� 6�)�"�� ���� ��"������ ���� -/� ������� "�� ������� �"�������"�� �"��� ���� ������ �'� 0� )�� � ��� ���"�����-�!�����1.��"����)�������������)�����������"���� ��� �����"������!��������

����� ��+� ������ �������������� ������� �#������� ������ �14� -1������� ��3.�

yq

yq

2yq h

2yq h

6yq h

4

6yq h

6yq h

Quad4 elements

Quad9 elements

1.70

2.813

1.265

1.0831.168

1.0031.045

0.966

0.9470.959

0.9360.944

0.93

0.925

0.917 (0.907)

(0.923)(0.923)

(0.930)(0.930)

(0.938)(0.938)

(0.949)(0.949)

(0.970)(0.970)

(1.011)(1.011)

(1.095)(1.096)

(1.282)(1.285)

(1.720)(1.727)

(2.795)

0.928

1

2

4

6

7

8

9

10

3

1

4

5

6

7

8

9

10

��

0.447

����� �������

��� ���������� ������

���� ����������� �������

���� ������������ �������

����� ����������� �������

��� ������������ �������

����� ����������� �������

����� ��������� � ����� �

�� ���������� �����

���� �������� ������

���� �����

����� ������������� ��������

�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���

Page 230: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

����"��� "��Q! 1� � �Q! '� �������������� �������"�� �� "��� �� ��"������ ��"�����"��� ���� � �� ����"�� ��"� ���� ��������� ������ ���� �"��� ��� ������� �� �(��� �!�� ���������"�����"�� �� ���!��������� ����"��� ���� ��"� �!������ "�� ������ � �� "�� � �" �� ��� ����������� "�� ������� �"�������"�� ���"�� "���� � �#� ������� ���� �" �� �� ���"����� �"� "����������"������"������%����"���� � ���������-/��"�!�"��!� ����������������������"�������"����"��� ���� ��������� �� � �"��"�� �" �� ��� ��������#� �������� �"�� ���� Q! 1� ����� �������#� ��� ��#��!��� !��"��� �"�� ����Q! '������� ���� ��"�� "�� ������� �� � �"��"�� �" ������ �"��!�� �"�� ��� ���� N"���� ��������� ����� ����� ���� �" ��� �� �� � ���"�� ���� *!��#"�� ���� ������ , �� �� ���������� "�� ������ ��������� � �� ��#� �"������� -/� �"�������;�����!�����!���� �����"������� ��#������������������������� � ������"���"�����������"�� ���� ���� �#��� ������ � ��� �� ��� ����� "�� Q! 1� ��������� ������ �� ������� � �"� �� "��'��������-���&�����A"B��������������"��������������(����������������!�������A���#��B���������������� ��� ������ ���� �"�#�"��� ����� �!���"�� !�� � �Q! 1� � �"� Q! '� ������

2�� � �� �"� ��� ��!��� � ��"� ����"��� ����� �������� ��#��� �"�� ���!��!�����������,�� ��!��� ����������#�"�� �����"������� ��!��� ������������ �"�"����� ��� ���"��2������ �"�� ��#��� ���� ����� �������� �"�!�"�� "�� .� � ��! � ��"�� ��"������� %�� �"������"� ���� ���!��!��� �������� ��"������� ��� ���� �"� ����� ��"�� ���� ���� �" ������ ���������*!�"�� � � � ��"�� ���� ����� �������� �*!�"��� ���"!��� ������;� �"��� ���������

�� !"� #��� #��$2���"�� ��!��� ���� ����� �������� �"�!�"�� "�� � ������� ��"� ����"��� ��! � ��"�� ��"����� (��� ���� ��� #������ ��"��"��� ��"��"�� �� ��� ��! � " ��� � �#�� ���� �"���� ��������� ��"������� ������ �� ��"��� �� -�!��� ��16��2�� ��!��� ����� �� ���� ������ ���� ��"��#� �� !��"����#� 2�� 2�� ���� �"� �������� ���� ��"�� ��"����� ���� ���� �#�� ���� 2�� ���� �"��!���� ���

����� ��+� 7����� ������ ���5� �,��� �� �6�������

/�

��"����� �� ������ "�� ������ �!���"�����,� ������ ���� �� � ���� ���� �� ������� �"� ���� ��"��# ���"��� E#� ����"��� ������"���� ������ �� �"� ��"�� ��"��� � ������ ��������� ������ �!���"�� ��"������ �"�� � ������ ���� ���� � �� �!��� � �#� ���� ���� ��"��#� �"��"������ ��� � ��� �#

uy

�∂=∂ � v

x

�∂= −∂

���.�.�

Page 231: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� ��� ��"!� ������"�������"�������5���� ������"�� ��"��������"��#� �� � ���"������#�����#� �!�� �"���� ��� ��� ��"����� $����� 0� )� "�� ���� ���� ���

���� �!� � � �"!� �#��� �� ��� � ������ ���� �� �� ������"������� ���"���� � ������"���!"!�� ������ ������ ���0�)�"�� ����� %�� ���"�� ����!��"��� ����� ��"��#�2����0�2�&"�� ���� ��������D�� ���� ������� ������"������0�23��E#� ��!�� "�� �#�����#�� "�� ���� �����

/ 0y�∂ ∂ = ��2�� ��� ����� ���� ������ � ��� !�� ��������� �

2 2

2 2 0

AW dA

x y

� �⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ���.�1�

F����� ����� ��������� �#� ������ ��� ���

2

2

uu u

xx x

x xx

d d ddWW dx W dx

dx dx dxdx

� � �

� ��

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ���.���

D�� ����� ������ ��� ����� �!���� ���� ?����+?!��� ���"����

2

2

uu

xy

A y Ax

WW dA W dy dA

x x xx

� � �

��

∂ ∂ ∂∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂∫∫ ∫ ∫∫ ���.�:�

���� ������� ���������"�� "�� ���� ��� � � '��� '�� �� ��"��� �� -�!��� ��1��� ������"���

xdy ds�= ± ���.���

����� ��++ /������ ����� ���� ������� �������� ����������

r a=

/�� � �

*� !

"

0

���� �" ������ ��������� �*!�"��� �� ������ "�� ���� ������ �!���"��� �� � ��� �#

2 2

2 2 0

x y

� �∂ ∂+ =∂ ∂ ���.�6�

<"�� ����� ���� �#�����#� �� ���� ��"������ "��#� "��� *! ���� �� ��"��� �� -�!��� ��11��� �� �"� ����" ���� �� E#� ��!�� "�� �#�����#����� ���"���� � ������ ���� ��"� ��"�� ��"��� ��

���� � ���� � �� ���

Page 232: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

�������� �� ���� ����"�� �"����"�� ����"!��� ��"���� n� � � �S� �� ���" !�� � �"� �;�� ����"�

�"��� �� �� ���"�����#�� ��!��

s =

� �

��

�u

ux

y

xy

x

W dy W dsx x

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫ ∫ ���.���

5!����!���� �� /*��� ���.�:��� ��� ���2

2 s

� � �� x

A A

WW dA dA W ds

x x xx

∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂∂∫∫ ∫∫ ∫ ���.�'�

������ �� ������� �"� ���� �"!� �#� �!� ���5����#������ �

2

2 s

� � �� y

A A

WW dA dA W ds

y y yy

∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂∂∫∫ ∫∫ ∫ ���.�)�

5!����!���� /*��� ���.�'�+���.�)�� �� /*�� ���.�1��� ��� � �

2 2

2 2

0

� � � �

� �� ��

A A

x ys

W WW dA dA

x x y yx y

W dsx y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

=

∫∫ ∫∫

∫ ���.���

������"���

s s =

� � � � �� � x y

A

W WdA W ds W ds

x x y y x y n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ ���.�.�

������ / n�∂ ∂ � ����������� ��"�� ��"��#� �� ���� ���� �� �� ����"�� ����� = sy

Vn

∂−∂

��

����� ��+� 7����������� �������

����

��

����

� ���

Page 233: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

-"��� �#������������������" �����"��� �"����� (��� �����������!���"�� �!����� %��"!���� � � ����� �������� �"��"��� �"�� � ������� .� � ��������� ��� � �

�� 0� 8� 9G�H ���.�6�

������ 8�9�� ���� ����� �!���"�� ����� � � G�H �� ���� �" �� �!��� "�� ������ �!���"�� �;����"������(�� ���� ���"�� �������������-"���Q! 1���������� �����(������G�H

����� 8�9����

[ ]{ }ex

B

y

��

∂⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪ =⎨ ⎬

∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎩ ⎭

���.�1�

������8�9��"����� ���� �� � ���"��������!���"���� %�� ����?���;���"��!��"������!��� ������� ����� �!���"��� �� ���� ������ �!���"��� ��"� �������� 0� ���� ��!��� /*�� ���.�.�� �"�� ��������� ��� ��� ��������� �

( )s

[ ] [ ] { } [ ]�

� �T e T

AB B dA N ds

n

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫∫ ∫ ���.���

���849 G�H � 0� G�H ���.�:�

�����

( )s

[ ] [ ] [ ] , { } [ ]�

�e T e T

AK B B dA f N ds

n

∂⎛ ⎞= = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫∫ ∫ ���.���

-"�� ���� ������ ����� �������������� ��� � �NELEM NELEM

s1 1

[ ] [ ] [ ]�

�T T

AB B dA N ds

n

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ ∑∫∫ ∫ ���.���

���849G�H� 0� G5H ���.�'�

�����

NELEM

1

[ ] { }eK K= ∑ ���.')�

NELEM

1

{ } { }eF f= ∑ ���.'��

� � G�H� �"����� ��� ���� �" �� �"���� "�� ������ �!���"�� �!��� �"�� ���� ������ ����� � � ����!���"�� " ��� ���� ��������� �� ��������� � �� ���� ��� � � ������#� ��"�� !��� �� -/T�

���� �����"�� ����F45���/*�� ���.���� ��� �!�� ��"��� �������������"!� �#��-"��� ��#� ���"���������������� ������ ������"�������������� ���� ������������� �!�� ������"�����"�;������"��"������������� �����"����������"�;������"������"���������������4�����������!��� � !�� �"�� ��� ���� ���������� ������ ������ "�� ������� �"!� ���� "�� � !�� ��������

���� � ���� � �� ���

Page 234: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

����� �� ��� "!�� "��#� ���� "!���� �"!� �#� "�� ���� ������ "���� %�� ���� �������� ��"������ �" ��"��#�������� �"��#��"!� �#�������� ����2��0�+ / n�∂ ∂ ���������������� �� ������� ������������ ��� (��"�

-"��"���� /*�� ����:1��� �"�� � �#���� �������� ��� ����

�� 0� 8�9G�H ���.'.�

[ ]{ } [ ] [ ] [ ] { }1 2 3 NDF×12 2 2 2 2×NDF

2 1

� ��

e exB B B B

y

× ×

×

∂⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪ = =⎨ ⎬

∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎩ ⎭

���.'6�

������� �"�� ���� �������� ����

[ ]1

2 2

1 0

0 1B

×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦���.'1�

[ ]

22 12

2

21 11

2 2

J J

J JB

J J

J J×

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���.'��

[ ]1 2

3

1 2

2×NDF

N N

BN N

� �

� �

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

���.':�

������>U-��� ���� �"����!�����"�� �"���� �"�� ������������������1��"��Q! 1��'��"��Q! '����������!�� ���� �"�!�"�� "�� ���� ��! � ��"�� " ��� �#�� ��� �� ��#� �!��� ����� �"� ���� �������"�������"�� ��"����� ��!��� � ������ ��������� ��� �"�� ��� 89� �"� ��� ����#�������� � ��� !��� ���� ���� ����� �"�� �"��� ���� ��"������

�����" ������ �*!�"��� ��� ����#� "���� � �

849G�H� 0� G)H ���.'��

������� �"�� ����" ��� ������"�� ���� ������� "���� �-�!�����11����0�)J� � �"���" ���"�� ���� ������ ��� 0�23J� �"�� ���� �" �� "�� ���� ���������� 0�2��� ������ �� ����������� ���� ���""� ���"�������" ���-"���������������� ��"!� �#��"� �"��������"� ��/*�����.'����"������������!�;�"��� �� �!���� D���� ���� �� �!��� ��� ;�"���� ���� ��"�� ��"����� �� �#� �"��� �� ��������������������!��� ���"��8�9G�H ��"���������������F��!����"���� �������)������������)�����������"���� ��� �����"������!��������� ����"���"��Q! 1�� �Q! '������������ ��"��� ��-�!�����1:�� %�� ���������#� ���� � ���� ���� ����� �������� �"�!�"�� ������ ��#����� ���� ���� ����� �"�!�"��

Page 235: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�)**+�,2�� � �� ��!��� � �"!�� .� � ����� ��������� �� ���� �������� D!�� ���� ��"�� !��� �"�� ������������ �"��!��"�� ��� ����� ���� ���� �� ���� !�� � �"�� �� � ����������4"�� ���� �"� ��"�� �"�������� �!� � �� ���������������� ���" !�� � ������!��� �""� ����� � ��������� � ����!���"��!������������"���"�� �!��������������������������#����-/���"�����2����"���;� �"!����"��"��"��"���������� ��"!� �#��"� �"���� �?!��������"����� ���"������"���"�!�"��"���*!�"����2����! � ��#�������!��!������������ � �����! ���"����"������/�����"�� �"� ������ ����"��� ��"������ �� �"������� ����� ����!��� ��������� ���"�������� ����������� ��!������ ������"������� �� �"�������� �"!�� ��6� ��5"������"�� ������� �� ��!��� �"��#���� #��������"�������%��<������:��������� ��!��������������������"�!�"�� "�� �� ��"����� ����� "�� ��"������� (��� �+ � � � .+ � �������� #���� ��"������

����� ��+2 ���5� ,������6� �#������� ������ �14�

Quad4 elements

Quad9 elements

1.6165

2.012

1.3765

1.23081.2305

1.14241.1422

1.0887

1.05631.0562

1.03671.0367

1.0252

1.018

1.017

1.019

1.7878

1.7878

1.4812

1.28461.1813

1.18131.1124

1.11241.0706

1.07061.0454

1.0454

1.030

1.0177

1.022

1.0221.0177

1.0253

1.030

1.0886

1.2846

1.4812 1.6160

9

10

8

7

6

5

4

3

2

1

�����

������� ���

Page 236: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

��� U�������������"���������" � ���"���"������<5����������!� ���������"��"�������" ����"��� �� -��� V��.�

-�./0�*�

�� -"�� ���� ����!��� �������� ��"��� �� -��� V����� ���� �" �� �!��� "�� ����������� ��&

��� 0� .�)� ��� 0� 6�)� ��� 0� ��)

�� 0� ��)� �� 0� .�)� �� 0� 6�)

D���� ���� ����������� ����� ��� �� "�� �"�����.�� .�� ����� ���� ��������

����� %��$ /������������ ��� �� 8 �� ��������

� ���� �

� ���� �

& ���� �

���� � �

����� %��� 8���������� ������ ����� ,������ ���� 8 �� �������� -�"��9����� :� ��$� �.�

+�� � �� -�,�

��,

���,

���,

+� � �� -�,�

��� U�������� ���� �"�������� �" � ���"�� �"�� ���� <5�� �������� !� ��� ���� ��"�� "�� �� �#�" ���� ����� �� ���� ����� "�� ���� ��������

Page 237: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� -� � ���� �"�������� �" �� �"���� ���"�� �"�� ���� ����" � � ����!��� �������� �" � � ���"��� �� -��� V��1�

��� D���� ���� �"�������� �" �� �" � ���"�� �"�� ���� �������� ��"��� �� -��� V����

����� %��+ 8���������� ������ ����� ,������ ���� ) �� �������� -����� �����"� :� );� �"��9����� :� $.�

��

+�� 1� +

����� %��� 8���������� ������ ����� ,������ ���� (���+� �������� -�"��9����� :� $.�

� ����� � � ���� �

� ���� ��� ����� ��

+�

��

��

+�

����� %��2 8���������� ������ ����� ,������ ���� (���� �������� -����� �����"� :� �;� �"��9����� :� $.�

+�

��� -"�� �� ������" � � *! ������� ��������� ��"��� �� -��� V��:�� �������� ���� �"��������" �� �" � ���"��

2

1y

L

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

&��, �� ��

Page 238: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ����������� � ����� � ��� �� ����

��� / �!��� ���� �"��"���� ������� �#� � .��� .�?!��� *! ��!��� �!��&

1 1

1 1

2

3

xdx dy

xy− −

++∫ ∫

��� U�������� ���� ����� � ��� �� -��� V���� �#� ����� ?!��� *! ��!���

��� <���;� ���� "� ��� "�� ?!��� *! ��!��� ����� >"�� "�� �"����� �"!� � �����#� �������� ����"��"���&�� .� 3� 6�� 3� ���� 3� ���J��� �.� +� ���K�.� 3� ���J��� ���� 3� '��J� � .� 3� 6�� 3� ���J��� �.� +� ��K�.� 3� ���

����� %�� ���� ��� �� �������

��

����

������ ���

��� � ���� �

�� � ���� � .� �� .� ?!��� *! ��!��� �!��� �"� � �!��� ��2

2

3 , (0, 6), (0, 4)

2

xI dx dy x y

y

+=+∫∫

�� /����� ��#� ���� ������ ���"��� �� �� � ?!���� *! ��!���� �!�� !�� �"� .�

�� � U�������� ���� ��� �"!� � � �#� '�� 0� 1��� '� 0� )� � � �� 0� 1� !���� � �������"��� ?!��*! ��!���� 2��� �� ���� ���������� ���"�C

�� � 5��������"��������"� ����"��������"� !��"���*!�"���"�����������������" �������"���������!��� ����"����� �"�� � �������" �� ����!��� �������� ���"!��� ?���;��"��!��"��

�� � -"��������"� ����"�������������������*!���������"�����-���V���1��������������$6� ��� ���� �"��"���� �*!�"��&

Page 239: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

25 1 21 300

1 18 7 500

21 7 41 800

i

j

k

T

T

T

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

,��� ���� � ���� ��� ����� � �� 7� 0� )�<�� D���� ���� ���� �*!�"����� ����� ���������������� ������� � � ��"��"����� ���� �"!� �#� �"� �"���

�� � -"�� ���� �������" � � ����!����������� ��"��� ��-���V���������!���� ���� �������!�����"������ � ��� ���� �" �� �������!���� �� 7�� 0� �))W<�� 7�� 0� .))W<�� � � 7�� 0� 6))W<�

j

����� %��$+ � �*����� ���#�

� �

2� 2

3

3 22

�� 3

����� %��$� ������������ ��� ��� ��������� ������

���� � �

��

�� ���� �

� ����

0� ������ ���

�� � %�� � ����!��� �������"�� �"������� "�� ��� ����" �� �������� �"�� ������� ��#���� ����������!���" ��������������������;����"�����"��������#��7

���������������"������

������ � ��U�������� �������������" �� �" � ���"�� �� �����������"���#�"����� �" ��

� �

&��, �� ���

Page 240: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����������� � ����� � ��� �� ����

����� %��$ 0���� ���#������

�� � ���� �������!��� �� ���� �"!�� �"����� �" ��� "�� � �"!���" � � ��������� ���7���7���7��� � 7���U�������������"���������" � ���"���"���.� ���#������ ��"� ���������������������������

�� � >!����� ���� �" ��� �� ���� �"��"���� �������"�� �-��� V������ !���� ������" � *! ������K����" � �����!��������������"����"������������� � ����2���������� � ��� �"�� �!��� �!������C

�� � ���� ?!��� �����"�� ����" � �"�� <�"���;#� ���"���"��� ��";�� "��� ����� �"� ��� �#����� "�� �*!�"��� ����� ��"�� -/T�� /����� ��#� ���� �#� ��� �"�

�������� �� �� �������

���� <"�� ��� ���� !��"��� ��������� ���� ��"��� �� -��� V��.)�� %�� �� �� � �� !���� ��"� ����"��� ����� ��������� �"� ��! #� ���� ��"�� "�� ����� ��"��� ���� ����� "�� �!���

����� %���� <������� �������"� #����

��

&

� � 2 20

xh h

l=

Page 241: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� �� "� ��� �"� ���#� ���� ��!��#� "�� ���� /!���+E���"!��� ��!���"���� 5�"�� �����#�"�������!� � �� ����#�����" ���� �!�����"���������������������"!������"�����""� ���� �����"���"��

��� 2���� ��� ���� ����� �!���"��� �"�� ���� ��������� ��"��� �� -��� V��.��

���� ? �������"������������"�� ���� �"����!�����"���!������"������"����� � "� � � �����?!���������"���"�!�"��"��869���G�H����0�G � H�����5�"������������"����� "� � �� <�"���;#� ���"����� � �� � �� �#������� ����� 869���� �� �#

�K.�

���� 2������ �����"� �"��� �"���"� �������� �� ���� ���������� ������������� �"��!��"�C5�"�����������"�������������*!������������������ ���0������������=���������������� ���������� ����� �!���"���

���� -"�� � ����" � � ����� ����� ����!��� �������� !�� � �"�� .� � ������� ��#��&�� 5�"���������� ���� �*!���!�� �*!�"��� ���"���� �" #� �"������ ��� ����� � "�� �"�

����� ���� ��������� ���

0, 0xy xy yx

x y x y

� � �� ∂ ∂ ∂∂+ = + =

∂ ∂ ∂ ∂��� U��!��� �������� ���� �*!���!�� �� ����� � ��"��� ������������� �"!� ������� <"������"�������"������#���"������������"!� ������������������������������ � 5���� �������� "�� �"�� ���� �*!���!�� "�� �" �� �"����� � � �"������ �� ����� �

����� %���$ ����������� ���������

� � � � � � �

��

��

��

&��, �� ���

1 13 3( , 1)( , 1)− − −

Page 242: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���

�������������� ���������� ��������

CHAPTER 6

��� ������� ���� ���� �� ��� � ������� � ���� ���� ��� �� ������� �� ��� ��� ��� ���� ��� �� ������� ���� ������ ��� � �� ���� ����� ������� �� ����� ����� ���� � ���� ����� ���� ���������������� � ���� ��� ����� ����� �� �� ��� ��� � �� �� � �� �� ������� � ���������� ����� ������� ������� ��� ��������� � �� � �� ������� ���� �� �� �� !��� ������� ��� �� ���� ���������� ��������� ���� � ��� �� �������� ����� ���� ������ ����� ���� ��� ��� ��� �� �������� "� ��� � �� ��� ��� ������ ��� �� �� �������� ���� �� ���� ��� �� ��� ��� ��������� �� � �� ���� ���� ��� �� ��������� ����� #�� �� � ���� �$� ������� �� ������� ��� ��������� ��� ��� �� ����������� ������ ��� �� ���� ��� �� ��� �� ��� �� ������ ���� ���� �� �� ��� �� ������ ��� ����� ������� ����� ��� � ������ �� �� ��� ������� ����� ��� �� ���� ��� ���� ��� �$� ����� �

%�������� �$� ������������ �������� ����� �������� ���������������� ������� �� �� �$� �� ���������� �� ������ � ���� ����������� ���������� ��� � ��� �� ����� ������ � �$ ������������� �����������#��� ����������� ���������������� ������������ ������������������� �$���� � �������������%�� ���� ����� ��������� ���� ���������������������� ��� ��� �������� ��������� %� ���� ������ �� �������� ��� �� �$� �� $���� �$� ����� ���&��� �������� ��'�����( ������ �$����� ����$���� �� ������� ��'�����) �������� ��� ���� ���� �� �������� ��� �������� ��� ���� � � ���� � ���� "� ��� � ����� ����� �� �$���� �$� &��� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��� ���� ��� � �� ���� ���� ���� ��� ���� ����� �$� �������� ������� ��� ���� ��� �� ������� %� � ��� ������� �� ����� ��� ��� �� &��� ���� ����� ��������� ��

��� � ���� �� �������%�� �� ��������� �� �� ��� ��� ������ � �� ����� � �� � ��� �� ������� ��� �� ��������� ������ � ������ �$������ ��� �*� �� ��� ��������� ����� ����������������� ����������+���� ������ ����� �$� ��� ����������������������� ��������������� �� ������������������������ ���� �� ���� �� �� �� ���� ��� � ������ ��� "��� �� �� ������ ��� ������ �� ��� ���� �

Page 243: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� �� ������ �,��� �� �� ��� ��� ������ ��� ���� �$� ������� � �� � ��� �� ���� ������������������������������ �������� �� ������ � ���� #�� �� $��� ��&�������������� ��� �� ��� ��� �� ���� ���� ������ ���� ��� �� ������ ����������� � �������� ��&����� ��� ����������� �� ���� �� ������ �� �� �������� ������� ��� �� ���� � ���

" �� ���� �� ��$��� ����� �� ��� ���� ������� ��� �� � �$�� ������� ������ ��� �� ����� ��� ��� ��� �! $��� -�. �� "���$� � ��� ��� ������� �/! �� � ��� �� ������� ���� �� �� ����� �������� �� ���� ���� �� ���� �� ������ �� �� $ ��� ��

( )2

1MF

1 /�n

=− � �-�.

��

1 , MF 1.125

3�n= = �-�(

��� ����� �� ���� ����� �����

����� ��� ����� ������ ������� � � ���� ������ ��������

�������������������������������

�����

���

���

���������

"��� �� ����� �� ������� ���� ����� ��� ����� �� .(�01����� ���� �� ���� �� ������������ 2���*)��"� ��� ���� ������� ��� ������ �������� ������ �� �� ������ �������� ��&��� � �� �� ����� ��! $���-�(������ �������� �� ������ �������� � ��� �� ���� ��� ��� ��&����� ����� ���� ������ ���� ��� �� ������ ����������� � �������� ��&����� ��� �� ������

����� ��� ������� �������� ��� �� ������ ������ �������

�������

� �����

st| | /MF x �=

������ � ������ ���

Page 244: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

%� ��� ��� � �� �$� �� ���� ����� ��� ����� �� ������ �� ��������� ������ �� �� ��������������������������������������������� ���� ��! $���-�)��#�������������$�� ����������� �� �� ��� ��� �� �������� ��� ������ ��� ������ ����� �������� ���� �$� ���� �� ����� ��� ��� ��������������"��� ������������������� ��������������3�������� �������� ���"�� ������� �������������������������� ����3������� �� ������� �������������� �������������� ��� �����$��� ��� �� ���� ��� ������ �� ���� �� � �� �� �� ���������� '���� ������ ���������� ����� ��! $���-�)�� � ���� ��� �������������� � �� ����� #������������ �������� �� ���� �� ���$�� ��������� �� ������ ��� �������� �����$�� ��� �������� #�� �� ����������� ����� ������������������ ���� ������������ ���������������� � ����� �� �������������� �� � ������� ������� ��� ����� ������ �������� +�� ������� �� ����3� ����� � ���� ��� ����� �! $��� -�)�� � �� �� ��� ���� ������� ��� � �� ����� +� ��� ���� ���&��3� �� ��� ��� ����� ����&��� �� ��� ���� ���� (0��4�� ���� �� ���� ����� �� ���� ��&����� ����������� ����� �� ���������� ����� �� ������� ��� ������� ��� �������� ���������� ��� ���� ���� �$�

����� ��� ������ ��� ������ ���������

��� ���������� ���

��� ��!� ������ "�� �����

Page 245: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

5���� ����� ��� �� � �����3�� ��� �� ��� ��� �������� � � �� ����� ����� ������ ��������������� ��� ��������� %� � ��� ������� �������� ��� ��� � ���� ��� � ��� ��� �� ��������� � ��� �������� ���6���� ��� ���� � � ��� ���� � ���� ���� ���� ��� ��� � ����� ��� ��� ��� � ��������� ������ � ���� ��� � ��� ������� ��� ��������� ����� � �� ���� �$� ����� �� !�� � ���� ������������� $����������������������� ���$ ������������������&��� �������������� ��� �� ���������� #�� �� ���� ����� ��� ������ ���� �� �� $��� ��� 3���� �� ���������&��� �� ������ ������� ���������� �$���&��� � ������������� ������� ��������$ �� ������������ ���� ������������&� �� � �� ������� �����$������������� � ��� ��� &� ������ � ��� � ���� � ������ �� ��� � ���� ��� �������� ���� ��� ��3� ��� ���� ��� ��� ��� ����� ������� �� ������� ��� ���������� ���6���� ��� � �� ������� ������

7���� �$� ��� �� � ���� ������ ��� �� � �$�� ������� ������ �! $��� -�. ���� ������ ����� ������ �������� ��&����� �� $ ��� ��

2 1 d n� � �= − �-�)

����� �� ������ �$� ��������8����������� ������ ����� � ��99�.��!���������� ����2�:�.� � ��.:1� �� � ���� ���� �$ �� ��� 2� :�;;0���� ���� ���� ����� ����� ���� �������� ��� �� ���� #�� ���������������� $�������� �$� ���������� ����������������&��� ���������������������� �� �������� �� �� � ������ ���� ��� ��� �� ���� �$� ������ �� �� ������ ���� �� � �� ������ ���� �$�� �� �� ��� �$� �� ����� �� �������

! � �� ����� &��� ���� ��������� ��� �������� ��� �� �������� �� ���� �����$���� ������ �� &��� ����� ������� ����� �� ������� ��$��'�����( ��%�������� �� �� ��� �������� ��� ����� ��� &��� ���� �� �� ����� ��� ��3� ������ ���� ������ �� � � �� ����� ����� ��� ���3� �����&��� ����+������ �������������������$������������ �� � ���� ���'�����) ��� �� �� �� � � �� ����� ����� �� &��� �����%�� ��� � ������ ���� �������� ���� ��� ���������

��� ����� ��� �� �� �� ����� �� ����� ��

����� ������ �������������

"�$���� �$�&��� ��� ���� ����� ���� ���� �������� ���� ����� �� �$� ������� ��&� � �� ����� �� � ����� ��� ���� � �� $ �����

2 2

2 2

u uAE A

x t�

∂ ∂=∂ ∂

�-�<

=� �$� �� ��� &�� ��� ������ ��� ��� ��� ����� ���� ����� �$� ����� �� � ���� ���� �� ��

���� � 2� ��� ���� � �-�0

����� ��� �$� ����� >&�� �-�0 � �� >&�� �-�< �� �� ���� �

22

2 0

d UAE A U

dx� �+ = �-�-

������� �� ��� ����� � ������ � � ���� ��� ���

Page 246: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

"�% $���7� ����� �%7 � �������� ���� �� �� ���� ��

22

20( ) 0

L d UW x AE A U dx

dx� �

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ �-�?

#��$��� �$� ��� ������� �� ��3� ����� ��� �� %7� �������� ���� �� ��� ���� ��

2

0 00

( ) ( ) ( ) 0L

L LdU dU dWW x AE AE dx W x A U x dx

dx dx dx� �

⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ �-�@

%����������� ��� ���� ������������ ��� ���� ���>&���(�;? ���������������� � �������� ����� �$� ������� ��� ��� � ��� � � ������� !��� �� � � �� ��������� �� ��$����� ���������� ���� ��� ����� ���� ��� ������ ��� �� ���� ���� ���� ������

%� � ��� ���� ������ �� �������� &��� ���� ���� �� � �$�� ������ !��� �� ��� ���� �������� �! $��� -�< �� �� ��� ���� ����� ���� �� ��� ������� ��� ������� ��� ��� ����� " �������� ��� ����� ���� ��� $ ��� ��� >&�� �(�.(- �

1 2( ) 1 x x

U x U U⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � �-�;

��

��

��

��

#�

����� ��� �������� ���� �������

!����� �$� �� A���3 �� �������� ���� �� � $�� ����� ���� ��� �� ���� ��� �� ���� �������� �� � ����� ����� ��� �� ��

1( ) 1 ,x

W x�

= − 2 ( ) x

W x =� �-�.:

%� � �$� �� ��3� ����� &��� ���� � �� ������ ������ �������� �� ���� �� ������ >&�� �-�@ �

22 10 1 2

0 0

1 1 1 0

U U x x xP AE dx A U U dx� �

⎡ ⎤− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫� �

� � � � �

�-�..

22 11 2

0 0

1 1 0

U U x x xP AE dx A U U dx� �

⎡ ⎤−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫� �

� � � � � � �-�.(

��� �� ������� ��� ( / ).AE dU dx

��!��� ! �

Page 247: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

%� ���� ��� �� � �� �� ���� �� ����� ��

0 001 12

2 2

0 0

1 1 1 1 1

1 1

1

� �

� �

� ��

� � � �

� � � �

x x x xdx dx

PU UAEA

U UP x x x xdx dx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎡ ⎤ −⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫�-�.)

5�� ������ �$� �� ��$������ �� ���� �� �� >&�� �-�.) � ��

201 1

2 2

1 1 2 1

6 1 1 1 2

PU UAE AL

U UP

� �−⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦�

��-�.<

%� ��� �� $����� �� ����� �� ������ ���� �� ��

1 1[ ]

1 1

e AEk

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦�-�.0

%� ���� �� $���� �� ����� ����� ���� �� ��

2 1[ ]

6 1 2

e Am

� � ⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦�-�.-

%������� ���� ������������� ������ � ���� �� � ����������� ��&��������� ��������� �� ������ >&��� ��� �-�.< � ���� �� ��� ���� ��

0 2[ ] { } [ ] { }

e e e eP

k mP

� � �

−⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

�-�.?

��� B� C�� ����� ��� �� ������ ������"� ����� ����� ���� ��� ���� �� �������� ������ �$� ������� �� ���� �������� ��

������������� ���������� ����� ������� ���� ������������������ ���������������������������������������� �������������������������� ������� �������� ���� ���&��� ��

D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.@

��� D� E� ���� D� E� ������� �� $������� �������� �� ������ ������������� ���� ����� �������B� C������ ����������������������" �� ������� ���� $��������������������� ���� ������� ����� ��� ��� ���� &��� ���� �� ��� ��� -�@�

����� ������������ �������������

"� $���� �$� &��� ��� ���� ��� ��������� � ���� ��� ��� �� ��������� ��� ��>���FG������ ����� ����� �� �$� �� ����� �� &� � �� ������ �� � ����� ��� ���� � �� $ ��� ��

������� �� ��� ����� � ������ � � ���� ��� ���

Page 248: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

4 2

4 2 0

v vEI A

x t�

∂ ∂+ =∂ ∂

�-�.;

=� �$������ &����������� ��������� �������������� �$������ ��� ���� ��������

���� � 2� ��� ����� �-�(:

����� ��� �$� �� >&�� �-�.; �� �� ���� �4

24

0d V

EI A Vdx

� �− = �-�(.

"� %7� �������� ���� �� �� ���� ��

42

40( ) 0

L d VW x EI A V dx

dx� �

⎡ ⎤− =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ �-�((

5�� ��$��� �$� ��� ������� �� ���� �

3 32

3 30 00

( ) ( ) ( ) 0

LL Ld V d V dW

W x EI EI dx A W x V x dxdxdx dx

� �⎡ ⎤

− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ �-�()

5��� �$� �� ������ �$� ��$��� ��� ��� ������� �� $�

3 2 2 2

3 2 2 200 0

2

0

( )

( ) ( ) 0

L LL

L

d V dW d V d V d WW x EI EI EI dx

dxdx dx dx dx

A W x V x dx� �

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− =

∫�-�(<

!��� �� ��� ����>���FG������ � ��������� �! $��� -�0 ���� ��

��� � 2� ���� H� ���� H� ���� H� ��� �-�(0

����� ��� �������� ����!"�������� ����� �������

��

����

��

��$� �

��$� �

��� ��� ��� ������ �����$ ��� ��>&���<�..? ���������������������������������I

��2� .� !� )��*��� H� (��*���

�� 2� �� F� (��*�� H� ��*��

�� 2� )��*��� F� (��*���

�� 2� F��*�� H� ��*�� �-�(-

Page 249: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

!����� �$� �� A���3 �� ��������� �� ��� ��� ���� ���� ����� ���� ��� �� � $������ ���������� ��� �$� �� ����3� �����D>&�� �-�(< E����������� �$� �� ��$������ �� ����������������� $� �$������ ������������� ��������� ����$���� �$�&��� ������������������� ���� �� � ���� ��� ����� �� D>&�� �-�(< E� ��� � � ���� ��� �������� ��� �� �� ���� �����D>&���(�.:) E������� ��������������������������� � �������������� ��������"��������� �� ������ ��� ���������� ��� �� ������ �$� ��$����I

2 3 2 3

1 12 3 2 30 0

2 3 2 3

1 22 2 3

2 3

22

1 1 2

3 2 3 2( ) ( ) 1 1

2 3 2

156 22 54 420

x x x xAW x V x dx A V

x x x xx V

x xdx

AV V

� �

��

� �

� � � �

� � � �

� �

��

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

= + + −

∫ ∫

[ ]213 �� �-�(?

2 3 2 3

2 12 2 30 0

2 3 2 3

1 22 2 3

2 3

22

21 1 2

2 3 2( ) ( ) 1

2 3 2

22 4 13 13420

x x x xAW x V x dx x A V

x x x xx V

x xdx

AV V

� �

��

� �

� � � �

� � � �

� �

�� � � �

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

= + + −

∫ ∫

( )2�

[ ]

2 3 2 3

3 12 3 2 30 0

2 3 2 3

1 22 2 3

2 3

22

1 1 2 2

3 2 3 2( ) ( ) 1

2 3 2

54 13 156 22420

x x x xAW x V x dx A V

x x x xx V

x xdx

AV V

� �

�� �

� �

� � � �

� � � �

� �

�� �

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

= + + −

∫ ∫

�-�(;

�-�(@

������� �� ��� ����� � ������ � � ���� ��� ��

Page 250: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

2 3 2 3

4 12 2 30 0

2 3 2 3

1 22 2 3

2 3

22

2 21 1 2 2

3 2( ) ( ) 1

2 3 2

13 3 22 4420

x x x xAW x V x dx A V

x x x xx V

x xdx

AV V

� �

�� �

� �

� � � �

� � � �

� �

�� � � �

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎪= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

⎡ ⎤= − − − +⎣ ⎦

∫ ∫

�-�):

7�� � �$� �� ����� ������ �� ������ �� ���� �� �� >���FG������ � ���� ������������� �� ��

2

2 2

156 Symmetric

22 4[ ]

420 54 13 156

13 3 22 4

e Am

� � ��

� � � �

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

�-�).

%������� ���� �� ���� � ���� ��� ����������� �� ��������� �$� ��� �������� ����� ������

viz. (156 + 54 + 54 + 156)420

� �A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� ���� ��� ��� ���� �� ����� ��� �� �����

#������� ����� �� ����������� �� ����������� ��������������������� �� �������������������������������� ��� �� 6���� ������������������� ��� � ���� ��������� ��� �� ��� ��� <�-�

%���� �������������������� ������� � �������&��� ��������� �$��������$���� �$� ����� ��� &��� �����%� ����� ���� ��������� ��� ��$�� ����� �������� ����� ���J�$���$K�&��� ���� ��� ��� ���

��! ����� ��� �� �� �� "� �#� $�#���#�%�� &''���("� &��� ���� ��� ��� ��� D�$�� >&��� �-�< � ���� �-�.; E� ���� �� �� ��� ��� ��� ��� �� ���� ���� ������������� ���������������������� ����� �����������8����K��������J��������� ���/���� �� � �� �� �� ����� ��� ��� ��� ��� ��$�� ����� ����� ���� J�$���$K�� &��� ���L������ ��� ��� ��������� ����� #�� "� �������� �� 3 �� �� ��$�� ��� �� ������ ���� �� �������

L%&������������������������� ��������'�� ���(���������������������� ��"�������������� ���&��������������� ������������ �� ������"�#�����)����'��*� �"����)�*�+ �,-.�)�/,�0� !)��123�����#��� ��� �� ��������������4�)� ������� � ��)�*�+ �,-.�)� /,�0� !)� �135�

Page 251: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� �����$������J�$���$K��&��� ���������� ��� ���� ��������$���� �������� ������ ��� $ ��� ��

+ = q

d T TF

dt q q q

�⎛ ⎞∂ ∂ ∂−⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠� �-�)(

��� # M�� �������� �� $���� ��� ����� �� �� ����� ���� �� ���� q� � 2� ��*���%�� ��� ��������� ��������J�$���$K���������� ���������� �$� ��&��� ���������� ��

����$� �� ������ �$� � ���� ������

���������� '��� ������������������� �$����������������� ��! $���-�-N����� ��������� ��� �� �������� $���� ��� ����� ������ "� 3 �� �� ��$�� ��� �� ������ �

2 21 1 2 2

1 1

2 2T m x m x= +� � �-�))

�� ��

�� ��

�� �� ��

����� ��� �# ������ ������� $ %������ ���&�

"� ����� ��� ��$�� ��� �� ������ �� $ ��� ��

2 2 21 1 2 1 2 3 2

1 1 1 ( )

2 2 2k x k x x k x� = + − + �-�)<

!��� ��������� ��J�$���$K��&��� ��������������� �� ���� ��� ������"� ���������������� ���� 1x� � ���� 2x� �

1 1 1 11 1

, T d T

m x m xx dt x

� ��� �

⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2 2 22 2

, T d T

m x m xx dt x

� ��� �

⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠�-�)0

1 2

0, 0T T

x x

∂ ∂= =∂ ∂

1 1 2 1 21

( )k x k x xx

�∂ = + −∂

3 2 2 1 22

( )k x k x xx

�∂ = − −∂

������� �� ��� ����� � ��� �� #��� ��$�� �%%���& ���

Page 252: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

����� ��� �$� �����>&�� �-�)0 � ��>&�� �-�)( ���� ���� �� �� �&� ��� &��� ���� ������ ��� ��

1 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( )m x k x k x x F t+ + − =��

2 2 3 2 2 1 2 2 ( ) ( )m x k x k x x F t+ − − =�� �-�)-

���� �� ���� �� �����

1 2 2 11 1 1

2 2 22 2 3 2

( ) 0 ( )

( )( ) 0

k k k mx x F t

x x F tk k k m

+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎣ ⎦

��

���-�)?

����� ���������������������������� ������

=� �$����������������������� �������������� ����� � ����������� ��������������� ��� ���� ��� ���� �� �� ����� �� ����� ��� �� ������ �������� ��

B�C� 2� D EB�C� �-�)@

O ����� �� �$�� �� � ��� �� ���� ��� ��� �� �� ��� �� $ ��� ��

{ } [ ]{ }ed N �= �� �-�);

������������ �� ����� ���� ������ ����� ������������ ����� ����������� �������� �������� ��� ������ � �� ���� ����� ���� { }e

�� �������� ������ ���� � ��!��� �� � ���� ������ �����

1

2

{ } 1 ux x

d uu

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞= = − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭� ��-�<:

1

2

{ } 1 ux x

d uu

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞= = − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

�� �

� � ��-�<.

!��� �� ���� �����

[ ]

1

11 2 3 4

2

2

{ }

v

d v N N N Nv

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

�-�<(

[ ]

1

11 2 3 4

2

2

{ }

v

d v N N N Nv

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

�� �

�-�<)

Page 253: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

!���������� ��� ���������������� ���������������� �� ���������������������

1

1

2

2

{ } [ ]

u

vu

d N uv

v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭�

�-�<<

1

1

2

2

{ } [ ]

u

vu

d N uv

v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

��

� ��

�-�<0

��� �� � 4� ��� D E� ���� B�C�� ����� ��� �� ���� ������ ����� ��$�� P���<�� P���@�� ��� ���� � ������� ��'����� 0��"� 3 �� �� ��$�� ��� ��� ��������������� �� 2����� �� � �� ������ ��$ �����

21 1 ( ) (velocity) = { } { }

2 2e TdT dm d d dV�= � � �-�<-

=� �$� >&�� �-�); �� �� ���� �� �

1 { } [ ] [ ]{ }

2

Te e T edT N N dV� � �= � � �-�<?

!��� ������������ ��3 �� ����$�� ������ ������ ��$��� �$����� ����������������I

1 { } [ ] [ ]{ }

2

Te e T e

vT N N dV� � �� �= ∫ �-�<@

� ����������� ������� � ��B�� C��������������������� �������� ���� � ���������������� �� ��3�� ���� ��� �� ��$����� ���� ��

( )1 { } [ ] [ ] { }

2

Te e T e

vT N N dv� � �� �= ∫ �-�<;

1 { } [ ] { }

2

Te e e eT m� �= � � �-�0:

�� ( )[ ] [ ] [ ]e T

vm N N dv�= ∫ �� �� ���� ����� ����� ���� �� ���� �� �����

������� �� ��� ����� � ��� �� #��� ��$�� �%%���& ���

Page 254: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

!��� �� ���� ����� � ��� ��� ��� � � �� ����� �� �� ��

NOELEM

1

eT T= ∑ �-�0.

��� �85>J>/�� �� �� ������ ��� ������"� ������ ����� ��� ��$�� ��� �� ������ ��� ������� ��� ���� ��� �� '����� 0� ���� �

��������� �� ����� >&�� �0�.:0F0�.:- I

NOELEM

1

1 { } [ ] { } { } { }

2

T Te e e e ep k f� � �� ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ �-�0(

#������ �$� �� ������ ��� ���� ���� �� ������ ��� ��� ��������� �������� ��� � � �������� �� ���� �� �

1 { } [ ]{ }

2TT M� �= � � �-�0)

1 { } [ ]{ } { } { }

2T TK F� � � �= − �-�0<

��� B� C� ���� { }�� ����� �� �� � ��������� ���� ���� � �� ���� ���� �� ����� ��� �� �� ���������N� D$E� ���� D�E� ��� �� �������� $������ �� ������ ���� ����� ���� ��N� ���� B#C� �� ��������� $������ ������ ����� ������

"� �&� ����� ��� ��

0, [ ]{ }, [ ]{ } { } { } { }

T T d TM M

dt� �

� � �

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠� ��

� � �-�00

���� �� ������� ���� ������ ��� �� J�$���$K�� &��� ����

[ ]{ } { }{ }

K F�

��

∂ = −∂ �-�0-

����� ��� �$� �� J�$���$K�� &��� ���� ������ ������ ���� �

[ ]{ } [ ]{ } { } {0}M K F� ��� + − = �-�0?

��

[ ]{ } [ ]{ } { }M K F� ��� + = �-�0@

��� �� $������ ����� ���� ��� �� ������ ���� �� ���� ����� ������� ��� ���� ��� ������ �$� ������������������ �� � ������������������ ����"��� ���������� ������������������������������������ �� ������� ������������!�������� �������������������� ��� ������������� ����������� ���� ��������������������������� ��������������� ��������� �������������� �� ��>&���-�0@ � �������� �������������� ���"����� �������������� ������ �� ��� ������ ��� � ������� �� �� ������ �$� ��� ���

Page 255: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� !����������"���"���#��� ������������������

���� �����

0

1

[ ] [ ] [ ] 1

2 1

6 1 2

� �

� �� �

e T

v

x

x xm N N dv A dx

x

A

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

�-�0;

" ��&��� ��� ���������������$ ������>&���-�.- �� ���������� ����� �$�����3������

����� �����

[ ]

1

2

1 2 3 40

3

4

[ ] [ ] [ ] e T

v

N

Nm N N dv A N N N N dx

N

N

� ��

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫�-�-:

��� �� ���� ����� ���� ��� ��� �� ���� �� ��� $ ��� �� >&�� �-�(- �+���� ������ �$� ���� �� ��$��� ����� �� �������������� �� �� ���� ��� ��

2

2 2

156 Symmetric

22 4[ ]

420 54 13 156

13 3 22 4

� � ��

� � � �

e Am

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

�-�-.

� �� �� �� ���� ��� �� ����� ���� �� $ ��� �� >&�� �-�). � ���� ��� �� �$� �� ��3� �����

������������ ������

#��$������ �� ���� ��������������� ��������������������� ����������������������� ��� �$

[ ] [ ] [ ]e T

vm N N dv�= ∫ �-�-(

!���������� ������P���@����������� D E������"���� D E�D E�� ������� �.-���.- ����� ��>��� �������������������� ����������������.)-� ��$����Q�#���� ����������������� ������������������ ������ �� ���������������$�����% �������� �$����� ���� ��$��� ���

������� �� ��� ����� � ��� �� #��� ��$�� �%%���& ���

Page 256: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

�� ����� �� ������� ���� ���� ��$����� ������ D E�D E� ���� ��� ������ "� ����� �� � ��$����� ������ �� ���������� �� D��>&�� �0�.:) E������� �� ���� D%E�D&ED%E��������� � ��� ��D%E�������� ����� ��� ������D E��"�������� $����$��������� ������� ������������ �� ����� ��� �� ������� ��� �� �$�� $�� ���� ���� ���� �� ���������� ��� "��� �� ����������A�����&���������������������&������������������� �����������������������������

��) *�� ������ ��� $��'�� ����� ���� ���"���������� ����� ���������������������������������������� ������������������ ����� ���� ��� ���� � �� �� ������ ���� ���� #�� ��� ������ ���� ��� ��� ����� �� ����� ������ ���������� �������������������� ���������������&� �������������� ���������� ��� � �� ���� �$� �� �� ���� ���� ���� ���� ���� ������ �� ! $��� -�?�

'��

���

(� (�

����

���#

���#

���#

���#

����� ��' (���� ������� ���� ���� � � ����� ��������

/����� ������� �� ��������� �$� ������ ����� ���� ��� ���� �� �� ���� ��

� � � � � lumped

02

[ ]

02

e

A

mA

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

����� �� ���� ���� �-�-)

lumped

0 0 02

0 0 0 0[ ]

0 0 02

0 0 0 0

e

A

mA

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

����� �� ���� ���� �-�-<

Page 257: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

!���� �� ���� ����� ������ ����� ���� ��� �� ������ ���� �� ��� ��� $��� �������� ������� ��� �� ��� ��������"������ ���� �$� ��� ���������� ������� �� �� � �$������������� ��� �� ���������� ������������������$�����"� $�������������������� ������ � ���� ��� �������� ��� ��� ������ ���� �� ��� ��� ��� -�@ � ���� ����� �� �������������� ���� ������� ������ �$������� �������� �������� ��� ����������� ���-�; ������������������� ������� ���� ���"������ �$�������������� ��� ����������������������������� ��� �������� �� � ��� ����� ��� ��� �� ��� �� ��������������� �� ����� ����� ��� � ������'�� ���� �$�������%�� ����� �������� ��������������������������� ������� � � ��������������� ����

��$�� %�&�'��(��)�*#+���

"����� ��� ��� ��� ������ �� ���� ���������������� �$�������������� ������ ������������� �� ���� ��� ����� ��� �� ���� ������ ���� �� ����������� ��� �� ����� �� �������!��� ������� ���� �� ���� ������ �� �7R� ������ ����� ���� �� ���� �� �� ���� ��

HRZ

1 0[ ] =

2 0 1

e Am

� ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��-�-0

% �� ������ ��� �� ���� ����� ������ ����� ���� ��� �� � ���� �� �� �� � �$���������� ��� �� ���� ����� ����� ���� �� �>&�� -�). � ��� �������I

2

diag.

2

156 0 0 0

0 4 0 0[ ]

420 0 0 156 0

0 0 0 4

e Am

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��

�-�--

"� ������ ����� ���� �������� �� � �� ���� � �� ���� ��� ��� ���� �$� ���� �� � �$����

������ ��������� �$� ��� �������� ������������ ������ ��� ����"�����$��420

A� ��.0-�H�.0-

2�312

420

A� � ��� ����� �������������� ������� �� A� � �� ������ �$�������� �� 420

312��%�����

���� �� � �$����� ������� �� � �� ����� ������� ��� $����� ���7R� ��������������� �� ����� ���� ��

2

HRZ

2

1/2 0 0 0

0 /78 0 0[ ]

0 0 1/2 0

0 0 0 /78

em A�

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��

�-�-?

)� ����� �� � �� #��%��� ����� ������� ���

Page 258: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

� ���� ��� � �� ���� �$� ���� �7R� ���� �$� ����� ���� �� ��� ��� ���� �� ��� ����� ��� �����������������!����������������P���@����������7R������� ��� ��� ���� ��� ��� �� ����� ���� �$� ��� �� ����� ��� ����� �� ! $��� -�@�

36

m 8

36

m

36

m

8

36

m 8

36

m

8

36

m

36

m

36

m

����� ��) *+,� ����� � ����� �����%� ���� -�� )� ������� $���� � �� � � �� .����� /�� ������&� � � � � � � � � � $�� 0� ������ ����� ��� �1�� ������&�

%�� ��� ���� ����� �� ��� � ���� ��� � ���� ��� ��������� #�� �� ������ �$� ��������������� �� � ���� ��� �������� ��&��� �� ���� ��� �� �$� ���� ���� ����� ���� ������ �������� ���

�������� � '��� ��� �� �� �������������� ������� �! $���-�; � ��� ��$��(����������� ����� ��� ���� S���$K�� �������� ���� ��� ��� ��� $ ��� ��� )� ���� ��� >�� ���� �� ���������&��� �� ��� �� ��� � ���� ��� ��� �� ���� �� �$� ���� ���� ����� ���� ������ ����� ���� ���

������ ��2 3� ������� ���� $ %������ ���&�

=� �$�6�������������������� ������� �����2�( ������� �$���������������� �������

1 12lump

2 2

101 1 2

1 1 1

02

u uAEA

u u� �

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

��

�-�-@

#�� � �� ��� �� ��������� ���� � ��� ��� ���� .� ���� 2� : �� �� ��

22 lump 2

2

AE ALu u

L

��= �-�-;

Page 259: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����

lump 2

2 1.414

E E

LL�

��= = �-�?:

% �� ��� ����� ���� ���� ����� ����� ���� ��� �� ��

1 12cons.

2 2

1 1 2 1

61 1 1 2

u uAE AL

L u u

��

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�-�?.

���� � �� ��� 2� :�

( )22 cons. 2 2

6

ALAEu u

L

��

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠�-�?(

"�����

cons. 2

3 1.732

E E

LL�

��= = �-�?)

"� ����� ����� ��� ���� �� ����������� ��&����� ��� �� � ������ ���� �� $ ��� ��1.571 / .�E �"������� ���� ������ �������������� ������� ������������ �������������� �� ������ ������ �� �������� ��&�����

#���� ������� �� ������������� ��� �� 2�L*(�� �� ! $��� -�.:���� $�� �� ������ �$������� � �� ������ ���� ���� ����� ����� ���� ���

� ����� ���4 �5�#������� �� ��� ��� �� ���� $ %������ ���&�

� #

� 6#

��� �� ���� � ����� ����� �����

"� �������� &��� ���� ���� �� ��� ��� �� � �� ��� �� $ ��� ��

1 1

22 2

3 3

1 1 0 1/2 0 0

1 1 1 1 0 1/2 1/2 02

0 1 1 0 0 1/ 22

u uAE L

u A uL

u u

� �

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

�-�?<

% �� ��� 2� :� ���������� ���� � �� �� �� ��

2 22

3 3

2 1 1 02

21 1 0 1/2

u uAE AL

L u u

��

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�-�?0

)� ����� �� � �� #��%��� ����� ������� ��

Page 260: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

��

2

3

2 1 0

0 1 1 ( /2)

u

u

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

�-�?-

���2

2 4

L

E

�� �= �

!��� �� ����� � ��� ����� ������ ��

2 1 0

1 1 ( /2)

− −=

− −� � �� �$� �� 2� :�0@-� �� 2� )�<.< �-�??

"��� �� �������� ��&��� �� ��

11.531

E

L�

�= � 2

3.695

E

L�

�= �-�?@

��� ��� ���� ������� ����� �����

=� �$� ���� ����� ����� ���� ���� �� ���� �

1 12

2 2

3 3

1 1 0 2 1 0

1 2 1 1 4 1/2 12

0 1 1 0 1 2

u uAE AL

u uL

u u

� �

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�-�?;

=� �$� ��� 2� :� ���������� ���� � �� � ����2 2

24

L

E

� �� = �� ���� ����� � ��� ����� ���� �� ���� �� �

&��� ��

2 4 1 0

1 1 2

� �

� �

− − −=

− − −�-�@:

5�� ���� �$�� �� $�� �� 2� :�.:@� ���� �� 2� .�)(�� "��� �� �������� ��&��� �� ��

11.61

E

L�

�= � 2

5.63

E

L�

�= �-�@.

"� ����� ����� ��� ���� �� ��� ��� �� � �� ��� �

2ii E

L

��

�= � �� 2� .�� )�� 0�� ��� � �-�@(

Page 261: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

"���

1 2

E

L

��

�= �

23

2

E

L

��

�= �

35

2

E

L

��

�= �� ��� �-�@)

%�������������$ ������� �������� ���������������������� �� � ������������������������� �� � �������������������&��� ���5���� � ������������� ������������6���� ��� �������� �������� ���� ���� � �� ���� ������ ��� 6���� ���� �������� ������� "���� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ���� �������� ��&��� ��� ���� �� �������� ���� ������������������� �����+������ �������� ��������������� � ������������ ���������������� �� �$��������������������� ���� ���������� ��� $���������� ��&��� �� ������"��������� ��� ��� ���� �������� ��&��� �� ����� �������

"����-�.��������������� ���� ���� ������������������� ��������������&��� �������� �� �� ���

������ ��� 6������� ���/������� ��� �� ��%� #����� "��

�#� $� � �)��� $� #��� ����� /7��)��� $� 52��� !�7��)��� $� 6�� �� ����� ���

6�� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � ) � � � � � � �� %���(� �

� ��8��� �#68�� �#9#�� �#92�� �#38�� �#39���613�� �#11�� �#2��� �#58�� �#32�� �#33�� �#39�1

� #152�� 68#��� 692#�� 6586�� 6528��8965�� 8�22�� 8��1�� 6296�� 62�#�� 6515�2

� 835��� 9633�� 3�52�� 3#33��5915�� 56���� 3923�� 3616�� 36#1�3

� 36�1�� 2�2��� 2322����)93��� 1936�� 1�65�� 223��9

� ��)����� ��)�6����#)29��� ��)55��� ��)616�6

#��������������������� �� ���������&��� ������ ���� ���������������������������� �� ��&��� �� ���� ��� � �� ���� ����� ����� ���� ����%� ������ ���� ��� ������ ������ ���� �� �� ����� ���� ����� ������� ��� �� ��&��� �� ���� �� ����� ��&����� �� ������� #�� ������ ����� ��������������� �� D�E�� �� ���������$���� �� ������������ �$����� ��������� ���� ��� ��� ��Q

������� ��� '��� ��� �� � ����� ��������� ����� ����� �� ! $��� -�..�� J�� �� ��$�(�2�.�:����)�2�(���.:���8*��N����������������� ������2�):����N���������� ��� ��*�2�.::����N��� �����2�?@::�3$*����%�� ������� �� ��� ���� � ���������� ��&��� ���� �$� �� ��� ������� ����� ���� ���� � 4��� � ���� ������� �7R� ������� ���� ���� ����� ����� ���� ���"���� -�(� $ ��� �� �������

�)� �� � &���)� '��*� �"����)������ ��� ��������� �� ������)� #��� ��)�*�+ �,-.�)�/,�0� !)� �123�

)� ����� �� � �� #��%��� ����� ������� ���

Page 262: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

%�������������� ������������������� ����� $���4���������� ��� ���������������� ���4��� ����� ���� �� ������� "������ �� ��� ���� ���� �������� ��&��� �� ��� ��������"��7R����� �$�������������� �������� $� �$�������� �������� ����� ��� ���������������������������� ���� �������� ��&��� �� ��� �� ����� ���� �������������� ���+�$�������� ���� �$� ����� �$�� �� �7R� ����� �� �������� ������� �������$����� ������� ���������� ���� ��� ������� ���������� ����

"� ����� ���� ����� ���� �� � ����� ��������� ���� ��� $ ��� ��

2( ) sin i

i xv x

AL L

�= � �� 2� .�� (�� )�� ��� �-�@<

"�� ����������������������� ��������� ��! $���-�.(��% � ���������������� ������ ���� �� �������� ��� ����� ���� ���� ��� �� ��� �� ��� �� ���� "���� ��� � �� $�������� ���� ������ ��� ��� ��� �� ���� ���� �� ��������� ���� �� ���� �� ������ �����<1� ����� �� �� �������� ��&����� �� �$� ���7R� ������������ "� ��� � ��������� ���� ��T�� �� �� �� � ����� ����� ���* �������� ��� ����� ���� ����� ������� �� ����� �� � ��� �� �� � �$� �� � ����� ��� � � �� �������� �&� ��� ���� ����� ��� ��������

����� ���� ������ �������� � ����� $ %������ ���&�

������ ��� 6������� ���/������� �.:�� ��� �� ������ ������� � "���

��� � �������)� ��� �� ��� �,� ��"�� ��� ����� �������� ,���� ����� ������)��� ������ �,� ,���� .;<� ������)� ���� ��� ��� �� �,� ,���� ���������� ����� ��� �&��

� � � � � � � � � � 6��� ��� ������� � � � ) � %���� � � � �(� �

� �8�8# �8�9# �8�9# �8�9#�8�#� �8�83 �8�9� �8�9# �8�9#�8�92 �8�96 �8�9# �8�9#

� 95�35 92��5 92��1��8�6 93�28 95�28 92��6 92���38�85 92�6# 92��� 92��1

� �##�8 �6��9 �6��5�81�# �#��# �#1�6 �6��8 �6��59�3#�� �66�� �6��1 �6��5

� #6��5 #6#�6�2��� 8�3�# ##5�8 #6��8 #6#�89#19�9 #95�1 #66�6 #6#�8

� 698�5 63#�282��6 682�� 63��3 636�#�8�1�1 633�8 636�6

Page 263: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ��� �� � ��� �������� ����� ��� ��� � ���� �� �������+���� ���� � � �� ����� �������� ���������� ��� ��$���� �$�&��� ������

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}M X C X K X F t+ + =�� � �-�@0

#�� ��������� ���� ���� ���� ��� ������������ ���� �$�B#C�2�:��������� �$�����$� $ ������� "������ ���� �������� ��� � ���� ��� ��������

[ ]{ } [ ]{ } 0M X K X+ =�� �-�@-

+���� �$� ����� �� � ���� ��� ��� �� ��&��������� B+�C� 2� B��C� � �� � ����� ��

F� i�D� EB��C� H� D� EB��C� 2� : �-�@?

��2

1 1[ ] { } [ ] { }n n i n i n n i nK U M U�× × × ×= � �� 2� .�� (�� ��� � �-�@@

" �� �� �� ��� �� &��� ���� �� ���� �� ������ $���� �$� �� �������� ��� � ���� ��� ��� ����������� A ��� �� �� ������ ���� ����� ���� ��� D� E� ���� D� E�� �� ��� ��� � ��� �� ���������&��� �� ��� ���� ���� ����� B��C�� �� 2.�� (�� ��� ��� "�� ������� ���� �� ������� �� ������� ��� ��� � ���� ��� ��� �� ������� ��� ���� ����� ������� ��� ��� ��� $��������� ��� $������� B��C�

>&��� ��� �-�@@ � �� �� ��� �����&��� ���� �� ���H�. � ��3������� � 4���� �� ������ ������ ��B��C�� ��� �� �� &�� ����� ��� ������� �� ���� ����%� ����� ��� ���� ��� ��� ���� �� ��� ��� �����������B��C��"��� ���������������� ��������� � �������� ������ �������� �� �� �� ��� ��� $������� B�C�� ���B�C� �� �� : � �� ����� ��� $�������

#�� �� ��� �� ���������� ���� ��� � ��� �� �� ��� ��� �������� ��&��� ���� �������� ���B� C�� #�� �� ��������� �� �� ��� ��� �� ��&����� ���� �� ������ � ����� ���� ���� �� ��� ����� ���� � ��� ��� ����� ��� ���� ����� ��� $ ��� �� �� ���� ���� $������� B��C�� !��������� �� � ���� ���� ��� �� � ����� ��������� ���� ������ �� ��� ����� �� ! $��� -�.)�

����� ���� ����1� �� �� �1���� ��� �� ������� �������� � �����

5( ) sin

xx

L

�� =

����� ���� ������ �� �� �1���� ��� �� ������� �������� � �����

( ) sinx

xL

�� =

���� ��� �� ���� ����� �� ������� �� ��� ������ � ������ ���

Page 264: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

#�������� ���������� ������������������������ � ��������������� ����� ��� ����� ��� ����� �� �� ������ �$� &��� ��I

1

1

2

2

3

1

3

4

4

5

5

0

1

0.707

0.707

1{ }

0

0.707

0.707

0

1

v

v

vU

v

v

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭

�-�@;

"���������������� �� ����� ������ ������ ��������� ���� ����� 4����������������� ���� �� ������������ ������������������������ �����"������������� ��B��C������ �$ ��2�.:��� ������������ ���������� ���������������������������������"������ ������� &����� ����������� ���� ����"��������� �������������������������������� �$��� ���� ��� � ������ ����� ���

+������������ ������ �$�������������&����������������� ������� ���������������$ ������ � � ���� ���������������� ���������������� �$���������� ������ �����$ ��� ������� ����� ���� ���� ��� ���� �������� �������� ��� ���� �������� ���������� ��&���������������� ��� � �$�������� ������ �����

� ��� �� � � �� ����� ��� ��� �� ��������� ��� ���� �������� ���� ����� ������ � ��� ��� ��� ��� �������� ��&�������� ���� ���� ���� B��C� ��� 2� .�� (�� U�� � �� #�� �� ��� �� ����� ������� �� ���������� � �$� �� ���� ������ ������� ��� �� � ��������� �������� ���� ��� �� � ���������������� ��&��� �� �������� ������"��� �� �� ������ ���� ���� � � �� ���������� ����������������������������������� ��������"�$���������������$���� �$&��� ���� ���� �� �������� ��� � ���� ��� �� $ ��� ��

21 1[ ] { } [ ] { }n n i n i n n i nK U M U�× × × ×= �-�;:

%� ���� ��� �� >&�� �-�;: � ��

1 2[ ] [ ]{ } { }i i iM K U U�− = �-�;.

��

[ ]{ } { }i i iA U U�= �-�;(

Page 265: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� [ ] 1[ ] [ ] A M K

−= ���� 2 i i� �= �� %� ���� ����� ��� �� >&�� �-�;: � ��

12

1{ } [ ] [ ]{ }i i

i

U K M U�

−= �-�;)

���B��C� 2� D�EB��C �-�;<

��� D�E 2 D�E��D�E� ���� � 2 .*� ���

"� ����� ��� �������� ��

D�EB�C� 2� B�C �-�;0

��3�������� ������������������� $������������������� �� �����D� EB�C�2�� D� EB�C �� 3����� ��� �� ������������ ������ % �� �� ��������� �$� ���� ��� ���� ������ ���� ��������� ����� ��� ��� �� ���� �� ���� �� � ��� ��� ���� �� ������ �� ���� ����&���� ����� ���� ������� �� ����� �� ����� ���� ����� �� ��� ���� � � �� ����� �������� ����D�E��� ���� ���� �� ���� ��� ��� ������� ��$�� ������ ��� � �$����� 4���� �� �� ������ �������� � �� ��� D�E��� ���� ���� �� �� ����� ��$�� ���� �������� ����� ������ ���� ���$� � 4���� ��� ���� ����� ��������� � ��� �� ���� �� "��� �� � ��� ��������� ��� �� ���� ��� � ��������� ��� ��� ��� �����

+�� ����������������������������� ����� 4��������������+���� ����� � ������������������������� �������������� �����������������������������������D� E�����D� E���� ��� ��� ��� � �� � 4�� ���� �� ���� ����� ����� ���� �� ������ �������� ���������&��� �� ��� �� �������������� ������� ����� ���� �������� �� �� ��� ��� ��&��� �� �� �� �� � � ��� ���$� �������� ���� ���� �� ���3�4 � ���� ����� ��������� ��� �� ������ ���� ������ � �� ���$����� � ����� $� � ������� �� �� ��������"�������� ������� ������ � �$�� ��� ������� .:�� (:� ��� 0: � �������� ��&��� �� ���� � � �� �� ��&����� ���$� ��� ������ ������+����� ������ ��� � �� ��� � � �� ����������� ��� ��� ���� ����������� $������ ������� �� �� �������� ��� D� E� ���� D� E� ���� ���� % �� ������ $����� ������� ��$�� ���� ����� �������������� ���������� �� $������������������ ���� ������������������������������������ �� ��� ���� � � ������������� ��

#�� �� ������ ��� ���������� ���� ��� �� ��� �� ������ �� ��� �� $������� ��� $������������������������� ����������$�� ��������� ������������� ��� ����#���������� ������ �� ��� ���� ���� ���� �� �� ������� ���� ��� ��� ��� �� $��� ���

��+ ,��� ��'��� ��� �� � #��'� �������� ������

"� $�������� ����� ���� �� ����� ������ ��� � ������ �������� ���� ����� ��� ��������+��� ������� ���� ��� �� ��������� ���� ���� �� �������� ��� �� � ���� ���� ��� ����� ��� $�������� B��C�� ���

B+ C� 2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�;-

*���� ��%������ ��� ���� %��� ���

Page 266: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

����������� ��� ����������� ����� ��������� ��������

'��� ��� ���� � �� ���� $��� ��� ����� B��C � ���� ���� B�C I

D� EB��C� 2� 2i� D� EB��C �-�;?

D� EB�C� 2� 2j� D� EB�C �-�;@

V����� ��� �$� >&�� �-�;? � ��� B�C��� �� ���� �

2{ } [ ]{ } { } [ ]{ }�T T

j i i j iU K U U M U= �-�;;

"�3 �$� �� ��������� ��� >&�� �-�;@ � ���� �������� ��� �$� ��� B��C�� �� $�

2{ } [ ] { } { } [ ] { }�T T T T

j i j j iU K U U M U= �-�.::

#�� D� E� ���� D� E� ��� ������ ���� �� �� ��������� �� ���� ���� �� � � �� ����������� ������������ >&�� �-�.:: � ����� >&�� �-�;; � ���� ���� �

:� 2� 2 2( )i j−ω ω B�C�D� EB��C �-�.:.

� ��� ��� ��� � �� ���� $��� ����� �� ���� "�����

B��C�D� EB�C� 2� : ��� �� , �-�.:(

��� �� $�������� ��� ��������� ����$����� � �� ������ ��� �� ����� ���� �� D� E�

��������� ������

D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.:) =� �$� �� ������� ��� �� ���� �� �

�D� E� F� �D� E B�C� 2� �� �� F� � D� EB�C �-�.:< ��

[ ]K B�C� 2� D�EB�C �-�.:0

"��� �� �� ���� ��� ���� �$� �� � ��� �� �� $������� ��� �� ������� �� ��� ������$ �$��� $���������" ���������� ������ ����� ���������������������� ������ ��4�� $������� � ��� � $ �� ����� ���� � ��� ����� ��� ������ �� �����$��� ��� ���� ���� $�������

����� ������ ��������

%���D�EB�C� 2� D�EB�C �-�.:-

J�� ��� ��� �� � ����� � �� �$

DD� E� F� �D� EEB�C� 2� �� F� � D� EB�C �-�.:?

Page 267: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

#�� �� ���� '���3�� ������ �� ���� ���

D�E� F� �D� E� 2� D(ED&ED(E� �-�.:@

���D(E� ����������� ��$��������� ������D&E� ����� �$��������� ��������� �������������������D&E� ������������������$�� �������� ��D&E�&���������������� $��������������������" ���������� �� ��� ���������� �����3����� $������ ����� ���� #����������� ��������� $��������������������� ��������������� ��� $���� $�������� $��� $��������� ��� ������������������� �&���� ��3��+���������3� �� �� �� �� ����� �� ���������� $������� ����� �� ������ ���� ��� ������ ������� " ������� ���� ���� $������ ������ ���� ���� ���� $�������� �� ��� �$� ���� �� ��� ��� ���� �� ������ ��

��- ,��� �� �� � #��.����� �������"�� ��� ���� ����� ��� $������ ��������� ��� ����� ��� ��� $������ �������I

.�� O��� ����� ����� �����(�� "���������� ��� ����� �����)��W����� ���� ��� ����������

"� �������� ������������� ��� �� ��� ��� ����� ��� �� ������ �$I

D�EB�C� 2� B�C �-�.:;

DD�E� F� D*EEB�C� 2� B:C �-�..: ����

[ ] [ ]A I�− � 2� :� ���� �� ����� � ��� B�C �-�...

"���� ���� �� ������������3����� ����������������������������� �����MD�E�F�D*EM�% �� ������ �� ��� ������� �� ���� $����� �� ����� ���� ��� �� ��� ����� �� ! $��� -�.<�� G��� ��������� ��� �$� �� � $�� ���$�� �� �� ����� ��� �� ���� ������ �� ���� ����� ��������� $��������

���� �� ���� ��� ������ ���� �������� �� ����� �� ������ ��� �� ����������� ����� ������>������ ������ ������� �������� � 4� ����� � � �&� ������ ������������

����� ���� ���������#���� � ���1� �

�� �� �� ��

��

� � �� �

*������ � ��� ���� (����� ������ ���

Page 268: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

����� �$��� �������� ��������������� ���� �����������&� ���������� �������� $��������� ������� %� � ��� ������ ���� � ������ ��� ������ �� � �� ���3�

"� ������ $����� ��� ������� � 4��� �� ����������� ������ �������� ������� ������������ �� $������ ������� ��� �������I�A ��

D�EB�C� 2� B�C �-�..(

"��������� D�E� ���� �� � �$����� ���� �� ��� �� � �$����� ���� ��� �� �$� �� �� �� ��� ���� ������������ ���� ��� �� ���� [ ]A � 2� D" E� D�ED" E�� ��� D" E�� �� ����������� ��� ���� ��� ����������������$��������� ��� ���D" E��2�D" E����#������������������������D�E���������� ������ �$��������� ��� ��� ����������� ��� �$����� ���������� �� �&� ��� $�������+���$� �� ���� 3����� ������ ��� � �� ���� ��� �� A ���� ������ ���������� �����X���� �������������J���4���������%�� ���� ��������X���� ������ ��� �������� � �� ��������� �������� ������� ������ ��� � � �� ����� �������� ���3�$��

"� � ���� $����� ���������� � 4��� ������ ������� �������������� ������ ����� �$� ��� ��� $������� ���� ������ �$� ������ ���� �� ��� ����� ���� ��� �����$� ��� �� �� �� $��������%�� ���� ����������� ����������� ���� ���������������������������������� ����� ���� ��� ������� ���� � ���������� ���� �������� ���� ��� ������� W����� ���� �������� ��� ��������� ��� ����� ������� ������ ��� � � �� ����� �������� ���3�$��

��,�� ������������������"��+���

"� ������� ��� � ��� ��� ������ �� ����� ��� �� ����$���� ��� �������� ��� � $���������%� ������ ����� ���� �� ������ �� $������ ������� $ ��� ��

D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�..) %���

B��C�D� EB�C� 2� : ���� �� �� , �-�..<

#�� �� ����� �� $�������� ���� ���� B��C�D� EB��C� 2� .� ���� �� �����$� ��$��

�� � ����� $�������� ��� �������� ��� �� ���� ��� �� ���� �� �

D�E� 2� DB��C� �� B��CE �-�..0

D�E�D� ED�E� 2�

1

2

0

0 n

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��-�..-

D�E�D� ED�E� 2�

1 0

1

0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�..?

��� �� ��� �� $�������

Page 269: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

"��� �� ���� ���� ��� ���������� �� $������� ��� D�E� ����$� �� �� �� ��� ���� �� ��� ������ ���� ����$�� ���� �3� ��� ���������� D� E� ���� D� E� ���� � �$��������� ����%� �������� �� �� ��� �� �������� � �� ������ ��� �� $������ ������� �� ��� ��������� ������ ��

D�EB�C� 2� B�C �-�..@

J�� ��� ����� �� ����������� ��� ���� ��� ���� ��� D" E�� "� ���� �� �������� ���� ����� �������������I

O���� D��E� 2� D�E �-�..;

'������ D��E� 2� D"�E�D��ED"�E �-�.(:

���D"�E�����������������������3������������� �$������������������� �4����'�����

D��E� 2� D"�E�D��ED"�E� 2� �D"�ED"�E

�D�E�D"�ED"�E �-�.(.

��� D"�E� �� ������ �� ���� ������ ��� �����3� ������ ����� �$����� ����� ��������� � 4���#�� ������������ �������� �����$����� ��� ������������.��( ������������������$� ������ ���4��Q� "��� �� ��� ��� ������� ������ ���� ����� '�����

D�E� 2� D"�ED"�E �-�.((

7���� � ��������� � ��������� �� ���F�.��� ������ �$����������������3� ��4����+�� � ����$��������� ��������������Y������K��������������� �$������������8����������� �� �� �����

+���� ������ �������������������������� ����� �$���� ���� ������ �� D�E��%���3�������� ��� �$���� ��� ���������������������� ����� �$����� �������� ��������������� �� �� ����� � �$���� ��� ���� %� ���� �� �� �� ������� ����� ��$�� .1� ��� �� �������� �$��������� ������ ���������� �$���������� �� ���� ���� � ����������������������� �� ����� 4��Q�5��� �� ������� �� $������� ��� ��� ���� ���$� �� �������$ ������ ������������ �� ����������� ��� ���� ��

D�E� 2� D"�ED"�E� � �-�.()

���� �� � �$����� ������ ������� ��� ���� ������ ��� ��� ��� �� $�������

������ �������

#���������� �$������������� �� ����� ������ ���4���� ����������� �$����� �� D"E� ��������

�-�.(<

*������ � ��� ���� (����� ������ ��

1 0 0 01

1cos 0 sin th row

[ ] 0 1

sin cos th row1

0 1

th col.

� �

� �

�� �

iT

j

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− ←⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥

←⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

↑ ↑h t col.j

Page 270: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

��

2tan 2 �

ij

ii jj

a

a a=

− ��� ���� �� ���-�.(0

4

�� = �� ���� � 2� � �

#�� �� ��� ���� �������� �������� ���� �� ��������� ��� ���� ��� ��� ������� D"E�D�ED"E����$� ����������� ������ �� ��� ���� #�� �� 6���� �� � ���� ���� ��� ��� ��� �� ��������� �$���� ����� ���� ��������� � �� �� ���� ��� �� ���� �� ��� ��� �� ����

%�� �� ��� ���� D�E� ���� D�E� ��� �� �� ��� ���� !>/�� �� ������� � ������ ������ �X���� ������������� ������������ ��D�E� ����� �$�������������������� ���#��D" E����������� �����3� �� $�� ��� ��� ��� D"E�D�ED"E� � ��� ��� �� � �$����� ����� ������ 2����%� ���������� ����� �� ��� �� X���� � ���� ��� �� ������������ $������ �������

D� EB� C� 2� ��D� EB�C �-�.(-

J���������������� �������3�$������������ ���J������� ��������������� ������� ���

1 0

1 th [ ]

1 th

0 0 0 1

i rowT

j row

⎡ ⎤⎢ ⎥ ←⎢ ⎥=⎢ ⎥ ←⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.(?

���� ��� ��� �� �

[ ] [ ] [ ][ ], [ ] [ ] [ ][ ]T TK T K T M T M T= = �-�.(@

#�� �� �� ��� �� � �� ���

� � ��ij ij ii jj ijk k k k k= + + + �-�.(;

� � ��ij ij ii jj ijm m m m m= + + + �-�.):

� ���� � ���� �� ���� ��� �� ���� ������ ���� 0, 0ij ijk m= = �� "� ����� ��� ����� ���� � ���

�� ���� ��� ��� �������I� J�

1 ii ij ii ijk m m k� = −

2 jj ij jj ijk m m k� = −

3 ii jj ii jjk m m k� = −

thcol.j↑

thcol.i↑

=>�?��@���)��� ��������� ����������)� A ����-.�� ��� B����)�/,����)� #����

Page 271: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

23 3

4 3 1 2 sign ( ) 2 2

� �� � � �

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�-�.).

��

2 1

4 4

, � �

� �� �

−= = �-�.)(

#�� �� ��� ��� ���� ���� D�E� �� �� � �$����� ������ ����� ���� ��� �� ��

1 2 , ii ij jj ijm k m k� �= − = − �-�.))

%�� ��� ��������� ��$���� ��� X���� �������� �$� �� ������ �$�������

���������� '��� ������������������������ ���������������� ��! $���-�.0 ����$� �$� �� ��� � ���� ����� J��(� 2� .������ 2� ):� �� .:��� ����)� 2� (� �� .:��� 8*������ 2� ?@::

� # # 6 6

#76

� 8

#76 #76

����� ���� �1���#������� �� ��� ��� �� ��%� #����� ���� $ %������ ���&�

3$*���� =� �$� ���� ����� ����� ���� ��� �� �������� �� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ��� ������ �����

8 8

8 8 81

8 8

1

0.360 10 0.180 10 0

[ ] 0.180 10 0.360 10 0.180 10 ,

0 0.180 10 0.180 10

0.052 0.013 0

[ ] 0.013 0.052 0.013

0 0.013 0.026

K

M

⎡ ⎤× − ×⎢ ⎥⎢ ⎥= − × × − ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × ×⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.)<

������ ������������������� � ��� ��������� ������������ �������������� �$��������������� ��� ���� ��� ������� �

%� � ��� ���� �� �� $��� ��� ��� � �� ������ �� �$� �� $���� ��� X���� � ������ 5������ ��� ���� ��� ��� 4�� �$� �� ������ �.�� ( �� �.�� ) � ���� �(�� ) � �� D� E� ���� D� E����� ���! ���� ���� �� 2� .�� � ,� 2� (�� !���� >&��� �-�.). F�-�.)( �

��� 2� .<:�<:::�:� ��� 2� .<:�<:::�:� ��� 2� :� ��� 2� .<:�<:::�:

*������ � ��� ���� (����� ������ ���

Page 272: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

1

1 1 0

[ ] = 1 1 0

0 0 1

T

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.)0

82 1 1 1

1.08 0 0.180

[ ] [ ] [ ][ ] 10 0 0.360 0.18

0.18 0.18 0.18

TK T K T

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.)-

2 1 1 1

0.078 0 0.013

[ ] [ ] [ ][ ] 0 0.13 0.013

0.013 0.013 0.026

TM T M T

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.)?

! ���� ���� �� 2� .� ,� 2� )�

2

1 0 0.309

[ ] 0 1 0

1.24 0 1

T

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.)@

83 2 2 2

1.80 0.222 0

[ ] [ ] [ ][ ] 10 0.222 0.36 0.18

0 0.18 0.172

TK T K T

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= = − −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.);

3 2 2 2

0.0856 0.0161 0

[ ] [ ] [ ][ ] 0.0161 0.130 0.013

0 0.013 0.0415

TM T M T

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.<:

! ���� ���� �� 2� (� ,� 2� )�

3

1 0 0

[ ] 0 1 0.47

0 1.36 1

T

⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.<.

84 3 3 3

1.80 0.222 0.105

[ ] [ ] [ ][ ] 10 0.222 0.188 0

0.105 0 0.421

TK T K T

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.<(

Page 273: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

4 3 3 3

0.0856 0.0161 0.00756

[ ] [ ] [ ][ ] 0.0161 0.242 0

0.00756 0 0.058

TM T M T

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

�-�.<)

%������� ���� ������� �$����� �����������4������������ ��� ��4����+����� ����������$� $ �������%������������������������������������.��( �����(��) ������%� ���� ������ �� ������� ����� �� � ��� ���� ���� ��� ��� ��������� ���

69

6

1 0 0

[ ] 0 1 0.132 10

0 0.373 10 1

T −

⎡ ⎤⎢ ⎥

= − ×⎢ ⎥⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.<<

10 17

8 10 2210 9 9 9

16 16

1.96 0.216 10 0.284 10

[ ] [ ] [ ][ ] 10 0.216 10 0.161 0.222 10

0.416 10 0.421 10 0.424

TK T K T

− −

− −

− −

⎡ ⎤− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥= = − × ×⎢ ⎥

× ×⎢ ⎥⎣ ⎦

� �-�.<0

11 18

1110 9 9 9

18 17

0.0859 0.156 10 0.204 10

[ ] [ ] [ ][ ] 0.156 10 0.248 0

0.195 10 0.694 10 0.0612

TM T M T

− −

− −

⎡ ⎤× − ×⎢ ⎥⎢ ⎥= = ×⎢ ⎥

− × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.<-

%��������� ���� ������� �$����� ������ �� D��E� ���� D��E� ����$� $ ���� �������5���� ����� ��� �� $������� ��� �� ���� ���� ������

811

111

1 1 1.96 10 7597 Hz

2 2 0.0859

kf

m� �

×= = = �-�.<?

822

222

1 1 0.161 10 1280.43 Hz

2 2 0.248

kf

m� �

×= = = �-�.<@

833

333

1 1 0.424 10 4187.64 Hz

2 2 0.0612

kf

m� �

×= = = �-�.<;

� ������������������$ ����$� �������� ���������� ��"����-�.��������������������$� �� ����� �� ������$��� 5��� �� ���� ��� �� $�������� �� $ ��� ��

1 2 9[ ] [ ][ ] [ ]T T T� = � �-�.0:

*������ � ��� ���� (����� ������ ���

Page 274: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

0.697 0.745 0.886

[ ] 1.21 1.29 0

1.39 1.49 0.886

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.0.

���������������� ������������������������������������� [ ] [ ] [ ] [ ].T M I� =Φ%����� ������� �� D�E����������� ������� ����� D�E� ����� [ ]� �� ������ �$� �� �������� ������� ����� �� �� ��� ����%� ��� ���� �

2.38 1.50 3.58

[ ] 4.13 2.58 0.005

4.74 3.01 3.59

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.0(

%������� ���� ���� $ �������� ������������ ��� ������ �����( ��O�� �$�X���� ����������� �������������� ������$������������� ��������� ���� �������� �������������� �� ������ �������� ������� � � �� ����� ��� ����$� �������� ����� ��� ���� �� ��������,�� ������ ��� ������ ������� �� �� ��� ��� ����� �� �� �� ��� �� � � �� ������ ������������ ���� #�� ���� �� ��� ��� ����� ���� ��� �� � �$����� ������ ����� ���� �� � ��� ���� ��� �� �$����� ����� X���� � ����������� ���� /������� ���� ���� ���������� ������ ������� ���� ������������� �����"����������������� �������� ��������$���� ���X���� ���������� ��� ����� �� ������ $������ ������� ��� �� �������� ���� ��� ��� &�� � �������������� �� ��� ��� � �� ��� ���

��,�� ��#����-��������"��+������ �� ������ �������� ������

'��� ��� �� ��������� $������ ������� D�EB�C� 2� B�C�� J�� ��� $��� ��� �� ��B��C ���B��C ���� ��B��C �� � ��� ���� ������� ���� ���� �� �������� ��� �� � ���� ���� ��� ����� ��� $��������� �� �� ��� ������ B+�C� ���� �� �� ���� ��

B+ �C� 2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�.0) '�����

B+�C 2� D�EB+�C� 2� �D�EB��C� H� �D�EB��C� H� �� H� �D�EB��C

2� ��B��C� H� ��B��C� H� �� H� ��B��C �-�.0<

+���� ������ �$� ������ �� ��� ���� � �� D�E��� � ���� �� ���� �

11 1 1 2 2 2

21 1 1 2 2

1 1

{ } { } { } { }

{ } { } { }

m m m mn n n

m m

m nn n

X c U c U c U

c U c U c U

� � �

���

� �

+ = + + +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

� �-�.00

#�� �� Z� �� Z� ��� �� Z� ��� ��� ( )2 1 1/ 1, , / 1n� � � �< < �� ��� ����� ������ ���� ����

1

0�

m

i⎛ ⎞→⎜ ⎟

⎝ ⎠� ��� 2� (� )� <�� ��� � �� ��

Page 275: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

11 1 1{ } { }m mX c U�

+ ≈ �-�.0-

!��� ������� �� ��� $������ �� ���� ��� �� $��� $������� ����� .:� ���� ����������.*0 �� 2� :�::::::.:(<�� � �� �� �$� $ ���� ������� #�� �� �� � ����� $������� ��� ������������ �� �� ���������B+���C�� ������� ���������� ��������������� ����������B��C� �� ���� ���� ����� ������ ��� ��� %� ���� ���� �� ��� �� ��� ������$���� ��� � $������� B��C��� ������� ����� ��� ����� ���� �� ���� ������ �� ����� ��������

�� �� ��� ���� ����&����� #�� �� ���� ������� ( ){ } [ ]{ }/{ } { }T TX A X X X �� �� $�� ��� ������ ����� ���� ��� ��� #�� ������ �� ������� ����� ������ �� ��� ���� �� �� ���� �� ��� ������ B+�C������$��� �� ������� ��� �� ���$��� $������ ���� �� ��������� �$� $�������

"�������������$���� ������&� �3����������� ���� ������������������� ������ ��� ��� ���� �������� �� $������� ���� #�� ��� $������ �� ����� ��� �� $�� $������� ����� �� ��� �� ��:�;�� ������������������ ���� ����� �������� ��� ��� ��B+C�� ������ ��� ��� "�� ������ �� ���� ��� �����$���� �� ��� ��� ������� �� $������� �������� � �� �������� �� ���� ������������ ���� �� �� $������ � ��� ��������� !��� ������� ���� 2� .::� ������ 2� ;:�� � �� �$��*�� 2� :�;�� #�� �� ��� �� � ��� ����� 2� @0�� ��� �� ������ �������� �� [ ]A � 2� D�E� F��D* E�� ������ ��� ���� ���� ��� 1� � 2� .::� F� @0�2� .0� ���� 2� �2�;:� F@0� 2� 0� � �� �$� 2 1/� � � 2� :�))�� +���� .:� ���� ����� ��*�

�� 2� �;:*.:: �� 2� :�)<@-� ����� ��*��

�� 2� �0*.0 �� 2� :�::::.0Q

������� �� ����� ��������

#�� ��� ���� � � �� ����� �������� ������� ��� �� ������������ $������ ������

D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.0?

%�� �� ����� �� ��� �� ������ ���� ��� ���� ��� � �� ������������ ������ �� ��� ������ ���� D� EB�C� 2� ��D� EB�C� ���� �� �� ���� ��

=C���� ���� ���� ���� ����� ��� ��� ��� ��� ����,��� �� � � ��� "��� � D+E� ��� � ����� � �������� ��� D��E�

D�E��D�EB�C� 2� � �B�C

D�EB�C� 2� B�C

+����� B�C� ���� ������ ���� ��� D�E� �������$� ��� �� ���$����� ��� �� ���$���� �

!57%+7O�#">7+"#58

.*� �B�C� 2� D�E��D�EB�C

B�C� 2� D�EB�C

+����� B�C� ���� ������ ���� ��� D�E� �������$���������$����� �������������

#8W>7�>�#">7+"#58

� ���������������� ������� ���������� $������� ������ ����������������� � ���������� �� ������� ��� �� �� ����� ���� ��� �� ��������� �������

#�� ��� ���� �������� ������� �� $���������������� ������������ �$���&��� ��������7��� $�P��� ��� �-. �� �� ��� ��

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }

T

T

X K XRQ

X M X= �-�.0@

*������ � ��� ���� (����� ������ ���

Page 276: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

" �� �� ����� ��� �� ����� ���

D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.0;

"�����

B�C�D� EB�C� 2� ��B�C�D� EB�C �-�.-:

"���

2 { } [ ]{ } { } [ ]{ }

T

T

U K U

U M U� ≈ �-�.-.

" �� ��� �� ������ �������� ��� �� ����� ��� ��$�*3 �� �� ��$���%� ��� ������� ����� ���B�C� �� �� ��� ��� ���� �� ���� ������ "�� � �� �� ��$� ���� ��� �� ������ B�C�� �� ������������� �� B�C�D� EB�C� 2� .�� ���� �� ��� ���� ��� � ����� ������� ��-.�� ���� ���� ��� � ���� �� ������� � ��� �� $������ �����$��� � �� �� ����� �������� � � ��

�������� ��� ����� �������� �����

/���� 01 !�������� �� $������ D�E� ���� D�E� ���� �� ���������� ��� ����� D� EB�C� 2���D� EB�C�

/���� 21�+����� �� �� ��� ������ B+�C�

/���� 31� '������ B-C� 2� D� EB+�C�

/���� 41� ����� D� E{ }X � 2� B-C�

"����� �� ���� ������� ��� � ������������� ��� �$����� ���������B+ �C����D� E��D� E�#��������� ��� � �� �������� ��� ��� D� E������ ��� ���� �� ��$�� ���� ���� ���� �$� D� E{ }X � 2B-C�� ��� � ������� �� '����� 0� ��� ��� ��� 0�? �

/���� 51� 5��� �� B+ �C� ���� { }X ���� ���

2{ }TX D� EB+�C� 2� .

��

2 1{ } { }

{ } [ ]{ } TX X

X M X= �-�.-(

/���� 61� '������ � 2� 2{ }TX D�EB+ �C�

7���� ����� �) F�- � � ��� � �����$�� ��� � � �� �� ����� ��������"� ����� ���� ������������������� ��������������� ������ ���� ������ ��� ��

��� �� � ���� $��� �� ��� �� ������� � ��� ������ ����� �������� ���� � ���� �� �� � ���� ������������ ��� �������� ������� �� ���� � �$� �� ��� ����� ���� 6���� �� ����� � $��� ���#�� �� � ������ �������� �� ���������������������$�� ��� �� ���$��� $��� ���"���� ��������� $��� ��� ������ ��3� ��� � �� ���� �� ��� �������� ��� � ��� ���� �����$� ��� �� ���$�� $��� ��������7��������� �� ������������������� ��������� �������������$���������������� $�������� ���� �� ���� ���� �����$� ��� � �� $�������� " �� ����� ��� ��� �� ���� ������ � �$� $�� $��� ��� ����� � �� ����� ���� ��� �������

Page 277: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

!����������� ��������

%���D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.-)

J�� �B��C�� �� ������ $��� ��� �� ������� 3����� ���� ���� ������� ����� ���� ���� "������ ���� �� ��� ������ �� ����� B+�C� ��� $�� B��C�� ��������� �B��C�� ��

�� 2� B��C�D�EB+�C �-�.-<

2{ }X � 2� B+�C� F� �B��C �-�.-0

"��� ����� ������ ���� ���� 2{ }X �� ��� �����$� ��� B��C�� J�� ��� �� ��� � �� ������

J�B+�C� 2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�.--

����B��C

�D� EB+�C� � 2� �B��C�D� EB��C� H� �B��C

�D� EB��C

� � � � � � � � H� �� H� �B��C�D� EB��C �-�.-?

� ��� �� $�������� ��� D� E� ����$�����

B��C�D� EB��C� 2� : ���� ,� 2� (�� )�� ��� � �-�.-@

B��C�D�EB��C� 2� . �-�.-;

"����� �� 2� B��C

�D� EB+�C� 2� � �-�.?: "���

2{ }X 2� B+�C� F� �B��C

2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C� F� �B��C

2� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�.?.

%���� ����� � �����B��C���������� ����� �� �� ��������� 2{ }X ��"������ 2{ }X �"������ ������������������$�������������� ������������$�����B��C��#�� ��� �������� �� �� ����� ���� ������������������������ ��A���F��� �������� ��� ������ ���� ���5����� ���������� �����������$������ $��� ��������B��C��+�������� � �$�������B��C��� ���� ���� ���� B��C�� ��� ��� ��� �� ������� �� ��� ������ $ ��� ��

{ }X � 2� B+C� F� �B��C� F� �B��C �-�.?(

��� �� �� � � ������ ���� ���

�������� ��� ����� �������� ���� !����������� ��������

/���� 01� !�������� �� �������� $������ D�E� ���� D�E� ���� �� �� �� ���������

/���� 21�+����� �� �� ��� ������ B+�C�

*������ � ��� ���� (����� ������ ���

Page 278: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

#�� ���� �$� ���� �� ������ $��� ��� $�� ��� ���� <�� >���� $�� ��� ���� )�

/���� 31� V������ ����� ���� ��

1 11

{ } { } { }m

i ii

X X U�=

= − ∑ �-�.?)

��� �� 2� B��C�D� EB+�C� ������ ������ �� 8��� ��� $��� ��� ������� ������

/���� 41� '������ B-C� 2� D� E 1{ }X �

/���� 51� ����� D� E 1{ }X � 2� B-C� �� � ���� ��� ����� ��� ��� ���� �� ������ �

/���� 61� 5��� �� B+�C� ����� 1{ }X � ���� ���

{ }2T

X D� EB+�C� 2� . �-�.?<

21

{ } { } [ ]{ }T

XX M X

= �-�.?0

/���� 71�'������ �� ��� H� . � � $������� ��� ���� 2� B+�C�D�EB+�C�

7���� ����� �) F�? � � ��� �� ��� ��������� �����$��� �� �� ���

���������� �������� ������

#�� �� A���F��� ��� ����� ��� ��� &��� ��� �� ��� ������ ���� ���� ����$����� ��� ���� � $�������� ���� ��� ��� ��� "��� �� ���� ����� ���� �����$��� ���� ���� ��� ��� � $��� ��� �� �� �&��� ��� ������� ����� �$� ����� �� � ���� � ��� ����� �� ��� ������� #�� ������� ������ �� ������ � �� �� ��� ��� �� ��� ������� ���� ����� ��� ��� � ������������

" �� ���� ������� ��� � ������������ �������� ���� �������������� ������ ����� ����������"���� �� ��� �� �������� ���� �� �� � ����� �� ��������������������������$����� ���� ���� ��� ��� ���� ��� � ��� �����$� ��� � �� ���� $���������%� ��

D� EB�C� 2� � �D� EB�C �-�.?-

"� ��� �� ����� �� � �� ����� ��� ���� ���� ���

/����01�'�������� ������������ 1{ }n mX × ��!���������� �������� ������������� �� � �������������������������$����� ������ �������J����� ������ ���� ��� ������������������ ���� ��������� ��� ����������� ��� ��� ������� 1{ }n mX × � ����� 1{ }n mX × �� ���

1 1{ } [ ]{ } [ ]TX M X I= �-�.??

/���� 21�'������ 1{ } [ ] { }n m n n n mR M X× × ×= �

/���� 31� ����� ���� 2{ }X � ����� 2[ ] { } { }n n n m n mK X R× × ×= �

� ��

Page 279: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

/���� 41� '������ 1 1[ ] { } [ ]{ }Tm m X K X� × = �� DE� �� ���� ��� ��� �� � � ���� ��� �� � �$����

������ ��� � �� ��� ���� ������� ������ ��� ��� ��� �� $�������� "� ���� ���� ������ ���� � ��� DE� �����$�� �������%�� �����$��� DE� � ��� �� ��� �� ����

1

2

0

0 n

≈⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥≈⎢ ⎥⎣ ⎦

� �-�.?@

���� �� ��������� �$� B+ C� � ��� ��� �� $��������%� �� ���� ��� ��� �� ����� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ����� ���� ��� ����� ���� �

������ ��� ���� ��� �� ��� �������� "� � $� � ����� �� �� ��� �� �� �� �������� ��� $����������� ��� ������� B+C� ����� �� $ ���� { }X �� � �� �� ���� ���� ���

"�� $�� B+C� ����� { }X �� �� ��� �� ������ �$� ���� � ��I

{ } [ ] { } [ ]Tm n n n n m m mX M X I× × × ×= �-�.?;

J�

{ } { } [ ]n m n m m mX X S× × ×= �-�.@:

"�����

{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ }[ ] [ ] [ ][ ] [ ]T T T TX M X S X M X S S D S I= = = �-�.@.

��

[ ] { } [ ]{ }TD X M X= �-�.@(

'���3�� ������ �� ��� ��� ��� 0�? D&E� 2� D(ED(E� �-�.@)

"��� ����� >&�� �-�.@. �D/ E� 2� D(E�� �-�.@<

"���� ��������� ��� � �� �$� �� ����������� ������ ��� B+C� ����� { }X � ������� ��� ���� ����� ��� �� ����� �� ��$����� ���� �� D(E� ���� ��� ����� '���3�� ������ ��� ��� ��{ } [ ]{ }TX M X �� %� ������ �� �

{ } { }[ ] TX X L −= �-�.@0

V������� ��� �$� � �� D(E��� �� $�

{ }[ ] { }TX L X= �-�.@-

+�� � �$� �� ��� � �� �������� ������ �� ����� 1[ ]L − ��������� ������� ��B+C� ��� �� ����� ��

��� >&�� �-�.@- � ��� ���3����� ����� ��� ��� ��� ��� ��� 0�? �

=C����� ���� �� ������� � �F��;����� ��)�)��%�������������&� ���������� �� ��� ������)�*�+ �,-.�)� /,�0� !)� �112�

*������ � ��� ���� (����� ������ ��

Page 280: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

�������� ��� ��������� �������� �����

/���� 01� !�������� �� �������� $������ �� ������ ���� ����� ���� ��� D�E� ���� D�E�

/���� 21� '���� �� �� ��� ������ ��� 1{ }n mX × �

/���� 31�'������ 1 1[ ] { } [ ] { }Tm m m n n n n mD X M X× × × ×= �

/���� 41� '���3�� ������ �� [ ] [ ] [ ]Tm m m m m mD L L× × ×= �

/���� 51� ����� ���� 1{ }n mX × � ����� 1 1 { } [ ] { }Tn m n m n mX L X× × ×= ���� ���3� ����� ��� �� �

/���� 61� '������ 1[ ] [ ] { }n m n n n mR M X× × ×= �

/���� 71� ����� ���� 2{ }n mX × � ����� 2[ ] { } { }n n n m n mK X R× × ×= �

/���� 81� '������ �� 7��� $� &��� ������� �� DE� 2� 1 1{ } [ ] { }Tm m n n n mX K X× × × �

7���� ����� )F@� � ��� ��� ��������� �����$��� �� ���� ��� �� DE�� ��� �� ����� �$������������������$� $ ��������������������$� ����� �$������������������� ���� ����� �� ��������� �� �$� $ ���� ������

%� � ��� ���� ��������� �� � ���������� ������ ���� ��� �������� �� �$� �� ������ �$������

������� ���� ������ �9�������� �:� �� :�����:���� 9��; '��� ��� �� )������ ����� ��� ��� �������������� ��! $���-�.0��J��(���.��������):���.:�������)���(���.:���8*��������?@::3$*���� =� �$� ���� ����� ����� ���� ��� �� �������� �� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ��� ������ �����

8

0.360 0.180 0

[ ] 10 0.180 0.360 0.180

0 0.180 0.180

K

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.@?

0.052 0.013 0

[ ] 0.013 0.052 0.013

0 0.013 0.026

M

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.@@

� ����� ��������� ���� ��>������-�<��J��������� �� �� ��� $��� ������ � �� ������� �$� �� � ���������� ������ ���� ��������

������� J�

1 3 3

1 0 0

{ } 0 1 0

0 0 1

X ×

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.@;

Page 281: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

1 1

0.052 0.013 0

[ ] { } [ ]{ } 0.013 0.052 0.013

0 0.013 0.026

TD X M X

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.;:

"� ���������� ��� �� ��� ������� ��� $ ��� ��

1

4.39 1.13 0.444

{ } 0 4.53 1.78

0 0 6.66

X

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.;.

1

0.228 0 0

[ ] [ ]{ } 0.057 0.221 0

0 0.0589 0.15

R M X

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.;(

���� �$� ���� 2{ }X � ����� 2[ ] { } [ ]K X R= �� �� ��

72

0.158 0.155 0.0834

{ } 10 0.190 0.311 0.167

0.190 0.343 0.250

X −

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.;)

>������ �$� �� ����������� ��� ��� ������� B+�C�� ����� 2{ }X �� �� ������ ��� �� �����

���� ����+���� � �� ���� ����� ���� ������ ��� ��� ������� ����� �� ���� ��� ��

1.50 3.59 2.37

{ } 2.59 0.008 4.12

2.99 3.57 4.76

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�.;<

"�����������&��� ��������� ����������� �$����������������7��� $�&��� ������ �� ��

:�� 2� .(@:� �4� :�� 2� <.@@� �4� :�� 2� ?0;?� �4 �-�.;0

"����� �������������� �$� ��� ��� ��&����� � ��� ����� ������������ D�E ������ �� ���� ���� ��� ����� $���� ��� X���� � ���� �� >������ -�<�

������� �������� ��������

" �� ��� &�� ���� ���� ����� �� � ��� ��� � �$� � � ���� ��� � �� � ���������� ���� ����� &������� �$������ �� ������ ������������ ��� ������ �� ���������� ������� ���������� $�� B+C� ����� { }X [� #�� � �� ���� �� ������

[ ] { } [ ] { }Tm m m n n n n mK X K X× × × ×= �-�.;-

*������ � ��� ���� (����� ������ ���

Page 282: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

[ ] { } [ ] { }Tm m m n n n n mM X M X× × × ×= �-�.;?

J�� ��� ���� ��� �� $������ ������

[ ] { } [ ] [ ] { }m m m m m m m m m mK M� � �× × × × ×= �-�.;@

" �� �� �� �� ��� ����� ���� �� �������� ���� ��� ���� � ��� �� ������ ��� �� ��� �� ���������������� ��� ���� ��� ��� �� ��� ���� � � ����������������� �� � ������ ���$����������������� ������� ���� ��� $��� �����������99����"� ��� ������������������2�.:�:::������2�(:Q�"�� 4�������������� $������������� �����������������������������������

8������ ����� ���� ���� �� $��� ��� { , }� � �� �� �$�� ���� ������� �� $���� ��� X���� ����������� ��� ����� 5��� �� B+C� ��

{ } { } { }n m n m m mX X �× × ×= �-�.;;

" �� �� �����

{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ } [ ]T T T TX M X X M X M I� � � �= = = �-�(::

� ��� �� $�������� B�C� ��� D M E� ����$�����"���� ����������� �$�B+C�2�BXCD(E���� ��� ��� ���������������� ���� ����������

B+C� 2� BXCB�C�� D�E� ��� ��� �� ���� ��� ��� �� ����� ��� ��� �� �������� $������ �������% �� �� � $������ � ����� ��� ��� �� �����$��� ������� �� ��� ��� ��� ���� ��$�� ���� �

������ �� ����� ��� �� ���3�� �� ������ $� �� �� �� ���� �� �� ������� ����� �� ��� ��3� (�� �����H�.: ��� ���� ������������������ ���������������� ������ ������������ $��� ���

��/ 0���� ���� � ���� �� &���1� �

��.�� "�����)����/�(��)

%������������ ����������� ���� ��������������������� ������������ ������������������� ��� ��� ����� ������ ����� �����$�� �����%�������� �������� �$���� � ���� ����� �� ����� ������ ��� �� �������� ��&��� ��� ���� ��� �� ���� �� �������� ��� � ���� ����������� "� ������� ��� ���� ��� ������ �� $��� ��� �� $��� ���� �� ��� ���� ��� �� �������� ���� ��� ��� � ����� ��� ��� ����� #�� ����� ����� ���� � ���� ����� ������ � �� �������� ��� ��� ������ ��� ������� ������ ���� �� �� ��� ������ ��� � ��� �� ������� ����� �� ��������� �� ��������� ��� ���� ��� �� ��� ���

%� ����� ������� ���� �� ���� ������ ���� ��� � ���� ��� ���� � ����� � $� � ������� �� ������ �� ������� �� ���� �������� ��&����� ������� ������ ���� ��&����� ��������� �� ��� ��� ���� !��� ���� �� � ���� ���� �� ����� �� ������� �� � � ��� ���� ����� ��� �� ���� �$������ �� �� ������� #�� �� ��� ���� ���������� ��� � ��� ����� ������� ��� � �� ��� ��� ���� ��� �������� �� ��������������������3��������� ������������ � ��'������ ���� �� ���� ���������� ��� ���� �$� ����� � � �� � �� ���$�� ���� #�� ����� ������ ��� ��� ���� ���� ���� ���������� �����������������&� �������������� �������� ������������������ �$������� ��������� �����������$� �� ���"�������&� ������� ���������� �$������ ��������������,� ������ �� �� ��� ������ � �$� � ������ ������� ����� ��� �� ���� �� ���� ���� ������ � $� � ����

Page 283: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� �$� �������$�� +����$���� ��� �� �� ������ ���� ����� ���� ���� �� ���� ��� �� ���� �$���� �� ������ �� �� $���� ��� $���� �$� &��� ���� ��

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}M X C X K X F t+ + =�� � �-�(:.

% �������� �������� ����� ������� ��� �������� ������������������� ���� �� ������� ������� ������� � �����$������ �� � �������������������� �$����� ��D<E������������� ����%�� ����������� �� ������� ����������A ��������� �$������������������������ ��� ������� �� ���� � �$� �� ������� B+�� C�� "�� ��� $������� ���� ���$�� �� �������� ��� ���� �$� >&�� �-�(:. �� � 4��� � ���� ����� ��� �� �$� �� ���� ���� ��$��� ��� ���������������� ���������������'��� ������ ��������� ���������� ���&��� ���� ������ ��������������������&��� ������ �$� ������������� ��� ��� ������ ���� ��$��� ��� ������������������������� ���'�� �� %� � ��� � ������ ���� ��� ������ �� � �� ������

%� ��� ������� ����� ���� ���� ������� ���� ��� �� ��������� ���� �� �������� ���� � ���� ���� ��� ��� ��� ��� $��������� ��

1 1 2 2{ } { } { } { }n nX c U c U c U= + + +� �-�(:(

���� � ��� �� �� ��������� ������� ���� �� ��� ����� � �� �� ���$� ��� �� ��� ��� ��&��� � ����� ������� ����� ���� ��� �� ����������� �������

1 21 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m

n n n n m mn m

X t u u u p t

X t u u u p t

X t u u u p t

�� � � � �

××

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

�-�(:)

���� � �����B+�� C� 2� D� EB ��� C �-�(:<

"������� ���������� � ��� ��� �������� �� ��� �$�������������������� ����� ���� ������� ���� ��� �������� ����� � �� � ��� B+�� C� ����� ��� ���� �� ������ ������� ������ ����� �� �� � � �� ����� ���� ����� ��� �$� ����� >&�� �-�(:< � �� >&�� �-�(:. �� �� ���� �

[ ]{ }{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } { ( )}M U p C U p K U p F t+ + =�� � �-�(:0

V����� ��� �$� ��� B�C����� $�

{ } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ } { } { ( )}T T T TU M U p U C U p U K U p U F t+ + =�� � �-�(:-

!���� �� D� E� ���������� ��� �������� ��� $��������

B�C�D� EB� C� 2� D* E �-�(:?

!���� ��7��� $�&��� ���

B� C�D� EB�C� 2� 2

0

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� �-�(:@

,� ��� �� ������ � � ������ ���

Page 284: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

"���� B�C�D� EB�C� ���� B�C�D� EB�C� ��� ���� � �$������ ����>&�� �-�(:- � ������ ��� ���� ��

2

0

{ } { } [ ]{ }{ } { } { } { ( )}

0

T Tp U C U p p U F t�

⎡ ⎤⎢ ⎥

+ + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�� �

�-�(:;

#�� D<E� �� ���� ���� B�C�D<EB�C� �� ����� � �$��������� ��� ��� ���� ������������� �&��� ���������� ����"� ��������&��� ����������� ��������� ������������������� ����� ����� ��� &��� ���� ��������� �� ��� ��� �$������������ ����� � ����� �� �� ����� ��� ����� 3������ !��� �� � �$�� ������� ��� �$������������ ������� �� ��

( )mx cx kx f t+ + =�� � �-�(.: >&��� ��� �-�(.: � ���� �� ��� ���� ��

2 ( )2

f tx x x

m�� �+ + =�� � �-�(..

��� �� �� �� ���� �$� ������� $ ��� ��� /2 ( )c km� = �"� �� &��� ���� �� ������ ����� ����� ����� ��� �� >&�� �-�(:; � ���� �� �� ����� �� �

������ �����$���� ��� >&�� �-�(.. �� ��

22 ( ), 1, 2, ..., i i i i i ip p p f t i m� � ��� �+ + = = �-�(.(

"�����������&��� �������������������B�C��&� ���������� ����� $������� ������������ ������ ��� ������� ��� ���� ��� ��� �$� �� ����� ��� ��� �� �������� ��� ���� �����������"����������� �$� �������� ������� ���������� ��� ��� �������� ������$$�� ����>&���-�(.( ������ ���&��� �������������� ������� �� ������� ��������������� ��� &�� ��3�������� �������������� � ��� ��� &����"������� ������������ ����������� � ������ �$����� �� D<E��������� ��������� �� ������� �� ������ �$���� �� D<E� �� ����� �� �� �� ���� ������ �� �� ������ �$����I

B�C�D< EB�C� 2� DE� 2�

0

2

0

��

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�(.)

J���������������B�C� �����&�������� ������� � �$�����������������������������"���

D< E� 2� D� E��DED� E�� �-�(.<

#�� ���� �� ��������������� ��3������������ ������� �� ���� ������� �$����� �D< E����������� ������������������������� �$����������������� ������� ���� �� ������ ������ �������� ������ ��� �� ���� ��

D� E�D� ED� E� 2� D*E �-�(.0

=C�� ��� ���� �� � ������ � � ����� ������ ��� *�������"� ;�4�� ����� ���� ?�� A�:��)� *�+ �,-.�)/,�0� !)� �12#�

Page 285: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

V������� ��� �$� ���� � ��� ��� >&�� �-�(.0 � � �� D� E���� �� $�

D� E��� 2� D� E�D� E �-�(.-

����� ��� �$� �� >&�� �-�(.< �� �� ��� D� E�� 2� D� E �� �� $�

D< E� 2� D� ED� EDED� E�D� E �-�(.?

#������������ � 3��� ������� � ���� �� �� ������������������� ������ �� ������� ������ ���� �$� �������� ���� ����� ������ ��� �� ���� �� �� >&�� �-�(.? � ��

D< E���� 2� D� E���D� E���DE���D� E����D� E��� �-�(.@

���� ��� ��� � �� �������� ��� ��� �� ������ ���� �$����� �� �� ��������� ����� ���� ������ �� ������� B+�� C� ����� >&�� �-�(:. � �� �$� � ���� ��$��� ��� ������� ��� � ��� �� ������� �� ��� ��� -�;�)�� +� ������ ���� �$� ���� �� D<E� ��� ��� �$� �� ����$���� ��� � ������� ��� �� ���� ����� D��� �� >&�� �-�(.) E� �� ������ ��� ��� 7��� $� �V������ ���� O��� �$��%� ����� ��� ����� � �� ����� ��� ���� �$� �� �� ���� ��� ���� � ����� ���

��� �$� �������� �� ���� ��� ����� �$� ������ ���� �$�� �� � ��� ���� ������ ��� �� ����� ����������� ������ &������������ �������������� ��� ����%�� ���� ����� �������/��� ������� � ��� ��� &�� ���� ����&������ �� � ���� ��$��� ���������

��.�� �+��"����*�(��(��������*#+���

=� �$� �� ����$���� ��� �������� ��� �� ���� ����� ���� ����� �$� 7��� $� �������� ���� ���� �$�������� �������������� $ ����&��� ���������� ���$ ��� ��>&�� �-�(:. � �������������������� � �$�� �$�� ��� ������ ��� ������� &��� ���� �������� ����� ����� ��� �������I

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 2 2

2

2 ( )

2 ( )

+ 2 ( )m m m m m m m

p p p f t

p p p f t

p p p f t

� � �

� � �

� � �

�� �

�� �

�� �

+ + =

+ + =

+ =

�-�(.;

��� 1 2( ) , ( )f t f t ������������� ��������{ } { ( )}TU F t ��#��������������������������������������������� ������� ���������������������� �$����� �������������� �$��� ������ ����� �� �$� $ ���

"�� ��� �� ��� ��� �������� ������ ����� � ����� ��� &��� ���� � �� ���� �� �� ��������� !��� ������� ���� ��� ���� ��� ��� �� &��� ���� �� >&�� �-�(.; � ����I

22 ( )i i i i i i ip p p f t� � ��� �+ + = �-�((:

" �� �� �� ������ ������ ��� ����� � ����� ��� &��� ��� ������ �$� �� &� � �� ��� ��� �� � �$�������� ��� �������� #��� ����� ��� ���� �� ���������� �� �$� �� ����3�����O����� ��$���

0

1( ) ( ) sin ( ) sin cos

t

i i i i i i ii

p t f t t d t t� � � � � � ��

= − + +∫� �-�((.

������ �� ��� ���� ��� ����� �� � � ��� ���� � ���� ��� ��� ��� ip� �

,� ��� �� ������ � � ������ ���

Page 286: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

"� � � ��� ���� � ���� ���� ������ 3����� �� ����� ��� ��� ���� ����� ����� B+C� ���B X� C�� %� ��� ��� �� ���� B�C� ���� B 0p� C� ����� �� 3����� B+C� ���� BX�C�� %� ��

B+C 2� D� EB�C �-�((( "�����

D� E�D� EB+C 2 D� E�D� ED� EB�C �-�(()

� ��� D�E�D� ED� E� 2� D*E�� �� ��

B�C� 2� D�E�D� EB+C �-�((<

0{ }p� 2� D� E�D� E 0{ }�X �-�((0

"� ��$���� �� >&�� �-�((. � ���� ��� ��� �� �������� ���� ������� +����� ���� �������� ��� �����$�� ���� �� ������� ���� �� ����� ��� ��� >&�� �-�((: �

�������� ��� ���� ����������

/���� 01 ! ��� ���� ���� $��� ������� B��C�� �� 2� .�� (�� ����;

/���� 21 >������� 1 1{ } { } { }Tm n n mU F f× × ×= �

/���� 31 "��������� �� � � ��� ���� � ���� B+C� ���� 0{ }X� � ���� � � ��� ���� � ���� �� ���������� ����� B�C� ���� 0{ }p� �

/���� 41 =�� �� � � ��� � ��������� ���� ���� ��� ���� � ���� ���� �� ���� { ( )}f t ��� ������1 1{ ( )} , { ( )}m mp t p t× ×� �

/���� 51 =�� �� ����������� ���

1 1{ ( )} { } { }n n m mX t U p× × ×=

1 1{ ( )} { } { }n n m mX t U p× × ×=� �

��� ���� �� ������� � ��������� ���� ���� ��� ��� ���� �� ���� ��� �� ���������

/���� 61 !����+�� �� ���� �� ���� ��� ���� ��� ������� ��� �� ����� ��� ��� � ��� "��� �� ����������������� ������� �� ��� �����

/����������������� �������������������$��� ������������ �$���$������D�E�����D�E���������� �$� �� $��� ���� "� ������ ��� ����� �� � ���� � ��� �$� �� �� ������� �� ����������� ������� �$���� 2� .:� ��� (:�� ����� �� ������� ��� �� � � �� ������������� �� ���������������"������� ������� � ��� ����� ������������ � ���� ����� �������� ����� ������ ������ �� �� �������� ���� ���� ������ ��� ��� ����������� �������

%� � ��� ���� ��������� �� ���� ������� � ��� ��� &�� ����$� �� ������ �$� � ����������

������� ��� '��� ��� �� ��������� (�������� ������ ����� �� ! $��� -�.-�� ! ��� ����������� ����������� ��� �������������� ��$ ������ � � ���� �������������� ������������ ����� ����

Page 287: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

"������� ���� �������� ��� ��� �� ������ ���� ���� ����� �� � ���� ��� �� $ ��� ��

1 12

2 2

2 0

2 0

k k mx x

x xk k m�

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�-�((-

!���������� � ��� ����� ���

2

2

2 0

2

k m k

k k m

− −=

− −� �-�((?

� �� �$

1 k

m� = � 2

3

k

m� = �-�((@

"� ��������� �$� ���� ����� ���1

1

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

� ����1

1

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭�

#�� �� ��$�� �� �� ���� ���� ����� ��� �������� ��� �� ���� ��� D� E�� ��� �� ��

1 1[ ]

1 1U

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦�-�((;

1 1 0 1 1 2 0[ ] [ ][ ]

1 1 0 1 1 0 2

Tm m

U M Um m

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦�-�():

=��'��������������'��������'��������'������������'����������������'��'���D� E�D� ED�E�2�D*E��� ��� ��� ���� ��� �� ��� �� ���������� ��� ���� ����� ��

� �

�� ��

� � �

����� ���� �5�# ������ ������� $ %������ ���&�

,� ��� �� ������ � � ������ ���

Page 288: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

1 1

2 2[ ]

1 1

2 2

m mU

m m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�().

=� �$� ��� ����� ��� ���������� �� ��� ���� ����� ����� ���� ������ ����� ������ �� �� �

1 1

2 2

1 1

( ) ( )2 2{ }

( ) ( )1 1

2 2

x t p tm mx

x t p t

m m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

�-�()(

���� �������� &��� ���� ��� $ ��� ��

1 1 1 ( )k

p p f tm

+ =�� � 2 2 23

( )k

p p f tm

+ =�� �-�())

� ���������������������4��� 1 2 ( ) 0 ( ).f t f t= = �J�������������� � � ������� � ��� �� ���� ��� ���� ����� ����� ��� ���� ��� ���� ���� ��������� ����� ����� ��� ���� ���� "� � � ������ � ���� �������� ����� ����� ��� $ ��� ��

10

20

1 1

0 12 2 2

01 1 0

2 2 2

mmp m m

p m m

m m

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭

�-�()<

� ��� 1 2(0) 0 (0)x x= =� � �� 10 20 0 p p= =� � �� "� ����� ��� ���� ���� � ���� �� �� ���� ��

���� � 2� �� ���� ���� H� %� � �� ��� �-�()0

����� �� � � ��� ���� � ����� 1(0) / 2p m= � ���� 1(0)p� � 2� :�� �� ��

/ 2A m= � %� 2� : �-�()-

"�����

1( ) cos 2

m kp t t

m= �-�()?

� � ������

23

( ) cos 2

m kp t t

m= �-�()@

Page 289: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

"���

� � � � � � � � � � � � { } 1

2

( ) ( ) [ ]{ }

( )

x tx t U p

x t

⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

1 1cos

2 2 2

1 1 3 cos

2 2 2

m kt

m m m

m kt

m m m

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭

1 1 3 cos cos

2 2

1 1 3 cos cos

2 2

k kt t

m m

k kt t

m m

⎧ ⎫+⎪ ⎪

⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎩ ⎭

�-�();

��.�� /���#��-���)������"��+���

"� $���� �$� &��� ��� ���� �� ����� ��� ����� �� ������� ��� �� ��������� �� $ ��� ��

D� E{ }X�� � H� D< E{ }X� � H� D� EB+C� 2� B#�� C �-�(<:

O ���� ��$��� ���������� ��� �� ���� ��$$����� ������� ��� � ������ ��$���� &��� ���-�(<: � �� � ��� ����� ���� ����������� ��� ��� ����� ����� ��$�� ��������� ����� ����� ��� ��� �� �� ���� ������� � ��� ���� �� "� 3�� ���� �� ���� �� ����� ��� � ���� ���� ��� ��$��� ��� ��� ��� �������I

� "������&��� ��������� ��� ����������������$����������� �������� ����� ���������� � �� ���� ��� �� �� �

D� E{ }nX�� H� D< E{ }nX� � H� D� EB+�C� 2� B#��� C �-�(<.

��� "� ����� �� ������� �� ���� ��� ��� ����� ��� ��� �� ����� &��� ��� ��"������ ������� ��� ������������������$����� ������� ����&��� ��������� ��

�$� �� ��� � �� ����� 2� ��H� ������ "� � �� ������� ��� �� ����� ��� �� ���� � ����� ������ ��� ����� ��������� ���

���� � ������ �� ����� ������ ���� ����� ��� ������ �&� �� ���� ��� �� ���� ���� �� ��� � �� � � ��� ��

��� �� ������ �-�(<(

� ����� � �� �� ����� �$� ����� ��� ������ ��������� $���� ���������� "�� �������� ��� ���������������� ���9������'����� #������� �� ����� ���� ���� � �� �� ������� ���� ���� ��������� "� ������� ����� �� ������� ��� �� ��������� ���� ��������� �������

,� ��� �� ������ � � ������ ��

Page 290: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

=����� � ��������������������������������������#����������������������������� ������ ����� ��������� �� ��� ��� � ���� ������ ��� ������ ���$�� ��� ��� �����

-� � ��� �� ��� �� � �$�� ���� �� ����� �� ������� ���� ���� �� �� � ����� &��� �������� ��� ��>&�� �-�(<. � ��� ��$������ �� �� �������� "��� �� �� ���� ��� �� ������� ������������ ������ �� ��������� ��$��� ������ ������� �� $� ��&����� � ������"� �������5�����������������&� ��������������� $�����&������������������������ ���� �����������/����������� ���������"�����-�.�����-�(������� $ ��� � � �� ����� ���� �� $��� ��&��� �� ���� ���� �� �������� ����� ����+����� ���� �$� ��� �� ��&����� ������� ��� �� �� ��� ���� ����� �� ��� ����� ������� ����� ������������"�������������� ���������3� �$� ��� ������� ���������� ������ ���� ���

?� � ������������ ���� ������ ��$���� ��&��� ��������� ������������� �&� �� ����� $������� ���� $�������� �� � ���� ���� ���J�� ��� ���� ������ �� � ��������� ��� ���� �$� �� &��� ��

D� E{ }nX�� � H� D< E{ }nX� � H� D� EB+�C� 2� #��� C �-�(<)

"����� ��������� ������

#�� � �� ������ �� � �� �� ��� ��� ��� B+C�� � 4��� { }X� � ���� { }X�� �� ��� ������ ����� ��

{ }1 11

{ } { } { }2( )n n nX X X

t� + −= −� �-�(<<

{ }1 12

1{ } { } 2{ } { }

( )n n n nX X X X

t� + −= − +���-�(<0

��� �� ��� ���� �� ��������� 8����K�� ������� � ������ ��������� ����� ��� �$� �>&�� �-�(<) �� �� $�

{ } { }1 1 1 12 2

1 1[ ] { } 2{ } { } [ ] { } { }

( ) 2( )

[ ]{ } { ( )}

n n n n n

n n

M X X X C X Xt t

K X F t

� �+ − + −− + + −

+ = �-�(<-

7�����$ �$� �� ������ �� ���� �

12 2 2

12 2

1 1 2[ ] [ ] { } { ( )} [ ] [ ] { }

( ) 2( ) ( )

1 1 [ ] [ ] { }

( ) 2( )

n n n

n

M C X F t K M Xt t t

M C Xt t

� � �

� �

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�-�(<?

Page 291: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

!��� ��� �������� ������

1 12 2 2

1 2 1[ ]{ } { ( )} [ ] [ ] { } [ ]{ }

( ) ( ) ( )n n n nM X F t K M X M X

t t t� � �+ −⎛ ⎞

= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

�-�(<@

!��� �� ��������������� ��� �� ��� ���4��� � �$����� ������ �� ����� ��� ���� B+���C� ����� � ������ �� ���� ��

( )1 21 1{ } [ ] { ( )} [ ]{ } ( ) 2{ } { }n n n n nX M F t K X t X X�−

+ −= − + − �-�(<;

��

1

0

1[ ]

0

ii

Mm

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

!��� � �$����� D�E� ���� D<E�� �� ����� ��� ��� >&�� �-�(<? � ���� B+���C� �� ���� $���������5��� ��� �� ����� ��� ��� >&�� �-�(<? � ��� ��� � �� ���� ���� �� �������� ������� ���� � ������� �$�

5����� ��� B+���C�� �� ���� ������ �� ������� �� ���������� ��� � ��� B+���C�� ����� �$� �������������� ���$ ��� ��>&�� �-�(<? �� #�� �&� �������� � ������������� ��������� ��� ��� ���� ��� �� �$� >&��� �-�(<< F�-�(<0 �

%� ������ ����� >&�� �-�(<? � ���� �� ����� ��� ���� B+���C� �&� ��� 3�����$� ��B+�C� ��� ���� ��� B+���C�� %�� �� ������ ���� �� ����� ��� ������� ��� � �� �� 2� :�� �� 3���� � � � ������� � �����"��� ���$�� �� ���������� ��2����������B+C���������B+���C��5�� ������B+�� �C���������� ������� �$����� ������ �������� ����� ��3����� � � ��� ���� � ���� B+C���� B 0X� C� ��

( )01

{ } { } { }2 t tX X X

t � �� −= −� �-�(0:

( )0 02

1{ } { } 2{ } { }

( )t tX X X X

t� �� −= − +��

�-�(0.

>� � ��� �$� B+��C� ����� ��� ���� &��� ����� �� $�

20 0 0( ) { } 2( ){ } 2{ } 2{ }tt X t X X X

�� � −− = − +�� � �-�(0(

"���2

0 0 0( )

{ } { } ( ){ } { }2tt

X X t X X�

��− = − +� �� �-�(0)

,� ��� �� ������ � � ������ ���

Page 292: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

#�������������������� �� � � ������� � ���������� � ������������� � ����������� ������B 0X�� C� ��������� � � ������� � ������������������ ������������ �$���&��� ��������� ����� � �� �� 2� :�� ��

0 0 0[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { (0)}M X C X K X F+ + =�� � �-�(0<

"���

( )10 0 0{ } [ ] { (0)} [ ]{ } [ ]{ }X M F C X K X−= − −�� � �-�(00

%� ���� ���� ������ �� ���� ����� ��� ��������

�������� ��� ������ ��������� ������

/���� 01� !���� �������� D�E�� D�E� ���� D< E�

/���� 21� !���� �� ����� ��� B+C� ���� 0{ }X� �� � ��� 0{ }X�� �� �$� >&�� �-�(00 �

/���� 31� =� �$� >&�� �-�(0) �� � ��� B+F��C�

/���� 41� ����� ���� B+��C�� B+���C�� B+���C�� ���� ��� ������ ��� ��� >&�� �-�(<? �

"���,��� ����9�$� �:� ������� ��::���������'��� ��� �'��� ��� ��� ����� ������������� ���9��

���m ax

2t

� < ���������� ������� ������&��������D�EB�C�2���D�EB�C��#���������

�� ���$�� ���� � ��� �� ����� ��� ���� ���� ��� �� ��������� ������������� ������������ ���������� ����B+���C��������������� ���� ���

������� ���� ����B+�C��B+���C�� �� ��3����������������������'����*����������'������������������&� ����3�����$���� � ���� ��� ������B+���C����� ������ ��� ������B+���C��%� ��� ���� � ������ ���� �������� ��� � �� �������/���� ��� ���������� ��� �����������������9��� ���� ����� ��� ���� �� ��� ��� ��� ����� ��� �&� ��� ���� ���������

������ ����������� ������ #�����$����� ����%

J�� { }nX�� ��� 1{ }nX +�� �� �� ������� ���� ��� � �� ��� ���� ������ ����� ����� #�� �� ������

����� ���� �� �� ������� ��� �� ������� ��� �� ��������� ��� 11/2({ } { }),n nX X ++�� �� ��� �� ����� �! $��� -�.?�� "������ �� ���� �� �

( )1 11

{ } { } { } { }2n n n nX X X X t�+ +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠� � �� �� �-�(0-

( ) 21 1

1 1{ } { } { } { } { } ( )

2 2n n n n nX X X t X X t� �� �� ��+ +

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠�-�(0?

=G����� ��� ������ �� ������� (� $� �� H� ��� ���� �� $� ��� H� I� ����

Page 293: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ��� �$� >&�� �-�(0- � �� >&�� �-�(0? �� �� ���� �

( )1 11

{ } { } { } { } t2n n n nX X X X �� �

+ += + + �-�(0@

7�����$ �$� �� ����� �� >&�� �-�(0@ �� �� $�

[ ]1 12

{ } { } { } { }�

� �n n n nX X X X

t+ += − − �-�(0;

!���� >&�� �-�(0? �

[ ]1 12

4 4{ } { } { } { } { }

( )n n n n nX X X X X

tt ���� � ��

+ += − − − �-�(-:

%� � �$� �� &��� ��� ��� ��� ��� D>&�� �-�(<) E� ��� � �� ������ �� ��

1 1 1 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}n n n nM X C X K X F t+ + + ++ + =�� � �-�(-.

����� ��� �$� ����� >&�� �-�(0; � ���� >&�� �-�(-: � �� >&�� �-�(-. �� �� $�

1 1[ ]{ } { }n nK X F+ += �-�(-(

��

2

4 2[ ] [ ] [ ] [ ]

( )K M C K

tt ��= + + �-�(-)

��� �����

x����

1

2� x���- x�����

x���

� �� ���

C��

����� ���' 37������ ������������ ��1����

,� ��� �� ������ � � ������ ���

Page 294: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

1 1 2

4 4{ } { ( )} [ ] { } { } { }

( )

2 [ ] { } { }

n n n n n

n n

F F t M X X Xtt

C X Xt

��

� ��

+ +⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠�-�(-<

%� ���� ��� ��� ����� >&� �-�(-( � ��� B+���C�� ���� �� ���� ������ �� �� ����� ����������

�������� ��� ������� ����������� ������

/���� 01� !���� �������� D� E�� D� E� ���� D< E�

/���� 21� !���� �� ����� ��� � � ��� ���� � ���� B+C� ���� 0 0{ }, find { }� ��X X �� �$� >&�� �-�(00 �

/���� 31� !���� [ ]K ��� >&�� �-�(-) �

/���� 41� !���� BF C� ���� ����� ���� B+C� ����� >&�� �-�(-( � �������� ���� �� 2� ���� (���� )���� �

%� ������ ����� ���� � ���� ��������� [ ]K � ���� ���� ���$� � �� � ��� #�� �� ������ ������� ���� ��� ���� ��� ���� D� E�� ���� ��� [ ]K � ������ ����� ��� B+C�� #�� �� ��� �� �$'���3�� ������ ��� ��� ���� ���� ����� ��� ��� [ ]K B+C� 2� [ ]F �� ���� � ���� �������� �� ����� ������ �� [ ]K � ����� �����7����� ����� ��� ���� [ ]X � �� ������ �� ���� ���� $����������%����� ������ ���� [ ]K � ��� ����� �$����� ������ ���� ��� ���� D� E� �� � �$������ "�������� ��������� �������������$� ���� �$�� �$��������������������� ���"�������������������� �������������� ��� ��� ��������� ����� �� ��� � �� ��$��� ����������5�� �� �������� �� ������� � ����������� �� �������� ������� ������� �� ������� ��� �$����� �������������� ��� " ������� ���� ���� �&� ��� ��� 3� �� ������� � ������������ ���� ��� ������� �$� ��������� #�� �� ������ � ������� ������ ����� ������� ��� ���� �� ����� ���� ������������ ��������� �� �� ���

&���� ����������� ������

"� ����$� ������� �������� ������� ������� ��� ��� �� �� ����� �� �� ������� ����� ���� �#�������������������������������� ������ ��� ����������� 1{ } to { }n nX X +

�� �� ��� �� ���� �� ! $��� -�.@�

"��� �� ���� ���� ���� � �� ��� H� ��� �� ���� ���

1{ } { } ({ } { })nt n n nX X X X

t�

�+ += + −�� �� �� �� �-�(-0

#��$��� �$� >&�� �-�(-0 � � �� ������ ��� � ��� �� $�

2

1{ } { } { } ({ } { })2( )nt n n n nX X X X X

t�

��

�� � �� �� ��

+ += + + − �-�(--

2 3

1{ } { } { } { } ({ } { })2 6( )nt n n n n nX X X X X X

t�

� ��

�+ += + + + −� �� �� �� �-�(-?

Page 295: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

+�� � �� ����� ��� ������� ��

1 1{ } { } { } ({ } { })2

��� � �� �� ��n n n n n

tX X X t X X+ += + + − �-�(-@

2 2

1 1( ) ( )

{ } { } { } { } ({ } { })2 6

� ��� �� �� ��n n n n n n

t tX X X t X X X+ += + + + − �-�(-;

>&��� ��� �-�(-; � ���� �� ��� ���� ��

2

1 12

12 2

6 ( ){ } { } { } { } { } { }

2( )

6 6 6 { } { } { } 2{ }( ) ( )

n n n n n n

n n n n

tX X X X X t X

t

X X X Xtt t

���

�� �

+ +

+

⎡ ⎤= + − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − − −

�� �� � ��

� �� �-�(?:

=� �$� >&�� �-�(?: �� >&�� �-�(-@ � ���� �� ��� ���� ��

1

12 2

1

{ } { } { } { }2

6 6 6 { } { } { } 2{ }

2 ( ) ( )

3 3{ } { } 2{ } { }

2

n n n n

n n n n

n n n n

tX X X t X

tX X X X

tt t

tX X X X

t t

��

��� �

�� �

+

+

+

= + −

⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − − −

� � �� ��

� ��

� �� �-�(?.

����� ���) 8����� ������������ ��1����

��� �����

x����

x���

� �� ���

C��

,� ��� �� ������ � � ������ ���

Page 296: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

"� &��� ��� ������ ��� ��� � �� ����� �� $ ��� ��

1 1 1 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}n n n nM X C X K X F t+ + + ++ + =�� � �-�(?(

����� ��� �$� ����� >&��� �-�(?: F �-�(?. � �� >&�� �-�(?( �� �� $�

1[ ]{ } { }nK X F+ = �-�(?)

��

2

6 3[ ] [ ] [ ] [ ]

( )K K M C

tt ��= + + �-�(?<

1 2

6 6{ } { ( )} [ ] { } { } 2{ }

( )

3 [ ] { } 2{ } { }

2

n n n n

n n n

F F t M X X Xtt

tC X X X

t

��

��

+⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

� ��

� ���-�(?0

+����������������� ���������� ����������� �������� ����% ����������������� ������� ��� �� ������� ��� �� � ����� ���� 6���� � � �� �� ������� ���� �� H� �� � ���� ���� �������� � �� ������� ���� �� H� ��� �� ��� �� �� .�� ��� ����� �� ! $��� -�.;�� #�� ���� �� �������� �� �� �� .�)?�� ������ � ����� ���� � ��� ���� �� ������� "���� ���������� �� 2� .�<� �� ����

%����������������� � � ���� � ������ ���� �� � ���� � ����������� ��� ������������� �� ���� ��� �� &��� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��� H� ������ ����� ���� ��� ��� H� ���� "��� ���� ��� ����������� ������ � ����� � ����� ������ ��� � �� ��� H� � ���� "� � ���� &��� ���� ������ �����

[ ]{ } { }nt tK X F

��+ = �-�(?-

��

2

6 3[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) �� ��K K M C

tt= + + �-�(??

( )

2

{ } { ( )} { } { }

6 6 [ ] { } { } 2{ }

( )

3 [ ] { } 2{ } { }

2

��

��

��

� ��

� ��

n nn t t t

n n n

n n n

F F t F F

M X X Xtt

tC X X X

t

+= + −

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

�-�(?@

"'�� ��������� ������ ��� �'�� ��������� ����� ��� ��� ���� ��� ����� .F<� ��� ����$������� ��� ����� ����� ���� �� ��� >&��� �-�(?? F �-�(?@ � ���� [ ]K � ���� [ ]F �

Page 297: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

'�����( ������ �� ������

"�8����3������ ���� �� � ��� ��� �� $���� ��� ��� ��� �� ����$� ������� ����������� � ���� ������� ��� ������ J�� ��� ���� �������� �� ��� �� &��� ���� ���� �� ��� ���������

� ������ ��������������'��!���� >&��� �-�(0- F �-�(0? �

1 11 1

{ } { } ( ) { } { }2 2n n n nX X t X X�+ +

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦� � �� �� �-�(?;

2

1 1( ) 1 1

{ } { } ( ){ } { } { }2 2 2n n n n nt

X X t X X X��+ +

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦� �� �� �-�(@:

(��������������������'��!���� >&��� �-�(-@ � ���� �-�(-; �

1 11 1

{ } { } ( ) 1 { } { }2 2n n n nX X t X X�� � �� ��

+ +⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

�-�(@.

2

1 1( ) 1 1

{ } { } ( ){ } 1 { } { }2 3 3n n n n nt

X X t X X X��+ +

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦� �� �� �-�(@(

#�� �� 8����3� ������ �� �� �

1 1{ } { } ( ) (1 ){ } ( ){ }n n n nX X t X X� ��� � �� ��+ +⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦ �-�(@)

2

1 1( )

{ } { } ( ){ } (1 2 ){ } (2 ){ }2n n n n nt

X X t X X X� ��� � �� ��

+ +⎡ ⎤= + + − +⎣ ⎦ �-�(@<

����� ���2 9����#�� ������ ������������ ��1����

��� �����

x����

x���

� �� ���C�����H�����

x���� H��� ��

,� ��� �� ������ � � ������ ���

Page 298: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

���� ������ ������������ ������������ ��$��� �������������������� � ���� #�� �� ��� ��� �����

���� 1

2� = � ����

1

4� = �� 8����3� ����� ������ ��� ����$� ������� ��� ����

����1

2

� = � ����1

6

� = �� 8����3� ����� ������ ��� � ���� ������� ��� ����

#�� �� 8����3� ������ �� ����� ��� �� &��� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��� H� ���� ��

1 1 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( t)}n n n nM X C X K X F t �+ + ++ + = +�� � �-�(@0

!���� >&��� �-�(@) F �-�(@< �� �� ���� �� �

1 12

1 2 1{ } { } { } { } ( ){ }

2 ( )n n n n nX X X X t X

t

� �

��

�� �� �+ +

− ⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ �-�(@-

1

12

1 2{ } { } ( ) (1 ){ } ( ) { }

2

1 { } { } ( ){ }

( )

�� �

��

� � �� ��

n n n n

n n n

X X t X X

X X t Xt

+

+

⎡ −⎧= + − + −⎨⎢ ⎩⎣

⎤⎫⎪⎡ ⎤+ − − ⎥⎬⎣ ⎦⎪⎥⎭⎦

�-�(@?

����� ��� �$� ��� �� >&�� �-�(@0 �� �� ���� �� �

1[ ]{ } { }nK X F+ = �-�(@@

��

2

1[ ] [ ] [ ] [ ]

( )( )K K M C

tt

�� ��= + + �-�(@;

{ }

( )

2

1 1 1[ ] { } [ ] { } + { }

( ) 2 1( )

( ) [ ] { } { } { }

( ) 1 2 / 1

nt t n n n

n n n

F F M X X Xtt

tC X X X

t

� ��

� �

� � � �

� ��

��

� ��

� ��

+⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

�-�(;:

"� ����� ��� ����� ��� ��� ���� ��� ���� $ ��� ��� �� ���� ����$� ������� ��� ��������� ���� �� ����� ���� �� ��� >&��� �-�(@; F�-�(;: � ���� D K E� ���� BF C�

8����3� �� $ ������ �������� �� ������ � ������� ������ ���� � �� 12

� � � ���� 14

� �� ��� �� ��������� ����$� ������� ��� ��� �� !��� $������ �� ��� �� ���� �� ����� ���� ������ �������� � ������� ����������� �� 2 1/2.� �≥ ≥

%�� ������� ������������������ ���� ��$��� ����������� �$���������������������� ����� � 4��� �������� ��� �������� �� �� � ��

Page 299: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���2 0(������ 0���� ����3"�����1� 4���� 0�������� �� �� � �5 �#�� ��� ��� <�?�� �� � ������� �� ����� ��� ��� ����������� ��� ������� ��� �������� � ������� ��� ����� ������� ���������%� ���� �� �� ���� ������ ������ ��� �� � ��� �� ������� ��� �������%� ����� ���� ���� ��� �� � ���� ������ �� ��������� ��� ������� ���� �� �� � � �� ������� �� �������� �� ��� ��� ������ ��� ��� ���" ��� �� �� ���� ��� �� � �� �� � � ����� ����� �������������%��������������������������� ��� ��������$��������� ������� �� ��������� ��������� ������������� ����� ������������ ������� ���5�� ����������������� �� �� � �� ���� � ��� ���� �� �� ��� ��� � �� ������ ���� �� ����������� ����� ������ ��� ����� ���<�?��"�� ����� ���&��� ���$���� �$�� ��������������������������� �� $ �����

2

2 ( )

c

T P Tk q h T T c

A tx�∞

∂ ∂+ = − +∂∂ �-�(;.

���$�2����� � ������������������� � ������������ ����"�2�������������2� �������������������� �����������2��� ��������2���������� ����� �����'�2������� ����� ����������� � ���� "�� 2� ��� ��� ���������� �� 2� ��� ���� ���� � 2� ��� � �� ���

"� � $����� ����� �������� ���� �� �� ���� ��

2

20 ( ) 0

L

c

T P TW k q h T T c dx

A tx�∞

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ �-�(;(

J�� ��� ������ ���� ��� �� ��� ������� ��� ������ � ��� �� 2� : �� "� ��3� ����� ��� �� ����� ��� &��� ��� ���� �� ���� ��� ��� ������ �$� ��$��� ��� ��� ������ ��

0 0 00

( ) 0L

L L L

c

T W T P TWk k dx W h T T dx W c dx

x x x A t�∞

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ − − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ �-�(;)

��

0 0 0

00

L L L

c

LL

c

dW T P Tk dx W hT dx W c dx

dx x A t

P TW hT dx Wk

A x

⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂⎡ ⎤= + ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ �-�(;<

"� ��3� ����� ���� �� ��� ���� ��� ��� ���� � � �� ������ ���� �� �� ���� ��

0 0 01

001

n

c

n

c

dW T P Tk dx W hT dx W c dx

dx x A t

PhT TW dx Wk

A x

�� � �

��

⎡ ⎤∂ ∂+ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∫ ∫ ∫

∑ ∫ �-�(;0

,&����� ,� ��� ��.� ������� /���� ,� ���� � � �� �� 0�� ��

Page 300: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

%� ������ ���� ���� �� ����� ��� �� ���� ��� ���� ��� �� D�� >&�� �<�.0; E� ����� ����� ��� � ����� ���� ����� �$� �� ��� � �� ���� !��� �� ��������� � ���� �������� ��

1 i jx x

T T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � �-�(;-

O ����� �� �$� � �� ������ ��� � ��� �� $�

1 i jx x

T T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� � �� � �-�(;?

"� � $�� ����� ���� � �$� �� ���� ��� �� ���� ����� ����� �� ��

1 1 x

W⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠� �-�(;@

2 x

W⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠�

�-�(;;

%� ���� ���� ������� �� �������� ��$��� ��� ���� �� ��� � ����� ��� � �� ��� ���� ���������I

10 0

1 1 i jT x x x

W c dx c T T dxt

� �⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

� � � �� � � �-�)::

20 0

1 i jT x x x

W c dx c T T dxt

� �⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

� � � �� � � �-�):.

'���� �$������� ��$��� ����������� � �$���������� ������ ����������$������������ ��� � �� ������� �� ��

[ ]2 1

6 1 2

ie

j

Tcc

T

�⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

���

�-�):(

"����� �� DE�� �� ������� ��� �� �����$���� ��� �� ����� ���� �������������� ������ ���� �� �� ���� ��� ��� ��� �� ���������� �� � � ���� ��� ������� ���� �$��� � ������� ��� ��

8��� �� � ���� ����� ���� &��� ���� ���$ �����

01 1 2 1 2 1 /2

6 6 /2 1 1 1 2 1 2

i i

c cj j

T T Qk Ph c PhT

A AT QT

�∞

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ −⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟+ + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎩ ⎭ �

� �� ��� �

�-�):) =���� ��������� ���� �� ��� ��� � � �� ������� �� $�

[ ]{ } [ }{ } { ( )}K T C T F t+ =� �-�):<

Page 301: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� � ��N�'�2�(:�%*���\'N�����"��2�):\'��+������������ �������� �� �� ���������"� ����� ���������� �������%�� ���������������� �� ��������� �� �� � ����� ��� �� � ������ ���� �$� ��� �� ������ ����� ����� ��� ���� ��� �� >������ <�.:��%�� ��� ��� ����� &�����$�� ������ �������� �� � ��

"� �������� ���� ��� ���� �� ���� ��� ��� �������I

2

1 1 0 0 0 2 1 0 0 0

1 2 1 0 0 1 4 1 0 0( ) (0.001) (20) (0.0125)200

[ ] 0 1 2 1 0 0 1 4 1 00.0125 (6) ( ) (0.0005)

0 0 1 2 1 0 0 1 4 1

0 0 0 1 1 0 0 0 1 2

K�

⎛ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝

⎞⎟⎟⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎠

����� ���4 ������������ ���������� �� �� ��#��� $ %������ ��'&�

4�

,�

& ��

#

!��� ������� �� �$� �� ����4� ���� ����� �� � ���� &��� ���� ���� �� ��� ��� ���� ��� ��

1 12 2

[ ] [ ] { } { } { } [ ] [ ] { }n n n nK C T F F K C Tt t� �+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�-�):0

%�� ��� ��������� �� ����� ������ � �� ��������� �$� �� ������ �$� ������

���������� "�����������������9���������������:��;�'��� �����.����� ������0:�������$���� � ��� � ��� �� ��� ����� �� ! $��� -�(:� ���� ��� ����� �� ��� �������� ����� �� ����������� �� ��� ��� ��� )::\'�� =�� $� 2� (::� %*�*\'�� �� 2� (?::� 3$*���� � 2� ;::� X*3$\'� ���

,&����� ,� ��� ��.� ������� /���� ,� ���� � � �� �� 0�� ��

Page 302: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

2 1 0 0 0

1 4 1 0 0(2700) (900) (0.0125)

[ ] 0 1 4 1 0(6)

0 0 1 4 1

0 0 0 1 2

C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

{ } 2

0.00625

0.0125( ) (0.001) (20)

(30) 0.0125 ( ) (0.0005)

0.0125

0.00625

F�

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

{ }

wall

0

0

0

0

Q

Q

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

�-�):-

% �����2�.���� �������� �������������� ��� ���� ���� ����������$ ��� ��"����-�)����� �� ����� ����� ��� �� $ ��� �� ! $��� -�(.�

������ ��� 6� ��� ������������� �� �� :�#��

����� ��� ,� ,� ,� ,� ,�

� 6�� �85�92 61�#6 6��56 6����# 6�� �33�19 28�#9 65�53 6��58

6 6�� �23�68 ����83 95��8 61�1�

8 6�� �19�22 ��2�26 5��55 93�3�9 6�� #�8 �6��2 23�69 5��95

3 6�� #�1�12 �8��13 11�#6 29��6

5 6�� #�9�6 �9��#� ����86 15�562 6�� #�1�2� �91�3 �##��3 ��1�8

1 6�� ##6�28 �33�16 �6��31 ��1�31�� 6�� ##5�61 �56�9� �8��# �#2�19

Page 303: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

*0""��1

#�� � ��������������� ������� ���������� ������������ ������ ����� �������� ����������� �$� !>/�� %� ������� ���� �� ����� ��� ��� ����� ��� ����� ��� �������� �� ���� � ������� �$� ���� ������� ������ ����� ����� � ����������+������ �� ���� ��7R���� � ���$���� �$� ������ ����� ���� ��� ��� ��� � �������� +����� ����� �$� ��� ���� �$� ��� �������������������$�� ������������� ����������� ��&� � �� ���&��� ��������������� �� ��� ��� "���$� �� ������� ��� ����������� ����� ��� ���� ������ ����� ����� �� ������������������ � ��������������� ������������� ���������� ��������������� ��������� ��� ����������� ��������

2�3�'�"*

!" '��� ��� �� ������ ����� �� ! $�� V-�.�

�� %� �� ����� �� �� ������ ���� ����� ���� ��� ��� �� ���������

����� ���� �������� ������������ ����������� �� �� ��#��� $����#������� �� ��� ��� %������ ��'&�

#

#

3

#

3

6

3

����� :��� 3� �# ������ �����#����� �������

������ ��

0

100

200

300

0 10 20 30 40 50 60

T1

T2

T3

T4

T5

C��� ���

C�� ���

Page 304: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��

�� #�� �� 3����� ���� �� �������� ��&��� �� ��� �� ������ ��� .� (� ���� )� ���*��� 8��������������&�������������� ����������������������&������=����� ������ �� ���������� ���� �����&���� ��������$����� ��������������������������� ������ ��� �� D&E� ���� ��

!"# #�� ��� ���������� � �$������$��� $���������� $���������������� ��$ ��������V������ �� �������� �������� ���� ������ �$� �� ����� ������ ���� ��� �����

20 10 0

20 10

Symmetric 20

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

!"$ !��� �� ������ ����� �� ! $�� V-�.�� ���� �� �� $��� �������� ��&����� ��� ����� ���� ��������

!"% >���� ����������������� �� �� ������ $����������� ������ ��4������� �� ���� ���� ��� ��� &�� �� ���� �������� ��� ����������� �� � �� �����[

!"& O��� �� �� ���� $������� ���� $�������� ��������� �$� ��� �� ���� ���4��������� �� �$� �� ����� ��� �������� ���� ���

2 1 0 0 2 0 0 0

1 2 1 0 0 1 0 0[ ] , [ ]

0 1 2 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

K M

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

!"! !��� �� ������ ����� �� ! $�� V-�-�� ���� �� �� ����� ��� ������� ���� �� ������� :��� �� ��� �� ����� ���� � ����� ��� �� ��� <� ��� �����

#��

����� :��� �������� ��� ��� ��� �� ������ � ����

� ���

) ��

##

��

��

�� �

Page 305: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���

���������� � ������

CHAPTER 7

������������ ������ ����������������������� ��������������������� �������������������������� ��������� ��� ���� � ��� � ���� ��� ��� ����� �� ��� ������� ���� ���� ��� ���� ��������� ������������ ���� ��� ������ ��� �� ���������� ������� ��������� ��� �� ������� ��� � ��������������� ������������������������������� �������������������� �� ������������������������ � ���� �� ��������

��� ����� �� �� �������� �� ���������� ��������� ��������������������� �������� �� ��� ����� ��� ���������� �� !���� ���� ��� �� ����� �� ����� ��� ��������� ���"� ������ ��� ������ ������ � ��� ���� ��������� ������ ����� ��� ������� ������ ������ � ���������� �� !���� "� ������ ��� ����� ������� ��� ������� ���� ���� ��� ���������� ��� ������� ��� � �������� ���������� �� � ���� ��� ������� ������ ��� �� ������ #�� �� ��� �� ������� ��� �������� ��������� �� � ���� ��� ������ ��� �� ������ $���������� ������ ������������� ����������� ������������� ��� ���������� ������%�� ����� ����� �������������������� ���� ��� �����������������"���������������������� ������������� �������������"����� ������� �� ������� ��� ����� ��� ������ �� ������ ��� ������ ������ &��� ����� �� ���������� �� ������� ����� ���� �������� ������ ��� � ���� ����������� � ������� �������� ������ ���� � ������� ������ ���"� �������������� ��� ����� ������� ��� �������� ����� ����������� ������������'��������� ����� ��� ����� �� � ������� ���������� ��� �������� ���������������������������������������������� �� ����������������� �����������������������������"����������������������������� ��������� ������������������������������������������ ���������

��� ����� ���� ��� ���� ���� ���� ������ ��� �� ���������� �������� &��� ������ ������������ (����� ���� ��� ���� ��� � ������ �� � ����)� ���� ����� ����� ��� ������ ���� �������* ������� ���� �� ����� ���� ����� ��������� �� ���� � �� ����� ��� ������� ���� �� �� ������ �������� "��� ������� ��� ���� ������� �� ��� ����� ��� ���� ���������� �������

Page 306: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ���������� � ������

���������

����� ��� ��� �� ���������� �� ���� ���

�� � ����

�� � ���� ��������� ����������� � ����

����� ��� ���������� ��� ���� ������ �� � �� ��

������ ���� ����� �������������������� ������� �������� ������

����� ��������� ���������������� ��������

�� ������ ������� ����� ��� ����������� ��� ������ ��� +��� �� ,�-�� "��� ���� �� ��� ���������� ������ � ������ �� ������ ��� +��� �� ,�.�� "��� ����������� ��� ���� ������ � ������ �

������ ���� ���� ���� ����� �� ��� ������ ������ �!���� ���� �� ��� ���� ���� � ������� "�������������������������������������������������������� �� ������������/� ������ ��������� �������� ���� � ����� ������������ ��� ���� ���� ����������� (��0��� ��������� �� ������� ���)���������������������� �������������������"��� �������( �� ���)� ����������������������������� ������ ������������ �� ��� ���� ������� ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� �!��� ��� ���� ������ ������� ( �� ���)��"��� ��������� ���������� �� ������� ����������� ��� ��� ������� �� ��������� �� ������� ������

"��� ������� ���� �� ����� �� ��������� �� �� ��� ����� ��� ���� � �� ����� ��� ���������������� ��������� ���������� ������������"���� ���������������������������� ��������

Page 307: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������������������������

�����������

����� ��� ���������� ��� ���� �� ���� ��� �� �� ���

��� �� ����� ��� ��� ������� ���� ���� ��� �� ���� ��� �� ����������� ������� ����� ��� 123� �������� ��������� ���� ����������������� ��.13������������� ����� ��������� �������������� ���� ����� � ���� �� ����� ���� ������� ����� "��� ��� �� �� ��� ��� ��� �� �� �� � � ����������� � �� ������� ��� ��� �!����� ����� ���� ��� ���� � ���� ��� �� ����� "��� �� ������������� ��� ������� ����������� �� ������� ������ ���� �� �� ������� �� �� ������������� ������� �������� ������ ��� ���� ������� ��� ������ ��� +��� ��� ,�'� ��� ,�4�� +� � ��������� ���� ����� ����������������������� � �� �������������� ������� ����������������� ������������������ �� ������ ��� +��� �� ,�1�

������ ��� � ���� ������� � !��� �"�� #� ��� ����� � !��� $���� � %&&'�

���� �� ���� ����(���

)����*� ��� �*������ ���

������ ������� �������� �� ���������� ������� �������� ���

Page 308: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ���������� � ������

����� �� !�������� ����� �� �� �������� ������ ��� �� ���� ���

�*������ ���

���(� ��� �*���������*(�(

!+� !��� ��� ����(� �� ��� �������

������������"(

,!

,!

)����*� ���

!��� ��� ������ (� -.'/!��� ��� ����(� %. 0112� ��� ������� 03 /'1

�*�����

)����*

������������"

����� ��" !�������� ����� ��#������� �������� ������

Page 309: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���� ��� $��� ������ ��� ������ �� ���%�������� &'()� ���� *� �� ��� ��� ������

� � � � � � � � � � � � � � � +����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +����� �

4��� 0� 5��� )�� ��� 0� 5��� )�� ��� !�� ����� ����� ����� ��� ����� ����� ����� ���

% 3'6 '&0 7&�0 3&/ 3%/ 7%/�0. %./' %.&% 3�/ %.-/ %03/ 3�/00 %&6% %'%. 7%3�/ %&'- %'6' 7%'�66 .%.& %'30 7.%�6 .%0. %'30 7.%�11 0/.0 .001 7..�- 0/.3 .00- 7..�-

���� ��� $��� ������ ��� ������ �� ���%�������� &'()� ���� *� �� ��� ��� ������

+����� � +�����

4��� 0� 5��� )�� ��� 0� 5��� )�� ��� !�� ����� ����� ����� ��� ����� ����� ����� ���

% 6-3 1'. %1�6 1%' '/' %3�1. %/&0 %%3. 3�. %%0. %.%0 3�%10 %6-3 %1/1 %�. %6&% %1%0 %�16 %-&. ../3 %'�3 %&.. ..%' %1�01 .&.6 06'& %-�' .&'' 063. %3�%

����� ����� ��������������

�������������� ����

"����������'������������������ ��������������������������������������������� ����� �� ����� ������������ 5

� $������ -5 �� ������� ������� (� ���� ��)� �������� ���������� ������� ��� �� �����

� $������ .5 $������ -� ��� ��������� ��� ��������� ���� �� ��� �� �����

� $������ '5 $������ -� ��� ��������� ��� ��� �� ����� ���� ��������� ��� �������

� $������ 45 $������'� ������������������������� ���� �� ��� �� ����� �� ���� � �� �����

� $������ 15 $������4������������������������������ ��� ������������������������������ ����� ���� '�� ������ ��� ���� ���� ������� ���� ���� ��� ������� ��� ��� �������� "���� ������� ��� �� ��� � ����� ��� ������ �������� �������

"��� ����� �������� �� ������� ��� � �� � ��� ������ ���� ������ ��� �� ��� �� ���������������������������������� ��� �!���������������������������� ���������������"�� ���������� � ������ ������������ �� � ���������� ����� ��� ���"�����,�-6,�'��*����������

������ ������� �������� �� ���������� ������� �������� ���

Page 310: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ���������� � ������

���� ��� $��� ������ ��� ������ �� ���%�������� &'()� ���� *� �� ��� ��� ������

� � � � � +����� "

4��� 0� 5��� )�� ��� !�� ����� ����� ����� ���

% 6-6 06' .-�1. %/&3 %.-' %3�.0 %6.0 %6-3 6�16 %-.- %&1% '�31 .-&' 0..- %%�1

����� ��� +������ ����� �� ��� ��� �� ���� ���

������� ��� ������� ��� ������ ������ �� �� �� �� ������ ������� "��� ����� ����� �����(+��� ���,�76,�8)������������������������������������������������������ ��������������������������� ��� ����������

����� ��, ������ ����� �� ��� ��� �� ���� ���

Page 311: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ��- ����� ����� �� ��� ��� �� ���� ���

��������� ��� ���� ��������� ��� ������� ��� ���� ������� ������������ ����� ���� ��� �� �!������� ��� ���� �������� �� �� ��� ���� ���� � ��� ���� ������� ��� $������� -� ��� '�� "�� ������������������ ��� �!���������������������-83�������������� ����� ���������������� ������ ����� ����� ���� ��� �������� ��� ������� ��� ���������� ���� ������ ���� �������� ��� ������������������ ���������������������������������������� ��� �� �������� ���� ��� ��������� ��� ���� �������� ������������ ������ ���� ��� �� � �!������� ��� $������ 4�� "��� ���������� ���� ��� �� � �!������� ��� ����� -73� �� � ���� ������ ��� 73� �� � ���� '�� ������� ��� ��������������������������������� ��������������������������������������������������� ������������� ����� ���� ��� �� � �!�������� + ��� � ��� ����� ��� ������� �������� �� � �������� -� ��.� (� � '� ��� 4)�� ��� ���� ��� ���� ���� ��� �� � �!������� ��� �� ���� ��� �� ���� �� 76,3������������� ����� ����������������������� ���� �� ������������������� ��������������������� ��� �� ���� ��� ���� ��� �������� ��� �� ����� ������ ���� �� ����� � �� ������ ���������9����� �� � � ��� ������ ��� ������� ��� ������� �� ����� ������� ���� ��� ����� ���������� �����

��� �� ��� ���� ���� ���� ���� ���� �������� ������ ��� ��������� (� )� ���� ��������� ��� �������� ��� �� ���� �� (-76.23)�� "��� '��� ������� �������� ������� ������� �!�� ���� � ��� ����������� ���� ���� � ������� � ��� �������� ��� ���� ������� � �!������� ��� ���� ������� ����� � �������� ����� ���� ������� ��� ����� ������� �

���� ����������!������������

"��� ��� �� ��� ��� ���� ��� ���� �� ��� ���� ��� ���� ��� ������ ������ ����� ��� ������ ��� ������������ �� ��� ��� ���� ������� ��������+�� �� � ������� ��� �� �� ���� ��� ������ ���� �� ��.2�� ������������������������ ���(+��� ��,�:)��"��� ���������������������������������� ��� �� ������� ��� ���� ������� �� ������ ��� +��� �� ,�4��"����� ���������� �� ����� ������� �� �� �� � ����� ������� ��� ������� ��� ������ ���� ������ ����� ��� ����� ������� �;����� ���������������������� ����������� ����������������������� ��������������������

������ ������� �������� �� ���������� ������� �������� ��

Page 312: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ���������� � ������

������

������

������

������

������

�����

������ � � � � � � �

�����

�����

����

�����

�����

�����

�����

�����

����

� � � � � � � � ��������������� ������ �����

����

������

� !�

�"�

#���

�����

�� ��

��

����� ��. /� ���� ������� ��� �� ���� ��� ��� ������ �������� ��������������

����� ���0 /� ���� ��������� ��� �� ������ &�� �� �������� �����)�

����� ��������� <������ ������� ��� ���� �� ������ ���� � (.222� =� �>�)� �� ����� �� �� ��� �������� ��� ������� ��� (������� ����?�2�2-)��������� ����� ���������������� ����������� ����������� ��������

"��� ������� �� � ����������������� �� � ��� �������� ��� ���� �� ����� �� ���� �� � ���������� ���� ������ ��� ������� ��� ���� �������� "��� ���� /����� �� ���� �� ���� ������ ��� ���������� +��� ��� ,�-2� ��� ,�--�

��������� �

�� ����

��� ����� ������ �����

����

����������� ����������������

������������

��������

�������

� ��

���

�� ���

�!"

�!"

�!"

Page 313: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ���� /� ���� ��������� ��� �� ������ &��� �����)�

"���*@A� ������������� �� �������������������������'�����������$���A�� �� �� �������� ��� �� ��������� -.� ��� ��� ������ ���� �� � ���� ���� ������ ��� �� ��������-.����������9����� ������������ ������������������������������� ��������� ����� ����� ���� �� ������ ����� ��� ��� ����� ������� ���� �� ������� ��� ��� ���� ������� ��� ����������� ��������� ���������������������������"������������������������������������� ������������������������������ ��� �!������������������ �������������'������������������������������ � ���� ����� � �������� ����� ���� ������� ����� ������ ��� ����� �� ���� ������� ��� ���� ���������� ��������

��� ����� ���� ����� �� �� �������� �� � ������ ����$���� ��� ���� �������� ������ �� ��� ��� ���� �� � ���� �� ��������� ����� ������� ���������� ���������������������� ������������������ ��������� �������� ��������������������������� ���������� ��� ��� ���� ���� � ������ �� �� ��� ������� �� �� ������ �������� ��� ����������� �� ���������� �����������"���� ���������������� ���� ������� ���� ��� �� ����� ������ ����� ���� �� ���� ��� "���� ���� ����� �� ���������� ��� ��� ��� � ��� ����� �� ���� ���� �������� �� �������� ��� ����� ��� ����� ��� �� �������� �� ������� ���� �� ���� ��� ���� �>��� ��� � ������� ���� ��������� ���� ������ ��� �� ������ �� ���� �� ������������� ��� ��� ���� � �������� ������ �� ��� ��� ���� ��� ������ � � ���� ������������ �������� ���� ���� �� ������ ���� ��� � ����� ������� ����� ��� � ��!������ ;��� �������� �� ����������������������!�������������������������������������������������+�� �� ��� ����

� ����������� ������ ������� �������� �� �� ��������� ������ ���

������ ���

��� ����

��� ����� ������ �����

#

����

����������� ����������������

"

�� ���

������������

��������

�������

���

��

Page 314: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� ���������� � ������

���� ��� �8�(*��� ��� ( �� �� ����2*������ ��"� ���� �� ������

�8�(���(*��� *

�8�(���(*��� *

����� ���� 1� ���� �� ��������� �������

"��������������� �������������� ���������������������� ��+�� �� �� �����B����� ���������� ��� � ����� ��� ����� ���� ������ ���� �������� ���� ���������� � ����� ��������� ����� �������� ������� ������������������� ����������������� ������������� ���� �� ������������������ �� ������� ��������� ��� ���� � ��������� ��� ���� �� ���� ������� ��� � ������ � ���� ��������

����� "��� ������ "������ �������������� ���#����

��������� ���� ��������� ����������� ������� ������ ��� ���������� (����������� ���������)���� ��� ������� �������� ��� � � �� � ���� �� ������ ��� +��� �� ,�-.�� "����� ��� ���� � ����� .��

����������������������������*���� �1����0����� ���������� ������������������ ���������� ������!�� ���� ��� ������������!�� ���� ��� ���� ����� �� ��������� �������� �� �������������#������������������������� ���������������� ��� ����� ������!�� ���� �� �������������� ������ ��� +��� �� ,�-.�� A����� ���� �� ����� ���������� ���� ������������ ��� ��� ������ �������� ���� �������� �� ������� ��� �� ��� ��� ����� ������������� �

�� ?��� ����� �� ?��� ���� (,�-)

��� ���� ����� � ������� ��� ���� ������������������� ������������"�������� �������� �� ���� ���� �� ������ ������ ��� *���� � 1� C���� #!��� (1�4')6 (1�47)D�� ��� � ���� ����������

Page 315: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� �� � �������� ������ � � ���� ������ �� ���� ��� ���� ��� ���� ��� �� ����� ��� ��� ���0� �� ������������ �� ���� ������� ���� ������ ����� �� ���>�� ����"��� ������������ �� ���� �� �������� �� ���� ������ �5

ru

r�

∂=∂

� u

r�� = � z

v

z�

∂=∂

r zu v

z r�

∂ ∂= +∂ ∂ (,�.)

A����� ���� ����� �������� �� ��������� ��� �� ��� ���� ������ �� ���� ��� �� ��� ��� ���������������� �� �������5

{ } [ ]{ }eB� �= (,�')

"��� �� ������ �� ������ ��

1 01 1

1 0(1 ) 1 (1 )(1 2 )

1 0

1 2Symmetric

2(1 )

r r

z z

rz rz

v v

v v

vE v vv v

v

v

� �

� �

� �

� �

� �

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

�����

{ } [ ]{ }D� �= (,�4)

"��� �������� ���������� �� ��� ��� ������ ��

CD�� ?� � CD�C�DCD � � ?� � CD�C�DCD (.� �) �� �� (,�1)

"�������� ������ �� �������� ������ �� �� ���� � �� � ��� &���� !�� �� �� ����

����� $ ������������ �� � %������� &�����

�� ������ ����� ����� ����� ��� � ���� �� ������� ����� �� ����� ���� ���� ��� (+��� �� ,�-')��� ���� ����� �� � ���� �� ������� ����� �� ���� ������� ���� � �� ���� ��� � ���� �� ��� .222� � (������ �� ���� .22� /@)�� ��������� �� ���� ��������� ��� � ����� � ����������� �� ��������� ���� ���� ������ ����� ��� ���� �� ���� ���� � ������ ��� � ����� �� �������� ��

+� � ���� ������ ��� ��������� ������ ��� +��� �� ,�-4� ��� ���� ���� �� �������� � ����� ��� ����1222������������������������������� ���.,12����������������������������������� ����������� �������� ��� +��� �� ,�-1�� "��� ��������� ����� � ��� �!������� ��� ��� ������� ��� ����� 1122(?� �)�� ����� � ��������� (?� �)� ��� ����� -22� �� � ���� ���������� �� ���� "��� *�������� �����(����������������)�������������� ��������� �����!��������"����� �� ���� (����������)������ � �� ������ ��� +��� ��� ,�-7�

� ����������� ������ ������� �������� �� �� ��������� ������ ���

Page 316: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ���������� � ������

����� ���� +������� �� ��� ���� ��� � ���� �� ��������� �������

9*�����������((��

2��������������(��

����� ��� �2� ��������� ����� ��� ��������� �������

2��������������(�� 9*�����������((��

Page 317: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

����� ���" /�������� ����� ��� ���� �� ���� ���� ��

����� ���, ��� �� ������� ��������� ������ ������ �� ��������� �� �����

� ����������� ������ ������� �������� �� �� ��������� ������ ���

Page 318: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���

��������� ��� ������� ������

APPENDIX A

���������� ��������������������������������������������������������������������������� ����������� ��� ������� �������� ���������� ��� ����� ��������� ��� ������������������������������ ����������������������������������������������������������������� ��� ���� ��� ����������� ���� ����� ������ �� ����� ���������� ������ ��� ����� ������ �� ����� ���� �������� ��� ��� �������� ���� ������ ���� ����������������� ������� �������� ��������� ���������

������� � � ����� �������� �� � �������� ��������������� ������� ������ ������ ������������������ ������������������������������������������ ���� ����� � �������� ���� ����� ��� ��� �������� ������

� !� ������� ��������������� ������������������������������� ��������������������� ��� �"������ ���� �#����������� � ��� ����� $��� ����� ��� �������

� $ � � ����� � � �%� ��� ����� ������ ����� ������� ���� � ����� ���� ���� &� '(()*� �������� &� +()*�� ����� ��� ������ ���� ��� ��,� ��� ��� ��� ������ �� ��� ������� ���� �� �������

� -���� ��� ��� ������ ���� ��� ��,� ��� ����� ��� ���� ������� ��� ��������� ������� ��� � �� ������ ������.+()*��/������ ��������������������������� ������� �������� ������ � �������� ��������� � � ,�� �+� 01��2�� 3� ����%� �� ���� � ��4���� ��� ,����� ��������� ��� ����� ���� ��� � �������� ��������� � ��� �((� 01��2�

� ������������� ��� ������� �"������� ��� ���������� �������� �(1)*%� ���� ��� ��� ���������� ����������5����(1)*������� ��� �������� �������� �� ������ � ����� ����������

� /�� ������ ������ ������� ���,��� � ������ ����������������� �������������� ������������������ ��� �������� � .+()*�� ����� ��� ������ ���� ��� ��,� ��� ��� ��� ������� ��� ����� ��� �� ����

��� ��� �� ������ �� ��� ��������� ������%� �����������6�� ��������� &� 7����� �(��� 81��%�����6�� �� �� &� (�'%� ���� ����� �� &� 9:((� ��1����$������ ��,��� � ������ ���� ��� 7+)*�

Page 319: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� ��� ����� ������������ ������

����������� �� � ��� ���

� ���� ��

��� � �� �������

����

����

��� �� � ����

����������� �� �

� ���

��

� ���

� ���� ���

� ���

��

����� ��� �� ���� ��������� ��� �� � ���� �� �������

������� �� ���������� ������� �������� �� � �������� ���������� ,�� ���� �� ���� ���� � ��� � ������� � � ��� ���� �������� � ����� ��������� �� �� ���������������� ��� ���� �������� ���� ���� ��� �����

� !� ��� ���� ���� ��������� �� ��� ������ ��������� ������� ��� �"������ ���� � ��� ����

� ;� � ���������������� ������� ����������,��7((����������� ���� ������� ��� ����������� ��� �������� <�� �� ��� ������� ������ ��� ���=

Page 320: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ��� ����� ������������ ������ ���

����� ���� �� ���� ��� ��������� ��� �� � ���� �� �������

����

����

� ���� ��

����������������� �� �

��� � �� �������

� $���"������������������� �������������������� ���������������� �� �������� � ����"������ ��� ������ �������������7��������� ������� � ��������� ��� ������������������������

� ���� ������� ������ � ,�� ��� ������ ��� ��� �4����� ����� ������ *������� �� ��������� �4����� ������ � ��� ������ ���� �� ������� ��� � ��� ����� ��������

0

6.9

13.8

100 200

Time(ms)

�� ���� �� !"#

� $

Page 321: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� ��� ����� ������������ ������

������� �� �������� �� � ������� ���������������'� ����� �� ���������������� �� �� ������� �,����� �������� �� �#�������� >-� ��?������ ������ ���������������%������������������������,���������� �%������� ������� ������� ���� �� ����� ���4�������� ���� ���� �������� $������ �� � ��� �������� ���� �� �� ���� ,���� ������� ��� ��� ��������� �� �� ������� ��������7+ ������!� ������� ��� ���������� ��� ��� ���

510 /fk N m=510 /rk N m=

����� ���� ��������� ��� ������ � � ����

%�����# �������� � ���##

��&���� �� ��# #& ��'��(� ��� ���)��� ���*� ��� �

���

���

���

�����+

��+

���

���

�� ,� ���� !"#

�� ,� ���� !"#

���

���

Page 322: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ��� ����� ������������ ������ ���

������� �� ���������� ����� ��������$� ������� �� � ���� �������� ��� ����� ��� ������� ���.>�?�� $� ����� ��� �� ���� �������� ��������� ��%� ��� ��� ������ � ���� %� ��� ���� ����� ���� ��� � ��� ����� ���,���� �� ��� ������������� ��� ����� ����#��� ���

���������� ��� �-���� ��� �� >@���? &� ��+� �-���� ��� �� >��� ? &� �� �0�����,��� &� 7�+� �A��# #���� ���� � &� .� �!�� ����� ,� �������#����� � &� �� �

*��,� ����� &� � B((� ������� ����� ��� ��� ���� �� �� ������ �� ������ A����������� &� '((� ��

>����� ����� � ��� �������� � �� � � � ��� � ?C�� ������ ����� &� '((� ��

>����� ����� � ��� �������� � �� � � � ��� �!%��� ��� (�9+� �� ���� ��� ����� �"���?

����� ���� �! ������� "������#��� � ���� �$��� ��� ������%� ��� �� ��%� ���� �� � �$��� ��� ��� ��� "&� ��� ����������� ��� ��� ��

�����������

@���� ���������� ����� �� >'� ���D9+ ��? � $������� � �� � � � ��� �� @�%� @,%� ���� @����� � ���������� ����� �� >7� ���D9+ ��? � $������� � �� � � � ��� �� ��� ���� �,�-�� #�������� ��������" ��&�5(��81�������������������������������������������>9(���?��� ���� � #�

Section

H

W

W=5 cm

H=10 cm

t=1 cm

F

1m

4 m

2.5 m

1 m0.75 m

RB

1.5 m

1A2A

aF

bF

aR

cR

bRL

Curb weight

Page 323: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� ��� ����� ������������ ������

����� ���

���� �������� ��� ����� ��� ���� ���� ����� ������ ���������� ���������� ��� ���� ������������ ��� ���� ,�� �������� ��� ����� ��� ������� ���.>,?�

������ ��������"� &� �5%(((� 81�$� &� 9(� 81�1�

���� ��������"� &� 7(%(((� 81�$� &� �((� 81�1�

������� ����� � � ����� �� ������ ���� ��� �� &

>����� ����?� E� >$"��� ����17?

����� ��� ����� &� �((� ��

����� ��� ����� ����� &� '+� ��"����� &� �((� 81�$����� &� 7((� 81�1�

����� ���� '! ������� �������#����������� %�������

������

- � .����

������

/��0���1� #��

2��*&���& ��

��� �

����

-��� 3������

��� ���� �������� ���� ���� � ����� ��� ����� � ����� ��� �������%� ������� ������� >����������%� ,��#������ ����%� ���������� ����%� �"��# ���� ����� ���� �������?�� !� ������� ��� �� �������4�������� ���� ���� ������� �� ��� �������� � ��� ���� ����� �� �� ���� ��� �������� ��� ��� ���� ����� ����%� ��� � ��� �� ����� ���4�������� ���� �� � ��� ������������ ���� �������

-�,�� � ��� >�������� � ��� ���� E� ���������?� � �� ������� ��� ���� �"�� � ����������� ���.>�?� ����� ������� ����� ������ ��� ����� �� ��� �������%� ��� � � ������ ��� �������� ���#��������

/������� � ������ �� ��� �"�� � ��������� ��� ����� �������� ���� ��� ���%���������� �������������� � �������%� ��� ����� � � ��� ���� �����

Page 324: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ��� ����� ������������ ������ ���

������������� �����

$����� �������&�(� ��� &� ()% ��� &� ()C �� ��� �"���� ������ ��� ���� ���� ��� ������ ��� &� 5()% ��� &� 5()

���

��� &� ()% ��� &� 5()% ��� &� ()% ��� &5()

��� ��� �,��� ��������%� �� ������>�? ��� �������� ��� ������� ���� �������� � � ��� ���������� ��� ���>��? �������� ���>���? �������� �� ��

� � ����

� �

�� �

���� ����������� �� ���� ,�� ����"��� ��� ��� ����� ��� &� $� ��� >��� E� ��?� F����������� � � � ��� #��� � ���G��� &� $� ��� >��� E� ��?� F����������� � � � ��� #���� � ���G��� &� $� ��� >��� E� ��?� F����������� � � � ����#��� � ���G��� &� $� ��� >� �� E� ��?� F����������� � � � ����#���� � ���G

*�������� ���4������� &� >7� 1�?� �� >�������� �����?H������������ &� B(� ��1��

0������� �� �� &� 7�+� �� >����� ��� ������ ,���?$���� ���� �� ���� ,����� &� (�(+� �

��������� �!

Pitch

Roll

Rear Bounce

Front Bounce

bd

’a’c ’d

’ ’a c- b d- ’ ’b d-

Page 325: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� ��� ����� ������������ ������

������� !� �������� �� � ���"��� ���#$� ������� ����� ����� ��� ���� ��,����� ��� ����� ��� ������� ���+�� ������� �"������ ���� ���� ������� � ��������� �� ��� ����%� ������ ��� �������� ����������� ��� ����� � � ��� � � �� � ����� �����%�� ����

����� ���( ������� �� '�� ������� �� %��)�

��

��

�(�

��

����

-��

-��

-��

-��

���

���

���

���

��

���

Page 326: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ��� ����� ������������ ������ ��

������� $� ������� �������� �� � %���&��'*������� �� ����������� ����� �� �� ������� ,�������� ��� ����� ��� ������� ���B�� ����� ���� ������ �� ����,�� ����� ��� ����� �����6���������&���.��� �(���81��I������6�� �� ��&�(�'I����� �� &� 77.(� ��1��I� ������� ���� ����� �������� >(�7� F2G� E� (�.� F�G?�

� ����� ��� ��� ��� ������ ,���1��� �� ������ �� ���� �� ������� ��� ���� � ���� �� �������4�������� ���� ��� ������������ ���� �������

� ������ ���� �� � � ���� ���������� ���� ���� �� ��� ������ ����� ���� ��������� ������� ��� ������ ,��� � ����� � �� ����� �������� &� +((( 8I� ����� � ������� � �������&� :(( �81�I� ��,�������� ����� �� ��� � �� &� � ��� � � ��� ����� ���� �� �� (�� �I� � �����������&�'(((������!� ������� ���� ������ � ������������ ������ ������� ����� ��������� ���� ��� ���� ���

���#

����� ���* �������� ��������� ��� �� �������� '���%���� �� ���� ��

��#

�(���#

��#

��#

��#

�(� � �(��#�

Page 327: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�� �������� ��� ����� ������������ ������

������� (� � ����� �������� �� �� ) *�'��� ����&��*������� �� ����������� ����� �� ��� /*� ������� ��������� ����� ��� ������� ���9�

� ����� ��� ��� ��� ������ ���� �� ������ �� ���� ����� ��� � ����� � � �� ������ ������ ��,� ��� ������ �� � ��� &� 7(()*� ���� ��� &� '()*�� $������ &� &� .+� 01�)*� ����� &� 7(� 01��)*�

� J��� ��� ������� ������ ���� ��� ��,� ��� ���� �� ������ ��� ����� ��� ��� ������� ���������� �� ������� � �������� ��������� ��� ������ ���� ��� ��� ������ �� ��� ���������

� !������ �������� �� ����� �� ��� ��������� ,���� � ��� �������� �� ��� � �������� ��� ������������� ���,��� �� ����� ���� �������� ��� � ,�� ���� ��� � '%� ���� ����� ���� ���� ,��� ��������� '� ��� ���� ���� �� � � ���� ���� 7(� ���

��

��

� ��

���

���

� ��

����� 0������ ���4 � � #0 ����

� ��� ��� ��� ���%�1������#��1������ 1� �$

���

���

���

���

���

���

���

2��4 �� #0(�+�

����� ���+ �� ���� ��������� ��� �� �������� ,"� ������� �����%� �

Page 328: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ��� ����� ������������ ������ ���

������� +� ������ ������������*������� ��� � ����� ��� ��,� ��� ������ �� ������ ��������� ���� ��� �� ������ ��� �� ��,�� ��� � ���#�"���� ������� / � ��� ����� ����� �� � ��� ���� ����� � ����� ����� �� ��� ��� �� ��� ���� ����� ��'��0������� �������� ��� ����� ����� ���%� ���� ����� � ������ ���� �� � � ����� ����� �� ����� ����������������� ��������"����������������� � ��������/�� ��������"���������������������� �� ��� ����� ��� �� ������%� ���� ����� ��� ���������� � ��������� � ��� � ����� ��� ��,� ���<�����%�������������������������� �������������� ������ ���������������%� ������� ���%������� �����������"��� ���� ������������� ���������������������������� ����������� ������������������� ���� ��� ����� ��� ������� ���:�

� ����� ��� ��� �� �� �� ��� ��� ���� ��������� ���� ������ � ������� �#���������������� �� >����� ��� :15#����� 4������� ����I� B#����� �������?� ���� �� ������� ��� ������� ������ ��� ����

� *����������� ���������������������������� ������ ������������������ �����,���������>������������%�,�� �������������?��������� ����K�1��� ��1���,����� ����������4����� � �� � ����#������� � ����� ��� ��,� ���

����� ���- ������ .���� ������

������� ,� �������� �� � -��& ���# ����� .��&/0���� -��& �����"��

������� ���5� ����� �� ����������� ������� �� �� ������� @���10�� �� <���� �����,��� ����� ������ �������������������������� ������ � ������ ������� ������ ��������� ���@10������� ���������� ��� � � ��� ���� � ��������� �����,��� ��� � � ��� �,� � ��� �"��� �������������� � ���������� ��������� ����������������� �������� ������� �������������� ���> ����?��� ������������ ����� ����� �%� ����� 8��,��� �� ������ ���� ��� ��� ����� ����������� ���� ��� �������� ���� ���������� ����� ������������ / � ��� �������� ���� �� � �� %� ����� ��� �����,��� ��� ����� � �� ���������� ��%� ��� ��������� ��,�� ���� � � ��� ��� ��� �� ��� @10� ����� ,�� ��� ��� ��� ����,���� ������ �������� ����������������"%��� ���� ��������������,�� ������ �����������,���������� ��� ���%������������������ ������ ����������������� ������ �������� �������� ������� ������� ���� �� ����� ���4��������� 8�" %� ������� �� %� ������ �� ������� � ����� �� ��� ������� ����%� ��@10� ����� �����,��� ��� � � ��� ,�� B()� ��� �(� ��� ������ ������� �������� ��1�������� ��� ���>����%� ��������������� ��������?��!� ������� ��������������,�� ����� � ��� ��%���������� ��@10���������� ������������ ������������%�������� �� ���� ���B()���� ��� ������ ���,��������� ��� � �� ��� � ���� ��� ��������

Page 329: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� ��� ����� ������������ ������

��������/ 0� %�%���� % ����123����%� �����'���

%�����# �������� � ���##

���

��

%�� ����*� ��� ��##$ 2� �� ����*� ��� �(��##$

���

��

- ��

-�- ��

��

� �

� �� � �� �

� �

Page 330: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���

������� �� ���� �������

APPENDIX B

���� ����� � ������� �������� �� ���� ���������� ������ �� ���� � ��

������ �� � ������ ���� �� ������ � �� ��

� � ������� �� � ������ ���� �� ������ � �� ��

�� � ��� ������� ���� � � ������� ������� ���� � ��

� ������ ������� �� ������

� !�"����������� ��������� � ������� ����������� ��� ������������������ ��� ��"� ���#������������ ���� ����� ������$�%"���������������� �������� �� ������� ��������� �����"������������������&��$�$��� �������� �����������'���� �&�� �����������&��"�������� ����������� �$�$� '��������� �������������������� �� �"����� ���������� ������ � �������� � ��������()$)$

0

0

Carpet width

Band width

������� ���

���

���

����� ���� �� ��� ������� �������

Page 331: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� ��� ��� �� �������������

%"�� �� *�� ��������� ���� ��� ��� ��� ��� �"�� ����� � �"�� �������� '��� ������� � �� +�,�"���������� ��������� ������� ���� �� ������ ��� ����$�-���� ����� �� ��� ������� �����������������������"��������������� ���������� ����"�� ������������� ��������"��������$%"��&

111

1

[ ]

n

n nn

aa

x xA

xa a

x x

∂∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥=

∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

� �

11 1

1

[ ]

n

n nn

a dx a dx

A dx

a dx a dx

� �

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫

∫ ∫��������� ���� ������������� ��� ������� ���� ��

������������� �� ��������

+���� .� ����,���� �� �/�

%"�� �������� ����� � ���� � ������ � �� ������ � ��&� ����&� #"���� ��&� ���� �������� �� ��� �"����� ������� � ���� � �� ����� ���� �"�� ������ �� �� ���� ������$� 0� ���� ��� ����� � �� ���������&���#���� ��� ����$� 0&� � � ������ &� ���� ��� ����������� ���&� �������s� �����������$�%"�� ������ �� ����� ������� ����� ���� ��"� ��� �$�$&� ����

������ �� /� +�� �� �,$

���� ������� ����1 ������ �� ���"���������� � �������� ��������������� � �� ��������� �����"�$�2���������"������ ������ ���&� �"�� � ��� ������&� ����� � +��,� ����* # �� ��#��#��"� �� � ��� �������������������� � �"�� � ��� � ������ ��� � � � ����������� �$�%��������&� �� ��� �������+�,� � ����������� ��� �� �"�� ����� ���� � ���"� �"��

��+��,� �� ��& �� �� )&� 3&��&� ��)

4�� ����������� ��������"�� ���������������� �� �� ��������� �����5� ������������� ����$���&� �"����� ������������ � ��� �� ���� � ��� � �� �"������������������$������ ����� ����� ��� ����� ��� � ����&� #"��"� �������� �"��� ��� ���� ��� ��� � �����"��#���� ��� �"�� ����$� %"�����������"��������� ��"������������������$�6 ����� ��������"������"��7���� ������"�$%"�� ������ ����� ��� �� #����

1

0

( ) ( )n

n i ii

p x f L x+

=

= ∑

Page 332: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� ��� ��� �� ������������� ���

#"������� ���� * # � ��� �"�� 7���� ��� ��� ������ ���� � ��

1 2 1 1 1

1 2 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )i i n

ii i i i i i i n

x x x x x x x x x xL x

x x x x x x x x x x− + +

− + +

− − − − −=− − − − −

� �� �

0��#�������"������� � �������� �"��� �� ������� �"�� ���������� ��&�#�� ���� ��� � �������&� �"�� ������� � �"�� ��� ����&� ����� �� ��� �"�� ����$� 8#����&� �"��� ��� �� �� ������� ����$9���������� �����������������������"����� ����������+�,��������������� ���� �������#�� ��"�

�� ��� ��$� ��� � � �������&� ���� ��� �������� �� ��� �"�� � ��� � 2

1( )

1f x

x=

+� � � �"�� � ������

+.:&� :,$� %"�� ������ ��� ���� ��� ��� �� 7���� ��;�� ���"�&� ��� ���������� ����&� ��� ���� � � �������()$3$�%"������ ��� � +�,�� �� �"����� ����������� �����+�,+����<�� ��)3,������������� � �"�� �����$� 0�� ��� �������� �"��� ��� ���� �� �������� �� ���� ����� �� � � �+�,$

0 ������ � �� �� ���&� "��"� ������� ��� ����� ������ ��� � � �"�� � ����� � ������� �� �� �� �� �&#�� ���� ���������� �"�� � ������� � �� �� �� ����� ��� � �� ��� �������� �#� ������� ��� �����+���"� ������ � � �� ����� �,$� 6 �� ���"����"�� ����� ������ ���� ��� #"���� �� ������ ������ ��� ��#��"� � ���"� ����� �$� =��"� �� �����#���� ������ ���� �� ��� ��� �������� �� ���� �� �� �� ���&� "��"������� ��� ����� �� �"�� � ����� ���� &� ��� �"��� ��� �� ���>���� �� ��������� � ������������ +�,�������� �$

����� ���� ������ ���� � ���� �� ������ ����������

Page 333: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

���

������� ���� �� � �� �������

APPENDIX C

������������������ ��������������������������������������������������������������� ����������� � ��� � � �� �������� ��� �� ����������� �������������������� ���� ���� ��������� ��� �� ����� � ��� �� �������� ����� �������� ����������� � �� � ���������� ��� � � �� �������� ������ ����� �������� ����������������� �� ����� ��� ���� � ���� �������� � �� ����� ��� �������!"�

�������� ��� � �������

������ ���� ��� ��� ��� ��� � ����������� ���� �������� � �������� ������� ����� �� ��� ���� ����� ���� � ���� � ��� !������ � ��� ��� ��� ���� ���� � ���"��#��� ��� ��� ��� ��� $������ �� %��&�� � ���� � %���� '��&������ ��(������ �)����*� %���'���� �(������ �)����*�� ����� ��%���� ��)����*

����������� ����� ���������������� ����������� ������������� ������ !"��#"$%���������� �������� &�����'()'�� )%�� **%� +,-%� ++%�� ,-,-%������������ )%� )%���.� ,-,-%��� � ++%��� ++%

&& ������ ��!��"!�#��$�%!�&

�#�,/�01,,-�#�,/�21,,-

�0 02%1/3/

Page 334: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� �� ����� ������ ������� ������� ���

,/ &#����4��#�*/��1,+�#�*/��1,+

�2!&� ��%1/3/*/ �5� ��%1/3/

���2!&� ,*% 1 "/3677+6/*8)*���2!&� **% 1 /3677+6/*8)*���2!&� ,+% 1 "/37796)888)*���2!&� ++% 1 /37796)888)*���5� ,,% 1 *3/���5� ,*% 1 ,3/���5� ,+% 1 63/')3/���5� **% 1 ,3/���5� *+% 1 -3/')3/���5� ++% 1 63/')3/

&& &�'����'�($��'$!� ))�&

�#�)/��!1,�5!4::���1�2!&� �!�5!4::%�#�-/���1,�5!4::���1�2!&� ���5!4::%

&& ���;!<���#����&0���4��#���5!4::��#�����;#:��&##=���!��:�!=�& �� ���%�� ���%& !���;�:�5!4::��#��������<!24!���>�?�>�?�@!�=�&�:�4:��5��"��!& =#4����&

%� ��"��!������!��� �� �(!�*�%��<1�5� �!�5!4::%A�5� ���5!4::%A�;&A����!&&!22��=!@42 ���+,-,-����%�#�7/��1,,-�#�7/��1,,-

�0 ��%1�0 ��%B���� ��%A�<-/ &#����4�)/ &#����4�&& ���;!<��:4@@���4��#<�=�!22��;��5!4::��#���:�!���#��!����& �2�@����:��CC��::�@!�=���>�0?&

=��4=�����'+$)'���!��"��!������!��� �� �(!�*�%��@�2�&����#4�2���=�&�:�#�� !";�#"D%�#4�2���=�&�:�#����� )%��� )%�!&�!&��< **%��@��:�#���2 )%2 )%�, +9%�* 99%�+ 9,-%&#@@#�'()'�� )%�!& **%� +,-%� ++%�0 ,-,-%

Page 335: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� �� ����� ������ ������� �������

&&���;��:;!���C4�&��#�:��<!24!����!���� ���%���.��� ���%&

�� )%1 ,3/"���A���%A ,3/"���A���%�� 6%1/36A ,3/"���A���%A ,3/"���%"/36A�� )%�� 8%1/36A ,3/B���%A ,3/"���A���%"/36A�� )%�� 7%1/36A ,3/"���A���%A ,3/B���%"/36A�� )%�� -%1/36A ,3/"���%A ,3/"���A���%"/36A�� )%�� ,%1/3*6A ,3/"���%A ,3/"���%"/36A �� -%B�� 6%%"/3*6A�� )%�� *%1/3*6A ,3/B���%A ,3/"���%"/36A �� 8%B�� 6%%"/3*6A�� )%�� +%1/3*6A ,3/B���%A ,3/B���%"/36A �� 8%B�� 7%%"/3*6A�� )%�� 9%1/3*6A ,3/"���%A ,3/B���%"/36A �� -%B�� 7%%"/3*6A�� )%

&&���;����=�<!��<�:�#C�:;!���C4�&��#�:E�����=��=�:���:���=�<!��<�����;��& ����=��=�:���:���=�<!��<�����;��&

��� )%1"*3/A���A ,3/"���A���%��� )%1"*3/A���A ,3/"���A���%

��� 6%1"���A ,3/"���%"/36A��� )%��� 8%1/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%��� 7%1"���A ,3/B���%"/36A��� )%��� -%1"/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%

��� 6%1"/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%��� 8%1"���A ,3/B���%"/36A��� )%��� 7%1/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%��� -%1"���A ,3/"���%"/36A��� )%

��� ,%1"/3*6A ,3/"���%"/36A ��� -%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� *%1�/3*6A ,3/"���%"/36A ��� 8%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� +%1�/3*6A ,3/B���%"/36A ��� 8%B��� 7%%"/3*6A��� )%��� 9%1"/3*6A ,3/B���%"/36A ��� -%B��� 7%%"/3*6A��� )%

��� ,%1"/3*6A ,3/"���%"/36A ��� -%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� *%1"/3*6A ,3/B���%"/36A ��� 8%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� +%1�/3*6A ,3/B���%"/36A ��� 8%B��� 7%%"/3*6A��� )%��� 9%1�/3*6A ,3/"���%"/36A ��� -%B��� 7%%"/3*6A��� )%

&&�������!2�:��>�!&?���.�>�?&

�#�,/��1,*�#�,/��1,*

,/� � � � � � �!& ��%1/3/

�#�*/��1,+�#�*/��1,,-

Page 336: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� �� ����� ������ ������� ������� ���

*/� � � � � � � ��%1/3/&&��C#=@��5��;���!&#��!�&

�#�+/�21,)�!& ,,%1�!& ,,%B��� 2%A�2 2%�!& ,*%1�!& ,*%B��� 2%A2 2%�!& *,%1�!& *,%B��� 2%A�2 2%�!& **%1�!& **%B��� 2%A2 2%

+/�&#����4�&&��C�����5��;������=@��!���#C��!&#��!��!�����<�=:��#C��!&#��!�&

����!&�1��!& ,,%A�!& **%"�!& ,*%A�!& *,%&

�4@,��1��!& ,,%'����!&�!& ,,%1��!& **%'����!&�!& ,*%1"�!& ,*%'����!&�!& *,%1"�!& *,%'����!&�!& **%1��4@,

&&

�#�9/��1,+�#�9/��1,9

9/ �, ��%�1�/�, ,,%1,3/�, *9%1,3/�, +*%1,3/�, ++%1,3/

�#�6/��1,9�#�6/��1,9

6/ �* ��%1/�#�8/��1,*�#�8/��1,*

8/ �* ��%1�!& ��%�#�7/��1+9�#�7/��1+9

7/ �* ��%1�!& ��%

�#�-/��1,9�#�-/��1,,-

-/ �+ ��%1/

�#�)/��1,)21*A�012",�+ ,0%1��� �%

Page 337: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� �������� �� ����� ������ ������� �������

�+ *�%1��� �%�+ +2%1��� �%�+ 92%1��� �%

)/ &#����4�&!22�@!�@42 �,�*+99�,�*%&!22�@!�@42 �,�*�++9,-�%=��4=����

&&

���'+$)'���!��$�#' ���+�%� �#���(����@�2�&����#4�2���=�&�:�#� !";#"D%����@��:�#��! 2@%� 22%& 2�%� @�%!� */*/%!�� */*/%

&&������=#5=!@��#�&!2&42!��� �%1 !%�A �%A &%&

� � � �#� ,/� �1,2� � � �#� ,/� �1,@

,/ !� ��%1! ��%� � � �#� */� �1,@� � � �#� */� 01,2

!�� �0%1/3/� � � �#� */� �1,2

*/ !�� �0%1!�� �0%B!� ��%A� �0%� � � �#� +/� �1,@� � � �#� +/� 01,�

� �0%1/3/� � � �#� +/� �1,2

� �0%1� �0%B!�� ��%A& �0%+/����&#����4�

� � � =��4=�� � � ���

����'+$)'���!�#��#' ���+� �#���%�����@�2�&����#4�2���=�&�:�#� !";#"D%�����@��:�#��! 2@%� @�%& 2�%&& �=#5=!@��#�&!2&42!���>&?�1�>!?A>�? � � � �#� ,/� �1,2� � � �#� ,/� 01,�

& �0%1/3/� � � �#� ,/� �1,@

,/ & �0%1& �0%B! ��%A� �0%� � � =��4=�� � � ���

Page 338: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

�������� �� ���������������������������������������������� �� �� ��� �� � � � !

"���#���� � �"�� ������� � � ��������$%�������

"����������� �"�%����� ������������������ �� �� �����%��� �� �� ��

"�%����� ������������� �

&��������''�������������� &�����(� '������������ � � �� � !&������������ ������ ������ ���&���������������������)&*+, ! �� �� �����

-��.���'����� ��!����������'���/������� ).��.��������, ��!

-�������' '������������� ��-����� ������������������ ��� �����.������������ �����.����� ������� ���

-������������� � � �� � � � �-��.�������� '���� �! �-%���������������!

0�������%���!�!��!�������!���'�����!�

0���������� �!��!���!���0��������� � � �� ���� � � � ����������� !� � � ��� ����%������������!�&*+ ! �� �� �� ����$%������ ��'���� ������� ! '�%�1������������%��� !� ��'���� �!���.��������� !� �� �!$%�� � !� � ��� �� � �$%�� � �� �� ��� � � �$%�� � � � �� � ����1����� ������%��� !�� !! �� ��� �����''���������� ! ��%�1.��������� !��%.��1.��������� !������1����� ������%��� �� �� � ��

0%����2��������$%������

3%�������� �� ��������4������' �������������� �' �� � ��

5�%�� ����������� �5����*��������'���������

6����.������� '%������ )��������� ��� �,6��������'��#��� ��!���������!�������%�������%������� �%��.��� �� ���

�����

���

Page 339: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

��� ����

7����������� �!�����7������� �� �� � �� � � � �

2��������������� !� ���$%������ �� �� ���.��������� �

2������������������������������������2��� ������ ����������

2��������������'���� !�

8����'������� '����� )83, ���8��� ���������������� ��� �! �%�.�� ��� ���

8��� �%.��.������� ������ ��� ��!����

9�#���( ������� ��� ���9���� '���� ������ � � � ���������� � �%�.�� �

9�������� '�%�!�

:��1.�������� ���%���� �

;�������� ����� � �;���� ����������� ������$%� � ������������� .����� ��

<%�����%��9�#����&���� �� ��5�%�� ���� � ���*��.��� �����.�4����� �!

<%���1������ ���

/������� $%������ ��� �� /��������/��4������ �� �!/����%����%����� ������� �

/�'��������1��.� �� .1��.� ��

*���1����������308 ��*������.��� �������� !� ��*��.� '%������ � �! �!*��������� ����� .�������� .�����.�� �' �� �� �!*��''����������������� �� � � �������������� �!

*������������ �� � .���� �� �� ��

*�����1���.���������������������� �*������������ ��.���� �� �� �� �� �!������� �

*�%�� ��$%���� .��.���� �!� ���*%�����%�������(#���� �'��#��� � �

+����'�������������� ! ��+���� '%������ �.����1#��� ������%�%� �� �

+���� ���%���� )����� ��� ��� �,

=������������%��5����(�� ��������#������� �����%�� �����������������#��( '��� �' � ��1�� � ��� ���

=��������'%��������=�����1������� ���

Page 340: TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS - …soaneemrana.com/onewebmedia/TEXT BOOKOF FINITE ELEMENT AN… · Textbook of Finite Element Analysis P. Seshu ˘ ˇ ˆ ˙ ...

Textbook of

Finite Element AnalysisP. Seshu

Designed for a one-semester course in Finite Element Method, this compact and well-organized text presents FEM as a tool to find approximate solutions to differential equations. This provides the student a better perspective on the technique and its wide range of applications. This approach reflects the current trend as the present-day applications range from structures to biomechanics to electromagnetics, unlike in conventional texts that view FEM primarily as an extension of matrix methods of structural analysis.

After an introduction and a review of mathematical preliminaries, the book gives a detailed discussion on FEM as a technique for solving differential equations and variational formulation of FEM. This is followed by a lucid presentation of one-dimensional and two-dimensional finite elements and finite element formulation for dynamics. The book concludes with some case studies that focus on industrial problems and Appendices that include mini-project topics based on near-real-life problems.

Postgraduate/Senior undergraduate students of civil, mechanical and aeronautical engineering will find this text extremely useful; it will also appeal to the practicing engineers and the teaching community.

KEY FEATURES

u

u

u

u

u

Clear and concise presentation of concepts

Large number of worked-out examples

Flow charts of key algorithms

Problems including Problems to Investigate at end of chapters

Large number of term-project topics

ABOUT THE AUTHOR

P. SESHU, Ph.D., is Professor, Department of Mechanical Engineering, Indian Institute of Technology Bombay. Earlier (1984–85), he worked as a Scientist at the Defence Research and Development Laboratory, Hyderabad; he was also a visiting scientist to academic institutions in USA, UK and Germany.

An outstanding student throughout his studies and a distinguished teacher, Dr. Seshu has contributed extensively to reputed journals in India and abroad, including International Journal of Composite Structures, Communications in Applied Numerical Methods, Journal of Sound and Vibration, and Journal of Aeronautical Society of India.

Rs. 250.00

www.phindia.com 9 7 8 8 1 2 0 3 2 3 1 5 5

ISBN:978-81-203-2315-5