Teoria Numf Estud

Divisibilidad y funciones numricas

Giovanni Sanabria Brenes

Contenidos1 Algoritmo de la divisin 2

2 Divisibilidad 32.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Mximo Comn divisor 83.1 Definicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Primos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Generalizacin del MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Ecuaciones diofnticas, Teorema fundamental de la Aritmtica y Mnimo comnmltiplo 144.1 Ecuaciones diofnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Teorema fundamental de la Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Mnimo comn mltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Funciones numricas 205.1 Suma de Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Nmero de Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3.1 Definicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3.2 La ecuacin (x) = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4 Funcin de Mbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Teora de Nmeros, UCR Giovanni Sanabria

1 Algoritmo de la divisinTeorema 1 (Algoritmo de la divisin) Sean a, b Z con b > 0 Entonces existen enteros nicosk, r Z tales que

a = bk + r, con 0 r < b

Prueba. Se probar la existencia y unicidad de k y r.

Existencia. SeaS = {R N| (n Z) (R = a bn)}

Note que S N, adems a b ( |a|) = a+ b |a| S pues

b |a| |a| a

Por el Principio del buen orden existe el primer elemento r de S, como r S entonces existek Z tal que r = a bk. Note que r > 0 por definicin de S, adems si r b, note que

r0 = a b (k + 1) = r b 0

por lo tanto r0 S y adems r0 < r lo que contradice el hecho de que r es el primer elementode S.

Unicidad. Suponga que tambin existen k0, r0 Z tales que

a = bk0 + r0, con 0 r0 < b

Como r, r0 [0, b[ entonces |r r0| < b, adems

a = bk + r = bk0 + r0 = b |k k0| = |r r0| < b= |k k0| < 1 = k = k0 = r = r0.

Teorema 2 Sean a, b Z con b > 0 Entonces en el algoritmo de la divisin se tiene que k =hhab

ii,

r = a bk.

Prueba. Sea k =hhab

iiNote que k Z y adems por definicin de parte entera

k 0, por el Algoritmo de la divisin existen enteros nicos k, r Z tales que

a = bk + r, con 0 r < b

Si r = 0 se tiene que a = bk y se dice que b es divisor de a. Esto se generaliza para b entero en lasiguiente definicin.

Definicin 1 Sean a y b enteros, se dice que

b divide a ab es divisor de aa es mltiplo de bb es factor de a

y se escribe b|a si y solo si

(k Z) (a = bk)

Definicin 2 p > 1 es primo si y solo si los nicos divisores de p son 1 y p.

Definicin 3 n > 1 es compuesto si y solo si no es primo. Es decir n es compuesto si existen n1, n2enteros positivos tales que n = n1n2 con 1 < n1 < n.

Ejercicio 4 Sea n Z, demostrar que n, n+ 2 o n+ 4 es divisible por 3.

Ejercicio 5 Demostrar que 42n+1 + 442n + 10 es divisible por 15, para todo n N.

3


Teorema 3 (Propiedades) Se tiene que

1. a|a2. a|b b|a = |a| = |b|3. a|b b|c = a|c4. a|b = a|bc5. 1|a a|06. a|b a|c = a| (bx+ cy) ,x, y Z7. a|b = ac|bc8. 0|a = a = 09. a|b = |a| |b|10. ac|bc c 6= 0 = a|b

Ejercicio 6 Encontrar todos los primos iguales a un cuadrado perfecto menos 1.

Ejercicio 7 Pruebe que todo primo impar mayor a 3 es de la forma 6k + 1 o 6k 1.

Teorema 4 Todo nmero compuesto tiene un factor primo.

Prueba. Sea n un nmero compuesto entonces

(n1, n2 N) (n = n1n2 1 < n1 < n)

Si n1 es primo LISTO. Si no n1 es compuesto entonces

(n3, n4 N) (n1 = n3n4 1 < n3 < n1)

Entoncesn = n3 (n4n2) 1 < n3 < n1 < n

Si n3 es primo LISTO. Si no n3 es compuesto y se contina el proceso hasta hallar un primo.Note que este proceso es finito, pues si en el paso k no se hallado el primo se tiene k nmerosdistintos entre 1 y n :

1 < n2k1 < n2k3 < ... < n3 < n1 < n

y como entre 1 y n hay una cantidad finita de primos, entonces existe un j natural tal que n2j+1es primo donde

n = n2j+1n2jn2j2 n4n2es decir n tiene un factor primo.

Teorema 5 Existe una cantidad infinita de primos.

Ejercicio 8 Sea n > 1 compuesto. Pruebe que n tiene un factor menor igual an.

Ejercicio 9 Determine si 313 es primo.

Ejercicio 10 Demuestre que todo nmero compuesto de la forma 6k 1 tiene un factor primo de laforma 6k 1.

4


Ejercicio 11 Pruebe que existen un nmero infinito de primos de la forma 6k 1

Ejercicio 12 Halle 100 nmeros consecutivos compuestos

Ejercicio 13 Demostrar que los nicos tres primos impares consecutivos son 3, 5 y 7

Ejercicio 14 Halle todas las soluciones enteras (x, y) de la ecuacin

4x2 + 8x+ y2 12y = 280

Ejercicio 15 Probar que ningn de los enteros 1573, 157573, 15757573, ... es primo. Sugerencia:Pruebe que 13| (ak+1 ak) . Sugerencia: pruebe que 13|ak+1 akEjemplo 3 (55 Olimpiada Matemtica de Belorusia) Encuentre todas las tripletas (a, b, c) de enterospositivos tales que

abc+ ab+ c = a3

Note que a|c = c = ak =bak + b+ k = a2 = a2 bka (b+ k) = 0

El discriminante es = (bk)2 + 4 (b+ k) . Como a Z = Z. Luego

4 (b+ k) 4 (bk + bk) = 8bk < 8bk + 16Entonces, (bk)2 < (bk + 4)2

Si = (bk + 1)2 : (bk)2 = (bk + 1)2 (bk)2 = 2bk + 1 = 4 (b+ k)

lo cual no sucede pues el primero es impar y el segundo par. Si = (bk + 3)2 :

(bk)2 = (bk + 3)2 (bk)2 = 6bk + 9 = 4 (b+ k)

lo cual no secede pues el primero es impar y el segundo par. Si = (bk)2 = b = k y la ecuacines

a2 + b2a = 0 = a = b2

pero a Z+. Si = (bk + 2)2 :

(bk)2 = (bk + 2)2 (bk)2 = 4bk + 4 = 4 (b+ k)

por lo tanto bk + 1 = b+ k de donde(b 1) (k 1) = 0

Si b = 1 : a2 ka (1 + k) = 0, despejando a se obtiene que a = k + 1 o a = 1. Por lo tantoa = k + 1 y c = ak = (k + 1) k. As las soluciones son

(t+ 1, 1, t (t+ 1)) con t Z+

Si k = 1 : a2ba(b+ 1) = 0, despejando a se obtiene que a = b+1 o a = 1. Por lo tanto a = k+1y c = ak = a. As las soluciones son

(t+ 1, t, t+ 1) con t Z+

5


2.1 Ejercicios

1. Demostrar que 9n + 52n+1 6 es divisible por 8, para todo n 1, con n nmero natural.

2. Considere la siguiente proposicin:: 32n1 + 2n+1 es divisible por 7 para todo n 1

(a) Pruebe la proposicin.

(b) Utilice la proposicin demostrada en (a) para probar:

2 3199 + 2102 42 es mltiplo de 14.

3. Resuelva

(a) Sea n N, pruebe que si1 + 2 + 3 + ...+ k = n

entonces los nicos k nmeros naturales distintos que suman n+1 son: 1, 2, ..., k 1, k+1.

(b) Sea n N, pruebe que si

k + (k + 1) + (k + 2) + ...+ (k + j) = n

entonces los nicos j+1 nmeros naturales menores iguales a (k + j) que suman n1 son:k 1, k + 1, k + 2, ..., k + j.

(c) Determine 6 nmeros naturales distintas que sumen 22 (Cuntas posibles respuestas haya este problema?)

(d) Determine 6 nmeros naturales, distintos y menores a 10, que sumen 38. (Cuntas posiblesrespuestas hay a este problema?)

(e) Complete las celdas en blanco de la figura adjunta con nmeros del 1 al 9 de manera que:

i. En una fila continua de celdas blancas, horizontal o vertical, se debe colocar nmerosdistintos.

ii. El total de la suma de los nmeros en una fila continua de celdas, horizontal overtical, debe ser igual al nmero indicado al inicio de la celda.

6


34 15 6 28 4 94 3

12 2138

1816

33 17 518

4113

1334

13 3 34 1638

167

412 13

6 12 137

9 13

38

6

17

22

10

17

7

9

22

4. Sea r R un nmero no entero tal que [|r|] = n entonces

n < r < n+ 1

Considere

S =

r + 19100

+

r + 20100

+ ...+

r + 91100

Si S = 546, determine el valor de n. Sugerencia: todos los 73 nmeros de la forma r +

t100

con

t = 19, 20, ..., 100 estn entre r y r+1. Como r < n+1 < r+1, suponga que de los 73 nmeroshay k que estn en el intervalo ]r, n+ 1[ .

5. Demuestre que:

(a) Todo nmero impar tiene la forma 4m+ 1 4m+ 3.

(b) E1 producto de nmeros de la forma 4m+ 1 es de la forma 4m+ 1.

(c) Si p1, p2, ..., pk son primos de la forma 4m + 3, entonces 4p1p2 pk 1 tiene un divisorprimo de la forma 4m+ 3, el cual es distinto de p1, p2, ..., pk.

(d) Existe una cantidad infinita de primos de la forma 4m+ 3.

6. Sea n un nmero compuesto impar, pruebe que existen x, y Z tales que n = x2 y2.

7


3 Mximo Comn divisor

3.1 Definicin y propiedades

Definicin 4 El nmero entero k es divisor comn de a y b si k|a k|bDefinicin 5 Se dice que g = (a, b) Z+ es el mximo comn divisor de a y b, si y solo si

1. g|a g|b2. k|a k|b = k|g

Teorema 6 Sea C el conjunto de los divisores comnes positivos de a y b, entonces C tiene unelemento mximo y adems maxC = (a, b) .

Ejemplo 4 Note que (12, 18) = 6 pues

Los divisores positivos de 12 son : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Los divisores positivos de 18 son : 1, 2, 3, 6, 9, 18

por lo tanto los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3, 6 y el mximo es 6.

Teorema 7 Se tiene que (a, 0) = |a|Ejercicio 16 Demostrar que b|c = (a, b) = (a+ c, b) .Teorema 8 Sean a y b enteros no ambos cero. Se tiene que (a, b) es el menor entero positivo de laforma ax+ by, con x, y Z

Prueba. SeaS =

ax+ by Z+|x, y Z

Note que S N y S 6= pues a2 + b2 S, entonces por el principio del buen orden S tieneprimer elemento:

g = ax1 + by1

Caso 1: a o b es cero Si b es cero entonces S = {ax Z+|x Z} y entonces su primer elementoes g = |a| (x1 es 1 o 1) y note que (a, 0) = |a| .

Caso 2. a 6= 0, b 6= 0 Se probar que (a, b) = g.1. g|a. Por el Algoritmo de la Divisin existen c, r Z+ :

a = cg + r, con 0 r < g

Como r < g entonces r / S y

r = a cg = a c (ax1 + by1) = a(1 cx1)| {z }Z

+ b(cy1)| {z }Z

Dado que r es mayor igual a cero, tiene la la forma ax+ by y no est en S, la nica forma esque r = 0 y entonces g|a.

8


2. g|b, similar a la anterior.3. Suponga que k|a k|b entonces k| (ax1 + by1) por teorema, es decir k|g.

Cmo determinar x, y de manera que (a, b) = ax+ by? El Teorema no brinda una manera de deter-minados, sin embargo el siguiente teorema nos permite determinar estos nmeros

Teorema 9 Sean a y b enteros con b > 0. Suponga que b - a. Considere la sucesin de residuos dadospor el Algoritmo de la Divisin:

r1 : el residuo de a entre br2 : el residuo de b entre r1r3 : el residuo de r1 entre r2

...rn el residuo de rn2 entre rn1

...

Entonces

1. Existe k N tal que rk+1 = 0 y rk 6= 02. Se tiene que rk = (a, b)

Prueba. Por el algoritmo de la divisin existe c1, c2, c3, ...

a = c1b+ r1, con 0 r1 < bb = c1r1 + r2, con 0 r2 < r1r1 = c1r2 + r3, con 0 r3 < r2

...

1. Note que la sucesin de residuos es decreciente a 0 y sus trminos son menores a b :

0 ... < r3 < r2 < r1 < b

Como entre 0 y b hay una cantidad finita de cero entonces en el proceso se encontrar un residuonulo rk+1 = 0 y rk 6= 0.

2. Como rk+1 = 0 entonces

rk1 = ck+1rk = rk|rk1rk2 = ckrk1 + rk

= rk|rk2

rk3 = ckrk2 + rk1

= rk|rk3

...r1 = c1r2 + r3

= rk|r1

9


Por lo tanto rk|ri para i = 1, 2, ..., k1. Como b = c1r1+r2 entonces rk|b y dado que a = c1b+r1,se obtiene que rk|a. As, se obtiene que

rk|b rk|a.Por otro lado, suponga que d|a y d|b entonces

d|a d|b a = c1b+ r1= d|b d|r1 b = c1r1 + r2= d|r1 d|r2 r1 = c1r2 + r3

...= d|rk

Por lo tanto rk = (a, b) .

Ejemplo 5 Encuentre el mximo comn divisor de 1769 y 2378, y expresarlo como una combinacinlineal de ambos.

2378 = 1769 + 609 = 29 = 551 9 581769 = 2 609 + 551 = 551 9 (609 551) = 10 551 9 609609 = 1 551 + 58 = 10 (1769 2 609) 9 609551 = 9 58 + 29 = 10 1769 29 60958 = 2 29 = 10 1769 29 (2378 1769)

= 39 1769 29 2378Ejercicio 17 Determine (10 013, 1271) y exprselo como combinacin lineal de 10 013 y 1271. R/ 31 =8 10013 63 1271Teorema 10 Se tiene que (a, b) = (a,b) .

Ejercicio 18 Demostrar que si d = ax+ by entonces (a, b) |d.Ejercicio 19 Demostrar que a = bq + r = (a, b) = (b, r)

Ejercicio 20 Demostrar que (ka, kb) = |k| (a, b) , . con k 6= 0.Teorema 11 Se tiene que (a, b) = (a,b) = (a, b) = (a,b) .

Prueba. ejercicio

Ejercicio 21 Demostrar que (a, b) = 1 = (a+ b, a b) es 1 o 2

3.2 Primos Relativos

Definicin 6 Sean a y b enteros no ambos cero. Se dice que a y b son primos relativos si y solo si(a, b) = 1

Ejercicio 22 Sean a, b N. Probar que si a < b entonces a! y b! + 1 son primos relativos.

10


Teorema 12 (a, b) = 1 (x, y Z) (ax+ by = 1)

Teorema 13 Si (a, b) = d 6= 0 entoncesad,bd

= 1

Prueba. Note que 1|ady 1| b

d. Suponga que k|a

dy k| b

d:

a = da1k b = db1k

Entonces dk|a, dk|b y como (a, b) = d entonces

dk|d = dkj = d = kj = 1 = k|1.

Otra opcin es que

(a, b) = d =add,

bdd= d = d

ad,bd

= d

=ad,bd

= 1.

Teorema 14 Si (a, b) = (a, c) = 1 entonces (a, bc) = 1.

Teorema 15 Si a|bc y (a, b) = 1 entonces a|c

Teorema 16 Si d|ab y (a, b) = 1 entonces r y s tales que d = rs, r|a, r|b y (r, s) = 1

Ejercicio 23 Demostrar que

1. b|c (a, c) = 1 = (a, b) = 12. (a, c) = 1 = (a, b) = (a, bc)

3. a|c, b|c y (a, b) = 1 = ab|c4. (b, c) = 1 = (a, bc) = (a, b) (a, c)

5. (a, b) = 1 = (an, bm) = 1 para todo m,n Z+. Sugerencia: utilice teorema (14)

6. (a, bc) = 1 = (a, b) = 1 (a, c) = 1

Ejercicio 24 Sean a, b, c, d enteros positivos tales que (a, b) = (c, d) = 1 y b 6= d. Mostrar queab+

cd/ Z. (Sugerencia pruebe que si a

b+

cd= n Z entonces b|d y d|b)

Ejemplo 6 (55 Olimpiada Matemtica de Belorusia) Encuentre todas los pares (a, b) de enterospositivos con a > b tales que

(a b)ab = abba

11


Sugerencia: Sea d = (a, b)Se tiene que a = dp, b = dq, (p, q) = 1 y p > q :

(dp dq)d2pq = (dp)dq (dq)dp =

h(dp dq)dpq

id= [(dp)q (dq)p]d

= ddpq (p q)dpq = dp+qpqqp

Si p+ q dpq(p q)dpq = dp+qdpqpqqp

entonces p| (p q)dpq y q| (p q)dpq, pero (p q, p) = (p q, q) = (p, q) = 1 y entonces p = q = 1 locual no genera soluciones pues queda d2d = 0.Entonces p+ q < dpq :

ddpqpq (p q)dpq = pqqp

entonces (p q) |pqqp, (p q, p) = (p q, q) = (p, q) = 1 y entonces p q = 1 =

ddpqpq = pqqq+1

Como (p, q) = 1 = d = st donde t|p y s|q entonces

tdpqpq = pq = (q + 1)q

Como (q, dpq p q) = 1 pues (q, p) = 1 entonces t = tq1 de forma que

tdpqpq1 = (q + 1) = tdq(q+1)(2q+1)1 = (q + 1)

Si q 3 :

1) dq (q + 1) (2q + 1) 3 (q + 1) (2q + 1) = q + 22) q + 1 > 1 = t1 > 1

entoncesq + 1 = tdq(q+1)(2q+1)1 2q+2 > q + 1

lo cual es una contradiccin. Si q = 2

t6d51 = 3 = t1 = 3, d = 1 = a = d (q + 1) = 3, b = dq = 2

pero (3, 2) no es solucin. Si q = 1

t2d31 = 2 = t1 = 2, d = 2 = a = d (q + 1) = 4, b = dq = 2

La solucin es (4, 2) .

12


3.3 Generalizacin del MCD

Definicin 7 Sean a1, a2, ..., an enteros, no todos nulos. Se dice que g = (a1, a2, ..., an) Z+ es elmximo comn divisor de a1, a2, ..., an, si y solo si

1. g|ai para i = 1, 2, 3, ..., n.2. Si k|ai para i = 1, 2, 3, ..., n, entonces k|g

Teorema 17 Sean a1, a2, ..., an enteros, no todos nulos. Se tiene que

(a1, a2, ..., an1, an) = ((a1, a2, ..., an1) , an)

Prueba. Se denota

g = (a1, a2, ..., an1, an) (1)

d = (a1, a2, ..., an1) (2)

Se debe probar que (d, an) = g.

1. g|an por definicin anterior y (1) .2. Por (1) : g|ai para i = 1, 2, 3, ..., n 1, entonces por definicin de d se tiene que g|d.3. Suponga que k|d k|an, como d|ai para i = 1, 2, 3, ..., n 1 entonces

k|ai para i = 1, 2, 3, ..., n 1 k|an= k|ai para i = 1, 2, 3, ..., n= k|g, por definicin de g.

Ejercicio 25 Determine (1248, 1008, 180) R/ 12

Teorema 18 Sea g = (a1, a2, ..., an1, an) , entonces g es el menor entero positivo que se puedeescribir de la forma a1k1 + a2k2 + ...+ ankn con k1, k2, ..., kn Z.

Ejercicio 26 Determine una solucin entera de 11x+ 19y + 3z = 1.

Ejercicio 27 Hallar una solucin entera de 15 = 120w + 30x+ 60y + 165z

3.4 Ejercicios

1. Pruebe que (a, a 1) = 1

2. Halla las soluciones enteras (x, y)de la ecuacin:

p (x+ y) = x y

en trminos de p, donde p es un nmero primo.

13


3. Sea n Z. Pruebe que(n, 6) = 1 = 12| n2 1

4. Demuestre que si (b, c) = 1 entonces (a, bc) = (a, b) (a, c) .

5. Sea n N. Muestre que los nmeros n! + 1 y (n+ 1)! + 1 son primos relativos.

6. Pruebe que los enteros 6n+ 5 y 7n+ 6 son primos relativos.

7. Suponga que (a, b) = 1 y c| (a+ b) . Pruebe que (a, c) = (b, c) = 1.8. Determine el nmero racional positivo ms pequeo que se puede expresar en la forma

x30+

y36

con x, y enteros.

9. Dados dos nmeros enteros no negativos m,n, con m > n, se dir que m termina en n si esposible borrar algunos dgitos de izquierda a derecha. de m para obtener n. Por ejemplo, 329termina en 9 y tambin termina en 29, pero no en 39 ni en 2. Determinar cuntos nmeros detres dgitos terminan en el producto de sus dgitos.

10. Sea n N un nmero impar que puede ser representado en dos formas distintas, como la sumade dos cuadrados perfectos:

n = a2 + b2 = c2 + d2, con a, b, c, d N

Suponga que a y c son nmeros impares, en tanto b y d son pares, y adems que a > c.

(a) Sea m = (a c, d b) , pruebe que existen dos nmeros naturales l y k primos relativosque complen:

l (d+ b) = k (a+ c)

(b) Sea j = (a+ c, b+ d) , pruebe que a+ c = lj, d+ b = kj.

(c) Pruebe que

"m2

2+

j2

2# h(l)2 + (k)2

i= n.

4 Ecuaciones diofnticas, Teorema fundamental de la Arit-mtica y Mnimo comn mltiplo

4.1 Ecuaciones diofnticas

Definicin 8 Sean a, b, c Z, donde a ni b son cero. La ecuacin

ax+ by = c

con incgnitas x, y Z, es llamada Ecuacin Diofntica Lineal.

14


Ejercicio 28 Determine la solucin de la ecuacin Diofntica 2x 4y = 9.

Teorema 19 Sea g = (a, b) . La Ecuacin Diofntica Lineal ax + by = c tiene solucin, si y solo sig|c.El teorema anterior brinda una condicin necesaria y suficiente para que una Ecuacin Diofnticatenga solucin. Pero adems, la demostracin anterior brinda un mtodo para calcular una solucinparticular de una Ecuacin Diofntica. En efecto, si g = (a, b) y g|c entonces por el algoritmo deEuclides se pueden hallar (x, y) tales que g = ax + by y entonces ejemplo (xc0, yc0) es una solucinparticular de una Ecuacin Diofntica.

Ejemplo 7 Obtenga una solucin particular de la Ecuacin Diofntica 22x+ 54y = 8.

Note que (22, 54) = 2|8 por lo tanto tiene solucin. Adems2 = 22 (5) + 54 (2) = 8 = 22 (20) + 54 (8)

R/ (20,8)

Teorema 20 Sea g = (a, b) . Si g|c y (x0, y0) es una solucin particular de la Ecuacin Diofnticaax+ by = c, entonces toda solucn (x, y) de est ecucin es de la forma

x = x0 +bgt

y = y0 agt

, con t Z

Prueba. Note quex0 +

bgt, y0

agtes solucin de la ecuacin

a

x0 +

bgt

+ b

y0

agt

= ax0 +

abgt+ by0

abgt

= ax0 + by0 = c

pues (x0, y0) es una solucin de la ecuacin. Por otro lado sea (x1, y1) una solucin cualquierade la ecuacin, entonces

ax1 + by1 = ax0 + by0 = c = a (x1 x0) = b (y1 y0)

= ag(x1 x0) =

bg(y1 y0)

Comoag,bg

= 1 entonces

bg| (x1 x0) = t Z : x1 x0 = bg t = x = x0 +

bgt

y ademsbg(y1 y0) =

ag(x1 x0) =

agbgt = y1 y0 =

agt

y as se obtiene el resultado.

15


Ejemplo 8 Resuelva la Ecuacin Diofntica 22x+ 54y = 8.x = 20 + 27ty = 8 11t , con t Z

Ejercicio 29 Determine la solucin general de la ecuacin diofntica 99x+ 41y = 3

Ejercicio 30 COMPUTE compr cierta cantidad de disco duros en $17 dolares cada uno y vendoalgunos de ellos a $49 cada uno, obteniendo una ganancia de $245. Si la compra original est entre50 y 100 discos, cuntos discos faltan de vender?

4.2 Teorema fundamental de la Aritmtica

Teorema 21 Si p es primo y p|ab, entonces p|a p|b.Teorema 22 Si p es primo y p|a1a2 an, entonces p|ai para algn i {1, 2, 3, ..., n} .Teorema 23 Sean p, p1, p2, ..., pn primos. Si p|p1p2pn, entonces p = pi para algn i {1, 2, 3, ..., n} .Recuerde que al inicio de este captulo se demostr que todo nmero compuesto tiene un factor primo.Este resultado es bsico para probar el siguiente teorema.

Teorema 24 (Teorema Fundamental de la Aritmtica) La factorizacin prima de n N mayora 1 existe y es nica, excepto por el orden de sus factores.

Prueba. (Proceso inductivo finito).

Existencia. Sea n N se debe mostrar que n es un producto de primos. Si n es primo LISTO.Sino tiene un factor primo p1 y entonces

n1 Z : n = p1n1 con n1 < n

Si n1 es primo LISTO, sino n1 es compuesto y tiene un factor primo p2. Entonces

n2 Z : n = p1p2n2 con n2 < n1

Si n2 es primo LISTO, sino n2 es compuesto y tiene un factor primo p3. Entonces

n3 Z : n = p1p2p3n3 con n3 < n2

Si en k+1 pasos no se halla la descomposicin prima de n entonces existen n1, n2, n3, ..., nk Zcompuestos con

0 < ... < nk < ... < n2 < n1 < n

Como entre 0 y n hay un nmero finito de compuestos el proceso debe terminar. Es decir existej N con nj primo. y n se factoriza

n = p1p2p3 pjnj

16


Unicidad. Suponga que existen dos factorizaciones primas de n ordenadas:

n = p1p2p3 pk con p1 p2 p3 ... pkn = q1q2q3 qm con q1 q2 q3 ... qm

con p1, p2, ..., pk, q1, q2, ..., qm primos y k m. Note que

p1p2p3 pk = q1q2q3 qm= p1|q1q2q3 qm q1|p1p2p3 pk= p1 = qi para algn i = 1, 2, ...,m q1 = pj para algn j = 1, 2, ..., k= p1 q1 q1 p1= p1 = q1

Continuando este proceso se obtiene que

pi = qi para i = 1, 2, ..., k

Si k < m y entonces1 = qk+1qk+2 qm

lo cual es adsurdo. Y como k m entonces k = m y LISTO

Definicin 9 Dado n N, su forma normal es su factorizacin prima

n =kY

i=1

pii

donde p1, p2, ..., pk son primos distintos y 1, 2, ..., k N.

4.3 Mnimo comn mltiplo

Definicin 10 El nmero entero k es mltiplo comn de a y b si a|k b|k

Definicin 11 Se dice que m = [a, b] Z+ es el mnimo comn mltiplo de a y b, si y solo si1. a|m b|m2. (k Z) (a|k b|k = m|k)

Teorema 25 SeaM el conjunto de los mltiplos comnes positivos de a y b, entonces M tiene primerelemento y adems minM = [a, b] .

Ejemplo 9 Note que [12, 18] = 36 pues

Los mltiplos positivos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...

Los mltiplos positivos de 18 son: 18, 36, 54, 72, ..

por lo tanto los mltiplos comunes de 12 y 18 son 36, 72, .... y el mnimo es 36.

17


Teorema 26 Se tiene que [a, b] =|ab|(a, b)

.

Teorema 27 [a, b] = m =ma,mb

= 1.

Teorema 28 Sea k un mltiplo comn de a y b, entonces

kka,kb

= [a, b] .

Teorema 29 Considere la forma normal de n =kQ

i=1paii . Si c|n entonces

c =kY

i=1

pcii con ci ai para i = 1, 2, ..., k.

Prueba. Si p es un primo tal que p|c, como c|n entonces p|kQi=1

paii = p = pi para algn i. Por lotanto, la descomposicin prima de c es

c =kY

i=1

pcii

Suponga por contradiccin existe un j tal que cj > aj . Como c|n exite un entero k :

ck = n = kkYi=1

pcii =kYi=1

paii = kpcjajj

kYi=1i6=j

pcii =kY

i=1i6=j

paii

Comocj aj > 0 entonces

pj |kY

i=1i6=j

paii = pj = ph con h {1, 2, .., n} {j}

pero esto contradice la forma normal de n, pues todos los primos son distintos.

Teorema 30 Considere la forma normal de los enteros positivos a =kQ

i=1paii y b =

kQi=1

pbii , donde

ai 0 y bi 0 para i = 1, 2, ..., k. Entonces

(a, b) =kY

i=1

pmin(ai,bi)i

18


Prueba. Primero probemos que (a, b) =kQ

i=1pmin(ai,bi)i

1.kQ

i=1pmin(ai,bi)i

a, pues

pmin(ai,bi)i

paii para i = 1, 2, ..., k =

kYi=1

pmin(ai,bi)i

kYi=1

paii = a.

2.kQ

i=1pmin(ai,bi)i

b. Similar a la anterior.

3. Suponga que c|a c|b. Por el teorema anterior

c =kQ

i=1pcii con ci ai ci bi para i = 1, 2, ..., k.

= c =kQ

i=1pcii con ci min (ai, bi) para i = 1, 2, ..., k.

Por lo tantoc =kQ

i=1pcii

kQ

i=1pmin(ai,bi)i .

Teorema 31 Considere la forma normal de los enteros positivos a =kQ

i=1paii y b =

kQi=1

pbii , donde

ai 0 y bi 0 para i = 1, 2, ..., k. Entonces

[a, b] =kY

i=1

pmax(ai,bi)i

Prueba. Ejercicio.

Ejercicio 31 Demuestre que si [b, c] = c entonces (a+ c, b) = (a, b)

Ejercicio 32 Sean a, b, c Z+, pruebe que [a, [b, c]] = [[a, b] , c] .

4.4 Ejercicios

1. Una persona recibi un cheque por una cierta cantidad de dinero. Ella compr un artculo en$0,68 y pag con el cheque. El cajero tom equivocadamente el nmero de dlares por el nmerode centavos y el nmero de centavos por el nmero de dlares, y le do como vuelto dos veces lacantidad del cheque. cul es el menor valor posible del cheque?

2. Sean a, b, n enteros positivos con n 6= 1 impar y (a, b) = 1, que cumplen las condiciones siguientes:

(a) a+ b es divisible por n.

19


(b) a2 + b2 es divisible por n2

Realice:

i. Si p con p primo divide a n, entonces (p|a p|b)ii. Sea p primo, pruebe que si p divide a n, entonces (p|a p|b)iii. Demuestre que n|a n|biv. Pruebe que am + bm es divisible por nm, para m N

3. Realice los siguientes ejercicios del libro de Pettofrezzo:

(a) Pgina 27: 10, 13

(b) Pgina 33: 5, 7

(c) Pgina 40: 12, 18, 20

(d) Pgina 43: 6, 10

(e) Pgina 45: 2, 5, 8

(f) Pgina 51: 12

5 Funciones numricasDefinicin 12 Una funcin f es nmerica si y solo si Df = Z+

Definicin 13 Una funcin nmerica f es multiplicativa si y solo si

(a, b) = 1 = f (ab) = f (a) f (b)

5.1 Suma de Divisores

Definicin 14 Se define la funcin numrica : Z+ Z+ por

(n) = (Suma de divisores de n) =Xd|n

d

Teorema 32 Si p es primo entonces (p) = p+ 1

Teorema 33 Si p es primo entonces pk=

pk+1 1p 1 .

Teorema 34 es multiplicativa

Prueba. Sean a y b tales que (a, b) = 1 y sus divisores positivos son:

Divisores de a : a1, a2, ..., anDivisores de b : b1, b2, ..., bm

20


entonces (a) = a1 + a2 + ...+ an, y (b) = b1 + b2 + ...+ bm

Note que cualquier divisor de ab es igual a un divisor de a por uno de b, entonces

(ab) = a1b1 + a1b2 + ...+ a1bm+a2b1 + a2b2 + ...+ a2bm+

...anb1 + anb2 + ...+ anbm

= (a1 + a2 + ...+ an) (b1 + b2 + ...+ bm) = (a) (b)

Teorema 35 Considere la forma normal de a =kQ

i=1paii entonces

(a) =kY

i=1

pai+1i 1pi 1

.

Prueba. Ejercicio.

Ejercicio 33 Verifique que (496) = 992.

Definicin 15 Un entero positivo n es perfecto si y solo si (n) = 2n.

Teorema 36 Todo nmero par de la forma 2p1 (2p 1) , donde 2p 1 es primo, es perfecto.

Prueba. Ejercicio.

Teorema 37 Si un nmero par es perfecto entonces, es de la forma 2p1 (2p 1) , donde 2p 1 esprimo.

Ejercicio 34 Determine si 85 552 es o no un nmero perfecto.

Ejercicio 35 Sean n Z+.

1. Pruebe que si n es un cuadrado perfecto entonces (n) es impar.

2. Demuestre que un cuadrado perfecto no puede ser un nmero perfecto

5.2 Nmero de Divisores

Definicin 16 Se define la funcin numrica v : Z+ Z+ por

v (n) = (# de divisores de n) =Xd|n1

Teorema 38 Si p es primo entonces v (p) = 2.

Teorema 39 Si p es primo entonces vpk= k + 1.

21


Teorema 40 Considere la forma normal de a =kQ

i=1paii entonces

v (a) =kY

i=1

(ai + 1) .

Teorema 41 v es multiplicativa

Prueba. Ejercicio.

Ejercicio 36 Sea w (n) el nmero de primos distintos que dividen a n, por ejemplo w2352

= 2.

Pruebe que para todo n N se tiene que

lnn w (n) ln 2

5.3 de Euler

5.3.1 Definicin y propiedades

Definicin 17 Sea n un entero positivo, se denota con (n) el nmero de enteros positivos menoreso iguales que n y primos relativos con n. A la aplicacin se le denomina funcin de Euler.

Ejemplo 10 Note que (6) = 2, pues los nmeros 1, 5 son los nicos menores que 6 y primosrelativos con 6

Ejemplo 11 Determine (72) .

Note que 72 = 2332, as si un nmero no es primo relativo con 72 entonces es divisible por 2 o por 3.Por lo tanto, si a los 72 nmeros del 1 al 72 le quitamos los pares (hay 36 pares) y luego los mltiplosde 3 impares (son de la forma 3 + 6k, y como 3+ 6k < 72 = k 11, hay 12 nmeros). Por lo tanto (72) = 72 36 12 = 24.

Teorema 42 Si p es primo entonces (p) = p 1

Teorema 43 Si p es primo y m N, entonces

(pm) = pm pm1

Ejemplo 12 (11) = 10, pues 11 es primo

Ejemplo 13 (64) = 26= 26 25 = 32.

22


Teorema 44 SikQ

i=1paii representa la factorizacin prima de n, entonces

(n) = nkY

i=1

1 1

pi

.

Prueba. Se quiere demostrar que para cualqiuer natural n, el nmero de enteros positivos menoresque n que son divisibles por algunos de los m primos que dividen a n: p1, p2, ..., pm es

n nkY

i=1

1 1

pi

.

La demostracin se realizar por induccin sobre m. Si m = 1, sea p1 un primo que divide a n, y

sea n =kQ

i=1paii , los nmeros ubicados en la ltima columna de la siguiente tabla son los divibles

entre p1,

1 2 ... p1p1 + 1 p1 + 2 2p1...

......

(p1 1) p1 + 1 (p1 1) p1 + 1 ... p1p1...

......

pa111 p1kQ

i=2paii 1

p1 + 1

pa111 p1

kQi=2

paii 1p1 + 2 ...

pa111

kQi=2

paii

p1

En total hay pa111kQ

i=2paii nmeros divisibles entre p1, as el nmero de enteros positivos menores

que n que son divisibles por algn primo p1 divisor de m es

pa111

kYi=2

paii =np1= n n

1 1

p1

.

Supongamos que para cualquier natural n, el nmero de enteros positivos menores que n que son

divisibles por algunos de los m1 primos que dividen a n: p1, p2, ..., pm1 es nnm1Qi=1

1 1

pi

.

Considere un nmero natural n cuya forma normal es n =kQ

i=2paii . Los nmeros enteros positivos

menores que n que son divisibles entre pm sonnpm

, estos son:

pm, 2pm, ...,npm

pm.

Se deben buscar cuales de estos nmeros son divisibles por p1, p2, ..., pm1, lo que es equivalentea contar cuales de los nmeros

1, 2, ...,npm

23


son divisibles por p1, p2, ..., pm1 (esto pues si pj |hpm y (pj , pm) = 1 entonces pj |h ). De acuerdoa la hiptesis de induccin el nmero de enteros positivos menores que

npm

que son divisibles

por algunos de los primos: p1, p2, ..., pm1 es

npm

npm

m1Yi=1

1 1

pi

Por lo tanto el nmero de enteros positivos menores que n que son divisibles por pm y no sondivisibles por ninguno de los primos p1, p2, ..., pm1 es

npm

"npm

npm

m1Yi=1

1 1

pi

#=

npm

m1Yi=1

1 1

pi

()

De () y la hiptesis de induccin se concluye que el nmero de enteros positivos menores quen que son divisibles por algunos de los primos: p1, p2, ..., pm1, pm es

n nm1Yi=1

1 1

pi

+

npm

m1Yi=1

1 1

pi

= n n

mYi=1

1 1

pi

Ejemplo 14 (72) = 2332

= 72

1 1

2

1 1

3

= 24

Ejercicio 37 Calcule (14000) R/ 4800.

Teorema 45 La funcin es multiplicativa, es decir, si x, y son enteros positivos con (x, y) = 1entonces (xy) = (x) (y) .

Ejemplo 15 Calcular (11 14000) R/ 48000.Ejercicio 38 Sea n = 22 680. Determine v (n) , (n) , (n) . R/ 80, 87120, 5184

Teorema 46 Si n > 1, la suma de los enteros positivos menores que n y relativamente primos a n esn (n)2

Teorema 47 Si n es un entero positivo entoncesXd|n

(d) = n.

Prueba. Sean d1, d2, ..., dv(n) los divisores de n, por lo tanto para cada di existe mi N que cumplemidi = n con i = 1, 2, ..., v (n) . Note que para cada entero positivo b menor que n se tiene(b, n) = mi para algun i = 1, 2, .., v (n) . Lo anterior indica que se puede realizar una particinde los nmeros menores iguales que n :

los nmeros cuyo mximo comn divisor con n es m1,los nmeros cuyo mximo comn divisor con n es m2,...los nmeros cuyo mximo comn divisor con n es mv(n).

24


Por otro lado los nmeros candidatos a tener mximo comn divisor con n igual a mi son

mi, 2mi, 3mi, ..., dimi = n,

de estos solo hay (di) nmeros que mximo comn divisor con n igual a mi. As considerandola particin indicada anteriormente se tiene que

la cantidad de nmeros b menores que n con (b, n) = m1 es (d1) ,la cantidad de nmeros b menores que n con (b, n) = m2 es (d2) ,...la cantidad de nmeros b menores que n con (b, n) = mv(n) es

dv(n)

.

Dado que lo anterior es la cardinalidad de cada parte de la particin dada de los n nmeros(1, 2, ..., n), se tiene que

(d1) + (d2) + ...dv(n)

= n

5.3.2 La ecuacin (x) = m

A continuacin se propone una metodologa para resolver las ecuaciones (x) = m.

CASO I Si m es impar y mayor que 1En este caso, debido a teorema propuesto en los ejercicios, la ecuacin (x) = m no tiene solucin.

CASO II. Si m = 1.La ecuacin (x) = 1 solo se cumple para x = 1 y x = 2.

CASO III Si m es par.

Se propone seguidamente el siguiente mtodo para hacer frente a estas ecuaciones. SeakQ

i=1paii la

factorizacin prima de x, entonces

(x) = xkY

i=1

1 1

pi

= x

kYi=1

pi 1pi

= m,

definiendo di = pi 1 (note que di + 1 es primo), se obtiene

xkY

i=1

dipi= m ()

que es equivalente akY

i=1

paii di = m.

25


(Note que entonces cada di debe ser divisor de m. Finalmente de () se tiene que

x =

mkQi=1

di

kYi=1

pi,

de dondemkQ

i=1di

debe ser un entero positivo que incluye factores primos incluidos enkQ

i=1pi, esto debido

a la factorizacin de x.

En resumen, se deben cumplir tres condiciones

1. Cada di + 1 es primo

2. Cada di es divisor de m.

3.mkQ

i=1di

debe ser un entero positivo que incluye factores primos incluidos enkQ

i=1pi.

Ejemplo 16 Resolver la ecuacin (x) = 12.

Solucin. Por la condicin (2) los candidatos a ser los di son 1, 2, 3, 4, 6, 12 (divisores de 12). Deestos por la condicin (1) se debe eliminar aquellos que sumandoles una unidad no sean primos, as

los nuevos candidatos a ser los di son 1, 2, 4, 6 y 12. Los posibles valores dekQ

i=1di son

1, 2, 4, 6, 12, 1 2, 1 4, 1 6, 1 12, 2 4, 2 6, 2 12,4 6, 4 12, 6 12, 1 2 4, 1 2 6, 1 2 12, 1 4 61 4 12, 1 6 12, 2 4 6, 2 4 12, 2 6 12 y 4 6 12

Sim embargo por la condicin (3) se deben eliminar aquellos valores dekQ

i=1di para los cuales

12kQ

i=1di

no es entero, as los posibles valores dekQ

i=1di son

1, 2, 4, 6, 12, 1 2, 1 4, 1 6, 1 12, 2 6, 1 2 6,

pero adems los factores primos de12kQ

i=1di

deben estar incluidos enkQ

i=1(di + 1) , y por ejemplo si

kQi=1

di = 6 entonces12kQ

i=1di

= 2, pero 2 no es divisor dekQ

i=1(di + 1) = 7, lo mismo ocurre con 1, 2, 4, 1

26


2, 1 4. De esta manera se tiene las siguientes soluciones para la ecuacinkQ

i=1di

12kQ

i=1di

kQi=1(di + 1) =

kQi=1

pi12kQ

i=1di

kQi=1

pi x

12 1 13 13 131 6 2 2 7 22 7 281 12 1 2 13 2 13 262 6 1 3 7 3 7 211 2 6 1 2 3 7 2 3 7 42

5.4 Funcin de Mbius

Definicin 18 Sea n un entero positivo, se define la funcin de Mbius por

(n) =

0 si n es divisible por algncuadrado diferente de 1

(1)w(n) en caso contrario

donde w (n) es el nmero de divisores primos de n.

Ejemplo 17 Note que (2 3 23) = (1)3 = 1 y (48) = 0.

Teorema 48 es multiplicativa.

Teorema 49 Si f es multiplicativa y la forma normal de n eskQ

i=1paii , entonces

Xd|n

f (d) =1 + f (p1) + f

p21+ ...+ f (pa11 )

1 + f (p2) + f

p22+ ...+ f (pa12 )

1 + f (pk) + f

p2k+ ...+ f (pa1k )

Prueba. Note que X

d|nf (d) =

X0biai

f

kY

i=1

pbii

!=

X0biai

kYi=1

fpbii=

AsPd|n

f (d) es la suma de todos los trminos de la forma fpb11fpb22 f

pbkk, esta suma

es la misma que se obtiene al realizar la multiplicacinkQi=1

P0biai

fpbii!

.

Ejercicio 39 Pruebe que si n > 1 entoncesPd|n

(d) = 0.

27


Teorema 50 Si f es multiplicativa y la forma normal de n eskQ

i=1paii , entonces

Xd|n

(d) f (d) = (1 f (p1)) (1 f (p2)) (1 f (pk))

Prueba. Ejercicio. Sugerencia: la funcin (f) es multiplicativa.

Ejercicio 40 Si la forma normal de n eskQi=1

paii , pruebe quePd|n

(d) v (d) =kQ

i=1(1) .

5.5 Ejercicios

1. Sea p un nmero primo, pruebe que p no es perfecto.

2. Suponga que 2p 1 es primo, pruebe que p es primo.

3. Pruebe que 16m (2 16m 1) es de la forma 10k + 6 para m N.4. Pruebe que 4 16m (8 16m 1) es de la forma 10k + 8 para m N.5. Pruebe que todo nmero perfecto par termina en 6 o 8.

6. Determine el valor dea) (3) d) (20) g) (41)b) (8) e) (36) h) (22)c) (15) f) (16) i) (11)

7. Note que : N N. Brinde la prueba o un contra ejemplo para las siguientes afirmaciones

(a) es una funcin inyectiva.

(b) (n) = n n = 1.

(c) Si n es par entonces (n) n2

(d) es una funcin creciente

8. Determine el valor de

a) (45) d) (124 720) g) (360)b) (124) e) (45 49) h) (1350)c) (720) f) (345) i) (360 121)

9. Demostrar que si p es primo, entoncesnPi=0

pi= pn

28


10. Brindar un contraejemplo para demostrar que no es totalmente multiplicativa ( una funcinf es multiplicativa si f (xy) = f (x) f (y) para cualesquiera nmeros enteros positivos x, y.

11. Demostrar que n2= n (n) para todo entero positivo n

12. Sea n y m enteros positivos que cumplen que todo entero que divide a n tambien divide a m.Pruebe que (nm) = n (m)

13. Demostrar que si n > 2, entonces (n) es par

14. Determinar a partir de 6) que no es una funcin sobreyectiva.

15. Resolver las siguentes ecuaciones

(a) (x) = 24

(b) (x) = 16

(c) (x) = 30

16. Probar que la ecuacin (x) = 2p, con p un primo y 2p + 1 un nmero compuesto, no tienesolucin.

17. Se define [[x]] como el mayor entero que es menor o igual a x. Pruebe que

(a) Sea k > 0, si k| (n+ 1) entoncesn+ 1k

=hhnk

ii+ 1.

(b) Sea k > 0, si k - (n+ 1) entoncesn+ 1k

=hhnk

ii(c) v (1) + v (2) + ...+ v (n) =

hhn1

ii+hhn2

ii+ ...+

hhnn

ii.

(d) (1) + (2) + ...+ (n) =hhn1

ii+ 2

hhn2

ii+ ...+ n

hhnn

ii18. Suponga que (a, b) = 10. Detemine los posibles valores de

a3, b4

.

29

Teoria Numf Estud

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