TEHNIČKA MEHANIKA II Predavanje VI6. Napiši izraze za moment tromosti valjka, šupljeg valjka, štapa i kugle oko osi z. 7. Zašto služi pravilo Steinerovo pravilo i objasni ga

SVEUČILIŠTE U SPLITU

POMORSKI FAKULTET U SPLITU

ZAVOD ZA BRODOSTROJARSTVO

TEHNIČKA MEHANIKA IIPredavanje VI

Nastavnik:

doc.dr.sc.Đorđe Dobrota

SPLIT, travanj 2020.

DINAMIKA KRUTOG TIJELA1 UVOD2 GEOMETRIJA KRUTOG TIJELA3 DINAMIKA RAVNINSKOG GIBANJE TIJELA3.2 Rotacija krutog tijela3.2.1 Jednadžbe gibanja3.2.2 Zakon kinetičke energije3.2.3 Zakon o očuvanju mehaničke energije3.2.4 Zakon momenta količine gibanja

Zadaci iz skripte-VježbePRIMJER 24

PRIMJER 25

PRIMJER 26

ZNAČAJNI ISHODI UČENJA

Konceptualno znanje

• Objasniti razliku između centroidne i necentroidnerotacije krutog tijela i njihovih jednadžbi gibanja prema II Newtonovom zakonu.

• Objasniti kod rotacije krutog tijela Zakon kinetičke energije, Zakon o očuvanju mehaničke energije i Zakon momenta količine gibanja.

• Primijeniti navedene zakone i dodatne kinematičkeizraze za rješavanje dinamičkih problema kod rotacijskog gibanja krutog tijela.

PITANJA

1. Što je mjera otpora prema rotaciji krutog tijela?2. Što moment tromosti (inercije) mase tijela uzima u obzir i

kako se definira?3. Koja je jedinica momenta tromosti mase tijela? 4. Kako se moment tromosti mase tijela može se još izraziti?5. Što je polumjer tromosti i koja je njegova jedinica?6. Napiši izraze za moment tromosti valjka, šupljeg valjka,

štapa i kugle oko osi z.7. Zašto služi pravilo Steinerovo pravilo i objasni ga na primjeru

štapa?8. Kada se momenti tromosti mogu zbrajati?9. Što je rotacija tijela?10.Koja je razlika između centroidne i necentroidne rotacije in

njihovih jednadžbi gibanja?11.Kako se izračunava moment tromosti tijela za točku O kod

necentroidne rotacije i zašto je ponekad podesno koristiti momentnu jednadžbu rotacije oko te točke?

12. Kada je potrebno koristiti kinematičke izraze rotacije tijela?

13. Što je obodna brzina neke točke?

14. Navedi korake postupka za analizu gibanja rotacije krutog

tijela primjenom jednadžbi gibanja?

15. Čemu je jednaka kinetička energija kod centroidne i

necentroidne rotacije?

16. Kada je rad momenta pozitivan, a kada negativan?

17. Čemu je jednak moment količine gibanja kod centroidne i

necentroidne rotacije krutog tijela?

18. Napiši integralni oblik zakona momenta količine gibanja za

centroidnu i necetroidnu rotaciju krutog tijela?

DODATNI PRIMJERI

• PRIMJER 20-2019: U trenutku kao što je prikazano na slici, vitki štap mase m=20 kg i duljine l=3 m, koji je učvršćen u zglobu O, ima kutnu brzinu ω=5 rad/s i nalazi se pod djelovanjem momenta M=60 Nm. Odredi kutno ubrzanje, te reakcije u zglobu O u tom trenutku.

• Zadano: mt=20 kg, l=3 m, M=50 Nm, ω0= ω1=2 rad/s,

• RJEŠENJE:

• Nepomična os rotacije z1 prolazi kroz točku O što znači da se radi o necentroidnoj rotaciji (O≠C) vitkog štapa oko O. Koordinatni sustav-normalni s osima n i t.

• U zadatku se traži kutno ubrzanje α i reakcije u ležaju O.

Položajna skica vitkog štapa u primjeru 20-2019.

l

O

ω

m

M

2 21 1

12 3C OI m l ili I m l

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela štapa.

• Na štap djeluju djeluju:

- težina štapa G u središtu (centru) mase C;

- moment M;

- reakcije ROn i ROt.

• Problem se mora riješiti primjenom II Newtonov zakona jer se traži kutno ubrzanje štapa i reakcije u ležaju O.

• Pri tomu se momentna jednadžba rotacije može postaviti oko točke C ili O.

O

α M

ROn

ROtG

l/2

+MOt

n C

Plan slobodnog tijela štapa

• Jednadžbe gibanju štapa oko točke C uz rC=l/2=0,3/2=1,5 m su:

• U izrazima (I) i (II) nepoznanice su tangencijalna komponenta reakcije Rot i kutno ubrzanje štapa α. Sređivanjem tih izraza dobiva se:

2

2

( ) ;

( ) ;

1;

12

n C n C

t C t C

C C

F m a m r

F m a m r

M I m l

+

O

α M

ROn

ROtG

l/2

+Mt

n C

• Ukoliko se iz izraza (III)

izrazi ROt

koji se potom uvrsti u (IV), dobiva se kutno ubrzanje:

pa se konačno može izračunati i Rot iz izraza (V)

O

α M

ROn

ROtG

l/2

+Mt

n C

• Kutno ubrzanje se moglo jednostavnije izračunati iz momentne jednadžbe rotacije oko točke O. Korištenjem iste omogućuje direktno izračunavanje kutnog ubrzanja jer se eliminira nepoznata reakcija Rot pošto djeluje u toj točki (nema krak). Pri tomu treba uzeti u obzir moment tromosti mase tijela Ic∙α i moment inercijske sile tijela m∙(ac)t∙rC.

• Moment tromosti mase tijela oko osi rotacije u točki O je prema Steinerovom pravilu:

• Stoga, rotacijska momentna jednadžba štapa oko točke O može se napisati kao:

odnosno

O

α M

ROn

ROtG

l/2

+Mt

n C

2

O C CI I m r

2( )O O C C t C C C C C CM I I m a r I m r r I m r

+

2( )O O C CM I I m r +

2

O C CI I m r

+ 2( )O O C CM I I m r

• PRIMJER 24-2017: Zamašnjak polumjera R=0,25 m giba se iz stanja mirovanja pod djelovanjem tereta mase 100 kg. Teret je vezan za nerastezljivo uže zanemarive mase koje je namotano oko bubnja polumjera r=0,15 m. Brzina ovješenog tereta nakon što se spusti 1 m je 0,3 m/s. Ukoliko je moment trenja u ležaju MT=50 Nm, odredi moment tromosti (inercije) IC zamašnjaka s bubnjem. Riješi problem na dva načina razmatrajući ga kao sustav koji se sastoji od zamašnjaka s bubnjem i tereta, a zatim razmatrajući teret i zamašnjak s bubnjem odvojeno.

• Zadano: mt=100 kg, R=0,25 m, r=0,15 m, MT=50 Nm, s0=s1=0, s=s2=1 m, v0= v1=0, v=v1=0,3 m/s.

Položajna skica mehaničkog sustava u primjeru 24-2017.

C

F

ω

IC

v

m

MT

F

Bubanj

Zamašnjak

z

RJEŠENJE:

• Sustav se sastoji od zamašnjaka s bubnjem koji se pod djelovanjem težine tereta rotira oko točke C kutnom brzinom ω. Pošto nepomična os rotacije zprolazi kroz centar (središte) mase C zamašnjaka s bubnjem radi se o centrodinoj rotaciji O=C. Pri tomu teret se pravolinijski giba prema dolje.

• Pošto problem uključuje promjenu brzine tijekom zadanog pomaka, isti se pored primjene II Newtonovog zakona može riješiti i primjenom zakona kinetičke energije te zakona o održanju mehaničke energije koji uključuje i rad momenta trenja.

• Pri tomu kod primjene svake metode može se u analizi razmatrati cijeli sustav ili sustav rastaviti na zamašnjak-bubanj i teret.

C

F

ω

IC

v

m

MT

F

Bubanj

Zamašnjak

z

Zakon kinetičke energije-Rješenje problema kada se analizira cijeli sustav

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela sustava zamašnjak-bubanj i teret.

C=O

ω

IC

MT

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

F

Gt

v

S

S

1 mNa sustav djeluju:

- težina zamašnjak-bubanj Gz;

- težina tereta Gt;

- reakcije RCx i RCy;

- sila u užetu S;

- moment trenja MT.

• Kada se razmatra cijeli sustav samo težina tereta Gt i moment trenja MTvrše rad tijekom gibanja sustava.

• Reakcije RCx i RCy te težina Gz zamašnjak-bubanj ne vrše rad jer djeluju u točki C koja je nepomična. Nadalje sila S u nerastezljivom užetu (kruta unutrašnja veza) izvodi jednak i suprotan rad koji rezultira nulom u ukupnom radu. Razlog jest to što ista tvori jednak, ali suprotan kolinearanpar zbog čega se u analizi sustava odbacuje.

• Rad težine tereta Gt je pozitivan jer djeluje u smjeru pomaka tereta, dok je rad sile trenja negativan jer djeluje suprotno od smjera kutne brzine ω zamašnjak-bubanj.

C=O

ω

IC

MT

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

F

Gt

v

S

S

1 m

• Zakon kinetičke energije sustava:

• U dobivenom izrazu (I) nepoznanice su moment tromosti IC zamašnjak-bubanj i njihova kutna brzina ω2 te kut zakreta φ2.

• Stoga je potrebno koristiti dodatne kinematičke izraze kako bi se riješili nepoznanica ω=ω2 i φ=φ2.

C=O

ω

IC

MT

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

F

Gt

v

S

S

1 m

2 2 2

2, 1, 1 2 1 2

2, 2, 1, 1, 1 2 1 2

2, 2, 2 1 2 1

2, 2, 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2

( ) ( )

( ) ( )

0 0 ( )

( 0) 0

1 1

2 2

1 110

2 2

t T

n n n

k i k i S i

i i i

k z k t k z k t G M

k z k t t T

k z k t t T

C t t T

C

E E W W

E E E E W W

E E m g s s M φ φ

E E m g s M φ

I ω m v m g s M φ

I ω

2

2

2

2 2

0 0,3 100 9,81 1 50

1(I) 4,5 981 50

2C

φ

I ω φ

• Primjenom koncepta točke P kao točke na bubnju koja tijekom rotacije zamašnjak-bubanj prijeđe put po kružnoj putanji s=s2 (slika) kada se teret spusti za s=s2=1 m i brzinom v=v2=0,3 m/s, dobiva se kinematički izraz:

C

F

P

vP

ω

φ s=s2

P'

2s s r

odakle slijedi kut zakreta

22

16,67 rad

0,15

s

r

2 2Pv v r

• Obodna brzina točke P je jednaka brzini

tereta vP=v=v2=0,3 m/s, tj.:

odakle slijedi kutna brzina

22

0,3 rad2

0,15 s

v

r

• Uvrštenjem dobivenog kuta φ=φ2 i kutne brzine ω=ω2 u izraz (I) dobiva se moment tromosti zamašnjak-bubanj:

2

2 2

2

2

1(I) 4,5 981 50

2

12 4,5 981 50 6,67

2

2 647,5 4,5 643

643321,5 kgm

2

C

C

C

C

I ω φ

I

I

I

II-Newtonov zakon-Rješenje problema kada se analiziraju zasebno zamašnjak-bubanj i teret

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela zamašnjak-bubanj.

Na zamašnjak-bubanj djeluju:

- težina zamašnjak-bubanj Gz;

- reakcije RCx i RCy;

- sila u užetu S;

- moment trenja MT.

C=O

α

IC

MT

S

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

Plan slobodnog tijela zamašnjak-bubanj

• Pretpostavlja se kutno ubrzanje α zamašnjak-bubanj u smjeru kutne brzine ω (u smjeru kazaljke na satu).

• Pošto se ne traže reakcije RCx i RCy u ležaju C, dovoljno je postaviti momentnu jednadžbu rotacije za C uz pretpostavljeni pozitivni smjer djelovanja momenta (plan slobodnog tijela) :

• Težina zamašnjaka-bubanj Gz i reakcije, RCx i RCy nemaju moment u točki C iz razloga što im je hvatište u toj točki.

• U jednadžbi (I) nepoznanice su sila u užetu S, moment tromosti (inercije)

zamašnjak-bubanj IC i kutno ubrzanje α.

C=O

α

IC

MT

S

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x(I)

O C C

T C

M M I

S r M I

+

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela tereta. Teret se pravocrtno giba prema dolje po osi y.

• Postavljajući jednadžbu gibanja za teret po osi y dobiva se:

F

y

x

S

Gt

a

(II)

y t y t

t t

F m a m a

S G m a

Plan slobodnog tijela tereta

• Kako su se dobile dvije jednadžbe s četiri nepoznanice S, IC, α i α, moraju se koristiti dodatni kinematički izrazi.

• Kinematički izraz koji povezuje kutno ubrzanje α i ubrzanje a može se prikazati ako se promatra točka P na bubnju (slika).

(I)

(II)

T C

t t

S r M I

S G m a

C

at

F

Pan

a

α

• Pošto uže ne klizi po bubnju, tangencijalna

komponenta ubrzanja točke P (rotira), a time i

ubrzanje tereta je:

(III) ( )t Pa a r

• Pošto se teret giba pravocrtno, a zadat je pomak od s=1 m, ubrzanje tereta

a može se izračunati koristeći kinematički izraz kod translacije čestice koji vezuje brzinu, ubrzanje i pomak kada je ubrzanje konstantno (sve sile imaju konstantnu magnitudu):

• Uvrštenja dobivenog ubrzanja tereta u izraz (III) dobiva se kutno ubrzanje:

2 2

0 0

2

2

2

2 ( )

0,3 0 2 (1 0) 2

0,3 m0,045

2 s

v v a s s

a a

a

2

(III) ( )

0,045 rad0,3

0,15 s

t Pa a r

a

r

• Uz izračunato ubrzanje tereta iz izraza (II) slijedi sila u užetu S:

• Uz izračunatu silu S iz izraza (I) dobiva se moment tromosti zamašnjak-bubanj:

(II)

( 1)

100 9,81 100 0,045 976,5 N

t t

t t

t t t t

S G m a

S m a G

S G m a m g m a

S

2

(I)

976,5 0,15 50321,58 kgm

0,3

T C

TC

S r M I

S r MI

II-Newtonov zakon-Rješenje problema kada se analizira cijeli sustav.

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela sustava zamašnjak-bubanj-teret.

Na sustav djeluju:

- težina zamašnjak-bubanj Gz;

- težina tereta Gt;

- reakcije RCx i RCy;

- sila u užetu S;

- moment trenja MTPlan slobodnog tijela sustava

C=O

α

IC

MT

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

F

Gt

a

S

S

1 m

• U ovom slučaju sila u nerastezljivom užetu djeluje kao unutrašnja sila (kruta veza) te se eliminira iz analize jer čini suprotan kolinearan par sila.

• Pošto se ne traže reakcije u RCx i RCy koje djeluju u C dovoljno je postaviti momentnu jednadžbu rotacije za C uz pretpostavljeni pozitivni smjer djelovanja momenta (plan slobodnog tijela). Pri tomu treba uzeti u obzir i moment inercijske sile tereta mt∙a.

C=O

α

IC

MT

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

F

Gt

a

S

S

1 m

(I)

O C C t

t T C t

M M I m a r

G M I m a r

• Kada se razmatra cijeli sustav tijekom gibanja djeluju

samo težine tereta Gt i moment trenja MT .

• Težina zamašnjaka-bubanj Gz reakcije, RCx i RCy nemaju

moment u točki C iz razloga što im je hvatište u toj točki.

+

• U jednadžbi (I) nepoznanice su moment tromosti (inercije) zamašnjak-bubanj IC, kutno ubrzanje α i ubrzanje tereta a.

• Izračunavajući ubrzanje tereta a i kutno ubrzanje α zamašnjak-bubanj kako je prije opisano slijedi IC :

C=O

α

IC

MT

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

F

Gt

a

S

S

1 m

2

(I)

100 9,81 0,15 50 0,3 100 0,045 0,15

147,15 50 0,3 0,675

147,15 50 0,675 96,475321,58 kgm

0,3 0,3

t T C t

t T C t

C

C

C

G M I m a r

m g r M I m a r

I

I

I

2 2

0 0

2

2

2

2 ( )

0,3 0 2 (1 0) 2

0,3 m0,045

2 s

v v a s s

a a

a

2

0,045 rad0,3

0,15 s

a

r

• PRIMJER 22-2018: Valjak mase 30 kg i radijusa 0,2 m, poduprt je ležajem u njegovom centru C. Odredi kut za koji se bubanj mora zarotirati iz stanja mirovanja kako bi postigao kutnu brzinu od 2 rad/s, pod djelovanjem konstantnog momenta od 5 Nm. Opruga, krutosti c, početno je nedeformirana i njena žica je omotana oko ruba bubnja.

• Zadano: m=30 kg, r=0,2 m, M=5 Nm, c=10 N/m, ω0=ω1=0,

ω= ω2=2 rad/s, φ0= φ1=0°, .

Položajna skica mehaničkog sustava u primjeru 22-2018.

C

m

c

M

Moment tromosti valjka

21

2C ZI I m r

RJEŠENJE:

• Pošto nepomična os rotacije z prolazi kroz centar (središte) mase C valjka radi se o centrodinoj rotaciji O=C pod djelovanjem momenta M=5 Nm kojem se suprotstavlja elastična sila opruge.

Na zamašnjak djeluju :

- težina valjka G;

- reakcije RCx i RCy;

- elastična sila opruge Fe;

- pogonski moment M.

C=O

α

m

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

Fe

M

Plan slobodnog tijela valjka

Moment tromosti valjka

• Pošto se traži kut zakreta φ=φ2 valjka, problem se može riješiti

primjenom II Newtonovog zakona za slučaj kada je kutno

ubrzanje α=f(φ) koristeći kinematički izraz koji vezuje kut

zakreta φ, kutnu brzinu ω i kutno ubrzanje α:

ili primjenom zakona kinetičke energije kod rotacije tijela

koristeći kinematički izraz za prijeđeni put s po kružnoj putanji:

• Zadatak će se riješiti primjenom II Newtonovog zakona za

slučaj kada je kutno ubrzanje funkcija kuta zakreta, tj. α=f(φ).

d d

s r

• Pošto se traži kut zakreta φ=φ2 dovoljno je koristiti samo

momentnu jednadžbu rotacije oko točke C:

• U izrazu (I) nepoznanice su elastična sila opruge Fe i kutno

ubrzanje α valjka.

21(I)2

C C

e C

M I

M F r I m r

+

C=O

α

m

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

Fe

M

• U izrazu (II) nepoznanice su kut zakreta φ i kutno ubrzanje α.

• Ukoliko se izraza (II) izrazi α dobiva se:

C=O

α

m

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

Fe

M

• Pošto se kutna brzina mijenja od , ω0=ω1=0, ω= ω2=2 rad/s,

može se koristiti kinematički izraz koji vezuje kut zakreta φ,

kutnu brzinu ω i kutno ubrzanje α: :

(IV) d d

C=O

α

m

Gz

RCx

RCy

+MC

y

x

Fe

M

• PRIMJER 1-2020: Kolut ima masu od 20 kg, polumjer 0,2 m i moment tromosti inercije IC=0,40 kgm

2. Cilindar mase 6 kg je pričvršćen konopom koji je obavijen po obodu koluta. Ukoliko se cilindar početno giba prema dolje brzinom od 2 m/s odredi njegovu brzinu kada je t=3 s. Masa konopa se zanemaruje. Riješi problem na dva načina razmatrajući ga kao sustav koji se sastoji od koluta i cilindra, a zatim razmatrajući kolut i cilindar odvojeno.

• Zadano: mt=6 kg, mk=20 kg, r=0,2 m, , v0=v1=2 m/s, t0=t1=0 s, t=t2=3 s,

.

Položajna skica mehaničkog sustava u primjeru 1-2020.

2 2 21 1 20 0,2 0,40 kgm2 2

C kI m r

C=O

IC, mk

mt

v

z

RJEŠENJE:

• Sustav se sastoji od koluta (kruto tijelo) koji se pod djelovanjem težine cilindra (čestica) rotira oko točke C kutnom brzinom ω.

• Pošto nepomična os rotacije prolazi kroz centar mase C koluta radi se o centrodinoj rotaciji O=C. Pri tomu cilindar se pravolinijski giba prema dolje.

• Pošto problem uključuje promjenu brzine tijekom zadanog vremenskog intervala od t0=t1 do t=t2, isti pored primjene II Newtonovog zakona može se riješiti i primjenom principa impulsa i količine gibanja.

• Pri tomu se kod primjene svake metode može u analizi razmatrati cijeli sustav ili u analizi sustav rastaviti na kolut i cilindar.

C=O

IC, mk

mt

v

z

• Princip impulsa i količine gibanja-Rješenje problema kada se analiziraju zasebno kolut i cilindar

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela koluta. Sve su sile konstantne pošto težina cilindra uzrokuje gibanje. Gibanje cilindra prema dolje brzinom v uzrokuje gibanje koluta kutnom brzinom ω u smjeru kazaljke na satu.

• Na kolut djeluju:

- težina koluta Gk;

- reakcije u ležaju C, RCx i RCy;

- sila u užetu S;

v

C=O

α

S

Gk

RCx

RCy

+MC

y

x

Plan slobodnog tijela koluta

• Pošto kolut rotira kutnom oko točke C kutnom brzinom ω, postavljajući zakon momenta količine gibanja, tj. koristeći princip kutnog impulsa i momenta količine gibanja eliminiraju se iz analize nepoznate reakcije RCx i RCy pošto djeluju u nepomičnoj točki C.

• U izrazu (I) nepoznanice su kutne brzina ω2 i ω1 te sila u užetu S. Kutni impuls ima samo sila S koji je pozivan u odnosu na smjer gibanja (pozitivan moment).

v

C=O

α

S

Gk

RCx

RCy

+MC

y

x

2 2 2 2

1 1 11

2 1

3 3

2m/s 0 0

2 1 2

2 1

2 1

2 1

( )

0,4( ) 0,2 3

0,4( ) 0,6 : 0,4

(I) 1,5

C

C

L t s t s

O C C

L t s t s

C C C

dL I d M dt S rdt

L L I S r t

S

S

S

+

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela cilindra. Cilindar se pravocrtno giba prema dolje po osi y.

• Na cilindar djeluje težina Gt čije je smjer djelovanja pozitivan s obzirom na os y te sila u užetu S koja ima negativan smjer.

F

y

x

S

Gt

v

Plan slobodnog tijela cilindra

• Postavljajući jednadžbu zakona količine gibanja cilindra po osi y dobiva se:

• U izrazu (II) nepoznanice su brzina cilindra v2 i sila u užetu S.

• Linearni impuls ima sila S koji je negativan u odnosu na smjer gibanja te sila težine Gt cilindra koji je pozitivan iz razloga što djeluje u smjeru gibanja.

F

y

x

S

Gt

v

2

1

3 s

2 1

0 s

2 1 2 2 2 2

2

2

2

6 6 2 6 9,81 3 3

6 12 176,58 3 188,58 3 : 6

(II) 31,43 0,5

t

t t y y

t

t t t t

m v m v F dt I

m v m v G t S t m g t S t

v S

v S S

v S

• Kako su se dobile dvije jednadžbe s četiri nepoznanice S, ω1, ω2 i v2, moraju se koristiti dodatni kinematički izrazi.

• Kinematički izraz koji povezuje kutnu brzinu ω i brzinu v može se prikazati ako se promatra točka P na kolutu (slika).

• Brzina v točke P je u smjeru tangente kružne putanje i stoga se naziva obodna brzina. Njena magnituda je u ovom slučaju jednaka brzini cilindra:

gdje je r vektor položaja r od C do P, dφ elementarni kut zakreta, a ds

elementarni djelić puta (luka) za koji točka P pomjera tijekom zakreta.

α,ω

CP

an

at

vt

n

a

P

ds dv v r r

dt dt

• Iz ovog izraza slijede odakle slijede kutne brzine:

• Kada se dobivene kutne brzine uvrste u (I) dobiva se:

P

ds dv v r r

dt dt

11

2 22 2

2 rad10

0,2 s

50,2

v

r

v vv

r

2 1

2

2

2

1,5

5 10 1,5

5 10 1,5 :5

(III) 2 0,3

S

v S

v S

v S

• Ukoliko se izraz za brzinu v2 (III) uvrsti u (II) dobiva se sila u užetu S:

• Konačno, iz izraza (III) uz izračunatu silu S slijedi brzina v2:

2(III) 2 0,3

31,43 0,5 2 0,3

( 0,5 0,3) 31,43 2

0,8 29,43

29,4336,78 N

0,8

v S

S S

S

S

S

2

2

(III) 2 0,3

m2 0,3 36,78 13,03

s

v S

v

• Princip impulsa i količine gibanja-Rješenje problema kada se analizira cijeli sustav

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela sustava zamašnjak-bubanj-teret.

• Na sustav djeluju:

- težina koluta Gk;

- reakcije u ležaju C, RCx i RCy;

- sila u užetu S;

- težina cilindra Gt.

C=O

ω

IC

S

Gk

RCx

RCy

+MC

y

x

S

F

Gt

v

Plan slobodnog tijela sustava zamašnjak-bubanj-teret

• Princip impulsa i količine gibanja kada se razmatra cijeli sustav svodi se samo na zakon momenta količine gibanja koji omogućuje direktno izračunavanje tražene brzine cilindra v2.

• Razlog jest je što u ovom slučaju moment količine gibanja imaju samo kolut i cilindar koji djelovanjem svoje težine zakreće kolut oko točke Ckutnom brzinom ω.

• U ukupnom kutnom impulsu I dolazi samo težina tereta Gt, dok se sila u užetu S kao unutrašnja sila (kruta veza-nerastezljivo uže) ne razmatra budući da je impuls svih unutrašnjih sila sustava jednak nuli. Razlog je što prema trećem Newtonovom zakonu unutrašnje sile tvore jednak, ali suprotan kolinearni par.

• Težine koluta Gk i reakcije RCx i RCy nemaju kutni impuls niti moment količine gibanja jer djeluju u nepomičnoj točki C.

• Stoga, zakon momenta količine gibanja sustava je:

• U dobivenom izrazu (I) nepoznanice su kutne brzine ω1 i ω1. Uz poznati kinematički odnos kutne brzine i brzine cilindra preko obodne brzine slijedi :

2

1

2 2 2

2 1

1 1 1

2 2 1 1 2 2

2 2 1

( ) ( )

0,4 6 0,2 0,4 6 2 0,2 6 9,81 0,2 3

(

i i

tn n n

C C iC

i i it

kolut cilindar cilindar cilindarkolut

C t C t t t

L L M dt

I m v r I m v r G r t m g r t

v

2 2 1I) 0,4 1,2 0,4 2,4 35,31v

11

2 22 2

2 rad10

0,2 s

50,2

v

r

v vv

r

što uvrštenjem u izraz (I) daje brzinu v2

11

2 22 2

2 rad10

0,2 s

50,2

v

r

v vv

r

2 2

2

2

0,4 5 1,2 0,4 10 2,4 35,31

3,2 6,4 35,31

35,31 6,4 41,71 m13,03

3,2 3,2 s

v v

v

v

ZADATAK ZA VJEŽBU

1. PRIMJER 22-2018 riješi primjenom zakona kinetičke energije.

2. PRIMJER 1-2020 riješi primjenom II Newtonovog zakona.