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Introduccin.Imagnese que se hace un corte longitudinal a un
recipiente con agua y considrese un elemento volumen del lquido de
masa m en su superficie; que rota uniformemente alrededor de un
eje; para que se de este movimiento, se necesita de una fuerza
centrpeta Fc
dada por:Dnde x es la distancia del elemento de volumen al eje
de rotacin, m su masa y la velocidad angular a la que este gira.
Las fuerzas que actan sobre el elemento de agua son el peso W=-mg,
la fuerza centrpeta Fc y la fuerza boyante Fb.
De la figura 1, vemos que la tangente del ngulo se puede
expresar como:
Por otra parte, si y, es la altura que el agua toma a una
distancia x del eje de rotacin,por la geometra del problema,
tenemos que tan()=dy/dx, as que:
Integrando la ecuacin tres:
La ecuacin 4, es una funcin que determina la altura y que tomar
el agua a una distancia x del eje de rotacin cuando se tienes una
velocidad angular dada; de esto se sigue que la forma de la
superficie adquirida por el corte a la superficie de agua es una
parbola.
Superficie parablica de un fluido en revolucin. Francisco Pez
Larios.
Facultad de Ciencias, 20 de septiembre de 2012.Universidad
Nacional Autnoma de Mxico.
Resumen.Se construyo un dispositivo para hacer girar un volumen
de agua entorno a un eje, se tomaron fotografas de la forma
adquirida por el agua y se analizaron posteriormente con el uso del
programa Tracker. Se verific que la fuerza centrpeta y el peso del
agua, causan que su superficie adquiera una forma de paraboloide de
revolucin.
Fc = mx2ec.1
Figura 1. Fuerzas actuando sobre el agua.
tan() =
Fcmg
=mx 2
mg
tan() =
2xg ec.2
dydx
= 2xg
dy =
2xg
dxec.3
y(x ) =
2x 2
2g ec.4
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Desarrollo experimental.El arreglo experimental, consisti en un
disposit ivo para hacer girar un recipiente con agua entorno a un
eje fijo. El dispositivo se construy con un motor elctrico y una
probeta no graduada de 10 cm de dimetro construida en la facultad
de ciencias; la probeta se sujet mediante una pieza de madera
atornillada al eje del motor en la que se coloc plastilina para cmo
adhesivo. El motor era alimentado por una fuente de tensin variable
de 0 a 200 V, para variar la velocidad del motor slo era necesario
cambiar esta tensin.
Una vez ensamblado el dispositivo, se verti agua en la probeta y
se puso a girar el motor; al comienzo se observ inestabilidad en el
agua y precesin en la probeta, pero debido a la viscosidad del agua
despus de un tiempo estos efectos desaparecieron, cuando la probeta
se estabiliz, se observ que el agua en el interior adquira una
forma curva que se mantena con el tiempo. Para medir la velocidad
angular, se us una f o t ocompue r t a PASCO de
resolucin 0.0001 s, con la que se midi el tiempo T necesario
para que se completara una revolucin, de esta manera la velocidad
angular 1, esta dada por:
Para analizar la forma tomada por el agua en estas condiciones,
se tomaron fotografas de la curva y se analizaron con Tracker, un
software que permite el anlisis de la cinemtica de cuerpos
capturados en fotografa y video.Para la adquisicin de datos, la
velocidad angular del motor se vari 8 veces. La fotografa de cada
una, se tom hasta el momento en el que la superficie del agua se
volvi estable y para cada una de estas velocidades angulares, el
tiempo T se midi 5 veces .Resultados.Con el uso de Tracker, para
cada velocidad angular, se ajustaron puntos a la superficie del
agua, que despus se a n a l i z a r o n c o n e l p r o g r a m a
Mathematica 7; este anlisis consisti en hacer un ajuste de la forma
y=cx2 a cada serie de puntos, ya que de sta manera teniendo el
coeficiente c, es posible comparar la velocidad angular 1 obtenida
de la medicin con la fotocompuerta, con el valor de 2 dado por:
Las siguientes grficas, muestran la dispersin de puntos y el
ajuste de cada fotografa; El coeficiente c encontrado para cada
una, la velocidad angular obtenida de l y la obtenida con la
fotocompuerta, se muestran en la tabla 1 ; Por exper iencia de
trabajos anteriores, el valor de la incertidumbre
Figura 2. Arreglo experimental.
1 =
2T ec.5
2 = 2gc ec.6
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para cada coeficiente c, se estima de 5%; esto es por que
Tracker no proporciona informacin alguna acerca de la incertidumbre
que su uso genera; las incertidumbres U(1) y U(2) para los valores
de 1 y 2, se obtuvieron con la ley de propagacin de la i n ce r t i
d um b re a pa r t i r d e l a incertidumbre combinada de cada
variable.
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Discusin.De las grficas anteriores, observamos que para las
fotografas 1 y 2 el modelo de una parbola no se ajusta como se
esperaba a la superficie del agua, en estos 2 casos, la rama
izquierda de la parbola, se desva de los puntos notablemente,en un
mximo de 3 cm; sin embargo, la rama derecha de la parbola alcanza
los intervalos de incert idumbre de los puntos, y m a n t i e n e s
u m i s m o p a t r n , comportndose para las fotos 1 y 2 casi
paralela a los puntos. Estos dos comportamientos, los podemos ver
reflejados en que la diferencia entre 1 y 2 no alcanza a ser
cubierta por los intervalos de incertidumbre. De las grficas
siguientes, vemos que este efecto desaparece al disminuir la
velocidad angular, lo que lleva a pensar que debido a esta, hay un
efecto
secundario que no se esta tomando en cuenta; la primer sospecha
que se tiene, es que la precesin e inestabilidad de la probeta,
causaron la inclinacin del dispositivo y esto a su vez caus estos
efectos.Los ajustes hechos a las dispersiones de puntos de las
fotografas restantes, muestran que el modelo predicho se com po r t
a s a t i s f a c t o r i am e n t e , presentando una desviacin
mxima de 0 . 3 c m d e l o e s p e ra d o , e s t a s desviaciones
de los puntos respecto al ajuste, es mnima y conservan una misma
trayectoria.El hecho de que para ninguna fotografa el punto mas
bajo coincida con el origen, puede ser originado por efectos de
turbulencia o bien, variaciones en la perspectiva al tomar la
fotografa y analizarla con Tracker; adems hay que considerar que la
viscosidad del aire puede tener efectos sobre la superficie del
agua, intuitivamente, estos efectos seran de mayor intensidad a una
velocidad angular mas alta, lo que es consistente con los ajustes
para las primeras 2 fotografas.En la tabla 1, se muestra que las
velocidades angulares obtenidas con la fotocompuerta y el ajuste,
varan de una forma considerable, no obstante los los intervalos de
incertidumbre cubren esta diferencia. Observamos que la desviacin
entre 1 y 2 disminuye conforme estas toman valores ms bajos ,y se
destaca que el ajuste hecho a los puntos mejora; esto da mas peso a
la hiptesis de que los efectos de la precesin, la turbulencia del
agua y l o s e f e c t o s d e l a i r e i n fl u y e n
directamente en la superficie del agua. Conclusiones.Se concluye
que el modelo de una parbola describe adecuadamente la
Fotogra-fa
1 U(1) c 2 U(2)
12345678
36.68 0.011 0.416 28.44 3.4234.47 0.001 0.381 27.22 3.5732.48
0.006 0.486 30.74 3.1630.32 0.002 0.383 27.29 3.5627.84 0.001 0.336
25.56 3.8025.44 0.004 0.293 23.87 4.0722.40 0.016 0.208 20.11
4.8315.24 0.001 0.079 12.39 7.84
Tabla 1. Velocidad angular 1 medida con la fotocompuerta y 2
obtenida a partir de c.
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superficie del agua en rotacin, justificamos este hecho con los
ajustes hechos la superficie; todos mantiene un m i s m o p a t r n
y s e a j u s t a n adecuadamente a una parbola, incluso en los
casos en los que la velocidad angular es alta, por lo menos una
rama de la parbola describe bien los puntos y para velocidades
angulares mas bajas el modelo describe consistentemente a la
superficie.
Bibliografa. J. Miranda , Eva luac in de la
Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Fsica, UNAM,
Mxico, 2000).
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