Superficie Helicoidal

7/23/2019 Superficie Helicoidal

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2015EPS FERROL

Aitor Ramil Vizoso

[ESTUDIO DE UN HELICOIDE] AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS



Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE

Alumno: Aitor Ramil Vizoso

1

ÍNDICEINTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 2

PARAMETRIZACIÓN DE LA SUPERFICIE. ........................................................................................ 4

VECTOR NORMAL .......................................................................................................................... 4

BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 11





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INTRODUCCIÓNEl estudio de superficies en tres dimensiones resulta de interés no sólo para los

matemáticos, sino que es de gran utilidad en el ámbito ingenieril, como por ejemplo

es el caso de lograr estructuras resistentes compatibles con el diseño pretendido.

“Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que

forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca

se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de unasuperficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la superficie en

dicho punto ” (Wikipedia, 2015) .

Ilustración 1. EJEMPLO SUPERFICIE. A la hora de estudiar una superficie, es importante conocer la forma en la que ésta

se origina. Atendiendo a esto se definen algunos de los tipos de superficies

existentes:

Superficies de revolución. Este tipo de superficie es generada mediante la

rotación de una curva plana (conocida como generatriz), alrededor de una

recta llamada directriz, que desempeña la labor de eje de rotación. Algunos

subtipos de estas superficies son las superficies de revolución cilíndrica, de

revolución cónica, de revolución esférica y de revolución toroidal.

Superficies regladas. Este otro tipo es generada por una recta también

conocida como generatriz al desplazarse por una o varias curvas, llamadas

directrices.

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangente

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangente





3

Superficies helicoidales. Estas superficies se originan por el movimiento

helicoidal que sigue una curva, cuyos puntos definirán hélices del mismo eje

y paso.

Como es de esperar, la superficie a estudiar en el presente trabajo, es una superficie

helicoidal. El helicoide es una curva que se obtiene engendrando un punto al

componer un movimiento de giro más otro de traslación. Si dicho punto es unido al

eje de revolución por líneas rectas, se obtiene una superficie helicoidal llamada

helizoide. Por otra parte, si las líneas de unión entre el eje de rotación y el punto son

perpendiculares al eje, se obtiene un helicoide recto.

Ilustración 2. HELICOIDE RECTO. El descubrimiento de esta superficie se le atribuye a J. B. M. C. Meusnier en el año

1776.





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PARAMETRIZACIÓN DE LA SUPERFICIE.A la hora de estudiar la parametrización de esta superficie, se pretende generarla a

partir de dos parámetros: uno que contenga el radio del cilindro, y otro que defina

el avance de la curva a lo largo del eje “Z”.

Estos dos parámetros suelen denominarse con las letras “v” para el radio del cilindro

y “u” para la variación en el eje “Z”.

De este modo, la parametrización resulta:

= · cos

, = = · , , = ·

, = · , ·, ·

Con 0 < u < 2π, -∞ < v < +∞.

VECTOR NORMALUna vez expresada la superficie mediante una parametrización, las derivadas

parciales de la misma en un punto ofrecen sendos vectores tangentes a la superficie

en dicho punto. Estos dos vectores pueden generar un plano tangente a la superficieen dicho punto. A su vez, multiplicando vectorialmente estos dos vectores

obtenidos, se obtiene un vector perpendicular a ambos, que corresponde al vector

normal a la curva en el punto seleccionado.

, = , , =





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, = = · , · cos,

, = = cos, ,0 = ̂ ̂ cos cos 0 = ̂ cos ̂

De este modo se ha calculado un vector perpendicular a los dos vectores tangentes

sin necesidad de disponer del plano tangente.

ÁREA DE LA SUPERFICIEEl área de una superficie parametrizada se define como la integral doble del módulo

del producto vectorial de los vectores tangentes. Los límites de integración harán

referencia al radio del cilindro y al avance de la superficie sobre el eje “Z”.

= ∬| |

Recordando del apartado anterior:

= ̂ cos ̂ Por lo que el módulo será:

| | = ( ) ( ) = cos =

Una vez obtenido el módulo de este producto vectorial, estableciendo unos límites

de integración que harán referencia al radio mínimo y máximo, y a la variación de la

superficie en el eje “Z”, se puede obtener el área de la superficie helicoidal.





6

PRODUCTO ESCALAR EN EL PLANO TANGENTE YPRIMERA FÓRMULA FUNDAMENTALSe conoce como la primera fórmula fundamental al tensor simétrico que está

definido sobre el espacio tangente a cada punto de la superficie del helicoide. Gracias

a esta primera fórmula fundamental es posible estimar longitudes de curvas

definidas sobre el helicoide, ángulos de intersección entre curvas y otros conceptos

métricos como es el área de una región sobre la superficie.

Como datos de partida para el cálculo del área mediante la primera fórmula

fundamental, se utilizarán los dos vectores obtenidos anteriormente:

= · , · cos,

= cos, ,0 Por tradición, para hacer este cálculo se definen las componentes de la primera

forma fundamental con las nomenclaturas E, F y G:

= · = (cos ) = 1

= · · cos · cos· = 0

= · = ( · ) · cos =

Estableciendo los límites de integración para delimitar la región a estudiar dentro

de una superficie, se puede calcular el área por la siguiente expresión:

= ∬ · = ∬

Se observa que a la hora de estimar el área de la superficie, se llega a la misma

expresión empleando cualquiera de los dos métodos expuestos en este trabajo.





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DIFERENCIAL DE LA APLICACIÓN DE GAUSS.SEGUNDA FORMA FUNDAMENTALUna vez se dispone de la superficie parametrizada, es posible asociar a cada punto

un vector normal unitario del siguiente modo:

= | | Estos factores ya han sido obtenidos en apartados anteriores:

= ̂ cos ̂ | | =

Finalmente resulta:

= | | = ̂ cos ̂ √ = · √ , · √ , √ Además, para obtener el diferencial de la aplicación de Gauss:

, = = · , · sen,0

, = = ,cos,0

, = = 0,0,0

Sustituyendo:

, = · = − ·√ + , ·√ + , √ + · · , ·sen,0 = 0





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, = · = − ·√ + , ·√ + , √ + · ,cos,0 = √ +

, = · = − ·√ + , ·√ + , √ + · 0,0,0 = 0

Una vez hechos los cálculos, se sustituirán en la expresión de la matriz asociada de

la dN p.

11 1221 22 = 1 ·

11 1221 22 = 1 · 0 √ · 0 0

CURVATURA DE GAUSSLa curvatura de Gauss se calculará como el determinante de la matriz asociada:

= 11 1221 22 = 1 · 0 √ · 0 0 = 0

OTROS ASPECTOS DE LA SUPERFICIEEl helicoide se puede definir como una superficie reglada, ya que se genera por el

movimiento de una recta generatriz que se apoya en una hélice y en el eje de uncilindro, manteniendo el ángulo con respecto al eje constante.

Como ejemplos de aplicación, este superficie se puede ver en los siguientes casos:

Rosca cuadrada

Esta rosca está formada por una ranura helicoidal, de sección cuadrada en un

cilindro de metal, y cada superficie lateral es un helicoide recto.





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Ilustración 3. ROSCA CUADRADA.

Muelle de arrollamiento helicoidal

Ilustración 4. MUELLE DE ARROLLAMIENTO HELICOIDAL.

Broca helicoidal

Ilustración 5. BROCA HELICOIDAL.





10

Otros

Dentro de este grupo, destacar la caja de escalera circular o de caracol, el plano

inclinado helicoidal o la rosca en V de 60º.





11

BIBLIOGRAFÍA https://books.google.es/books?id=Gv9Uqt2ppnMC&pg=PA230&lpg=PA230

&dq=generacion+helicoide&source=bl&ots=ZVA_7KIojw&sig=EcmANQgka9cMKlGr-FFTnyQ9yFo&hl=gl&sa=X&ved=0ahUKEwiLrtq-n7bJAhVItBoKHV2hD0UQ6AEIJDAB#v=onepage&q=generacion%20helicoide&f=false

http://www.ugr.es/~fjlopez/_private/Curso_Propiedades_Geometricas.pdf https://books.google.es/books?id=49HuAAAAMAAJ&q=parametrizacion+helicoide&dq

=parametrizacion+helicoide&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwis59asorbJAhXShhoKHSohCnAQ6AEIKTAB

http://www.nebrija.es/~abustind/Industriales/Matematicas2/14-15/Superficies.pdf http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cintegral13.pdf http://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/ApuntesSuperficies.pdf http://www.mat.ucm.es/~edaguirr/cys06.pdf http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgonzalo/GCS/Cap-5-2015.pdf

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