Statik Hesaplar

T.C.MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI

MEGEP(MESLEKİ EĞİTİM VE ÖĞTERİM SİSTEMİNİN

GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ)

STATİK HESAPLAR

ANKARA 2005

İÇİNDEKİLERİÇİNDEKİLER......................................................................................................................................... iAÇIKLAMALAR.................................................................................................................................... iiGİRİŞ....................................................................................................................................................... 1ÖĞRENME FAALİYETİ - 1...................................................................................................................21. ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA......................................................2

1.1. Basit Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi................................................................................. 31.2. Birleşik Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi.............................................................................5UYGULAMA FAALİYETİ...............................................................................................................11ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME.....................................................................................................19

DEĞERLENDİRME......................................................................................................................31ÖĞRENME FAALİYETİ - 2.................................................................................................................312. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA................................................ 31

2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti................................................................................................31 2.1.1. Eğilme Momenti .................................................................................................................312.1.2. Eğilme Gerilmesi..................................................................................................................322.1.3. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramlarının Çizilmesi........................................ 322.1.4. Mukavemet Momenti........................................................................................................... 34

UYGULAMA FAALİYETİ...............................................................................................................37ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME.....................................................................................................45

CEVAP ANAHTARI.....................................................................................................................47DEĞERLENDİRME......................................................................................................................61

MODÜL DEĞERLENDİRME.............................................................................................................. 62KAYNAKLAR.......................................................................................................................................64

AÇIKLAMALAR

İÇİNDEKİLER

i

AÇIKLAMALARKOD 582İNŞ009

ALAN İnşaat Teknolojisi

DAL/MESLEK Meslek Hesapları

MODÜLÜN ADI Statik Hesaplar

MODÜLÜN TANIMI Atalet ve mukavemet momentlerinin tanımı, çeşitleri, birimleri ve hesap uygulamaları.

SÜRE 40/32

ÖN KOŞUL Fiziksel dayanımlar modülünü başarmış olmak.

YETERLİK Gerekli ortam sağlandığında atalet ve mukavemet momenti hesapları yapabilmek.

MODÜLÜN AMACI

Genel Amaç : Bu modül ile gerekli ortam sağlandığında atalet ve mukavemet hesaplarını doğru olarak yapabileceksiniz.

Amaçlar: Bu modül ile A

1- Atalet momentinin tanımını doğru olarak yapabileceksiniz.

2- Atalet momentinin çeşitlerini eksiksiz öğrenebileceksiniz.

3- Atalet momentinin birimini doğru olarak öğrenebileceksiniz.

4- Atalet momenti hesaplarını verilen formüllere ve verilere göre doğru olarak çözebileceksiniz.

B1- Mukavemet momentinin tanımını doğru olarak

yapabileceksiniz.2- Mukavemet momentinin çeşitlerini eksiksiz

öğrenebileceksiniz.3- Mukavemet momentinin birimini doğru olarak

öğrenebileceksiniz. 4- Mukavemet momenti hesaplarını verilen formüllere ve

verilere göre doğru olarak çözebileceksiniz.

ii

EĞİTİM ÖĞRETİM ORTAMLARI VE DONANIMLARI

Ortam: Sınıf, atölye, laboratuvar ve kütüphane, ev gibi öğrencinin kendi kendine veya grupla çalışabileceği tüm ortamlar.

Donanım: Sınıf, kütüphane tepegöz, projeksiyon, bilgisayar ve donanımları,öğretim gereçleri vb.

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME

Öğrenciler modülün içinde yer alan her faaliyetten sonra verilen ölçme araçları ile kazandıkları bilgi ve becerileri ölçerek kendi kendilerini değerlendireceklerdir.

Öğretmen, modül sonunda öğrencilere ölçme aracı uygulayarak modül uygulamaları ile kazandıkları bilgi ve becerileri ölçerek değerlendirecektir.

iii

GİRİŞSevgili Öğrenci,İnşaat teknolojisi alanının geçmişi, ilk insanların barınma ihtiyaçlarını karşılamak için

yaptıkları geleneksel yapılara kadar dayanmaktadır. Mukavemet alanındaki ciddi çalışmalar ve araştırmalar Rönesans devri ile başlamıştır. Leonar Da Vinci (1452-1519) ve Galileo (1564-1642) yapı malzemelerinin mekanik özellikleri ve kirişlerin mukavemetleri ile ilgili incelemeler yapmışlardır.

İnşaat sektörü, günümüzde hızla gelişen teknoloji sayesinde çok gelişmiştir. Elle çizilen ve hesaplanan projeler artık bilgisayarla yapılmaktadır.

İnşaat teknolojisi çok geniş bir alandır. Birçok önemli bölümleri vardır. Statik

hesaplamalar da bunlardan biridir. Mühendislik yapısı, bir bina veya bir köprü, bir makine, bir uçak, bir gemi veya bir

otomobil olsun, bunların taşıyıcı sistemlerini oluşturan elemanların boyutları, dış kuvvetlerden kaynaklanan iç kuvvetlere dayanabilecek biçim ve büyüklükte olmalıdır. Bunun tersi de söz konusu olabilir.Yani boyutları bilinen bir elemanın taşıyabileceği dış yükün bulunması ya da gerilmelerin kontrol edilmesi gerekebilir.

Bu modülde dış kuvvetlerin etkisine dayanabilecek kirişlerin boyutlarını

hesaplayabilmek için seçilen kiriş kesitinin atalet (eylemsizlik) ve mukavemet (dayanım) momentlerinin nasıl yapılacağı uygulamalı olarak anlatılmıştır.

GİRİŞ

1

ÖĞRENME FAALİYETİ - 1

Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sağlandığında atalet momenti hesabı yapabilecektir.

Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmek için ağırlık merkezi ve moment konusunu öğrenmeniz gerekmektedir. Burada size kısa bilgi verilecektir. Ancak bu konuyla ilgili araştırma yapmanız gerekecektir.

Eğilme dayanım problemlerinin çözümü için;

1- Kiriş kesitlerinin atalet momentlerinin,2- Kirişlerin dayanım momentlerinin,3- Kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesi ile ilgili kaynak

araştırması yaparak bilgi edininiz.

1. ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA

a- Tanım 1.Ağırlık Merkezi: Bir cismi meydana getiren küçük parçacıklara etki eden yerçekimi

kuvvetlerinin bileşkesinin, cisim üzerindeki uygulama noktasına o cismin ağırlık merkezi denir.(cm, dm, m.) Herhangi bir yüzey veya eğri alalım. Aşağıdaki şekli sonsuz derecede df parçalarına bölelim. Yüzeyi bir koordinat sistemine oturtalım. En küçük alandan koordinat sistemine bir paralel çizelim. Her minimum alan için aynı şeyleri tekrar ettiğimizde paralellerin kesiştiği nokta, o yüzeyin ağırlık merkezidir.

dF

0

y

yxgx yg

G F

x

FdF

0 x

y

yxgx yg

G

Şekil 1.1

ÖĞRENME FAALİYETİ-1

AMAÇ

ARAŞTIRMA

2

1.1. Basit Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi

1) Dairenin ağırlık merkezi kendi merkezidir.

M

G Şekil 1. 22) Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenarlarda ağırlık merkezi köşelerinin kesiştiği

noktalardır.

M

G

M

G

Şekil 1.3

3) Üçgenin ağırlık merkezi kenar ortaylarının kesişme noktasıdır. Bu nokta yüksekliğin 3/1’inden geçer.

C B

A

aa/2 a/2

c/2

b/2 c/2

b/2b

h/2

c

GŞekil 1. 4

4) Yamuğun ağırlık merkezini hesaplarken alt kenarı üst kenara, üst kenarı ters yönde alt kenara ekleyelim, köşegenleri birleştirelim. Köşegenlerin kesişme noktası ağırlık merkezidir.

3

GIABI

ICDIA

D C

B

Şekil 1.5

5) Herhangi bir dörtgenin ağırlık merkezi, köşegenlerinin birleştirilmesinden ortaya çıkan 4 üçgenin ağırlık merkezlerinin karşılıklı birleştirilmesiyle oluşan köşegenlerin kesiştiği noktadır.

D

A

B

C Şekil 1.6

6) Yarım dairenin ağırlık merkezi geometrik merkezinden π3

4r kadar uzaktadır.

MG

4r3

Şekil 1. 77) Çeyrek dairenin ağırlık merkezi kendi ağırlık merkezinden.

π3

24r kadar uzaktadır

My

x

Şekil 1.8

4

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

r=4 cmr=4 cm

xy

xy

M

G

G

G G

15xy

xy

16

4

6 6

1 8 2 64Fyx

1 4 1,69 25,12Fyx

1 6 5 90Fyx

1 2,4 2,4 12,56Fyx

69,114,3344 == x

xy )40,24,2( xG =

22rF π= cmxy x

xx 40,214,3341,144 ==

Şekil 1. 9

1.2. Birleşik Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi

1) Verilen birleşik yüzey koordinat düzlemine oturtulur.2) Birleşik yüzey, bilinen basit yüzeylere ayrılır.3) Her basit yüzeyin ağırlık merkezi bulunur.4) Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler inilir.5) Her basit yüzeyin alanları tespit edilir.6) x ve y mesafeleri hesaplanır.7) gx ve gy bulunur.

a.2. Atalet Momenti: Herhangi bir yüzeyin sonsuz derecede küçük alan parçasının herhangi bir x eksenine mesafesi karesi ile çarpımının toplamına o alanın x eksenine gelen atalet momenti denir. Atalet momenti ,”J” ile gösterilir.

y

x0

F

dF

y

x

2

2

SdFxJySdFyJx

=

=

5

Şekil 1. 10a.3. Atalet Yarıçapı: Kendi ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet yarıçapı

aynı eksene göre alınan atalet momentinin kesit alanına bölümünün kareköküne eşittir. “Ix” ile gösterilir. Atalet yarıçapının birimi “cm , dm” olur.

cmİx FJx= cmİy F

Jy=Burada: Ix : Atalet yarıçapı Jx : x eksenine göre atalet momenti F : Şeklin (kesitin) alanı

b- Çeşitleri:

b.1. Basit kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti b.2. Birleşik kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti

b.1. Basit Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti: En çok kullanılan kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafsız eksenlerine göre( x-x ve y-y eksenleri ) atalet momentleri aşağıda maddeler halinde verilmiştir. Örneğin; X-X eksenine göre atalet momenti JX ; Y-Y eksenine göre atalet momenti JY

ile gösterilmiştir.

a) Kare (kendi ağırlık merkezine göre)

G

y

x

b=h

h

b

412

4, cmJJ hyx =

Şekil 1. 11

b) Dikdörtgen

6

G

y

x h

b

412

412

3

3

cmJx

cmJxhb

bh

=

=

Şekil 1. 12c) Üçgen

b

h4

363 cmJx bh=

Şekil 1. 13

d) Daire

NORMAL DAİRE 4

644 cmJyJx Dπ==

Şekil 1. 14

Dı D

DELİKLİ DAİRE

464

)( 41

4

cmJyJx DD −== π

Şekil 1. 15

e) Yarım daire

7

4400686,0 cmDJyJx ==

Şekil 1. 16

f) Çeyrek daire

4400344,0 cmDJyJx ==

Şekil 1. 17

g) Parabol

G

a

b

x4

4

44

3

3

cmJy

cmJxab

ba

×

×

=

=π

π

Şekil 1. 18 b.2. Bileşik Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti: Herhangi bir yüzeyin

kendi ağırlık merkezine göre bulunan atalet momenti ile yüzey alanının ağırlık merkezi ve eksen arasındaki mesafenin karesiyle çarpımının toplamına eşittir.

1.2

102

1

G x

ye2

e1

çapýyarýataletÝ

mukavemetW

ataletFeJyJFeJxJ

FJ

eJ

11

1111

222

111

−

−

=

=

+=+=

−

−

−

Şekil 1. 19

8

2

102

1

G x

y

14

12

16

cmİx

cmWcm

xJ

Jx

xxx

37,16

28144502

)16)(1214(

2016

1684502

316

450211

4

212

121411

121314

3

3

==

===

+=

==

−

−

−

Şekil 1. 20

3.

1

40 cm

INP 320

12

2

cmİ

cmWcm

xJtablodancmF

tablodancmJ

J

J

X

421

75,3420

830,136407,7712510

7,7712510

7,77830,136

7,77

340

830,1364011

4

211

4

4

11

11

===

===

=

+=→=

→=

−

−−

−

Şekil 1. 21Not: Kaynak için INP profil tablolarına bakınız. Basit kesitlerin atalet momentinde verilen formüller, kesitlerin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleridir. Bir kesitin kendi ağırlık merkezinin dışından geçen eksenlere göre atalet momentini de hesaplamak gerekebilir. Böyle durumlarda paralel eksen teoreminden yararlanılır.

Paralel Eksen (Steiner) Teoremi: Bir kesitin, aynı düzlem içinde bulunan bir eksene göre atalet momenti tarafsız eksene göre atalet momentine, kesitin alanı ile paralel iki eksen arasındaki uzaklığın karesinin çarpımı eklenerek bulunur. JXN = JX + F X e1

2 …………………….. cm4

JYN = JY + F X e22 …………………….. cm4

9

Xn

yn

e1

y

xG

0

e2

Şekil 1. 22

Birleşik kesitlerin atalet momentleri, Steiner teoreminden yararlanarak bulunur. Birleşik kesitlerin atalet momentini bulmak için;

1- Verilen kesit, basit geometrik şekillere bölünmelidir. 2- Her şekil numaralanı teker teker alanları bulunmalıdır. 3- Birleşik kesitin (tarafsız eksenin geçtiği) ağırlık merkezi bulunmalıdır. 4- Steiner teoremine göre her kesitin atalet momenti bulunarak cebirsel toplam yapılmalıdır.

c- Birimi: Atalet momentinin birimi cm4,dm4

10

UYGULAMA FAALİYETİATALET MOMENTİ HESAP UYGULAMALARI

1. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yolu ile bulunuz.

y

x0

18

106

Gı

G2

xı

yıx2

y212 6

16

3615 319286

21

Fyx

Şekil 1. 23

1. Verilen birleşik yüzey koordinat düzlemine oturtulur. 2. Birleşik yüzey, bilinen basit yüzeylere ayrılır. 3. Her basit yüzeyin ağırlık merkezi bulunur. 4. Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler inilir. 5. Her basit yüzeyin alanları tespit edilir. 6. x ve y mesafeleri hesaplanır.

7. gx ve gy bulunur.

n

nnFFF

xFxFxFGx ++++++= ...

...21

2211 » cmGx xx 42,73619236151926 == +

+

n

nnFFF

yFyFyFGy ++++++= ...

...21

2211 » cmGy xx 210,7361923631928 == +

+

UYGULAMA FAALİYETİ

11

2. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yolu ile bulunuz.

y

x0

x2

x1

y1

x3

y3

y2 G3

G2

G1

8 6 10

24

816

24019 123 4811 20192124

21

Fyx

Şekil 1. 24

cmxG xxx 2,12240481921924011484192

1 == ++++

cmyG xxx 8,122404819212240204812192

1 == ++++

3. Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

G

y

x 12

10

6

cmİy

cmİx

cmJycmJx

FJy

FJx

xhb

xbh

88,2

46,3

1000

1440

1201000

1201440

412

101212

412

121012

33

33

===

===

===

===

Şekil 1. 25

4. Aşağıda verilen şeklin atalet momenti ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

12

20 cm44

cm

cmİx

cmJx

FJx

xbh

5,107

,47324

44044,47324

412

442012

33

===

===

Şekil 1. 26

5. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız. Birimleri “cm” olarak alınız.

Şekil 1. 27

y

x0

Gı

G2

G

e1y

e2y

e2x

e1x3615 319286

21

Fyx

Şekil 1. 28

5.1.Kesiti basit şekillere ayırarak alanları teker teker hesaplayınız. Birleşik kesitin ağırlık merkezinin yerini bulunuz.

5.2. e1x , e2x , e1y , e2y uzunlukları bulunuz. 5.3. J1X , J2X , J1Y , J2Y hesaplayınız.5.4. Steiner teoremini uygulayınız.5.5. Atalet yarıçapını bulunuz.

y

x0

18

106

Gı

Gz

xı

yıx2

y212 6

16

3615 319286

21

Fyx

13

ÇÖZÜM:

5.1, F1=16x12 = 192 cm2 F2= 6x6 = 36 cm2 ∑F= F1+F2 =192+36 = 228 cm2

X ve Y eksenlerine göre F1 ve F2 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatlarıX1= 6 cm X2= 15 cm Y1= 8 cm Y2= 3 cm.

n

nnFFF


...21

2211 » cmGx xx 42,73619236151926 == +

+

n

nnFFF


...21

2211 » cmGy xx 210,7361923631928 == +

+

42,7=Gx cm 21,7=Gy cm ağırlık merkezinin yeri

5.2,e1x = (y1-gy) = 8 – 7,21 = 0,79 cm. e2x = (gy-y2 ) =7,21-3 = 4,21 cm

e1y = (gx-x1) = 7,42 - 6 = 1,42 cm. e2y = (x2-gx ) =15-7,42 = 7,58 cm Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz.

5.3,

412

1612 40963 cmJx x == 4126 1084 cmJx ==

412

1216 1443 cmJy x == 4126 1084 cmJy ==

5.4,JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 )

JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 )

44126

121612 2,4960)72,1736()62,0192( 3 cmxJxxxxJx x =−⇒+++=−

4126

121216 32,4864)45,5736()01,2192( 43 cmyJyxxyJy x =−⇒+++=−

5.5,

cmxİx 6,42282,4960 ==− cmyİy 6,4228

32,4864 ==−6. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

no x y F ex ey ex2 ey2

1 6 8 192 0,79 1,42 0,62 2,0162 15 3 36 4,21 7,58 17,72 57,45

14

24

6

16

108

8

Şekil 1. 29

y

x0

x2

x1

y1

x3

y3y2

G3

G2

G1

8 6 1024

816

24019 123 4811 20192124

21

Fyx

Şekil 1. 306.1.Kesit basit şekillere ayırarak alanları teker teker hesaplayınız. Bileşik kesitin

ağırlık merkezinin yerini bulunuz.6.2. e1x , e2x , e3x , e1y , e2y , e3y uzunlukları bulunuz. 6.3. J1X , J2X , J3X, , J1Y , J2Y J3y hesaplayınız.6.4. Steiner teoremini uygulayınız

ÇÖZÜM:

6.1. F1= 8x24 = 192 cm2 F2= 6x8 = 48cm2 F3= 10x24 =240 cm2

∑F= F1+F2 + F3 = 192+48+240 = 480 cm2

X ve Y eksenlerine göre F1 , F2 ve F3 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları

X1= 4 cm X2= 11 cm X3= 19 cm Y1=12 cm Y2= 20 cm Y3= 12 cm

cmxG xxx 2,12240481921924011484192

1 == ++++ cmyG xxx 8,1224048192

122402048121921 == ++

++

6.2.

15

e1x = (gy- y1 ) =12,8 – 12 = 0,8 cm e1y = (gx-x1) =12,2 – 4 = 8,2 cm e2x = (y2 - gy ) =20-12,8 = 7,2 cm e2y = (gx-x2) =12,2 - 11= 1,2 cm e3x = (gy- y1 ) =12,8 – 12 = 0,8 cm e3y = (x3-gx ) =19–12,2 = 7,58 cm Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz.

No x y F ex ey ex2 ey2

1 4 12 192 0,8 8,2 0,64 67,242 11 20 48 7,2 1,2 51,84 1,443 19 12 240 0,8 6,8 0,64 46,24

6.3.

412248

1 92163 cmJx x == 412

862 963 cmJx x == 4

122410

3 115203 cmJx x ==4

12824

1 10243 cmJy x == 412

682 1443 cmJy x == 4

121024

3 20003 cmJy x ==

6.4.JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 )

JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 )

412

241012

8612248

7,23756

64,024084,514564,0192 333

cmxJx

xxxxJx xxx

=−⇒

+++++=−

cmxİx 74807,23756 ==−

412

102412

6812

824

72,2744

24,4624044,14824,67192 333

cmyJy

xxxyJy xxx

=−⇒

+++++=−

cmyİy 53,746072,27244 ==−

7. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

16

y

x0

x1y1

x2 y2

x3

y3

G3G2

G1

GGx

Gy

12 4 9

20

614

8,86

7,86

2719 432414 3240106

21

Fyx

Şekil 1. 31

cmGx xxx 86,72724240192714246240 == ++

++

cmGy xxx 86,8272424042732410240 == ++

++

x y F ex ey ex2 ey2

1 6 10 240 1,14 1,86 1,29 3,452 14 3 24 5,86 6,14 34,3 37,63 19 4 27 6,86 11,14 47 124

412

6912

6412

2012

8,10527

47273,342429,1240 333

cmxJx

xxxxJx xxx

=−⇒

+++++=−

cmxİx 62918,10527 ==−

412

4612

1220

4,7990

2712406,372445,3240 33

cmyJy

xxxyJy xx

=−⇒

+++++=−

cmyİy 2,52914,7990 ==−

17


y

x0

x1

y1

x2

y2Gı

4,1

2,1 2,9

4 6

181,

92,

6

10,9

9Şekil 1. 32

cmGx xx 1,45472754272 == +

+

cmGy xx 9,1054725,1354972 == +

+

412184

121 194433 cmJx xbh ===4

1296

122 36533 cmJx xbh ===422 2934)6,254365()9,1721944( cmxxxJx =+++=−

cmİxFxJx 8,472154

2934 ==∑= −

412

418121 9633 cmJy xhb ===

412

69122 16233 cmJy xhb ===

422 1030)9,254162()1,27296( cmxxyJy =+++=−

no x y F ex Ey1 2 9 73 1,9 2,12 7 13,5 54 2,6 2,9

18


Bu faaliyet kapsamında kazandığınız bilgileri aşağıdaki soruları cevaplayarak değerlendireceksiniz.

1. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.

12 4 9

20

614

Şekil 1. 33

2. Çapı 20 cm olan dairenin atalet momentini ve atalet yarıçapını bulunuz.

3. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

12

48

4

4 6 4

Şekil 1. 34


201620

8 20

16

14


19

Şekil 1. 35


16 10 1810

1024

1213

Şekil 1. 36


r=3

5

10

18

Şekil 1. 37 7. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

y1,8 1,2 0,8

31

20

Şekil 1. 388. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

1416

2010 16

Şekil 1. 39

9. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.y

8 2210

2010

6

432

4

10

Şekil 1. 40


36

20 1010 16

1630

2323

20

21

Şekil 1. 41CEVAP ANAHTARI

1.

y

x0

x1y1

x2 y2

x3

y3

G3G2

G1

GGx

Gy

12 4 9

20

614

8,86

7,86

2719 432414 3240106

21

Fyx

Şekil 1. 42 cmGx xxx 86,72724240

192714246240 == ++++

cmGy xxx 86,8272424042732410240 == ++

++

2.

r =10 cm

Şekil 1. 43

cmİyİx

cmJyJx

FJx

xD

5

7850

3147850

464

2014,364

34

====

==== π

22

3.

y

x0

x1

y1

x2x3

y3y2

G3G2

G1

0,24 4,

24

4,41

0,59

6,41

4 6 44

12

48

4

9,76

5,59G

Şekil 1. 44

no x y F ex Ey1 2 8 64 1,76 4,412 7 14 24 4,24 0,593 12 10 48 0,24 5,59

cmGx xxx 41,64824641248724264 == ++

++

cmGx xxx 76,948246410481424864 == ++

++

412124

121 3,136533 cmJx xbh ===

43

2 3212

46 cmxJx == 412

46123 57633 cmJx xbh ===

4222 77,2605)24.048576()24,42432()76,1643,1365( cmxxxxJx =+++++=−

cmİxFxJx 37,4482464

77,2605 ==∑= ++−

412

416121 33,8533 cmJy xhb ===

412

64122 7233 cmJy xhb ===

412

412123 6433 cmJy xhb ===

23

4222 27,2974)59,54864()59,02472()41,46433,85( cmxxxyJy =+++++=−

cmİyFyJy 67,4482464

27,2974 ==∑= ++−

4.

y

x0y1

x1x3

y3

x2

y2

G2

G1 G3G

ey1 ey3

ey2ex1ex

2

ex3

20,22

8 14 20

2016

1620

Şekil 1. 45


1 4 8 128 5,65 16,22 31,92 2632 15 18 504 4,35 5,22 18,92 27,243 32 10 400 3,65 11,78 13,32 138,76

cmGx xxx 22,2040050412832400155044128 == ++

++

cmGx xxx 65,1340050412810400185048128 == ++

++

41220

123614

12168

43,8944533,1866168,639642,6816

32,1340092,1850492,31128 433

cmxJx

xxxxJx xx

=++=−

+++++=−

cmİFxJx

xx 3,9103243,89445 ==∑= −

−

24

4

1220

121436

12816

12

8,12514476,138400

24,27504263128 4333

cmx

xxJ xxhbyy

=+

++++==−

cmİyFyJy 111032

8,125144 ==∑= −

5.

x0

y

y4

y3x5

x4y5y2

x2 x3

x1

y1

16 10 18

29,6

1010

2412

13

18

G

56

Şekil 1. 46


1 13 61,5 265,4 31,82 5,1 1012,5 262 13 28 1456 1,68 5,1 2,82 263 32 28 216 1,68 13,9 2,82 193,24 35 10 360 19,6 16,9 387,3 285,65 21 15 100 14,6 2,9 215,5 9,41

cmGx xxxxx 10,1810036021614564,2652110035360322161314561346,265 == −+++

−+++

cmGy xxxxx 68,2910036021614564,2651510010360282162814565,6146,265 == −+++

−+++

412

101012

201836

2418

1256264

7,793100

5,2151003,38736082,2216

82,214565,101246,26500686,0333

3

cmxJx

xxx

xxDxJxxxx

x

=−

+−++++

+++=−

cmİFxJx

xx 9,1846,21977,793100 ==∑= −

−

25

4312

1820

1226564

4,28240541,910010106,285360

2,193216261456264,26500686,03

3

cmJxxx

xxxDJ

yyx

xyy

=→+−+

++++=

−

−

cmİFyJy

yy 33,1146,21974,282405 ==∑= −

−

6.

x0

y

y1y2

r=3x2 x1 G

10,11

18

5

10

Şekil 1. 47


1 9 5 180 0 1,11 0 1,232 3 5 28,2 0 7,11 0 50,5

F2 =π.r2 = 3,14.32 =28,2cm2

464

4 cmJyJx Dπ== = 44

61,6364

6.14,3 cm=

cmGx xx 11,102,2818032,289180 == −

− cmGy xx 52,2818052,285180 == −

−

412

1018

70,1401

)23,12,2861,63()0180( 3

cmxJx

xxxJx x

=−→

+−+=−

cmİFxJx

xx 38,1517,1401 ==∑= −

−

412

1810

69,3593

)5,502,2861,63()23,1180( 3

cmxJx

xxyJy x

=−→

+−+=−

26

cmİFyJy

yy 86,48,1516,3593 ==∑= −

−

7.

x0

y

G

1

2

1,2 0,8

31

2,37

0,8

1,4

G1

G2

Şekil 1. 48


1 1,4 3,5 2,8 1,13 0 1,276 02 1,4 1,5 3,6 0,87 0 0,756 0

cmGx xx 4,16,38,24,16,37,18,2 == +

+

cmGy xx 37,26,38,25,16,35,38,2 == +

+

412

32,112

18,2 22,9756,06,3276,18,233

cmxxxJx xx =+++=−

cmİFxJx

xx 2,14,622,9 ==∑= −

−

412

2,1312

8,21 090,406,308,233

cmxxyJy xx =+++=−

cmİFyJy

yy 79,04,609,4 ==∑= −

−

27

8.

x0

y10 16 20

G

21

23,96

16,5

5 1416

Şekil 1. 49


1 5 15 300 1,55 18,96 2,40 359,42 18 22 256 5,45 5,96 29,70 35,323 36 15 600 1,55 12,04 2,40 144,9

cmGx xxx 96,2360025630036600182565300 == ++

++

cmGy xxx 55,16600256300156002225615300 == ++

++

412

302012

161612

3010

53,8272440,2600

70,2925640,2300 333

cmx

xxxJx xxx

=+

++++=−

cmİFxJx

xx 45,8115653,82724 ==∑= −

−

28

412

203012

161612

1030

45,23185096,144600

52,352564,359300 333

cmx

xxyJy xxx

=+

++++=−

cmİFyJy

yy 16,14115645,231850 ==∑= −

−

9.

x0

y

G

1

23

8 22 10 6

432

4

1020

10

Şekil 1. 50

cmGx xxx 41,2320070418403520019704231840 == −−

−−

cmGy xxx 2020070418402020020704201840 == −−

−−


1 23 20 1840 0 0,4 0 0,162 19 20 704 0 4,4 0 19,363 35 20 200 0 11,3 0 134,5

412

201012

322212

4046

178592

0200070401840 333

cm

xxxxJx xxx

=

−−−+=−

cmİFxJx

xx 81,13936,178592 ==∑= −

−

29

412

102012

223212

4640

2847495,134200

36,1970416,01840 333

cmx

xxyJy xxx

=−

−−−+=−

cmİFyJy

yy 44,17936284749 ==∑= −

−

10.

x0

y

G

20 36

10 20 10 16

1630

2323

1

2

3

4

Şekil 51

24,4

6,109700686,0,

3104

34

4

====

ππxr

DJyJx


1 20 31 1200 8,4 7,8 70,5 60,82 30 8 320 14,6 2,2 213,1 4,843 48 11,5 368 11,1 20,2 123,2 40,844 20 40,24 157,7 17,6 7,8 311,1 60,84

cmGx xxxxxx 80,277,15736832012003520019207,1574836830320201200 == −++

−−++

cmGy xxxx 7,21200704184024,407,1575,113688320211200 == −−

−++

412

231612

162012

3040

6,2567301,3117,1576,10972,123368

1,2133205,701200 333

cmxx

xxxJx xxx

=−−+

++−+=−

cmİFxJx

xx 18,123,17306,256730 ==∑= −

−

412

162312

201612

4030

6,39480784,607,1576,10974,408368

8,43208,601200 333

cmxx

xxyJy xxx

=+−+

++++=−

cmİFyJy

yy 153,17306,394807 ==∑= −

−

30

DEĞERLENDİRMECevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız ve doğru cevap sayınızı belirleyerek

kendinizi değerlendiriniz.Hatalı cevaplar için faaliyeti tekrarlayınız. Tüm cevaplarınız doğru ise diğer faaliyete

geçiniz.

ÖĞRENME FAALİYETİ - 2

Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sağlandığında mukavemet momenti hesabı yapabilecektir.

Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmeniz için ağırlık merkezi ve moment konusunu öğrenmeniz gerekmektedir. Burada kısa bilgi verilecektir ancak bu konuda araştırma yapmanız gerekecektir. Eğilme dayanım problemlerinin çözümü için;1- Kiriş kesitlerinin atalet momentlerinin,2- Kirişlerin dayanım momentlerinin,3- Kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesini bilmemiz gerekir.

2. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA

2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti

a-Tanım 2.1.1. Eğilme Momenti

Bir kirişin kesitinde, dış kuvvetlerin etkisiyle (kiriş tarafsız ekseninden geçen bir düzlem içerisinde) kuvvet çifti doğuyorsa, buna basit eğilme adı verilir.

Kuvvet çiftinin belirttiği düzleme eğilme düzlemi denir.Kuvvet çiftinin momentine ise eğilme momenti denir ve (Mb) ile gösterilir. Mb=σ

x W‘dir. Eğilen kiriş kesitinin bir tarafında çekme, öteki tarafında basınç gerilmeleri doğar.

Çubuğun çekme tarafında lifler uzar, basınç tarafında kısalır. Bu nedenle çekme tarafında kopma, basınç tarafında ezilme olabilir.

Tarafsız eksende uzama ve kısalma yoktur. Eğilme momenti birimi tm, tcm, kgm,

kgcm ile gösterilir.

ÖĞRENME FAALİYETİ-2

AMAÇ

ARAŞTIRMA

31

Tarafsız eksen

L

BA

b

ç

Şekil 2.12.1.2. Eğilme Gerilmesi

Eğilmeye zorlanan cisimlerin en dış noktalarında meydana gelen çekme ve basınç gerilmelere denir. σ (sigma) sembolü ile gösterilir. Birimi kg/cm2 ile ifade edilir. Basit kirişlerde yükleme durumuna göre eğilme (fleş) miktarını veren formüller vardır.

2.1.3. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramlarının Çizilmesi

B'A'

+1600 cm2-1600 cm2

1200800400

1600 Mmax

20 cm 80 cm

A B

P=100 kg

A'' B''

RB

Şekil 2.2 Kuvvet diyagramında alanlar bulunur.(+;-) (işaretler ne için kullanılmış ?) Moment diyagramı alanlara göre çizilir.

cmkgM xxL

Pxdxd .16001002080100

max1 ===

Önce mesnetlere gelen kuvvetleri buluruz.

kgRkgR

xL

PxB

xL

PxA

2080

1002010020

1008010080

======

32

Daha sonra kirişe paralel olan A’B’ noktasından RA kadar yukarı çıkılır. RA ‘nın bitim yerinden A’B’ eksenine paralel olarak P kuvvetinin uzantı çizgisine kadar gidilir. P ‘yi kesen noktadan P istikametinde ve P şiddeti kadar inilir. P şiddetinin bittiği noktadan A’B’ eksenine paralel RB şiddeti kadar çıkılır. Böylece kesme kuvvetleri diyagramı çizilir ve kirişteki en tehlikeli nokta görülür.

A’B’ çizgisine paralel A’’B’’ çizgisi çizilir.

LPxdxdM 1

max = formülünden

cmkgM xxL

Pxdxd .16001002080100

max1 === bulunur.

Bu sonuç bize en büyük eğilme momentini verir.Şekillerde çeşitli yüklemelere göre kirişlerin kesme kuvveti ve eğilme momenti

diyagramları görülüyor.

RB

RBB'

A'

A B

P1 P2L/3 2L/4

LEn tehlikeli kesit

Mmax

Şekil 2.3

RB

RBB'

A'

A B

En tehlikeli kesit

Mmax

q kg/m q 1000

Şekil 2. 4

kgR xqxLBA 5002

110002 ===−

kgcmkgmMM xqxl

12500125max

811000

8max22

====

33

2.1.4. Mukavemet MomentiHerhangi bir kesitin kendi ağırlık merkezinden gelen mukavemet momenti, aynı

eksene göre alınan atalet momentinin tarafsız eksen ile yüzeyden uzak mesafenin atalet momentine bölümü o yüzeyin mukavemet momentini verir.”W” ile gösterilir.

b- Çeşitleri

Basit kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti Birleşik kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti

Basit Kesitlerin Mukavemet (Dayanım) MomentiEn çok kullanılan kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafsız eksenlerine göre( x-x

ve y-y eksenleri ) mukavemet momentleri aşağıdaki maddeler halinde verilmiştir.

Örneğin, X-X eksenine göre atalet momenti WX , Y-Y eksenine göre atalet momenti WY ile gösterilmiştir.

a) Dikdörtgen

G

y

x h

b

h/2

b/2

3

66

36

212

22

2

123

23

2

123

cmWy

cmWx

bhhb

bhh

bh

h

hb

h

bh

===

=×==

Şekil 2. 5

b) Kare

G

y

x

b=h

h

b

363 cmWx h=

Şekil 2. 6

34

c) Üçgen

G

h/2

3123

1

3243

2

2

2

cmh

cmhbh

bh

=

=

Şekil 2. 7

d) Daire

NORMAL DAİRE 3

323 cmWyWx Dπ==

Şekil 2.8e) Yarım daire

330323,0 cmDWx =

Şekil 2.9f) Boru

Dı D

DELİKLİ DAİRE

332

)( 41

4

cmWyWx DDD −== π

Şekil 2.10

g) Çeyrek daire

e1e2

G

32

31

012,00162,0

DWDW

=

=

Şekil 2.11

h) Parabol

35

G

a

b

x

y

4

42

2

ba

ab

Wy

Wxπ

π

=

=

Şekil 2.12Birleşik Kesitlerin Mukavemet (Dayanım) MomentiAtalet momentini (J) tarafsız eksenden kirişin üst kenarına olan uzaklığa (e) bölerek

(W) dayanım momenti bulunur.Aşağıdaki formüle dikkat ediniz.

eJW X= e : Tarafsız eksene olan kirişin en uzak noktası

1.2

102

1

G x

ye2

e1

yarýçapýataletÝ

mukavemetW

ataletFeJyJFeJxJ

FJ

eJ

11

1111

222

111

−

−

=

=

+=+=

−

−

−

Şekil 2.13 2.

2

102

1

G x

y

14

12

16

cmİx

cmWcm

xJ

Jx

xxx

37,16

28144502

)16)(1214(

2016

1684502

316

450211

4

212

121411

121314

3

3

==

===

+=

==

−

−

−

Şekil 2.14 3.

36

1

40 cm

INP 320

12

2

cmİ

cmWcm

xJtablodancmF

tablodancmJ

J

J

X

421

75,3420

830,136407,7712510

7,7712510

7,77830,136

7,77

340

830,1364011

4

211

4

4

11

11

===

===

=

+=→=

→=

−

−−

−

Şekil 2.15

Birimi : Mukavemet momentinin birimi ‘cm3, dm3 ‘ tür.

UYGULAMA FAALİYETİ UYGULAMA FAALİYETİ

37

MUKAVEMET MOMENTİ HESABI UYGULAMALARI

1.Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.

G

y

x 12

10

6

312

101212

312

121012

412

101212

412

121012

200

240

1000

1440

22

22

33

33

cmWy

cmWx

cmJy

cmJx

xhb

xbh

xhb

xbh

===

===

===

===

Şekil 2.162.Aşağıda verilen şeklin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.

20 cm

44 c

m

312

442012

324

442024

412

442012

63,3226

33,1613

44,47324

22

22

33

cmWx

cmWx

cmJx

xbh

xbh

xbh

===

===

===

Şekil 2.17

3.Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız. Birimleri cm alınız.

x0

18

106

Gı

Gz

xı

yıx2

y2

12 6

x y F12

6 8 192315 36

16

38

Şekil 2.18

x0

Gı

G2

G

e1y

e2y

e2x

e1x3615 319286

21

Fyx

Şekil 2.19 3.1.Kesit basit şekillere ayrılarak teker teker alanları hesaplayınız. Birleşik kesitin ağırlık merkezinin yeri bulunuz. 3.2. e1x , e2x , e1y , e2y uzunluklarını bulunuz. 3.3. J1X , J2X , J1Y , J2Y hesaplayınız. 3.4. Steiner teoremini uygulayınız. 3.5. Mukavemet momentini hesap ediniz. ÇÖZÜM: 3.1. F1 = 16x12 = 192 cm2 F2 = 6x6 = 36 cm2

∑F= F1+F2 = 192+36 = 228 cm2

X ve Y eksenlerine göre F1 ve F2 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları X1 = 6 cm X2 = 15 cm Y1 = 8 cm. Y2 = 3 cm

n

nnFFF


...21

2211 » cmGx xx 42,73619236151926 == +

+

n

nnFFF


...21

2211 » cmGy xx 210,7361923631928 == +

+

42,7=Gx cm 21,7=Gy cm ağırlık merkezinin yeri

3.2. e1x = (y1-gy) = 8 – 7,21 = 0,79 cm e2x = (gy-y2 ) = 7,21-3 = 4,21 cm

e1y = (gx-x1) = 7,42 - 6 = 1,42 cm e2y = (x2-gx ) = 15-7,42 = 7,58 cm

39

Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz

3.3.

412

1612 40963 cmJx x == 4126 1084 cmJx ==

412

1216 1443 cmJy x == 4126 1084 cmJy ==

3.4.

JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 )

JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 )

44126

121612 2,4960)72,1736()62,0192( 3 cmxJxxxxJx x =−⇒+++=−

4126

121216 32,4864)45,5736()01,2192( 43 cmyJyxxyJy x =−⇒+++=−

3.5.

3,56473,82,4960 ==− xWx 76,45958,10

32,4864 ==− yWy

4. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.

24

6

16

108

8

Şekil 2.20


1 6 8 192 0,79 1,42 0,62 2,0162 15 3 36 4,21 7,58 17,72 57,45

40

y

x0

x2

x1

y1

x3

y3y2

G3

G2

G1

8 6 10

24

816

24019 123 4811 20192124

21

Fyx

Şekil 2.21 4.1.Kesit basit şekillere ayrılarak alanları teker teker hesaplayınız. Bileşik kesitin ağırlık merkezinin yerini bulunuz. 4.2. e1x , e2x , e3x , e1y , e2y , e3y uzunlukları bulunuz. 4.3. J1X , J2X , J3X, , J1Y , J2Y J3y hesaplayınız.

4.4.Steiner teoremini uygulayınız 4.5. Mukavemet momentini hesap ediniz.ÇÖZÜM:

4.1. F1 = 8x24 = 192 cm2 F2 = 6x8 = 48 cm2 F3 = 10x24 = 240 cm2

∑F= F1+F2 + F3 = 192 + 48 + 240 = 480 cm2

X ve Y eksenlerine göre F1 , F2 ve F3 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları X1 = 4 cm X2 = 11 cm X3 = 19 cm Y1 = 12 cm Y2 = 20 cm Y3 = 12 cm

cmxG xxx 2,12240481921924011484192

1 == ++++ cmyG xxx 8,1224048192

122402048121921 == ++

++

4.2.

e1x = (gy- y1 ) = 12,8 – 12 = 0,8 cm. e1y = (gx-x1) = 12,2 – 4 = 8,2 cm e2x = (y2 - gy ) = 20-12,8 = 7,2 cm e2y = (gx-x2) = 12,2 - 11= 1,2 cm e3x = (gy- y1 ) = 12,8 – 12 = 0,8 cm e3y = (x3-gx ) = 19-12,2 = 7,58 cm

Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz.


1 4 12 192 0,8 8,2 0,64 67,242 11 20 48 7,2 1,2 51,84 1,443 19 12 240 0,8 6,8 0,64 46,24

41

4.3.

412248

1 92163 cmJx x == 412

862 963 cmJx x == 4

122410

3 115203 cmJx x ==4

12824

1 10243 cmJy x == 412

682 1443 cmJy x == 4

121024

3 20003 cmJy x ==

4.4. JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 )

JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 )

412

241012

8612248

7,23756

64,024084,514564,0192 333

cmxJx

xxxxJx xxx

=−⇒

+++++=−

412

102412

6812

824

72,2744

24,4624044,14824,67192 333

cmyJy

xxxyJy xxx

=−⇒

+++++=−

4.5.3

8,127,23756 9,1855 cmxWx ==−

32,12

72,27244 17,2233 cmyWy ==−


42

y

x0

x1y1

x2 y2

x3

y3

G3G2

G1

GGx

Gy

12 4 9

20

614

8,86

7,86

2719 432414 3

10621

Fyx

Şekil 2.22

brGx xxx 86,72724240192714246240 == ++

++

brGy xxx 86,8272424042732410240 == ++

++

x y F ex ey ex2 ey2

1 6 10 240 1,14 1,86 1,29 3,452 14 3 24 5,86 6,14 34,3 37,63 19 4 27 6,86 11,14 47 124

412

6912

6412

2012

8,10527

47273,342429,1240 333

cmxJx

xxxxJx xxx

=−⇒

+++++=−

314,11

8,10527 04,945 cmxWx ==−

412

4612

1220

4,7990

2712406,372445,3240 33

cmyJy

xxxyJy xx

=−⇒

+++++=−

314,17

4,7990 18,466 cmyWy ==−


43

y

x0

x1

y1

x2

y2Gı

4,1

2,1 2,9

4 6

181,

92,

6

10,9

9

Şekil 2.23

cmGx xx 1,45472754272 == +

+

cmGy xx 9,1054725,1354972 == +

+

412184

121 194433 cmJx xbh ===4

1296

122 36533 cmJx xbh ===422 2934)6,254365()9,1721944( cmxxxJx =+++=−

39,10

2934 270cmWx exxJx === −

412

418121 9633 cmJy xhb ===

412

69122 16233 cmJy xhb ===

422 1030)9,254162()1,27296( cmxxyJy =+++=−3

9,51030 175cmWy ey

yJy === −

no x y F ex Ey1 2 9 73 1,9 2,12 7 13,5 54 2,6 2,9


44


Bu faaliyet kapsamında kazandığınız bilgileri aşağıdaki soruları cevaplayarak değerlendireceksiniz

1.Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.

12 4 9

20

614

Şekil 2. 242.Çapı 20 cm olan dairenin atalet momentini ve mukavemet momentini bulunuz.


12

48

4

4 6 4

Şekil 2. 25


201620

8 20

16

14

Şekil 2. 26

45


16 10 18

1010

2412

13Şekil 2. 27


r=3

5

10

18

Şekil 2. 28


y1,8 1,2 0,8

31

Şekil 2. 29

46


1416

2010 16

Şekil 2.30

9. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.y

8 22

1020

10

6

432

4

10

Şekil 2. 31


36

20 1010 16

1630

2323

20

Şekil 2.32CEVAP ANAHTARI

47

1.

y

x0

x y F12

6 10 240314 24

x1y1

x2 y2

x3

y3

G3G2

G1

GGx

Gy

3 419 27

12 4 9

20

614

8,86

7,86

Şekil 2. 33

brGx xxx 86,72724240192714246240 == ++

++

brGy xxx 86,8272424042732410240 == ++

++

2.

r =10 cm

Şekil 2. 34

332

2014,332

464

2014,364

785

785023

34

cmWyWx

cmJyJxxD

xD

====

====π

π

3.

48

y

x0

x1

y1

x2x3

y3y2

G3G2

G1

0,24 4,

24

4,41

0,59

6,41

4 6 4

412

48

4

9,76

5,59G

Şekil 2. 35

no x y F ex Ey1 2 8 64 1,76 4,412 7 14 24 4,24 0,593 12 10 48 0,24 5,59

cmGx xxx 41,64824641248724264 == ++

++

cmGx xxx 76,948246410481424864 == ++

++

412124

121 3,136533 cmJx xbh ===

43

2 3212

46 cmxJx == 412

46123 57633 cmJx xbh ===

4222 77,2605)24.048576()24,42432()76,1643,1365( cmxxxxJx =+++++=−3

76,977,2605 93,266 cmxWx ex

xJx ===− −

412

416121 33,8533 cmJy xhb ===

412

64122 7233 cmJy xhb ===

412

412123 6433 cmJy xhb ===

4222 27,2974)59,54864()59,02472()41,46433,85( cmxxxyJy =+++++=−3

59,927,2974 14,310 cmyWy ey

yJy ===− −

4.

49

y

x0y1

x1x3

y3

x2

y2

G2

G1 G3G

ey1 ey3

ey2ex1ex

2

ex3

20,22

8 14 20

2016

1620

Şekil 2. 36


1 4 8 128 5,65 16,22 31,92 2632 15 18 504 4,35 5,22 18,92 27,243 32 10 400 3,65 11,78 13,32 138,76

cmGx xxx 22,2040050412832400155044128 == ++

++

cmGx xxx 65,1340050412810400185048128 == ++

++

41220

123614

12168

43,8944533,1866168,639642,6816

32,1340092,1850492,31128 433

cmxJx

xxxxJx xx

=++=−

+++++=−

335,22

43,89445 03,4002 cmW exxJx

xx === −−

4

1220

121436

12816

12

8,12514476,138400

24,27504263128 4333

cmx

xxJ xxhbyy

=+

++++==−

378,21

8,125144 8,5745 cmyWy eyyJy ===− −

5.

50

x0

y

y4

y3x5

x4y5y2

x2 x3

x1

y1

16 10 18

29,6

1010

2412

13

18

G

56

Şekil 2. 37


1 13 61,5 265,4 31,82 5,1 1012,5 262 13 28 1456 1,68 5,1 2,82 263 32 28 216 1,68 13,9 2,82 193,24 35 10 360 19,6 16,9 387,3 285,65 21 15 100 14,6 2,9 215,5 9,41

cmGx xxxxx 10,1810036021614564,2652110035360322161314561346,265 == −+++

−+++

cmGy xxxxx 68,2910036021614564,2651510010360282162814565,6146,265 == −+++

−+++

412

101012

201836

2418

1256264

7,793100

5,2151003,38736082,2216

82,214565,101246,26500686,0333

3

cmxJxxxx

xxDxJxxxx

x

=−

+−++++

+++=−

332,39

7,793100 39,20170 cmxWx exxJx ===− −

4312

1820

1226564

4,28240541,910010106,285360

2,193216261456264,26500686,03

3

cmJxxx

xxxDJ

yyx

xyy

=→+−+

++++=

−

−

326

4,282405 74,10861 cmyWy eyyJy ===− −

6.

51

x0

y

y1y2

r=3x2 x1 G

10,11

185

10

Şekil 2. 38


1 9 5 180 0 1,11 0 1,232 3 5 28,2 0 7,11 0 50,5

F2 =π.r2 = 3,14.32 =28,2cm2

464

4 cmJyJx Dπ== = 44

61,6364

6.14,3 cm=

cmGx xx 11,102,2818032,289180 == −

− cmGy xx 52,2818052,285180 == −

−

412

1018

70,1401

)23,12,2861,63()0180( 3

cmxJx

xxxJx x

=−→

+−+=−

35

7,1401 34,280 cmxWx exxJx ===− −

412

1810

69,3593

)5,502,2861,63()23,1180( 3

cmxJx

xxyJy x

=−→

+−+=−

311,10

6,3593 45,355 cmyWy eyyJy ===− −

7.

52

x0

y

G

1

2

1,2 0,8

31

2,37

0,8

1,4

G1

G2

Şekil 2. 39


1 1,4 3,5 2,8 1,13 0 1,276 02 1,4 1,5 3,6 0,87 0 0,756 0

cmGx xx 4,16,38,24,16,37,18,2 == +

+

cmGy xx 37,26,38,25,16,35,38,2 == +

+

412

32,112

18,2 22,9756,06,3276,18,233

cmxxxJx xx =+++=−3

37,222,9 8,3 cmxWx ex

xJx ===− −

412

2,1312

8,21 090,406,308,233

cmxxyJy xx =+++=−3

4,1090,4 92,2 cmyWy ey

yJy ===− −

8.

53

x0

y10 16 20

G

21

23,96

16,5

5 1416

Şekil 2.40


1 5 15 300 1,55 18,96 2,40 359,42 18 22 256 5,45 5,96 29,70 35,323 36 15 600 1,55 12,04 2,40 144,9

cmGx xxx 96,2360025630036600182565300 == ++

++

cmGy xxx 55,16600256300156002225615300 == ++

++

412

302012

161612

3010

53,8272440,2600

70,2925640,2300 333

cmx

xxxJx xxx

=+

++++=−

355,16

53,82724 46,4998 cmxWx exxJx ===− −

412

203012

161612

1030

45,23185096,144600

52,352564,359300 333

cmx

xxyJy xxx

=+

++++=−

396,23

45,231850 56,9676 cmyWy eyyJy ===− −

9.

54

x0

y

G

1

23

8 22 10 64

324

1020

10

Şekil 2.41

cmGx xxx 41,2320070418403520019704231840 == −−

−−

cmGy xxx 2020070418402020020704201840 == −−

−−


1 23 20 1840 0 0,4 0 0,162 19 20 704 0 4,4 0 19,363 35 20 200 0 11,3 0 134,5

412

201012

322212

4046

178592

0200070401840 333

cm

xxxxJx xxx

=

−−−+=−

320

178592 6,8929 cmxWx exxJx ===− −

412

102012

223212

4640

2847495,134200

36,1970416,01840 333

cmx

xxyJy xxx

=−

−−−+=−

344,23

284749 9,12147 cmyWy eyyJy ===− −

10.

55

x0

y

G

20 36

10 20 10 16

1630

2323

1

2

3

4

Şekil 2. 42

24,46,109700686,0,

3104

34

4

====

ππxr

DJyJx


1 20 31 1200 8,4 7,8 70,5 60,82 30 8 320 14,6 2,2 213,1 4,843 48 11,5 368 11,1 20,2 123,2 40,844 20 40,24 157,7 17,6 7,8 311,1 60,84

cmGx xxxxxx 80,277,15736832012003520019207,1574836830320201200 == −++

−−++

cmGy xxxx 7,21200704184024,407,1575,113688320211200 == −−

−++

412

231612

162012

3040

6,2567301,3117,1576,10972,123368

1,2133205,701200 333

cmxx

xxxJx xxx

=−−+

++−+=−

33,24

6,256730 10565cmxWx exxJx ===− −

412

162312

201612

4030

6,39480784,607,1576,10974,408368

8,43208,601200 333

cmxx

xxyJy xxx

=+−+

++++=−

32,28

6,394807 14000cmyWy eyyJy ===− −

11. Şekil 39 da görülen kare kesitli bir kirişte eğilme gerilmesinin 2000 kg/cm2

olabilmesi için mukavemet momentinin ne kadar olması gerektiğini hesaplayınız.

56

P=1000 kg/mL=120 cm

x

x

x-x kesiti

Şekil 2.43

xWM eb σ= dir. Buradan e

bMW σ= olur.

32000

1201000 60cmW x ==Sonuç: kare kesitin dayanım momenti 60 cm3 olmalıdır.

12. Şekil 40 ‘da görüldüğü gibi yüklenen 15cm çapında bir kiriş bu yükün altında ne kadar eğilir? (Elastisite modülü 2,1x106 kg/cm2 ‘dir.)

A B

d=15 cm

p=14 ton

5m

L/2

Şekil 2. 44 Ortadan yüklenmiş kirişlerdeki eğilme miktarını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

xExJ

PxLf 483= dir.

f: eğilme miktarı P:yük L: Açıklık E: Elastikiyet katsayısı J: Atalet momenti

644Dj π= olduğundan,

464

5,15896264

1514,3 78,24834

cmj x === olur.

J ‘yi eğilme formülünde yerinde koyacak olursak:

57

cmfxxx

xxExJ

PxL 98,62503651750000

78,2483101,24850014000

48 6

33 ====Sonuç: Kirişte eğilme miktarı 6,98 cm olur.

13.

A B

3 m

p=40 ton

1 m

RBRA

Mmax

+-

Şekil 2. 45

Şekildeki kiriş dairesel kesitli olup çapı 10 cm ‘dir. Bu kirişin kesme kuvveti eğilme momenti diyagramını çizerek;

a) Mesnet tepkilerini, b) En büyük eğilme momentini,c) Ne kadar eğileceğini bulalım.

Elastisite modülü 26 /101,1 cmkgxE =a) Mesnet tepkileri

∑MA= 0P x 300 – B x 400 =0 → 40000x300 -400B=0 →12000000=400B

B=30000kg∑MB= 0

-P x 100 + A x 400 =0 → -40000x100 +400A=0 →-4000000+400A=0 400A=4000000 →A=10000kg

b) En büyük eğilme momenti

kgxcmM xxL

xLPxL 300000040010030040000

max21 ===

c) Eğilme miktarı

58

xExJxLPxLf 3

2= ( Daha fazla bilgi için kaynak statik.mukavemet

MEB.)Eğilme miktarını bulmak için önce atalet momentini bulmamız

gerekir. Kesit daire olduğu için çizelgeden;4

6431400

6410.14,3

64 49044 cmJ D ==== π bulunur.

Eğilme miktarı6

106468004000000

400490101,1310040000

3 1018,6662 −==== xf

xxxxxx

xExJxLPxL

14. Şekildeki çıkmalı kiriş, kuvvet ve yüklerle yüklenmiştir. Kirişin güvenli dayanımı 960 kg/cm2 olduğuna göre kesit çapı ne olur?

A B

P=800 kg/m

RA

100 kg/m100 kg/m

4 m 2 m 4 m 2 m 4 m

-800 cm2-400

-800

6001200 cm2 800

cm2400

2400

-2400

1600400

1200

2000

800 200 cm

2400Mmax.Şekil 2. 46

Çözüm:Önce mesnetlerden gelen yükleri buluruz.

0=∑ AM 0=∑ BM ’ dan

59

kgRR

RxRxxxM

B

B

B

BA

600720012

1264001600800012880044002400

==

=++−

=−++−=∑

kgRR

RxxRxxM

A

A

A

AB

10001200012

056001232003200

0144001284004800

==

=−+−−

=−+−−=∑

Kirişin kesme kuvveti (v) ve eğilme momenti (M) diyagramlarını çizeriz. En büyük eğilme momenti Mb =2400 kgm =240000 kgcm bulunur.

b

bWM

b =σ

cmDD

W

cmW

D

Db

b

Wb

65,137,2547

250

250

960

33214,3.

32

3

240000

3

3

==

=

=

=

=

π

15. Dikdörtgen kesitli bir ağaç kirişin genişliği 6 cm ve yüksekliği 12 cm ‘dir. Uygun görülebilecek en büyük gerilme 80 kg/cm2 olduğuna göre, kirişin taşıyabileceği en büyük eğilme momenti ne kadardır? P kuvveti ne kadar olabilir?

P

80 cm

b

h

Şekil 2. 47 Kesit dikdörtgen olduğundan dayanım momenti;

36126

6 14422 cmW xbxhb ===

60

Eğilme eğrisi;

kgcmM b

M

WM

b

b

b

b

1152080 144

==

=σ

kgPkgP

PxLM

LM

b

b

14414480

11520

====

=

DEĞERLENDİRME

Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız ve doğru cevap sayınızı belirleyerek kendinizi değerlendiriniz.

Hatalı cevaplar için faaliyeti tekrarlayınız. Tüm cevaplarınız doğru ise diğer faaliyete geçiniz.

61

MODÜL DEĞERLENDİRMEAşağıdaki performans testi ile modülle kazandığınız yeterliliği ölçebilirsiniz.

1. Şekillerde görülen kirişlerin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çizerek en tehlikeli kesitlerin yerini bulunuz?

a)

A B

P=100 kg P=100 kg

30 cm

110 cm

180 cm

Şekil 2. 48

b)

A B

q1=200 kg/m q2=300 kg/m

2 m 1 m

4m

Şekil 2. 49

c)

A B

P=1000 kg/m q=200 kg/m

2 m 3m 2 m

Şekil 2. 50

MODÜL DEĞERLENDİRME

62

2. Şekildeki kiriş kare kesitli olup bir kenarı 12 cm ‘dir. Elastisite modülü E=2 106

kg/cm2 ‘dir. Bu kirişin kesme kuvveti eğilme momenti diyagramını çizerek;a) Mesnet tepkilerini,b) En büyük eğilme momentini,c) Eğilme miktarını hesaplayınız.

A B

q=1 ton/m

Şekil 2.51

3. a) Şekildeki kirişin kesme kuvveti (v), eğilme momenti (M) diyagramlarını

çiziniz.b) Kiriş b/h =1/2 dikdörtgen olduğundan, güvenli çekme ve basma dayanımını

1200 kg/cm2 olduğuna göre kesit ölçülerini bulunuz.

40 kg/cm200 ton60 ton

30 kg/cm

3 m 3 m 3 m 3 m 5 m

Şekil 2.52

Modülün değerlendirmesi sonucunda eksik olduğunuz konuları yeniden tekrar ederek eksik bilgilerinizi tamamlayınız. Kendinizi yeterli görüyorsanız bir sonraki modüle geçmek için öğretmeninize başvurunuz.

63

KAYNAKLAR

AYKUTLU Ali, Hasan GÖNÜL, Statik ve Yapı Hesapları, MEB Yayınları, İstanbul, 2001.

ARSLAN Mehmet, Cisimlerin Dayanımı, Arslan Basın Yayın, İstanbul, 1998.

KARATAŞ Prof. Dr. Hasan, Mukavemet, İTÜ Mim. Fak. Yayınları,İstanbul ,1984.

YILMAZ Yusuf, Statik Ders Notları, İSOV.Yapı Mes.Lis,İstanbul, 2001. (Yayımlanmamış)

KAYNAKLAR

64

Statik Hesaplar

Documents