SRP

Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12

Abstract

This paper examines the laws affecting a free falling object with air resistance.

Through an introduction and extraction of some basic laws of physics,

differential equations are made and solved through a mathematical method.

The solutions are executed to describe a falling object through a series of

experiments. The terminal velocity of a ball and coin are found and reflected

upon. The drag coefficients are calculated through the mathematical models

and compared. Systematical flaws and imperfections are discussed and

compared to values of earlier experiments.

A conclusion is drawn, stating the experiments validness and the experiments

consequences regarding the free fall of a penny and a ball with the comparison

of the two.

Indholdsfortegnelse

1


Forside………………………………………………………………………………………………………………Abstract………………………………………………………………………………………………………………s 1Indholdsfortegnelse…………………………………………………………………………………………..s 2Indledning………………………………………………………………………………………………………….s 3

Kapitel 1………..…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….………..s 4 Fluider og strømninger…………………………………………………………………..s 4 Reynolds Tal……………………………………………………………………………………s 5 Gnidningskraft i et fluid …………………………………………………………………s 6 Beregning af gnidningsmodstand………………………………………………….s 8 Formfaktoren………………………………………………………………………………….s 9 Fald igennem luft ….…………………………………………………………………….s 10 Terminal hastighed………………………………………………………………………s 11

Kapitel 2………………………………………………..………………………………………s 12 Fald af mønt og bordtennisbold fra forskellig højde……….………….s 12 Kvalitativt forsøg med 6 mønter………………………………………………….s 16 Forsøg med vindtunnel og bestemmelse af formfaktor……………..s 17

Kapitel 3……………………………………………..…………………………………………s 23

Analytisk løsning af ……………………………………………….s 23

Analytisk løsning af ……………………………………………..s 24

Numerisk løsning af …………………………………………..s 26

2


Kapitel 4……………………………………………………………………………………….s 28

Konklusion…………………………………………………………………………………..s 28

Bilag……..………………………………………………………………………………………………………….s 30

Litteraturliste……………………………………………………………………………………………………s 32

Indledning

Jeg vil i denne rapport undersøge de fysiske love ved faldende genstande

gennem luft. Jeg undersøger gnidningslove ved rejse igennem fluider og giver

en betragtning over fald af en mønt, relativt til fald af en bordtennisbold.

Jeg vil kikke på matematikken bag de fysiske love, og arbejde med

differentialligningerne; og

Jeg vil løse dem analytisk, og giver et bud på hvordan man løser en

differentialligning numerisk.

Jeg vil først gennemgå den fysiske teori for faldende genstande, herunder

gnidningslovene, formfaktoren og Reynolds Tal.

Jeg vil derefter gennemgå mine eksperimenter, lave databehandling med

relevante modeller og diskutere eventuelle afvigelser og fejlkilder.

3


Jeg ønsker ydermere at finde formfaktore for bold og mønt i en vindtunnel, jeg

vil derefter give betragtning af fald af en bordtennisbold i forhold til en mønt.

Opgaven er opbygget omkring et mythbusters program, som jeg også vil

inddrage i min betragtning.

Kapitel 1

Man kan under ét kalde gas og væske for et fluid.

Et fluid kan betegnes som en substans, der hele tiden deformeres fra en

konfiguration til en anden i rummet1. Et fluid bliver ofte associeret med væske,

hvor man ikke vil tænke gas/luft som værende en væske. I fysik er en gas og

en væske også meget forskellige i deres tilstandsformer, men grunden til, at vi

kan kalde begge for et fluid er, at deres strømningsegenskaber hovedsageligt

kan beskrives på samme måde. Når en genstand bevæger sig igennem et fluid

vil genstanden blive påvirket af en gnidningsmodstand/friktion.

Laminare strømninger:

Laminare strømninger forekommer når et fluid flyder I paralelle lag , uden

nogen forstyrrelse mellem lagene. Under laminar strømning er der ingen

hvirvler i strømmen og her er det fluidets

viskositet, der er dominerende. Disse

strømninger ses ofte ved en lav Re-værdi.

Generelt kan vi sige;

1 http://en.wikipedia.org/wiki/Fluid

4

Figur 1: Her ses laminare og turbulente strømninger. Vi ser hvirveldannelse til højre.


Små og langsomme partiker => strømlinjerne skærer ikke hinanden =>

laminarstrømning

Turbulente strømninger:

Turbulente strømninger danner ofte hvirvler i fluidet, disse udfører en friktion

på det legeme, der bevæger sig igennem fluidet. Turbulente strømninger er

kaotiske og opstår når luftens/væskens molekyler ramler ind I hinanden og

derved ikke længere er lagdelte.

Disse strømninger ses ofte ved en høj Re-værdi.

Generelt kan vi sige;

Store og hurtige parikler => strømlinjerne skærer hinanden => turbulent

strømning.

Reynolds Tal

Reynolds tal er opkaldt efter Osborne Reynolds (1842-1912), en engelsk

professor i ingeniørvidenskab. Konceptet blev dog introduceret i 1851 af

George Gabrial Stokes. Stokes (1819-1903) har ydermere sammenarbejdet

med Claude-Louis Navir og opstillet Navier-Stokes ligningerne. Disse love

stammer fra at tilføje Newtons anden lov til bevægelser i fluider2. Konceptet i

den gnidningsmodstand jeg ønsker at beskrive i denne opgave stammer

således fra disse ligninger, men jeg vil ikke gå dybere ind i disse, i og med, at

de er for avanceret til denne opgaves niveau.

Reynolds tal er et enhedsløst tal, der beskriver ratioen mellem det, som giver

turbulente strømninger og det, der giver laminare strømninger.

Reynolds ville gerne prøve at finde ud af, hvilke faktorer der gør en strømning

laminare og turbulente (harmoniske og kaotiske). Definitionen ser således ud:

2 http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number og skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion.

5

http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number


De forskellige faktorer og forklaring på deres betydning:

d er en karakteristisk vejlængde, altså den længde som fluidet rejser. Det er

klart, at jo længere fluidet skal rejse, jo længere tid har fluidet til at udvikle

turbulens.

er fluidets densitet. Jo tungere fluidets molekylerne er, jo større kraft vil de

ramme de andre molekyler med og på denne måde vil forstyrrelsen blive større

og dette er med til at skabe turbulens.

v er legemets fart i forhold til fluidets. En større fart vil medfører af genstanden

rammer molekylerne med en større kraft, på denne måde vil molekylerne

ramme hårdere ind i hinanden og deres strømning bliver derfor mere forstyrret

des højere hastighed.

er fluidets dynamiske viskositet. Denne faktor beskriver hvor godt

luften/væsken hænger sammen. Det er klart, at jo stærkere luften/væsken

hænger sammen, jo mere kraft skal der til at skabe forstyrrelser (=turbulens)

og vice versa.

Vi kan se, at d, og v alle 3 er faktorer der er med til at skabe turbulente

strømninger, og skaber laminare strømninger. Derfor beskriver Reynolds tal

forholdet (=ration) mellem de faktorer, der skaber turbulente strømninger, og

den faktor der skaber laminare strømninger. En stor Re værdi er tegn på, at de

turbulente strømninger er dominerende og en lille Re-værdi er tegn på, at det

er de laminare strømninger, der er dominerende.

Vi bruger blandt andet Reynolds tal til at bestemme hvilke modeller, der vil

være bedste at bruge under databehandlingen af et eksperiment.

Reynolds Tal og strømningsmønstre bag ved boldagtig genstand:

Vi kan dele strømningsmønstrene op i tre tilfælde med tilhørende Re intervaller

- Hvis Re>10 vil strømningerne foregå laminart.

- Hvis 10<Re< vil strømningerne være i en overgangszone mellem

laminar og turbulent strømning.

6


- Hvis <Re opstår der hvirvler bag bolden og strømninger bliver på denne

måde turbulente.

Disse gælder for en boldagtig genstand med laminart forside-grænselags-

strømning3

Gnidningskraft i et fluid.

Det viser sig at være meget kompliceret at opstille en generel regel for

gnidningskraften på en genstand, der passere gennem et fluid. Det er et

kompliceret problem, som ikke umildbart kan løses fuldstændigt. Turbolens er

stadig et af de største uløste problemer i fysikken4. Vi kan ved at lave

eksperimenter i vindtuneller med røg finde frem til nogle enkelte regler.

Man har fundet ud af, at vi generelt har to strømningstilstande; den laminare

strømning og turbulent strømning som jeg har beskrevet tidligere.

Problemet med hensyn til gnidningskraften er, at det er to forskellige udtryk

der gælder i disse to forskellige situationer.

Ved laminare strømninger skyldes gnidningsmodstanden hovedsageligt fluidets

viskositet (”tyktflydenhed”)5.

Hvis strømningerne er laminare, vil modstandskraften være ligefrem

proportional med hastigheden og kan udtrykkes

F fluid-modstand=k1⋅v

Jeg vil gøre rede for konstanten om lidt.

Ved turbulente strømninger skyldes gnidningsmodstanden hovedsageligt

hvirvel-dannelse i fluidet6. Modstandskraften er ligefrem proportional med

kvadratet på hastigheden og kan udtrykkes3 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion & ”Vand under overfladen” side 69.Se bilag 1. 4 http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness5 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion6 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion

7


F fluid-modstand=k2⋅v

Ifølge teorien er7

k=12⋅cw⋅Ar⋅ρ

Hvor er formfaktoren

Ar er tværsnitsarealet vinkelret på bevægelses-retningen

er fluidets densitet

Jeg ønsker nu at bevise dette

Beregning af gnidningsmodstanden

Vi ser på en plade med tværsnitsarealet Ar. Denne bevæger sig igennem

rummet med hastigheden v. Luften den møder rammer vinkelret ind på

pladens tværsnitsareal.

Pladen vil nu påvirke denne luftmængden med kraften F.

I løbet af et tidsinterval vil pladen have bevæget sig strækningen

(strækning=hastigheden tid)

Kraften udfører et arbejde på den luftmængde, der rammer pladen vinkelret på

dens areal, dette arbejde svarer til den kinetiske energi

7 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion

8


Jeg vil gerne have lavet massen om til noget andet

Hvor er densiteten og V er volumen

Volumen af den mængde luft pladen passere gennem er tværsnitsarealet af

pladen ganget med ændringen i stedet. Altså, jo længere genstanden bevæger

sig, jo større mængde luft har den været igennem

Dette indsættes i (2) og vi får

Dette indsættes i (1) og vi får

Der forkortes med på begge sider af lighedstegnet

-værdien er en formfaktor. Det er altså en faktor der variere efter formen på

genstanden, der passere gennem fluidet. Den er enhedsløs og er indført fordi al

luften foran genstanden ikke får farten v, men strømmer ud til siden. Denne

indsættes i formlen

9


Tilbage har vi, at gnidningskraften afhænger af en formfaktor, en densitet af

det fluid genstanden bevæger sig i, et tværsnitsareal som genstanden rammer

fluidet med og til sidst kvadratet af farten. Overstående formel gælder kun når

der er turbulente strømninger.

Formfaktoren

Formfaktoren er den faktor der, om noget, definere en genstands

aerodynamiske egenskaber. Vi kan se, at jo mindre formfaktoren er, desto

mindre gnidningsmodstand vil der være på genstanden.

Man skal dog være opmærksom på, at denne formfaktor er meget varierende,

hvilket gør det paradoksalt, at vi kalder det for en konstant.

Formfaktoren er ekstremt afhængig af Re-værdien, og for laminare

strømninger er den næsten umulig er bestemme. Tabelværdien af

formfaktoren er oftest angivet i et stabilt interval, der typisk vil ligge ved de

turbulente strømninger. Dette er vigtigt at nævne og huske når jeg senere skal

redegøre for mine resultater. Se bilag 2 for -værdien som funktion af

Reynolds Tal.

Kugle der falder gennem luft uden hensyn til opdrift.

Vi regner y-værdien nedad positiv.

accelerationen: g

massen: m

Luftmodstand

Tyngdekraft

10


Da accelerationen er hastighedens differentialkvotient, får vi en

differentialligning.

(1)

Læg mærke til, at jeg har tidligere gjorde jeg rede for den anden

mulighed , dette giver i så fald en ny differenttialligning.

(2)

Jeg har nu opstillet to forskellige hypoteser til at beskrive en genstands fald

gennem luft. Jeg gør rede for deres analytiske løsninger i kapitel 3.

Det kunne tænkes, at eksponenten hverken er 1 eller 2. Men måske den ligger

et sted i midten, for eksempel 1.7. Dette vil give en ny differentialligning som

jeg ikke kan løse analytisk, jeg bliver nødt til at løse den numerisk, dette gøres

i kapitel 3.

Terminal hastigheden

Den terminale hastighed opnås når genstanden ikke længere accelerere i sit

fald.

Hvis accelerationen er 0 må

Derfor må for (1) og (2) være

11


For henholdsvis (1) og (2)

Kapitel 2

Fald af bordtennisbold og mønt fra forskellige højder

Jeg har sluppet en mønt og en bordtennisbold fra forskellig højde og målt tiden

det tog dem at ramme jorden. Jeg har brugt et målebånd til at måle afstanden

og et stopur til at måle tiden. Ebbe Nesgaard har hjulpet med at måle

afstanden og bedømme målingen fra jorden, hvor han har haft et bedre

overblik over hvornår genstanden ramte jorden end mig, der slap

boldene/mønterne. Dataene er indført i nedenstående skema.

Højde / meter

Tid / sekunder (bold ) Tid / sekunder (mønt)

1m 0.56 sek 0.46 sek2m 0.65 sek 0.56 sek3m 0.87 sek 0.74 sek4m 1.06 sek 0.92 sek5m 1.19 sek6m 1.37 sek 1.12 sek7m 1.49 sek8m 1.60 sek 1.58 sek9m 1.89 sek

10m 1.73 sekJeg har tastet resultaterne ind i Tabelcurve, hvorefter jeg har fittet til

funktionen

y ( t )=A⋅ln [cosh (√ gA⋅t)]

, hvor A= 2⋅m

cw⋅Ar⋅ρ

Dette er min v(t) funktion integreret8

8 Physics Teacher, Vol 43, October 2005

12


Derefter har jeg afbillede første afledede i Tablecurve, for at få et billede af

hastigheden som funktion af tiden.

13


Hvor:

ρ=1.247kg

m3 lufts densitet ved 10 grader celsius9

Arbold=(0 . 02 m)2⋅π=0. 00126 m2

Armøntvandret=(0. 0135 m)2⋅π=0 . 000573 m2

Armønt lodret=0 .002 m⋅0 . 027 m=0 . 000054 m2

mbold=2 .75 gmmønt=2. 36 g

En graf for boldens sted som funktion af tiden vil være at finde i bilaget.

Vi kan ud fra graferne se, hvordan deres acceleration falder. Disse grafer giver

et godt indtryk af, hvordan v→v∞ når t →∞

9 Vand under overfladen, s. 64

14


Jeg får to terminal hastigheder, som jeg aflæser til;

v∞bold=6 .7

msek og

v∞mønt=8. 5

msek

Mønten falder altså angiveligt hurtigere end bolden.

Jeg har bestemt, at gnidningsmodstanden må være proportional med kvadratet

af hastigheden i og med, at bolden og mønten ikke bevæger sig igennem rolig

luft, men vil opleve turbulente strømning på deres forside. Dette giver en hel

anden fysik og gør laminare strømninger umuligt. Med det i mente, vil jeg

kikke på deres formfaktorer.

Formfaktoren er sat til ubekendt i tablecurve, og det er den værdi vi ser som a.

Jeg får følgene formfaktorer for de to genstande i mit forsøg.

cwbold=0 . 79

og cwmønt

=1. 68

Disse værdier er dog meget usikre. Det blæste kraftigt under forsøgsdagene,

så både bordtennisbolden og mønten har været udsat for ugunstige forhold i et

eksperimentelt lys.

Forsøgene blev udført på en vinkeltrappe bag en af skolens bygninger, vinden

kan nemt have lavet hvirvler ved gavlen hvor trappen var, og på den måde

have forstyrret forsøget endnu mere.

Bordtennisboldene faldt også skævt. I fysikken beskæftiger vi os med

uafhængihedsprincippet, hvor vi kan dele en to-dimensional bevægelse op i en

bevægelse i x-asken og en i y-aksen. Men dette forudsætter at legemet ikke

bevæger sig igennem noget medie. Men blandt andet på jorden vil

bordtennisboldene falde igennem luften. Ifølge Pythagoras er hypotenusen

altid længere end en katete. Dette medfører, at genstanden skal rejse længere

og på den måde skulle igennem mere luft, der skaber opbremsning.

15


Hvis vi ser på formfaktoren for den perfekte, glatte kugle er den10

cw kugleidel

=0. 47

Denne kugle vil dog være helt perfekt glat, og blive udsat for en laminar strøm

på forsiden. Den bordtennisbold jeg lavede forsøg med var langtfra perfekt

glat. Hvis man tog et mikroskop kunne man fornemme en ru overflade.

På baggrund af forholdene, vil formfaktorerne ikke være sammenlignelige.

En mønts formfaktor er ikke opgivet noget sted, simpelthen fordi den er umulig

er bestemme som en konstant. Hvis man skulle bestemme den, ville man være

nødt til at lade den være en funktion af tiden. Dette har noget at gøre med den

måde hvorpå mønten falder.

Jeg har observeret hvordan et møntformet flamingostykke faldt, og det var

tydelige at se, at den begyndt at tumble rundt lige fra den blev tabt.

Dette medfører et meget dynamisk fald, relativt til boldens statiske fald.

For bolden er det lige meget, hvilken orientering den har i forhold til

bevægelsesretningen, for en mønt er det noget helt andet. En mønt har to

ekstremaer under dens fald hvis den tumbler rundt. Det vil på et tidspunkt

rejse med hele fladen orienteret mod bevægelsesretningen, og her vil

tværsnitsarealet være π⋅r2, ligeledes vil den på et tidspunkt rejse lodret

orienteret og få tværsnitsarealet b⋅d , hvor b er tykkelsen og d er diameteren.

Netop af denne grund, må formfaktoren for en mønt være afhængig af tiden (i

hvert fald i et deterministisk univers).

Det skal nævnes at jeg brugte en gammel 5-øre som mønt. Den er let fordi den

er lavet af aluminium. Hvis vi ser på formlen

Det er klart, at hvis mønten havde en større densitet ville F t være større, dette

ville betyde at der skal en større luftmodstand til gør den udligner F t , det ville

så tage længere tid at nå terminal hastigheden, hvilket vil betyde en højere

10 Vand under overflad, s.

16


trappe, som jeg ikke havde.

Kvalitativt forsøg med 6 mønter.

Foruden at kaste en mønt af gangen, prøvede jeg også at kaste 6 på en gang,

for at få en kvalitativ vurdering af hvordan de faldt.

De blev sluppet i 10 meters højde via, et skinnesystem.

Figur 2: Her ses skinnesystemet, som kan holde 8 mønter.

Ebbe Nesgaard stod på jorden, og vurderet at de blev jævnt fordelt over en

halv meter, ydermere var der cirka en halv meter mellem den først mønt der

landede og den sidste. Dette siger noget om den tilfældighed der er forbundet

med disse faldforsøg. Tilfældighed gør at resultaterne blive en smule usikre, og

med det som baggrund vil jeg ikke kunne konkludere noget videre om fx

formfaktoren.

Forsøg med vindtunnel og bestemmelse af formfaktorer.

17


Jeg har lavet forsøg med en bordtennisbold og en mønt i en vindtunnel med

henblik på at bestemme deres formfaktor. Forsøgsopstilling så således ud.

På toppen af stigen har vi en vægt med underkrog, den er forbundet til

bordtennisbolden/mønten med en tynd snor og måler hvor stor kraft de bliver

påvirket af. Hvis man kikker på propellernes orientering, vil man opdage at de

peget opad, og derfor suger de luft ned, i stedet for at blæse luft op.

Dette gør, at de tal vægten giver os vil være positive, da friktionskraften

trækker i bolden. Propellerne styres to og to med den blå styringsmekanisme,

der ses for oven.

Vægten blev sat til nul, efter bordtennisbolden/mønten var blevet hængt op.

Propellerne blev tændt og langsomt øget i styrken. Der blev noteret en

vindhastighed sammen med en værdi fra vægten, hver gang propellernes kraft

øges. Det skal siges, at jo større vindstyrke, jo mere bevægede

bordtennisbolden/mønten sig fra side til side. Dette resulteret i, at vægtens

måling svingede lidt frem og tilbage. Forsøgene blev stoppet når usikkerheden

18

Figur 3: Her ses vindtunnelen og trappen, der holdte vægten.

Figur 4: Vindtunnel tæt på, men propellerne i bunden.


blev for stor. Man kan forklare dette fænomen med at

bordtennisbolden/mønten svinger frem og tilbage ved, at de hvirvler der

dannes på bagsiden af dem afløser hinanden, og får dermed genstanden til at

svinge fra side til side. Dette blev afhjulpet med et tyndt stykke ståltråd, der

holdte bordtennisbolden/mønterne lidt mere stabile.

Data er indtastet for neden.

For bordtennisbold

Vægtens visning i g Vindhastighed i m/sek Luftmodstand Ffrik i N

0 0 0

0.05 1.2 0.000491

0.11 1.8 0.00108

0.20 2.4 0.001964

0.27 2.9 0.002651

0.38 3.4 0.003732

0.50 4.6 0.006383

For mønt, lodret For mønt, vandret

Vægtens

visning i g

Vindha

stighed

i m/sek

Luftmodstand

Ffrik i N

Vægtens visning i g

Vindhastighed i m/sek

Luftmodstand Ffrik i N

0 0 0 0 0 0

0.03 0.8 0.000295 0.17 1.6 0.001669

0.05 1.1 0.000491 0.26 2.1 0.002553

0.11 1.7 0.002357 0.42 2.7 0.004124

0.20 2.2 0.001964 0.52 3.1 0.006678

0.24 2.5 0.002357 0.68 3.7 0.006678

0.3 2.8 0.002946 0.82 4.0 0.008052

19


NB: Jeg kunne ikke måle mønten lodret med den viste forsøgsopstilling, jeg

blev nødt til at gøre snorlængden mindre ved at rykke vægten tættere på.

Dette medfører, at noget af luften også skal forbi vægten, hvilket giver en

usikkerhed.

Jeg har indtastet tallene i tabelcurve og fittet dem til funktionen

F frik=12

cw⋅ρ⋅Ar⋅v2

, hvor cw er den ukendte

20


21


Jeg har altså fået følgende cw -værdier:

cwbold=0 . 43

, cwmøntlodret

=1 .59 og

cwmøntvandret

=1. 49

I tablecurve har jeg vægtet målingerne forskelligt, afhængigt af hvor usikre de

var. Dette giver mig et mere præcist fit.

Bordtennisbolden:

Jeg har fået en formfaktor, der ligger meget tæt op af tabelværdien.

Bordtennisbolden er ikke en perfekt kugle og vil derfor ikke have samme

formfaktor. Ståltråden og snoren kan ydermere have skabt lidt forstyrrelse

foran kugler, der har givet turbulens og min formfaktor kan på den måde være

lidt forkert. Men det ser ud til at forsøget har væren en succes.

22


Vandret mønt:

Formfaktoren for en hel glat plade er 1.2811, min formfaktor er ikke helt tæt på.

Mønten har et tryk og er derfor ikke en glat plade, ydermere er den heller ikke

tynd. Det er mere en cylinder end det er en flad plade, og det kan være med til

at forklare den høje formfaktor værdi. Ophænget af den kan også være grund

til fejlkilde, hvis den ikke har været helt parallel, vil dette også være en stor

fejlkilde. Det faktum, at propellerne er styret 2 og 2 kan også spilde ind, hvis

det ene par har snurret hurtigere end det andet, hvilket ikke er til at sige, vil

luften muligvis også blive mere turbulent. Vindtunnelens form er også vigtig at

tage i betragtning; den optimale vindtunnel vil være ligesom en tragt med en

bestemt vinkel, hvor min bare var et rør.

Lodret mønt:

Formfaktoren for den lodrette mønt er meget høj, forsøget kunne heller ikke

gennemføres med den normale opstilling. Da vægten er blevet rykket ned til

lige over vindtunnelen, vil dette give nogle helt andre forhold end

standardopstillingen. Faktorerne, der nævnes under den vandrette mønt

gælder naturligvis stadig, og det hele kumuleret giver et meget usikkert forsøg.

Kapitel 3

11 http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/shaped.html 22/12/2011

23

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/shaped.html


Analytisk løsning af

De variable separeres

Der integreres ved substitution, u er hjælpefunktionen.

Vi kan nu se da når

Dette passer overens med teorien, da terminal hastigheden opnås når

24


Analytisk løsning af differentialligningen

Differentialligning kan også skrives

dvdt

=g− km

v2⇔ v ' ( t )=g− km

v2

For nemhedens skyld vil jeg bruge denne form

y '=a−b⋅y2, hvor

y '=v ' ( t ) , a=g , b= km

, og y2=v2

y '=a−b⋅y2⇔ y '=(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )⇔ dydt

=(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )⇔

dt= dy(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )

⇔∫ dt=∫ dy(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )

⇔

t=∫ 1(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )

⋅dy

∫( 12⋅√a

(√a+√b⋅y )+

12⋅√a

(√a−√b⋅y ))⋅dy=t ⇔

25

Omskrivning1(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )

=

g(√a+√b⋅y )

+h(√a−√b⋅y )

=

g⋅(√a−√b⋅y )+h⋅(√a+√b⋅y )(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )

=

g⋅√a−g⋅√b⋅y+h⋅√a+h⋅√b⋅y(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )⇒( g+h)⋅√a=1⇔h−g=0

g=12⋅√a

og h=12⋅√a


y=√a⋅(e2⋅√a⋅√b⋅t−1 )√b⋅(1+e2⋅√a⋅√b⋅t )

Da12 tanh( x )= ex−e− x

e x+e−x=1−e2 x

1+e2 x får vi

y=√ ab⋅tanh(√a⋅√b⋅t )

Koefficienterne sættes nu ind og vi får

v ( t )=√ gkm

⋅tanh(√ g⋅√ km⋅t)⇔ v ( t )=√ mg

k⋅tanh(√ g⋅k

m⋅t)

Vi kan se, at v ( t )→√ mg

k, da tanh(√ g⋅k

m⋅t)→1 , for t→∞

Dette stemmer overens med teorien, og løsning er nu slut.

Numerisk løsning af differentialligningen

Nogle gange kan man ikke løse en differentialligning analytisk, derfor kan man

prøve at løse den numerisk. Det handler om, at gå små skridt frem, så den

numeriske løsning kommer til at ligge så tæt op ad den eksakte som muligt.

m⋅dvdt

=mg−kv1. 7 ⇔ ΔvΔt

=g− km

v1. 7⇔ Δv=(g− km

v1. 7)⋅Δt

12 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion, s. 5

26


Hvor:

k=1

2⋅cw⋅Ar⋅ρ=1

2⋅0 .47⋅0 .001257⋅1. 247=0 . 000368

Jeg har her brugt tabelværdierne for cw 13 af en kugle og densiteten af luft ved

10 °C 14

g= tyngdeaccelerationen=9 . 82

m=massen=0 . 00275 Massen af de bordtennisbolde jeg selv har brugt i mine

forsøg.

Jeg har bevist ikke taget enheder med, da vi nu er ovre i matematikken.

Δv=(9 .82−0. 0003680. 00275

v1. 7)⋅Δt⇔ Δv= (9 .82−0 .1338⋅v1 .7 )⋅Δt

Jeg ved; v (0)=0 og derfor må min graf gå igennem (0.0)

Jeg har nu mine startbetingelser og kan gå frem fra (0.0), jeg vælger at sætte

Δt=0 .2

t v Δt Δv

0 0 0.2 1.964

0.2 1.964 0.2 1.879

0.4 3.843 0.2 1.700

0.6 5.543 0.2 1.472

0.8 7.015 0.2 1.229

1.0 8.244 0.2 0.988

1.2 9.242 0.2 0.791

1.4 10.033 0.2 0.615

1.6 10.648 0.2 0.471

1.8 11.119 0.2 0.358

13 Vand under overfladen, s. 6814 Vand under overfladen, s. 64

27


2.0 11.477 0.2 0.264

2.2 11.746 0.2 0.200

2.4 11.946 0.2 0.149

2.6 12.095 0.2 0.110

2.8 12.205 0.2 0.082

Vi kan her se hvordan luftmodstanden langsomt udligner tyngdekraften.

Grafen går mod boldens terminal hastighed, der kan aflæses til cirka

12 .5ms

Man kan også få et computerprogram til at komme med en numerisk løsning.

Dette er smart, fordi computeren er meget hurtigere end mennesket. Den kan

meget hurtigt lave en numerisk løsning, med meget små skridt. I bilaget kan

man finde et skærmbillede af computerprogrammet FPro, der kan løse

numerisk.

Kapitel 4

Konklusion:

Jeg har igennem teori fra fysik opstillet nogle simple ligninger til at beskrive et

fald gennem luft. Derefter har jeg kunne bruge matematikken som et værktøj,

til at løse disse ligninger. Med deres løsning har jeg kunne lave eksperimenter,

samle data og få disse tastet ind og fået fittet en funktion til dem.

Jeg er altså kommer frem til en konklusion ved at lade de to fag supplere

hinanden og fået et billede af virkeligheden herfra.

Mit faldforsøg lod mig bestemme terminale hastigheden for henholdsvis en

bold og en kugle. Ydermere fik jeg også nogle formfaktorer, der dog afviger

noget fra tabelværdierne, karakteristisk ved dem begge to er dog, at de var

28


noget for høje. Dette kan dog forklares ved at se på de omstændigheder hvori

målingerne tog sted. Det blæste meget, hvilket fik objekterne til at falde

skævt, og på den måde vil de møde mere modstand fra vinden. Ydermere

kunne man fra eksperimentets lokalitet erfare, at der var hvirvler som bar

blade fra jorden op. Dette var højst sandsynligt på grund af trappens lokalitet i

forhold til bygningens. Dette giver en langsommere faldhastighed, og derved

en højere formfaktor.

I mit vindtunnelforsøg har jeg prøvet at finde formfaktorer for henholdsvise en

bold og en mønt. Boldens formfaktor kom meget tæt på den, der er angivet i

tabeller. Hvorimod møntens formfaktor var lidt længere fra tabelværdierne. Det

er vigtigt at notere sig, at møntens form er ret unik med sit tryk på siden og sin

tykkelse. Sammenholdt med fejlkilderne ved forsøget virker det ikke urealistisk

at få en værdi, som ikke er forenelig med tabelværdierne.

Jeg har ikke haft brug for at beregne Re-værdien på noget tidspunkt til at

bedømme hvilken model jeg ville analysere mine data med. I alle tilfælde har

der været turbulente strømninger foran genstanden og derfor har jeg måtte

bruge gnidningslovet ved kvadratet på hastigheden.

Hvis jeg som afslutning skulle prøve at give mønten en formfaktor, ville det

pga. dens tumling i luften, være en gennemsnitlig værdi af dens ekstremaeres

formfaktorer. Altså; cwmønteks

=cwmønt flad

+cwmøntlodret

2=

1 .59+1 .482

=1 .54

I fald af mønten fik jeg en formfaktor, svarende til 1.68, og hvis møntens

formfaktor også er får høj pga. omstændighederne, så passer det meget godt

sammen alligevel.

Opgaven er bygget om omkring et mythbusters afsnit, hvor de prøvede at finde

en pennys terminale hastighed og se om den kunne slå et menneske ihjel.

Deres konklusion var, at det kunne den ikke.

Det må jeg også sande er min konklusion, med en så lav faldhastighed. En

29


smule hurtigere end en bordtennisbold, men ikke nok til at kunne slå et

menneske ihjel.

Forsøgene har vist, med baggrund i det møntformede flamingostykke, at en

bolds og mønts fald er meget forskellige. En bold har vist sig at falde meget

statisk, hvorimod en mønt har vist sig at falde dynamisk. Mønten tumler rundt,

og dette gør at en konstant formfaktor ikke kan bestemmes uden at være en

funktion af tiden. Man kan, som jeg har gjort, prøve at bestemme en

gennemsnitlig formfaktor, men på grund af dens dynamiske og kaotisk fald, er

den langt mere kompleks end en bold.

Bilag

30


Figur 5: Her ses det hvordan formfaktoren varierer i forhold til Reynolds tal. Kilde: Vand under overfladen

31


Figur 6: Her ses programmet FPro, der har lavet en numerisk løsning. Eksemplet er lavet med en bold med mine dimensioner, men en formfaktor på 0.47

Litteraturliste

32


Banacka, Jan og Igor Stubna: Accuracy in Computing Acceleration of Free Fall in the Air. I: The physics teacher nr. 43, 01.10.2005, s. 432-432 (Artikel)

Amtrup m.fl, T.: Vand - under overfladen. 1. udg. Gyldendal, 1996. (Bog)

Navir-Strokes existence and smoothness. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse:http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness - Besøgt d. 18.12.2011 (Internet)

Reynolds Number. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number - Besøgt d. 18.12.2011 (Internet)

Fluider. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Fluid - Besøgt d. 18.12.2011 (Internet)

Viskositet. Udgivet af Gyldendal. Internetadresse:http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Fluid_dynamik/viskositet - Besøgt d. 19.12.2011 (Internet)

Luftmodstand. Udgivet af Gyldendal. Internetadresse:http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Biler/Teknik/luftmodstand - Besøgt d. 17.12.2011 (Internet)

Borch, Tommy og Carl Hemmingsen: Integralregning og differentialligninger - Højt niveau. 1. udg. Frederikssund Arbejdsgruppen , 1990. (Bog)

Objects falling with air resistance. 2010. Instruktion: Lasse Viren. Internetadresse: http://www.youtube.com/watch?v=I6Or5EvCPYk - Besøgt d. 16.12.2011 (Film)

Mythbusters - Falling Penny. Instruktion: Discovery Channel. (Film)

33

SRP

Documents

og med

strmmen og

fluider og strmninger

et fluid s

en vindtunnel

en anden

fald af en mnt

bold og mnt