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1 Simulation der Partikeldynamik mittels der Diskrete Elemente Methode: Einführung in PFC Programmversionen Particle Flow Code in 2 Dimensions (PFC 2D , Version 4.0) begrenzt auf 1.000 Partikel Particle Flow Code in 3 Dimensions (PFC 3D , Version 4.0) begrenzt auf 5.000 Partikel 6 Bedienungshandbücher in Englisch Programmebenen Kommando-Modus mit PFC-Kommandos in Befehlszeile (Abb. 1) Abb. 1: PFC – Arbeitsbereich und Plot Batch-Modus mit PFC-Kommandos in Editordatei Beispiel: new wall id 4 face (0,10,0) (10,10,0) (10,10,10) (0,10,10) ;eine Wand wird generiert plot wall=black ;und angezeigt plot show Fish-Programmiersprache mit Fish- und PFC-Kommandos
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Simulation der Partikeldynamik mittels der Diskrete ...€¦ · 1 Simulation der Partikeldynamik mittels der Diskrete Elemente Methode: Einführung in PFC Programmversionen Particle

Apr 30, 2020

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1

Simulation der Partikeldynamik mittels der Diskrete Elemente Methode:

Einführung in PFC Programmversionen

Particle Flow Code in 2 Dimensions (PFC2D, Version 4.0) begrenzt auf 1.000 Partikel

Particle Flow Code in 3 Dimensions (PFC3D, Version 4.0) begrenzt auf 5.000 Partikel

6 Bedienungshandbücher in Englisch Programmebenen

Kommando-Modus mit PFC-Kommandos in Befehlszeile (Abb. 1)

Abb. 1: PFC – Arbeitsbereich und Plot

Batch-Modus mit PFC-Kommandos in Editordatei Beispiel: new wall id 4 face (0,10,0) (10,10,0) (10,10,10) (0,10,10)  ;eine Wand wird generiert plot wall=black      ;und angezeigt plot show 

Fish-Programmiersprache mit Fish- und PFC-Kommandos

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Beispiel: new define make_wall_and_calculate   hh=22        ;Zuweisungsoperation   abc=hh*3+5      ;Rechnung   command    wall id 4 face (0,10,0) (10,10,0) (10,10,10) (0,10,10)  ;PFC‐Kommando   endcommand end make_wall_and_calculate plot wall=black plot show 

C++-Programmiersprache (optional, verfügbar in Vollversion)

Nützliche Tastaturbefehle: F3 Wiederholung der letzten Eingabezeile Esc abbrechen des Programms Bei aktivem Plot: Strg + C Ploteinstellungen Richtungstasten Bewegung des Plots M heranzoomen Strg + R automatische Zentrierung des Plots mit Rotation (0,0,0) X Rotation um die x-Achse Y Rotation um die y-Achse Z Rotation um die z-Achse Verringerung der Rechenzeit: Partikelgröße keine kleinen Partikel (monodisperse Partikel) Steifigkeit keine hohen Steifigkeiten Ausschalten der Plots set pinterval xyz Plotaktualisierung (aller xyz Zeitschritte) anpassen/verringern Differential Density Scaling Erklärung weiter hinten im Dokument Grundlegende PFC-Kommandos Nützliche Befehle: ; - Semikolon Kommentar & - und Fortsetzung der auf 80 Zeichen begrenzten Eingabezeile auf der

nächsten Zeile pause key unterbricht das Programm (Any Key to continue) new leert den Speicher, damit ein neues Programm gestartet werden kann Alle Befehle weisen dieselbe Struktur auf. Sie bestehen aus einem primären Befehlswort gefolgt von einem oder mehreren Keywords und einem numerischen Input. COMMAND keyword value . . . <keyword value . . . >

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3

Die Befehle können ausgeschrieben werden, die fettgedruckten Buchstaben müssen aber mindestens angegeben werden. Befehle, Keywords und numerische Werte können durch Leerzeichen, Komma(s), Runde Klammern ( ) oder ein Gleichheitszeichen = getrennt werden. Groß- und Kleinbuchstaben sind erlaubt. Beispiel: new wall id=1 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.1 face= (0,0,0) (10,0,0) (10,10,0) (0,10,0) ;bottom wall wall id=2 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.1 face= 0,0,0 0,10,0 0,10,10 0,0,10 ;left wall wall id=3 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.1 face= 10 0 0 10 0 10 10 10 10 10 10 0 ;right wall wall id 4 kn 1e8 ks 1e8 friction 0.1 face 0 0 0 0 0 10 10 0 10 10 0 0 ;front wall WALL id=5 KN=1e8 KS=1e8 FRICTION=0.1 FACE= (0,10,0) (10,10,0) (10,10,10) (0,10,10) ;back wall w id=6 kn=1e8 ks=1e8 f=0.1 fa= (0,10,10) (10,10,10) (10,0,10) (0,0,10) ;upper wall pause key plot create schwarze_wand      ;Plot definieren plot add wall black        ;Wände zum Plot hinzufügen plot show            ;Plot anzeigen 

Befehlswort wall Wand Keywords id Identifikationsnummer

kn Normalsteifigkeit ks Schersteifigkeit friction Reibungskoeffizient face bei einer begrenzten (finiten) Wand folgen daraufhin die

Koordination …

Numerische Eingabewerte 1e8, 0, 10 Wand aktive Seite Korkenzieherregel / Rechte-Faust-Regel

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GENERATE und BALL Befehl

Tabelle 1: Beschreibung des Ball- und Generate-Befehls Ball-Befehl Generate-Befehl ball id=26 radius=0.5 x=5 y=2 z=1 ball id=27 radius=1.0 x=4 y=1.5 z=1.1

generate id=1,25 radius=0.2,1 x=0,10 y=-5,-0.5 z=0,10

genaue x-y-z-Platzierung der Partikel zufällige Anordnung der Partikel Schlüsselwort radius bestimmt den Partikelradius

die Partikelradien sind zufällig gleichverteilt oder durch das Schlüsselwort gauss normalverteilt

Partikel können sich überlappen, abhängig von ihren Koordinaten

Partikel überlappen sich nicht

durch Überlappungen können repulsive Kräfte auftreten

keine repulsiven Kräfte

Beispiel: new generate id=1,25 radius=0.2,1 x=0,10 y=0.5,5 z=0,5  ;Anzahl und Radius 

mehrerer Partikel, die in einem quaderförmigen Bereich zufällig verteilt generiert werden 

ball id=26 radius=0.5 x=‐3 y=1.5 z=1  ;einzelnes Partikel mit genauen Koordinaten generieren 

ball id=27 radius=1.0 x=‐2 y=1.5 z=1 plot create schwarze_wand        ;Plot definieren plot add wall black          ;Wände anzeigen plot add ball range id 1 25 blue      ;Partikel mit id 1 bis 25 anzeigen plot add ball range id 26 27 red      ;Partikel 26 und 27 anzeigen plot add axes black          ;Achsen anzeigen plot set background white        ;Hintergrund weiß plot show            ;anzeigen des Plots 

Ball-Befehl Generate-Befehl

Überlappung

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property Definition der Eigenschaften existierender Partikel change Synonym zu property initialize Synonym zu property Stoffeigenschaften für die Partikeln und ihre Verbindungen property density=2650 kn=1e8 ks=1e8 Dichte, Normal- und Schersteifigkeit property radius multiply=1.51 Vergrößerung des Radius Die Anzahl, die Koordinaten, die Radien, die Dichten und die Steifigkeiten der Partikel, die Koordinaten und die Steifigkeiten der Wände und die Erdbeschleunigung werden festgelegt. Daraus ergeben sich die wirkenden Gewichts- und Abstoßkräfte, die Beschleunigungen und Spannungen in den Überlappungen. Beispiel: new plot create schwarze_wand plot add wall black plot add ball range id 1 25 blue plot add ball range id 26 27 red plot add axes black plot set background white plot show generate id=1,25 radius=0.2,1 x=0,10 y=0.5,5 z=0,5 ball id=26 radius=0.5 x=‐3 y=1.5 z=1 ball id=27 radius=1.0 x=‐2 y=1.5 z=1 property density=2650 kn=1e8 ks=1e8 ;zählt für alle existierenden Partikel pause key range name=bälle_1_25 id=1,25  ;Definition des Bereichs der Partikel 

mit id 1 bis 25 property radius multiply=1.51 range=bälle_1_25 ;Zuweisung der Vergrößerung 

des Radius für den definierten Bereich 

pause key set gravity=(0,0,‐9.81)     ;Gravitationsbeschleunigung cycle 6000          ;Zeitschritte 

Tabelle 2: Keywords in den Befehlen

programminterne Parameter

Stoffdaten wall-Befehl für Wände property-Befehl für Partikel

Randbedingungen: wall-Befehl für Wände property-Befehl für Partikel

Identifikations-nummer: ball – Partikel clump – Clump history –

Aufzeichnen von Messwerten

measure – Messkreis

wall – Wand

radius kn – Normalsteifigkeit ks – Schersteifigkeit density – Dichte friction – Reibung damping – viskose

Dämpfung Kontaktbindung n_bond – Normalsteifigkeit

x-, y-, z-Koordinaten xdisplacement, ydisplacement,

zdisplacement – x-, y-, z-Weg xvelocity, yvelocity, zvelocity –

x-, y-, z-Geschwindigkeit xspin, yspin, zspin – x-, y-, z-

Rotationsgeschwindigkeit gravity – Erdbeschleunigung xforce, yforce, zforce – x-, y-,

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Ausgabefenster position –

Position size – Größe Farbe etc.

s_bond – Schersteifigkeit Parallelbindung pb_kn – Normalsteifigkeit pb_ks – Schersteifigkeit pb_nstrength –

Normalfestigkeit pb_sstrengt –

Scherfestigkeit pb_radius – Radius etc.

z-Kraft xmoment, ymoment, zmoment

– x-, y-, z-Drehmoment etc.

Tabelle 3: Definition der Eingabe- und Ausgabewerte

Eingabewert Länge m Dichte kg/m3 Gravitationsbeschleunigung m/s2 Steifigkeit der Wände und Partikel N/m Steifigkeit der Parallelbindung Pa/m

N/(m2m) Festigkeit von Kontaktbindungen N Festigkeit von Parallelbindungen N/m2

Ausgabewert Kraft N Spannung Pa

Zerlegung der Kontaktkraft in eine Normal- und eine Scherkomponente F – Kontaktkraft Fn – Normalkraft kn – Normalsteifigkeit Fs – Scherkraft ks – Schersteifigkeit

FFn

Fs

kn

ks

F

Kontaktfläche

kn

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Kontaktkräfte dargestellt als freie ungedämpfte Federschwingung Freier ungedämpfter Federschwinger

Lineares Kontaktgesetz

Masse bringt Zug- und Druckkräfte auf die Feder auf

Masse bringt nur eine Druckkraft auf die Feder auf.

x – Weg/Auslenkung k – Federkonstante m – Masse

Un, Us – Überlappung in Normal- und Scherrichtung kn, ks – Steifigkeit in Normal- und Scherrichtung

Steifigkeit (kn, ks) und Eigenkreisfrequenz ω0 für ein Kontinuum (Wände und Partikel)

Vergleich zwischen

Wirkende Federkraft

Normalkraft Scherkraft

Reihen- und Parallelschaltung zweier Federn

Kontakt zweier Partikel entspricht der Reihenschaltung zweier Federn, welche zusammengepresst werden / sich überlappen. Berechnung der Normalsteifigkeit: Berechnung der Schersteifigkeit ist analog.

xk

m

Us ks

m m

kn Un

F

F

21ges kkk

21ges k

1

k

1

k

1

xkF n n nF = -k U

21ges k

1

k

1

k

1k1 k2

x

F

xm

-xm

Druck Zug

Druck

Un

Fn

kn

s s sF = -k U

Us

Fs

ks

k1

k2

m

k1 k2 m

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mechanischem Schwinger schwingendem Kontinuum

Federschwinger Stabschwinger Auslenkung: x(t)

Auslenkung:

0

0100 l

l)t(ll)t(l)t(l

- Dehnung Hookesches Gesetz für Federschwinger:

FF = -kx

FF - Federkraft k - Federkonstante x - Weg

Hookesches Gesetz für das Kontinuum

0l

lEE

0S 0

0

EAF = -E A ε = - Δl

l

E - Elastizitätsmodul A0 - Querschnittsfläche l0 - Ausgangslänge

Federsteifigkeit: 20k = m ω

Kontinuum Steifigkeit: 200

0

EAk = = m ω

l

Trägheitskraft: TF = ma = mx Trägheitskraft: T 0F = mx = m Δl = ml ε

Bewegungsgleichung:

T FF = F

mx = -kx k

x + x = 0m

Bewegungsgleichung:

T SF = F

0 0ml ε = -EA ε

0

0

EAε + ε = 0

ml

Eigenkreisfrequenz:

0 0

kω = 2πf =

m

Eigenkreisfrequenz:

0

00 ml

EA

FF

FT

m

x(t)

m

k

Ruhelage Auslenkung

m

Ruhelage

lo(t)

FT

FS

m

A0 E

lo

Auslenkung

l1

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Kontaktaufgabe der Elastizitätstheorie, erstmals gelöst von H. Hertz 1881 L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VII, Elastizitätstheorie Akademie-Verlag Berlin 1989, S. 37-38 Beispiel: Kontakt zweier gleich großer elastischer Kugeln

E

1

2

3D

2

3/123/2

R

D2Fh

hkF

3/123/2

R

D2F

F

h

F)R,F,,E(k

1/3 1/32 21/3

1/3 2 2 2 222/3

F F F E d F Ek = = = = d

Δl 9(1- ν ) 9(1- ν )2 DF

R

1/3 1/3k = a F d 2/3

2

Ea =

3(1- ν )

eine Konstante des Materials in N2/3/mm4/3

Würfel Kugel

k = l E 1/3 1/3k = a F d

h

F

F

F - wirkende Kraft R - Radius der Kugel d - Durchmesser = 2R h - Überlappung E - Elastizitätsmodul - Poissonzahl k - Federsteifigkeit

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

5

9

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ste

ifig

keit

k in

10^

5 N

/m

Kugelradius r in mm

Kontaktkraft F in N

Basalt (E=90 kN/mm2, v=0.2)

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Federsteifigkeit zweier gleicher elastischer Kugeln nach Hertz (1881) in Abhängigk. von Material, Kontaktfläche und -kraft (Würfel im Vergleich)

1e+02

1e+03

1e+04

1e+05

1e+06

1e+07

1e+08

1e+09

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

Kugeldurchmesser/Würfelkantenlänge in mm

Fe

de

rste

ifig

ke

it in

N/m

Silikonkautschuk F=1mN

Polystyrol F=1mN

Kalkstein/Quarz F=1mN

Basalt F=1mN

Baustahl F=1mN

Silikonkautschuk F=1N

Polystyrol F=1N

Kalkstein/Quarz F=1N

Basalt F=1N

Baustahl F=1N

Silikonkautschuk F=1kN

Polystyrol F=1kN

Kalkstein/Quarz F=1kN

Basalt F=1kN

Baustahl F=1kN

Würfel-Silikonkautschuk

Würfel-Polystyrol

Würfel-Kalkstein/Quarz

Würfel-Basalt

Würfel-Baustahl

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Berechnung in Zeitschritten

Kraft-Weg-Gesetzangewendet auf Kontakte

Bewegungsgesetzangewendet auf Partikel

nnn UkF sss UkF

ii xmF ii JM

geradlinige Bewegung:Rotationsbewegung:i..2 für 2D i..3 für 3D

Normalkraft:Scherkraft :U.. Überlappung

Kontaktkräfte

Positionskorrektur von Partikeln, Wänden und Kontakten

Randbedingungengesetzt durch Wände/Partikel

- einwirkende Kräfte - fixierte Positionen und Geschw.

Einsatz der Software PFC3D der Fa. Itasca Co., Minnesota US

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Bewegungsgleichungen für jedes Primärpartikel i

Kräftebilanz

FK Kontaktkraft Partikel-Partikel oder Partikel-Wand,

FB Federkraft in der Festkörperbrücke,

l und p Zahl der Kontakte und Festkörperbrücken vom Partikel i

Ii Flächenträgheitsmoment vom Partikel i

Momentenbilanz

(i)mg

p

1j

(ij)B

1j

(ij)K

(ij)K

ii MM)Fr(dt

ωdI

l

Kräfte, Momente

Positionen,

Geschwindigkeiten

t=t+?t

t=t0, xi=x0,i, vi=v0

gmFFFFdt

rdm i

ijsB

p

j

ijnB

ijsK

j

ijnK

ii

)()( )(,

1

)(,

)(,

1

)(,2

2 l

Festkörperbrückenmodell

Kontaktnormalkräfte

ijnijijanijnij

ijnK nsηskF

)( ,,,)(

,

ijijnKijsijij

asijsij

ijsK tFμsηskF

)(

,,,,)(

, ),(min

Tangentiale Kontaktkräfte

ijnijijnijBijnB nsAkF

)( ,,,

)(,

ijsijijsijBijsB tsAkF

)( ,,,

)(,

kij Kontaktsteifigkeit,

kij,B flächenbezogene Brückensteifigkeit,

sij Überlappung,

ij Dämpfungsparameter,

ij Gleitreibungskoeffizient,

(ij)max

(ij)B(ij)

B

(ij)B

ij

(ij)nB,

ij RI

M

A

F

(ij)

maxij

(ij)sB,

ij A

F oder

Bruchkriterium

und normale und tangentiale Spannungen

in der Brückenquerfläche,

max und max Bruchfestigkeit und Scherfestigkeit,

MB Moment in der Brückenquerfläche,

Aij Querschnittsfläche der Festkörperbrücke,

IB Flächenträgheitsmoment (Aij)

Kontaktmodell

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Interactions between balls Contact and slip Contact bond Parallel bond Normal force

similar to contact bond with parallel bond typical pb_kn and pb_ks [stress/displacement]

Shear force

Entities ball-ball and ball-wall ball-ball ball-ball Existence This model is always active, unless a

contact bond is present — in which case, the contact bond model behavior supersedes the slip model behavior.

The existence of a contact bond precludes the possibility of slip, i.e., the magnitude of the shear contact force is not adjusted to remain less than the allowable maximum of Fs

max

The two bond models (contact and parallel) can occur simultaneously; thus, in the absence of a contact bond, the slip model is active in conjunction with the parallel-bond model.

Parameters friction coefficient µ at the contact [dimensionless]

normal contact bond strength Fnc

shear contact bond strength Fsc

[force]

normal and shear strength [stress] normal and shear stiffness [stress/displacement] bond radius [length]

PFC command PROPERTY friction PROPERTY n_bond=x PROPERTY s_bond=x

PROPERTY pb_nstrength=x PROPERTY pb_sstrength=x PROPERTY pb_kn=x pb_ks=x PROPERTY pb_radius=x

Un (overlap)

Fn (tension)

kn

Fnc

bond breaks

Un (overlap)

Fn

(tension)

kn

slip

contact

Us

Fs

ks

Fsmax contact

slip when Un>0 AND Fs>Fs

max

slip

Us

Fs

ks

Fsmax

bond breaks Fs

c

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14

Installation Contact and parallel bonds are installed at each real contact (with nonzero overlap) and virtual contact (between 2 balls with separation less than 1e-6 times the mean radius of the 2 balls).

Deletion Both types of bonds are deleted if their strengths are exceeded; alternatively, the contact bonds can be deleted by setting either the n_bond or s_bond values to zero, and the parallel bonds can be deleted by setting either the pb_nstrength or pb_sstrength values to zero. If the magnitude of the tensile normal contact force equals or exceeds the normal contact bond strength, the bond breaks, and both the normal and shear contact forces are set to zero. If the magnitude of the shear contact force equals or exceeds the shear contact bond strength, the bond breaks, but the contact forces are not altered, provided that the shear force does not exceed the friction limit, and provided that the normal force is compressive.

Contact shape point point either a circular (SET disk off) or rectangular cross-section (on) lying between the particles

Force/torque developed at the contact

can only transmit a compression force, i.e., no tensile force and torque at the contact.

can only transmit a force, i.e., no torque.

can transmit both a force and torque

Interpretation friction adhesion cementatious material between the two balls Procedure The criterion of no-normal strength is

enforced by checking whether the overlap is less than or equal to zero. If it is, then both the normal and shear contact forces are set to zero. Then the contact is checked for slip conditions by calculating the maximum allowable shear contact force Fs

max = µ |Fn| If |Fs| > Fs

max, then slip is allowed to occur (during the next calculation cycle) by setting the magnitude of Fs equal to Fs

max

Instead, the magnitude of the shear contact force is limited by the shear contact bond strength. Contact bonds also allow tensile forces to develop at a contact. These forces arise from the application of Eq. (1.10) when Un < 0 (i.e., there is no overlap). In this case, the contact bond acts to bind the balls together. The magnitude of the tensile normal contact force is limited by the normal contact bond strength.

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16

Calculation of the cycle t - translational motion example of two attached balls After ball creation following properties are defined: - positions of the balls A and B ]A[

ix , ]B[ix ,

- radii ]A[R and ]B[R , - density, - normal stiffness nK (secant modulus) and shear stiffness sk (tangent modulus). i .. 1, 2, 3-index of a vector (x, y, z-direction) 1 Given values at cycle start

)2/tt(ix , )t(

ix , )t(iF , m, ig

2 Calculation of the geometry at cycle start d is the distance between the ball centers:

]A[i

]B[i xxd (1)

overlap nU defined as relative contact displacement in the normal direction: dRRU ]B[]A[n (2)

the location of the contact point ]C[ix is given by

n21]A[]A[

i]C[

i URxx (3)

3 Calculation of the forces at cycle start contact force vector iF can be resolved into normal and shear components:

si

nii FFF (4)

the normal contact force is calculated by

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17

nnni UKF (5)

The new shear contact force is found by summing the old shear force existing at the start of the time step with the shear force-increment s

iF . If the slip model is active the shear force

will be corrected below smaxF when it is above:

nsi

si

si FFFF (6)

The shear force-increment siF will be found by the following equations (7-10):

]A[]C[

i]B[]C[

ii xxV contact velocity iV (relative motion at the contact) (7) si

nii VVV the contact velocity can be resolved into normal and shear components (8)

tVU si

si shear displacement-increment over a time step of t (9)

si

ssi UkF shear force-increment (10)

The contribution of the final contact force (4) to the resultant force on the two balls in contact is given:

i]A[

i]A[

i FFF (11)

i]B[

i]B[

i FFF (12) ]A[

iF and ]B[iF are the resultant force, the sum of all externally applied forces acting on the two

particles. 4 Calculation at the middle (velocity) and end (position) of the time interval

ix is calculated at the mid-intervals 2/tnt , while iii Fandx,x are computed at the primary intervals of tnt .

)gx(mF iii (13)

)2/tt(i

)2/tt(i

)t(i xx

t

1x

(14)

Insert (13) into (14) and solving for the velocities at time )2/tt( result in

tgm

Fxx i

)t(i)2/tt(

i)2/tt(

i

(15)

Finally, the velocities in (15) are used to update the position of the particle center as txxx )2/tt(

i)t(

i)tt(

i (16)

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18

Time steps The computed solution produced by equations (1-16) will remain stable only if the timestep does not exceed a critical timestep. A simplified procedure is implemented in PFC2D to estimate the critical timestep at the start of each cycle. The actual timestep used in any cycle is taken as a fraction of this estimated critical value. This fraction can be specified using the SET safety_fac command.

k/mtcrit (17)

where k is the stiffness of each spring and m the mass of each ball.

Example: s10)m/N10/(kg1t 48crit

Freie ungedämpfte Federschwingung

xmkx 0 xm

kx

020 xx

Es ist:

mk /0 kmT /2

m

k, 0

0 x

FF FT

m

statische Ruhelage Umlenkpunkt

FF ... Federkraft FT ... Trägheitskraft

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Differential Density Scaling Inertial masses are multiplied by a factor, different for each ball, so that a unit timestep is obtained. Gravitational masses are unaffected. Normal unscaled operation Differential density scaling SET dt auto (default) SET dt dscale New different timesteps are calculated before each cycle step, hence the calculation time for many particles is long.

Only one timestep ist calculated for a particle arrangement befor cycling many times and keep uniform until particle arrangement changes. Hence the general calculation time is reduced.

Provides a true dynamic solution that is valid for both steady- and non-steady-state conditions.

If one is interested only in obtaining the steady-state solution, in which all particle accelerations are zero, corresponding to either static equilibrium or steady flow, differential density scaling may be used to reduce the total number of cycles required to reach the steady-state condition. Only the final steady-state solution is valid; transient states do not represent the true dynamic behaviour of the system. For path-dependent phenomena that involve development of mechanisms, this may result in an unrealistic steady-state solution. Reduce the total number of cycles required to reach the steady-state condition.

Fi is the resultant force, the sum of all externally applied forces acting on the particle:

)gx(mF iii

The inertial mass of each particle is modified at the start of each cycle such that the stability criterion of (17) is satisfied with a timestep of unity:

ig

ii

i g)m(x)m(F where mi and mg are the inertial and gravitational masses, respectively; mg is always equal to the actual mass of the particle and, in the absence of differential density scaling, mi = mg.

The finite-difference expressions for the particle velocities:

tgm

Fxx i

)t(i)2/tt(

i)2/tt(

i

tgm

m

m

Fxx ii

g

i

)t(i)2/tt(

i)2/tt(

i

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Mechanical Damping for dissipation of kinetic energy- translational motion example Local Damping Combined Damping Viscous Damping DAMP (default) local 0.2 keyword 'default' for newly created balls (default local =0.7)

DAMP (default) viscous normal 0.2 DAMP (default) viscous shear 0.2 keyword 'default' for newly created contacts (default viscous normal/shear=0)

acts on each ball acts on each contact as a dashpot in parallel with the existing contact model

A damping-force term is added to the unbalanced force in the equation of motion:

)i(damp

)i()i( xmFF

F(i) includes the contribution from the gravity force.

A damping force, Dn, Ds is added to the contact force:

nnnni DUKF

ssi

si

si DFFF

)v(signFF )i()i(d

)i(

Fi vi F

d - + - M- - - + M+ damping + - + M- + + - M+ damping

2

FF il

)i(

)v(sign

dt

dFsign )i(

)i(

nn

n VcD

ss

s VcD

The damping constants are not specified directly; instead, the critical damping ratios in the normal and shear directions (βn and βs ) are specified:

critnnn cc crit

sss cc

nncritn mk2m2c

sscrits mk2m2c

ωn and ωs are the natural frequencies of the undamped system, kn and ks are the contact tangent stiffnesses

- only accelerating motion is damped, - damping is frequency independent - inappropriate for particles in free flight under gravity or for impact of particles, - inappropriate for systems in which large groups of particles are driven by specified-velocity boundary conditions.

- used for significant rigid-body motion of a system in addition to oscillatory motion to be dissipated - dissipate energy at a slower rate compared to local damping

Viscous damping is characterized by the critical damping ratio β. When β = 1, the system is said to be critically damped, meaning that the response decays to zero at the most rapid rate. Also, β = 1 represents the transition from an oscillatory response, when β < 1, to an exponentially decaying response when β > 1. When β < 1, the system is said to be underdamped, or lightly damped, and when β > 1, the system is said to be overdamped, or heavily damped.

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Viscous Damping

xbxmkx 0 kxxbxm 02 20 xxx

Die gebräuchlichsten Dämpfungsmaße sind: b Dämpfungskonstante des viskosen Dämpfers

Dm

b02

Abklingkonstante in der Exponentialfunktion

mk

b

b

bD

krit 2 dimensionsloses Dämpfungsmaß (Lehrsches Dämpfungsmaß)

21

2

D

D

logarithmisches Dämpfungsmaß

Schwingfall aperiodischer Grenzfall Kriechfall

0 D < 1 0 D = 1 0 D > 1

periodisch ablaufende gedämpfte Schwingung mit Kreisfrequenz

220 D

aperiodischer Grenzfall: möglichst in kurzer Zeit in Ruhelage

0D

keine periodische Schwing., kein Durchgang durch die t-Achse

0D Allgemeine reelle Lösung des Schwingfalls:

)cossin()( 21 tCtCetx DDt

)cos()( textx Dt

A

xA

x(t=0)

/D

xmax

)cos( tex D

tA

cos

)0(max

txxxA

t

Aex

t 0

x

t t

x x

t

x