Top Banner
Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity د ما ن ع ات هاي ن ل وا ب ن ا ج ل ا ة ي حاد ا ات هاي ن ل ا ة ي ها ن لا1
29

Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

Jan 03, 2016

Download

Documents

Douglas Hart
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

1

Section 2.4One-Sided Limits and Limits at Infinity

ال ما عند والنهايات الجانب أحادية النهاياتنهاية

Page 2: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

2

0 if 1

0 if 1)(

xx

x

xx

x

x

xxf

Page 3: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

3

بشكل حدسي

Page 4: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

4

Page 5: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

5

Page 6: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

6

Page 7: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

7

x sin(1/x)0.1 -0.54402111090.01 -0.50636564110.001 0.82687954050.0001 -0.30561438890.00001 0.03574879800.000001 -0.34999350220.0000001 0.42054779320.00000001 0.9316390271

-0.1 0.54402111090.01- 0.5063656411-0.001 -0.82687954050.0001- 0.30561438890.00001- -0.03574879800.000001- 0.34999350220.0000001- -0.42054779320.00000001- 0.9316390271-

مَت�ُذ�بُذبة

Page 8: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

8

Page 9: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

9

x 1/x10 0.1

100 0.011000 0.001

10000 0.0001100000 0.00001

1000000 0.00000110- 0.1-

100- 0.01-1000- 0.001-

10000- 0.0001-100000- 0.00001-

1000000- 0.000001-

Page 10: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

10

Page 11: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

11

Page 12: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

12

.c lim)...(c lim (b)

.c lim)...(c lim (a)

then ,0 if , as spolynomial of Limits

011

1

011

1

nn

x

nn

nn

x

nn

x

nn

nn

x

n

xcxcxcx

xcxcxcx

cx

)9247( lim : Example 35

xxxx

even isk and 0 if

odd isk and 0 if

even isk and 0 if

odd isk and 0 if

lim

0 if

0 if lim

c

c

c

c

cx

c

ccx

k

x

k

x

)9247( lim : Example 35

xxxx

57 lim xx

57 lim xx

Page 13: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

13

Page 14: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

14

Page 15: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

15

A QUICK METHOD FOR FINDING LIMITS OF RATIONAL FUNCTIONS AS X→+∞ OR X -∞ →

.lim...

...lim

)(

)(lim)(lim

then, ...

...

)(

)()(

such that functions polynomial be q(x)andp(x)Let

011

1

011

1

011

1

011

1

nn

mm

xnn

nn

mm

mm

xxx

nn

nn

mm

mm

xb

xa

bxbxbxb

axaxaxa

xq

xpxf

bxbxbxb

axaxaxa

xq

xpxf

.nm if,limlimlim)(

)(lim)(lim (b)

n.m if ,

nm if ,0lim

)(

)(lim)(lim (a)

nm

xn

mnm

n

m

xnn

mm

xxx

n

mnn

mm

xxx

xb

ax

b

a

xb

xa

xq

xpxf

b

axb

xa

xq

xpxf

.31

123lim (c),

86

53lim (b),

52

4lim (a)

limits following theCompute : Example23

3

2

x

xx

x

x

x

xxxxx

Page 16: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

16

.31

125 lim Find : Example

23

x

xxx

Page 17: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

17

The graph appears to approach the horizontal line y = 0, as x →+∞and as x →−∞. In this case, we call y = 0 a horizontal asymptote.

Page 18: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

18

Page 19: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

19

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

3

x

y

End of the section

Page 20: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

20

SECTION 1.5 LIMITS INVOLVING INFINITY; ASYMPTOTES

وخطوط النهاية ما المَتضمنة النهاياتالَتقارب

When this occurs, we say that the line x = 0 is a vertical asymptote.

we say that the line x = 5 is a vertical asymptote.

we say that the line x = -2 and x=3 are vertical asymptotes.

سهلة) نهايةمعادة(

Page 21: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

21

x sin(1/x)0.1 -0.54402111090.01 -0.50636564110.001 0.82687954050.0001 -0.30561438890.00001 0.03574879800.000001 -0.34999350220.0000001 0.42054779320.00000001 0.9316390271

-0.1 0.5440211109-0.01 0.5063656411-0.001 -0.8268795405-0.0001 0.3056143889-0.00001 -0.0357487980-0.000001 0.3499935022-0.0000001 -0.4205477932-0.00000001 -0.9316390271

x sin(1/x)0.1 -0.54402111090.01 -0.50636564110.001 0.82687954050.0001 -0.30561438890.00001 0.03574879800.000001 -0.34999350220.0000001 0.42054779320.00000001 0.9316390271

-0.1 0.54402111090.01- 0.5063656411-0.001 -0.82687954050.0001- 0.30561438890.00001- -0.03574879800.000001- 0.34999350220.0000001- -0.42054779320.00000001- 0.9316390271-

Page 22: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

22

Page 23: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

23

Page 24: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

24

Page 25: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

25

Page 26: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

26

Page 27: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

27

Page 28: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

28

Page 29: Section 2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity النهايات أحادية الجانب والنهايات عند ما لا نهاية 1.

29