INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS. INGENIERÍA MECATRÓNICA. “RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA FRECUENCIA DE EXCITACIÓN ARMÓNICA”. Materia: Análisis de Vibraciones. Profesor. Luis Carlos Rincón Ruíz. Integrantes del Equipo: Ulisses Alberto Heredia Rivera. Carlos Flores Perales. Oliver de Jesús Martínez Delgadillo. David Mondragón Aguilar. Erick Elver Chávez Leal.
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS.
INGENIERÍA MECATRÓNICA.
“RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA
FRECUENCIA DE EXCITACIÓN ARMÓNICA”.
Materia: Análisis de Vibraciones.
Profesor. Luis Carlos Rincón Ruíz.
Integrantes del Equipo:
Ulisses Alberto Heredia Rivera. Carlos Flores Perales. Oliver de Jesús Martínez Delgadillo. David Mondragón Aguilar. Erick Elver Chávez Leal.
Septiembre 2012 H.Matamoros.Tam
2.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELMENTO RESORTE.
2.1.1. DEFINICIÓN DE RESORTE.
Un resorte es un enlace flexible mecánica entre dos partículas en un sistema
mecánico. En realidadun resorte en sí es un sistema continuo. Sin embargo, la
inercia del resorte es generalmente pequeñaen comparación con los otros
elementos del sistema mecánico y es despreciada. Bajo este supuestola fuerza
aplicada a cada extremo del resorte es la misma.
La longitud de un resorte cuando no está sujeto a fuerzas externas que le llama
longitud sin estirar. Puesto que el resorte está hecho de un material flexible, la
fuerza F que se debe de aplicar aal resorte para cambiar su longitud en x es una
función continua de x,
f ( x )=kx2.1
2.1.2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELEMENTO RESORTE.
Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. En este
curso se adopta como ecuaciones constitutivas las más simples en las que la
fuerzas actuantes (normal, flexión, corte, torsión) varían proporcionalmente con la
deformación correspondiente. Los coeficientes de proporcionalidad son los
módulos de elasticidad longitudinal E (módulo de Young) para las tensiones
axiales asociadas al esfuerzo normal y la flexión y el módulo de elasticidad
transversal G para las tensiones de corte asociadas al esfuerzo de corte y la
torsión, juntamente con coeficientes que caracterizan geométricamente a la
sección. Las expresiones que resultan son las siguientes:
Las ecuaciones en la última columna de la Tabla 1.1 son lineales. Ejemplos de
ecuaciones constitutivas no lineales son las correspondientes al endurecimiento
(el módulo E aumenta con la deformación), ablandamiento (el módulo E disminuye
con la deformación) o comportamiento plástico.
2.1.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.
La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo
ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se
establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre
el mismo con el alargamiento/contracción o elongación x producida, del siguiente
modo:
siendo
Donde k es la constante elástica del resorte, x la elongación (alargamiento
producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el
módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del
material).
La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al
estiramiento o acortamiento un muelle lineal viene dada por la integración de
trabajo realizado en cada cambio infinitesimal de su longitud:
Si el muelle no es lineal entonces la rigidez del muelle es dependiente de su
deformación y en ese caso se tiene una formula algo más general:
2.1.4. ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ECUACIÓN DE ONDAS.
Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la
longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle.
Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o k intrínseca, se
tiene:
donde
Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada a una
distancia de uno de sus extremos, que consideraremos fijo y que tomaremos
como origen de coordenadas, a la constante de un pequeño trozo de muelle
de longitud , a la misma distancia y al alargamiento de ese pequeño trozo
en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:
Tomando el límite:
que por el principio de superposición resulta:
Si además suponemos que tanto la sección como el módulo de elasticidad pueden
variar con la distancia al origen, la ecuación queda:
Que es la ecuación diferencial completa del muelle. Si se integra para todo x, se
obtiene como resultado el valor del alargamiento unitario total. Normalmente
puede considerarse F (x) constante e igual a la fuerza total aplicada. Cuando F (x)
no es constante y se incluye en el razonamiento la inercia de éste, se llega a
la ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios.
Supongamos, por simplicidad, que tanto la sección del resorte, como su densidad
(entendiendo densidad como la masa de un tramo de muelle dividida por el
volumen del cilindro imaginario envolvente) y su módulo de elasticidad son
constantes a lo largo del mismo y que el resorte es cilíndrico. Llamemos al
desplazamiento de una sección de muelle. Ahora tomemos un tramo diferencial de
muelle de longitud (dx). La masa de esa porción vendrá dada por:
Aplicando la segunda ley de Newton a ese tramo:
Es decir:
Por otro lado es sencillo deducir que
Al introducir, por tanto, esta expresión en la ecuación diferencial del muelle antes
deducida, se llega a:
Derivando esta expresión respecto a x se obtiene:
Juntando la expresión temporal con la expresión espacial se deduce finalmente la
ecuación general de un muelle cilíndrico de sección, densidad y elasticidad
constantes, que coincide exactamente con la ecuación de onda longitudinal:
De la que se deduce la velocidad de propagación de perturbaciones en un muelle
ideal como:
2.1.5. MUELLE CON UNA MASA SUSPENDIDA.
Para el caso de un muelle con una masa suspendida,
Cuya solución es , es decir, la masa realiza un movimiento
armónico simple de amplitud y frecuencia angular . Derivando y sustituyendo:
Simplificando:
Esta ecuación relaciona la frecuencia natural con la rigidez del muelle y la masa
suspendida
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de
Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se
relaciona la fuerza ejercida sobre el resorte con la elongación o
alargamiento producido:
donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación
que experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al
estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de
su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte
independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial
constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al
producto o intrínseca, se tiene:
Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x
de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, a la
constante de un pequeño trozo de muelle de longitud a la misma distancia
y al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la
fuerza . Por la ley del muelle completo:
Tomando el límite:
que por el principio de superposición resulta:
Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo , se obtiene
como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios
(Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un
resorte se calcula como:
2.1.6. RESORTE DE EMBOBINADO HELICODAL.
El muelle helicoidal se utiliza en aplicaciones tales como máquinas industriales y
sistemas de suspensión de vehículos. Considere un muelle fabricado a partir de
una varilla de sección transversal circular dediámetro D. El módulo de
cizallamiento de la varilla es G. La varilla está formada en una bobina de N
vueltasde radio r. Se supone que el radio de la bobina es mucho mayor que el
radio de la varilla yque la normal al plano de una bobina casi coincide con el eje
del muelle.
Considere un resorte con embobinado helicoidal sujeto a una carga axial F.
Imagine el un corte arbitrario en el embobinado, dividiendo al resorte en dos
secciones .El corte expone una fuerza cortante interna F y una resistencia interna
al torque Fr, como se ilustra a continuación. Asumiendo el comportamiento
elástico, el esfuerzo cortante debido a la resistencia al torque varía linealmente
con la distancia del centro de la varilla a un máximo de:
τ max=FrD2J
=16 Frπ D3
Los principios de mecánica de materiales pueden ser usados para demostrar que
el desplazamiento total en el resorte debido a la fuerza F aplicada es:
x=64 Fr3 N
GD 4
2.1.7. DEFLEXIÓN ESTÁTICA.
Cuando un sistema no está estirado cuando un sistema esta en equilibro, el
resorte tiene una deflexión estática.
2.2. Análisis de Sistemas con Amortiguamiento.
El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para
disipar energía cinética en otro tipo de energía. Típicamente los amortiguados
disipan la energía cinética enenergía térmica y/o en energía plástica (e.g.
atenuador de impactos).
El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las Vibraciones,
fundamental en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y
análisis de sistemas vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores,
maquinaria rotativa, turbinas, automóviles, etc. Esto va encaminado a la teoría de
que todo sistema vibratorio (regularmente sistemas mecánicos) tiene la capacidad
de disipar energía. Para el Control de Vibraciones e Impactos en maquinaria, se
utiliza el concepto de amortiguamiento como una técnica para disipar energía del
sistema, manipulando así la amplitud de vibración en el sistema y otros
parámetros de estudio.
Existen formas de disipación de energía (conocidas también como mecanismos de
amortiguamiento) en los sistemas vibratorios las cuales producen el fin de los
movimientos oscilatorios de dichos sistemas. Durante el amortiguamiento la
energía del sistema vibratorio es disipada como fricción, calor o sonido. Los
mecanismos de amortiguamiento existen de varias formas, por ejemplo:
• Amortiguamiento de Coulomb o de fricción seca.- En este caso la fuerza
• Amortiguadora la fuerza es constante.
• Amortiguamiento sólido o de histéresis.- Este es causado por la fricción
interna de
• Un sólido al oponerse a entrar en vibración.
• Amortiguamiento turbulento.- En este caso la fuerza de amortiguamiento es
• Proporcional al cuadrado de la velocidad promedio.
• Amortiguamiento en fluido viscoso.- En este caso la fuerza de
amortiguamiento es proporcional a la velocidad.
2.2.1. Amortiguamiento viscoso.
Existen modelos de amortiguamiento ideal que se adaptan bien a ciertos casos
particulares. Uno de ellos es el que permite el tratamiento matemático más simple
y se basa en la hipótesis de que la fuerza del amortiguador es proporcional a la
velocidad. Se suele llamar amortiguamiento viscoso.