RX COMMUTATION

8/7/2019 RX COMMUTATION

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EVALUATION DE PERFORMANCES

ET

APPLICATIONS AUX RESEAUX

SECONDE PARTIE

Reseaux a commutation de circuits

Olivier Brun - Urtzi Ayesta


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TABLE DES MATIERES TABLE DES MATI ERES

TABLE DES MATIERES

1 Reseaux a commutation de circuits telephoniques 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Architecture des reseaux telephoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Le reseau de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Le reseau de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Le reseau de commutation francais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Le coeur de reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Le reseau dacces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Acheminement des appels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Le partage de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Le debordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Organisation de ce document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Etude du trafic dans un faisceau 12

2.1 Le modele dErlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1 Probabilite de blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Trac ecoule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 Variance du trac ecoule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Modelisation du partage de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Modelisation du debordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Probabilites de blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Tracs ecoules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Variance des tracs ecoules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Reseaux a routage independant de letat 22

3.1 Les reseaux a monoroutage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Reseaux a partage de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Evaluation de Performances et Applications aux Reseaux 1 / 50


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TABLE DES MATIERES TABLE DES MATI ERES

3.3 Limites de la forme produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Approximation dindependance des probabilites de blocage . . . . . . 28

3.4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 La methode du point xe dErlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Methode du faisceau equivalent de Wilkinson 324.1 Methode pour les tracs survariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Methode pour les tracs sousvariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Generalisation de la theorie du faisceau equivalent . . . . . . . . . . . 39

5 Theorie differentielle du trafic 40

5.1 Le cas dun faisceau de circuits isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Reseau avec monoroutage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Les commandes de routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3.1 Le partage de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3.2 Le debordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.3 Combinaisons de partage de charge et de debordement . . . . 48

5.4 Resolution du Modele Differentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.1 Resolution par integration numerique . . . . . . . . . . . . . 495.4.2 Resolution par point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50



4/51

TABLE DES FIGURES TABLE DES FIGURES

TABLE DES FIGURES

1.1 Le reseau de transit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Le reseau local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Architecture hierarchique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Commandes dacheminement des appels. . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Allure du trac dans un faisceau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Processus de naissances et de morts du modele dErlang. . . . . . . . 14

2.3 Fonction dErlang-B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Trac ecoule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Variance/Moyenne du nombre de circuits occupes. . . . . . . . . . . 17

2.6 Acheminement par partage de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Acheminement par debordement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.8 Graphe des transitions dune structure de debordement. . . . . . . . . 19

3.1 Application de la forme produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Reseau utilisant le partage de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Approximation dindependance des probabilites de blocage. . . . . . 28

4.1 Debordement hierarchique: le faisceau AX recoit du trac direct et tous

les tracs debordes par les faisceaux AB, AC et AD.. . . . . . . . . . 33

4.2 Debordement hierarchique de I faisceaux sur le faisceau de secondchoix 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Faisceau equivalent debordant un trac de moyenne Z et de varianceV z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Les faisceaux 1,2, . . . , i , . . . , I recoiventdu trac poissonien qui se me-langent sur le lien 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5 Faisceau equivalent pour les tracs sousvariants. . . . . . . . . . . . 38

4.6 Faisceau equivalent pour les tracs sousvariants. . . . . . . . . . . . 38

4.7 Exemple dapplication de la methode de Wilkinson. . . . . . . . . . 39



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TABLE DES FIGURES TABLE DES FIGURES

5.1 Exemple de reseau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Partage de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Exemple de partage de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 Debordement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5 Exemple de debordement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.6 Exemple de combinaison de partage de charge et de debordement. . . 48



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Introduction

CHAPITRE 1

Reseaux a commutation de

circuits telephoniques

1.1 Introduction

La principale caracteristique des reseaux telephoniques est detre des reseaux a

commutation de circuits. Ainsi, lorsque un abonne decroche son combine et compose

le numero de son correspondant, le reseau etablit une connexion (un circuit) entre le

poste de lappelant et celui de lappele. Des ressources sont reservees tout le long du

chemin ainsi etabli. A la n de la communication, le reseau libere ces ressources.

Bien sur, aujourdhui le reseau telephoniqueoffre de nombreux services : voix ana-

logique (classique), voix numerique avec lISDN et transmission de donnees. Mais

dans tous ces cas, le chemin entre la source et la destination a du etre etabli avant le

debut de la communication proprement dite, et des ressources reservees le long de ce

chemin.

Par rapport a la commutation de paquets, utilisee dans lInternet par exemple,

lavantage de la commutation de circuits est evident: une fois le circuit etabli, la qua-

lite de la communication est garantie puisque des ressources lui sont speciquement

dediees. Linconvenient, cest que chaque organe du reseau dispose dune quantite de

ressources limitee et ne peut donc supporter quun nombre limite dappels simultanes.

A letablissement de lappel, il se peut donc que le reseau ne puisse etablir un circuit

entre lappelant et lappele et que donc lappel soit rejete. Le blocage des appels est

le phenomene essentiel dans les reseaux telephoniques: cest le taux de blocage des

appels qui denit la qualite de service rendue aux abonnes.

Pour quun appel ne soit jamais bloque, il faudrait dimensionner le reseau en pre-



7/51

Architecture des reseaux telephoniques

voyantsufsamment de ressources sur chaque equipement pour supporterle casou tous

les abonnes telephonent simultanement. Ce serait evidemment hors de cout, et surtout

inutile. En effet, les abonnes ne sont pas tous constamment en train de telephoner, leur

activite etant dailleurs tres variable suivant que lonconsidere des abonnesresidentiels

ou professionels. Les operateurs telephoniquesvont typiquement dimensionner leur re-

seau pour supporter les tracs prevus aux heures de pointe avec un taux de blocage de

lordre de 1%. Pour certains jours exceptionnels (31 decembre par exemple), ils vontviser des taux de blocage de quelquespourcents(5% parexemple)aux heuresde pointe.

Lobjectif de ce chapitre est de presenter brievement larchitecture generale des

reseaux telephoniques. Nous etudierons dans les chapitres suivants les techniques per-

mettant devaluer les performances dun reseau telephonique.

1.2 Architecture des reseaux telephoniques

Le reseau telephonique peut etre decompose en deux sous-reseaux principaux: le

reseau de transmission et le reseau de commutation.

1.2.1 Le reseau de transmission

Le reseau de transmission est lensemble des equipements (circuits coaxiaux, liens

electromagnetiques ou optiques, modulateurs, demodulateurs, amplicateurs, etc.) qui

permettent de transmettreun signal (( voix )) (de 300Hz a 3400Hz) dun terminal source

a un terminal destination.

Historiquement, dans les premiers reseaux telephoniques, des operatrices etablis-

saient pour chaque appel un chemin entre lappelant et lappele. Chacun des liens de

transmission physiques empruntes par ce chemin etaient alors dedies a cet appel.

En vue doptimiser lutilisation des ressources, le reseau telephonique utilise au-

jourdhui des techniques de multiplexage. En multiplexant, plusieurs appels peuvent

etre achemines par un meme lien:

Time Division Multiplexing (TDM) : Il sagit du multiplexage temporel. Une

trame temporelle (slot) est impartie a chaque appel. Ainsi, plusieurs signaux

(( voix )) (auparavant numerises) de differents abonnes, partagent une seule et

meme ressource de transmission.

Frequency Division Multiplexing (FDM): Il sagit du multiplexage frequentiel.

La bande passante du lien est divisee en canaux telephoniques (4 kHz). Les ca-

naux de (( voix )) entrants sont modules dans ces canaux au travers dune tech-

nique de modulation damplitude.

Que lon utilise une technique de multiplexage TDM ou FDM, il et clair que le

nombre dappels simultanes pouvant etre etablis sur un lien reste limite. La capacite N

dun lien correspond ainsi au nombre maximal de circuits pouvant etre etablis simul-tanement sur ce lien. En telephonie, un lien de communication est souvent appele un



8/51

Le reseau de commutation francais Le r eseau de commutation

faisceau de circuits.

1.2.2 Le reseau de commutation

Le reseau de transmission interconnecte les terminaux a des commutateurs et ces

commutateurs entre eux. En effet, dans la pratique, il serait hors de cout de relier direc-tement par un support de transmission chaque zone geographiquedesservie aux autres.

Le reseau de commutation, interconnectant les points de commutationentre eux, a donc

pour fonction principale dacheminer les appels dune zone a une autre. Les commu-

tateurs ont ainsi remplaces les operatrices qui etablissaient le circuit dans les premiers

reseaux telephoniques.

Le routage utilise une partie du reseau de transmission comme lien entre les centres

de commutation. Il denit le chemin pour le trac qui ne peut pas atteindre directement

sa destination.

1.3 Le reseau de commutation francais

Le reseau telephoniquefrancais, comme tous les reseaux des operateurs historiques

des grands pays occidentaux, est base sur une structure hierarchique.Cette architecture

peut etre subdivisee en 2 niveaux: le cour de reseau, contenant les commutateurs et

le reseau de signalisation, et le reseau dacces, qui correspond aux derniers kilometres

(last mile).

1.3.1 Le coeur de reseau

Le coeur de reseau est organise hierarchiquement en un reseau de transit et un

reseau local.

le reseau de transit : Cest un reseau de commutation de TE (Tandem Exchange).

Selon leur niveau hierarchique, ces commutateurs peuvent etre CTP (Centre de

Transit Primaire) utilises dans la communication entre differentes regions geo-

graphiques; ou CTS (Centre de Transit Secondaire), utilises dans la commu-

nication a linterieur de ces regions. A ce niveau, SDH (Synchronous Digital

Hierarchy) est utilise, avec des liens de 2 Mbit/s dans les reseaux regionaux ou

nationaux (cf. gure 1.1).

le reseau local: il sagit dun reseau de commutation de LE (Local Exchange).

Selon les conditions (nombre dabonnes) on installera un CAA (Centre a Au-

tonomie dAcheminement ou commutateur dabonnes) supportant jusqua 100

000 lignes telephoniques; ou bien un CL (Centre Local) qui lui peut supporter

4000 lignes. Les reseauxlocaux de CAA sont connectesauxCTS via des reseaux

metropolitains (cf. gure 1.2).

le reseau de signalisation: les commutateurs telephoniques utilisent le protocole

SS7 pour communiquer entre eux.



9/51

Le reseau de commutation francais Le r eseau dacces

CTP

CTS

FIG . 1.1 Le r eseau de transit

1.3.2 Le reseau dacces

Cest la partie qui se situe entre le centre local et le terminal de labonne (boucle

locale). Il existe plusieurs architectures selon les types de services: Les interfaces ((Z)),

pour les acces classiques (voix analogique, modem ou fax); ISDN T0 pour les 2B + D

acces numeriques; ISDN T2 pour les 30B + D acces numeriques.

Aujourdhui,certaines technologies comme lHFC(Hybrid FiberCopper) et lxDSL

(xDigital Subscriber Line) ont introduit de nouvelles methodes de communication au

niveau de la boucle locale. Un pont de voix (interface v5.2) assure la compatibilite, et

rend ces nouvelles techniques transparentes au RTC (Reseau TelephoniqueCommute).

Les reseaux mobiles GSM utilisent leurs propres infrastructures durant la phase

dacces, avec leurs propres techniques et technologies dacces. Mais une fois que le

signal est arrive au CCM (Centre de Commutation de Mobile), il est route a travers un

reseau de commutation identique aux reseaux xes. Du point de vue du modelisateur,

letude du reseau de commutation dun reseau GSM est donc identique a celle du re-

seau xe.

Le reseau peut donc etreanalyse commeun reseau hierarchique,avec les terminauxtelephoniquesau plus bas niveau de la hierarchieet des commutateursau-dessus deux,



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Acheminement des appels

vers CTS/CTP

CTS

CAA

CL

FIG . 1.2 Le r eseau local

tel que decrit sur la gure 1.3.

1.4 Acheminement des appels

Le terminal appelant et le terminal appelenetant pas relie directement, il est neces-

saire, a letablissement de lappel, de determiner un chemin entre les deux terminaux,

avant de reserver un circuit le long de ce chemin. Ce chemin va passer par un ou plu-

sieurs noeuds de commutation.

La fonction dacheminement des appels est distribuee. Les noeuds de commutation

disposent dune table de routage precisant, pour chaque destination (numeroappele ou

un prexe), la commande de routage a employer. Il existe deux grandes commandes de

routage: le partage de charge et le debordement.

1.4.1 Le partage de charge

Au niveau dun noeud de commutation, le partage de charge consiste a transmettre

une certaine proportion du ot dappels sur chaque faisceau sortant (la proportionpou-

vant etre nulle). Le principe est illustre sur la gure 1.4.(a).Ainsi, un appel (la signali-

sation en fait) arrivant au noeud i est transmis vers le noeud jk avec la probabilitei,jk .Si i,jk = 1, il ny a pas de partage de charge: tous les appels sont achemines sur lefaisceau (i,jk). Lappel ne pourra etre achemine que si le faisceau choisi dispose dun

circuit libre.



11/51

Organisation de ce document Le d ebordement

CTS

CAA

CL

CTP

FIG . 1.3 Architecture hierarchique

1.4.2 Le debordement

Le debordement est une technique de gestion largement employee dans les reseaux

telephoniques et qui consiste a utiliser plusieurs faisceaux dans un ordre determine

pour ecouler les appels. Si lon se limite a deux faisceaux, la technique consiste donc

a envoyer lappel par le faisceau de premier choix si celui-ci possede un circuit libre

et sinon par le faisceau de second choix. Les notations classiques pour representer un

debordement sont illustrees sur la gure 1.4.(b).Ainsi, lorsquun appel arrive au noeud

i, on teste dabord le faisceau (i,j). Sil dispose dun circuit, lappel est achemine sur

ce faisceau. Sinon, on teste le faisceau (i,k).

1.5 Organisation de ce document

Les chapitres suivants presentent les techniques permettant de modeliser un re-

seau a commutation de circuits pour estimer les taux de blocage des appels, le nombre

moyens de circuits et la probabilite de blocage de chaque equipement. Nous dirons

egalement un mot sur le dimensionnement des equipements.

Le chapitre 2 est consacre a la modelisation des systemes elementaires(les briques

de base) rencontres dans un reseau telephonique. On etudiera ainsi la modelisation

dun faisceau de circuits isole, la modelisation du partage de charge et la modelisation



12/51

Organisation de ce document

i

j1

j2

jN

.

.

i,j1

i,j2...

i,jN

Nk=1 i,jk = 1

i j

k

.

.

ijNij

Nik

(a) Partage de charge (b) Debordement

FIG . 1.4 Commandes dacheminement des appels.

du debordement dun faisceau primaire sur un faisceau secondaire.

Le chapitre 3 est consacre a la modelisation dun reseau telephonique.On etudiera

tout dabord la solution exacte de type forme produit dans le cas simple des reseauxa partage de charge (sans debordement).On etudiera egalement une approximation nu-

meriquement plus viable pour ce type de reseaux.

Les deux derniers chapitres presentent deux approches, la methode de Wilkinson et

la theorie differentielle du trac, permettant de traiter le cas plus complexe des reseaux

utilisant la technique de debordement.



13/51

Le modele dErlang

CHAPITRE 2

Etude du trac dans un faisceau

Nous etudions tout dabord le cas le plus simple dun faisceau de circuits de ca-

pacite N, puis nous considererons des situations simples de partage de charge et dedebordement.

2.1 Le modele dErlang

Ce modele repose sur les hypotheses suivantes :

Les appels arrivent suivant un processus de Poisson de taux. Le taux darrivee

des appels est donc independant du nombre dappels deja arrives et la source est

innie (pas de limite sur le nombre darrivees).

Laccessibilite au service du faisceau est totale: un appel entrant peut prendre

nimporte quel circuit libre.

La duree de communication suit une loi exponentielle negative de parametre .La duree moyenne est donc T = 1/.

un regime dequilibre statistique existe (regime permanent).

Les appels rejetes par le systeme, par manque de ressources ou blocage, ne sont

pas correles avec les appels entrants normalement. Ceci veut dire, quon ne tient

pas compte dans cette modelisation du phenomene de repetitions dappels qui

fait quun abonne ayant sa tentative de communication bloquee retente une com-

munication dans les secondes qui suivent. Ces appels repetes seront melanges

sans distinction dans le ot dappels frais du processus dentree.

Rappelons que:

lhypothese poissonnienne implique des durees inter-arrivees exponentiellement

distribuees, et par consequent que la probabilite davoir une arrivee pendant dtest dt, independamment du temps ecoule depuis la derniere arrivee.



14/51

Le modele dErlang Probabilit e de blocage

lhypothesede duree dappel exponentiellement distribuee signie que la proba-

bilite quun appel donne se termine durant dt est egale a dt independammentdu temps de communication deja ecoule.

Les durees des appels etant independantes entre elles, si k appels sont presentssur le faisceau, la probabilite quun de ces appels se termine durant dt est k d t,et la probabilite de plus dun depart est negligeable.

Lallure generale du trac dans ce faisceau est representee sur la gure 2.1. On

peut voir que le nombrede circuits occupes evolue aleatoirementau cours du temps, en

fonction des arrivees et des terminaisons dappels. Durant certaines periodes, le fais-

ceau peut etrevide, alors qua dautres moments il est sature (N appels presents). Dansce dernier cas, tout appel arrivant sera bloque et perdu. Lobjectif de ce paragraphe est

de repondre a trois questions elementaires: quelle est la probabilite de blocage dun

appel? En moyenne, combien de circuits sont occupes? Avec quelle variance?

temps

Nombredecircuits

FIG . 2.1 Allure du trafic dans un faisceau.

2.1.1 Probabilite de blocage

Notons Y = T. Cette quantite est appele le trac offert au faisceau. Cest un

nombre sans dimension dont lunite est lErlang. Notons de plus Pi la probabilite enregime stationnaire quil y ait i appels simultanement sur le faisceau.

On suppose des temps inter-arrivees et des durees dappel exponentiellement dis-

tribues. Par consequent, le nombre i dappels presents sur le faisceau est regi par unprocessus (markovien) de naissances et de morts, decrit sur la gure 2.2. Si le systeme

est dans letat k, le taux darrivee dappels estk = et le taux de depart est k = k .En termes de le dattente, on est en train de traiter le modele M/M/N/N.

On a vu de maniere generale que pour un processus de naissances et de morts, la

distribution stationnaire est donnee par Pi =i1

k=0k

k+1P0, ce qui donne:

Pi =

i1k=0

(k + 1) P0 =

Yi

i! P0



15/51

Le modele dErlang Probabilit e de blocage

. .0 1 2 . . . N 1 N

2

3

N

FIG . 2.2 Processus de naissances et de morts du modele dErlang.

La normalisation des probabilites P0, . . . , P N permet dobtenir le resultat suivant.

Theoreme 2.1 La distribution stationnaire du nombre dappels dans un faisceau de

capacit e N est:

Pi =Yi/i!N

k=0 Yk/k!

i = 0 . . . N (2.1)

En particulier, la probabilite de blocage du faisceau permet de retrouver la formule

dErlang-B bien connue en telephonie [?].

PN = E(N,Y) =YN/N!Nk=0 Y

k/k!(2.2)

E(N,Y) est la probabilite de blocage dun faisceau de N circuits ayant un tracoffert Y. Cest aussi la probabilite de rejet dun appel, cest a dire la probabilite quunetentative dappel echoue par manque de ressources (lorsque tous les circuits sont occu-

pes). On peut montrer quen fait la probabilite de blocage ne depend de la distribution

de la duree des appels quau travers de sa moyenne.

La fonction dErlang-B E(N,Y) est une fonction non lineaire, tracee sur la gure2.3 en fonction du trac offert Y pour differentes valeurs de N. Si on considere parexemple le faisceau ayant N = 20 circuits, on peut voir que le blocage des appelsse produit bien avant que le trac offert natteigne 20 Erlangs. En fait, pour Y = 20

Erlangs, on a deja 16% des appels entrants qui sont rejetes. Ceci est du a la variabilitedes temps inter-arrivees et des durees de communication.

Si on desire une qualite de service (appelee aussi efcacite du faisceau) de 99%,

on choisira la capacite N pour avoir une probabilite de blocage de 1%. Une techniquepermettant de determiner le nombre de circuits necessaire pour atteindre ce niveau de

service consiste a appliquer la reccurence suivante (demontrer la!),

1

E(N,Y)=

N

Y

1

E(N 1,Y)+ 1

tant que 100 > 1/E(N,Y) en partant de N = 0 (E(0,Y) = 1). On obtient ainsi laplus petite valeur de N telle que E(N,Y) < 1%. Dans le cas dun trac offert de 20Erlangs, il faut en fait 30 circuits!



16/51

Le modele dErlang Tra c ecoule

0

0.1

0.2

0.30.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 20 40 60 80 100

E

(N,Y)

Y

Fonction dErlangB

N=20 N=31 N=45 N=62

FIG . 2.3 Fonction dErlang-B.

2.1.2 Trafic ecoule

Lautre quantite a laquelle on sinteresse correspond au nombre moyen X de cir-cuits occupes en regime permanent, appele le trac ecoule. Par denition,

X =

Nk=1

k Pk (2.3)

On a ainsi,

X =Nk=1

kYk

k!P0 = Y

Nk=1

Yk1

(k 1)!P0 = Y

N1k=0

Pk = Y [1 PN]

On a donc le theoreme fondamental suivant.

Theoreme 2.2 En r egime stationnaire, le nombre moyen dappels dans un faisceau de

capacit e N est:

X = Y [1E(N,Y)] soit X = Y Z avec Z = Y E(N,Y) (2.4)

Le trac ecoule (nombre moyen de circuits occupes) correspond donc au trac of-

fert Y multiplie par la probabilite de non-blocage (1 E(N,Y)). En dautres termes,le trac ecoule est donne par le trac offert Y moins le trac perdu Z. On peut aussidire que le trac offert Y correspond au trac qui serait ecoule si le faisceau etait decapacite innie.

La gure 2.4 represente le trac ecoule en fonction du trac offert pour differentes

valeurs de la capacite. On peut constater que pour que le trac ecoule atteigne la capa-

cite, il faut un tra

c offert tres grand (theoriquement in

ni).



17/51

Le modele dErlang Variance du tra c ecoule

0

10

20

30

40

50

60

70

0 20 40 60 80 100Y

Trafic Ecoule

N=20 N=31 N=45 N=62

X=YY*E(N,Y)

FIG . 2.4 Trafic ecoul e.

2.1.3 Variance du trafic ecoule

Le nombre de circuits occupes evolue dans le temps autour de cette moyenne. Avecquelle variabilite?

Theoreme 2.3 La variance du nombre de circuits occup es dans un faisceau de capa-

cit e N est:

VX = X+ Y XN(YX)X2 (2.5)

Par denition, la variance du nombre de circuits occupes est,

VX =Nk=0

k2 Pk X2 (2.6)

En developpant, on remarque que,

Nk=0

k2 Pk = Y

N1k=0

Pk +

N1k=1

k Pk

= Y [1 PN + XN PN]

Avec les identites Y = X(1 PN) et Y PN = Y X, on obtient:

VX = X+ Y XN(YX)X2 = X (XN) (X Y)

On sait que le trac ecoule X est toujours plus petit que le nombre de circuits :X N. On sait dautre part que le trac ecoule est toujours plus petit que le tracoffert : X Y. On a donc (X N) (X Y) 0. Ceci conduit aux conclusionssuivantes :

Le trafic ecoul e est sous-variant: VX X; en anglais on parle de smoothtraffic,



18/51

Modelisation du partage de charge

Le phenomene de blocage ecrete le trac, le lisse et le rend plus regulier que le

trac offert Y qui est poissonien,

Le trac nest plus poissonien (a cause dublocage) des la traversee dun faisceau.

Il sera proche dun trac poissonien si X Y, cest a dire si E(N,Y) 0.

Si le trac ecoule par un premier faisceau est offert a un second faisceau, en

toute rigueur on ne pourra pas etudier le trac dans le second faisceau comme

nous lavons fait pour le premier faisceau. En effet, son trac offert ne sera pas

poissonien mais sous-variant. Cette approximation pourra toutefois etre faite, et

conduira a des resultats corrects, dans le cas ou les probabilites de blocage sont

tres petites.

La gure 2.5 represente le rapport VX/X en fonction du trac offert Y pour diffe-rentes valeurs de la capacite N. On peut constater que la propriete VX = X, caracte-ristique dun trac poissonien, nest veriee que quand Y


19/51

Modelisation du debordement

0

1

2

.

.

1

.

FIG . 2.6 Acheminement par partage de charge.

Par consequent, les resultats etablis dans les paragraphes precedents se generalisent

immediatement:

PN0i = E(N0i,Y0i) i = 1,2

X0i = Y0i [1 E(N0i,Y0i)] i = 1,2

VX0i = X0i + Y0i X0i N0i (Y0i X0i)X20i i = 1,2

2.3 Modelisation du debordement

On considere une situation dacheminement par debordement comme illustre sur

la gure 2.7. Le noeud 0 recoit un trac offert poissonien Y = T. Les appels sontachemines en premier choix sur le faisceau (0,1), de capacite N. Si les N circuits dupremier faisceau sont occupes, lappel est achemine sur le second faisceau (0,2) decapacite S, a condition que ce dernier ait un faisceau libre.

0 1

2

.

.

N

S

FIG . 2.7 Acheminement par d ebordement.

On notera Pn,s la probabilite que n circuits soient occupes sur le premier faisceauet que s circuits soient occupes sur le second faisceau. Comme precedemment, le sys-teme est markovien, avec un diagramme de transition decrit sur la gure 2.8 (avec la

notation j = j ).



20/51

Modelisation du debordement Probabilit es de blocage

0,0 1,0

0,1 1,1

n-1,s-1 n,s-1 n+1,s-1

n-1,s n,s n+1,s

n-1,s+1 n,s+1 n+1,s+1

N,s-1

N,s

N,s+1

. . .

. . .

. . .

N,S-1

N,S

N-1,S-1

N-1,S

. . .

. . .

. . . N,0

...

.... . .

...

1

1

1

1

n+1n

n+1n

n+1n

s s s

s+1 s+1 s+1

s

s+1

S

N

N

S

.

.

FIG . 2.8 Graphe des transitions dune structure de d ebordement.

En construisant la matrice de taux de transitions Q et en resolvant le systeme aletat stationnaire, Q P = 0, on aboutit au systeme dequations suivant:

P0,0Y P0,1 P1,0 = 0(Y + n + s) Pn,s Y Pn1,s (n + 1) Pn+1,s (s + 1) Pn,s+1 = 0

(Y + N + s) PN,s Y PN1,s Y PN,s1 (s + 1) PN,s+1 = 0

(N + S) PN,S Y PN1,S Y PN,S1 = 0

Nous ne detaillons pas la resolution de ce systeme mais donnons les principaux

resultats ci-dessous.

2.3.1 Probabilites de blocage

Notons:

Pn,. =

Ss=0

Pn,s et P.,s =

Nn=0

Pn,s



21/51

Modelisation du debordement Tra cs ecoules

La probabilite de blocage du premier faisceau est donnee par,

PN,. = E(N,Y)

La probabilite de blocage de lensemble des deux faisceaux est donnee par,

PN,S = E(N + S,Y)Autrement dit, malgre son utilisation specique des ressources, le systeme se com-

porte comme un faisceau equivalent de capacite N + S.

Attention, on a P.,S = E(S,Z) ou Z = Y E(N,Y) est le trac bloque par lepremier faisceau et offert au second. En effet, comme on va le voir, le trac offert au

faisceau de debordement nest plus poissonien.

2.3.2 Trafics ecoules

Les resultats sont les suivants:

XN = Y [1 E(N,Y)]XN+S = Y [1 E(N + S,Y)]

XS = XN+S XN = Y [E(N,Y)E(N + S,Y)]

Le trac ecoule par le premier faisceau est celui qui serait ecoule par un faisceau

isole. Le trac ecoule par lensemble des deux faisceaux est celui qui serait ecoule

par un faisceau equivalent de capacite N + S. Le trac ecoule par le second faisceaucorrespond a la difference des deux, cest a dire le trac perdu par le premier faisceau

moins le trac qui serait perdu par un faisceau de capacite N + S.

2.3.3 Variance des trafics ecoules

Pour caracteriser le trac debordantdu premier faisceau, on fait commesi le second

faisceau avait une capacite S = . La moyenne du trac de debordement est,

Z =s=0

s P.,s = Y E(N,Y)

comme prevu. Sa variance est donnee par,

VZ =s=0

s2 P.,s Z2

Apres des calculs un peu lourds, on trouve,

VZ = Z

1 Z+ YN + 1XN



22/51

Modelisation du debordement Variance des tra cs ecoules

On peut montrer que VZ/Z > 1. Autrement dit, le trac de debordement nest pluspoissonien : il est survariant. Ceci se comprend aisement, le processus darrivee dans le

faisceau de debordement etant interrompu des quedescircuits se liberent sur le premier

faisceau.

La variance du trac ecoule par le faisceau de second choix est donnee par,

VS = XS

1XS +

Y

N + 1 Z

SY [1 E(N + S,Y)]

Suivant les cas, on pourra avoir VS/XS > 1 ou VS/XS 1. En effet, si le blocagesur le second faisceau est faible, le trac restera survariant. Par contre, si ce faisceau

est souvent sature, cela lissera le trac qui deviendra alors sous-variant.



23/51

CHAPITRE 3. R ESEAUXA ROUTAGE INDEPENDANT DE LETAT

CHAPITRE 3

Reseaux a routage independant de

letat

On cherche a modeliser la QoS (Quality of Service) des ux dappels dans les re-

seaux telephoniques doperateurs; quil sagisse de reseaux xes ou mobiles. Dans ce

dernier cas on ne sinteresse pas a la partie radio entre le poste GSM appelant ou appele

mais a la partie xe qui vehicule lappel dans tous les cas. La QoS reete la probabilite

de blocage de bout en bout des ux de trac (probabilite de blocage). On parle souvent

en telephonie de GoS (Grade of Service) a la place de QoS.

Lacheminement, souvent complexe dans un reseau reel va creer de multiples che-

min pour un ux et un couplage extremement complexe entre les differents ux et les

differentes ressources utilisees. Ce couplage conduit a des processus qui ne sont plus

Poissoniens sur les faisceaux avec pour consequence une difculte theorique a estimer

le trac ecoule par les faisceaux, les probabilites de blocage et surtout la QoS des ux.

Avec les hypotheses classiques de lois darrivee et de service exponentielles (va-

lables pour des grands reseaux), une description rigoureuse de letat dun reseau a

commutation de circuits est donnee par une chane de Markov. Bien que de telles hy-

potheses soient bien veriees en pratique, une telle modelisation ne peut malheureuse-

ment pas etre utilisee a cause du nombre detats quil est necessaire de considerer dans

un reseau reel.

Un cas toutefois semblerait interessant: lorsque la commande ne depend pas de

letat, cest a dire le cas dun reseau ou tous les ux sont routes par partage de charge.

On va voir dans ce chapitre que lanalyse de ce type de reseaux est beaucoup plus

simple et quil est possible dobtenir des resultats theoriques et des methodes nume-

riques efcaces dans ce cas. Les chapitres suivants traiteront de reseaux telephoniques



24/51

Les reseaux a monoroutage

plus realistesutilisant des techniques dacheminement complexes, combinant differents

types de debordement et du partage de charge.

Ce chapitre considere donc le cas des reseaux a partage de charge pour lesquels

une solution du type forme produit existe. Cette solution theorique netant pas numeri-

quement calculable, on montre quen utilisant une approximation dindependance des

probabilites de blocage, une technnique de point xe peut etre utilisee pour calculer ladistribution stationnaire.

3.1 Les reseaux a monoroutage

On considere ici un reseau constitue de J liens de communication, indices j =1,2, . . . , J . Le lien j a une capacite de Cj circuits. Ce reseau achemine des appels tele-phoniques. On suppose quen fonctionde son origine et de sa destination, chaque appel

peut etre achemine sur une seule route r. Notons R lensemble des routes que peuventprendre les appels dans le reseau. On denit de plus la matrice A = [a i,j ]jJ,rR dela facon suivante:

ajr =

1 si j r0 sinon

Autrement dit, ajr = 1 si la route r passe par le lien j. Quand un appel arrive surla route r on sait ainsi que ajr circuits sont reserves sur le lien j: soit 0 si j r, soit 1sinon.

On suppose que les appels arrivent sur chaque route r suivant un processus de Pois-son de taux r . Les arrivees dappels sur chaque route sont independants. Un appel

arrivant sur la route r est bloque et perdu si au moins sur un des liens j = 1, . . . , J il ya moisn de ajr circuits. Si lappel est admis, il a une duree aleatoire exponentiellementdistribuee de moyenne 1/ (independante des dates darrivees des autres appels et deleurs durees). Durant cette periode, ajr circuits sont reserves pour cet appel sur chaquelien j.

Soit nr(t) le nombre dappels en cours au temps t sur la route r. Denissons lesvecteurs n(t) = [nr(t)]rR et C = [C1,C2, . . . , C J].

Le processus stochastique (n(t))t0 est une chane de Markov a temps continu etdont lespace detats discret Sest deni par,

S(C) =

n ZZR+ | A n C

La condition A n Cest en fait equivalente a,

rR

ajr nr Cj j = 1, . . . , J



25/51

Les reseaux a monoroutage Exemple

La chane de Markov (n(t))t0 admet une distribution stationnaire unique (n) =P [n(t) = n] qui est solution des equations dequilibre global suivantes,

(n) Yr = (n + er) (nr + 1) n,nr S(C)

ou Yr = r/ est le trac offert et er = [0,0, . . . ,1,0, . . .] (le 1 est en position r)est le vecteur canonique decrivant un appel en cours sur la route

r.

La resolution de ces equations conduit a la solution suivante,

(n) =1

G(C)

rR

Ynrrnr!

n S(C)

ou G(C) est la constante de normalisation,

G(C) =

nS(C)

rR

Ynrrnr!

Cette solution particulierement simple est du type forme produit: la probabilite

(non normalisee) davoirnr

appels sur la router

est donnee parY

nr

r /nr!et la proba-

bilite de letat (nr1,nr2,ldots) est le produit de ces probabilites individuelles.

La probabilite de blocage Lr des appels achemines sur la route r est obtenue par laformule suivante:

1 Lr =

nS(CAer)

(n) =G(CAer)

G(C)

3.1.1 Exemple

Pour illustrer les resultats precedents, considerons lexemple de la gure 3.1. Il y a

3 ots dappels: le premier de 1 vers 3 de trac offert Y13 = 0.1, le second de 1 vers 2

de trac offert Y12 = 1.0 et le dernier de 2 vers 3 de trac offert Y23 = 0.7. Les liens(1,2) et (2,3) ont la meme capacite: 2 circuits.

1 2 3

Y12

Y13

Y23

FIG . 3.1 Application de la forme produit.

Les appels du ot 1 3 prennent la route r1 = (1,2,3). Ceux du ot 1 2

prennent la route r2 = (1,2), et ceux du ot 2 3 prennent la route r3 = (2,3). Letat



26/51

Les reseaux a monoroutage Exemple

du systeme est donc decrit par le vecteur [n1,n2,n3] precisant le nombre dappels encours sur chaque route. Les contraintes sur n1, n2 et n3 sont les suivantes:

n1 + n2 2

n1 + n3 2

La premiere contrainte exprime que le nombre dappels sur le lien (1,2), des ots1 3 et 1 2, doit etre inferieur ou egal a la capacite 2 de ce lien. De meme pour lelien (1,3) qui achemine des appels des ots 1 3 et 2 3.

Lenumeration des etats possibles montre quil y a en fait 14 etats respectant les

contraintes. On commence par calculer les probabilites non normalises q(n 1,n2,n3) dela facon suivante:

q(n1,n2,n3) =Yn113n1!

Yn212n2!

Yn323n3!

On obtient le resultat suivant :

q(0,0,0) = 1 q(0,0,1) = 0.7 q(0,0,2) = 0.245 q(0,1,0) = 1q(0,1,1) = 0.7 q(0,1,2) = 0.245 q(0,2,0) = 0.5 q(0,2,1) = 0.35q(0,2,2) = 0.1225 q(1,0,0) = 0.1 q(1,0,1) = 0.07 q(1,1,0) = 0.1q(1,1,1) = 0.07 q(2,0,0) = 0.005

Le terme normalisateur G est donne par,

G =

n1 + n2 2n1 + n3 2

q(n1,n2,n3)

Le calcul de ce terme donne G = 5.2075. On en deduit la probabilite individuellede chaque etat:

(0,0,0) = 0.192 (0,0,1) = 0.134 (0,0,2) = 0.047 (0,1,0) = 0.192(0,1,1) = 0.134 (0,1,2) = 0.047 (0,2,0) = 0.096 (0,2,1) = 0.067(0,2,2) = 0.023 (1,0,0) = 0.019 (1,0,1) = 0.013 (1,1,0) = 0.019(1,1,1) = 0.013 (2,0,0) = 0.001

La probabilite de non blocage du ot dappels 1 3 est obtenue en sommant surles etats tels que n1 + n2 < 2 et n1 + n3 < 2, soit,

1 L1 = (0,0,0) + (0,0,1) + (0,1,0)

+(0,1,1) + (1,0,0)

, ce qui donne L1 = 36.58 %. De la meme facon, on obtient un taux de blocage des

ux 1 2 et 2 3 egaux respectivement a 22.04 % et 14.55 %.



27/51

Reseaux a partage de charge

3.2 Reseaux a partage de charge

Les resultats precedents setendent immediatement au cas des reseaux utilisant du

partage de charge. En effet, le routage par partage de charge est independant de letat

du reseau. Il suft donc danalyser lensemble des routes pour chaque trac, le trac

sur chaque route restant poissonien. Illustrons ceci par un exemple.

0.5 0.5

0.50.5

0.5

0.5

1

1

1

1

Trafic AI

Trafic DI

1

1 2

34 5

6 7

8 9 10

11 12

A B C

D E F

G H I

FIG . 3.2 Reseau utilisant le partage de charge.

Considerons le reseau sur la gure 3.2. Ce reseau comporte 9 noeuds de commuta-

tion, A,B,... ,I , et 12 liens dont les indices sont indiques sur la gure. Le reseau doitacheminer deux ots dappels: lun de A vers I, de trac offert YAI, et lautre de Dvers I de trac offert YDI. Les commandes de partage de charge pour la destination

I sont indiquees sur la gure. Ainsi par exemple on a I1 = 0.5 et I3 = 0.5, ce quisignie quau noeud A la moitie des appels a destination de I sont achemines sur lelien 1 (vers B) et lautre moitie sur le lien 3 (vers D).

Le trac AIa 4 routes, et chacune recoit un quart du trac:

r1 = (1,2,5,10) Yr1 = 0.25 YAI

r2 = (1,4,7,10) Yr2 = 0.25 YAI

r3 = (3,6,7,10) Yr3 = 0.25 YAI

r4 = (3,8,11,12) Yr4 = 0.25 YAI

Le tra

c DI a 2 routes, et chacune recoit la moitie du tra

c:



28/51

Limites de la forme produit

r5 = (6,7,10) Yr5 = 0.5 YDI

r6 = (8,11,12) Yr6 = 0.5 YDI

Letat du systeme correspond donc au vecteur (n r1, . . . , nr6). Si on suppose que

tous les liens ont la meme capacite C, lespace detats est donne par 0 n ri Cavecles contraintes supplementaires (en supprimant celles qui sont redondantes),

nr3 + nr4 C

nr4 + nr6 C

nr1 + nr2 + nr3 + nr5 C

On voit donc que cet exemple peut etre traite comme explique precedemment en

decomposant les tracs sur les differentes routes quils peuvent emprunter. Evidem-

ment, le calcul de la probabilite de blocage doit tenir compte du poids de chaque route.

3.3 Limites de la forme produit

Les formules obtenues precedemmentsemblent tres seduisantes mais sont difcile-

ment utilisables en pratique. En effet, en dehors du cas de tres petits reseaux, le calcul

direct de G nest par realisable car le nombre de routes |R| augmente exponentielle-ment en fonction du nombre de noeuds et de liens.

Considerons le cas le plus simple ou le reseau est completement maille. Dans ce

cas, chaque route correspond a un seul lien et il ny a pas de couplage. La taille de

lespace detats est alors |S(C)| =J

j=1 Cj (i.e. 3110 sil y a 10 liens ayant tous une

capacite de 31).

De la meme facon, si on reprend lexemple de la gure 3.1, mais cette fois ci avecdes capacites de 31 circuits pour les deux liens, le nombre detats admissibles grimpe

a 11440!

On voit bien que la taille de lespace detats devient rapidement monumentale et

quil est impossible de calculer la probabilite de chaque etat. Ainsi, une approche ope-

rationnelle pour de grands reseau ne peut passer par une modelisation Markovienne.

Bien que la forme produit donne une forme analytique a la solution, elle reste inutili-

sable pour de grands reseaux.



29/51

Approximation dindependance des probabilites de blocage

3.4 Approximation dindependance des probabilites de

blocage

En ce qui concerne la probabilite de blocage sur un chemin, on fait en general lhy-

pothese (qui est en fait une approximation) dindependancedes probabilites de blocage

des faisceaux pris deux a deux en serie dans un reseau. Considerons lexemple de la

gure 3.3.

O T D

FIG . 3.3 Approximation dind ependance des probabilit es de blocage.

Le noeudO recoit du trac YOT a destination dautres noeuds du reseau; une partiede ce trac passe par les faisceaux OT et TD, alors quune autre bifurque en T. De

meme, le noeud T recoit du trac YTD qui va emprunter le faisceau TD puis dautresliens du reseau.

Le trac YOD qui nous interesse est celui qui a son origine en O et pour destinationD ; il emprunte les faisceaux OT et TD.

Notons NOT et NTD les capacites respectives des deux faisceaux. Notons de plusnOT et nTD le nombre dappels en cours sur chacun des deux faisceaux. La probabiliteque le trac YOD ne soit pas bloque est donnee par,

(1 bOD) = P [nOT < NOT et nTD < NTD]

Supposons alors que:

les tracs YOT et YTD sont importants par rapport a YOD ,

tous les appels du ot YOT sortent en T (ils ne passent pas sur TD)

Dans ce cas, on voit que le seul couplage entre nOT et nTD vient du trac YOD .Comme on suppose que ce trac est faible par rapport aux autres, les variables alea-

toires nOT et nTD sont faiblement couplees: on peut les considerer independantes. Demaniere generale, si le nombre dappels achemines a la fois sur OT et TD est faible par

rapport aux nombres dappels ne passant que sur OT ou que sur TD, on pourra consi-

derer que nOT et nTD sont independantes.

En utilisant cette approximation,la probabilite de nonblocage duot dappels YODdevient,

(1 bOD) P [nOT < NOT] . P [nTD < NTD]



30/51

La methode du pointxe dErlang Exemple

soit,

(1 bOD) (1 P [nOT = NOT]) . (1 P [nTD = NTD])

Autrement dit, la probabilite quun appel du ot YOD ne soit pas bloque sur lechemin O T D secrit comme le produit des probabilites de non blocage desfaisceaux OT et TD.

Attention,cette remarqueserait fausse, malgre limportancerelative des tracs YOTet YTD, si tousces tracs empruntaient les deuxfaisceaux OT et TD, car il y aurait cou-plage total entre ces deux faisceaux.

Lhypothese dindependance des probabilites de blocage est fondamentale dans le

sens ou elle est utilisee par toutes les methodes devaluation des performances des

reseaux telephoniques, et en particulier les methodes que nous allons voir dans le reste

du cours. Lexperience montre que cette hypothese est assez bien veriee pour des

reseaux telephoniques reels dans lesquels on a un melange de trac important sur

chaque lien.

3.4.1 Exemple

Considerons de nouveau lexemple de la gure 3.1. Considerons tout dabord les

valeurs numeriques suivantes: Y13 = 1.0, Y12 = 5.0, Y23 = 4.0, C12 = 10 et C23 =10. En utilisant la solution exacte fournie par la forme produit, on determine que lesprobabilites de blocage des ux 1 3, 1 2 et 2 3 sont respectivement egales aL1 = 5.99 %, L2 = 4.25 % et L3 = 1.74 %. On a ainsi,

1 L1 = 0.9401 a comparer avec, (1 L2) (1 L3) = 0.9408

On voit que dans ce cas lhypothese dindependance des probabilites de blocage

donne un bon resultats. Si par contre on augmente le trac offert du ot 1 3 enprenant Y13 = 3.0, on obtient:

(1 L1) = 0.823506 a comparer avec, (1 L2) (1 L3) = 0.830703

Dans ce cas, lapproximation est plus grossiere car le trac Y13 = 3.0 devientsignicatif par rapport aux tracs Y12 = 5.0, Y23 = 4.0, induisant ainsi un couplageplus fort du nombre dappels sur les deux faisceaux.

3.5 La methode du point fixe dErlang

Cette methode permet de calculer une approximation des probabilites de blocage et

des tracs ecoules pour des reseaux a routage independant de letat.

Comme precedemment, on considere un reseau constitue de J liens de communi-cation j = 1,2, . . . , J de capacite Cj circuits. Soit Ej la probabilite de blocage du lien



31/51

La methode du pointxe dErlang

j. Chaque appel peut etre achemine sur une seule route r. On note Yr le trac offert surchaque route r.

Partant de probabilite de blocage Ej = 0 pour chaque lien j = 1,2, . . . , J , lamethode du point xe dErlang consiste a iterer sur les etapes suivantes:

1. Calcul du trac offert j a chaque lien j = 1,2, . . . , J :

j =r: jr

Yr

ir{j}

(1 Ei)

2. Calcul de la probabilite de blocage de chaque lien j = 1,2, . . . , J :

Ej = E(Cj ,j)

Analysons la premiere equation. Pour une route r passant par le lien j, le termeYr

ir{j} (1Ei) represente le trafc offert de la route r qui nest pas bloque parles autres liens i = j du chemin. En sommant sur toutes les routes r passant par j, onobtient bien une approximation du trac offert au lien j. Cest seulement une approxi-mation car on utilise ici lhypothesedindependance des probabilites de blocage.

La seconde equation consiste a utiliser la formule dErlang pour mettre a jour la

probabilite de blocage Ej du lien j connaissant sa capacite Cj et le trac qui lui estoffert j .

Ainsi, la premiere iteration consiste a propager les tracs Yr sur lensemble desroutes, en supposant quil ny a pas de blocage, pour en deduire le trac offert a chaque

lien. Ceci permet de mettre a jour les probabilites de blocage. Literation suivante va de

nouveau propager les tracs offerts pour calculer un trac offert (plus faible) au lien jqui tienne compte des blocages en amont et en aval sur chaque route, etc.

On peut montrer quecet algorithmede pointxe convergeversunesolution unique,

qui donne une approximation assez precise de la probabilite de blocage Ej de chaquelien si lhypothese dindependance des probabilites de blocage est bien veriee.

On en deduit alors le trac ecoule Xj par le lien j = 1,2, . . . , J ,

Xj j (1 Ej)

De meme, la probabilite de blocage Lr des appels sur la route r est donnee par,

1 Lr jr

(1Ej)

et la trac ecoule sur cette route est egal a Yr (1 Lr).



32/51

La methode du pointxe dErlang Exemple

3.5.1 Exemple

De nouveau, on reprend lexemple de la gure 3.1 avec les valeurs numeriques

Y13 = 1.0, Y12 = 5.0, Y23 = 4.0, C12 = 10 et C23 = 10. On a vu precedemment quedans ce cas, les valeurs exactes des probabilites de blocage des ux 1 3, 1 2 et2 3 sont respectivement L1 = 5.99 %, L2 = 4.25 % et L3 = 1.74 %.

On a egalement pu verier que lhypothesedindependancedes probabilites de blo-

cage etait assez bien veriee. Appliquons lalgorithme du point xe dErlang. Il sagit

diterer sur les etapes suivantes:

1. 12 = Y12 + Y13 (1 E23)

2. 23 = Y23 + Y13 (1 E12)

3. E12 = E(C12,12)

4. E23 = E(C23,23)

en partant de E12 = E23 = 0. Numeriquement, cela donne:

Iteration E12 E23

1 0.0431418 0.0183846

2 0.0425807 0.017588

3 0.042605 0.0175983

4 0.0426047 0.0175978

5 0.0426047 0.0175978

Lalgorithme converge donc tres rapidement puisquau bout de 5 iterations, les va-

leurs de E12 et E23 ne changent plus a 7 decimales pres. On obtient alors les valeursdes tracs ecoules par les deux faisceaux: X12 = 5.73 et X23 = 4.87. De meme, onpeut calculer les probabilites de blocage de bout-en-bout des appels:

L1 = 1 (1E12)(1 E23) = 5.94% L2 = E12 = 4.26% L3 = E23 = 1.76%

On peut constater que les valeurs obtenues sont assez proches des valeurs exactes

calculees avec la forme produit.



33/51

CHAPITRE 4. METHODE DU FAISCEAU EQUIVALENT DE WILKINSON

CHAPITRE 4

Methode du faisceau equivalent de

Wilkinson

Nous avons vu dans le chapitre precedent quune approche operationnelle pour de

grands reseaux ne peut passer par une modelisation Markovienne. Bien que la forme

produit donne une forme analytique a la solution, elle reste inutilisable pour de grands

reseaux. Lorsque lhypothese dindependance des probabilites de blocage est bien ve-

riee, ce qui est en general le cas pour de grands reseaux, la methode du point xe

dErlang apporte une solution numeriqueefcace. Malheureusement, cette methodene

permet pas de traiter le cas des reseaux telephoniquesreels qui utilisent des techniques

dacheminement complexes, combinant differents types de debordement et du partage

de charge

Cest le but de ce quil est convenu dappeler la theorie du teletrac que de fournir

des methodes devaluationde performancede ces reseaux. Les parametres evalues sontprincipalement la moyenne et la variance des tracs ecoules ainsi que les probabilites

de blocage des noeuds et faisceaux du reseau.

Dans ce chapitre,on considere le cas complexedes reseaux utilisant a la fois lache-

menimentpar partage de chargeet le debordement hierarchique. Nous decrivons la me-

thode du faisceau equivalent de Wilkinson, aussi connue sous le nom de methode ERT

(Equivalent Random Trac). Cette methode, qui fait intervenir les deux premiers mo-

ments des processus telephoniques, est applicable aux reseaux ayant une architecture

et un acheminement hierarchique. Elle a ete utilisee pour concevoir et dimensionner

les reseaux telephoniquesdes operateurs historiques des grands pays occidentaux.



34/51

Methode pour les tracs survariants

4.1 Methode pour les trafics survariants

La methode de Wilkinson sapplique aux tracs survariants provenant du deborde-

ment et pour des reseaux utilisant le debordement hierarchique. Le principe de cette

technique dacheminement est illustre sur la gure 4.1. Le faisceau AX recoit non

seulement du trac offert direct AX , mais egalement le trac deborde par les fais-

ceaux AB, AC et AD.

A

X

D

C

B

AX

BX

DX

CX

FIG . 4.1 Debordement hierarchique: le faisceau AX recoit du trafic direct et tous les

trafics d ebord es par les faisceaux AB, AC et AD..

Le processus combine sur le faisceau AX est extremement complexe. Pour com-

prendre cela il suft de se rappeler la complexite du simple debordement avec un seul

trac debordant du faisceau de premier choix sur le faisceau de second choix.

La methode du faisceau equivalent de Wilkinson va fournir une approximation a ce

probleme en essayant de se ramener (justement) au cas que lon connat du deborde-

ment dun seul ux.

On considere le cas general decrit sur la gure 4.2 et on note :

i = 1 . . . I les Ifaisceaux de premier choix qui debordentsur le faisceaudindice0,

Ni la capacite du faisceau i et N0 celle du faisceau commun de deuxieme choix,

Xi le trac ecoule par les faisceaux i et X0 le trac ecoule par le faisceau com-mun de deuxieme choix,

Zi et V zi la moyenne et la variance du trac deborde par les faisceau dindice i.



35/51


Y0

Yi

Y2

Y1

Xi = Yi(1E(Yi, Ni))

X1 = Y1(1 E(Y1, N1))

X2 = Y2(1 E(Y2, N2))

Z2 = Y2E(Y2, N2)V z2

Z1 = Y1E(Y1, N1)V z1

X0, Z0, Xi0, Z

i0 ?

V zi

Zi = YiE(Yi, Ni)

FIG . 4.2 Debordement hierarchique de I faisceaux sur le faisceau de second choix 0.

Lobjectif est de determiner le trac total ecoule X0 sur le faisceau de deuxiemechoix 0, le trac total perdu Z0 par ce faisceau, et pour chaque ux i, le trac ecoule

X0i sur le faisceau 0 par ce ux et le trac Z0i perdu par ce ux apres debordement.Lidee de la methode repose sur lindependance des processus et sur la recherche dun

systeme equivalent.

Les tracs offertsYi aux faisceaux i sont independantset poissoniens.On peut donccalculer le trac ecoule Xi et le trac deborde Zi par chacun de ces faisceaux avec laformule dErlang-B. Notons que les trac Zi sont independants.

Regardons maintenant le probleme complexe du faisceau de debordement 0. Cefaisceau a un trac offert Poissonien direct de valeur Y0. Cependant sajoutent a cetrac tous les tracs Zi debordes par les I faisceaux de premier choix. Le trac totaloffert au faisceau 0 nest plus Poissonien. Sa moyenne Zest donnee par,

Z = Y0 +I

i=1

Zi

Les tracs de debordement sont independants entre eux et independants du trac

direct Y0. Par consequent, leurs variances sajoutent et on a ainsi la variance du tracoffert au faisceau de debordement,

VZ = Y0 +

Ii=1

V zi = Y0 +

Ii=1

Zi

1 Yi +

Yi1 + Ni + Zi Yi

On sait que les tracs de debordement sont sur-variants. On a donc V z i > Zi pouri = 1 . . . I . Le trac agrege offert au faisceau 0 est donc tel que :

V z > Z



36/51


Ce trac agrege etant survariant, on peut supposer quil viendrait dun faisceau

unique (ctif) de premier choix ayant une capacite N et un trac offert Y. Lidee estdecrite sur la gure 4.3.

Y

X = Y(1 E(Y, N))

Z = YE(Y, N)V z

X0, Z0, Xi0, Z

i0 ?

Y, N ?

FIG . 4.3 Faisceau equivalent d ebordant un trafic de moyenne Z et de variance V z.

Pour trouver le FAISCEAU EQUIVALENT, on doit donc resoudre un systememixte (variable entiere: la capacite, et variable reelle : le trac offert) de deux equa-

tions non-lineaires a deux inconnues ; ce systeme est donne par :

Z = Y E(Y,N)

V z = Z

1 Y +

Y

1 + N + Z Y

Il existe toujours une solution a ce systeme avec des valeurs de N non entiere,ou une solution approximant tres bien ce systeme avec N entier. Une approximationanalytique en general precise a ete proposee par Y. Rapp :

N Y Z+ V z/ZZ 1 + V z/Z

Z 1

Y V z + 3V z

Z

V z

Z 1

Supposons connues les valeurs de N et Y. On en deduit immediatement le tracecoule et le trac perdu par le faisceau 0 :

X0 = Y (E(Y,N) E(Y,N + N0))

Z0 = Y E(Y,N + N0)

Les valeurs des pertes individuelles de chacun des ux Z0 i, i = 0 . . . I , sont un

peu plus delicates a evaluer et vont reposer sur une approche indirecte. Tout dabord,on peut etre surs que la perte totale est bien la somme des pertes individuelles des ux :



37/51

Methode pour les tracs sousvariants

Z0 =

Ii=0

Z0i

Lexperience montre que la probabilite de blocage P0 i des ux de debordement estproportionnelle au facteur de pointe V z i/Zi ; en notant Cce coefcient de proportion-

nalite, on a donc :

P0i CV ziZi

et Z0i = P0i Zi = C V zi

Ce qui donne:

Z0 =

Ii=0

Z0i = CI

i=0

V zi = C V z

On en deduit que C = Z0/V z, et donc le trac perdu par chacun des ux i =0 . . . I :

Z0i = Z0V zi

V zFinalement, le trac ecoule sur le faisceau de deuxieme choix pour chacun des ux

est donne par :

X0i = Zi Z0i i = 0 . . . I

4.2 Methode pour les trafics sousvariants

Cette methode sapplique aux tracs sousvariants provenant de lecoulement du

trac (liens en serie sur un reseau) et pour des reseaux utilisant le partage de charge

comme technique dacheminement.

Il ny a pas de couplage entre les faisceaux comme dans le cas du debordement. Lecouplage va etre introduit par la mise en place de liens en serie.

Pour etudier la methode du faisceau equivalent pour les tracs sousvariants, etu-

dions lexemplede base decrit sur lagure4.4.Chaque faisceau i0, pour i = 1, . . . , I ,a une capacite Ni et se voit offrir un trac YiX a destination du noeud X. Le faisceau0Xdispose de N0 circuits. Il recoit lagregation des tracs ecoules par les faisceauxi = 1, . . . , I , ainsi que du trac direct poissonnien Y0X a destination de X.

Lobjectif est de determiner les caracteristiques (moyenne Xet variance V) du tra-c total ecoule par le faisceau 0 X, ainsi que le trac perdu Z par ce faisceau. Onveut egalement savoir quels sont les caracteristiques (moyenne Xi et variance Vi) dutrac ecoule par chaque ux i.



38/51


i

1

2

I

0 X

Y1X

Y2X

YiX

YIX

Y0X

m1, 1

mi, i

mI, I

X, V

m2,

2

FIG . 4.4 Les faisceaux 1,2, . . . , i , . . . , I recoivent du trafic poissonien qui se m e-langent sur le lien 0.

On sait calculer la moyenne et la varianc du trac qui serait ecoule sur les faisceaux

i = 1, . . . , I sil ny avait pas de blocage sur 0X:

mi = YiX (1 E(YiX ,Ni))

i = mi [(YiX mi) (Ni mi)]

Nous allons appliquer les memes idees que pour la theorie du faisceau equivalent

pour tracs survariants.

Les tracs sur les differents faisceaux i = 1, . . . , I sont independants. Ceci im-plique que le trac compose qui arrive sur le noeud 0 peut etre vu comme un trac dontla moyenne M0 et la variance V0 sont donnees par :

M0 = Y0X +

Ii=1

mi et V0 = Y0X +

Ii=1

i

Or on sait que i/mi < 1 (les tracs ecoules sont sousvariants). Ceci implique quele trac agrege offert au noeud 0 est lui-meme sousvariant: V0/M0 < 1.

Ce trac etant sousvariant on peut estimer quil viendrait dun trac unique Y

ecoule par un faisceau (ctif) a capacite limitee NS , comme lindique la gure 4.5.

Les valeurs du trac offert Poissonien Y et de la capacite NS sont obtenues enresolvant le systeme suivant :



39/51


0 XSN0

M0, V0

NS

Y

FIG . 4.5 Faisceau equivalent pour les trafics sousvariants.

M0 = Y [1E(Y,NS)]

V0 = M0 [(Y M0) (NS M0)]

Supposons que lon ait obtenu ces valeurs. Regardons maintenant, le trac qui

secoule sur les deux faisceaux en serie S 0 et 0 X. Une analyse fort simpleest a faire : Il y a le meme nombre dappels a chaque instant sur le faisceau S-0 et

le faisceau 0-X.

Si les appels qui arrivent sont bloques cest parce quil ny a plus de circuits libres

soit dans S0, soit dans 0X. En fait, les appelsvont etrebloquespar le faisceauayant

la plus petite capacite. Ceci revient a dire que lon a le systeme equivalent representesur la gure 4.6.

0 XY

N = min(Ns, N0)

FIG . 4.6 Faisceau equivalent pour les trafics sousvariants.

On en deduit directement la moyenne et la variance du trac total ecoule par le

faisceau 0X:

X = Y [1E(Y,N)]

V = X [(Y X) (N X)]

ou N = min(NS,N0). Letrac perdu par ce faisceau est donnepar Z = Y E(Y,N).

Pour ce qui concerne chacun des ux i = 0, . . . , I , on aura, comme dans le cassurvariant :

Xi = Xi

V0

Vi = Vi

V0

Zi = Zi

V0



40/51

Generalisation de la theorie du faisceau equivalent

4.3 Generalisation de la theorie du faisceau equivalent

Les deux modeles equivalents presentes precedemment permettent de generaliser

un modele de blocage a deux moments pour levaluation de la QoS de boute en bout

dans un reseau. Prenons lexemple du reseau represente sur la gure 4.7.

D

T

Og

Oe

Oa

Of

Ob

a

g

c

b

d

ef

FIG . 4.7 Exemple dapplication de la m ethode de Wilkinson.

Le trac a entre les noeuds Oa-D est un trac dErlang classique (de premier choix

ou de partage de charge).De meme pour les tracs b, e, f,g sur leurs premiers faisceaux.

Le trac c est simplement le debordement du trac b sur le faisceau Ob-T. On ap-

plique donc les formules de base du debordement pour les faisceaux Ob-D et Ob-T.

Par contre le faisceau Oa-T va recevoir du trac de debordement du faisceau Oa-D

mais aussi du trac ecoule par le faisceau Og-Oa. Le trac d qui en resulte, et qui est

offert au faisceau Oa-T, peut etre sur-variant ou sous-variant . En fonction du rapport

variance sur moyenne V/M, on appliquera le modele de faisceau equivalent approprie

et les formules associees.

On retrouve nalement offert au noeud T les tracs suivants:

Le trac c ecoule par Ob-T,

le trac e ecoule par Oe-T,

le trac f ecoule par Of-T,

le trac g ecoule par Og-Oa puis Oa-T,

le trac d ecoule par Od-T,

En supposant tous ces tracs independants et en sommant leurs deux moments,

on aura un certain trac offert de moyenne MTD et de variance VTD . En fonction durapport MTD/VTD , on appliquera le modele de faisceau equivalent approprie et onnira par avoir tous les tracs ecoules et les probabilites de blocage sur le faisceau TD

mais aussi sur tous les autres faisceaux. Cette demarche en cascade permet devaluer

la QoS des reseaux par une approche de type faisceau equivalent (a deux moments).



41/51

CHAPITRE 5. TH EORIE DIFFERENTIELLE DU TRAFIC

CHAPITRE 5

Theorie differentielle du trac

Des travaux menes au LAAS ont permis detudier la forme de lequation differen-

tielle moyenne associee a chaque ressource du reseau dans le cas de quelques celluleselementaires. Ces cellules reetent les topologies classiques serie/parallele que lon

rencontre dans un grand reseau. Cette analyse a ete faite pour des commandes combi-

nant le partage de charge et le debordement.

1. La premiere idee fondamentale developpee dans ces recherches est de modeliser

le trac a partir de la forme exacte de lequationdifferentielle de chacun desux.

2. La deuxieme idee est dapproximer les probabilites de blocage par linterme-

diaire de tracs ctifs lies au systeme implicite dequations obtenues.

Finalement, le modele obtenu se presente sous la forme dun ensemble dequations

differentielles dont la structure (et le nombre dequations) depend de lacheminement

choisi. Dans ce modele, les acheminements sont tout a fait quelconques, ce qui autorisetoute structure de reseau:

partage en premier choix

debordements multiples (non-hierarchiques)

debordement partage

debordements croises

reservation de circuits

liaisons bidirectionnelles

Ces travaux ont permis daboutir a un nouveloutil efcace et generalpour lanalyse

de performancesde reseaux a commutationde circuits. Dans ce chapitre, nous donnons

les principes generaux du modele resolu.



42/51

Le cas dun faisceau de circuits isole

5.1 Le cas dun faisceau de circuits isole

Nous etudions tout dabord le cas le plus simple dun faisceau de circuits de capa-

cite Ndans le cadre du modele dErlang. Les appels arrivent ainsi suivant un processusde Poisson de taux , et ceux qui sont admis ont une duree qui suit une loi exponen-

tielle negative de parametre . On note Y = / le trac offert.

On a vu que dans ce cas, les resultats obtenus en regime permanent, fonction du

trac offert et de la capacite, sont relativement simples. Lobjet de ce paragraphe est

detendre letude au regime transitoire. Le resultat fondamental est le suivant :

Theoreme 5.1 Lequation diff erentielle exacte associee au trafic ecoul e par un fais-

ceau secrit:

X(t) =

1 PN(t) X(t) (5.1)

La difculte de resolution de lequation 5.1 vient du fait que le terme PN(t) ne de-pend explicitement ni du temps ni de letat moyen . Il est toutefois propose dapproxi-

mer cette probabilite transitoire independamment du modele markovien de la faconsuivante:

Approximation 5.1 Lapproximation dynamique du trafic ecoul e par un faisceau de

capacit e N est:

X(t) =

1 PN(t) X(t) avec PN(t) = E(N,Y(t)) (5.2)

ou Y(t) est solution de :

X(t) = Y(t)

1 E(N,Y(t))

(5.3)

Cette approximation permet de calculer le trac ecoule transitoire par integration

numeriquede lequation5.2. A chaquepas de lalgorithme, il est necessairede determi-

nernumeriquementle trac offert ctifY(t) (qui est differentde Y = /). Lapproxi-mation proposee converge vers la solution stationnaire exacte X = Y (1E(Y,N)).

En pratique, il nest pas necessaire de resoudre exactement le systeme non-lineaire

5.3 pour calculer le trac offert ctifY(t). On peut se contenter de lapproximationsuivante :

Y(t) =X(t)

1 PN(t t)(5.4)

Le schema numerique permettant dintegrer jusua une date t = T avec un pasdintegration det consiste alors a iterer sur les etapes suivantes:

1 PN(0) = 0, X(0) = 0

2 t = t



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Reseau avec monoroutage

3 While t T do

a X(t +t) = X(t) + t [(1 PN(t)) X(t)]

b Y(t +t) = X(t + t)/[1 PN(t)]

c PN(t +t) = E(Y(t +t),N)

d t = t +t

4 End while.

5.2 Reseau avec monoroutage

Il sagit ici destimer la probabilite de blocage de chaque faisceau du reseau et le

trac moyen ecoule par ces faisceaux. Le probleme est beaucoup plus complexe que

pour un seul faisceau car les faisceaux ecoulent des appels appartenant a plusieurs

ots, ce qui entraine un couplage entre plusieurs processus aleatoires. Cest dans ce

cas quun modele detat dynamique tel que 5.2 prend tout son interet.

Dans ce paragraphe, nous allons supposer que chaque ot dappel i est acheminesur un seul chemin, note i. On notera de plus j lensemble des ots dont le chemin

emprunte le faisceau j :

j =

i|j i

(5.5)

Dans la suite, on notera Zi(t) le trac ecoule par le ot dappels i a linstant t etXj(t) le trac ecoule par le faisceau j a linstant t. Evidemment, on aura la relationsuivante :

Xj(t) =ij

Zi(t) (5.6)

De la meme facon que precedemment, on peut ecrire les equations differentielles

exactes associees aux faisceaux du reseau. Lequation differentielle exacte gouvernant

le trac ecoule par le ot dappels i secrit:

Zi(t) = i [1 bi(t)] Zi(t) (5.7)

bi(t) etant la probabilite de blocage des appels du ot i a linstant t. Avec la relation5.6, on obtient lequation differentielle du trac ecoule par le faisceau j :

Xj(t) =ij

i [1 bi(t)] Xj(t) (5.8)

Le calcul exact de la probabilite bi(t) etant extremement complexe, on simplie engeneral le probleme en considerant que les probabilites de blocages sur les faisceaux

du chemin sont independantes.En utilisant cette hypothese, on obtient lapproximation

dynamique suivante.

Approximation 5.2 Lapproximation dynamique du trafic ecoul e par le floti secrit :



44/51

Reseau avec monoroutage

Zi(t) = i [1 bi(t)] Zi(t) (5.9)

ce qui donne pour le faisceau j,

Xj(t) = ij i [1 bi(t)] Xj(t) (5.10)Lapproximation bi(t) de la probabilit e de blocage bi(t) du floti secrit comme le

produit des probabilit es de blocages ind ependantes Pk(t) des faisceaux k appartenantau chemin i.

(1 bi(t)) =ki

(1 Pk(t)) =ki

(1 E(Nk,Yk(t))) (5.11)

Ces probabilit es de blocage sont obtenues par la formule dErlang a partir des

trafics offerts fictifs Yk(t). Ces derniers sont obtenues en r esolvant le systeme non-lineaire suivant :

Xk(t) = Yk(t) [1 E(Nk,Yk(t))] (5.12)

La encore, signalons quen pratique, il nest pas necessaire de resoudre le systeme

non-lineaire 5.12. Il est plus interessant dutiliser lapproximation suivante :

Yk(t) =Xk(t)

1 Pk(t t)(5.13)

Lapproximation precedente peut etre utilisee pour evaluer les performances du re-

seau (probabilites de blocage, tracs ecoules, etc. . . ) aussi bien en regime transitoire

quen regime stationnaire.Pour cela, il suft dintegrer numeriquement lequation5.10.

A chaque pas dintegration, on determine les tracs offerts ctifs Yk(t) en utilisantlequation 5.13, puis on calcule lapproximation Pk(t) de la probabilite de blocage dechaque faisceau k, et enn on en deduit les probabilites de blocage bi(t) de chaque uxdappels.

Plus precisement, si on suppose que lon connait les probabilites de blocage et

les tracs ecoules (par faisceau et par ux) a linstant t, le calcul de ces grandeurs alinstant t +t va se faire de la facon suivante:

Calcul des trafics ecoules des flots:

Zi(t +t) = Zi(t) +i [1 bi(t)] Zi(t)

t

Calcul des trafics ecoules par les faisceaux :

Xj(t +t) =

ijZi(t +t)



45/51

Les commandes de routage

Calcul des trafics offerts fictifs :

Yk(t +t) =Xk(t +t)

1 Pk(t)

Calcul des probabilites de blocage (des faisceaux et des flots):

(1bi(t +

t)) =ki

(1

Pk(t +

t)) =ki

(1E(Nk,Yk(t +

t)))

Exemple 5.1 Consid erons le reseau represent e sur la figure 5.1.

FIG . 5.1 Exemple de reseau.

Les equations diff erentielles d ecrivant le trafic ecoul e de chaque faisceau sont les

suivantes :

X01 = 03 [1 b03(t)] X01

X12 = 03 [1 b03(t)] X12

X23 = 03 [1 b03(t)] + 42 [1 b42(t)] X23

X34 = 42 [1 b42(t)] X34

Les probabilit es de blocage des flux, b03 etb42 sont calcul ees par :

b03(t) = [1E(N01,Y01(t))] [1 E(N12,Y12(t))] [1E(N23,Y23(t))]

b42(t) = [1E(N43,Y43(t))] [1 E(N32,Y23(t))]

5.3 Les commandes de routage

5.3.1 Le partage de charge

Au niveau dun noeud de commutation, le partage de charge consiste a transmettre

une certaine proportion du

ot dappels sur chaque faisceau sortant (la proportionpou-vant etre nulle). Le principe est illustre sur la gure 5.2.



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Les commandes de routage Le partage de charge

i

j1

j2

jN

.

.

i,j1

i,j2...

i,jN

Nk=1 i,jk = 1

FIG . 5.2 Partage de charge.

Dans ce cas, le trac ecoule par unot dorigine i, de destination d et de trac offert sera donne par lequation suivante:

Zi,d(t) = (1 bi,d(t)) X(t) (5.18)

ou bi,d(t) est la probabilite de blocage dun appel entre les sommets i et d. Cetteprobabilite va pouvoir secrire de maniere recursive de la facon suivante (on utilise la

encore lhypothesedindependance des probabilites de blocage) :

[1 bi,d(t)] =

Nk=1

i,jk (1 Pi,jk) [1 bjk,d] (5.19)

Le trac ecoule par le faisceau (i,jk) est donne par :

Xi,jk (t) = i,jk (1 Pi,jk) [1 bjk,d] (5.20)

A partir de ces equations, on va pouvoir evaluer recursivement les tracs ecoules

des ots et des faisceaux a linstant t + t si on connait les probabilites de blocage a

linstant t. Ensuite, on pourra en deduire les tra

cs offerts

ctifs par la formule 5.13, etdonc les probabilites de blocage des faisceaux a linstant t + t par application de laformule dErlang. On pourra egalement calculer les probabilites de blocage des ots a

linstant t +t.

Exemple 5.2 Consid erons le reseau de la figure 5.3.

Le trafic ecoul e Z par le flot1 4 est gouvern e par lequation suivante :

Z(t) = [1 b1,4(t)] Z(t)

= (1 P12)[1 b2,4] + (1 )(1 P13)[1 b3,4]

Z(t)

= (1 P12)(1 P23) + ( 1 )(1 P13) (1 P34) Z(t)



47/51

Les commandes de routage Le d ebordement

FIG . 5.3 Exemple de partage de charge.

5.3.2 Le debordement

Le debordement est une technique de gestion largement employee dans les reseaux

telephoniques. On en rappelle le principe sur la gure 5.4.

i j

k

.

.

ijNij

Nik

FIG . 5.4 Debordement.

La methode du trac differentiel permet de prendre en compte les tracs de debor-

dement dans le calcul des tra

cs ecoules. Ecrivons l equation associee au faisceau depremier choix :

Xij(t) = ij [1 Pij ] Xij(t) (5.21)

On peut cependant egalement ecrirelequationdu trac ecouleparleux,en remar-

quant quil est identique a celui qui serait ecoule par un faisceau de capacite Nij+Nik :

Zij(t) = Xijk(t)

= Xij(t) + Xik(t)

= ij [1 Pijk ] Xijk

ou Pijk est la probabilite de blocage dun faisceau equivalent qui aurait la capacite

Nij + Nik.



48/51

Les commandes de routage Le d ebordement

On en deduit immediatement le trac ecoule par le second faisceau:

Xik(t) = ij [Pij Pijk ] Xik(t) (5.22)

On voit donc que le calcul du trac ecoule par le second faisceau fait intervenir non

seulement la probabilite de blocage du faisceau (i,j), mais egalement celle de len-semble de faisceaux (i,j) (i,k).

De maniere generale, au niveau de la probabilite de blocage dun ot dorigine i etde destination d, on va retrouver une expression recursive:

Zi,d(t) = [1 bi,d(t)] Zi,d(t)

=

(1 Pij) [1 bj,d] + (Pij Pijk) [1 bk,d] Zi,d(t)

Le trac ecoule par le faisceau (i,j) de premier choix secrira :

Xij(t) = [1 Pij ] [1 bj,d] Xij(t) (5.23)

tandis que celui ecoule par le faisceau de second choix (i,k) sera gouverne par lequa-tion suivante:

Xik(t) = [Pij Pijk ] [1 bk,d] Xik(t) (5.24)

Evidemment, ces equations se generalise immediatement au cas ou on a N fais-ceaux de debordement.


FIG . 5.5 Exemple de d ebordement.

Le trafic ecoul e Z par le flot1 4 est gouvern e par lequation suivante :

Z(t) = [1 b1,4(t)] Z(t)

= (1 P13)[1 b3,4] + (P13 P123)[1 b2,4] Z(t)=

(1 P13) + (P13 P123) (1 P23)

(1 P34) Z(t)



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Resolution du Modele DifferentielCombinaisons de partage de charge et de debordement

5.3.3 Combinaisons de partage de charge et de debordement

Nous allons directement illustrer ce cas a travers un exemple.


FIG . 5.6 Exemple de combinaison de partage de charge et de debordement.

Ce reseau fait intervenir, pour le flot0 5 consid ere, un partage de charge sur lesfaisceaux (0,1) et(0,2). Le trafic bloqu e sur (0,1) est d ebord e sur (0,3) et(0,4) suivantles proportions et(1). Le trafic bloqu e sur (0,2) est tout entier d ebord e sur (0,3).

Le trafic ecoul e par le flot 0 5 est gouverne par lequation suivante (dont on

notera la structure recursive):

Z(t) = 05 [1 b0,5(t)] X(t)

= 05

(1 P01)(1 b1,5) + (P01 P013)(1 b3,5) + (1 ) (P01 P014)(1 b4,5)

+

(1 )

(1 P02)(1 b2,5) + (P02 P023)(1 b3,5)

Z(t)

5.4 Resolution du Modele Differentiel

Nous avons vu dans les paragraphes precedents comment modeliser un reseau te-

lephonique avec la theorie du trac differentiel. Cette modelisation mathematique se

presente sous la forme dun systeme non-lineaire dequations differentielles couplees

permettant le calcul des tracs ecoules et des probabilites de blocage. Ce calcul peut



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Resolution du Modele Differentiel R esolution par integration numerique

etre realise de deux manieres: par integration numerique du systeme dequations dif-

ferentielles ou par une methode de point xe.

5.4.1 Resolution par integration numerique

Cette methode de resolution a lavantage de permettre de calculer a la fois le tran-

sitoire et le stationnaire des tracs ecoules et des probabilites de blocage.Supposons que lon connait les probabilites de blocage et les tracs ecoules (par

faisceau et par ux) a linstant t. Le calcul de ces grandeurs a linstant t + t va sefaire de la facon suivante:


Zi(t +t) = Zi(t) +i [1 bi(t)] Zi(t)

t (5.25)


Xj(t +t) =ij

Zi(t +t) (5.26)


Yk(t +t) =Xk(t +t)

1 Pk(t)(5.27)


Pk(t +t) = E(Nk,Yk(t +t))

bi(t +t) = Fi(Pk(t +t))

ou la fonction Fi depend des commandes de routage du ot i en chaque noeudtraverse par ce ot.

5.4.2 Resolution par point fixe

Cette methode ne permet que de calculer les valeurs stationnaires des tracs ecou-

les et des probabilites de routage. Par contre, elle est plus rapide.

Il sagit dun calcul iteratif. Notons respectivement Zi(n) et Xj(n) les tracs ecou-

les du ot i et du faisceau j a literation n. De meme, on note Pk(n) la valeur de laprobabilite de blocage du faisceau k a literation n. Le calcul effectue a l iterationn + 1 est alors le suivant :


Zi(n + 1) =

i

[1

bi(n)](5.28)



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Conclusion


Xj(n + 1) =ij

Zi(n + 1) (5.29)


Yk(n + 1) =Xk(n + 1)

1 Pk(n)(5.30)


Pk(n + 1) = E(Nk,Yk(n + 1))

bi(n + 1) = Fi(Pk(n + 1))

ou la encore la fonction Fi depend des commandes de routage du ot i en chaquenoeud traverse par ce ot.

5.5 Conclusion

Nous avons vu dans ce chapitre comment modeliser un reseau telephonique dans

le cadre de la theorie differentielle du trac. Comme on la vu, cette theorie permet de

calculer les tracs ecoules et les probabilites de blocage des ots dappels et des fais-

ceaux dans un reseau telephoniquecombinant des techniques de routage par partage de

charge et par debordement.

Le modele du reseau introduit par la theorie differentielle du trac est un systeme

dequations differentielles couplees. Ce systeme peut etre reolu de deux manieres. Soit

par integration numerique des equations differentielles, ce qui permet dobtenir a la

fois le regime transitoire et le regime permanent. Soit par une methode de point xe

qui permet de caluler plus rapidement le regime permanent.

Au travers des exemples que nous avons presentes, nous avons insiste sur la formu-

lation recursive des equations du modele differentiel. Cette formulation recursive est a

la base de limplementation logicielle de ces modeles.

Evaluation de

RX COMMUTATION

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