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RGARCHモデル TokyoR #21 2012/03/10 @horihorio
52

RでGARCHモデル - TokyoR #21

Jun 27, 2015

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horihorio
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Page 1: RでGARCHモデル - TokyoR #21

RでGARCHモデル

TokyoR #212012/03/10

@horihorio

Page 2: RでGARCHモデル - TokyoR #21

2012/03/10 RでGARCHモデル

自己紹介自己紹介

• Twitter ID:@horihorio

• お仕事:

データマイニング・コンサルタント

(重要なこと:会社は非金融業)

ただ何故か、金融機関の与信リスク管理・

分析を、4年少々やってたりする

• R使用歴:

半年もない、とか。前回発表(Tokyo.R#18: 「Rで学ぶ 現代ポートフォリオ理論入門」 )以降、程度

2

Page 3: RでGARCHモデル - TokyoR #21

3

◇◇ 全体構成全体構成 ◇◇

1. Executive Summary2. 理論編

1. ARIMAモデル

2. GARCHモデル

3. 実践編

1. TOPIXとは?

2. モデル作成

3. モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 4: RでGARCHモデル - TokyoR #21

4

1. Executive Summary (1/5)1. Executive Summary (1/5)時系列モデルの目的:過去の値から将来を当てたい

• ARIMAモデルの場合

ここで

は「独立かつ同一の分布に従う(i.i.d)」とする※

(※ホントは平均ゼロ、分散有限も必要。正確な定義はP.15を参照)

AR(自己回帰)

MA(移動平均)

I(和分)

誤差項

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 5: RでGARCHモデル - TokyoR #21

0 500 1000 1500

-50

5

Time

Erro

r

5

1. Executive Summary (2/5)1. Executive Summary (2/5)が「独立かつ同一の分布に従う(i.i.d.)」ならば

誤差項は、こうなるはずset.seed(1)plot(rnorm(1500, 0, 1), type="l", xlab="Time", ylab="Error", ylim = c(-9,9))

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 6: RでGARCHモデル - TokyoR #21

Time

Erro

r

0 500 1000 1500

-0.1

00.

000.

10

6

1. Executive Summary (3/5)1. Executive Summary (3/5)ただ、東証TOPIXにARIMAモデルをはめると

誤差項って均一なの? (モデルの詳細は後述)

時系列構造?

2012/03/10 RでGARCHモデル

ジャンプならこの程度

Page 7: RでGARCHモデル - TokyoR #21

7

1. Executive Summary (4/5)1. Executive Summary (4/5)少々、分散に時系列構造を導入してみる

時系列データが、 に従っているとするとき、

GARCH(p,q)モデル を導入

分散 1

分散の時系列

2乗誤差の時系列

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 8: RでGARCHモデル - TokyoR #21

8

1. Executive Summary (5/5)1. Executive Summary (5/5)やっぱり、TOPIXの分散って荒れているのね…

2012/03/10 RでGARCHモデル

-0.1

00.

100.

010.

05

0 500 1000 1500

Time東日本大震災

Lehman破綻等々

Paribasショック、SubPrimeで色々

収益率

収益率

Page 9: RでGARCHモデル - TokyoR #21

9

◇◇ 全体構成全体構成 ◇◇

1. Executive Summary2. 理論編

1. ARIMAモデル

2. GARCHモデル

3. 実践編

1. TOPIXとは?

2. モデル作成

3. モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 10: RでGARCHモデル - TokyoR #21

10

過去の Tokyo.R. で触れられた資料http://lab.sakaue.info/wiki.cgi/JapanR2010?page=%CA%D9%B6%AF%B2%F1%C8%AF%C9%BD%C6%E2%CD%C6%B0%EC%CD%F7#p15

2.1. ARIMA2.1. ARIMAモデルモデル

ARIMAでないが関連して

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 11: RでGARCHモデル - TokyoR #21

ARIMA (Box-Jenkins) モデル

AR(自己回帰)

MA(移動平均)

I(和分)

• AR(Auto Regression):自己回帰

→ 過去の自分の値

• I(Integrated):和分

→ 時系列データの階差をとる

• MA(Moving Average):移動平均

→ 現在および過去の誤差項の線型結合

時系列ARIMAモデルは、以下3要素からなる

2.1. ARIMA2.1. ARIMAモデルモデル

2012/03/10 RでGARCHモデル 11

Page 12: RでGARCHモデル - TokyoR #21

AR(Auto Regression):自己回帰モデルとは、ある時点の値は、

過去の自分自身により説明されると考えるモデル。以下2つの要素からなる:

• 自己回帰係数(影響倍率、定常ならば偏相関係数)と、

• 次数(影響期間)

AR(p)モデル:

定数項 自己回帰係数

誤差項(独立なWhite Noiseに従う)

次数

(何期前まで考えるか)

1期前の自分

2期前の自分

p期前の自分

2.1. ARIMA2.1. ARIMAモデルモデル

2012/03/10 RでGARCHモデル 12

Page 13: RでGARCHモデル - TokyoR #21

MA(Moving Average):移動平均モデルとは、現在値と、過去の誤差項の線形結合により表される関数

MA(q)モデル:

MAモデルの意味って何よ?

• 定常時系列ならば、AR(∞) = MA(t)• つまり、「小さいAR項×沢山」が、MA項少々で済む

【イメージ】 0.8 MA(1) = 0.001 AR(101) + 0.0002 AR(102) + …

当期の誤差1期前の誤差

2期前の誤差

q期前の誤差

2.1. ARIMA2.1. ARIMAモデルモデル

2012/03/10 RでGARCHモデル 13

Page 14: RでGARCHモデル - TokyoR #21

I(Integrated) :和分とは、階差数列に対応する概念。

時系列モデルは、平均や自己共分散が一定(定常時系列)でないと扱えない。非定常→定常 の変換に使ったりする

現系列

階差数列 に対し

の一般項を求め のARMAモデルを推定し

2.1. ARIMA2.1. ARIMAモデルモデル

2012/03/10 RでGARCHモデル

数列では 時系列では

14

Page 15: RでGARCHモデル - TokyoR #21

ここで は、以下を満たす(分散均一性):

ARIMAモデル

15

AR + I + MA → ARIMAモデルが完成

AR(自己回帰)

MA(移動平均)

I(和分)

誤差項

2012/03/10 RでGARCHモデル

2.1. ARIMA2.1. ARIMAモデルモデル

Page 16: RでGARCHモデル - TokyoR #21

16

◇◇ 全体構成全体構成 ◇◇

1. Executive Summary2. 理論編

1. ARIMAモデル

2. GARCHモデル

3. 実践編

1. TOPIXとは?

2. モデル作成

3. モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 17: RでGARCHモデル - TokyoR #21

17

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

ARIMAモデルが弱い例

• 金融市場:概して、荒れた翌日の値動きは活発

• 2ch:祭りが起きた後は、暫く高アクセスが続く?

つまり、

• 突発的な変動と、その後の「荒れ」が続き、

誤差項が「独立かつ同一の分布」でない と弱い

対策

• 分散にも時系列構造を導入

2012/03/10 RでGARCHモデル

GARCHモデル

※GARCH: Generalized AutoRegressiveConditional Heteroskedasticity

Page 18: RでGARCHモデル - TokyoR #21

18

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

【参考】周期変動ならば、Seasonal ARIMAが素直

例: は4半期データ(周期4)とする。

ここで、4期前との差分 を考える。

そして、 と でARIMAモデルを構築して掛け算。

Rでの使用例

2012/03/10 RでGARCHモデル

arima(UKgas, order=c(2,1,2),seasonal=list(order=c(1,1,3), period=4 )

Page 19: RでGARCHモデル - TokyoR #21

時系列データが、 に従っているとするとき、

ただし、

、 、

、 、 、

19

GARCH(p,q)モデルの式

分散 1

分散の時系列

2乗誤差の時系列

2012/03/10 RでGARCHモデル

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

防止が目的

Page 20: RでGARCHモデル - TokyoR #21

時系列データが、 に従っているとするとき、

ただし、

、 、

、 、

20

【参考】2乗誤差のみ考える、ARCH(q)モデルもある。

要は、GARCHモデルで としたもの。

2012/03/10 RでGARCHモデル

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

※ARCH: AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity

分散 12乗誤差の時系列

Page 21: RでGARCHモデル - TokyoR #21

【答え】

• 正規分布以外では、GARCHアルゴリズムの最尤推定量は間違っている

• ただ、標本数が大だと、最尤法の一致性ならOK• よって、実際の分布は正規分布でないが、正規分布のGARCH推定量でいいや、と割り切る?

• ただ、最尤推定量や、(尤度を用いる)AIC等の情報量基準は、全て「擬似的な値」、なのは留意

21

【参考】もっともな懸念で…データが常に正規分布ではない。最後の分散の誤差が

になる訳ないのでは?

2012/03/10 RでGARCHモデル

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

Page 22: RでGARCHモデル - TokyoR #21

改良例

EGARCH(p,q)モデル

22

GARCHモデルへのケチ:

制約ナシだと となるのは、何かと不自由

2012/03/10 RでGARCHモデル

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

係数の制約:ナシ!

Page 23: RでGARCHモデル - TokyoR #21

【嬉しいこと】

• 左辺は対数なので、右辺が負でも対応可能

• 負になる変数でも、モデルに投入可能

【嬉しくないこと】

• Rではどうやって扱うの?が不明…• CRANで egarch::egarch は発見したが、何か大丈夫?ってな香りがしたので自粛。Predictがダメ。

(だし、時間がなかった。)

• (緩募)egarchは大丈夫か否か、他にRでEGARCHモデルを適用出来る方法、等々

23

EGARCHモデルって

2012/03/10 RでGARCHモデル

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

Page 24: RでGARCHモデル - TokyoR #21

• GJR(p,q)モデル

• Absolute Residual モデル

• 他に、Non-Linear GARCH, Quadratic GARCH, Threshold GARCH 等があり

24

その他、GARCHの拡張例

2012/03/10 RでGARCHモデル

2.2. GARCH2.2. GARCHモデルモデル

負ならば1となるダミー

Page 25: RでGARCHモデル - TokyoR #21

25

◇◇ 全体構成全体構成 ◇◇

1. Executive Summary2. 理論編

1. ARIMAモデル

2. GARCHモデル

3. 実践編

1. TOPIXとは?

2. モデル作成

3. モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 26: RでGARCHモデル - TokyoR #21

26

3.0. 3.0. 以下のアウトライン以下のアウトライン

東証TOPIX(後述)の、対前日比リターンに

1. ARIMAモデル(季節調整なし)

2. ARMAモデル + GARCHモデル

を当てはめ、比較してゆく。

モデル構築期間:

2006/1/4~2012/1/31 (N=1489)モデル検証期間:

2012/2/1~2012/3/10 (N=28)

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 27: RでGARCHモデル - TokyoR #21

27

東証1部全体の時価総額を指標化した値

野村證券・証券用語解説集より

東京証券取引所が日々計算し発表している株価指数で、東証第1部の毎日の時価総額(全上場株をある日の終値

で評価したものの合計額)を基準日の時価総額で割って算出される。

1968(昭和43)年1月4日の時価総額を100として計算しており、日経平均株価とならんで、重要な指数の1つとなっている。

引用元:http://www.nomura.co.jp/terms/japan/to/topix.html

3.1. TOPIX3.1. TOPIXとは?とは?

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 28: RでGARCHモデル - TokyoR #21

28

データの取得方法

3.1. TOPIX3.1. TOPIXとは?とは?

• 例によって、 RFinanceYJ

library("RFinanceYJ")

topix.close <-as.ts( quoteStockTsData('998405.t’

, since='2006-01-01', date.end='2011-12-31' )$close)

# コッソリ、日次リターンに変換

topix.return <- (topix.close/lag(topix.close)) - 1

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 29: RでGARCHモデル - TokyoR #21

Time

TOPI

X

0 500 1000 1500

600

1000

1400

1800

29

データの雰囲気(2006/1/4~2012/1/31)

3.1. TOPIX3.1. TOPIXとは?とは?

東日本大震災

Lehman破綻、MUFGのMorgan Stanley出資 等

Paribasショック、SubPrimeで色々

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 30: RでGARCHモデル - TokyoR #21

Time

TOPI

X

0 500 1000 1500

-0.1

00.

000.

10

30

TOPIXを(当日÷前日で)日次リターンに修正

3.1. TOPIX3.1. TOPIXとは?とは?

東日本大震災

Lehman破綻、MUFGのMorgan Stanley出資 等

Paribasショック、SubPrimeで色々

2012/03/10 RでGARCHモデル

※対数リターンでないの?といじめないで…

Page 31: RでGARCHモデル - TokyoR #21

31

◇◇ 全体構成全体構成 ◇◇

1. Executive Summary2. 理論編

1. ARIMAモデル

2. GARCHモデル

3. 実践編

1. TOPIXとは?

2. モデル作成

3. モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 32: RでGARCHモデル - TokyoR #21

32

【0/2】単位根検定

趣旨:

このデータは、

Random Walk(乱数列)でないよね?

(Random Walk列でも、何かそれっぽいモデルが出来得る。

けど、そのモデルって一体何よ? てな議論になるので…)

やり方:

「Random Walkではない」の仮説検定

• Phillips-Perron検定 [stats::PP.test]• Augmented Dickey-Fuller検定 [tseries::adf.test]

3.2. 3.2. モデル作成モデル作成

2012/03/10 RでGARCHモデル

詳細はこちらを

Page 33: RでGARCHモデル - TokyoR #21

33

確認してみる(PP.testを使用)

よって、安心してリターン系列はいじれる。

3.2. 3.2. モデル作成モデル作成

> PP.test(topix.close) # TOPIX現系列Phillips-Perron Unit Root Test

data: topix.closeDickey-Fuller = -1.9303, Truncation lag parameter = 7, p-value = 0.6078

> PP.test(topix.return) # TOPIXリターン系列Phillips-Perron Unit Root Test

data: topix.returnDickey-Fuller = -39.3825, Truncation lag parameter = 7, p-value = 0.01

2012/03/10 RでGARCHモデル

Random Walkの可能性61%

Random Walkの可能性1%

Page 34: RでGARCHモデル - TokyoR #21

34

【1/2】(季節調整なし)ARIMAモデル

参考:Tokyo.R#17 @teramonagi さん資料

(ただ、問題があるのだが…。次のスライドで)

最適次数は、ARIMA = (4,0,4)

3.2. 3.2. モデル作成モデル作成

library("snow")hosts <- rep("localhost", 2)cl <- makeCluster(hosts, type=“SOCK”); clusterExport(cl, "topix.return")

clusterCall(cl, topix.arima <-apply(expand.grid(1:5,1,0:5) , 1 , function(x) { try(

arima(topix.return, order = x ), TRUE) } ) )

stopCluster(cl)opt.topix.arima <- Reduce(function(x,y) if(x$aic < y$aic){x} else{y}, topix.arima)

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 35: RでGARCHモデル - TokyoR #21

35

【参考】前ページの問題:係数が収束しない場合

ARIMA = (3,1,5) は、一部係数が無限大に飛ぶ

arima(topix.return,order = c(3,1,5), fixed=c(0,NA,NA,0,0,NA,NA,NA))

で無限大の項を除去できるが、当然AICの値は変わる

3.2. 3.2. モデル作成モデル作成

2012/03/10 RでGARCHモデル

係数は∞

Page 36: RでGARCHモデル - TokyoR #21

36

【2/2】の前に fGarch::garchFit で最適次数の探索法

ループでコマンドを生成・実行し、listに投入、してみた。

(問題:(1) 係数発散時の問題 (2)エラー処理が未対応)

最適次数は、GARCH (1,1)

3.2. 3.2. モデル作成モデル作成

#書式: garchFit( ~ garch(P, Q), data = topix.return, trace = FALSE )

topix.garch <- as.list(NULL)i <- 1; for (P in 1:5){ for (Q in 0:5){topix.garch[[i]] <- try( eval( parse( text =

paste("garchFit( ~ garch(", P ,", ", Q , "), data = topix.return, trace = FALSE )" ))), silent = TRUE)

i <- i + 1 } }opt.topix.garch <-Reduce(function(x,y) if(x@fit$ics[1] < y@fit$ics[1]){x} else{y}, topix.garch)

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 37: RでGARCHモデル - TokyoR #21

37

【参考】先のコードが汚い、Rらしくない、

とは思った、が改良は実力不足につき断念。

どうも、素直ではない書き方?をしないとダメっぽい。

上記例:[R] fGarch: how to use garchFit() in loop?https://stat.ethz.ch/pipermail/r-help/2010-August/249276.html

3.2. 3.2. モデル作成モデル作成

2012/03/10 RでGARCHモデル

library(fGarch)spec <- garchSpec(model = list(alpha = 0.1, beta = c(0.4, 0.4)))Xt <- garchSim(spec, n = 100)

x <- list() for(q in 1:3){

print(q)x[q] <- list(garchFit(substitute(~garch(1,beta), list(beta =q))

, data = Xt, trace = FALSE)) }

Page 38: RでGARCHモデル - TokyoR #21

38

【2/2】ARMAモデル + GARCHモデル

データは だと仮定して、

• (条件付き)平均値はARMAにて

• (条件付き)分散はGARCHにて推定

ただ、これも係数発散問題が発生した…(最後は怪しい手作業の)探索結果は、ARMA(5, 5) + GARCH(1, 1)

3.2. 3.2. モデル作成モデル作成

#書式: garchFit( ~ arma(p, q) + garch(P, Q), data = topix.return, trace = FALSE )

やったソース:先のGARCHモデル のノリで、もっと醜悪にしたもの…実行には3・4時間くらいかかった、気がする。

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 39: RでGARCHモデル - TokyoR #21

39

◇◇ 全体構成全体構成 ◇◇

1. Executive Summary2. 理論編

1. ARIMAモデル

2. GARCHモデル

3. 実践編

1. TOPIXとは?

2. モデル作成

3. モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 40: RでGARCHモデル - TokyoR #21

40

最初にお詫び

以降のモデル検証は、

• 前節でのエラーが取り切れていない

• だからか?GARCHモデルの検証結果が怪しい

• (あと時間不足で)モデルの予測まで未到達

です。何卒、ご了承下さい…。

3.3. 3.3. モデル検証モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 41: RでGARCHモデル - TokyoR #21

41

【1/2】ARIMAモデルの場合

stats::tsdiag で残差を見てゆく。

• 使用例:

(※ gof.lagは、最下段:残差の自己相関 の検定時のラグ数)

• 出力例は、次のページで。

結果:とりあえず、問題なさそうな。

3.3. 3.3. モデル検証モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

tsdiag(opt.topix.arima, gof.lag=10 )

Page 42: RでGARCHモデル - TokyoR #21

422012/03/10 RでGARCHモデル

Standardized Residuals

Time

0 500 1000 1500

-8

0 5 10 15 20 25 30

0.0

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

p values for Ljung-Box statistic

lag

p va

lue

3.3. 3.3. モデル検証モデル検証正規化残差

自己相関飛び出てなければ

定常過程

残差の自己

相関がゼロである確率

Page 43: RでGARCHモデル - TokyoR #21

43

【2/2】ARMA + GARCHモデルの場合

見たい事:

• 基準化された残差 はゼロなの?

• 基準化された残差 は正規分布なの?

を仮定して

但し、 、

3.3. 3.3. モデル検証モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

再掲:GARCHモデル

Page 44: RでGARCHモデル - TokyoR #21

44

【2/2】GARCHモデルの場合

3.3. 3.3. モデル検証モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

収束がどうも怪しい

左:残差の平均右:平均値の標準誤差平均ゼロで無い!orz正規分布テストもダメ

尖度・歪度を見た(要Package: e1071)

Page 45: RでGARCHモデル - TokyoR #21

45

ARIMAとGARCHモデルの比較

やりたかったこと(その1)

• GARCHモデルで、 は の不偏推定量なのか?

具体的には、

誤差項

の回帰式を考える。

もし不偏推定量ならば、

係数が になるハズ。

3.3. 3.3. モデル検証モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 46: RでGARCHモデル - TokyoR #21

46

ARIMAとGARCHモデルの比較

やりたかったこと(その2)

• GARCHモデルを導入すると、ARIMAモデルより「美味しい」のか?の検証

• 但し、ある指標で決まる話ではない。予測するものは、

ARIMAモデル:出力は時系列の値

GARCHモデル:出力は分散の値

と異なるため。

• 考えていた観点の例:

• ARIMAでの予測標準誤差を、GARCHの値と比較

• (特に荒れたときの)過去時点での予測値を比較

3.3. 3.3. モデル検証モデル検証

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 47: RでGARCHモデル - TokyoR #21

47

まとめまとめ

• 時系列モデルとは、過去の値から将来の値を予測するモデルで、代表的なものにARIMAモデルがある。

• ARIMAモデルは、残差の分散が均一なのを仮定。よって、突発的な変動があると弱い

• GARCHモデルは、残差に時系列構造を導入することで、突発的な変動にも対応しようとするモデル

2012/03/10 RでGARCHモデル

今後の課題今後の課題

• モデルの係数が発散する場合の対応(参考:P35)

• (↑ に関連し)ホントは、係数推定前にエラー検知したい

Page 48: RでGARCHモデル - TokyoR #21

48

最近買った本(参考文献4)を眺めていて

観測時系列データ:

は、必ずしも等時間間隔で取得できるとは限らない。

そこで、連続時間の確率過程を↓と表記

ここで、 は標準ウィナー過程であり、

は平均ゼロ、分散 に従う。

おまけおまけ

2012/03/10 RでGARCHモデル

間隔が開くと、分散が大

Page 49: RでGARCHモデル - TokyoR #21

49

(平均回帰する)具体的なモデルの一例:

• Ornstein-Uhlenbeck過程(OU過程)

( のときにErgotic(何かに確率収束する))

• Vasicek過程

( のときにErgotic)

おまけおまけ

2012/03/10 RでGARCHモデル

Page 50: RでGARCHモデル - TokyoR #21

50

何でこんな話をしたのか?

「月曜日にマーケットは動く(月曜日効果)」と聞くので。

• 理由の例:金曜→月曜だけ間隔が広く、情報が多く入るから

試しに:各曜日のTOPIXのリターンの標準偏差を計算

おまけおまけ

2012/03/10 RでGARCHモデル

library(RFinanceYJ); library(xts)

# データを取得し、xtsに変換topix.raw <- quoteStockTsData('998405.t‘

, since=‘2006-01-04’, date.end=‘2012-01-31’ )topix.xts <- as.xts( read.zoo(topix.raw))# 曜日毎の日次リターン・標準偏差の集計。1件目はNULLなので除外tapply( ( (topix.xts[,4]-lag(topix.xts[,4]))-1 )[-1,]

, weekdays(index(topix.xts[-1,])) , sd)

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その結果:

• 真面目に考える方法例:以下回帰式を推定。各曜日のダミーを立て、各係数の有意確率と符号で判断

(多重共線性防止のため、月曜日ダミーは入れていない)

おまけの蛇足おまけの蛇足

2012/03/10 RでGARCHモデル

曜日 標準偏差

月曜日 18.45火曜日 17.82水曜日 17.75木曜日 17.90金曜日 17.71

月曜日の値が一番大きい

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参考文献参考文献

1. 渡部敏明 『ボラティリティ変動モデル』

朝倉書店 2000年

2. 岡田昌史(代表) 『Rパッケージガイドブック』

東京書籍 2011年⇒ 特に高柳氏のRmetricsのところを参照

3. P. Teetor(著)大橋・木下(訳)『Rクックブック』

オライリー・ジャパン 2011年

4. 西山陽一 『ISMシリーズ:進化する統計数理1 マルチンゲール理論による統計解析』 近代科学社 2011年

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