ParbolaDefinicin:Llamamos parbola al lugar geomtrico de los
puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco (F),
y de una recta fija llamada directriz (d); con .Observaciones: La
distancia del foco a la directriz se llama parmetro, y se designa
con la letra p. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a
la directriz, se llama eje (e) de la parbola. La interseccin del
eje y la parbola recibe el nombre de vrtice (V). Siendo , el vrtice
es el punto medio del segmento . Cualquier segmento con extremos en
la parbola recibe el nombre de cuerda . Si la cuerda pasa por el
foco, se llama cuerda focal. Si la cuerda focal es perpendicular al
eje, se llama lado recto . Todo segmento que tiene por extremos el
foco de la parbola y a otro punto P cualquiera de ella, recibe el
nombre de radio focal .Trazado de una parbola por puntosSe trazan
circunferencias de centro el foco y radio mayor que la mitad de la
distancia del foco a la directriz, que se cortan con rectas
paralelas a la directriz a una distancia igual al radioDistancia de
un punto a una rectaSea la recta y el punto , la distancia del
punto a la recta puede ser calculado dela siguiente manera:
Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje coincidente
con Sea la distancia del foco F a la directriz . Dicha distancia
recibe el nombre de parmetro de la parbola.Todo punto del plano,
perteneciente a la parbola , verifica la ecuacin:
Donde si , o si Demostracin:Dado que el vrtice tienen
coordenadas , y que equidista del foco y de la directriz, las
coordenadas del foco sern y la ecuacin de la directriz (si la
concavidad es positiva), o y (si la concavidad es
negativa).Inicialmente estudiaremos el caso en que tenga concavidad
positiva: Sea
Elevando ambos miembros al cuadrado:
En el caso que la concavidad sea negativa el procedimiento es
anlogo, caso en el cual obtendremos:
Considerando esto, la ecuacin de una parbola con vrtice en el
origen y eje coincidente con vendr dada por:
Donde si la concavidad es positiva , o si la concavidad es
negativa .
Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje coincidente
con En el caso en que la parbola tenga vrtice en el origen y eje
coincidente con , todo punto verificar la ecuacin:
Donde si la abscisa del foco es positiva, o si la abscisa del
foco es negativa.Ejercicios:1. Demostrar la ecuacin anterior.2.
Demuestra que la longitud del lado recto es igual a .3. Halla la
ecuacin de la parbola en cada uno de los siguientes casos:a.
Directriz y foco b. Directriz y foco c. Directriz y foco .d.
Directriz y foco e. Directriz y vrtice f. Directriz y vrtice g.
Foco y vrtice h. Foco y vrtice
4. Hallar coordenadas del foco, vrtice, lado recto, ecuacin de
la directriz y bosquejar:a. b. c. Ecuacin de la parbola de eje
paralelo a Sea de eje paralelo a , con vrtice . Para encontrar la
ecuacin, recurriremos a una traslacin de los ejes coordenados, para
de esta forma partir de un caso conocido. Para eso realizamos el
siguiente cambio de variables: En este nuevo sistema de referencia,
la ecuacin de la parbola ser: .Deshacemos el cambio de variables
sustituyendo: Obteniendo: Si llamamos y , llegamos a que toda
parbola de eje paralelo a tiene una ecuacin de la siguiente
forma:
A partir de sta tenemos que las coordenadas del Vrtice, las del
Foco y la ecuacin de la directriz sern:
Anlogamente se demuestra que si la parbola tiene eje paralelo al
eje tiene una ecuacin de la forma:
Discusin:La ecuacin , con , pero no simultneamente, representa
una parbola, dos rectas paralelas, o ningn lugar geomtrico. Sea el
vrtice .CoeficientesEcuacinLugar Geomtrico
Parbola de eje paralelo a
Dos rectas paralelas a , disjuntas.
Dos rectas paralelas a , coincidentes.
Ningn lugar geomtrico.
Parbola de eje paralelo a
Dos rectas paralelas a , disjuntas.
Dos rectas paralelas a , coincidentes.
Ningn lugar geomtrico.
Ejercicios:1. Hallar los elementos y bosquejar las siguientes
parbolas:Repartido terico prctico de Parbola3 Bachillerato 2014a.
Prof.: Virginia Medeiros Guillermo De los Angeles4b. c. d. e. 2. 3.
Hallar la ecuacin de la parbola en cada uno de los siguientes
casos:a. b. y c. y d. y e. y f. y g. y 4. 5. Hallar la ecuacin de
la parbola cuyo eje es paralelo al eje y que pasa por los puntos ,
y .6. Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice y foco . Hallar la
ecuacin de la directriz y la longitud de su lado recto.7. Hallar la
ecuacin de la parbola de eje coincidente con y que pasa por los
puntos y .8. Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice , cuyo eje
es la recta y que pasa por el punto .
Interseccin entre una parbola y una rectaPara encontrar los
puntos de interseccin debemos considerar que los puntos comunes a
la recta y la parbola debern verificar las ecuaciones de ambas, por
lo que para calcular sus coordenadas bastar con resolver el sistema
de ecuaciones formado por las ecuaciones de la parbola y la
recta.Si la parbola tiene su eje paralelo a :Sustituyendo en la
ecuacin de :
Del nmero de races de esta ecuacin depender que la recta sea
secante, tangente o exterior a la parbola. Es decir:
Anlogamente estudiamos la interseccin si la parbola tiene su eje
paralelo a .Ejercicio:Hallar la interseccin de la recta con la
parbola .
Tangente a una parbola en un punto de la mismaSea la parbola y
el punto , con .Toda recta que pase por tendr una ecuacin de la
forma:
Buscando la interseccin con la parbola, sustituimos en la
ecuacin de la parbola:
Como la recta debe ser tangente, la ecuacin debe tener una nica
raz, y por lo tanto tenemos lo siguiente:
Sustituyendo en la ecuacin de la recta obtenemos la ecuacin de
la tangente a por :
Ecuacin desdoblada de la tangenteOperando con la ecuacin
obtenida anteriormente:
Sumamos y restamos :
Como el punto , sus coordenadas satisfacen la ecuacin de la
misma:
Sustituyo en la ecuacin anterior:
Transponiendo trminos y agrupando:
Dividiendo ambos trminos entre 2 obtenemos la ecuacin desdoblada
de la tangente:
As, para obtener la ecuacin de la tangente a una parbola por un
punto de la misma simplemente realizamos la siguiente sustitucin en
la ecuacin de la parbola:
Si tiene eje paralelo a :
Si tiene eje paralelo a :
Ejercicios:1. Hallar la ecuacin de la tangente a la parbola en
el punto de ordenada y de abscisa negativa.2. Sea , y el punto .
Encuentra la ecuacin de la recta tangente a por .3. Sea , y el
punto . Encuentra la ecuacin de la recta tangente a por .Tangentes
a una parbola desde un punto exteriorParbola con eje paralelo a Sea
, y exterior a . Las rectas tangentes a la parbola por el punto
tienen una ecuacin de la forma: , donde desconocemos el valor del
coeficiente angular .Dado que debe ser tangente a la parbola, al
intersecarlas la ecuacin de segundo grado resultante de resolver el
sistema debe tener una raz doble:
Como
Los dos resultados anteriores darn lugar a las dos rectas
tangentes con coeficientes angulares y correspondientes a los
resultados obtenidos.Parbola con eje paralelo a Ejercicio:
Demuestra que los valores de los coeficientes angulares de las
rectas tangentes a una parbola por un punto vienen dados por:
Ejercicios:1. Encuentra la ecuacin de las rectas tangentes a la
parbola por el punto exterior .2. Encuentra la ecuacin de las
rectas tangentes a la parbola por el punto exterior .3. Encuentra
la ecuacin de las rectas tangentes a la parbola por el punto
exterior .