Rapport de stage en vue du - Pages perso de Patrick …patrick.vaudon.pagesperso-orange.fr/fatna.pdf · Rapport de stage en vue du : Master Recherche 2 ème année ... permanente

Département O.S.A.

Rapport de stage en vue du :

Master Recherche 2 ème année

Circuits Systèmes Micro et Nano Technologies pour les Communications Hautes Fréquences et Optiques

Domaine Sciences Technologies Santé

«« DDéétteeccttiioonn ddeess AAnngglleess eenn 22--DD »»

Auteur : Fatna BEN AHMED DAHO

Responsables du stage : Patrick VAUDON

Guillaume NEVEUX.

Juin 2008

3

4

Remerciement Remerciement Remerciement Remerciement

Ce stage s’est déroulé à ESTER –Technopole à Limoges, au sein de

l’équipe de recherche OSA du laboratoire XLIM.

J’adresse ma gratitude à monsieur Dominique Cros –Professeur des

Universités, Directeur d’XLIM- pour m’avoir accueillie au sein du laboratoire

XLIM ainsi qu’ à monsieur Bernard Jecko - Professeur des Universités,

Directeur d’OSA- pour m’avoir accueillie au sein du département OSA.

J’exprime ma reconnaissance à messieurs Patrick Vaudon et Guillaume

Neveux pour avoir encadré ce stage, pour leurs qualités humaines, pour leur

confiance et leurs encouragements et pour leur disponibilité et leurs conseils

précieux, pour l’avancement du stage.

J’adresse mes remerciements à monsieur David Carsenat pour m’avoir

assistée pour ce travail et pour m’avoir accordé de son temps malgré ses

préoccupations.

Je tiens à remercier particulièrement Monsieur Moctar Mouhamadou qui

m’a accompagnée et soutenue durant la période du stage. Il m’a beaucoup

apporté tant sur le plan scientifique qu’humain. Je salue sa sagesse, sa patience,

son implication et son sens du service à l’autrui. Merci pour tout.

Un grand merci également à monsieur Eric Arnaud pour m’avoir accueilli

dans son bureau, pour la qualité de sa personne et pour sa bonne humeur

5

permanente qui favorisait les bonnes conditions de travail, n’est ce pas

Oussama ?… (Oui !!!) Merci à toi aussi Oussama pour ta sympathie.

J’adresse mes remerciements à messieurs Cyril Decroze, Marc Thevenot.

Merci à tous ceux que j’ai le plaisir de rencontrer : Nicolas, Laure, Agnès,

Charles, Adil, Emilien ; et tout le reste de l’équipe OSA à ESTER Technopole.

6

CHAPITRE I

Etat de l’art des méthodes à haute résolution

7

I.1 / Introduction : L’estimation des angles d’arrivée représente un intérêt de prime abord pour plusieurs

études qui essayent d’apporter les améliorations et les innovations aux différentes méthodes

d’estimation. La classification de ces méthodes permet de mieux voir les grandes familles de

méthodes d’estimation des paramètres des signaux (direction d’arrivée, temps d’arrivée,…) et

l’évolution apportée au cours de ces dernières années.

I.2 / Classification des méthodes à haute résolution :

I.2.1 / Méthodes basées sur la notion de sous-espa ce

Elles sont les plus utilisées des méthodes conventionnelles. Elles font appel à la notion de

sous-espace définis par la décomposition en vecteurs et valeurs propres de la matrice de

covariance de l’observation totale.

On distingue deux familles de méthodes basées sur la notion de sous-espace :

• méthodes à recherche spectrale.

• méthodes sans recherche spectrale.

I.2.1.a / Méthodes à recherche spectrale :

Elles sont basées sur l'analyse du spectre obtenu par la projection orthogonale des

vecteurs directionnels des sources sur le sous-espace bruit. Parmi ces méthodes, on cite MUSIC

[1], minimum variance method, null steering, linear predictive method [2]. La performance de ces

méthodes est limitée par la précision des extrémums recherchés pendant l’analyse spectrale. De

plus, MUSIC est sensible au bruit et au couplage mutuel.

I.2.1.b/ Méthodes sans recherche spectrale :

La méthode ESPRIT [1] exploite l'invariance rotationnelle du sous-espace signal et

l’invariance translationnelle de la structure du réseau de capteurs. Elle effectue l'estimation de la

DoA à partir du calcul des valeurs propres de la matrice de covariance du signal reçu.

De nombreux travaux ont contribué à perfectionner cet outil d’estimation en proposant le

LS-ESPRIT [2,3] qui utilise la méthode des moindres carrés, le TLS-ESPRIT qui utilise les

moindres carrés totaux [2,3]. Les études ont montré qu’ESPRIT est la plus performante des

méthodes à haute résolution [4].

I.2.2 / Méthodes du maximum de vraisemblance (ML)

Elles sont asymptotiquement efficaces et sans biais, souvent préférées à d’autres

méthodes lorsqu’elles possèdent des solutions analytiques simples, on cite SAGE (Space-

8

Alternating Generalised Expectation-maximisation) [2] méthodes adaptable à la goniométrie et

WSF (Weighted Subspace Fitting) [5]. Elles sont très efficaces pour l’estimation d’amplitudes

complexes ou d’écart- type du bruit, en revanche, elles sont lentes et difficiles à implémenter.

I.2.3 / Méthodes à réseaux de neurones .

Contrairement à toutes les méthodes citées précédemment, celles-ci sont peu sensibles au

bruit, prennent en compte les couplages mutuels et sont rapides malgré le calcul complexe, le seul

inconvénient est la difficulté de l’implémentation [6]. On cite :

I.2.3.a / RBFNN (Radial Base Function for Neural Ne tworks)

C’est une fonction radiale de base appliquée à un réseaux de neurones artificiels, pour

l'estimation de la direction d’arrivée DoA, utilisable dans le cas de réseaux à très large bande,

même en présence de couplage mutuel.

I.2.3.b / MRAN (Minimal Ressource Allocation Networ k)

Il s'agit d'un essai pour établir un algorithme d'apprentissage séquentiel pour l'estimation de

la Direction d’arrivée.

I.2.4 / Algorithmes Génétiques (AG):

Empruntés à la Biologie et appliqués aux antennes et à la propagation électromagnétique,

ces algorithmes donnent l'accès à tous les renseignements: rayonnement, synthèse du réseau,

déphasage, modulation, temps d’arrivée, direction d’arrivée (DoA) [7]

Bien qu'ils soient efficaces, les AG ne sont pas utilisées dans les télécommunications

mobiles, d’une part car ils ne prennent pas en compte les couplages inter-capteurs, et d’autre part

ils sont très coûteux en temps de calculs à cause de leur complexité.

I.2.5 / Méthodes dont les principes dépendent de st ructures ou de signaux particuliers :

Plusieurs travaux sont consacrés à la définition de nouvelles méthodes pour l'estimation de

la DoA. Ces méthodes ont pour objectif d'être moins complexes en évitant le calcul de valeurs

propres [8]. En revanche, elles ne sont pas universelles, car elles ne s'appliquent qu'à des

structures de réseaux ou des modèles de signaux particuliers

La méthode du propagateur est un opérateur qui est associé à des réseaux parallèles, ou

en forme de L [9]. Les études ont montré la performance relative de cette méthode mais le calcul

itératif qu’elle utilise est relativement lourd par conséquent coûte en temps de calcul.

9

I.3/ CONCLUSION :

Les études récentes projettent d’améliorer les méthodes d’estimation des paramètres

notamment de la DoA et d’accroître à la fois la performance de calcul et la possibilité d’utilisation

dans un système de télécommunication mobile de la façon la plus aisée.

10

CHAPITRE II

L’Estimation de la Direction d’Arrivée en 1-D

11

IIII.. 11 // IInnttrroodduuccttiioonn ::

Ce chapitre est consacré à l’estimation des directions d’arrivée des signaux à bande

étroite en utilisant des réseaux linéaires uniformes (ULA). On s’intéresse principalement aux

méthodes d’estimation basée sur la notion de sous-espaces notamment MUSIC [10] et

ESPRIT [11] qui exploitent les propriétés de la matrice de covariance du réseau d’antennes.

Leurs principes consistent à décomposer l’espace des observations en deux sous-espaces

(sous-espace signal et sous-espace bruit) pour l’estimation de la direction d’arrivée.

Ces méthodes nécessitent au préalable la connaissance du nombre de sources non

corrélées et doivent respecter les hypothèses suivantes :

1. les fronts d’ondes incidents sont plans.

2. le bruit est blanc gaussien et non corrélé avec le signal.

3. le nombre des sources décorrélées est connu et est inférieur à la taille du réseau.

4. les sources sont décorrélées et spatialement cohérentes.

5. le système est stationnaire sur la durée de l’acquisition.

le traitement doit se faire en temps réel.

Dans un premier temps, nous présenterons le modèle du signal reçu et l’estimation

de la matrice de corrélation. La mise en œuvre des méthodes à haute résolution (MUSIC et

ESPRIT) sera ensuite présentée. Enfin, nous nous intéresserons également à leurs

performances.

II.2 / Modèle du signal:

Fig. II.1 : Réseau d’antennes linéaire uniforme accueillant K signaux incidents.

S2

… M-1 3 2 1 M

d

S1

∑

kθ2θ

1θ

( )X t

SK

1( )X t 2( )X t 1( )MX t− ( )MX t 3( )X t

12

Soit un réseau linéaire de M antennes identiques, isotropes et uniformément

espacées de / 2d λ= . Ce réseau reçoit K signaux parfaitement décorrélés avec les angles

d’incidences ,kθ k = 1..K. Le vecteur d’observation à la sortie du réseau s’exprime sous la

forme :

[ ]011 1

022 21 2

0

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ), ( ), , ( ) .

( ) ( ) ( )

K

M K M

N tX t S t

N tX t S ta a a

X t S t N t

θ θ θ

= +

⋯⋮ ⋮ ⋮

Où - S est l’enveloppe complexe des K sources de dimension [K x 1].

- A = [ ]1 2( ), ( ), , ( )Ka a aθ θ θ⋯ est la matrice réponse du réseau d’antennes de

dimension [M x K], et 1, 2, ,( ) [ , , , ]k k M kj j j Tka e e eφ φ φθ − − −= … est le vecteur directionnel lié à

la kième source où ,

2( 1)sinm k k

dm

πφ θλ

= − représente le déphasage géométrique introduit

par le mième élément du réseau à la kième source en fonction de l’angle d’incidence.

- No(t) est la matrice de bruit additif blanc gaussien de moyenne nulle et de variance

σ², de dimension [MxN] où N est le nombre d’échantillons temporels.

On note que X la matrice des enveloppes des K signaux est de taille [MxN], La

matrice de covariance des signaux est définie par :

{ . }HxxR E X X=

En supposant les signaux décorrélés et spatialement cohérents d’une part, et décorrélés

avec le bruit d’autre part, la matrice de corrélation du vecteur d’observation ( )X t peut

s’écrire :

. . ²Hxx ss MR A R A Iσ= +

Rss est la matrice de covariance du signal S, elle est carrée, non singulière et de rang

K.

La quantité ² MIσ correspond à la matrice de covariance du bruit de taille MxM, ²σ est la

variance du bruit et est la même pour tous les capteurs, MI est la matrice d’identité MxM.

Dans la pratique, la matrice de corrélation est estimée par la quantité :

1. . H

x xR X XN

=

( ) . ( ) ( )X t A S t No t+≜

13

Dès lors que la matrice de covariance Rxx est estimée, les méthodes à hautes résolution

peuvent être utilisées pour l’estimation des directions d’arrivée des signaux RF.

II.3 / Méthodes à haute résolution basées sur la no tion de sous-espace :

La matrice xxR étant hermitienne et définie positive [4], ses valeurs propres sont

réelles et positives. Ses M valeurs propres non nulles sont classées par ordre décroissants

et les M-K dernières valeurs propres sont égales à ²σ , on peut écrire :

1 2 1 2 ²K K K Mλ λ λ λ λ λ σ+ +≥ ≥ ≥ ≥ = = = =… …

²σ

1

_Amplitude λ

2 Kk K+1 M-1 M

Dimension K

Sous-espace signal

Dimension M-K

Sous-espace bruit

Fig. II. 2 : Représentation des valeurs propres de xxR

Les M vecteurs propres de xxR associés aux M valeurs propres kλ sont : 1 2, , , MV V V…

On désigne par le sous-espace signal, le sous-espace engendré par les K vecteurs

propres liés aux valeurs propres les plus importantes.

1 2,[ , , ]s KE V V V= …

Et on désigne par le sous-espace bruit, le sous-espace engendré par les M-K vecteurs

propres liés aux M-K petites valeurs propres.

1 2,[ , , ]n K K ME V V V+ += …

II.3.1 / MUSIC: MUltiple SIgnal Classification

MUSIC [10] est la méthode la plus répandue. Elle exploite les propriétés du sous-

espace signal et du sous-espace bruit :

… … …

14

• les vecteurs directionnels ( )ka θ , 1..k K= sont colinéaires aux vecteurs du sous-

espace signal 1 2,[ , , ]s KE V V V= …

• les vecteurs directionnels ( )ka θ , 1..k K= sont orthogonaux aux vecteurs du sous-

espace bruit 1 2,[ , , ]n K K ME V V V+ += …

Pour la détermination des différentes directions d’arrivée, il faut :

• diagonaliser la matrice de covariance des données,

• identifier l’espace signal et le sous-espace bruit.

• trouver un projecteur sur le sous-espace bruit.

Le principe est de projeter tous les vecteurs directionnels possibles sur le sous-

espace bruit et de ne retenir que ceux qui minimisent cette projection, ce qui donne une

fonction discriminatrice ( ) ( ) . . . ( )H Hn nF a E E aθ θ θ= , dont les zéros correspondent aux

directions d’arrivée.

L’estimation des directions d’arrivée des signaux revient à rechercher les valeurs maximales

du spectre :

1_ ( )

( ) . . . ( )H Hn n

P MUSICa E E a

θθ θ

=

L’amplitude des pics de ce spectre n’a pas de lien quantitatif avec l’amplitude de la

composante correspondante du modèle [1], car les pics ne servent que pour indiquer

précisément la position angulaire de la source.

II.3. 2 / ESPRIT (Estimation of Signal Parmeters vi a Rotational Invariance Technique)

S2

………… M-1321 M

d

S1Sk

1θ 2θ kθ

Sous-réseau 1

Sous-réseau 2

1( )X t

2( )X t

Fig. II.3 : réseau de M antennes linéaire avec K signaux incidents

15

L’algorithme ESPRIT [11] exploite la propriété de l’invariance par translation du

réseau d’antennes ou la propriété de l’invariance rotationnelle de l’espace signal pour

estimer les directions d’arrivée.

Le principe d’ESPRIT repose sur la décomposition du réseau initial en deux sous

réseaux identiques, l’un est obtenu par translation de l’autre. L’information sur la direction

d’arrivée est contenue dans la matrice de passage liant les vecteurs d’observation en sortie

des sous réseaux. En désignant respectivement par 1( )X t et 2( )X t les vecteurs

d’observation en sortie des sous-réseaux 1 et 2, le vecteur signal reçu en bande de base du

réseau complet s’écrit :

1

2

( )( ) . ( ) ( )

( ) .

X t AX t S t N t

X t A

= = + Φ

Avec 1 2

2 2 2.sin .sin .sin

[ , , , ]Kj d j d j d

diag e e eπ π πθ θ θλ λ λΦ = …

Et la matrice de corrélation complète est donnée par

. . ². .

H

xx ss H H

A AR R I

A Aσ

= + Φ Φ

où - A est la matrice réponse d’un sous-réseau de dimension [M x K]

- ssR est la matrice de corrélation des signaux incidents.

Le sous-espace signal 1 2,[ , , ]s KE V V V= … du réseau entier peut être décomposé en

deux sous-espaces 1E et 2E . Ces deux sous-espaces sont les matrices de dimension

[(M-1) x K] et sont engendrés chacun par les K vecteurs propres correspondant aux K plus

importantes valeurs propres des matrices de covariance des sous-réseaux 1 et 2.

Il est engendré par les vecteurs propres liés au K plus grandes valeurs propres de la matrice

de covariance du vecteur d’observation total. Il peut être décomposé en deux sous-espaces

E1 et E2 de dimension [(M-1) x K] qui sont les sous-espaces signal respectifs des sous-

réseaux 1 et 2. On peut écrire alors :

1

2

1

1.

s

s

EE

E

EE

E

=

= Ψ

On désigne par Ψ , la matrice de translation liant les deux sous-espaces E1 et E2,

16

où 1. .T T−Ψ = Φ , avec 21 11. HT R R= , 11 1 1

1. .R X X

N= et 21 2 1

1. . HR X X

N= .

Les valeurs propres de Ψ et de Φ sont communes et sont de la forme

2 .exp( . .sin ), 1..k k

dj k K

πλ θλ

= − = ,

Les angles d’arrivée sont enfin exprimés par la relation :

1 arg( )sin ( )

2 . /k

k d

λθπ λ

−=

L’intérêt principal de cette méthode est de fournir un résultat numérique directement

exploitable sans passer par analyse spectrale qui coûte en temps de calcul et est lourde en

implémentation. Cette technique est moins sensible au bruit car elle n’exploite que les

propriétés du sous-espace signal contrairement à MUSIC qui exploite les propriétés du sous-

espace bruit.

II.4 / Résultats de simulation : Les figures ci-dessous montrent l’estimation par MUSIC et ESPRIT des DoA de deux

signaux décorrélées de la forme ( ) sin(2 . . ), 1,2k kS t f t kπ= = et 1 2f f≠ , d’incidences

1 10 ,θ = ° 2 45θ = ° . Ces DoA sont simulées pour SNR = 5 et 10 dB. Le nombre total des

antennes est M = 8, le nombre d’échantillon est fixé à N =100.

Θ =10.3° Θ =45.4°

Figure II.4 : résultats de simulation avec 2 sources incidentes sur un réseau de 8 capteurs

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-10

0

10

20

30

40

50

DoA (degrés)

spectre MUSIC

ESPRIT

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-10

0

10

20

30

40

50

DoA (degrés)

spectre MUSIC

ESPRITΘ = 45.1°

Θ = 9.9°

Θ = 44.7°

Θ = 10.4°

17

On observe que les pics s’élargissent et s’atténuent pour les valeurs faibles de SNR.

On observe aussi que la précision de l’estimation se dégrade aussi quand le bruit

prédomine : l’erreur est de 0.1° pour SNR = 10 dB. Elle est de 0.3° à 0.4° pour SNR =5dB,

elle reste cependant acceptable.

II.5 / Performance de MUSIC et de ESPRIT :

II.5.1 / L’erreur quadratique moyenne (RMSE)

La figure (Fig.II .5) montre l’évolution de l’erreur quadratique moyenne en fonction du

SNR dans le cas d’une sinusoïde arrivant sur un réseau de taille M=8 avec l’angle

d’incidence θ = 40°. Cette erreur est estimée par la quantité

ˆ( )²k kRMSE θ θ= −

L’erreur d’estimation augmente quand le SNR diminue mais elle reste inférieure à 2°

pour des niveaux moyens de bruit. L’erreur quadratique moyenne n’excède pas 1° pour les

valeurs de SNR supérieures à 1dB,

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

SNR

RM

SE

(°)

erreur MUSIC

erreur ESPRIT

II.5.2 / La Résolution: On appelle Résolution l’intervalle angulaire minimal séparant deux sources à partir

duquel l’estimateur estime bien l’angle d’arrivée.

La résolution s’améliore si le SNR augmente, on note que pour le réseau de M

capteurs, la résolution est de 6° pour SNR=10dB. La résolution est aussi influencée par la

Figure II.5 : RMSE fonction du SNR. K = 1, M = 8

18

taille du réseau. Plus le réseau est large, meilleure est la résolution ; comme le montre la

figure (Fig. .II.6)

0 5 10 15 20 25 30 35 401

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

SNR (dB)

Res

olut

ion

(°)

R MUSIC

R ESPRIT

On note aussi que la résolution dépend de la taille du réseau de capteurs, car elle

s’améliore pour ESPRIT et pour MUSIC si le réseau est plus large.

4 6 8 10 12 14 16 18 201

2

3

4

5

6

7

8

Taille du réseau

Res

olut

ion

(°)

R MUSIC

R ESPRIT

Fig. II.6 : Résolution fonction du SNR, M = 8

Fig. II.7 : Résolution en fonction de la taille de réseau, SNR = 10 dB

19

II.5.3 / La dynamique

On étudie les limites des intervalles angulaires sur lesquels le réseau d’antennes

supposées isotropes, associé à MUSIC ou ESPRIT est capable de bien estimer la direction

d’arrivée d’une sinusoïde à un SNR = 10 dB.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

angle theorique

angl

e si

mul

é

DoA MUSIC

DoA ESPRIT

La figure (Fig.II.6) montre la bonne performance des estimateurs des DoA. Les

angles d’arrivée sont bien estimés par les deux méthodes MUSIC et ESPRIT avec des

erreurs relativement faibles. Pour les angles supérieurs à 80° et inférieurs à -80°, les

estimateurs n’arrivent pas à estimer les DoA des signaux, cela est dû à l’utilisation de

réseaux linaires, c'est-à-dire, lorsqu’on s’éloigne de l’axe, on a apparition des lobes du

réseau.

II.3.3 / CONCLUSION :

Dans ce chapitre, MUSIC et ESPRIT ont été décrit et leurs performances ont été

étudiées. Les deux estimateurs présentent pratiquement les mêmes sensibilités au bruit et à

la taille de réseau. En revanche, l’estimation est très précise, l’erreur n’excède pas 1° pour

les deux estimateurs à des valeurs de SNR optimales.

Fig.II.6 : DoA simulée fonction de la DoA théorique. SNR = 10 dB

20

Chapitre III

Estimation de la Direction d’Arrivée en 2-D

21

III. 1 / Introduction

Ces dernières années, l’estimation de la Direction d’arrivée en deux dimensions

(dans le plan azimutal et dans le plan d’élévation) présente de plus en plus un grand intérêt

pour de nombreuses applications notamment le Radar, la Radio astronomie et la Téléphonie

mobile.

Ce chapitre sera consacré à la présentation des méthodes classiques - en l’occurrence

MUSIC et ESPRIT - pour l’estimation des DoA en deux dimensions, puis à l’étude de la

performance de ces méthodes.

III.2 / Modèle des signaux en réception:

X

Y

Z

Mx

S0

dx

dy

0θ

0ϕ

My…

On considère dans le plan (XoY), un réseau rectangulaire de M = Mx.My antennes

isotropes uniformément espacées de dx et dy respectivement suivant les axes OX et OY.

Ce réseau reçoit K signaux parfaitement décorrélés avec les angles

d’incidences ( , ), 1..k k k Kθ ϕ = . kθ et kϕ sont respectivement les directions d’arrivée en

élévation et en azimut. L’antenne à l’origine est prise comme référence de phase.

Le vecteur d’observation [6] ou le vecteur signal reçu est donné par :

( ) . ( ) ( )X t A S t N t= +

( )1 1

2 21 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )( , ), ( , ), , ( , ) . ( )

( ) ( )

K K

M K

X t S t

X t S ta a a N t

X t S t

θ ϕ θ ϕ θ ϕ

= +

⋯⋮ ⋮

Fig. III. 1 : Réseau d’antenne planaire dans le plan (XoY)

22

Où - 1 1 2 2[ ( , ), ( , ), , ( , )]K KA a a aθ ϕ θ ϕ θ ϕ= … est la matrice de réponse du réseau

- ( , )k ka θ ϕ est le vecteur directionnel lié à la kième source, traduit la différence de

phase introduite par les éléments du réseau. Il est défini pour 1..k K= par :

2 2( .sin .cos .sin .sin ) ( .( 1).sin .cos .( 1).sin .sin )

( , ) [1, , , ]x k k y k k x k k y k kj d d j d Mx d My T

k ka e eπ πθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕλ λθ ϕ

− + − − + −= …

A est la matrice de dimension [M x K] formée par la concaténation des vecteurs

directeurs ( , )k ka θ ϕ , 1..k K=

- N(t) est la matrice au niveau du réseau de dimension [MxxMy N ].

La matrice de covariance est estimée par la quantité :

1. . H

xxR X XN

=

III.3 / MUSIC 2-D:

III.3.1 / Description:

Après avoir déterminé la matrice de corrélation du vecteur ( )X t , la méthode

d’estimation décrite dans le passage II. 2, est applicable pour estimer les angles d’arrivée en

élévation et en azimut des sources. L’algorithme MUSIC 2-D [3,4] utilisé est donné par :

1_

( , ) . . . ( , )H Hn n

Spectre MUSICa E E aθ ϕ θ ϕ

=

Pour estimer les directions d’arrivée en élévation et en azimut, il faut :

• Estimer la matrice de covariance du vecteur d’observation total.

• Diagonaliser cette matrice et estimer le sous-espace bruit qui est engendré par les

vecteurs propres liés aux Mx.My –K petites valeurs propres.

1 2,[ , , ]n K K ME V V V+ += …

• Appliquer le projecteur défini par . Hn nC E E= à tous les vecteurs directionnels

possibles qui sont en fonction de θ et de ϕ puis identifier ceux qui minimisent la

projection.

• Les minimums de cette projection correspondent à la direction d’arrivée en élévation

et en azimut.

23

III.3.2 / Résultats de simulation:

La figure ci-dessous présente le résultat de simulation de deux sinusoïdes de DoA

(-10°,25°) et (35°,-45°) arrivant sur un réseau de dimension Mx=5, et My=4, à un SNR = 10

dB. Le tracé de spectre affiche deux pics qui correspondent aux coordonnées angulaires

(35°,-45°) et (-10°,25°).

III.3.3 / Etude des performances de MUSIC 2-D :

III.3.3.a / L’erreur d’estimation: On considère un réseau rectangulaire de dimension Mx =5 et My=4, dont les

antennes sont identiques et uniformément espacées de / 2x yd d d λ= = = , perturbé par

deux sinusoïdes décorrélées et de DoA (-30°,-20°) e t (10°,60°).

On se propose d’évaluer la RMSE (Root Mean Square Error) de MUSIC 2-D pour la

configuration proposée ci-dessus.

ˆ ˆ( )² ( )²k k k kRMSE θ θ ϕ ϕ= − + −

Fig. III.2 : Résultat de simulation de DoA de deux sources décorrélées, SNR = 10 dB

24

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

SNR (dB)

RM

SE

(°)

III.3.3.b / La résolution de 2-D MUSIC :

* La résolution en élévation:

Pour étudier la résolution, on considère deux signaux parfaitement décorrélées arrivant sur

un réseau rectangulaire uniforme avec le même angle d’azimut ϕ et avec des angles

d’élévation différents. Le principe est de déterminer l’intervalle d’angle d’élévation minimal

séparant les deux sources et à partir duquel l’estimation des DoA par MUSIC est bonne.

Soit deux sinusoïdes décorrélés arrivant sur un réseau de dimension [5 x 4] avec le même

angle d’azimut ϕ = 10° à un SNR= 10 dB. On cherche l’intervalle angu laire seuil en élévation

θ∆ à partir duquel MUSIC 2-D est capable d’estimer les deux directions d’arrivée sans les

confondre. De nombreux essais indépendants sont faits.

Spectre MUSIC

( )θ ° ( )ϕ °

Fig. III. 3 : l’erreur quadratique moyenne de MUSIC 2-D en fonction du SNR

25

A SNR= 10 dB, on obtient une résolution en élévation de 8°.

* La résolution azimutale:

On s’intéresse maintenant à la résolution en azimut. On effectue la même démarche

décrite dans le paragraphe précédent, sauf qu’on fixe l’angle d’élévation θ et on cherche

l’intervalle ϕ∆ à partir duquel l’estimation MUSIC 2-D est capable de séparer deux sources

et d’estimer leurs DoA correctement. On considère les mêmes paramètres de réseau, de

bruit. On fixe l’angle d’élévation θ = 20° et on cherche l’intervalle en angulaire seuil ϕ∆ qui

correspond à la résolution azimutale.

On note que cette valeur est la même pour différentes incidences pour un SNR = 10 dB.

La résolution en élévation de MUSIC 2-D est estimée à 8° et la résolution azimutale à 16°.

θ∆ = 8°

20

10

20

26

θ =20°

16°

10ϕ = °

( )θ °

( )ϕ °

26

Qualitativement, cette résolution s’améliore pour les valeurs de SNR optimales.

III .4 / ESPRIT 2-D III.4.1 / Description :

Avec l’utilisation des réseaux planaires, le principe de la méthode ESPRIT 2-D

[3] ne change pas par rapport à ce qui a été décrit dans le chapitre II.3. Cette méthode est

basée sur les propriétés du sous espace signal, engendré par les K vecteurs propres liés

aux K plus grandes valeurs propre de la matrice de covariance.

L’information sur la direction d’arrivée est contenue dans les valeurs propres des

deux matrices de transformation qui lient respectivement les sous réseaux 1 & 2, et les sous

réseaux 3 & 4.

Fig. III.1 : formations des sous-réseaux. On définit ces transformations par :

Es2 = 12T *Es1

Es4 = 34T *Es3

Les sous-espaces Es2 et Es1 sont de dimension [(Mx-1) x K] et les sous-espaces de

dimension [(My-1) x K].

On nomme xλ et yλ , les vecteurs de valeurs propres de 12T & 34T de longueur K.

Pour k = 1…K, on exprime les angles d’arrivée comme suit :

, ,

,1

,

arg( )² arg( )arcsin

(2 / )²

arg( )tan

arg( )

x k y kk

y kk

x k

d

λ λθ

π λλ

ϕλ

−

+=

=

27

III.4.2 / Résultats de simulation: On considère deux sinusoïdes décorrélées arrivant sur un réseau rectangulaire uniforme de

dimension Mx=5 et My =4, avec les DoA (-10°,25°) et (35°,-45°),

L’estimation par ESPRIT pour un SNR = 10dB donne le résultat suivant;

Source1

source 2

θ

-10.0874

34.7861

ϕ 25.6493 -44.7881

On note que l’erreur réelle n’est pas supérieure à 1° à un SNR de 10 dB.

III.4.3 / Performance de 2-D ESPRIT

III.3.3.a / l’erreur de l’estimation des angles d’arrivée :

On considère un RRU (Réseau Rectangulaire Uniforme) de 5x4 éléments, perturbé

par trois signaux décorrélés, On fixe:

On étudie l’influence du bruit sur la précision de l’estimation :

Pour de nombreux essais indépendants, le calcul donne une RMSE de 0.81° à un SNR de 10dB. Cette erreur croît avec le niveau de bruit. III.3.3.b / La résolution

On considère deux sources décorrélées arrivant sur un réseau d’antennes isotropes,

rectangulaire uniforme de dimension Mx=5 et My = 4. Les signaux arrivent avec le même

angle d’élévation fixé à θ = -30°. On fait varier l’angle d’azimut φ pour déterminer la

résolution azimutale à un SNR = 25 dB puis à un SNR = 10 dB

Les résultats de simulation sont présentés dans les tableaux ci-dessous :

source 1 2 3

élévation θ -55 -15 40

azimut ϕ -30 10 -65

ˆ ˆ( )² ( )²k k k kRMSE θ θ ϕ ϕ= − + −

28

Source1

source 2

θ

-29.3402 -30.7334

ϕ 10.5927 15.6262

Source1

source 2

θ

-29.8489 -30.7334

ϕ 12.711 16.7552

On observe que l’estimation est relativement bonne. A SNR = 25 dB, ESPRIT 2-D

arrive à bien estimer les DoA de sources de même élévation θ et séparées d’un intervalle

5ϕ∆ = ° en azimut. A SNR = 10 dB, ESPRIT arrive à estimer les deux sources de même

DoA et séparées d’un intervalle 5ϕ∆ = ° mais tolère une erreur réelle de plus de 2° en

azimut. Une démarche similaire aboutit à une résolution en élévation de 6°, cette quantité est

très sensible au bruit.

III.3.3.c / La dynamique des réseaux rectangulaires :

On étudie la dynamique des réseaux associés à ESPRIT 2-D ou à MUSIC 2-D, ou si

ESPRIT et MUSIC estiment correctement toute valeur de DoA. La figure III. 6. a montre que

le réseau d’antennes isotropes, rectangulaire, uniforme et associé à ESPRIT ou à MUSIC

couvre pratiquement tout l’espace angulaire, et l’erreur est acceptable pour les valeurs de θ

supérieures à 85°, l’erreur n’excède pas 3° et elle diminue pour les RRU de tailles plus

grandes.

La figure III. 6. b montre la bonne estimation de toutes les valeurs d’angle azimutal.

Cela s’explique par le fait que le réseau est placé dans le plan azimutal (XoY).

SNR = 25 dB

SNR = 10 dB

29

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100X: 87.4Y: 90

angle théorique

angl

e m

esur

é

limite de détection en thêta, SNR =10dB, URA 5x4

Fig. III. 6. a : angle d’élévation simulé en fonction de l’angle théorique

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

angle théorique

angl

e m

esur

é

limite de détection en phi, SNR =10dB, URA 5x4

Fig. III. 6. b : angle d’azimut simulé en fonction de l’angle théorique

Cependant si les deux dimensions angulaires ont des valeurs proches, l’estimation

est biaisée, nous présentons les résultats de simulation d’estimation de la direction d’arrivée

d’une source par MUSIC 2-D, la DoA théorique est de (84°,85°).

Le spectre a des pics parasites (Fig. III. 7), cela s’explique par l’apparition des lobes

du réseau quand on s’éloigne de l’axe.

30

-100-50

050

100

-100

-50

0

50

100-20

-10

0

10

20

phi

X: 84Y: 85Z: 17.82

cas particulier DoA(85°,84°)

theta

Fig. III. 7. : Spectre _MUSIC pour une source de DoA (85°,8 5°) à un SNR = 10 dB III.4 / Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons présenté les méthodes classiques MUSIC 2-D et

ESPRIT 2-D. nous avons également effectué une étude paramétrique de leurs

performances notamment la sensibilité au bruit, la résolution angulaire et la précision.

Quant à MUSIC 2-D, sa complexité de calcul n’a pas influencé sa précision, mais la

résolution azimutale est très médiocre.

Et quant à ESPRIT 2-D, sa précision est meilleure que celle de MUSIC 2-D, sa

résolution est plus fine, et le résultat numérique est immédiat.

31

CHAPITRE IV

ESTIMATION DE L’ORDRE DU MODELE

32

IV.1 / Introduction : Dans le chapitre précédent, le nombre de sources était supposé connu, ce qui n’est

pas généralement le cas dans la pratique. Le problème d’estimation du nombre de sources à

fait l’objet de nombreux travaux [12,13,14,15,16,17] car cette quantité est indispensable pour

les méthodes à haute résolution basée sur la décomposition en valeurs propres, tels que

MUSIC et ESPRIT, qui nécessitent la connaissance du nombre de sources décorrélées

avant d’estimer leurs directions d’arrivée.

Plusieurs méthodes ont été proposées dans la littérature [3]. Les méthodes les plus

classiques sont les méthodes du maximum de vraisemblance proposées par Bienvenu et

Kopp en 1983, et les critères issus de la théorie de l’information (ITC) [14]. Nous nous

intéresserons particulièrement au caractère ITC à savoir le critère AIC (Akaike Information

Criterion) proposé par Akaike en 1973 [18] et le critère MDL (Minimum description Length)

proposé par Schwarz en 1976 [19] qui estime les nombres de signaux à bande étroite bruités

par un bruit additif, blanc et gaussien. Ces critères dédiés à l’estimation de l’ordre du modèle

sont utilisés pour l’estimation du nombre de sources. Ces divers critères reposent sur la

similarité des valeurs propres du sous-espace bruit et consistent à minimiser une fonction de

coût d’un premier terme commun et d’un second terme qui constitue le facteur de

pénalisation [3].

1

1

ˆ

( ) log (2 ). ( )1 ˆ

N

M

ii k

M kM

ii p

ITC k k M k C l

M k

λ

λ

= +−

= +

= − + − −

∏

∑

Avec iλ les valeurs propres de la matrice de covariance classées par ordre décroissant.

C(l) est une fonction de la variable l, permet d’éviter de surestimer le nombre de

source K.

M nombre total de capteurs et N le nombre des échantillons.

IV.2 / L’estimation du nombre de sources- les critè res théoriques d’information

IV.2.1 / AIC: Le critère d’information d’Akaike AIC (Akaike Information Criterion) [18] est défini en

posant la fonction ( )C l = 1. Le nombre de source correspond au minimum de l’expression :

33

1

1

ˆ

( ) log (2 )1 ˆ

NM

ii k

M kM

ii k

AIC k k M k

M k

λ

λ

= +−

= +

= − + − −

∏

∑

IV.2.2 / MDL:

MDL (Minimum Description Length) est inspiré du critère précédent [19]. Le nombre

de source correspond au minimum de la quantité décrite ci-dessous, en posant

1( ) ln( )

2C l N= .

1

1

ˆ1

( ) log (2 ) ln21 ˆ

NM

ii k

M kM

ii k

MDL k k M k N

M k

λ

λ

= +−

= +

= − + − ⋅ −

∏

∑

IV.3 / Etude de performance :

Les critères AIC et MDL sont sensibles aux nombreux paramètres : le niveau du bruit,

la taille du réseau de capteurs, la résolution angulaire et le nombre réel des signaux

incidents. Pour vérifier cela, nous allons étudier par la suite le comportement des critères ITC

dans le cas de l’estimation de nombre de sources en utilisant des réseaux linéaires

uniformes. Ensuite, nous allons étudier l’influence des paramètres cités ci-dessus sur les

critères AIC et MDL dans le cas de l’estimation du nombre de sources associée aux réseaux

uniformes multidimensionnels. On rappelle que les antennes élémentaires sont supposées

isotropes.

IV.3.1 / estimation associée à un réseau linéaire u niforme:

IV.3.1.a / Influence du bruit On considère un réseau linéaire uniforme de taille M accueillant K signaux décorrélés

de la forme ( ) sin(2 . . ), 1..k k kS t A f t k Kπ= = ou 1 2 Kf f f≠ ≠ ≠… , d’angles

d’incidence , 1..k k Kθ = . On étudie l’influence du bruit sur l’estimation du nombre de sources.

On observe sur la figure (Fig. IV.1) le comportement du critère MDL et du critère AIC pour un

réseau linéaire de M=8 antennes accueillant 4 signaux décorrélés d’incidences -40°,

-25°,10° et 35° pour différentes valeurs du SNR. MD L et AIC sous-estiment le nombre de

34

sources jusqu’à respectivement un SNR =2 dB et un SNR = 0 dB. De manière générale, les

critères MDL ou AIC donnent le résultat attendu pour les valeurs de SNR plus grandes.

-5 0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

7

X: 2Y: 4

SNR (dB)

nom

bre

de s

ourc

es e

stim

é

MDLAIC

IV.3.1.b / Influence de la taille du réseau Pour étudier l’influence de la taille du réseau sur l’estimation du nombre de sources,

on considère les mêmes paramètres du signal décrit dans le paragraphe précédent et on fixe

le SNR à 10 dB. En faisant varier la taille du réseau d’antenne, on obtient le résultat présenté

sur la figure (Fig. IV. 2). On observe sur cette figure que les deux critères AIC et MDL

estiment bien le nombre de sources.

5 10 15 20 253

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

taille du reseau

no

mb

re d

e s

ou

rce

s e

stim

é

MDLAIC

Fig.IV.1 Estimation du nombre de sources par AIC et MDL en fonction du SNR

Fig.IV.2 Estimation par AIC et MDL fonction de la taille du réseau

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nombre de sources réel

nom

bre

de s

ourc

es e

stim

é

MDLAIC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nombre de sources réel

nom

bre

de s

ourc

es

est

imé

MDL

AIC

Fig. IV.3 : Nombre de sources, M=10, K= [1..9], à un SNRa = 10 dB (a) et à un SNRb = 5 dB(b)

(a)

(b)

_ _

_ max _ _ _convergence

nombre de source estimélim

nombre imal détecté par HR

−=

Cette limite est fonction du SNR et est égale à 1 lorsque l’estimateur estime le bon

nombre de sources. La limite de convergence du AIC est estimée à 1 @ 10 dB et à 0.89

@ 5 dB. La limite de convergence du MDL est estimée à 1 @ 10 dB et à 0.67@ 5 dB.

IV.3.1.c / Influence du nombre réel des signaux incidents:

Soit un réseau d’antennes isotropes, linéaire et uniforme de taille M=10, On envoie

progressivement des associations de K signaux décorrélés, K varie de 1 à 9, pour SNRa=10

dB et SNR b=5 dB.

Les critères AIC et MDL estiment correctement le nombre des signaux pour SNRa.

Pour SNR b, le critère MDL n’arrive pas à estimer le nombre de sources dès que le nombre

de signaux est supérieur à 6 et au delà de 7 signaux.

Nous définissons la limite de convergence d’un estimateur par le rapport entre le

nombre de sources estimé et le nombre maximal de signaux que peut détecter les méthodes

à haute résolution (hypothèse cf. chapitre II).

36

IV.3.2 / Estimation associée à un réseau rectangula ire uniforme: IV.3.2.a / Influence du bruit Considérons une antenne réseau rectangulaire uniforme de dimension [Mx My],

perturbée par K signaux décorrélés de DoA 1..( , )k k k Kθ ϕ = . Nous allons observer le

comportement des critères AIC et MDL en fonction du SNR. Pour cela nous considérons un

réseau de dimension Mx=5, My = 4, le nombre réel de signaux K = 3. Ces signaux sont de la

forme ( ) sin(2 . . ), 1..k k kS t A f t k Kπ= = ou 1 2 3f f f≠ ≠ , et d’angles d’incidence ( 50 ,20 ),− ° °

( 5 , 35 )− ° − ° et (10 ,40 )° ° . La figure (Fig. IV. 4) représente les résultats de simulation

obtenus :

La sensibilité au bruit alors est faible pour AIC et est légèrement plus importante pour

MDL, il donne la bonne valeur à partir de SNR = 2 dB. À partir de SNR= 2 dB, les critères

MDL et AIC sont égaux et estime bien le nombre de sources.

IV.3.1.b / Influence de la taille du réseau :

L’objectif est de déterminer la limite de convergence des critères MDL et AIC en

fonction de la taille du réseau de capteurs. On considère alors un signal incident avec la

DoA 0 0( , )θ ϕ sur un réseau planaire de dimensions [Mx My], Mx varie de 3 à 15 et My varie

aussi de 3 à 15. Les figures (Fig. IV .5.a) et (Fig. IV .5.b) correspondent à l’estimation

respectivement par les critères MDL et AIC d’une source de DoA (-50°,20°) à un SNR = 10

dB. Les deux courbes sont semblables, elles sont plates pour les petites valeurs de Mx et

My, puis croient pour les plus grandes valeurs.

-5 0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

X: 2Y: 3

SNR ,réseau 5x4

est

ima

tion

pa

r le

s IT

C

MDL

AIC

SNR (dB) Fig. IV. 4 : Nombre de sources estimé en fonction du SNR

37

Afin de faciliter l’interprétation des courbes, nous utiliserons leurs tableaux

correspondant qui représentent le nombre de sources estimé par le critère AIC (tableau IV.

a) et par le critère MDL (tableau IV.b).

Pour les réseaux de taille inférieure Mx.My < 36 antennes, l’estimation est juste et

égale à 1 par MDL ou par AIC. Au-delà ; l’estimation diverge très vite : AIC ou MDL estiment

le nombre de sources à 13 pour un réseau de dimension [8 x 6] et à 31 pour un réseau de

dimension [9 x 7].

Fig. IV. 5 : Nombre de sources estimé par MDL (a) et AIC(b) en fonction de la taille du réseau

2 4 6 8 10 12 14 16 0

5

10

150

50

100

150

200

250

dim. reseau suivant (oX)

Estimation AIC fonction de la taille du reseau

dim. reseau suivant (oY)

X: 6Y: 6Z: 1

24

68

1012

1416 0

5

10

15

0

50

100

150

200

250

dim. reseau suivant (oX)

Estimation MDL fonction de la taille du reseau

dim. reseau suivant (oY)

X: 6Y: 6Z: 1

(a) (b)

Tableau IV. b Tableau IV. a

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3

4 1 1 1 1 1 1 1 4 9 12 17

5 1 1 1 1 1 3 9 14 21 27 35

6 1 1 1 1 6 13 22 27 36 44 52

7 1 1 1 7 14 22 30 39 50 61 73

8 1 1 4 13 25 32 43 55 68 81 103

9 1 1 10 19 31 43 58 71 98 101 100

10 1 4 15 28 41 54 70 99 101 101 108

11 1 7 22 35 51 67 86 101 101 110 121

12 1 12 28 45 62 81 100 101 110 122 134

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 1 4 9 12 17 5 1 1 1 1 1 3 9 14 21 27 35 6 1 1 1 1 6 13 22 27 36 44 52 7 1 1 1 7 14 22 30 39 50 61 73 8 1 1 4 13 25 32 43 55 68 95 101 9 1 1 10 19 31 43 58 71 98 105 111

10 1 4 15 28 41 54 70 99 104 118 125 11 1 7 22 35 51 67 98 106 116 126 137 12 1 12 28 45 62 95 104 116 122 138 150

Fig. IV. 6 : estimation d’une source en fonction de la taille de réseau suivant les axes (oX) et (oY)

38

IV.3.1.c / Influence du nombre de source:

Soit maintenant un réseau uniforme dont les dimensions ne causent pas de

divergence pour AIC ou MDL accueille K signaux décorrélés de la forme

( ) sin(2 . . ), 1..k k kS t A f t k Kπ= = ou 1 2 Kf f f≠ ≠ ≠… , de DoA ( , ), 1..k k k Kθ ϕ = .

L’estimation par le critère MDL diverge pour le nombre de signaux incidents K > 3 à

SNR = 5 dB, et K> 4 à SNR = 10 dB. L’estimation par le critère AIC diverge dès que le

nombre de signaux arrivant sur le réseau de dimension [5 x 4] est supérieur à K = 4.

Telle que cela est définie au paragraphe IV.3.1.c, la limite de convergence du critère

AIC est estimée à 0.42 @ 5 dB et à 0.52 @ 10 dB. Quand au critère MDL, la limite est

estimée à 0.36 @ 5dB et à 0.42 @10dB. Ces limites sont très inférieures comparées à celles

dans le cas ou l’estimation du nombre de source est associée aux réseaux linéaires.

IV.4 / Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté le critère MDL (minimum description length)

et le critère AIC (Akaike information criterion) comme les critères les plus répandus des

critères de la théorie de l’information. Nous avons étudié les performances de ces

estimateurs pour des réseaux linéaires uniformes et nous avons montrés qu’ils sont

sensibles seulement au bruit. L’estimation ne peut être biaisée ni par l’augmentation de la

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

nombre de sources réel

nom

bre

de s

ourc

e es

timé

h mdl

h aic

0 5 10 15 20 251

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

nombre de sources réel

nom

bre

de s

ourc

e es

timé

h mdl

h aic

(a) (b)

Fig. IV. 7 : estimation du nombre de source en fonction des signaux incidents à un SNR =5 dB (a)et à un SNR = 10 dB (b)

39

taille du réseau, ni par la modification du nombre de signaux incidents jusqu’à la limite de

détection des méthodes à haute résolution : 1K M≤ − .

Ensuite, nous avons constaté que l’association du critère MDL ou du critère AIC aux

réseaux rectangulaires réduisait fortement leurs performances en faisant une comparaison

avec le cas où ils sont associés à des réseaux linéaires.

L’estimation bidimensionnelle des angles d’arrivée en utilisant des réseaux planaires

est limitée par l’estimation du nombre de sources. C’est pourquoi, il parait plus avantageux

d’estimer les angles d’arrivée en élévation et en azimut en associant deux réseaux linéaires

en forme de L.

40

Chapitre V

L’Estimation de la Direction d’Arrivée en 2-D

en utilisant des Réseaux en L

41

V.1 / Introduction :

L’étude des méthodes à haute résolution en 2-D a permis de constater les limites de

performance de ces méthodes notamment par rapport à la limite de convergence.

En revanche, on ne rencontre pas ce problème lors de l’utilisation des méthodes à

haute résolution en 1-D. L’estimation de DoA en utilisant des réseaux en L présentent

l’avantage d’estimer à la fois les angles d’élévation et d’azimut, en ayant une complexité

moindre : celle des méthodes en 1-D.

V.2 / intérêt des structures particulières de résea ux :

Les méthodes classiques utilisant les réseaux uniformes linéaires ou rectangulaires

sont relativement performantes, mais pour un nombre de sources généralement connu

[chap. II, chap. III]. Dans le chapitre IV, nous avons montré que les estimateurs de l’ordre du

modèle convergent dans le cas de réseaux linéaires mais divergent très vite dans le cas des

réseaux planaires. C’est pourquoi il y a eu nécessité de définir une méthode qui combine

entre la bonne estimation en 2-D et la bonne estimation du nombre de source en 1-D, d’où

l’utilisation des réseaux en L [20], des réseaux circulaires [21] ou d’autres formes originales

[22,23,24,25,26]. Les méthodes proposées dans [27,28,29] semblent remplir les conditions

citées ci-dessus, mais elles utilisent l’itération, ce qui doit coûter en précision et en temps de

calcul (voir annexe ).

V.3 / ESPRIT 1-D associé à un algorithme de corres pondance pour

l’estimation de la Direction d’arrivée en élévation et en azimut :

V.2.1 / Modèle des données :

On considère un réseau d’antenne en L uniforme, placé dans le plan (XoY). Les

deux sous-réseaux identiques, linéaires, uniformes et placés respectivement suivant les

axes (oX) et (oY), possèdent une antenne commune considérée comme antenne de

référence. Les facteurs de réseaux suivant les axes (oX) et (oY) sont respectivement donnés

par :

42

1

1

exp( .2 . .( 1).sin .cos )

exp( .2 . .( 1).sin .sin )

M

xm

M

ym

dAF j m

dAF j m

π θ ϕλ

π θ ϕλ

=

=

= − −

= − −

∑

∑

Où d est le rapport entre la distance inter-antennes et la longueur d’onde λ ,

Y

d

Sk (S0k, θ0k, φ0k)

φ 0k

θ0k

d

X

Réseau y

… My

Fig. V.I : Réseau d’antennes en L uniforme

On considère par la suite K signaux à bande étroite décorrélés, arrivant sur le réseau

avec les directions d’arrivée ( , )k kθ ϕ , k = 1 : K.

Les vecteurs directionnels de la k-ième source suivant les axes (oX) et (oY)

s’expriment sous la forme :

, ,

, [1, , ,e ]M

x k x kj jx ka e φ φ− −= …

2, ,

, [1,e , ,e ]M

y k y kj j

y kaφ φ− −= …

1M Mx My= + −

Où , 2 . .( 1).sin .cosmx k k kd mφ π θ ϕ= − et , 2 . .( 1).sin .sinm

y k k kd mφ π θ ϕ= − sont les

déphasages géométriques introduits respectivement par les deux sous-réseaux à la k-ième

source au niveau de la m-ième antenne.

L’idée d’utiliser les réseaux en L n’est pas nouvelle. Plusieurs configurations

et algorithmes associés ont été proposés dans l’objectif d’améliorer l’efficacité de l’estimation

Et

43

des angles en deux dimensions : soit des méthodes itératives ou de simples algorithmes

d’estimation associés à des algorithmes de correspondance.

V. 2 .2 / ESPRIT associé à l’algorithme de correspo ndance pour l’estimation en 2-D:

On utilise deux algorithmes à une dimension pour estimer les angles en azimut et en

élévation. On considère le système qui est représenté dans la figure ci-dessus (Fig. V .1),

Les vecteurs d’observation à la sortie des sous réseaux X et Y sont sous la forme :

( ) . ( ) ( )x xX t A S t N t= +

( ) . ( ) ( )y yY t A S t N t= +

Où ,1 ,2 ,[ , , , ]x x x x KA a a a= … et ,1 ,2 ,[ , , , ]y y y y KA a a a= … sont les vecteurs directionnels

suivant (oX) et (oY).

( )xN t et ( )yN t sont respectivement les vecteurs de bruit suivant (oX) et (oY) de

dimension [MxN], M=Mx.My. Les matrices de covariance sont estimées par les quantités :

1. .

1. .

Hxx

Hyy

R X XN

R Y YN

=

=

Par la suite on applique ESPRIT 1-D (cf. chap. II.4) à chacune de ces matrices pour

estimer les K valeurs propres de chaque opérateur de translation liant les sous-réseaux

suivant les axes (oX) et (oY).

,1 ,2 ,

,1 ,2 ,

( , , , )

( , , , )x x x x K

y y y y K

diag

diag

λ λ λλ λ λ

Φ =Φ =

…

…

Les matrices xΦ et yΦ sont des matrices carrées de rang complet K, de valeurs propres

, 1..{ }x k k Kλ = et , 1..{ }y k k Kλ = , elles contiennent toutes les informations sur les directions

d’arrivée 1..( , )k k k Kθ ϕ = .

A ce stade, l’application de l’algorithme pour le calcul des DoA n’est pas finie. Il existe K²

possibilité aléatoires pour le calcul des directions d’arrivée dont K seulement sont justes.

D’où la nécessité d’établir un algorithme dit de correspondance ou d’identification qui forme

les bons couples , , ' 1.. , ' 1..{ , }x k y k k K k Kλ λ = = pour le calcul de la DoA en deux

dimensions.

44

V.2.3 / L’Algorithme de Correspondance (matching p air algorithm) :

L’objectif de cet algorithme est d’éviter l’itération pour fournir un résultat juste

immédiat, il est basé sur la démarche de lier deux données qui puissent être semblables.

Dans le cas de l’estimation de la DoA, cet algorithme doit choisir parmi K²

couples , , '{ , }x k y kλ λ , seulement K couples adéquats au calcul des vraies directions

d’arrivée des signaux incidents.

Cet algorithme repose sur la propriété d’orthogonalité entre le sous-espace signal et

le sous-espace bruit, il aboutit à la correspondance en minimisant le critère suivant :

, , , ' , , , ''

, , '1 1

, , '

( , ') min . ( , ) ² . ( , ) ²

arg( ) . arg( )( , )

(2 )²

H Hn x x k y k n y x k y k

k

M Mm m

x k y km m

x k y k

P k k E e E e

ed

λ λ λ λ

λ λλ λ

π= =

= −

=∑ ∑

E n, x et E n, y sont les sous-espaces bruits respectifs des matrices de covariance Rxx

et Ryy

(Voir annexes V.2.3)

Ensuite, le calcul des DoA s’effectue par les simples relations :

V.2.3 / Résultats de simulation :

On considère K = 3 signaux décorrélés arrivant des directions (20°,-30), (-40°,70°) et

(55°,40°) arrivant sur réseau en L uniforme de 15 a ntennes au total. Les simulations sont

faites à un SNR =10dB et donnent les résultats suivant :

Source 3 Source 2 Source 1

55.043° -40.32° 19.96° Angle d’élévation θ

39.983° 69.936° -30.801° Angle d’azimut φ

L’estimation est satisfaisante, l’erreur réelle est acceptable et est de l’ordre de 0.1° à un

SNR = 10 dB.

, , '

, '1

,

arg( )² arg( )²ˆ arcsin(2 )²

arg( )ˆ tan ( )

arg( )

y k y kk

y kk

y k

d

λ λθ

πλ

ϕλ

−

+=

=

Avec

45

V.3 / MUSIC 2-D associé à un réseau en L pour l’e stimation conjointe de

direction d’arrivée en azimut et en élévation:

Cette méthode rassemble la structure particulière du réseau de capteurs et

l’estimateur classique MUSIC 2-D. Elle doit sa convergence à une nouvelle forme du

vecteur directionnel qui permet d’appliquer la méthode Music 2-D et estimer conjointement

l’angle d’élévation et l’angle d’azimut sans itération ni algorithme de correspondance.

V. 3.1 / Modèle du signal :

On considère encore le même système présenté sur la figure V. 1.

Ainsi, le vecteur d’observation global peut s’écrire :

( ) . ( ) ( )X t A S t N t= +

Où 1 2( ) [ ( ), ( ), , ( )]TKS t S t S t S t= … est le vecteur signal incident.

1 1 2 2[ ( , ), ( , ), , ( , )]K KA A A Aθ ϕ θ ϕ θ ϕ= … est la matrice [MxK] de réponse du réseau

1M Mx My= + − , formée par les K vecteurs directionnels liés aux sources :

2.( 1).sin .cos

2.sin .cos

2.sin .sin

2.( 1).sin .sin

( , ) 1

x k k

x k k

y k k

y k k

j d Mx

j d

k k

j d

j d My

e

e

a

e

e

π θ ϕλ

π θ ϕλ

π θ ϕλ

π θ ϕλ

θ ϕ

− −

−

−

− −

=

⋮

⋮

avec 1..k K=

, ,2 1 ,2 ,( ) [ ( ), , ( ), ( ), ( ), , ( )]Tx M x y y MN t N t N t N t N t N t= … … est le vecteur bruit additif

gaussien de moyenne nulle et de variance ²σ de dimension [(2M-1) xN], où N est le

nombre d’échantillons et 1( )N t est le bruit au niveau de l’antenne de référence.

A partir de là, la matrice de covariance du signal de dimension est donnée par

1. . H

xxR X XN

=

46

On applique à cette dernière la méthode de MUSIC 2-D. Avec En est le sous-espace bruit engendré par les vecteurs propres de bruit liés au M-K

petites valeurs propres de la matrice de covariance xxR .

Les directions d’arrivée correspondent alors aux pics du spectre.

V. 3.2 / Résultats de simulation :

Pour vérifier la validité de cette méthode, on se propose d’estimer des DoA de trois

sources décorrélées de DoA théoriques: (-65°,-35°), (-40°,65) et (-20°,40). Le SNR=10 dB au

niveau du réseau de 15 capteurs.

( )ϕ °

( )θ °

.15=M. dB10 = résultats de simulation de DoA de trois sources à un SNR : 2.V. Fig

L’estimation est bonne pour toute valeur de DoA. V.4 / Conclusion : Dans ce chapitre nous avons proposé deux méthodes pour remédier à

l’incompatibilité entre l’estimation du nombre de sources associée à des réseaux

rectangulaires et l’estimation bidimensionnelle de DoA associée aux mêmes

structures.

1_

. ( , ) ²Hn

spectre MUSICE a θ ϕ

=

47

Avec des réseaux en L, l’estimation du nombre de sources se fait au niveau d’un des

brins du réseau (soit suivant (oX), soit suivant (oY)), par le critère AIC ou MDL.

L’estimation doit être satisfaisante à des valeurs de SNR optimale (cf. Chap. IV).

Cette quantité est alors indispensable aux méthodes d’estimation bidimensionnelle

de d’angle d’arrivée en azimut et en élévation.

48

CONCLUSION GENERALE

49

L’estimation de la direction d’arrivée en élévation et en azimut, n’a pas fait l’objet

d’une étude achevée. Plusieurs travaux ont été développés pour améliorer ou innover ce

concept. Cela se manifeste dans le premier chapitre où nous avons présenté un panel de

méthodes pour l’estimation de paramètres.

Dans le second chapitre, nous avons présenté les méthodes MUSIC et ESPRIT.

Nous avons montré que leurs précisions se dégradaient pour les forts niveaux de bruit et que

leurs résolutions angulaires étaient sensibles au bruit ainsi qu’à la taille de réseau. Nous

avons observé aussi la dynamique des réseaux linéaires associés à ces méthodes, et nous

avons constatés que toutes les valeurs d’angle d’arrivée sont correctement estimées, en

supposant les antennes isotropes.

Ensuite, nous avons consacré le troisième chapitre à la présentation de MUSIC et

ESPRIT associées à des réseaux d’antennes rectangulaires pour l’étude de l’estimation de

la direction d’arrivée en élévation et en azimut. Les performances dans ce cas ont été

étudiées en terme de sensibilité au bruit, aux dimensions du réseau et aux nombres de

signaux incidents.

Le quatrième chapitre a traité les estimateurs du nombre de sources. Nous avons

présenté les critères AIC et MDL pour l’estimation du nombre de sources. L’étude

comprenait deux parties. En premier lieu, nous avons étudié le comportement de ces

estimateurs associés aux réseaux linéaires et nous avons constaté que l’estimation du bon

nombre de sources est peu sensible au bruit, à la taille du réseau ou au flux important des

signaux et que leurs limites de convergences tendait toujours vers 1 pour les valeurs

optimales de SNR. En second lieu, nous avons montré que l’association des critères MDL ou

AIC à des structures planaires de réseaux réduisait fortement leurs convergences, les limites

de convergences étaient faibles par rapport à celles du cas précédent.

A cause de la limitation des méthodes d’estimation du nombre de sources associées

à des réseaux planaires, nous avons consacré le dernier chapitre à présenter l’adaptation de

deux méthodes issues de la littérature afin lever cette limitation. La première méthode

combine deux algorithmes 1-D pour estimer la direction d’arrivée en élévation et en azimut.

Elle fait appel ensuite à un algorithme de correspondance. Les simulations donnent de bons

résultats. La seconde propose une forme de vecteurs directionnels qui permettent d’utiliser

MUSIC 2-D ou ESPRIT 2-D pour estimer simultanément la DoA en élévation et en azimut.

Nous avons également obtenu de bons résultats avec cette méthode.

Ce travail nous montre que l’utilisation de réseaux planaires associés à des

méthodes classiques en 2-D n’est pas la meilleure solution pour l’estimation des directions

d’arrivée en 2-D. L’estimation efficace et rapide des angles d’arrivée en élévation et en

50

azimut demande le choix réfléchi de la structure particulière du réseau et l’élaboration

d’algorithmes performants pour l’estimation. La connaissance des paramètres du signal

affine la caractérisation du canal de propagation, et donc un meilleur traitement de

l’information. La réalisation d’un démonstrateur 2-D permettra de valider les algorithmes

étudiés.

51

Annexe

Les Méthodes Itératives associées aux réseaux en L pour l’estimation des

angles d’arrivée en élévation et en azimut. :

Elles évitent la décomposition en valeurs propres, qui s’alourdit d’autant plus

que le nombre des sources augmente. On propose de faire une brève présentation de cette

méthode pour introduire le contexte de l’étude dans ce chapitre.

On considère une d’antenne réseau avec la configuration proposée dans la figure

(Fig. V.2), et deux signaux décorrélés arrivant sur ce réseau avec les angles

d’incidences ( , )k kθ ϕ , k = 1, 2.

Sur le brin suivant l’axe (oZ), le vecteur d’observation du sous-réseau 1 s’exprime

sous la forme :

( ) ( ). ( ) ( )z zZ t A S t N tθ= +

Où 1 2( ) [ ( ), ( )]S t S t S t= est le vecteur signal incident.

1 2[ ( ), ( ), , ( )]z KA A A Aθ θ θ= … est le vecteur directionnel total

2 1, ,( ) [1, , , ]M

z k z k z kA θ φ φ −= … est le vecteur directionnel de la k-ième source, avec

, exp( .2 . . .cos )mz k kj d mφ π θ= − , le déphasage au niveau du m-ième capteur

( )zN t est le vecteur bruit additif gaussien de moyenne nulle et de variance ²σ

L’application d’ESPRIT 1-D au vecteur d’observation à la sortie ce sous-système conduit à

estimer les angles d’élévation kθ :

1,

ˆ cos [arg( ) / 2 ]k z k dθ π−= Φ

Où zΦ est l’opérateur de translation entre les sous-réseaux du brin suivant (oZ)

52

Fig. V.2

Y

Z

dx

dz

X

…

Mx

1

Mz

2

Sk (S0k, θ0k, φ0k)

φ 0k

θ0k

Subarray 1

Sur le second brin suivant l’axe (oX), le vecteur d’observation du sous-réseau 2

s’exprime sous la forme :

( ) ( ). ( ) ( )x xX t A S t N tθ= +

Où 2 1, ,( ) [1, , , ]M

x k x k x kA θ φ φ −= … est le vecteur directionnel de la k-ième source,

Avec , exp( .2 . . .sin .cos )mx k k kj d mφ π θ ϕ= − , k = 1 : K.

L’application d’ESPRIT 1-D au vecteur d’observation à la sortie des sous-systèmes conduit

à estimer les angles d’azimut ˆkϕ :

1,

ˆˆ cos [arg( ) / 2 . .sin ]k x k kdϕ π θ−= Φ

Où xΦ est la diagonale de l’opérateur de translation entre les sous-réseaux du brin

suivant (oX) de dimension [K x1].

53

Histogrammes : Angles d’élévation (a) et d’azimut (b) pour trois sources de DoA (60°,30°), (20°,40°) et (75°,65°) , pour SNR = 10dB, nombre total de capteurs : 11

(a)

(b)

-20 0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

X: 59.89Y: 493

theta

histogram elevation, SNR=10,sources à (20°,40°),(60 °,30°) & (75°,65°)

-20 0 20 40 60 80 100 1200

100

200

300

400

500

600

X: 62.11Y: 259

phi

histogram azimut, SNR=10,sources à (20°,40°),(60°,3 0°) & (75°,65°)

54

Résultats de simulation :

On suppose trois sources de DoA théoriques (20°,40° ), (60°,30°) et (75°,65°) arrivant

sur une antenne réseau en L de 9 antennes élémentaires. La longueur d’échantillonnage est

de N = 100, l’estimation se fait en 2000 essais indépendants.

L’estimation des angles d’élévation et d’azimut se fait respectivement dans les

intervalles [0°,180°] et [0°,360°].

La valeur de l’erreur quadratique moyenne est estimée à 0.8021° [ 28 , 29,30 ] pour un SNR

de 10dB . Bien évidemment, cette valeur se dégrade pour les hauts niveaux de bruit.

L’algorithme proposé échoue pour les valeurs d’élévation inférieures à 5° et

supérieure à 85° pour un SNR = 10 dB, il est aussi incapable de localiser les sources ayant à

la fois une élévation et une azimut inférieures à 5° .

Pour les valeurs au-delà de 90°, l’estimation est b iaisée à cause de la parité de la

fonction cos.

On Remarque un échec de 1/K de la convergence au niveau des anomalies

détectées. Cela s’explique par le fait d’absence de démarche de correspondre entre les

valeurs justes d’élévation à celles d’azimut bien que, pas loin, l’estimation des angles est

bien achevée.

Les pics à φ = 0° représentent les valeurs d’angles calculées a vec les mauvais couples de

valeurs propres des matrices de translation zΦ et xΦ . Les algorithmes proposés

nécessitent des méthodes de correspondance (matching pair algorithms).

Les résultats sont plus précis pour les grands nombres d’itération, cela coûte en

temps. Enfin la présentation des résultats nécessite l’exploitation des histogrammes, ce qui

n’est pas très pratique.

55

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