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PTV - Calculo de Deslocamentos

Jul 20, 2015

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Kleber Serrão
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SUMRIO 01.O Princpio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos rgidos............................... 01 1.1. Introduo.................................................................................................... 01 1.2. - Roteiro para aplicao do PTV (estruturas isostticas):............................ 02 1.3 - Exemplo nmero 1..................................................................................... 02 1.4 Exemplo nmero 2..................................................................................... 03 02.O Princpio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformveis...................... 05 2.1 Introduo.................................................................................................. 05 2.2 Enunciado do PTV para corpos deformveis............................................ 06 2.3 O Processo da Carga Unitria Para Clculo de Deslocamentos................ 07 03.Aplicao do PTV s trelias.................................................................................. 08 3.1 Exemplo nmero 1..................................................................................... 09 3.2 Exemplo nmero 2..................................................................................... 11 04.O PTV aplicado s estruturas de ns rgidos........................................................... 12 4.1 Avaliao da integral do produto de duas funes.................................... 13 4.2 Exemplo nmero 3..................................................................................... 14 4.3 Observao sobre o uso das tabelas........................................................... 16 4.4 Exemplo nmero 4..................................................................................... 17 05.Deformaes por variao de temperatura.............................................................. 18 5.1 Exemplo nmero 5..................................................................................... 19 06.Exerccios propostos................................................................................................ 21 07.Respostas dos exerccios propostos......................................................................... 26 1DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES 1. O Princpio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos rgidos 1.1. Introduo Osconceitosrelativosadeslocamentosvirtuaisetrabalhovirtualsousualmente introduzidos durante o estudo da Mecnica Geral quando so usados para resolver problemas sobre equilbrio esttico. Apalavravirtualsignificaqueasquantidadessopuramenteimaginriasequeno precisamexistirnosentidorealoufsico.Assim,umdeslocamentovirtualumpequeno deslocamentoimaginrio,arbitrariamenteimpostosobreumsistemaestrutural.Noh necessidadedesetratardeumdeslocamentoreal,comoporexemploosdeslocamentosde flexo causada por cargas atuantes na estrutura. O trabalho realizado por foras reais durante um deslocamento virtual chamado trabalho virtual. O Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) afirma: Acondionecessriaesuficienteparaoequilbriodeumpontoou sistemadepontosmateriaisqualquersernulaasomadostrabalhos virtuaisemqualquerdeslocamentovirtualcompatvelcomasligaes do sistema, ou seja: E EE E Tvirtual externo = zero ............................................................ (1.1) Como se mostrou no estudo da Mecnica Geral, este princpio pode ser usado no lugar dastrsequaesdeequilbrioEX = 0, EY = 0 e EM = 0 comopropsitoderesolver problemas de equilbrio esttico. Odeslocamentovirtualdevesersupostoinfinitesimal,demodoanoalterara configuraoestticaegeomtricadosistemadasforasqueneleagem,noviolandoas condies de equilbrio que tais foras obedecem. O deslocamento virtual causado por uma aoexternaqualquer,cujaorigemnoobjetodediscusso,sendocompletamente independente das foras externas que mantm a estrutura em equilbrio. OPTVaplicadosestruturasisostticasemequilbrioresolveoproblemaesttico atravs do geomtrico. Como o PTV consiste de apenas uma equao, ele se torna seletivo, ou seja,suaaplicaodeterminaapenasumaincgnita,havendonecessidadedeserepetiro procedimento para cada incgnita procurada. No obstante este fato e inclusive por isto - muito til quando se deseja determinar apenas um esforo, como o caso de determinao de linhas de influncia. A aplicao do PTVsestruturas isostticas para a determinao de umdeterminado esfororequerquesejaaplicadoumdeslocamentovirtual,quespodeserrealizadoseo sistemaformvel,oqueobtidoretirando-seovnculocorrespondenteincgnitae substituindo-opeloesforocorrespondente.Comoosdeslocamentosvirtuaissosupostos infinitesimais, estes deslocamentos seguem as leis dos pequenos deslocamentos, mais simples queasdosdeslocamentosfinitos.Nocasodospequenosdeslocamentosatangentedos ngulos formados durante os deslocamentos se confunde com o prprio ngulo, ou seja: tg u uu u = u uu u (em radianos) .......................................................... (1.2) 21.2. - Roteiro para aplicao do PTV (estruturas isostticas): 01)retira-seovnculocorrespondenteincgnita,substituindo-opelaincgnitapara manter o equilbrio. A incgnita passa a ser considerada como carga externa; 02)aplica-seumdeslocamentovirtualcompatvelcomasligaesremanescentesda estrutura; 03)calcula-se o trabalho virtual de todos os esforos externos igualando-o a zero. Comoestamostrabalhandocomestruturasisostticas,aretiradadeumvnculo conformeitem01)doroteirotransformaraestruturaemumacadeiacinemtica(ou mecanismoousistemamvel)comumgraudeliberdade,podendoentoseraplicadoo deslocamentoconformeitem02),semquenestafaseocorradeformaesadicionaisnas barras do sistema. Ofatodacadeiacinemticaterapenasumgraudeliberdadesignificaqueconhecido um deslocamento (linear ou angular), todos os outros deslocamentos podem ser determinados emfunodeste,oqueemgeralbastantesimplesemsetratandodepequenos deslocamentos para os quais os ngulos e suas tangentes se confundem. convenientenoprimeiropassointroduziraincgnitacomosentidopositivodas convenesusuaisassimcomoodeslocamentovirtualpodepreferencialmenteserdadono sentido contrrio ao sentido da incgnita e suposto unitrio para facilitar os clculos. Noclculodostrabalhosvirtuais,pode-seusarasresultantesdoscarregamentos distribudos em cada chapa da estrutura. No pode ser usada uma resultante para mais de uma chapa. 1.3 - Exemplo nmero 1: Determinar a reao em A, RA, da viga simples da figura 1.1 a): Figura 1.1 Exemplo nmero 1 A aplicaodoroteiroilustradanafigura1.1b),naqualacargadistribudafoi substituda pela sua resultante. Chamando de o o deslocamento virtual infinitesimal arbitrrio daincgnitaRA, a rotaou da vigaassimcomoosvaloresdeo1e o2necessriosparao clculo do trabalho da fora concentrada (2t) e da resultante da carga distribuda (10t) podem ser determinados em funo de o:3105 5106 61021o= u = oo= u = oo=o= ul.................................................................... (1.3) Aplicando-se a equao (1.1) do PTV aplicado aos corpos rgidos, obtm-se: t 2 , 6 R5 2 , 1 R0 10 2 RAA2 1 A=o + o = o = o + o + o ............................................ (1.4) Nota-sequeoparmetroo apareceemtodosostermosdaequao,podendoser eliminado,ouseja,noinfluinoresultadojustificandoadot-lounitrio.Aplicando-seo deslocamento virtual unitrio contrrio ao sentido positivo da incgnita, o trabalho desta ser negativo e numericamente igual ao seu valor (pois RAx o = RAx 1 = RA) e aparecer sozinha quando for isolada no outro membro da equao. 1.4 Exemplo nmero 2 ParaaVigaGerberdafigura1.2a),determinarosvaloresdasreaesRA, RBe dos momentosfletoresMBe MCqueocorremnaseosobreoapoioBenoengastamentoC, respectivamente. As figuras 1.2 b), c), d) e e) mostram as cadeias cinemticas formadas aps a retirada do vnculo correspondente incgnita respectiva e aplicao do deslocamento unitrio. Noscasose)ed)paraoclculodosmomentosfletoressobreosapoiosBeC respectivamente,osapoiosnopodemserretirados,poiscorrespondemsreaesRBe RC.No caso doengastamento C, a retirada do vnculo correspondente ao momento o transforma em um apoio fixo. Como MB um esforo interno, o vnculo correspondente retirado deve ser substitudo pelo par de esforos que foi eliminado, ou seja, deve ser indicado tanto a ao que a parteesquerdadaseoexercenapartedadireita,comoaaoqueadireitaexercena partedaesquerda(aoereao).Nocasodemomentosfletoresemvigashorizontais,a conveno usual prescreve que eles so positivos quando tracionam as fibras inferiores. Seria conveniente lembrar que mesmo nos casos das reaes de apoio (RA, RBe Mc), comoasforasexistemsempreaospares(aoereao),tambmpoderiaserindicadoas aes (inverso das reaes nos apoios) que a viga exerce na terra. Isto no necessrio pois a terrasupostaumreferencialabsoluto,portantonoapresentadeslocamentos,gerando sempre trabalho nulo e no influindo nos resultados. Indicadasascargasexternasaplicadasnosistemaasdistribudasatravsdesuas resultantesemcadachapaecalculadosatravsdesimplesproporcionalidadeos deslocamentosaolongodassuaslinhasdeao,cujosresultadosestoassinaladosnas figuras,ficabastantesimplesoclculodostrabalhosrealizadoseaaplicaodoPTV.A incgnitaportersubstitudoumvnculodaestruturadeveserconsideradaesforoexterno, junto com as aes aplicadas. 4| ooo|Figura 1.2 Exemplo nmero 2 5Nocasodosmomentos,odeslocamentovirtualcorrespondenteumdeslocamento angular, que adotamos unitrio. Como se trata de pequenos deslocamentos, para o ngulo ser unitrio,otringuloobtidoduranteavarreduradodeslocamentodeveterabaseeaaltura iguais. Considerandoodeslocamentocorrespondenteaincgnitaadmensional,asordenadas daformadeslocadadacadeiacinemticanocasodeincgnitaforatambmresulta admensional,enocasodosmomentos,asordenadastmdimensodecomprimento,pois nestecasoovalordodeslocamentoangularsemprearazo(cociente)entredois comprimentos, e como um deles corresponde distncias na viga (em metros, por exemplo), o outro deve ter a mesma dimenso para se anularem na operao de diviso. A aplicao da equao Text =0 fornece para a reao em A conforme figura 1.2 b): RA= 4 x 0,5 + 2 x 0,25 RA= 2,5 tPara a reao em B figura 1.2 c): RB= 4 x 0,75 + 2 x 1,125 + 6 x 0,75 RB= 9,75 t Para o momento fletor em B - figura 1.2.d): MB= 4 x 1 2 x 1,5 2 x 1 MB= 9 tm Para a reao momento em C figura 1.2 e): MC= 4 x 0,5 +2 x 0,75 + 2 x 0,5 4 x 1 3 x 2 2 x 1MC= 7,5 tm Os sinais negativos dos valores de MBe MCindicam que estas incgnitas tm sentido opostoaoadotadonasfiguras,ousejatracionamasfibrassuperioresdaviga.Noclculode MCpoderiatersidousadaaresultantetotaldotrechoo|: 6t deslocando0,5mnosentido oposto, resultando o trabalho de 3 tm. MaioresdetalhessobreascadeiascinemticasserovistosnoestudodasLinhasde Influncia,inclusivecomumcaptulodedicadoaoestudodasleisdedeslocamentodas cadeias cinemticas. 2. O Princpio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformveis 2.1 Introduo Noestudodaanliseestruturaldeve-seestenderoPrincpiodosTrabalhosVirtuais para o caso de estruturas deformveis. Neste caso deve-se levar em considerao no apenas o trabalhorealizadopelasaesexternasmastambmotrabalhoassociadoaosesforos internos na deformao dos elementos da estrutura. Esteprincpioextremamentevaliosoetemmuitasaplicaesnaanliseestrutural. Durante o desenvolvimento do princpio nota-se que as propriedades do material no entram emdiscusso,econsequentementeoPTVaplica-seatodasasestruturasindependentedo material se comportar linearmente ou no. 62.2 Enunciado do PTV para corpos deformveis: Emumaestruturadeformvelemequilbrio,asomados trabalhosvirtuaisdasaesexternas,emumdeslocamento compatvelcomasligaes,igualaotrabalhovirtualinterno, realizado pelos esforos internos na deformao dos elementos da estrutura, ou seja: Texterno = Tinterno na deformao ................................................... (2.1) Sejaavigadafigura2.1a),emequilbriosobaaodeumcarregamentogenrico qualquerquedenominaremosestadodecarregamentondicec.Nestascondiesum elementodiferencialgenrico(c)decomprimentodx,apresentaosesforossolicitantesMC,QCe NCnafaceesquerdaenafacedireitapodemteralteradodequantidadesdiferenciais, sendo apresentadas como MC+dMc, QC+dQCe NC+dNC, conforme ilustra a figura 2.1 c). Admita-sequenestaestruturasejadadaumadeformaovirtualqueproduzauma pequenaalteraoemsuaformafletida.Estadeformaovirtualimpostasobreaestrutura dealgumamaneiranoespecificadaecompletamenteindependentedofatodaestruturaj tersidosubmetidaadeflexesreaiscausadaspelascargasdoestadodecarregamento.A deformaovirtualrepresentaumadeformaoadicionalimpostaestrutura.Anica restrio que ela deve ter uma forma que poderia ocorrer fisicamente, ou em outras palavras, a deformao virtual no estado de deslocamento ndice d, ilustrado na figura 2.1 b), deve ser compatvelcomascondiesdeapoiodaestruturaedevemanteracontinuidadeentreos elementos da estrutura. Duranteadeformaovirtual,oelementogenrico(c)sedeslocaparaaposio(d) conformemostraafigura2.1b)deformandoatatingiraformafinalilustradanafigura2.1 d). Nesta figura esto indicadas as deformaes que o elemento diferencial sofre nas direes dos esforos solicitantes N, Q e M, denominadas respectivamente dud, dvde d|d. O ndice d usado para salientar que se trata de deformao do estado de deslocamento. |Figura 2.1 Estados de carregamento e deslocamento 7O Princpio dos Trabalhos Virtuais afirma que o trabalho externo realizado pelas aes aplicadasnoestadodecarregamentoduranteosdeslocamentosocorridosnoestadode deslocamentosigualaotrabalhointernorealizadopelosesforossolicitantesdoestadode carregamentoduranteasdeformaesqueosrespectivoselementossofremnoestadode deslocamento. O Trabalho interno realizado pelos esforos solicitantes do estado de carregamento (c) figura 2.1 c) - nas deformaes do estado de deslocamentos (d) figura 2.1 d) vale para o elemento diferencial: d c d c d c . intd M dv Q du N dT | + + = .................................................(2.2) Integrandoaolongodetodaaestrutura,obtm-seaexpressoparaotrabalhovirtual interno realizado na deformao dos elementos da estrutura: } } }| + + =. estrd C. estrd C. estrd C . intd M dv Q du N T ................................ (2.3) Aplicando(2.3)em(2.1),aquirepetida,obtm-seaexpressogeralparaocasode estruturasplanascomcarregamentonoprprioplanodoPrincpiodoTrabalhoVirtual PTV: Texterno = Tinterno dos esforos solicitantes na deformao dos elementos da estrutura } } }| + + =. estrd C. estrd C. estrd C . extd M dv Q du N T ................................... (2.4) Nesta expresso, o ndice c refere-se aos esforos solicitantes causados pelas aes do estadodecarregamento,eondicedrefere-seaosdeslocamentossofridosnoestadode deslocamentos.Refora-seaquiqueoestadodedeslocamentosfoiobtidodemaneira independentedascargasqueatuamnoestadodecarregamento;podetersidocausadopor outrocarregamento,variaesdetemperaturaououtromotivoqualquer,desdequeseja compatvel com as condies de apoio da estrutura. 2.3 O Processo da Carga Unitria Para Clculo de Deslocamentos OprocedimentoprticodaaplicaodoPTVparaoclculodedeslocamentos conhecidocomoprocessodacargaunitriaouprocessodacargasubstituta.Tambm encontrado com o nome de processo ou mtodo de Maxwell-Mohr, por ter sido desenvolvido independentementeporJamesClerkMaxwell(1831-1879)eOttoChristianMohr(1835-1918) em torno do ano de 1870. Oprocedimentoprticodacargaunitriaadequadoparaoclculodequalquer deslocamentolinearouangular,absolutoourelativo.Podeserusadotantoparaestruturas isostticas como paraestruturas hiperestticas, desde que se conhea os diagramas de estado em toda a estrutura. Paraaaplicaodesteprocedimentodeve-seconsiderardoissistemas:oprimeiro consistenaestruturacomcargasreais,mudanasdetemperaturaououtrascausas responsveispelaproduododeslocamentoasercalculado,configurandoentoumestado de deslocamento. O segundo sistema um estado de carregamento que consiste na aplicao de uma carga unitria que age sozinha na estrutura. Esta carga unitria uma carga fictcia ou substituta, introduzida apenas para se calcular o deslocamento produzido pelas aes reais. 8A cargaunitriadevecorresponderaodeslocamentoprocurado,ouseja,parase calcular um deslocamento linear absoluto, aplica-se uma fora unitria na direo e sentido do deslocamentolinearprocurado.Casoodeslocamentoprocuradosejaumarotao,acarga unitria correspondente deve ser um momento. Se o deslocamento procurado for a translao relativaentredoispontosaolongodalinhaqueosune,ocarregamentounitriodeveser constitudo de duas foras colineares e opostas agindo nos dois pontos considerados. Caso o deslocamento seja a rotao relativa entre duas tangentes, o carregamento constituir de dois momentos iguais e opostos. Oclculoprticoparaadeterminaodeumdeslocamentoqualqueraplicarna estruturaumacarga(foraoumomento)unitrianadireoesentidododeslocamentoreal procuradoedeterminarosdiagramasdeesforossolicitantesN,QeMproduzidosporeste carregamento unitrio, ou seja o estado de carregamento (c) o sistema com a carga unitria. Tomando-seosdeslocamentosedeformaescausadospelasaesqueagemnaestrutura comoestadodedeslocamento,onicotrabalhoexternoorealizadopelacargaunitriae igual ao produto da carga unitria pelo deslocamento procurado. O trabalho interno, como foi visto,serigualaintegralestendidaatodaestruturadoprodutodosesforossolicitantes causados pela carga unitria pelos respectivas deformaes causadas pelas aes que agem na estrutura, ou seja: } } }| + + = o . estrd C. estrd C. estrd C procuradod M dv Q du N 1 ..................... (2.5) o ndice c refere-se ao carregamento unitrio; o ndice d refere-se estrutura com as aes aplicadas. Podeparecerestranhoquenesteprocedimentooestadodedeslocamentosquena concepo do PTV um estado virtual, seja o dos deslocamentos reais.Isto possvel, e at convenientepoisosdeslocamentosreaissocertamentecompatveiscomascondiesde apoio da estrutura, bastando serem pequenos o suficiente para no alterarem as condies de equilbriodasforasreaisenvolvidasparapoderemserconsideradoscomodeslocamentos virtuais. 3. Aplicao do PTV s trelias No caso das trelias com as hipteses usuais de clculo, articulaes perfeitas e cargas apenasnosns,onicoesforoqueresultanasbarrasdatreliaoesforonormaletem valor constante para cada barra. Assim,comoM=Q=zero,apenasaintegralquecalculaotrabalhointerno relacionada com o esforo normal da equao 2.5 diferente de zero. Temos ento: }= o treliad C procuradodu N 1 ............................................................... (3.1) Como as normais so constantes para cada barra e a integral pode ser calculada como uma somatria das integrais em cada barra, temos tirando os valores constantes de N fora das integrais: }= obarraidbarrasici procuradodu N ............................................................. (3.2) Como di i nabarra dbarraiddu l l A = A =}, obtm-se: 9dibarrasici procuradoN l A = o..................................................................... (3.3) Os deslocamentos Al podem ser causados por cargas aplicadas que produzem normais Ndi nas barras i ou variao de temperatura e para cada um destes casos vale: Caso fora normal (conforme Lei de Hooke): i ii didiA EN ll = A ................................. (3.4) Caso variao de temperatura:ti diA o = A l l ......................................................... (3.5) nas quais E o mdulo de elasticidade, A a rea da seo transversal e o o coeficiente de dilatao trmica. 3.1 Exemplo nmero 1 Para a trelia da figura 3.1 a) de EA = 10.000 t, submetida ao carregamento mostrado, determinar: a) as componentes horizontal e vertical do deslocamento do n 6; b) o deslocamento relativo entre os nos 3 e 6. 10Figura 3.1 Exemplo nmero 1 Comoosdeslocamentosprocuradossocausadosporumcarregamento,as deformaesnasbarrasdatreliasocalculadassegundoaLeideHooke,conformea equao (3.4). Aplicando na expresso (3.3), obtm-se: dibarrasii idi ciprocuradoA EN Nl A = o............................................................. (3.6) Afigura3.1b)mostraosresultadosdasnormaisnasbarrasdatreliadevidoo carregamentodado,ouseja,asnormaisdoestadodedeslocamentos.Asfiguras3.1c)ed) mostramasnormaisdeterminadasdosestadosdecarregamentounitrioparaoclculodas componentes horizontal e vertical do deslocamento do n 6, respectivamente. A figura 3.1 e) apresentaasnormaisdoestadodecarregamentounitrioparaoclculododeslocamento relativo entre os ns 3 e 6. ComoEAconstanteeusandoanotao(0)paraosesforosdoestadode deslocamento(treliadada)e(1),(2)e(3)paraosestadosdecarregamentounitrio respectivosaosdeslocamentosprocuradosconformemostraafigura3.1,aexpresso(3.6) fica: l A = obarrasi 0 procuradoN NEA1............................................................ (3.7) ou, l A = obarrasi 0 procuradoN N EA .............................................................. (3.8) Osclculosrelativosaexpresso(3.8)sofacilitadosorganizandoosdadose calculando os produtos atravs da tabela : Barra lN0N1N2N3 N0N1 l N0N2 l N0N3 l1-22,0+4,0+1,0000+8,00 3-42,0+4,0+1,000+0,8+8,00+6,40 5-62,0+2,0+1,000+0,8+4,00+3,20 1-31,5+4,5+1,5000+10,125 3-51,5+1,5+0,750+0,61,6875+1,35 2-41,5-2,5-0.75+1,002,8125-3,75 4-61,5-1,00+1,0+0,60-1,50-0,90 2-32,5-5,0-1,250015,625 4-52,5-2,5-1,250-1,07,8125+6,25 E = 58,0625-5,25+16,3 Com os resultados dos somatrios obtidos na tabela, temos as respostas: 10000 x AH6= 58,0625 tmou AH6= 5,80625 x 10-4 m para a direita. 10000 x AV6= -5,25 tmou AV6= 5,25 x 10-5 m para baixo. 1110000 x A3-6 = 16,3 tmou A3-6 = 1,63 m x 10-4 m afastando os ns 3 e 6. 3.2 Exemplo nmero 2 Paraamesmatreliadoexemploanterior,determinarnovamenteacomponente horizontal do deslocamento do n 6, AH6, com a trelia sem as foras aplicadas mas com uma variaodetemperaturaiguala+30ocentgradosapenasnasbarrasverticaisdaesquerda (barras 1-3 e 3-5). Coeficiente de dilatao trmica do material o = 1,2 x 10-5 oC-1.AAAFigura 3.2 Exemplo nmero 3 A figura 3.2 a) sugere o estado de deslocamento devido a variao de temperatura nas barras1-3e3-5.OestadodecarregamentounitrioparaoclculodeAH6 a aplicaode uma fora unitria na direo e sentido suposto positivo do deslocamento horizontal do n 6, que j foi resolvido no exerccio anterior e para facilitar repetido na figura 3.2 b). A aplicao do PTV fornece: Text. = Tint 1 x AH6= E N1 AlT........................................................................... (3.9) Como s ocorre AlTnas barras 1-3 e 3-5, temos: AlT= l o AT= 1,5 x 1,2 x 10-5 x 30 = 5,4 x 10-4 m AH6= (+1,5 +0,75) x 5,4 x 10-4 = 1,215 x 10-3 mpara a direita. Convm ressaltar que as direes dos deslocamentos pedidos so definidas, horizontal, vertical, relativos, etc., mas os mdulos e sentidos por serem incgnitas no so conhecidos a priori,sendoentoosentidosupostoatravsdosentidodocarregamentounitrio.Casoo resultado do trabalho total interno seja positivo, o sentido do deslocamento concordante com o sentidodacargaunitria,casocontrrio,temsentidooposto.Emrelaoaotrabalho 12interno,asparcelasdosomatrioseropositivasquandoadeformaodabarrafor concordantecomsentidodoesforosolicitantecorrespondentenoestadodecarregamento unitrio. 4. O PTV aplicado s estruturas de ns rgidos Aequaofundamentaldoprocessodacargaunitria(2.5)acrescidadadeformao relativa ao momento toror T, vale: } } } }u + | + + = o. estrd C. estrd C. estrd C. estrd C procuradod T d M dv Q du N ................ (4.1) ondeTC o momentotorornoestadodedeslocamentounitrioeud a correspondente rotao da seo no estado de deslocamento que ocorre na estrutura com as aes aplicadas. Casoasdeformaesnaestruturaanalisadasejamdevidascargasaplicadas,as deformaesdiferenciaisdaequao(4.1)valem,conformededuzidasnaResistnciados Materiais: dsA ENdudd = .................................................................................... (4.2) dsA GQ cdvdd = ................................................................................... (4.3) dsI EMddd = | .................................................................................... (4.4) dsJ GTdtdd = u ................................................................................... (4.5) nas quais: E = mdulo de elasticidade longitudinal (mdulo de Young); G = mdulo de elasticidade transversal; A = rea da seo transversal; I = Momento de inrcia da seo transversal; Jt= Momento de Inrcia toro da seo transversal; c = fator de forma para reduo da rea da seo transversal. Para sees retangulares com base b e altura h: A = bh I = bh3/12 c = 1,2 Jt= k at3[dimenso a>t no importando ser a base (b) ou a altura(h)] relao a/tvalor de k 1,00,141 1,20,166 1,50,196 2,00,229 2,50,249 3,00,263 4,00,281 5,00,291 1310,00,312 0,333Para sees circulares vazadas de dimetro externo D e interno d: A = t (D2- d2) / 4I = t (D4- d4) / 64 c = 1,1 (seo circular cheia, d = 0) Jt= t (D4- d4) / 32 Na expresso (4.1) do trabalho virtual, s em casos excepcionais h necessidade de se considerar as quatro parcelas do trabalho interno. Como se viu, no caso das trelias apenas a primeira parcela correspondente fora normal diferente de zero, sendo portanto a nicaa ser considerada. A quarta parcela s ser diferente de zero se houver momento toror, isto , s se ocorrer carregamento fora do plano da estrutura. Nas estruturas aporticadas, a flexo das peas - causadas pelos momentos fletores - so preponderantesnosdeslocamentosedeformaesdaestrutura.Adeformaoporfora cortanteeforanormalemgeraldesprezvelnasestruturasusuaisemfacedadeformao causada pelo momento fletor. Assim, nos casos planos em geral, nas barras fletidas considera-seapenasaterceiraparceladosegundomembrodaequao(4.1),ousejaaparcela correspondente ao trabalho interno realizado pelos momentos fletores. Neste caso a expresso (4.1), combinada com a (4.4) fica: }= o. estrd CprocuradodsI EM M................................................................. (4.6) ComonormalmentearigidezflexoEIconstanteparacadabarra,podeser colocadaforadaintegralquedevesertransformadaemumsomatriodasintegraisnos diversos trechos de EI constante da estrutura, ou seja: }= oi barrasi barrad Ci iprocuradods M MI E1................................................. (4.7) Embenefciodasimplicidade,anotaodestaexpressopodesersimplificada, subentendendo-se o ndice ie que a integral estendida a toda a estrutura, calculada barraa barra. }= o ds M MEI1d C......................................................................... (4.8) Nota-seentoquenosclculosprticosdasestruturasaporticadas,otrabalhointerno se resume a determinao da integral do produto de duas funes. 4.1 Avaliao da integral do produto de duas funes A avaliao da integraldo produto de duasfunes como aparece na equao(4.8) feita atravs de tabelas como a apresentada no quadro 4.1. Quando o diagrama do esforo considerado no se encontra diretamente na tabela, ele deve ser separado em grficos que estejam contemplados na tabela. 14OsdiagramasdeMCreferentesaoestadodecarregamentocomacargaunitria sempre formado de trechos retos, portanto em geral no apresentam dificuldade. Os digramas de Mdque so devidos ao carregamento real da estrutura pode necessitar ser separado na soma de dois ou mais diagramas mais simples conforme o esquema: Md= Md1 + Md2 + ... A integral fica: ... ds M M ds M M ) ... M M ( M ds M M2 d C 1 d C 2 d 1 d C d C+ + = + + =} } } }na qual as integrais dos produtos McMd1, McMd2, etc. podem ser encontradas na tabela. Ilustraes da tcnica do uso das tabelas sero apresentadas nos exerccios. Quadro 4.1 4.2 Exemplo nmero 3 Seja a viga em balano da figura 4.1 para a qual calcularemos a flecha na extremidade livreB.Comopropsitodemostrarquenasestruturasusuaisoefeitodaforacortantenos deslocamentosdesprezvelemfacedoefeitodomomentofletor,consideraremosneste primeiro exemplo estes dois efeitos. Aplicando a tcnica da carga unitria, temos: 15GA 2p cEI 8pf1 p21GAc2p41EI1fds Q QGAcds M MEI1f2 4B2B1 0 1 0 Bl ll l lll+ = + =+ =} }............................................. (4.9) A primeira parcela corresponde ao efeito do momento fletor (flexo) na deformao da vigaeasegundacorrespondeaoefeitodaforacortantenadeformao.Substituindo-seos valores numricos, obtm-se: fB= (0,1 + 0,001) m Comparando-se o efeito do momento fletor com o efeito da fora cortante: 01 , 01 , 0001 , 0M de EfeitoQ de Efeito= =Ou seja, o efeito da fora cortante 1% do efeito do momento fletor, justificando no considerar,nagrandemaioriadoscasosprticososefeitosdoesforocortantenas deformaes. Figura 4.1 Exerccio nmero 3 164.3 Observao sobre o uso das tabelas. Na combinao de M0M1, como a tangente parbola no diagrama de M0 paralela linhadereferncia,estepontovrticedaparbola.Comoestediagramaencontradona tabela,nohouvenecessidadedesepar-loemumasomadediagramasmaissimples.Caso houvesse uma carga concentrada na extremidade livre B, a tangente parbola no seria mais horizontal e o diagrama de M0no estaria previsto na tabela. Neste caso haveria necessidade desepar-loemumasomadediagramasmaissimplesqueestivessemprevistosnatabela. Casohajadvidaseasparbolasestonascondiesprescritasnatabela,aconselhvel separ-las. Parailustrarestefato,vamosrecalcularaintegraldoprodutoM0M1, separandoo diagrama de M0na soma de duas parcelas, naturalmente ambos previstos na tabela. A tcnica parasepararosdiagramascomparbolasdosegundograupodemneumonicamenteser chamada de retas + pl2/8. Figura 4.2 Decomposio de diagramas } } } }= = + = ds M M ds M M ds ) M M ( M ds M M02 1 01 1 02 01 1 0 1ou, 8p) 1 4 (24plp8p31p2p31ds M M4 4 2 20 1ll lll lll = = =}Ouseja,oresultadocoincidecomaparcelaobtidaem(4.9)correspondentea deformao por momento fletor. Nesta ltima integral calculada, o sinal negativo que aparece noclculodaintegraldeM1M02porquenestecasoosdiagramasdeM1e M02tmsinais opostos. 174.4 Exemplo nmero 4 A figura 4.3 mostra uma viga com balano, com rigidez flexo constante, EI = 3000 tm2, submetida ao carregamento indicado. Deseja-se determinar o giro na extremidade livre C. Figura 4.3 Exerccio nmero 4 18Oestadodedeslocamento,quechamaremosdeestado(zero),avigacomo carregamentorealqueconsistedetrscargas:umadistribudaeduasconcentradas.O digramademomentosfletorescorrespondenteM0, estindicadonafiguraenota-sequena suaformafinalnoseencontradiretamentenatabela.Aalternativamaisconvenienteneste casousaroPrincpiodaSuperposiodeEfeitos,separandoocarregamentomltiploem umasomadoscarregamentosobtidospelaaplicaodecadacargaatuandoisoladamente como ilustra a figura, obtendo-se os diagramas mais simples, M01, M02 e M03.O estadodecarregamentounitrioparaoclculodogironaextremidadeC,c,chamadodeestadodecarregamento(1),consisteemummomentounitrioaplicadona posio do deslocamento procurado, conforme mostra a figura 4.3. A aplicao do PTV - tcnica da carga unitria, equao (4.8) resulta: } } } }+ + = = ds M M ds M M ds M M ds M M EI1 03 1 02 1 01 1 0 c1 5 , 4213 1 5 , 4319 1 6 )961 (619 1 125 , 10319 EIc + + + = 2ctm 125 , 25 EI = ou,. radianos 10 375 , 83000125 , 253c == O sinal (-) significa que a rotao ocorre no sentido contrrio ao suposto no estado de carregamentounitrio,ouseja,ocorrenosentidoanti-horrio.Paranohaverdvidasem relaoaosentido,osdeslocamentospodemserexpressosemmduloexplicitando-seo sentido.Nocasodosgiros,tambmconvenienteexpress-losemgraus(1rad=180/tgraus). Assim, . horrio anti tido sen no 48 , 0 rad 10 375 , 8o 3c = = No clculo da integral de M03 M 1, usou-se a propriedade: } } }+ =CABACB1 03 1 03 1 03ds M M ds M M ds M M5. Deformaes por variao de temperatura. Casooestadodedeslocamentos(d)sejacausadoporumavariaonouniformede temperatura, a expresso geral do PTV (4.1), usando a tcnica da carga unitria fica: } }| + = o. estrd C. estrd C procuradod M du N ........................................................... (5.1) na qual as deformaesdude d|dvalem os valores mostrados na figura 5.1. Notar que neste caso a deformao dud relativo ao eixo mdio e dvd nulo. Substituindo os valores de dude d|d, obtm-se: } }A Ao + A o = o. estrCinf sup. estrC mdio procuradodx Mht tdx N t .......................... (5.2) 19|o Ao A|ooAAA AA AA AA AFigura 5.1 Variao de temperatura Neste caso, cuidado especial deve ser tomado em relao ao sinal do trabalho interno nadeformao,ouseja,comosinaldosresultadosdasintegrais.Casoasdeformaespor temperaturasejamconcordantescomosentidodosesforosdoestadodedeslocamento,o sinalserpositivo,casocontrrio,negativo.Assim,Aprimeiraintegralserpositivapara esforos normais de trao e a segunda ser positiva quando o momento fletor Mctracionar a fibra que se encontra mais distendida do trecho, ou aquela com a temperatura mais elevada. 5.1 Exemplo nmero 5 A estrutura da figura 5.2 apresenta uma variao de temperatura nas fibras externas de ambas as barras de + 50ocentgrados. Deseja-se determinar a flecha (componente vertical do deslocamento) na extremidade livre C. O coeficiente de dilatao trmica do material vale: o = 1,2 x 10-5 oC-1e a seo transversal das barras tem altura h = 0,40m. Figura 5.2 Exemplo nmero 5 20 DeterminadososesforossolicitantesNeMdoestadodecarregamentoconforme figura 5.2, a expresso 5.2 fica: } }A Ao + A o = dx Mht tdx N t finf supmdio C|.|

\| + + + = 3213 3 340 , 00 5010 2 , 1 1 320 5010 2 , 1 f5 5Cbaixo para m 01935 , 0 02025 , 0 0009 , 0 fC= + =216. Exerccios propostos (respostas no final da lista) 01)Para a trelia da figura, de EA = 10000 e coeficiente de dilatao trmica o = 1,2 x 10-5,determinar: a) a flecha no n 4 (f4); b)aflechanon4(f4),casoaoinvsdocarregamentoocorraumavariaode temperatura At = +50 oC nas barras do banzo superior (5-6, 6-7 e 7-8). 02)Para a trelia da figura, cujas barras possuem EA = cte = 10000 t, determinar: a) a flecha no n 4; b) qual o defeito de fabricao constante que deve ter as barras do banzo superior (1-3, 3-5, 5-7 e 7-8), para que o n 4 tenha uma contra flecha igual a flecha calculada no item a). 03)Para a trelia de EA = cte = 10000 t, determinar atravs de suas componentes o deslocamento do n 5, A5.2204)Para a trelia da figura, de ao (E=2100 t/cm2), cujas reas das sees transversais esto indicadas na conveno ao lado da figura, determinar: a) a flecha do n 3, f3;b) o deslocamento do apoio mvel 5, A5;c) qual o defeito de fabricao que ser dado na barra 6-7 para que o apoio 5 retorne para a posio da trelia descarregada. 05)Para a trelia da figura, de EA = 10000 t, determinar: a) a componente vertical do deslocamento do n 8, AV8;b) a componente horizontal do deslocamento do n 8, AH8.2306) Para a viga em balano da figura, de EI = constante, calcular: a) a flecha na extremidade B, fB;b) a rotao na extremidade B, B;c) a flecha no meio do vo, fC;d) a rotao no meio do vo, C.07) Para a viga simplesmente apoiada da figura, de EI = 5000 tm2, determinar: a) a flecha no meio do vo, fC;b) o giro na extremidade A, A;c) o giro no meio do vo, C.08) Para a viga da figura, de EI = 10000 tm2, determinar: a) o giro em A, A;b) a flecha em C, fC.09) Para a viga articulada (Gerber) da figura, de EI=10000 tm2, determinar: a) a flecha na articulao B, fB;b) a flecha na extremidade livre D, fD;c) o giro na extremidade livre D, D.2410) Para o prtico da figura de EI=10000 tm2, determinar: a) o deslocamento do apoio mvel C, AC;b) o giro no apoio fixo A, A;c) o giro do n B, B;d) o giro no apoio C, C.11) Para o prtico da figura de EI = 19200 tm2, determinar: a) o deslocamento horizontal do apoio D, AD;b) a flecha no meio do vo BC, fM.12) Para o prtico da figura, de EI = 10000 tm2, determinar: a) o deslocamento horizontal do apoio D, AD;b) o giro do n C, C.13)Para o prtico do exemplo anterior, determinar os mesmos deslocamentos caso esteja submetido ao carregamento da figura abaixo. 2514) Para a estrutura da figura, de EI = 50000 tm2, determinar: a) o deslocamento translao do apoio C, AC;b) o giro do n B, B.15) Para o prtico tri-articulado da figura, E = 210 t/cm2, I = 300.000 cm4, determinar o deslocamento (horizontal) da articulao C, AC.16) Para o prtico tri-articulado da figura, de EI = 50.000 tm2, determinar: a) a flecha na articulao C, fC.b) o giro no apoio E, E.267. Respostas dos exerccios propostos 01)a) f4= 1,566 cm para baixo b) f4= 0,9 cm para baixo 02)a) f4= 1,241 cm para baixo b) Al = 0,3723 cm (alongamento) 03)AV5= 1,7517 cm para baixo AH5= 0,7184 cm para a direita A5= 1,893 cm formando um ngulo de 67,7ohorrio com o eixo horizontal. 04)a) f3= 0,8586 cm para baixo b) A5= 1,7937 cm para a direita c) Al = 0,897 cm (encurtamento) 05)a) 0,993 cm para baixo b) 0,399 cm para a direita 06)a) fB= PL3/3EI b) B= PL2/2EI c) fC= 5PL3/48EI d) C= 3PL2/8EI 07)a) fC= 6,975 mm para baixo b) A= 3,6 x 10-3 radianos no sentido horrio c) C= zero 08)a) A= 3,5625 x 10-3 radianos no sentido horrio b) fC= 8,55 mm para cima 09)a) fB= 4,8375 mm para baixo b) fD= 1,40625 mm para cima c) D= 3,5625 x 10-4 radianos no sentido anti-horrio 10)a) AC= 1,067 cm para a direita b) A= 3,467 x 10-3 radianos no sentido horrio c) B= 1,333 x 10-3 radianos no sentido horrio d) C= 6,667 x 10-4 radianos no sentido anti-horrio 11)AD= 1 cm para a direita fM= 0,222 cm para baixo 12)AD= 1,973 cm para a direita C= 1,467 x 10-3 radianos no sentido anti-horrio 13)AD= 4,325 cm para a direita C= 2,907 x 10-3 radianos no sentido anti-horrio 14)a) AC= 0,08 cm para a direita b) B= zero 15)AC= 1,822 cm para a esquerda 16)a) fC= 1,92 mm para baixo b) E= 1,333 x 10-4 radianos no sentido horrio