Top Banner
Zapremina rotacionog tela Dr Špiro Gopčević
60

proracun zapremine

Oct 03, 2015

Download

Documents

SasaS

proracun zapremine tela
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • Zapremina rotacionog tela

    Dr piro Gopevi

  • Sadraj

    Uvod

    Zapremina tela proizvoljnog oblika

    Zapremina rotacionog tela

    Telo dobijeno rotacijom krive oko x ose

    Telo dobijeno rotacijom krive oko y ose

    Telo dobijeno rotacijom zatvorene oblasti oko ose paralelne sa x ili y osom

    Neautorizovani tekst. 2

  • U nalaenju zapremine tela susreemo se sa istim problemom kao pri nalaenju povrine

    Intuitivno znamo ta je zapremina tela

    Sada emo da damo, pomou integralnog rauna, preciznu definiciju zapremine tela

    Neautorizovani tekst. 3

    Uvod

  • Startujemo sa jednostavnim tipom tela kao to je cilindar

    Sa slike se vidi da je cilindar ogranien sa ravnom oblau B1, koja se

    zove baza, i podudarnom

    oblau B2 koja je

    paralelna sa oblasti B1

    Neautorizovani tekst. 4

    Cilindar

  • Ako je:

    povrina osnove A

    visina cilindra (rastojanje od B1 do B2) je h

    zapremina cilindra V je

    V = Ah

    Neautorizovani tekst. 5

    Cilindar

  • Posebno, ako je osnova krug prenika r, tada se cilindar zove valjak i njegova zapremina je

    V = r2h = Ah

    Neautorizovani tekst. 6

    Valjak

  • Problem: Nai zapreminu tela proizvoljnogoblika

    Reenje: Za telo S koje nije cilindar, prvo seemo telo S u komade i aproksimiramo svaki komad sa cilindrom

    Zapreminu S dobijamo sabiranjem zapremina cilindara

    Neautorizovani tekst. 7

    Zapremina tela

  • Telo S seemo (delimo) sa ravnima Px Ravan Px , je normalna na x-osu i prolazi kroz taku

    x, gde je a x b.

    Neautorizovani tekst. 8

    Zapremina tela

    Presek ravni i tela jeravna oblast koja se zove popreni presek tela S

    Povrina ravne oblasti je A(x)

  • Povrina poprenog preseka tela A(x) se menja kako se menja x od a do b.

    Neautorizovani tekst. 9

    Zapremina tela

  • Seenjem tela ravnima Px1, Px2, . . . koja su na istim rastojanjima x, telo S delimo na n rebara jednake irine x

    Neautorizovani tekst. 10

    Zapremina tela

  • Ako izaberemo take xi* u [xi - 1, xi], moemo da aproksimiramo i to rebro Si (deo tela S

    koje lei izmeu ravni i ) sa cilindrom

    koji ima povrinu osnove A(xi*) i visinu x.

    1ixP

    ixP

    Neautorizovani tekst. 11

    Zapremina tela

  • Zapremina i tog rebara Si je

    Sabiranjem zapremine svih rebara n, dobijamo priblino zapreminu tela

    Aproksimacija postaje sve bolja i bolja kako n

    Zamislite da rebra postaju sve tanja i tanja

    *( ) ( )i iV S A x x

    Neautorizovani tekst. 12

    1( *)

    n

    ii

    V A x x=

    Zapremina tela

  • Neka je S telo:

    koje lei izmeu x = a i x = b

    A(x) - povrina poprenog preseka tela S, u ravni Pxkroz x, je normalna na x-osu i neprekidna je funkcija

    tada je zapremina od S:

    Najvei je problem nai A(x)

    1lim ( *) ( )

    n b

    iax i

    V A x x A x dx

    =

    = =

    Neautorizovani tekst. 13

    Zapremina tela

  • Primer: Telo je 75cm dugo i 25cm iroko. Visina tela se ravnomerno menja od 3cm do 10cm. Nai zapreminu tela

    75cm

    25cm

    3cm10cm

    0 x 75

    d

    : 7 : 75d x=

    ( )775( ) 3 25A x x= +( )A x

    ( )75 7750 3 25 V x dx= + 3 12,187.5 cm=

    Zapremina tela

    h

    h=d+3

    ( ) 25A x h=

  • Primer: Pokaite da je zapremina lopte

    Reenje:

    343V rpi=

    Neautorizovani tekst. 15

    Lopta

  • Neka je centar lopte u koordinatnom poetku

    Ravan Px see loptu po krugu iji poluprenik , na osnovu Pitagorine teoreme, je:

    Povrina poprenog

    preseka je

    2 2y r x=

    Neautorizovani tekst. 16

    Lopta

    2 2 2( ) ( )A x y r xpi pi= =

  • Iz definicije zapremine sa a = -r i b = r, imamo:

    (Integrand je parana

    funkcija)

    ( )2 22 2

    0

    3 32 3

    034

    3

    ( )

    2 ( )

    2 23 3

    r r

    r r

    r

    r

    V A x dx r x dx

    r x dx

    x rr x r

    r

    pi

    pi

    pi pi

    pi

    = =

    =

    = =

    =

    Neautorizovani tekst. 17

    Lopta

  • Telo dobijeno rotacijom krive oko x ose

    a bx

    f(x)

    ( )A x = [ ]2( )f xpi[ ]2( )b

    aV f x dxpi=

    Popreni presek je krug koji je normalan na osu rotacije

    Zapremina rotacionog tela

  • Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotacijom oblasti ispod oko x-ose od 0 do 1.

    Reenje:

    y x=

    Neautorizovani tekst. 19

    Zapremina rotacionog tela

  • Oblast koja rotira prikazana je na prvoj slici

    Ako rotiramo oko x-ose, dobijamo telo prikazano na desnoj slici.

    Kada preseemo telo kroz taku x, dobijamo disk sa poluprenikom

    x

    Neautorizovani tekst. 20

    Zapremina rotacionog tela

  • Povrina poprenog peseka je:

    Zapremina jednog cilindra sa visinom x je:

    2( ) ( )A x x xpi pi= =

    ( )A x x x xpi =

    Neautorizovani tekst. 21

    Zapremina rotacionog tela

  • Telo lei izmeu x = 0 i x = 1.

    Zapremina tela je:1

    01

    012

    0

    ( )

    2 2

    V A x dx

    xdx

    x

    pi

    pipi

    =

    =

    = =

    Neautorizovani tekst. 22

    Zapremina rotacionog tela

  • Telo dobijeno rotacijom krive oko y ose

    ( )A y = [ ]2( )x ypi[ ]2( )d

    cV x y dypi=

    Popreni presek je krug koji je normalan na osu rotacije.

    Zapremina rotacionog tela

  • Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotaciom oblasti ograniene sa y = x3, y =8, i x = 0 oko y-ose

    Reenje:

    Neautorizovani tekst. 24

    Zapremina rotacionog tela

  • Kada oblast rotira oko y-ose, ima smisla da se delovi tela odsecaju normalno na y-osu i da se zapremina nae intgracijom u odnosu na y

    Seenjem na visini y, dobijamo kruni disksa prenikom x, gde je

    3x y=

    Neautorizovani tekst. 25

    Zapremina rotacionog tela

  • Povrina poprenog preseka kroz y je:

    Zapremina cilindra je

    2 2 2/33( ) ( )A y x y ypi pi pi= = =

    2/3( )A y y y ypi =

    Neautorizovani tekst. 26

    Zapremina rotacionog tela

  • Poto telo lei izmeu y = 0 i y = 8, njegova zapremina je:

    8

    08 2 30

    853 35

    0

    ( )

    965

    V A y dy

    y dy

    y

    pi

    pipi

    =

    =

    = =

    Neautorizovani tekst. 27

    Zapremina rotacionog tela

  • Zapremina tela dobijena rotacijom zatvorene oblasti oko ose koja je paralelna sa

    x-osom

    y osom

    ( )ba

    V A x dx=

    Neautorizovani tekst. 28

    Zapremina rotacionog tela

    ( )dc

    V A y dy=

  • Popreni presek je prsten

    Naemo unutranji poluprenik prstena rin i spoljanji poluprenik prstena rout . Tada je

    A = (rout)2 (rin)

    2

    Neautorizovani tekst. 29

    Zapremina rotacionog tela

  • Primer: Oblast zatvorena krivima y = x i y = x2

    rotira oko x-ose. Naite zapreminu dobijenog tela

    Reenje:

    Neautorizovani tekst. 30

    Zapremina rotacionog tela

  • Krive y = x i y = x2 seku se u takama (0, 0) i (1, 1)

    Popreni presek je prsten iji je unutranji prenik rin=x2 i

    spoljanji rout= x

    Oblast izmeu krivih, telo dobijeno rotacijom, i popreni presek normalan na x-osu vide se na slici

    Neautorizovani tekst. 31

    Zapremina rotacionog tela

  • Povrina prstena je

    Zapremina tela dobijenog rotacijom

    2 2 2 2 4( ) ( ) ( )A x x x x xpi pi pi= =

    Neautorizovani tekst. 32

    1 1 2 4

    0 0

    2( ) ( )15

    V A x dx x x dx pipi= = =

    Zapremina rotacionog tela

  • Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotacijom oblasti izmeu krivih y = x i y = x2 oko linije y = 2

    Reenje:

    Neautorizovani tekst. 33

    Zapremina rotacionog tela

  • Popreni presek je prsten

    Unutranji poluprenik rin= 2 x,

    Spoljanji poluprenik rout= 2 x2

    Neautorizovani tekst. 34

    Zapremina rotacionog tela

  • Povrina poprenog preseka prstena je

    Zapremina tela dobijena rotacijom je

    2 2 2( ) (2 ) (2 )A x x xpi pi=

    Neautorizovani tekst. 35

    ( )1 1 22 20 0

    8( ) 2 (2 )5

    V A x dx x x dx pipi = = =

    Zapremina rotacionog tela

  • Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotacijom oblasti izmeu krivih y = x i y = x2

    oko linije x = -1

    Reenje:

    Neautorizovani tekst. 36

    Zapremina rotacionog tela

  • Kod horizontalnog prstena

    Unutranji poluprenik rin= 1 + y

    spoljanji poluprenik je rout=1 y+

    Neautorizovani tekst. 37

    Zapremina rotacionog tela

  • Povrina poprenog preseka je:

    Zapremina tela dobijenog rotacijom je( ) ( )2 2( ) 1 1A y y ypi pi= + +

    Neautorizovani tekst. 38

    Zapremina rotacionog tela

    ( ) ( )21 1 20 0( ) 1 1 2V A y dy y y dy pipi = = + + =

  • Neautorizovani tekst. 39

  • Zapremina

    Zapremina tela koja nisu dobijena rotacijom

    Neautorizovani tekst. 40

  • In the following examples, we find

    the volumes of three solids that are

    not solids of revolution.

    Neautorizovani tekst. 41

    Zapremina

  • Primer: The figure shows a solid with a circular base

    of radius 1. Parallel cross-sections

    perpendicular to the base are equilateral

    triangles.

    Find the volume of the solid.

    Neautorizovani tekst. 42

    Zapremina

  • Lets take the circle to be x2 + y2 = 1.

    The solid, its base, and a typical cross-section

    at a distance x from the origin are shown.

    Neautorizovani tekst. 43

    Zapremina

  • As B lies on the circle, we have

    So, the base of the triangle ABC is

    |AB| =

    21y x=

    22 1 x

    Neautorizovani tekst. 44

    Zapremina

  • Since the triangle is equilateral, we see

    that its height is 23 3 1y x=

    Neautorizovani tekst. 45

    Zapremina

  • Thus, the cross-sectional area is :

    2 212

    2

    ( ) 2 1 3 13(1 )

    A x x x

    x

    =

    =

    Neautorizovani tekst. 46

    Zapremina

  • The volume of the solid is:

    1

    11 12 2

    1 013

    0

    ( )

    3(1 ) 2 3(1 )

    4 32 33 3

    V A x dx

    x dx x dx

    xx

    =

    = =

    = =

    Neautorizovani tekst. 47

    Zapremina

  • Primer: Find the volume of a pyramid

    whose base is a square with side L

    and whose height is h.

    Neautorizovani tekst. 48

    Zapremina

  • We place the origin O at the vertex

    of the pyramid and the x-axis along its

    central axis.

    Any plane Px that passes through x and is perpendicular to the x-axis intersects the pyramid in a square with side of length s.

    Neautorizovani tekst. 49

    Zapremina

  • We can express s in terms of x by observing

    from the similar triangles that

    Therefore, s = Lx/h

    Another method is to observe that the line OP has slope L/(2h)

    So, its equation is y = Lx/(2h)

    22

    x s s

    h L L= =

    Neautorizovani tekst. 50

    Zapremina

  • Thus, the cross-sectional area is:

    22 2

    2( )LA x s xh

    = =

    Neautorizovani tekst. 51

    Zapremina

  • The pyramid lies between x = 0 and x = h.

    So, its volume is:0

    22

    20

    2 3 2

    20

    ( )

    3 3

    h

    h

    h

    V A x dx

    Lx dx

    hL x L hh

    =

    =

    = =

    Neautorizovani tekst. 52

    Zapremina

  • In the example, we didnt need to place

    the vertex of the pyramid at the origin.

    We did so merely to make the equations simple.

    Neautorizovani tekst. 53

    Zapremina

  • Instead, if we had placed the center of

    the base at the origin and the vertex on

    the positive y-axis, as in the figure, you can

    verify that we would have

    obtained the integral:2

    220

    2

    ( )

    3

    h LV h y dyh

    L h

    =

    =

    Neautorizovani tekst. 54

    Zapremina

  • Primer: A wedge is cut out of a circular cylinder of

    radius 4 by two planes. One plane is

    perpendicular to the axis of the cylinder.

    The other intersects the first at an angle of 30

    along a diameter of the cylinder.

    Find the volume of the wedge.Neautorizovani tekst. 55

    Zapremina

  • If we place the x-axis along the diameter

    where the planes meet, then the base of

    the solid is a semicircle

    with equation

    -4 x 4216 ,y x=

    Neautorizovani tekst. 56

    Zapremina

  • A cross-section perpendicular to the x-axis at

    a distance x from the origin is a triangle ABC,

    whose base is and whose height

    is |BC| = y tan 30 =

    216y x= 216 3.x

    Neautorizovani tekst. 57

    Zapremina

  • Thus, the cross-sectional area is:

    2 212

    2

    1( ) 16 163

    162 3

    A x x x

    x

    =

    =

    Neautorizovani tekst. 58

    Zapremina

  • The volume is:

    ( )

    4

    424 4 2

    4 0

    43

    0

    ( )16 1 16

    2 3 3

    1 1281633 3 3

    V A x dx

    x dx x dx

    xx

    =

    = =

    = =

    Neautorizovani tekst. 59

    Zapremina

  • Neautorizovani tekst. 60