PRORACUN - ODREDENI

TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU GRADITELJSKI ODJEL

PRORAČUN KONSTRUKCIJA - ZADACI UZ VJEŽBE-

-STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI-

ŠKOLSKA GODINA 2006./2007.

mr. sc. Ljerka Kopričanec – Matijevac, viši predavač

KMLJ – 06./07. 1

SADRŽAJ

PRORAČUNSKI MODELI (SHEME) KONSTRUKCIJE.........................................................................................3

STATIČKI SUSTAVI-........................................................................................................................................................ 3 Vanjske veze – vanjski spojevi ........................................................................................................................................ 4 Unutarnje veze – unutarnji spojevi................................................................................................................................. 4

OSNOVNE VEZE TOČKE I TIJELA S PODLOGOM I MEĐUSOBNO .......................................................................... 6 UTVRĐIVANJE GEOMETRIJSKE NEPROMJENJIVOSTI ZADANIH SUSTAVA................................................7

PRIMJERI S ISPITNIH ROKOVA!............................................................................................................................................ 10 NOSIVI KONSTRUKTIVNI SUSTAVI – NOSAČI.................................................................................................11

ZADATAK 1: ....................................................................................................................................................................... 12 ZADATAK 2: ....................................................................................................................................................................... 13 ZADATAK 3: ....................................................................................................................................................................... 13 ZADATAK 4: ....................................................................................................................................................................... 15 " ZRNCA MUDROSTI "................................................................................................................................................... 17

GERBEROVI NOSAČI ..........................................................................................................................................20 ODREĐIVANJE LEŽAJNIH VEZA – REAKCIJA ........................................................................................................................ 20

Primjer 1.: .................................................................................................................................................................... 20 Primjer 2.: .................................................................................................................................................................... 21 Primjer 3.: .................................................................................................................................................................... 22 Primjer 4.: .................................................................................................................................................................... 22 Primjer 5.: .................................................................................................................................................................... 23 Primjer 6.: .................................................................................................................................................................... 23 Primjer 7.: .................................................................................................................................................................... 23

ZADATAK 5: ....................................................................................................................................................................... 24 ZADATAK 6: ....................................................................................................................................................................... 29 DJELOVANJE PARA MOMENATA NA GERBEROV NOSAČ ...................................................................................................... 32

REŠETKASTI NOSAČI.........................................................................................................................................33 ZADATAK 7: ....................................................................................................................................................................... 35

Analitički ...................................................................................................................................................................... 35 Grafički postupak ......................................................................................................................................................... 37

ZADATAK 8: ....................................................................................................................................................................... 38 ZADATAK 9: ....................................................................................................................................................................... 41 RITTEROVA METODA.......................................................................................................................................................... 41 CULMANOVA METODA ...................................................................................................................................................... 42

TROZGLOBNI NOSAČI........................................................................................................................................43 ZADATAK 10: ..................................................................................................................................................................... 44 GRAFIČKO ODREĐIVANJE UNUTARNJIH SILA U ZADANIM PRESJECIMA R-R , S-S I T-T .......................................................... 49 TROZGLOBNI OKVIR SA ZATEGOM.......................................................................................................................... 50 ZADATAK 11: ..................................................................................................................................................................... 50 ZADATAK 12: ..................................................................................................................................................................... 53 ZADATAK 13: ..................................................................................................................................................................... 54 ZADATAK 14: ..................................................................................................................................................................... 55 POSTUPAK GRAFIČKOG ODREĐIVANJA REAKCIJA TE SILA U PRESJEKU T-T ZA ZADANI TROZGLOBNI OKVIR SA ZATEGOM .. 55 ZADATAK 15: ..................................................................................................................................................................... 57 ZADATAK 15: ..................................................................................................................................................................... 57 ZADATAK 16: ..................................................................................................................................................................... 59 ZADATAK 17: ..................................................................................................................................................................... 61 DJELOVANJE PARA SILA I PARA MOMENATA NA TROZGLOBNI OKVIR ................................................................................. 62

OJAČANA GREDA - LANGEROVA GREDA ......................................................................................................63 ZADATAK 18: ..................................................................................................................................................................... 63 OJAČANA GREDA - LANGEROVA GREDA -" KOSI " ŠTAP KOD OJAČANJA- ........................................................................... 66 OJAČANA GREDA –OPTEREĆENJE U ČVORU !!!!!................................................................................................................. 66 OJAČANA GREDA - LANGEROVA GREDA - GRAFOANALITIČKI POSTUPAK - ......................................................................... 67

KMLJ – 06./07. 2

GRAFIČKO ODREĐIVANJE UNUTARNJIH SILA U ZADANOM PRESJEKU .................................................................................. 68 DJELOVANJE PARA MOMENATA I PARA SILA NA OJAČANU GREDU !!! ................................................................................. 68

Primjer 1: ..................................................................................................................................................................... 68 Primjer 2: ..................................................................................................................................................................... 69 Primjer 3: ..................................................................................................................................................................... 69

PRIMJER KOLOKVIJA.........................................................................................................................................70 1. KOLOKVIJ ŠK. GOD. 2003./2004................................................................................................................................ 70

ZADACI ZA VJEŽBU:...........................................................................................................................................71 GERBEROVI NOSAČI ........................................................................................................................................................... 71 REŠETKASTI NOSAČI .......................................................................................................................................................... 74 TROZGLOBNI NOSAČI ......................................................................................................................................................... 76 OJAČANE GREDE ................................................................................................................................................................ 80 TROZGLOBI OKVIR SA ZATEGOM ........................................................................................................................................ 83

GEOMETRIJSKA NEPROMJENJIVOST

KMLJ – 06./07. 3

PRORAČUNSKI MODELI (SHEME) KONSTRUKCIJE

STATIČKI SUSTAVI-

I. podjela s geometrijskog stanovišta - linijski štapni sustavi - površinski (plošni) sustavi - masivna tijela

II. podjela s kinematskog stanovišta - geometrijski promjenjivi sustavi - geometrijski nepromjenjivi sustavi

• statički određeni • statički neodređeni

Za rješavanje statički određenih sustava koriste se jednadžbe ravnoteže ∑x = 0; ∑y =0; ∑M=0 Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se jednadžbe ravnoteže + jednadžbe kompatibilnosti.

• PONAVLJANJE: - Materijalna točka u ravnini (tijelo bez dimenzija) 2 jednadžbe ravnoteže: ∑x = 0; ∑y =0 - Tijelo u ravnini 3 jednadžbe ravnoteže: ∑x = 0; ∑y=0; ∑M=0 ili 3 Ritterove točke ; ∑M1=0; ∑M2=0; ∑M3=0

(u Tehničkoj mehanici naučili smo što je tijelo, djelovanje uravnoteženih sila na tijelo, određivali smo unutarnje sile M, T i N)

U Proračunu konstrukcija naučit ćemo kakve su to stvarno sile A, B i C (kao smo ih zvali u Mehanici) tj. naučit ćemo veze tijela s podlogom. Isto tako naučit ćemo da se jednostavna tijela pomoću unutarnjih veza mogu spajati u nova složena tijela.

Kad bismo imali točku ili tijelo (disk) pod opterećenjem, oni bi mogli "putovati" po ravnini ili

prostoru.


KMLJ – 06./07. 4

Međutim, kad mi točku ili tijelo "vežemo" s podlogom oni miruju i dovodimo ih u stanje

ravnoteže. Pri tome trebamo: - minimalno dvije veze točke s podlogom (2 jednadžbe ravnoteže ∑x = 0; ∑y=0) - minimalno tri veze tijela s podlogom (3 jednadžbe ravnoteže ∑x = 0; ∑y=0; ∑M=0)

Vanjske veze – vanjski spojevi

Klizni ležaj – oduzima 1 stupanj slobode, tj. preuzima na sebe 1 vanjsku silu okomitu na plohu klizanja. Nepomični ležaj (zglobni ležaj) - oduzima 2 stupnja slobode (može samo rotirati) tj. preuzima 2 vanjske sile. Kruta veze, kruti spoj, kruti ležaj, upeti ležaj- oduzima 3 stupnja slobode, ne dozvoljava nikakav pomak, tj. preuzima na sebe 3 vanjske sile.

Unutarnje veze – unutarnji spojevi (vrlo često postoji potreba za međusobnim povezivanjem točaka, točaka i tijela, dva ili više tijela )

Štap (štapna veza) – sprječava translatorni pomak dva tijela u smjeru štapa, a dopušta rotaciju i translaciju u drugom smjeru. Oduzima 1 stupanj slobode, tj. preuzima na

sebe 1 unutarnju silu. Zglob (nepomični) između 2 tijela – dozvoljava samo rotaciju, ali ne i translaciju 2 tijela. Oduzima 2 stupnja slobode, tj. preuzima na sebe 2 unutarnje sile – jednostruka zglobna veza

Dvostruka zglobna veza – jednostruki zglob između tijela I. i tijela II.+ jednostruki zglob između tijela III. i (I. + II.) – oduzima 4 stupnja slobode, tj. preuzima na sebe 4 unutarnje sile.


KMLJ – 06./07. 5

Trostruka zglobna veza – preuzima na sebe 6 stupnjeva slobode, tj. 6 unutarnjih sila "strukost" zglobne veze - n= i-1 gdje je i broj tijela ili diskova koji se nalaze u nekom zglobu.

Kruti spoj – oduzima 3 stupnja slobode odnosno preuzima na sebe 3 unutarnje sile.

Vrlo često imamo na nekom tijelu kombinaciju i unutarnjih i vanjskih veza.


KMLJ – 06./07. 6

OSNOVNE VEZE TOČKE I TIJELA S PODLOGOM I MEĐUSOBNO

Točka u ravnini ima 2 stupnja slobode – treba 2 vanjske veze s podlogom ∑x = 0 i ∑y=0

za vezu točke i tijela trebamo 2 unutarnje veze i dobit ćemo novo tijelo – novi statički sustav. vezali smo točku T s dvije unutarnje veze sa tijelom i dobili smo NOVO TIJELO

!!!! treba paziti na raspored veza; veze ne smiju biti na istom pravcu jer ćemo dobiti mehanizam, tj. geometrijski promjenjiv sustav. Tijelo u ravnini ima 3 stupnja slobode

- treba 3 vanjske veze s podlogom !!!! treba paziti na raspored veza;

- ne smiju biti međusobno paralelne i - ne smiju se sjeći u istoj točki

Ako želimo povezati dva ili više tijela u novo tijelo ili statički sustav potrebno je imati 3 unutarnje veze koje također trebaju biti pravilno raspoređene. ne smijemo imati tri paralelne veze !!!


KMLJ – 06./07. 7

UTVRĐIVANJE GEOMETRIJSKE NEPROMJENJIVOSTI ZADANIH SUSTAVA

1 tijelo--- 1 disk--- 3 stupnja slobode imamo 3 veze s podlogom

(2) (1) 1 tijelo--- 1 disk---3 stupnja slobode imamo 3 veze s podlogom (3)

čvor (točka) – vezali smo točku s 2 veze za disk i dobili novo tijelo koje ima 3 stupnja slobode

zato imamo 3 veze s podlogom

2 tijela (diska) vezali smo s 1 štapom (1unutarnja veza) i 1 jednostrukim zglobom (2 unutarnje veze) i dobili novo tijelo – nosač i dodali 3 veze s podlogom

dva diska – 2 x 3 stupnja slobode = 6 stupnjeva slobode za stabilizaciju imamo 1 jednostruki zglob (2 unutarnje veze) i 2 zglobna ležaja (2+2 vanjske veze) što je sveukupno 6 veza 2 diska = 6 stupnjeva slobode 2 unutarnje veze + 4 vanjske veze

imamo 1 disk (tijelo)—3 stupnja slobode imamo 5 veza s podlogom

pojavile su se 2 veze viška STATIČKI NEODREĐENI (PREODREĐENI) sustav presijecanjem 2 vanjske veze dobili smo statički određeni sustav


KMLJ – 06./07. 8

Kod veza (unutarnjih i vanjskih) treba uvijek paziti na njihov raspored da ne bi došlo do mehanizma

ovdje imamo primjer kako smo povezali 2 tijela pomoću 6 veza (4 vanjske i 2 unutarnje) ali smo dobili mehanizam. (za povezivanje 2 tijela u novo tijelo trebamo imati 3 unutarnje veze, a mi ovdje imamo samo 2 (1 jednostruki zglob))

Provjeru geometrijske nepromjenjivosti osim prepoznavanjem (vidi ranije primjere), možemo provesti i formulom

S= 3 • D + 2 • Č – 3 • Z0 – 2 • Z1 – 4 • Z2 – 6 • Z3 - ... – 2•n • Zn – Š - L D = broj diskova Č = broj čvorova (samo između štapova) Z0 = broj krutih veza (u zatvorenom tijelu mora se pojaviti 1 Z0) Z1 = broj jednostrukih zglobnih veza Z2 = broj dvostrukih zglobnih veza Z3 = broj trostrukih zglobnih veza . . Zn = broj n-strukih zglobnih veza Š = broj štapova ( ) L = broj ležajnih veza S= 0 -- samo nužan ali ne i dovoljan uvjet da je sustav statički određen i geometrijski nepromjenjiv (treba provjeriti raspored veza) S< 0 -- imamo višak veza -- statički neodređeni sustavi S > 0 -- imamo manjak veza -- mehanizam D=2; Č= 2; Z1=1; Š=5; L=3 S= 3•D + 2 • Č – 3 • Z0 – 2 • Z1 – 4 • Z2 – 6 • Z3 - ... – 2n • Zn – Š - L S=3 • 2 + 2 • 2 - 2 • 1 – 5 – 3 = 0


KMLJ – 06./07. 9

D=1; Z0= 1; L=3 S= 3•1 – 3•3 – 3 = -3x !!!!!!!! Zatvoreni disk je 3x preodređen, tj. ima 1 Z0. Prekinuli smo tri unutarnje veze (u paru) i dobili statički određeni sustav

Kod ovog presjecanja veza dobili smo lokalni mehanizam nije dobro (imamo tri zgloba na jednom pravcu) Č=8; Š=13; L=3 S = 0, ali

ako napišemo ∑y = 0 za čvor 3 dobit ćemo silu u štapu 3-7 da je jednaka nuli. Ako pak napišemo ∑y = 0 za čvor 7 dobit ćemo silu u štapu 3-7 da je jednaka intenzitetu sile P. ZAKLJUČAK: Ako u nekom statičkom sustavu s minimalnim brojem veza nije moguće odrediti vanjske i/ili unutarnje sile pomoću jednadžbi ravnoteže sustav je geometrijski promjenjiv.


KMLJ – 06./07. 10

Primjeri s ispitnih rokova! Statički neodređeni sustav 1. osnovni sustav 2. osnovni sustav

D= 1 Š=1 L=5 S= 3*1-1-5=-3x

D=1 Z1=1 Š=1 L=4 S=3*1-2*1-1-4=-4x

D=1 Z1=1 L=5 S=3*1-2*1-5=-4x

D=1 Š=1 L=5 S=3*1-1-5=-3x

D=1; Č=1;Z1=1;Š=3;L=3 S=3*1+2*1-2*1-3-3=-3x

D=1 Z1=1 L=5 S=3*1-2*1-5=-4x

NOSIVI KONSTRUKTIVNI SUSTAVI - NOSAČI

KMLJ – 06./07. 11

NOSIVI KONSTRUKTIVNI SUSTAVI – NOSAČI

- oni su geometrijski nepromjenjivi - prema strukturi elemenata mogu biti:

• punostijeni ⇒ sastoje se od čvrstih tijela, greda, diskova • rešetkasti ⇒ sastoje se samo od štapova • kombinirani ⇒ grede (diskovi) + štapovi

- prema statičkom sustavu, odnosno karakteru ležajnih veza, međusobnom spoju više tijela, diskova i točaka mogu biti:

prosta greda

prosta greda s prepustom

konzola

Gerberov nosač

trozglobni okvir trozglobni okvir sa zategom Sve gore nacrtane punostijene sustave možemo imati i u rešetkastoj izvedbi

ojačana ili Langerova greda U Proračunu konstrukcija nas će interesirati veze u spojevima i to ležajne i unutarnje veze. Pomoću njih postići ćemo da nam sustav bude u ravnoteži i moći ćemo odrediti dijagrame unutarnjih sila M,T,N.


KMLJ – 06./07. 12

Zadatak 1: Odredite veze u spojevima (ležajne reakcije) i dijagrame unutarnjih sila M, T i N. P=100kN Py= P × sinα = 70,71 kN; Px= P × cosα = 70,71 kN

Σ x =0 B + Px = 0 ⇒ B = - Px = - 70.71 kN Σ M(2)= 0

A×8 - Py ×4 = 0 ⇒ A =8

4×YP = 35,35 kN

Σ M(1)= 0

C×8 - Py ×4 = 0 ⇒ C =8

4×YP = 35,35 kN

Kontrola: Σ y = 0 A + C – Py = 0 35,35 + 35,35 – 70,71= 0 Unutarnje sile u karakterističnim točkama Presjek 1: Σ x = 0 N1- 70,71 = 0 N1=70,71 kN Σ y = 0 35,35 – T1= 0 T1=35,35 kN Σ M = 0 M1= 0

Presjek 2: Σ x = 0 N2 = 0 Σ y = 0 35,35 + T2= 0 T2=-35,35 kN Σ M = 0 M2 = 0

Presjek 3: Σ x = 0 N3 -70.71 = 0 N3= 70.71 kN Σ y = 0 35,35 + T3= 0 T3 = 35,35 kN ΣM(3)=0 35,35×4 – M3 = 0 M3 = 141,4 kNm Presjek 4: Σ x = 0 N4= 0 Σ y = 0 35,35 + T4= 0 T4 = -35,35 kN ΣM(4)=0 35,35×4 – M4 = 0 M4 = 141,4 kNm

35.35

4.141


KMLJ – 06./07. 13

Zadatak 2: Odredite veze u spojevima (ležajne reakcije) i dijagrame unutarnjih sila. Q = q×l = 100 kN Σ x = 0 ⇒ B = 0 Σ y = 0 A - q×10 = 0 A = 100 kN Σ M = 0 C - q×10×5 = 0 ⇒ C – 10×10×5 = 500 kNm Kontrola : Σ M(1) = 0 ⇒ moment na slobodnom kraju = 0 C - A×10 + q×10×5 = 0 500 - 100×10 + 500 = 0

125810010

8

2

=×

=×

=lqmo

Zadatak 3: Odredite veze u spojevima (ležajne reakcije) i dijagrame unutarnjih sila. 1.) Reakcije : Σ x = 0 C – 100 = 0 C = 100 kN Σ M(A) = 0 B×6 - P×3 - q×8×4 – M = 0 B = 155,0 kN Σ M(B) = 0 A×6 +M- P×3 - q×8×2 = 0 A = 85 kN Kontrola : Σ y = 0 A+B – P - q×8 = 0 85 + 155 – 80 -20×8 = 0 Presjek 1:Σ x = 0 N1= 100 kN Σ y = 0 T1= 0 Σ M= 0 M1+M = 0 M1=50 kNm

5.228

3208

22

=×

=×

=lqmo


KMLJ – 06./07. 14

Presjek 2: Σ x = 0 100 – N2= 0 N2 = 100 kN Σ y = 0 T2= 0 Σ M = 0 M2 – 50 = 0 M2 = 50 kNm Presjek 3: Σ x = 0 N3+100-100 = 0 N3=0 Σ y = 0 85-T3 = 0 T3 = 85 kN ΣM(3)=0 M3-50= 0 M3= 50 kNm Presjek 4: Σ x = 0 100-100 + N4 = 0 N4 = 0 Σ y = 0 85 - q×3 – T4 = 0 T4 = 85 - 20×3 = 25 kN ΣM(4)=0 M4 – 50 - 85×3 + 20×3×1,5 = 0 M4 =50+85×3-20×3×1,5 = 215 kNm Presjek 8: Σ x = 0 N8= 0 Σ y = 0 T8= 0 Σ M = 0 M8= 0 Presjek 7: Σ x = 0 N7 = 0 Σ y = 0 T7 - q×2 = 0 T7 = 40 kN Σ M = 0 M7 + q×2×1= 0 M7 = -40 kNm Presjek 6: Σ x = 0 N6 = 0 Σ y = 0 T6 + 155 - 20×2 = 0 T6= -115 kN ΣM(6)=0 M6 + q×2×1 = 0 M6 = -40 kNm Presjek 5: Σ x = 0 N5 = 0 Σ y = 0 T5 +155 - q×5×2,5 = 0 T5 = -155 + 100 = - 55 kN ΣM(5)=0 M5 – 155×3 + q×5×2,5 = 0 M5 = 215 kNm Dijagrame poprečnih sila možemo dobiti i iz diferencijalnih odnosa ako nam je to jednostavnije. Diferencijalni odnosi:

XX T

dxdM

= ⇒ )( XX q

dxdT

−=


KMLJ – 06./07. 15

Zadatak 4: Na zadanom nosaču, na kojem je poznat dijagram momenata, koristeći diferencijalne odnose, potrebno je odrediti dijagram poprečnih sila te opterećenje. M - zadano

XX T

dxdM

= )( XX q

dxdT

−=

Za predznak poprečne sile važan nam je tok funkcije dijagrama momenata, a ne da li je dijagram s gornje ili donje strane nosača. (gledamo nagib tangente)


KMLJ – 06./07. 16

1.) Dijagram T

• t1 = horizontalno ⇒ 0=dx

dM X ⇒ tg t1 = 0 T1 = 0

• funkcija dijagrama momenata ima lom jer su t2 i t3 različite ⇒ što znači da dijagram poprečnih sila ima skok

* 40140

2 −=−

=

=

dxdMT X kN (- zbog nagiba tangente t2 )

* 1305,1

4050,225,1323 =

++=T kN

• t4 i t5 ⇒ lom u M dijagramu ⇒ sok u T dijagramu :

705,1

)5,225,132(2604 =

+−=T kN

305,1

)5,225,192(2605 −=

+−−=T kN (- zbog nagiba tangente t5 )

• tangente t6 , t7 i t8 međusobno paralelne ⇒ nema loma u M , nema skoka u T

905,1

8050,225,1926 −=

−+−=T kN (- zbog nagiba tangente t6 )

900,322515

7 −=+

−=T kN (- zbog nagiba tangente t7 )

900,3

152558 −=

+−=T kN (- zbog nagiba tangente t8 )

• tangente t8 i t9 imamo lom u M, skok u T

1305,1

602559 =

−=T kN

• t10 ⇒ ima nagib

405,1

6010 ==T kN

2.)Iz dobivenog T dijagrama može se izračunati opterećenje ⇒ na mjestima gdje imamo

linearni dio T dijagrama

−

=dx

TTq 122,1

20240

2,1 −=

−=q kN/m 20

313070

4,3 −=−

=q kN/m

203

)30(906,5 −=

−−−=q kN/m 30

313040

10,9 −=−

=q kN/m

• iz skokova u T dijagramu izračunamo koncentrirane sile (u apsolutnom iznosu , a smjer očitamo iz T dijagrama) P2,3 = 40 +130 = 140 kN P4,5 = 70+30 = 100 kN P8,9 = 90+130 = 220 kN P10 = 40 kN M6,7 = 80 -15 = 65 kNm ( očitamo iz M dijagrama )


KMLJ – 06./07. 17

" ZRNCA MUDROSTI " - što je dobro znati –

Predznak poprečne sile ovisi o nagibu tangenata + i -

22

28

22

28

2

2

2

1

lql

lq

T

lql

lq

T

×−=

××

−=

×=

××

=

21 22

4 TPl

lP

T ==

×

=2

2

443

Pl

lP

TT −=

×

−==

2x


KMLJ – 06./07. 18

T2 = 0 ( t2 je horizontalna ) T2 = 0

Pl

lPTT =×

== 21 Pl

lPTT −=×

−== 21

lql

lq

T ×=

×

=

2

2

2

1 lql

lq

T ×−=

×−

=

2

2

2

1


KMLJ – 06./07. 19

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 20

GERBEROVI NOSAČI - statički određen sustav ; - Može biti : • punostijeni

• rešetkasti

• kombinirani

Određivanje ležajnih veza – reakcija

Primjer 1.:

Ukupno 5 nepoznanica

000

=Σ=Σ=Σ

Myx

+ 0

0

=Σ

=ΣLE

LD

M

M ili

0

0

=Σ

=ΣDE

DD

M

M

Moramo riješiti sustav od 5 jednadžbi s 5 nepoznanica Jednostavnije ⇒ "rastavljanje" Gerberovog nosača I. nivo

II. nivo * prvo odredimo "reakcije" za I. nivo ( VD i VE ) ⇒ budući da tu u stvarnosti ne postoji ležaj te "reakcije" prenosimo s obrnutim predznakom na II. nivo i nađemo konačno stvarne reakcije

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 21

Primjer 2.:

- imamo 6 nepoznanica : V1, V3, V4 ,V7 , H7, M7 - 3 jednadžbe ravnoteže

000

=Σ=Σ=Σ

Myx

+ dopunske jednadžbe 0

0

0

6

5

2

=Σ

=Σ

=Σ

L

L

L

M

M

M

ili 0

0

0

6

5

2

=Σ

=Σ

=Σ

D

D

D

M

M

M

6 nepoznanica ⇒ 6 linearnih jednadžbi ; treba riješiti sustav od 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica ! Jednostavnije ako sustav rastavimo na način kako je on nastajao

1.) Riješimo 1. nivo ⇒ (1) i (2) i s dobivenim reakcijama opteretimo 2. nivo 2.) Riješimo 2. nivo , zatim 3. nivo 3.) Kad bi imali na bilo kojem nivou neku kosu silu, horizontalnu komponentu te sile morali bi "seliti" do ležaja 7, pa zato na nekim mjestima možemo pretpostaviti nepomični ležaj.

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 22

Primjer 3.: • opterećenje kosom silom

• svaka kosa sila može se projicirati na komponente

i radimo superpoziciju • za Py kao u prethodnom slučaju I. nivo II. nivo odredimo reakcije VA, MA, VB i VC te M i T dijagrame • za Px opterećenje

odredimo reakciju HA i N dijagram od djelovanja sile P1x ( N dijagram postoji od točke djelovanja P1X do nepomičnog ležaja A ) Još neki primjeri "rastavljanja" Gerberovog nosača

Primjer 4.:

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 23

Primjer 5.:

Primjer 6.:

Primjer 7.: S = 3 D + 2 Č + 3 Z0 – 2 Z1 – 4 Z2 – Š – L S = 3×4 + 0 + - 2×3 – 0 – 6 = 12 – 6 – 6 = 0 ali nepravilan raspored zglobova, odnosno unutarnjih veza

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 24

Zadatak 5: Za zadani Gerberov nosač treba odrediti M ,T i N dijagrame analitičkim postupkom.

* u I. nivou imamo dvije proste grede AB i EF - redoslijed rješavanja je proizvoljan * u II. nivou imamo prostu gredu s prepustima BCDE i konzolu FG • za okomito opterećenje redoslijed rješavanja je proizvoljan, ali da smo imali i horizontalno opterećenje ili kosu silu trebali bi voditi računa gdje je nepomičan ležaj (G), te da prvo treba riješiti nosač BCDE a zatim konzolu, kao bi uzdužna sila došla do nepomičnog ležaja. 1.) Nosač AB

ΣMA = 0 - AV×5 + q1×5×25 = 0 AV = 25 kN

ΣMB = 0 - BV×5 + q1×5×25 = 0 BV = 25 kN

Σx = 0 BH = 0 Kontrola ! Σy = 0 AV + BV – q1×5 = 0

2.) Nosač EF ΣMF = 0 - EV×5 + q2×5×2,5 = 0 EV = 50 kN ΣME = 0 FV×5 - q2×5×2,5 = 0 FV = 50 kN Σx = 0 FH = 0 Kontrola ! Σy = 0 EV + FV – q2×5 = 0

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 25

3.) Nosač BCDE

ΣMD = 0 -CV×7,5 + BV×10 + P×5 - EV×2,5 +

q1×2,5×

+ 5,7

25,2 - q2×2,5×

25,2 = 0

CV = 5,725,781 = 104,17 kN

ΣMC = 0 DV×7,5 + BV×2,5 - P×2,5 – EV×10 + q1×2,5×25,2 - q2 ×2,5×

+ 5,7

25,2 = 0

DV = 5,775,1093 = 145,83 kN

Kontrola ! Σy = 0 ⇒ -25 -100 – 50 - 10×2,5 – 20×2,5 + 104,17 + 145,83 = 0 4.) Nosač FG

Σ x = 0 GH = 0 Σ y = 0 GV – FV – q2×2,5 = 0 GV = 100 kN

ΣMG = 0 FV×2,5 + q2×2,5×25,2 - MG = 0 MG = 187,5 kNm

Kontrola ! ΣMF = 0 ⇒ -q2×2,5×25,2 + GV×2,5 – MG = 0

Određivanje dijagrama unutarnjih sila * možemo raditi za cijeli Gerberov nosač ili za svaki "podijeljeni" nosač 1.)

∑M=0 M1 = 0 M2 = 0 8

2

0lqm ×

=

∑y=0 T1 = 25 kN T2 = -25 kN 8

510 2

0×

=m

∑x=0 N1= 0 N2 = 0 25,310 =m kNm

2.)

∑M=0 M3 = 0 M4 = 0 8

2

0lqm ×

=

∑y=0 T3 = 50 kN T4 = -50 kN 8

520 2

0×

=m

∑X=0 N3= 0 N4 = 0 5,620 =m kNm

5,2

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 26

3.) Presjek 5.: ∑x=0 N5 = 0 ∑y=0 T5 = -25 kN ∑M=0 M5 = 0 Presjek 6.: ∑x=0 N6 = 0 ∑y=0 T6 = -50 kN ∑M=0 M6 = - 93,75 kNm Presjek 7.: N7 = 0 Σ y = 0 T7 = 54,17 kN ΣM7 = 0 M7 = - 93,75 kNm Presjek 8.: N8 = 0 Σ y = 0 T8 = 54,17 kN ΣM8 = 0 M8 = 41,675 kNm

Presjek 12.: N12 = 0 T12 = 50 kN M12 = 0

Presjek 11.: N11 = 0 Σ y = 0 T11 = 100 kN ΣM11 = 0 M11 = - 187,5 kNm

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 27

Presjek 10.: N10 = 0 Σ y = 0 T10 = - 45,83 kN ΣM10 = 0 M10 = - 187,5 kNm M10 = M11 Presjek 9.: N9 = 0 Σ y = 0 T9 = - 45,83 kN ΣM9 = 0 M9 = 41,65 kNm M9 = M8

4.) Presjek 13.: N13 = 0 Σ y = 0 T13 = - 50 kN M13 = 0

Presjek 14.: N14 = 0 Σ y = 0 T14 = - 100 kN ΣM14 = 0 M14 = - 187,5 kNm

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 28

Dijagrami unutarnjih sila M i T

Mjerila : 0.5 cm :: 1m 1 cm :: 50 kNm 1 cm :: 50 kN

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 29

Zadatak 6: Za zadani Gerberov nosač treba odrediti M i T dijagrame - grafoanalitičkim postupkom

Promatramo 3 proste grede A-C AV = CV = 37,5 kN

3,708

5,7 210 =

×=

qm kNm

C-D 67,665,7

5100=

×=C kN

675,335,7

5,2100=

×=D

675,1665,220 =×= Cm kNm

D-G D = G = 100 kN

25081020 2

30 =

×=m kNm

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 30

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 31

Obrazloženje grafoanalitičkog postupka

A = A0 + A' = 37,5 – 12,5 = 25 kN C = C0 + C' = 104,2 – 0,03 = 104,17 kN D = D0 + D' = 133,33 + 12,5 = 145,83 kN G = G0 + G' = 100 + 0 = 100 Kn MG' = MG = 187 kNm

GERBEROVI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 32

Djelovanje para momenata na Gerberov nosač 1.) 2.)

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 33

REŠETKASTI NOSAČI Naučili smo da nosači, odnosno konstruktivni sustavi, mogu biti punostijeni i/ili rešetkasti. Rešetkasti sustav se sastoji samo od štapova, a opterećenje se prenosi isključivo u čvorovima. Prema statičkom sustavu, odnosno karakteru ležajnih veza možemo imati: prostu gredu, konzolu, trozglobnu konstrukciju, Gerberovu rešetku. Rešetkasti nosači mogu biti jednostavni i složeni. * jednostavni - točno se zna redoslijed spajanja štapova - opterećenje se preko štapova prenosi na čvrsto tlo • rješavanje može biti : analitičko ili grafičko

Σx=0 poligon sila zatvoreni lik Σy=0

! kod rješavanja uvijek krećemo od čvora gdje nam se javljaju samo 2 nepoznate sile • rešetka je nastala tako da smo dodavali štapove na čvrstu točku (1) koja je s dva štapa vezana na tlo • redoslijed rješavanja rešetke: prvo čvor (6) → 5→ 4→ 3 → 2 →1

→A→B→ C ⇒ veze s podlogom Kontrola ! Σ x = 0 ; Σ y = 0

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 34

* složeni redoslijed rješavanja

1.) A, B, C 2.) 1,2,…,6 3.) Kontrola u točki (K) Σ x = 0 ; Σ y = 0 * kombinacija: rešetka + punostijeni

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 35

Zadatak 7: Odredite sile u štapovima rešetke, te nacrtajte skicu realnih (stvarnih) djelovanja.

Analitički čvor (3) kod nepoznatih veličina uvijek pretpostavljamo vlačne sile u štapovima

Σ x = 0 ; Σ y = 0 ; 23

=αtg → α = 56,31°

1.) Σ y = 0 -Dy -Ey = 0 Σ x = 0 -Dx + Ex + P = 0 Dy = D×sin α = 0,832 D Dx = D×cos α = 0,5547 D Ey = E×sin α = 0,832 E Ex = E×cos α = 0,5547 E 0,832 D = - 0,832 E - 0,5547 D + 0,5547 E + 100 = 0 D = - E ⇒ 0,5547 E + 0,5547 E + 100 = 0 1.1094 E + 100 = 0 E = -90,139 kN ( tlak) D = 90,139 kN ( vlak) Ex = -90,139×0,5547 = -50 kN Ey = -75 kN Dx = 50 kN Dy = 75 kN čvor (2) skiciramo čvor (2) i silu E ucrtavamo s njezinim stvarnim

djelovanjem, tj. sila E je tlačna i crtamo strelicu u čvor i zbog toga u kasnijim izračunima više ne mijenjamo njezin predznak

Σ x = 0 Ex – I = 0 ⇒ I = Ex = 50 kN ( vlak ) Σ y = 0 - Ey - F = 0 ⇒ F = -Ey = -75 kN ( tlak )

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 36

čvor (1) Σ x = 0 Gx + Dx + I = 0 Σ y = 0 Dy - H – Gy = 0

°=⇒= 4544 ββtg Gx = 0,707 G

Gy = 0,707 G

1.) 0,707 G + 50 +50 = 0 4,141707,0

100−=−=G kN ( tlak )

Gy = -100 kN Gx = -100 kN 2.) Dy – H – Gy = 0 75 – H – (-100) = 0 H = 175 kN (vlak) Ležajne veze – reakcije Σ y = 0 A + H = 0 ⇒ A = -175 kN ili Σ MBC = 0 ⇒ A×4 + P×7 = 0

1754

700−=−=A kN

B = F = 75 kN C = G = 141,4 kN

Kontrola ! Σ y = 0 A + B + Cy = 0 Σ x = 0 - Cx + P = 0 - 175 + 75 + 100 = 0 - 100 + 100 = 0 OBAVEZNO! – skica stvarnog djelovanja Σ x = 0 i Σ y = 0 u svakom čvoru

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 37

Grafički postupak (od čvora do čvora) Očitamo : D = 4,5 cm ⇒ D = 90 kN ( vlak ) E = 4,5 cm ⇒ E = 90 kN ( tlak ) ( tlak zato jer sila gleda u čvor (3) )

Očitamo : I = 2,5 cm ⇒ I = 50 kN ( vlak ) F = 3,7 cm ⇒ F = 74 kN ( tlak ) Očitamo : H = 8,7 cm ⇒ H = 174 kN ( vlak ) G = 7,0 cm ⇒ G = 140 kN ( tlak )

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 38

Zadatak 8: Odredite vrijednosti sila u štapovima prikazane rešetke. Nacrtajte skicu realnih djelovanja.

°=⇒= 435,63

48 ααtg

Ax = A×cos α = 0,4472 A ; Ay = A×sin α = 0,8944 A I. Prvo trebamo odrediti ležajne veze – reakcije A, B i C jer niti u jednom čvoru nemamo samo dvije nepoznate sile Σ M3 = 0 -C×16 – P2×10 + P1×8 = 0

75,2816

1011088016

108 21 −=×−×

=×−×

=PP

C kN

Σ x = 0 -Ax + P1 = 0

Ax = P1 = 80 kN ⇒ 89,178cos

==α

xAA kN

Ay = A×sin α = 178,89×0,8944 = 160 kN Σ y = 0 - Ay - P2 - C -B = 0 B = -Ay – P2 –C = - 160 – 110 – (- 28,75 ) = - 241,25 kN Kontrola ! Σ M2 = 0 Ay×20 + P2×6 + B×16 = 0 160×20 + 110×6 + ( - 241,25) ×16 = 0 • ucrtamo stvarni smjer reakcija , odnosno ucrtamo stvarne smjerove sila u štapovima koji vežu rešetku s podlogom ( A, B, C )

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 39

čvor (2) °=⇒= 13,5368 ββtg

Σ y = 0 Dy + 28,75 = 0 Dy = - 28,75 kN ( tlak)

94,35sin

−==βyD

D kN

Dx = D×cos β = - 21,56 kN Σ x = 0 - E + 80 – Dx = 0

E = 80 – ( - 21,56 ) = 101,56 kN

čvor (4) °=⇒= 6598,38108 γγtg

Σ y = 0 -Gy + Dy –P2 = 0 Gy = 28,75 – 110 = - 81,25 kN ( tlak)

06,130sin

−==γ

yGG kN

Gx = G×cos γ = - 101,56 kN

Σ x = 0 - F – Gx – Dx = 0 F = - Gx – Dx = - ( -101,56 ) – 21,56 = 80 kN Gx je negativno jer smo tako izračunali Dx je pozitivno jer smo u čvor (4) ucrtali stvarni smjer čvor (3) Σ x = 0

=+−=+−

080800FAx ovo je kontrola!

Σ y = 0 - Ay– H = 0 H = - Ay = -160 kN ( tlak )

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 40

čvor (1) ⇒ kontrolni čvor ⇒ treba provjeriti, a ne samo zaključiti

Σ x = 0 Σ y = 0

Skica stvarnog djelovanja

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 41

Zadatak 9:

Ritterova metoda U označenim štapovima rešetke odrediti vrijednosti djelovanja Ritterovom metodom (analitički). (vrlo često dolazi na ispitu!!!!! )

°=⇒= 69,3332 ααtg

1.) Reakcije Σ y = 0 R1- P = 0 R1= 60 kN Σ M(1) = 0 R2×4- P1×9 = 0 R2 = 135 kN Σ x = 0 P2 + R2 – R3 = 0 R3 = 215 kN 2.) Određivanje vrijednosti u označenim štapovima rešetke a.) Σ MRA = 0 ( desni dio ) A×2- P1×3 – R3×2 = 0

3052

2215 360=

×+×=A kN

b.) Σ MRC = 0 ( lijevi dio ) C×2 + P2×4 + R2×8 – R1×3 = 0

6102

360 8135 480-−=

×+×−×=C kN

c.) Σ y = 0 ( lijevi dio ) R1- By = 0

By = R1= 60 kN ; 17,1085547,060

sinBy ===α

B kN ; Bx = B×cos α = 90 kN

REŠETKASTI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 42

Culmanova metoda U označenim štapovima rešetke odrediti vrijednosti djelovanja Culmanovim postupkom (grafički).

1.) Nađemo reakcije grafičkim postupkom koristeći Culmanov pravac C.P.(R) 2.) Nađemo Culmanov pravac za unutarnje sile (C.P)

Očitano : Reakcije : A = 310 kN R1= 60 kN B = 110 kN R2= 135 kN C = - 610 kN R3= 215 kN U presjeku poligon sila mora biti zatvoreni lik tj. 013 =++++ CBAPR

rrrrr

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 43

TROZGLOBNI NOSAČI Trozglobni nosači su sastavljeni od dva diska:

- mogu biti lučni ili okvirni - mogu biti punostijeni, rešetkasti ili kombinirani

Reakcije su u smjeru štapova ⇒M = 0 ; T = 0

Disk AC 0,0,0 ≠≠≠⇒ ACNTM

Štap 0,0,0 ≠==⇒ BCNTMBC

opaskaDiskŠtap

→→

štapoviopter zgloba 2izmedju

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 44

Zadatak 10: Treba odrediti dijagrame unutarnjih sila M, T, i N za zadani trozglobni okvir.

1.) Određivanje reakcija – ležajnih veza - imamo nepoznato : AV, AH, BV i BH = 4 nepoznate veličine 3 jednadžbe ravnoteže Σ x = 0 1 jednadžba Σ MC

l = 0 ili Σ MCd = 0

Σ y = 0 + jer znamo da je u zglobu C moment jednak nuli. Σ M = 0 1. Σ MA = 0 BV×8 - BH×1 - P×6 - q×6×1= 0 BV = 93,64 kN BH = 29,1 kN 2. Σ MC

d = 0 -P×2 - BH×6 + BV×4 = 0 3. Σ MB = 0 -AV×8 - AH×1 + q×6×7 + P×2 = 0 AV = 126,36 kN AH = 29,1 kN 4. Σ MC

l = 0 -AV×4 + AH 5 + q×6×3 = 0 Kontrola : Σ x = 0 AH – BH = 0 Σ y = 0 AV + BV - q×6 – P = 0 2. Određivanje unutarnjih sila - unutarnje sile određujemo u karakterističnim točkama, tj. na mjestima gdje funkcije

dijagrama unutarnjih sila imaju istaknute, karakteristične vrijednosti (sve smo to naučili u Tehničkoj mehanici ☺ )

- predznaci unutarnjih sila – predmet dogovora → moment crtamo uvijek na vlačnoj strani, T i N → isto kao u Tehničkoj mehanici

tzv. skok funkcije → funkcija prekidna tzv. lom funkcije → derivacija funkciji prekidna

- uočimo sve točke ( presjeke ) u kojima funkcije M, T i N imaju karakteristične vrijednosti, a između tih točaka imamo neprekidne derivabilne funkcije, uglavnom I. i II. reda i možemo ih narisati.

⇒

⇒

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 45

Karakteristične točke su u presjecima 1 do 12

Karakteristični presjeci :

Presjek 1: Σ x = 0 N1 = 0 Σ y = 0 T1 = 0 ΣM=0 M1 = 0 Presjek 2: Σ x = 0 N2 = 0 Σ y = 0 T2 + q×2 = 0 T2 = -40 kN ΣM2=0 M2 + q×2×1 = 0 M2 = -40 kNm Presjek 3: Σ x = 0 T3 + AH = 0 T3 = -29,1 kN Σ y = 0 AV + N3 = 0 N3 = -126,36 kN ΣM3 = 0 M3 = 0 Presjek 4: Σ x = 0 T4 + AH = 0 T4 = -29,1 kN Σ y = 0 N4 + AV = 0 N4 = -126,36 kN ΣM4=0 M4 + AH×5 = 0 M4 = -145,5 kNm ( vlak lijevo)

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 46

Presjek 5: Σ x = 0 N5 + AH = 0 N5 = -29,1 kN Σ y = 0 -q×2 - T5 + AV = 0 T5 = 86,36 kN ΣM5=0 M5 + AH×5 + q×2×1= 0 M5 = -185,5 kNm (vlak gore) Presjek 6: Σ x = 0 N6 + AH = 0 N6 = -29,1 kN Σ y = 0 AV - q×6 – T6 = 0 T6 = 6,36 kN ΣM6=0 → M6 = MC = 0 → u točki C imamo zglob što znači da moment mora biti jednak nuli.(to nam je bila jedna od točki oko koje smo računali naše reakcije) Presjek 7: Σ x = 0 T7 - BH = 0 T7 = 29,1 kN Σ y = 0 N7 + BV = 0 N7 = -93,64 kN ΣM7= 0 M7 = 0 Presjek 8: Σ x = 0 T8 - BH = 0 T8 = 29,1 kN Σ y = 0 N8 + BV = 0 N8 = -93,64 kN ΣM8=0 - M8 - BH×3 = 0 M8 = - 87,3 kNm ( vlak desno) Presjek 9: Teh. meh. → projekcije u smjeru T i N !!!!!

sinα = 0,6 cosα = 0,8

Σ N = 0 N9 + BV×sinα + BH×cosα = 0 N9 = -79,3 kN Σ T = 0 T9 + BV×cosα - BH×sinα = 0 T9 = -57,45 kN ΣM9= 0 M9 + BH×3 = 0 M9 = -87,3 kNm ( vlak desno gore)

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 47

Presjek 10: Σ N = 0 N10 = N9 = -79,3 kN Σ T = 0 T10 = T9 = -57,45 kN ΣM10= 0 M10 + BH×4,5 – BV×2 = 0 M10 = 56,3 kNm Presjek 11: Σ N = 0 N11 + BV×sinα + BH×cosα - P×sinα = 0 N11 = -19,46 kN Σ T = 0 T11 + BV×cosα - BH×sinα - P×cosα = 0 T11 = 22,50 kN ΣM11= 0 M11= M10 = 56,3 kNm Presjek 12: Σ N = 0 N12 + AH×cosα - AV×sinα + q×6×sinα = 0 N12 = -19,46 kN → N11 Σ T = 0 T12 - AV×cosα + AH×cosα + q×6×cosα = 0 T12 = 22,50 kN → T11 M12= M6 = MC = 0

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 48

DIJAGRAMI UNUTARNJIH SILA

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 49

Grafičko određivanje unutarnjih sila u zadanim presjecima r-r , s-s i t-t (vrlo često na pismenom i usmenom dijelu ispita) Zadano: K= 80 kN α = 30°

0rrrr

rrr

rr

=++

+=

=BAK

AKR

BR

l

d

B = 69 kN A = 102,5 kN Očitamo: Presjek r-r ; Nr-r = + 98 kN Tr-r = + 31 kN Mr-r = + rr ×A = 0,45 × 102,5 = + 46 kNm Presjek s-s ; Ns-s = - 65 kN Ts-s = - 23 kN Ms-s = - rs ×B = -0,9 × 69 = - 62 kNm (vlak s gornje strane) Presjek t-t ; Nt-t = - 37 kN Tt-t = - 57 kN Mt-t = rt ×Rl = 2,55 × 69 = 176 kNm Mt-t = rt ×B = 2,55 × 69 = 176 kNm

ssMssT

ssN

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 50

TROZGLOBNI OKVIR SA ZATEGOM Zadatak 11: Za zadani trozglobni okvir sa zategom odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N

Reakcije su iste kao u zadatku 10. Opterećenje i ležajne veze (reakcije) su ostale iste, postoji samo razlika u unutarnjim vezama. Javljaju se: poluzglob D i štap Š1 AV = 126,36 kN BV = 93,64 kN AH = 29,1 kN BH = 29,1 kN - karakteristični presjeci – Desni dio nosača, tj. od presjeka 5-12

računa se kao u prethodnom zadatku tj. unutarnje sile ostaju nepromijenjene. • prvo trebamo odrediti silu u štapu Š1, a taj štap nazivamo zategom.- to je unutarnja veza Iz sume momenata oko (polu)zgloba D → odredimo silu u zatezi, tj. moment u presjeku 4, koji je identičan s (polu)zglobom D mora biti jednak nuli → M4 = 0 Σ M4 = 0 AH×5 - ŠH×2 = 0 → ŠH = 72,75 kN

88,10245cos

==o

HŠŠ kN → ŠV = 72,75 kN

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 51

Unutarnje sila u lijevom dijelu nosača Presjek 1: Σ x = 0 N1 + ŠH = 0 → N1 = -72,75 kN Σ y = 0 T1 + ŠV = 0 → T1 = -72,75 kN ΣM(1)=0 → M1 = 0 Presjek 2: Σ x = 0 N2 + ŠH = 0 → N2 = -72,75 kN Σ y = 0 T2 + ŠV + q×2 = 0 → T2 = -112,75 kN ΣM(2)=0 M2 + ŠV + q×2×1 = 0 → M2 = -185,5 kNm Presjek 3: → isto kao prije Σ x = 0 T3 + AH = 0 T3 = -29,1 kN Σ y = 0 AV + N3 = 0 N3 = -126,36 kN ΣM3 = 0 → M3 = 0 Presjek 4: Σ x = 0 T4 + AH – ŠH = 0 T4 = 43,65 kN Σ y = 0 N4 + AV + ŠV = 0 N4 = -199,11 kN ΣM(4)=0 M4 + AH×5 – ŠH×2 = 0 → M4 = 0 = MD Presjek 13: Σ x = 0 T13 + AH = 0 → T13 = -29,1 kN Σ y = 0 N13 + AV = 0 → N13 = -126,63 kN ΣM13= 0 M13 + AH×3 = 0 M13 = - 87,3 kNm ( vlak lijevo) Presjek 14: Σ x = 0 T14 + AH - ŠH = 0 T14= 43.75 kN Σ y = 0 N14 + AV + ŠV = 0 N14 = -199,11 kN ΣM14=0 M14 + AH×3 = 0 M14= M13 = -87,3 kN

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 52

DIJAGRAMI UNUTARNJIH SILA

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 53

Zadatak 12: Odredite reakcije te silu u zatezi za zadani trozglobni okvir sa zategom. Postupak kod analitičkog određivanja reakcija te sila u zatezi: Reakcije: (kao kod proste grede jer imamo 3 ležajne veze) Σ x = 0 → C Σ MB = 0 → A Σ MA= 0 → B Sila u zatezi: Σ MC

l = 0 -A×a + C×c + Zh×d - Zv×a + P1×l1 = 0 → Z ili Σ MC

d = 0 B×b - Zh×e - Zv×b – P2×l2 = 0 ZH=Z×cosα ZV=Z×sinα Unutarnje sile određujemo kao kod svakog drugog nosača u karakterističnim točkama. Sila u zatezi za nas je samo još jedna od koncentriranih sila pa imamo karakteristične presjeke ispred i iza mjesta djelovanja zatege.

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 54

Zadatak 13: Za zadani trozglobni okvir sa zategom odredite dijagrame unutarnjih sila. ∑x = 0 ⇒ Ah + P = 0 ⇒ Ah = -100 kN

∑MB= 0 ⇒ -Av *4 + Ah*1 –P*3 + q*4*2=0 ⇒Av=-60 kN ∑y=0 ⇒ Av + Bv - q*4=0 ⇒ Bv=140 kN Kontrola! ∑MA= 0 ⇒ Bv*4-q*4*2-P*4=0

Dijagrami unutarnjih sila Prvo treba izračunati silu u zatezi. Računamo je iz uvjeta da moment u zglobu C mora biti jednak 0, tj . ∑MC= 0. Napravimo presjek kroz zglob i promatramo sile s lijeve strane ili s desne strane. tgα=3/4 ⇒ α=36.870 ∑MC= 0∑MC= 0 Av*2 – Ah*4 + Zh*3 – Zv*2 + q*2*1=0 60*2-100*4+Z*cosα*3 – Z*sinα *2 + 20*2*1=0 120-400+Z*0.8*3 – Z*0.6*2 + 40 = 0 -240 + 1.2Z=0 ⇒ Z=200 kN

Kompjutorska rješenja (samo za provjeru, ako želite nacrtati dijagrame unutarnjih sila)

Reakcije - stvarni smjer djelovanja

Dijagram momenata Dijagram poprečnih sila Dijagram uzdužnih sila

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 55

Zadatak 14:

Postupak grafičkog određivanja reakcija te sila u presjeku t-t za zadani trozglobni okvir sa zategom

Kod grafičkog rješavanja prvo odredimo Mjerilo sila --kN:: -- cm Odredimo reakcije A i B.

Reakcije i sila P se moraju sjeći u jednoj točki. Znamo da je B vertikalna reakcija, nađemo točku u kojoj se sijeku B i P te kroz tu točku mora proći A. Očitamo reakcije u mjerilu sila i dobijemo: A=141,4 kN; B= 100 kN

Nakon što smo odredili reakcije, tražimo silu u zatezi Z. Silu nađemo iz uvjeta da rezultanta reakcije B i sile u zatezi Z ⇒R(B+Z) mora proći kroz zglob C (moment u zglobu C mora biti 0). Očitamo: Z= 100 kN

Rezultantu R(B+Z) zatim uravnotežimo unutarnjima silama Ttt i Ntt. Očitamo: Ttt= 100 kN; Ntt= - 100 kN.

Moment izračunamo kao umnožak horizontalne komponente

R (B+Z)h x udaljenost do presjeka t-t. (R(B+Z)h =Z)

Mtt= 100x1 = 100 kNm (vlak s vanjske strane)

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 56

Kompjutorska rješenja: (samo za provjeru, ako želite nacrtati dijagrame unutarnjih sila) Reakcije Dijagram momenata

Dijagram poprečnih sila Dijagram uzdužnih sila

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 57

Zadatak 15: Za zadani trozglobni nosač sa zategom odrediti grafički sile u presjeku t-t Reakcije - grafički

Očitamo: A= 400 kN; B= 312 kN

reakcije kompjutorski

određivanje sile u zatezi Z - grafički

Sila u zatezi Z=260 kN M=-R(Z+A) x 1=-250 kNm ( s gornje strane)

T= R(Z+A) = 250 kN; N= 0

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 58

Dijagrami unutarnjih sila za zadani trozglobni okvir sa zategom – kompjutorska rješenja M dijagram

T dijagram

N dijagram

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 59

Zadatak 16: Trozglobni luk sa zategom – grafičko određivanje unutarnjih sila u zadanom presjeku Očitamo: Reakcije ⇒ A= 141 kN; B= 100 kN

U presjeku t-t Rezultanta reakcije B i sile u zatezi Z tj. Rd mora proći kroz zglob C (Mc=0) Vidimo da od djelovanja sile P u presjeku t-t imamo samo uzdužnu silu Ntt= -133 kN U presjeku s-s Ako gledamo s desne strane do presjeka ss djeluju nam B, Z i P, odnosno Rd+P

Nss= 0 Tss= Rd+P =-33 kN

Mss= (Rd+P)*2= 66kNm (vlak s unutarnje strane)

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 60

Kompjutorska rješenja Reakcije Mss =66.66 kNm

Tss = -33.33 kN Ntt= -133.33 kN

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 61

Zadatak 17: Grafički odredite reakcije i sile u presjeku t-t za zadani trozglobni okvir.

RJEŠENJE

A = 160 kN; B = 155 kN; Mtt = 180 kNm (r⋅B= 180 kNm) (s gornje strane); T = -72 kN; N = -140 kN

t

t

A

B

r

P

B

A

ttN

ttT

TROZGLOBNI NOSAČI

KMLJ – 06./07. 62

Djelovanje para sila i para momenata na trozglobni okvir (vanjsko opterećenje u ravnoteži, prpazite na reakcije !!!!) AH×h – 1x 0,5×h =0

ΣMA=0; ΣMB=0; =>AV = BV = 0

ΣMA=0; ΣMB=0; =>AV = BV = 0

AH = BH = h1

5,05,0=

×=

hhAH

OJAČANA GREDA

KMLJ – 06./07. 63

OJAČANA GREDA - LANGEROVA GREDA -analitički postupak-

Zadatak 18: Za zadanu ojačanu gredu odredite reakcije te dijagrame unutarnjih sila M, T i N.

1.) Reakcije: kao odgovarajuća prosta greda (vrijedi samo za vertikalno opterećenje)

Σ MG = 0 -AV×10 + q×4×8 + P×2 = 0 → AV = 52,0 kN → AV = AV° Σ MA = 0 GV×10 - q×4×2 - P×8 = 0 → GV = 88,0 kN → GV = GV° Kontrola ! Σ y = 0 52 + 88 - 10×4 – 100 = 0 2.) Unutarnje sile: U presjeku x-x imamo 4 nepoznate unutarnje sile pa ne možemo iz uvjeta ravnoteže riješiti problem. Zato je potrebno prvo riješiti sile u štapovima ili "ojačanju".

OJAČANA GREDA

KMLJ – 06./07. 64

02350

2 =×+×−×=Σ

SPGM

V

dD

4434421

a) određivanje sila u ojačanju – sile u štapovima Σ MD

l = 0 ili Σ MDd = 0

MD° odgovarajuća prosta greda

MD° → moment na odgovarajućoj prostoj gredi

702

3004402

35 2 −=

+−=

×+×−=

PGS V kN ( S2 je tlačna sila )

ili 702140

2 00

2 −=−

===f

MMS DD kN

S2 = H → horizontalni štap Čvor (1) Σ x = 0 S2 + S1H = 0 Σ y = 0 V1 + S1V = 0 S1H = -S2 = -H = -70 kN V1 = - S1V = 70 kN

99cos

701 −=

−=

αS kN

S1V = S1×sin α = -70 kN

Čvor (2) Σ x = 0 S3H + S2 = 0 Σ y = 0 V2 + S3V = 0 S3H = -S2 = -H = -70 kN V2 = - S3V = 70 kN

99cos

33 −==

αHS

S kN

S3V = S3×sin α = -70 kN

OJAČANA GREDA

KMLJ – 06./07. 65

Dijagrami unutarnjih sila Momentni dijagram

MA = 0

MB = AV×2 - 842

22

=×q kNm

MC=AV×4- 1222

41

2

−=×−× VSq kNm

MD = AV×5 - q×4×3 – S1V×3 + V1×1 = 0 ⇒ kontrola MG = 0 MF = GV×2 = 176 kNm ME = GV×4 – ( P + S3V )×2 = 12 kNm

MC° = AV×4 - q×4×2 = 128 kNm Mx – dijagram na zadanom nosaču MD° = AV×5 - q×4×3 = 140 kNm Mx° - dijagram na odgovarajućoj prostoj gredi MF° = GV×2 = 176 kNm Dijagram poprečnih sila (na gredi) TA = AV = 52 kN TB

l = AV - q×2 = 32 kN TB

d = AV - q×2 – S1V = -38 kN TC

l = TBd = q×2 = -58 kN

TCd = TC

l + V1= 12 kN TE

l = TCd = 12 kN

TEd = TE

l + V2 = 82 kN TF

l = TEd = 82 kN

TFd = TF

l – S3V – P = - 88 kN TG

l = GV = - 88 kN Dijagram uzdužnih sila

Σ x = 0 Nx = S1H = 70 kN

OJAČANA GREDA

KMLJ – 06./07. 66

Ojačana greda - Langerova greda -" kosi " štap kod ojačanja-

Σ x = 0 → AH = 0 Σ MB = 0 → AV Σ MA = 0 → BV Sila u štapu Š2 = ?¸

Š2H = Š2×cos α Š2V = Š2×sin α

Σ MC

l = 0 -AV×l - Š2H×b - Š2V×a = 0 - AV×l - Š2×cosα ×b - Š2×sinα ×a = 0 ⇒ Š2

Ojačana greda –opterećenje u čvoru !!!!!

Određivanje reakcija:

kNAPAX HH 15000 =⇒=+−⇒=∑

kNAPAM VVB 750360 =⇒=⋅−⋅⇒=∑

kNBPBM VVA 750360 =⇒=⋅−⋅⇒=∑ Dalje je postupak isti kao kod svake druge ojačane grede

HA

VAVB

A BC

OJAČANA GREDA

KMLJ – 06./07. 67

Ojačana greda - Langerova greda - grafoanalitički postupak -

Mx = AV×x - 2

2xq× - S1H× y(x)

Mx = AV° ×x - 2

2xq× - H× y(x)

Mx = Mx° - H× y(x)

Mx° MA° = 0 ; MC° = 128 kNm ; MF° = 176 kNm ; MG° = 0

Dijagram poprečnih sila

Tx = AV - q×x – S1V Tx = AV° - q×x – H×tg α1 ⇒ Tx = Tx°- H×tg αi TA° = AV° = 52 kN ; TC°= 52 – 40 = 12 kN ; T0

Fl = 12 kN ; T0Fd = -88 kN ; TG° = -GV° = -88 kN

OJAČANA GREDA

KMLJ – 06./07. 68

Grafičko određivanje unutarnjih sila u zadanom presjeku Mjerila 1cm :: 1m

1cm :: 20 kN Očitamo : B = 20 kN A = 104 kN Nt-t = 50 kN Tt-t = -20 kN Mt-t = + rt×RC

l = +0,2×54 Mt-t = + 10,8 kNm

lCRHA

KBArrr

rrrr

=−

=++

.2

0.1 ili d

CRHKBrrrr

=++

Djelovanje para momenata i para sila na ojačanu gredu !!!

Primjer 1: Σ y = 0 AV = BV = 0 MC

l = MCd = 10 kNm

52

== CMH kN

Sile u štapovima H = 5 kN V = -5 kN S = 7,07 kN

OJAČANA GREDA

KMLJ – 06./07. 69

Primjer 2: m = 10 kNm Σ y = 0 AV = BV = 0 Σ MC

l = 0 ⇒ H = 0 ⇒ V2 = S2 = 0 Presjek t-t S1V×2 = 10 ⇒ S1V = 5 kN S1 = 7,07 kN Σ y(1) = 0 S1V = -V1 = 5 kN N34 = -S1H = -5 kN T34 = S1V = 5 kN

T14 = 2m = -5 kN

Primjer 3: Σ y = 0 AV = BV = 0 Σ x = 0 AH = 0 Σ MC

l = 0 H×2 + P1V×1 = 0 H = -3,54 kN Sile u štapovima Čvor 1 V1 = 3,54 kN S1 = -5,0 kN Čvor 2 V2 = -10,61 kN S2 = 5,0 kN

PRIMJER 1. KOLOKVIJA

KMLJ – 06./07. 70

PRIMJER KOLOKVIJA 1. KOLOKVIJ šk. god. 2003./2004.

1. Za zadani Gerberov nosač potrebno je odrediti M i T dijagram. ZADATAK JE POTREBNO OBAVEZNO RJEŠAVATI (30 bodova; 10 reakcije + 10 M dij.+ 10 T dij.).

2. Za zadani rešetkasti nosač potrebno je naći sile u označenim štapovima Ritterovim postupkom. (20 bodova; 5 reakcije + 3x5 =15 za sile).

3. Za zadani trozglobni nosač potrebno je grafičkim postupkom naći unutarnje sile Mtt, Ttt i Ntt u zadanom presjeku i dokazati da je sustav statički određen (formulom). (30 bodova; 5 reakcije + 3x5=15 za (Mtt, Ttt i Ntt) +10 dokaz)

4. Za zadanu ojačanu gredu potrebno je naći vrijednost sile u zadanom štapu. (20 bodova; 10 reakcije + 10 sila u štapu).

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 71

ZADACI ZA VJEŽBU:

Gerberovi nosači Primjer 1: Odredite M i T dijagrame analitičkim postupkom!

Rješenje: reakcije

M dijagram

T dijagram

NAPOMENA (vrijedi za sve zadatke): Svi dijagrami dobiveni su kompjutorski. Dijagrami poprečnih sila nacrtani su na "krivoj" strani u odnosu na ono kako smo mi naučili u Tehničkoj mehanici, ali predznaci su ispravni. Kad sami crtatedijagrame možete prikazane zrcaliti koko uzdužne osi i izgledat će onako kako smo navikli ☺

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 72

Primjer 2: Odredite M i T dijagrame analitičkim postupkom!

Rješenje: reakcije

M dijagram

T dijagram

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 73

Primjer 3: Odredite M i T dijagrame analitičkim postupkom!

Rješenje: reakcije

M dijagram

T dijagram

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 74

Rešetkasti nosači Primjer 1: Ritterovim postupkom odredite sile u označenim štapovima!

Rješenje: reakcije

Š1= 70 kN; Š2= -198.3 kN; Š3= 40 kN; Primjer 2: Ritterovim postupkom odredite sile u označenim štapovima!

Rješenje: reakcije ( iste kao u primjeru 1) Š4= 46.7 kN; Š5= 42.1 kN; Š6= -70 kN;

1Š

2Š

3Š

4Š

5Š

6Š

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 75

Primjer 3: Ritterovim postupkom odredite sile u označenim štapovima!

Rješenje: reakcije

Š1= -440 kN; Š2= 246.4 kN; Š3= -146.7 kN; Primjer 4: Ritterovim postupkom odredite sile u označenim štapovima!

Rješenje: reakcije ( iste kao u primjeru 3) Š4= -440 kN; Š5= -246.4 kN; Š6= 126.7 kN;

1Š

2Š

3Š

4Š

5Š

6Š

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 76

Trozglobni nosači Primjer 1: Odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N!

Rješenje: reakcije

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 77

Dijagrami unutarnjih sila M dijagram

T dijagram

N dijagram

7,86−

7.110

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 78

Primjer 2: Odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N!

Rješenje: reakcije

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 79

Dijagrami unutarnjih sila M dijagram

T dijagram

N dijagram

96.198

328−

04.101

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 80

Ojačane grede Primjer 1: Odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N!

Rješenje: reakcije

M dijagarm

T dijagram

N dijagram

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 81

Primjer 2: Odredite vrijednost sile u zadanom štapu!

Rješenje: reakcije

Vrijednost sile u Š1=-204.1 kN

1Š

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 82

Primjer 3: Odredite vrijednost sile u zadanom štapu!

Rješenje: reakcije

Vrijednost sile u Š1=-245.3 kN

1Š

ZADACI ZA VJEŽBU

KMLJ – 06./07. 83

Trozglobi okvir sa zategom Primjer 1: Odredite grafički M, T i N u presjeku t-t!

Stvarni smjer unutarnjih sila T=200 kN, N=-100 kN ΣM=0 ⇒ Mtt + (A+Z)*r =0 ⇒ Mtt= - (A+Z)*r (vlak gore)

AB

A

BP

A

Z

ZA +ZA +

N

T

Z

A

rZA+

t

t

r

ZA+ttM

PRORACUN - ODREDENI

Documents