PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P.G.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICAP.G.

MATEMÁTICA DISCRETA

OBSERVE AS SEQÜÊNCIAS:

2 4 8 16 ....

-2 -6 -18 ...

-72 24 -8 ...

5 5 5 5 ...

Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo, a partir do

segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante.

SEQÜÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS DE PROGRESSÕES

GEOMÉTRICAS.

Essa constante , que indicaremos por q, é denominada razão da progressão

geométrica.

Assim na progressão geométrica:

(2,4,8,16,....) temos q = 2 e a P.G. é crescente.

(-2,-6,-18,....) temos q = 3 e a P.G. é decrescente.

(-72,24,-8,...) temos q = e a P.G é alternante. 3

1

(5,5,5,5,....) temos q = 1 e a P.G. é constante.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA

Progressão Geométrica

Seja (a1,a2,a3,.....,an) uma P.G. de razão q.Temos:

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q logo, a3 = a1 .q.q

a3 = a1.q2

a4 = a3 . q logo, a4 = a1.q2.q

a4 = a1.q3

Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma P.G. pode ser

expresso da seguinte forma:

an = a1 . qn-1

Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.

Exemplos de aplicação da fórmula:

1) Determine o décimo termo da P.G. (1,3,9,....)

Sabemos que a1 = 1 e q = 3.

Assim, substituindo na fórmula podemos escrever:

a10 = 1 . 310-1

a10 = 1 . 39, portanto a10 = 19683

2) Numa P.G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1. Determine a razão da P.G. e, em seguida,

obtenha seu 80 termo.

Como a4 = a1 . q3, temos:64 = 1.q3

Logo, q3 = 64 então q = 4.

Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos determinar o 80 termo:

a8 = a1 . q7 a8 = 1. 47 a8 = 16 384

Soma dos n primeiros termos de uma P.G.

Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula:

1

11

q

qaS

n

n

Veja alguns exemplos:

1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de (3,6,12,...).

Substituindo na fórmula, temos:

12)1502.(3

50S

S50 = 3.(250 – 1)

2) Quantos termos da P.G. (2,6,18,...) devem ser considerados para que a soma resulte em

19682?

Substituindo na fórmula, temos:

13

13.268219

n

3n – 1 = 19682

3n = 19 683 3n = 39

Logo, n = 9