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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PROFESSORA ROSÂNIA
29

Progressão geométrica

Jul 01, 2015

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rosania39
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Page 1: Progressão geométrica

PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA

PROFESSORA ROSÂNIA

Page 2: Progressão geométrica

INTRODUÇÃO

Uma Progressão Geométrica (PG)

é uma sequência de números

onde cada termo (exceto o

primeiro) é resultado do produto

do termo anterior com uma

constante, chamada RAZÃO

Page 3: Progressão geométrica
Page 4: Progressão geométrica

TIPOS DE PG

Uma PG pode ser dos seguintes tipos principais:

(1, 2, 4, 8, 16 ...) – CRESCENTE – RAZÃO = 2

(16, 8, 4 ...) – DECRESCENTE – RAZÃO = 8/16 = ½

(3, 3, 3, 3, 3, ....) – CONSTANTE – RAZÃO = 1

(1, -2, 4, -8, 16, -32 ...) – ALTERNANTE – RAZÃO = -2

Page 5: Progressão geométrica

TERMOS DE UMA PG

Seja a PG: ( 1, 2, 4, 8, 16...)

Temos: a1, a2, a3, ...an

a1 = 1

a2 = 2

a3 = 4

a4 = 8

....

an = ÚLTIMO TERMO

RAZÃO (q): valor multiplicado a cada termo

anterior para obter o termo posterior.

Page 6: Progressão geométrica

FÓRMULA DO TERMO GERAL

Seja a PG: (1, 2, 4, 8, 16 ...)

Note que a razão (q) vale 2. Note também que:

a2 = a1 . q1

a3 = a1 . q2

a4 = a1 . q3 ou seja:

an =a1 . q (n – 1)

an = am . q (n – m)

Page 7: Progressão geométrica

Ex1: Determine o 8º termo da PG (5, 10, 20...)

an =a1 . q (n – 1)

Page 8: Progressão geométrica

Ex2: Em uma PG, temos que o 1º termo

equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine

o 8º termo.

Page 9: Progressão geométrica

Ex2: Em uma PG, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão

igual a 3. Determine o 8º termo.

Page 10: Progressão geométrica

Ex3: Achar o número de termos da PG (1, 4, 16, ... 1024)

RESOLUÇÃO:

Page 11: Progressão geométrica

Interpolar x meios geométricos

entre dois termos significa

descobrir esses mesmos termos

de tal forma que toda a sequência

seja uma PG.

Page 12: Progressão geométrica

Ex: Interpolar dois meios geométricos entre 5 e 40.

Page 13: Progressão geométrica

Numa PG, o termo médio é a média geométrica dos

termos equidistantes

Page 14: Progressão geométrica

O produto dos n termos de uma PG é dado por:

Page 15: Progressão geométrica

EX: Calcule o produto dos termos da PG (1, 2,

4, 8, ... 512)

1º Achar o número de termos: 2º Aplicar a fórmula do produto:

Page 16: Progressão geométrica

1º CASO: (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) – A soma é

zero

2º CASO: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3) – note que a

soma = 3 . 8 = 24

Quando a razão é 1 vale aplicar:

Page 17: Progressão geométrica
Page 18: Progressão geométrica

Ex: Determine a soma dos 6 primeiros termos de uma

PG em que o sexto termo é 160 e a razão é igual a 2.

1° passo: achar o primeiro termo: 2° passo: determinar a soma

Page 19: Progressão geométrica
Page 20: Progressão geométrica

1. Em uma progressão geométrica, temos que o

1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3.

Determine o 8º termo dessa PG.

a8 = 4 . 37

a8 = 4 . 2187

a8 = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

EXERCÍCIOS

Page 21: Progressão geométrica

2.Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o

20º termo.

a20 = 3 * 319

a20 = 3 * 1.162.261.467

a20 = 3.486.784.401

Page 22: Progressão geométrica

3. Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma

dos 20 primeiros elementos dessa PG.

(3, 9, 27, 81, ...),

a1 = 3

q = 3

n = 20

Page 23: Progressão geométrica

4. Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os

valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00 / Fevereiro: 99,96 / Março: 101,96 / Abril: 104,00 / Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice

inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02

104 : 101,96 = 1,02

101,96 : 99,96 = 1,02

99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02,

isto indica que a inflação entre os meses é de 2%.

Vamos determinar a soma

dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de

supermercado, foram equivalentes a

R$ 1.314,39.

Page 24: Progressão geométrica

5. Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2,

determine a soma dos 10 primeiros termos dessa

progressão.

6. A sequência seguinte é uma progressão geométrica,

observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa

progressão.

Page 27: Progressão geométrica

9. Vunesp – SP – Adaptado)

Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser

empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e,

em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha.

Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha. As tábuas são empilhadas de acordo com

uma progressão geométrica de razão 2.

Então:

an = a1 * q n–1

a12 = 1 * 2 12–1

a12 = 1 * 2 11

a12 = 1 * 2048

a12 = 2048

Na 12ª pilha teremos 2048 tábuas.

Page 28: Progressão geométrica

10. Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem.

2, - - - -, 486

A1 = 2

an = 486

N = 6

𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞 𝑛−1

486 = 2 . 𝑞5

𝑞5 =486

2

𝑞 = 2435

q = 3

Page 29: Progressão geométrica

11. Determine a soma dos 12 primeiros termos da PG

(1, 2, 4, 8 ...)

𝑆12 =1. (212−1)

2−1

𝑆12 =1. (4096−1)

1

𝑆12 = 4095